专题09 立体图形的认识与测量（思维导图+必备知识&考点清单+分层训练）江苏专用-2026年小升初数学二轮复习真题培优讲练

该小学数学讲义聚焦立体图形的认识与测量专题，覆盖圆柱、圆锥、长正方体等核心考点，通过导图指引构建思维框架，知识清单梳理公式规律，考点讲练分析真题考向，分层训练夯实基础与拓展拔尖，帮助学生系统掌握表面积、体积计算及实际应用。 亮点在于真题驱动与素养培养，如用排水法计算不规则物体体积培养几何直观，组合体表面积计算训练空间观念，母题精讲结合举一反三提升推理能力。基础与拓展训练适配不同学生，助力教师精准把握考点，有效提升学生实战解题能力和知识应用水平。

2026年小升初数学二轮复习之必备知识考点清单真题汇编讲练•江苏专用 专题09 立体图形的认识与测量（必备知识&二轮复习+考点清单） 【原卷版】 内●容●导●航 第一部分 导图指引 构建思维框架。明确攻坚方向 第二部分 知识清单 洞察考点考向，提炼通用解法 知识点01：圆柱与圆锥的测量 知识点02：用排水法计算不规则物体的体积 知识点03：立体图形的表面积和体积计算常用公式： 知识点04：解决立体图形的表面积和体积问题时的注意事项 第三部分 考点讲练 重点难点分析，强化解题技能 考点序列 考点名称 考点序列 考点名称 考点一 观察物体 考点十三 圆柱的容积 考点二 立体图形的认识 考点十四 圆柱与圆锥体积的关系 考点三 长方体的表面积计算与应用 考点十五 圆锥的体积（容积） 考点四 正方体的表面积计算与应用 考点十六 组合体的表面积（长方体、正方体） 考点五 长方体的体积的计算与应用 考点十七 组合体的表面积（圆柱) 考点六 正方体的体积的计算与应用 考点十八 组合体的体积（长方体、正方体） 考点七 长方体、正方体的容积 考点十九 组合体的体积（圆柱、圆锥） 考点八 表面涂色的正方体 考点二十 不规则物体的体积算法（长方体、正方体) 考点九 圆柱的侧面积的计算与应用 考点二十一 不规则物体的体积算法（圆柱、圆锥） 考点十 圆柱的表面积的计算与应用 考点二十二 体积的等积变形（长方体、正方体） 考点十一 圆柱的体积的计算与应用 考点二十三 体积的等积变形（圆柱、圆锥) 第四部分 分层训练 基础能力夯实，思维拓展拔尖 导●图●指●引 知●识●清●单 知识点01 圆柱与圆锥的测量 知识必备 圆柱的侧面积、表面积 (1)圆柱的侧面积=底面周长×高,用字母表示为:S侧=πdh(或2πrh)　 (2)圆柱的表面积=底面积×2+侧面积　,用字母表示为:S= 2πr2+2πrh　　 2.圆柱的体积=底面积×高,用字母表示为:V=πr2h 。  3.圆锥的体积=×底面积×高,用字母表示为:V=　πr2h　 知识点02 用排水法计算不规则物体的体积 知识必备 1.体积小的物体可以直接放入有水的长方体或圆柱等规则的容器里,观察水面所处的刻度的变化　体积差　就是物体的体积。  2.体积大的物体,可以放入装满水的长方体或圆柱等规则的容器里,排出水的　体积　就是物体的体积。 知识点03 立体图形的表面积和体积计算常用公式 知识必备 立体图形 表面积 体积 长方体 S=2 ：长 b:宽 h：高 S：表面积 正方体 S= ：棱长 S：表面积 圆柱 圆锥 注：是母线，即从顶点到底面圆上的线段长 知识点04 解决立体图形的表面积和体积问题时的注意事项 知识必备 （1）要充分利用正方体六个面的面积都相等，每个面都是正方形的特点. （2）把一个立体图形切成两部分，新增加的表面积等于切面面积的两倍；反之，把两个立体图形拼合到一起，减少的表面积等于重合部分面积的两倍。 （3）若把几个长方体拼成一个表面积最大的长方体，应把它们最小的面拼合起来；若把几个长方体拼成一个表面积最小的长方体，应把它们最大的面拼合起来。 解答立体图形的体积问题时，要注意以下几点 （1）物体沉入水中，水面上升部分的体积等于物体的体积；把物体从水中取出，水面下降部分的体积等干物体的体积，这是物体全部浸没在水中的情况。如果物体不全部浸在水中，那么排开水的体积就等于浸在水中的那部分物体的体积. （2）把一种形状的物体变为另一种形状的物体后，形状变了，但它的体积保持不变. （3）求一些不规则物体体积时，可以通过变形的方法求体积。 （4）求与体积相关的最大、最小值时，要大胆想象，多思考、多尝试，防止思维定势。 考●点●讲●练 考点一 观察物体 母题精讲（2024·江苏泰州·小升初真题）下面叙述正确的有（    ）个。 ①2024年第一季度有90天。 ②整数是指自然数和负整数。 ③百米赛跑的速度和时间成反比例。 ④小明把一个实际长度是0.3毫米的零件画到300∶1的图纸上，应画9厘米。 ⑤用同样大的小正方体摆一个物体，从前面和右面看到的图形如图所示，这个物体最少由5个小正方体摆成。 ⑥一个等腰三角形相邻两条边长度比是2∶1，如果周长是20厘米，那么腰长8厘米或5厘米。 A．2 B．3 C．4 D．5 举一反三（2024·江苏镇江·小升初真题）用一些大小相同的小正方体搭一个立体图形，如图是从不同方向观察后画出的图形。搭这个立体图形用了（    ）个小正方体。 A．6 B．7 C．8 D．13 考点二 立体图形的认识 母题精讲（2025·吉林长春·小升初真题）如图，第1个图形是一个水平摆放的小正方体木块，第2个图形和第3个图形是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律继续叠放下去，第7个图中，从正面看，看不到的木块应有（    ）。 A．91块 B．112块 C．120块 D．140块 举一反三（2025·甘肃庆阳·小升初真题）小辰用相同的小正方体搭一个立体图形，从上面看是，从左面看是，搭成这样的立体图形最多要用（    ）个小正方体。 A．6 B．8 C．9 考点三 长方体的表面积计算与应用 母题精讲（2025·江苏苏州·小升初真题）一个长方体是由三个同样大小的正方体拼成的，如果去掉最右边的一个正方体，表面积就比原来减少30cm2，原来长方体的表面积是( )cm2。 举一反三（2024·江苏南通·小升初真题）如图，木匠王师傅将三个棱长为2分米的小正方体拼成长方体，并用木胶粘牢。如果粘黏部分厚度不计，这个长方体的表面积是( )平方分米，体积是( )立方分米。王师傅把这个长方体加工成一个最大的圆锥，这个圆锥的体积是( )立方分米。 考点四 正方体的表面积计算与应用 母题精讲（2024·江苏泰州·小升初真题）把一个底面直径和高都是4cm的圆柱的侧面沿虚线剪开，得到一个不规则图形（如图），这个不规则图形的面积是( )cm2；如果给原来的这个圆柱做一个正方体包装盒，至少需要硬纸板( )cm2（接头处面积不计）。 举一反三（2024·江苏南京·小升初真题）如图，一个长方体是由三个同样大小的正方体拼成的，如果去掉一个正方体，表面积就比原来减少30cm2，原来长方体的表面积是( )cm2。 考点五 长方体的体积的计算与应用 母题精讲（2024·江苏南通·小升初真题）一个长方体的棱长之和为72厘米，相交于同一个顶点的三条棱长度比是5∶3∶1。这个长方体的体积是（    ）立方厘米。 A．216 B．184 C．7680 D．120 举一反三（2024·江苏泰州·小升初真题）一个空的无盖的长方体玻璃缸，从里面量，长50厘米，宽24厘米，高28厘米。10：00打开水龙头向里面注水，水的流速为8000立方厘米/分，10：03时关闭水龙头停止注水。然后把一个高15厘米的圆柱体铁块缓慢放入玻璃缸，直到完全浸没在玻璃缸的水中。玻璃缸内水面高度从注水到放入铁块后的变化情况如图。 （1）图中点（    ）的位置表示停止注水。（从A、B、C中选择） （2）10：03时玻璃缸内水面的高度为多少厘米？ （3）圆柱体铁块的底面积是多少平方厘米？ 考点六 正方体的体积的计算与应用 母题精讲（2024·江苏宿迁·小升初模拟）在一个底面积72平方厘米、高10厘米的长方体容器中，水深2厘米。如果放入一个棱长6厘米的正方体铁块，这时水深( )厘米。 举一反三（2024·江苏连云港·小升初真题）有一个棱长是6分米的正方体铁块。如果将它熔铸成一个圆柱，那么这个圆柱的体积是________立方分米。如果将这个正方体铁块削成一个最大的圆锥，那么这个圆锥的体积是________立方分米。 考点七 长方体、正方体的容积 母题精讲（2024·江苏南通·小升初真题）如图，以三个同样的长方形的长作底面周长，宽作高，分别可以卷成一个长方体、正方体和圆柱，再分别给它们做一个底面。做成的三个容器的容积相比，（    ）。 A．甲最大 B．乙最大 C．丙最大 D．同样大 举一反三（2024·江苏无锡·小升初真题）学校劳技社团制作了一个水箱，相关数据如下图1所示；打开水龙头，给这个水箱注水，注水时间和水位高度如下图2所示，其中B点的水位高度是A点水位高度的2倍。 （1）由图可知，（    ）秒后水箱注满了水，此时应该关闭水龙头。 （2）以0.1升/秒的速度往水箱里注水，可求得这个水箱的容积是（    ）升。 （3）通过计算求出这个水箱的高度h。（单位：分米） 考点八 表面涂色的正方体 母题精讲（2025·江苏淮安·小升初真题）将一个棱长5厘米的正方体木块表面涂色后切割成棱长1厘米的小正方体（无损耗），其中两面涂色的有（    ）个。 A．8 B．27 C．36 D．54 举一反三（2024·浙江杭州·小升初真题）用32个棱长1cm的白色小正方体与32个棱长1cm的蓝色小正方体拼成一个大正方体。如果使蓝色的面向外露的面积最大，那么这个大正方体的6个面上有( )cm2是蓝色的。 考点九 圆柱的侧面积的计算与应用 母题精讲（2024·江苏无锡·小升初真题）把一个底面半径为4厘米、高为5厘米的圆柱沿侧面虚线剪开后得到一个平行四边形（如图），这个平行四边形的面积是( )平方厘米。 举一反三（2025·江苏苏州·小升初真题）一个圆柱只把高减少3厘米，表面积减少94.2平方厘米，体积减少( )立方厘米。 考点十 圆柱的表面积的计算与应用 母题精讲（2024·江苏宿迁·小升初模拟）一个圆柱体油箱，从里面量直径是40厘米，高是60厘米。 （1）做这样一个油桶，至少需用铁皮多少平方分米？ （2）如果1升汽油重0.85千克，这个油桶可装汽油多少千克？（得数保留整千克数） 举一反三（2024·江苏镇江·小升初真题）数学家阿基米德用“圆柱容球”实验（如图），发现了球的表面积正好是圆柱表面积的，如果圆柱的底面半径为3分米，则球的表面积是( )平方分米。 考点十一 圆柱的体积的计算与应用 母题精讲（2024·江苏苏州·小升初真题）赵师傅向下图所示的空容器（由上、下两个圆柱组成）中匀速注油，注满结束。注油过程中，容器中油的高度与所用时间的关系如图所示。 (1)把下面的大圆柱注满需( )分钟。 (2)上面小圆柱高( )厘米。 (3)如果下面的大圆柱底面积是48平方厘米，那么大圆柱的体积是多少立方厘米？上面小圆柱的底面积是多少平方厘米？ 举一反三（2025·江苏苏州·小升初真题）如图，两个同样的量杯原来各盛有640毫升水。现将两个等底等高的圆柱与圆锥零件分别放入这两个量杯中，圆柱放入后量杯水面刻度如图①所示，那么图②中圆锥放入后量杯水面刻度显示应是( )毫升。 考点十二 圆柱的容积 母题精讲（2024·江苏连云港·小升初真题）一个圆柱形水池，从里面量得底面直径是8米，深3.5米。 ①在这个水池的底面和四周抹上水泥，抹水泥部分的面积是多少平方米？ ②这个水池最多能蓄水多少吨？（1立方米水重1吨） 举一反三（2024·江苏·小升初模拟）如图所示，利用图中的阴影部分刚好能做成一个圆柱形的油桶（接头处忽略不计），这个油桶的底面直径是( )dm，油桶的容积是( )L。 考点十三 圆柱与圆锥体积的关系 母题精讲把一个圆柱削成一个最大的圆锥，那么圆柱的体积和削去部分的体积比是（    ）。 A．2∶3 B．1∶3 C．2∶1 D．3∶2 举一反三（2024·江苏南通·小升初真题）青青在学习了圆柱和圆锥的体积知识后，她希望探究下面的问题：两个圆柱同底等高，将它们按照下图分别切割出与圆柱底面相等的圆锥，图①中两个圆锥的体积之和与图②中圆锥的体积相等吗？先判断再想办法说明理由。（可以在图上画一画来帮助说明哦！） 考点十四 圆锥的体积（容积） 母题精讲（2025·江苏苏州·小升初真题）如图，圆锥形容器中有10升水，水的高度是圆锥高度的一半，这个容器还能装（    ）升水。 A．20 B．80 C．40 D．70 举一反三（2024·江苏无锡·小升初真题）一个圆锥形的沙堆，底面积是36平方米，高0.8米。用这堆沙子去填一个长6米，宽4米的长方体沙坑，沙坑里沙子的厚度约是多少米？ 考点十五 组合体的表面积（长方体、正方体） 母题精讲（2025·山东·小升初模拟）求下面立体图形的表面积和体积。（单位：cm） （1）（2） 举一反三（2025·四川绵阳·小升初真题）计算下图的表面积。（单位：cm） 考点十六 组合体的表面积（圆柱) 母题精讲（24-25六年级下·江苏南京·期中）单板滑雪U型池赛是冬奥会的比赛项目，比赛在一个形状类似于U型滑道里进行，结构由宽阔平坦的底部和两侧的四分之一的圆管组成。U型池面的面积是多少平方米？ 举一反三（2024·山西晋城·小升初真题）如图的博士帽是用黑色卡纸做成的，上面是边长30厘米的正方形，下面是底面直径16厘米、高10厘米的无底无盖的圆柱。制作一个这样的“博士帽”至少需要多少平方厘米的黑色卡纸？ 考点十七 组合体的体积（长方体、正方体） 母题精讲（2025·四川成都·小升初真题）求这个图形的表面积和体积。（单位：厘米） 举一反三（23-24五年级下·四川达州·期末）用若干个体积为1cm3的小正方体拼成一个立体图形，分别从它的前面、右面、上面看到的相应图形如图所示。这个立体图形的体积最多是（    ）cm3。 A．9 B．10 C．11 D．12 考点十八 组合体的体积（圆柱、圆锥） 母题精讲（2025·安徽合肥·小升初真题）据推断，陀螺产生于我国宋朝，相关古籍记载了当时流行于北京的一句童谣“杨柳儿活，抽陀螺同现代的陀螺玩法完全一样。如图，一个陀螺上面是圆柱，且圆锥的高是圆柱高的。已知圆柱的底面直径是10厘米，高是8厘米，这个陀螺的体积是多少立方厘米？ 举一反三（2025·云南昆明·小升初模拟）下面是三个图形的旋转。 （1）图②中长方形绕一条边旋转一周，得到图形的体积，是图①中直角三角形绕直角边旋转一周，得到图形体积的多少倍？并请说明理由。 （2）图③中平行四边形绕AB边旋转一周，得到图形的体积是多少？ 考点十九 不规则物体的体积算法（长方体、正方体) 母题精讲（2025·河北保定·小升初模拟）在一个圆柱形的水桶里，垂直放入一段半径是2cm的圆钢，如果把它完全放入水中，桶里的水就上升10cm，如果把水中的圆钢露出水面6cm，那么这时桶里的水就下降3cm。这根圆钢的高是( )cm，体积是( )cm3。 举一反三（2025·湖南长沙·小升初真题）如图①，在底面积为100平方厘米、高为20厘米的长方体水槽内放一个圆柱烧杯，以恒定不变的流量速度先向烧杯中注水，注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽为止，此过程中，烧杯本身的质量、体积忽略不计，烧杯在大水槽中的位置始终不改变，水槽中水面上升的高度h（cm）与注水时间t（s）之间的关系如图②所示。 （1）图②中，点_____表示烧杯中刚好注满水，点_____表示水槽中水面恰好与烧杯中水面平齐。 （2）求烧杯的底面积及注满水槽所用的时间。 考点二十 不规则物体的体积算法（圆柱、圆锥） 母题精讲（2025·湖北十堰·小升初真题）小东测量瓶子的容积（如下图），测得瓶子的底面直径是10厘米，然后给瓶子内盛入一些水，正放时水高15厘米，倒放时水高25厘米，瓶子深30厘米。这个瓶子的容积是多少毫升？（π取3.14）（单位：厘米） 举一反三（2025·山东·小升初真题）同学们，你做过“鸡蛋浮起来”的实验吗？这个科学实验中也有许多数学问题。 实验名称：鸡蛋、鸭蛋浮起来。 准备材料：一个圆柱形玻璃杯，半径5厘米，1个鸡蛋（小）、1个鸭蛋（大），一些水和盐。 实验过程： （1）往杯子里加水，加盐搅拌，测量盐水的高度是8.4厘米； （2）放入1个鸡蛋，这时水面上升到9厘米； （3）放入1个鸭蛋，再测量水面高度。 观察记录：鸡蛋和鸭蛋都浮在水中，如图①所示。水面高度变化和三种物体体积情况如图②、③所示。 请根据实验所得数据，解答问题。 （1）鸡蛋的体积是多少立方厘米？ （2）放入鸭蛋以后水面上升了多少厘米？ 考点二十一 体积的等积变形（长方体、正方体） 母题精讲（2025·山东潍坊·小升初真题）如下图，甲圆柱形容器是空的，乙长方体容器中水深6.28cm，将乙容器中的水全部倒入甲容器中，这时水深( )cm；如果倒入与这个圆柱底面积之比是5∶1的圆锥形容器中，刚好倒满，那么圆锥的高是( )cm。 举一反三（2025·湖南长沙·小升初真题）有甲、乙两种长方体容器。甲容器长、宽、高分别为10厘米、3厘米、10厘米，乙容器长、宽、高分别是5厘米、4厘米、15厘米。已知甲容器中装有水，将其倾斜，水面刚好如下图所示。乙容器是空的。如果将甲容器中的水倒一部分到乙容器，使得甲、乙容器中的水面一样高，那么需要从甲容器中倒出多少水？ 考点二十二 体积的等积变形（圆柱、圆锥) 母题精讲（2024·江苏常州·小升初真题）如图，将一个由圆柱和圆锥组合成的容器（圆柱的高是8厘米，圆锥的高是3厘米）倒置后，水面高7厘米。如果把这个容器正放，那么容器内水面的高是( )厘米。 举一反三（2024·河北邢台·小升初真题）健身房有一个圆柱形沙包，量得沙包的底面直径为2分米，高是8分米，在一次训练中，沙包底破了，沙子全部流到地上形成了一个高是4分米的圆锥形沙堆，这个沙堆的占地面积是多少平方分米？（忽略沙包皮厚度） 分●层●训●练 【基础能力夯实】 1．有一个无盖的正方体纸盒，下底标有字母“M”，如果沿棱长剪开并展开成平面图形，会是（    ）。 A．B． C． D． 2．（2024·江苏南京·小升初真题）有一个圆柱形纸筒，底面直径8cm，高4cm，侧面积是（    ）cm2。 A．16π B．32π C．64π 3．（2024·江苏苏州·小升初真题）如图是一个正方体纸盒的展开图，如果再把它折成一个正方体，5的对面是（    ）。 A．1 B．2 C．3 D．6 4．（2024·江苏无锡·小升初真题）如图是一个正方体的展开图，在原正方体上，两个相对面的两数之和最大是( )。 5．将一段长4m的长方体木料横截成3段，表面积增加了1.6m2，这段长方体木料原来的体积是( )m3。 6．（2024·江苏连云港·小升初真题）如图正方体、圆柱和圆锥的底面积相等，高也相等。如果圆锥的高是10分米，那么圆柱的底面积是( )平方分米，正方体的体积是( )立方分米。 7．（2025·江苏苏州·小升初真题）一个表面涂色的大正方体，用激光把它切割成若干个体积是1立方厘米的小正方体。已知一面涂色的小正方体24个，未涂色的小正方体有( )个，这个大正方体的体积是( )立方厘米。 8．（2024·河北秦皇岛·小升初真题）长方体、正方体、圆柱和圆锥都可以用“底面积×高”来计算体积。( )（判断对错） 9．（2024·江苏·小升初模拟）求出下面这根塑料管材所用塑料的体积。（单位：分米） 10．（2025·江苏苏州·小升初真题）学校新建了一个花坛，底面是边长1.5米的正方形，高0.6米，四周用砖头砌成。砖的厚度是0.2米。 （1）如果在花坛的侧面贴上瓷砖，至少需要多少平方米的瓷砖？ （2）在花坛的中间填满泥土，大约要多少立方米的泥土？如果每立方米泥土的费用约是36元，一共需要多少钱？ 【思维拓展拔尖】 1．一个圆柱的侧面展开后是正方形，这个圆柱的底面直径与高的比是（    ）。 A．2π∶1 B．1∶1 C．1∶π D．π∶1 2．（2025·江苏无锡·小升初真题）在一块正方形铁皮上剪下一个圆和一个扇形，恰好围成一个高是6厘米的圆锥模型（如图）。如果圆的半径为a厘米，扇形的半径为b厘米，那么b∶a的比值是（    ）。 A．3 B．4 C．4.5 D．3.5 3．下图是测量一个铁球体积的过程：①将300mL的水倒入一个容积是500mL的杯子中；②将四个相同的铁球放入水中，水没有满；③再将一个同样的铁球放入水中，水满溢出。根据以上测量过程推测一个铁球的体积是在（    ）。 A．50cm3以上60cm3以下 B．30cm3以上40cm3以下 C．40cm3以上50cm3以下 D．无法确定 4．（2025·江苏苏州·小升初真题）一个底面是正方形的长方体，侧面展开后也是正方形。如果它的底面积是6平方分米，那么它的表面积是( )平方分米；如果它的底面边长是6厘米，那么它的体积是( )立方厘米。 5．（2025·江苏无锡·小升初真题）小芳先把一个棱长为8厘米的正方体表面涂上了红色，再切成棱长为2厘米的小正方体，切好后数一数发现两面涂上红色的有( )个。 6．（2025·江苏淮安·小升初真题）一个长方体的展开图如图所示（单位：厘米）。涂色部分的面积之和为35平方厘米。这个长方体的表面积是________平方厘米。 7．用8个1立方分米的正方体堆成一个大正方体，大正方体的底面周长是16分米。( )（判断对错） 8．计算下图的体积。 9．（2025·江苏无锡·小升初真题）一个圆锥体的底面周长是12.56分米，高6分米。 （1）这个圆锥体所占的空间是多少立方分米？ （2）如果给这个圆锥形物体做一个长方体的包装盒，至少要多少平方分米的硬纸板？ 10．（2024·江苏无锡·小升初真题）小红家新买了一个长8分米、宽6分米、高6分米的长方形玻璃鱼缸，小红在这个鱼缸内放入了体积约4立方分米的养鱼装饰物。正常情况下，鱼缸水位至少要比鱼缸口低0.5分米，照此计算，最多还能再加入多少升的水？（鱼缸玻璃厚度忽略不计） 试卷第2页，共121页 试卷第2页，共33页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026年小升初数学二轮复习之必备知识考点清单真题汇编讲练•江苏专用 专题09 立体图形的认识与测量（必备知识&二轮复习+考点清单） 【解析版】 内●容●导●航 第一部分 导图指引 构建思维框架。明确攻坚方向 第二部分 知识清单 洞察考点考向，提炼通用解法 知识点01：圆柱与圆锥的测量 知识点02：用排水法计算不规则物体的体积 知识点03：立体图形的表面积和体积计算常用公式： 知识点04：解决立体图形的表面积和体积问题时的注意事项 第三部分 考点讲练 重点难点分析，强化解题技能 考点序列 考点名称 考点序列 考点名称 考点一 观察物体 考点十三 圆柱的容积 考点二 立体图形的认识 考点十四 圆柱与圆锥体积的关系 考点三 长方体的表面积计算与应用 考点十五 圆锥的体积（容积） 考点四 正方体的表面积计算与应用 考点十六 组合体的表面积（长方体、正方体） 考点五 长方体的体积的计算与应用 考点十七 组合体的表面积（圆柱) 考点六 正方体的体积的计算与应用 考点十八 组合体的体积（长方体、正方体） 考点七 长方体、正方体的容积 考点十九 组合体的体积（圆柱、圆锥） 考点八 表面涂色的正方体 考点二十 不规则物体的体积算法（长方体、正方体) 考点九 圆柱的侧面积的计算与应用 考点二十一 不规则物体的体积算法（圆柱、圆锥） 考点十 圆柱的表面积的计算与应用 考点二十二 体积的等积变形（长方体、正方体） 考点十一 圆柱的体积的计算与应用 考点二十三 体积的等积变形（圆柱、圆锥) 第四部分 分层训练 基础能力夯实，思维拓展拔尖 导●图●指●引 知●识●清●单 知识点01 圆柱与圆锥的测量 知识必备 圆柱的侧面积、表面积 (1)圆柱的侧面积=底面周长×高,用字母表示为:S侧=πdh(或2πrh)　 (2)圆柱的表面积=底面积×2+侧面积　,用字母表示为:S= 2πr2+2πrh　　 2.圆柱的体积=底面积×高,用字母表示为:V=πr2h 。  3.圆锥的体积=×底面积×高,用字母表示为:V=　πr2h　 知识点02 用排水法计算不规则物体的体积 知识必备 1.体积小的物体可以直接放入有水的长方体或圆柱等规则的容器里,观察水面所处的刻度的变化　体积差　就是物体的体积。  2.体积大的物体,可以放入装满水的长方体或圆柱等规则的容器里,排出水的　体积　就是物体的体积。 知识点03 立体图形的表面积和体积计算常用公式 知识必备 立体图形 表面积 体积 长方体 S=2 ：长 b:宽 h：高 S：表面积 正方体 S= ：棱长 S：表面积 圆柱 圆锥 注：是母线，即从顶点到底面圆上的线段长 知识点04 解决立体图形的表面积和体积问题时的注意事项 知识必备 （1）要充分利用正方体六个面的面积都相等，每个面都是正方形的特点. （2）把一个立体图形切成两部分，新增加的表面积等于切面面积的两倍；反之，把两个立体图形拼合到一起，减少的表面积等于重合部分面积的两倍。 （3）若把几个长方体拼成一个表面积最大的长方体，应把它们最小的面拼合起来；若把几个长方体拼成一个表面积最小的长方体，应把它们最大的面拼合起来。 解答立体图形的体积问题时，要注意以下几点 （1）物体沉入水中，水面上升部分的体积等于物体的体积；把物体从水中取出，水面下降部分的体积等干物体的体积，这是物体全部浸没在水中的情况。如果物体不全部浸在水中，那么排开水的体积就等于浸在水中的那部分物体的体积. （2）把一种形状的物体变为另一种形状的物体后，形状变了，但它的体积保持不变. （3）求一些不规则物体体积时，可以通过变形的方法求体积。 （4）求与体积相关的最大、最小值时，要大胆想象，多思考、多尝试，防止思维定势。 考●点●讲●练 考点一 观察物体 母题精讲（2024·江苏泰州·小升初真题）下面叙述正确的有（    ）个。 ①2024年第一季度有90天。 ②整数是指自然数和负整数。 ③百米赛跑的速度和时间成反比例。 ④小明把一个实际长度是0.3毫米的零件画到300∶1的图纸上，应画9厘米。 ⑤用同样大的小正方体摆一个物体，从前面和右面看到的图形如图所示，这个物体最少由5个小正方体摆成。 ⑥一个等腰三角形相邻两条边长度比是2∶1，如果周长是20厘米，那么腰长8厘米或5厘米。 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【思路引导】①先判断2024年是闰年还是平年，进一步确定2月份的天数后，计算第一季度的天数； ②整数可以分为正整数，0和负整数，正整数和0是自然数； ③判断两种量成正比例还是成反比例时，关键看这两种相关联的量中相对应的两个数是比值一定还是乘积一定。如果比值一定，就成正比例；如果乘积一定，就成反比例；如果比值和乘积都不是定量，就不成比例； ④图上距离＝实际距离×比例尺，代入数值即可解答； ⑤根据从前面看到的图形，则该立体图形有上下两层；根据从右面看到的图形，则该立体图形有前后两排，且后排是两层的； ⑥当腰和底边长度比是2∶1，计算腰和底边长度；当底边和腰长度比是2∶1，再计算腰和底边长度；据此解答。 【完整解答】①2024÷4＝506，2024年是闰年，2月有29天，31＋29＋31＝91（天）；原题说法错误； ②整数可以分为正整数，0和负整数，正整数和0又是自然数，所以整数是指自然数和负整数的说法正确； ③路程＝速度×时间，百米赛跑的路程一定，速度和时间成反比例；原题说法正确； ④300×0.3＝90（毫米），90毫米＝9厘米，原题说法正确； ⑤根据分析，该立体图形可以是前排只有一层有3个小正方体，后排的中间是上下叠放的2个小正方体（立体图形的拼法不唯一，符合题意即可），3＋2＝5；原题说法正确； ⑥当腰和底边长度比是2∶1时，底边20÷（2＋2＋1）＝20÷5＝4（厘米），腰2×4＝8（厘米）；当底边和腰长度比是2∶1时，腰20÷（2＋2＋1）＝20÷5＝4（厘米），底边2×4＝8（厘米），因为4＋4＝8（厘米），所以此时围不成三角形；所以腰长只能是8厘米；原题说法错误。 故上面叙述正确的有4个。 故答案为：C 举一反三（2024·江苏镇江·小升初真题）用一些大小相同的小正方体搭一个立体图形，如图是从不同方向观察后画出的图形。搭这个立体图形用了（    ）个小正方体。 A．6 B．7 C．8 D．13 【答案】A 【思路引导】据图可知，从上面看有2层，上层是1个正方形，左对齐，下层是4个正方形；从正面看有2层，最上层有1个正方形，左对齐，下层有4个正方形；从右面看有2层，最上层是1个正方形，左对齐，下层有2个正方形；据此可知这个立体图形有2层，上层有1个正方体；下层有5个正方体，据此画图并解答即可。 【完整解答】1＋5＝6（个） 根据分析可知：搭这个立体图形用了6个小正方体，如图所示：。 故答案为：A 考点二 立体图形的认识 母题精讲（2025·吉林长春·小升初真题）如图，第1个图形是一个水平摆放的小正方体木块，第2个图形和第3个图形是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律继续叠放下去，第7个图中，从正面看，看不到的木块应有（    ）。 A．91块 B．112块 C．120块 D．140块 【答案】B 【思路引导】这道题的核心分析思路是找规律计算“总木块数”和“正面看得到的木块数”，再求差值（看不到的木块数）。找总木块数的规律：第1个图形小正方体的个数是1，第2个图形小正方体的个数是个，第3个图形小正方体的个数是个，依此类推；找正面可见木块数的规律：从正面看，每个层看得到的木块数是“层数”（第1层1块，第2层2块，…，第层块），第个图的正面可见木块数是；据此解答。 【完整解答】第7个图形中木块的总数是： （块） 第7个图形中看得到的块数是： （块） 第7个图形中看不到的块数是： （块） 故答案为：B 【考点剖析】本题核心考查“图形规律探索，立体空间想象，数列运算”的综合能力，需通过观察图形推导数量规律，结合平方数、等差数列求和计算，同时想象立体结构区分可见和不可见木块。 举一反三（2025·甘肃庆阳·小升初真题）小辰用相同的小正方体搭一个立体图形，从上面看是，从左面看是，搭成这样的立体图形最多要用（    ）个小正方体。 A．6 B．8 C．9 【答案】C 【思路引导】要确定最多用多少个小正方体，需结合图片从上面看的形状（底层布局）和从左面看的形状（层数限制）分析。从上面看的形状显示，底层有 5 个小正方体。从左面看的形状显示，立体图形最多有 2 层；再确定总数量。 【完整解答】1．先看从上面看的图形，确定底层有 5 个小正方体（布局：第1列2个，第2、3、4列各1个）。 2．再看从左面看的图形，知道立体图形可以有2层。 3．要最多，就在底层的第二行每个小正方体的上方都放1个（符合左面视图的层数要求），上层可以放 4 个。 4．总数：5＋4＝9个。 故答案为：C。 【考点剖析】解题关键： 抓“底层布局”：“从上面看”直接决定底层的数量和排列，是解题的基础。 抓“层数限制”：“左面/正面”视图决定了每一列（或每一行）的最大层数，是确定上层数量的核心限制。 考点三 长方体的表面积计算与应用 母题精讲（2025·江苏苏州·小升初真题）一个长方体是由三个同样大小的正方体拼成的，如果去掉最右边的一个正方体，表面积就比原来减少30cm2，原来长方体的表面积是( )cm2。 【答案】105 【思路引导】根据题意，如果去掉最右边的一个正方体，表面积就比原来减少30cm2，减少的是正方体的4个面（即上下面、前后面）的面积，用减少的表面积除以4，求出正方体一个面的面积； 用三个同样大小的正方体拼成的一个长方体，那么长方体的表面积等于（3×4＋2）个正方形的面积之和，再乘一个面的面积，即是原来长方体的表面积。 【完整解答】如图： 正方体一个面的面积：30÷4＝7.5（cm2） 7.5×（3×4＋2） ＝7.5×（12＋2） ＝7.5×14 ＝105（cm2） 原来长方体的表面积是105cm2。 举一反三（2024·江苏南通·小升初真题）如图，木匠王师傅将三个棱长为2分米的小正方体拼成长方体，并用木胶粘牢。如果粘黏部分厚度不计，这个长方体的表面积是( )平方分米，体积是( )立方分米。王师傅把这个长方体加工成一个最大的圆锥，这个圆锥的体积是( )立方分米。 【答案】 56 24 6.28 【思路引导】根据题干，粘成后长方体的体积就是这几个正方体的体积之和，而粘成后的表面积减少了2×2＝4个正方体的面，根据、正方体的表面积公式。最大的圆锥的底面直径等于小正方体的棱长，圆锥的高是小正方体棱长的3倍，根据半径＝直径÷2，圆锥的体积公式，代入数据计算即可得解。 【完整解答】 （平方分米） （立方分米） （立方分米） 木匠王师傅将三个棱长为2分米的小正方体拼成长方体，并用木胶粘牢。如果粘黏部分厚度不计，这个长方体的表面积是56平方分米，体积是24立方分米。王师傅把这个长方体加工成一个最大的圆锥，这个圆锥的体积是6.28立方分米。 考点四 正方体的表面积计算与应用 母题精讲（2024·江苏泰州·小升初真题）把一个底面直径和高都是4cm的圆柱的侧面沿虚线剪开，得到一个不规则图形（如图），这个不规则图形的面积是( )cm2；如果给原来的这个圆柱做一个正方体包装盒，至少需要硬纸板( )cm2（接头处面积不计）。 【答案】 50.24 96 【思路引导】看图可知，圆柱的侧面沿虚线剪开，得到一个不规则图形，这个不规则图形的面积＝圆柱侧面积，圆柱侧面积＝底面周长×高； 正方体包装盒的棱长＝圆柱的底面直径，根据正方体表面积＝棱长×棱长×6，求出需要的硬纸板的面积。 【完整解答】3.14×4×4＝50.24（cm2） 4×4×6＝96（cm2） 这个不规则图形的面积是50.24cm2；至少需要硬纸板96cm2。 举一反三（2024·江苏南京·小升初真题）如图，一个长方体是由三个同样大小的正方体拼成的，如果去掉一个正方体，表面积就比原来减少30cm2，原来长方体的表面积是( )cm2。 【答案】105或210 【思路引导】如果去掉一个正方体，有两种情况：去掉两边的任意一个或中间的一个，表面就少了4个面或2个面，表面积比原来减少30平方厘米，所以用30÷4或30÷2求出正方体的一个面的面积，然后由图可知：把三个同样大小的正方体拼成一个大长方体，少了4个面，长方体的表面积即（6×3－4）个正方形面的面积和，进而解答即可。 【完整解答】30÷4×（6×3－4） ＝7.5×14 ＝105（平方厘米） 30÷2×（6×3－4） ＝15×14 ＝210（平方厘米） 原来长方体的表面积是105平方厘米或210平方厘米。 考点五 长方体的体积的计算与应用 母题精讲（2024·江苏南通·小升初真题）一个长方体的棱长之和为72厘米，相交于同一个顶点的三条棱长度比是5∶3∶1。这个长方体的体积是（    ）立方厘米。 A．216 B．184 C．7680 D．120 【答案】D 【思路引导】根据长方体的棱长和＝（长＋宽＋高）×4，可以用除法得出长、宽、高的和是18厘米，再按比分配分别得出长是10厘米，宽是6厘米，高是2厘米，最后根据代入公式计算即可。 【完整解答】72÷4＝18（厘米） 18×＝10（厘米） 18×＝6（厘米） 18×＝2（厘米） 10×6×2＝120（立方厘米） 则这个长方体的体积是120立方厘米。 故答案为：D 举一反三（2024·江苏泰州·小升初真题）一个空的无盖的长方体玻璃缸，从里面量，长50厘米，宽24厘米，高28厘米。10：00打开水龙头向里面注水，水的流速为8000立方厘米/分，10：03时关闭水龙头停止注水。然后把一个高15厘米的圆柱体铁块缓慢放入玻璃缸，直到完全浸没在玻璃缸的水中。玻璃缸内水面高度从注水到放入铁块后的变化情况如图。 （1）图中点（    ）的位置表示停止注水。（从A、B、C中选择） （2）10：03时玻璃缸内水面的高度为多少厘米？ （3）圆柱体铁块的底面积是多少平方厘米？ 【答案】（1）B；（2）20厘米；（3）320平方厘米 【思路引导】（1）根据题意并通过观察折线统计图可知，B点的位置表示停止注水。 （2）先用10：03－10列式求出注水的时间，再根据注水的体积＝每分钟的注水量×注水时间，根据长方体的体积（容积）公式：V＝Sh，那么h＝V÷S，把数据代入公式求出10：03时玻璃缸内水面的高度。 （3）铁块的体积等于上升部分水的体积，由图可知，上升的水的高度为24－20＝4厘米，根据圆柱的体积公式：V＝Sh，那么S＝V÷h，把数据代入公式解答。 【完整解答】（1）如图中，B点的位置表示停止注水。 （2）10：03－10时＝3（分） 8000×3＝24000（立方厘米） 24000÷（50×24） ＝24000÷1200 ＝20（厘米） 答：10：03时玻璃缸内水面的高度为20厘米。 （3）50×24×（24－20）÷15 ＝1200×4÷15 ＝4800÷15 ＝320（平方厘米） 答：圆柱体铁块的底面积是320平方厘米。 考点六 正方体的体积的计算与应用 母题精讲（2024·江苏宿迁·小升初模拟）在一个底面积72平方厘米、高10厘米的长方体容器中，水深2厘米。如果放入一个棱长6厘米的正方体铁块，这时水深( )厘米。 【答案】4 【思路引导】将一个物体放入长方体容器中，水面上升的高度对应的体积就是这个物体的体积。题中放入正方体棱长是6厘米，超过了水深2厘米，则这个正方体只有一部分没入水中。而容器内水得体积没有发生变化，在放入正方体铁块后，水面升高，长方体容器的底面积减少了正方体铁块的一个面的面积，据此求出长方体容器内水的体积，再除以变化后的底面积可得到水深。 【完整解答】放入物体后水深是： 72×2÷（72－6×6） ＝72×2÷（72－36） ＝72×2÷36 ＝4（厘米） 即这时的水深是4厘米。 举一反三（2024·江苏连云港·小升初真题）有一个棱长是6分米的正方体铁块。如果将它熔铸成一个圆柱，那么这个圆柱的体积是________立方分米。如果将这个正方体铁块削成一个最大的圆锥，那么这个圆锥的体积是________立方分米。 【答案】 216 56.52 【思路引导】正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，将正方体熔铸成一个圆柱，圆柱的体积等于正方体的体积；这个正方体铁块削成一个最大的圆锥，则圆锥的高和底面直径等于正方体的棱长，圆锥的体积＝底面积×高÷3，用字母表示为：V＝πr2h，据此列式即可。 【完整解答】6×6×2＝216（立方分米） 3.14×（6÷2）2×6× ＝3.14×32×6× ＝3.14×9×6× ＝169.56× ＝56.52（立方分米） 圆柱的体积是216立方分米，圆锥的体积是56.52立方分米。 考点七 长方体、正方体的容积 母题精讲（2024·江苏南通·小升初真题）如图，以三个同样的长方形的长作底面周长，宽作高，分别可以卷成一个长方体、正方体和圆柱，再分别给它们做一个底面。做成的三个容器的容积相比，（    ）。 A．甲最大 B．乙最大 C．丙最大 D．同样大 【答案】C 【思路引导】由题意可知，长方形的长等于各容器的底面周长，假设出长方形的长和宽，分别求出甲容器底面长方形的长和宽，乙容器底面正方形的边长，丙容器底面圆的半径，再根据“”“”“”求出各容器的容积，最后比较大小，据此解答。 【完整解答】假设长方形的长为4厘米，宽为1厘米。 甲：4÷2＝2（厘米） 1.8＋0.2＝2（厘米） 假设长方体的长为1.8厘米，宽为0.2厘米。 1.8×0.2×1＝0.36（立方厘米） 乙：4÷4＝1（厘米） 1×1×1＝1（立方厘米） 丙：4÷÷2 ＝4÷2÷ ＝2÷ ＝（厘米） ××1 ＝× ＝ ≈1.27（立方厘米） 因为1.27立方厘米＞1立方厘米＞0.36立方厘米，所以丙容器的容积最大。 故答案为：C 举一反三（2024·江苏无锡·小升初真题）学校劳技社团制作了一个水箱，相关数据如下图1所示；打开水龙头，给这个水箱注水，注水时间和水位高度如下图2所示，其中B点的水位高度是A点水位高度的2倍。 （1）由图可知，（    ）秒后水箱注满了水，此时应该关闭水龙头。 （2）以0.1升/秒的速度往水箱里注水，可求得这个水箱的容积是（    ）升。 （3）通过计算求出这个水箱的高度h。（单位：分米） 【答案】（1）60； （2）6； （3）1.5分米 【思路引导】（1）通过观察图形可知，60秒后水箱注满了水，此时应该关闭水龙头。 （2）根据乘法的意义，用每秒注水的体积乘注水的时间即可。 （3）通过观察统计图可知，当注水高度达到A点时用了45秒，求出45秒注水的体积，根据长方体的体积公式：V＝Sh，那么h＝V÷S，把数据代入公式求出45秒注水的高度，45秒注水的高度是水箱高度的一半，据此可以求出水箱的高。 【完整解答】（1）由图可知，60秒后水箱注满了水，此时应该关闭水龙头。 （2）0.1×60＝6（升） 所以，这个水箱的容积是6升。 （3）0.1×45＝4.5（升） 4.5升＝4.5立方分米 4.5÷（3×2）×2 ＝4.5÷6×2 ＝0.75×2 ＝1.5（分米） 答：这个水箱的高度是1.5分米。 【考点剖析】此题考查的目的是理解掌握折线统计图的特点及作用，长方体的体积（容积）公式及应用，关键是熟记公式。 考点八 表面涂色的正方体 母题精讲（2025·江苏淮安·小升初真题）将一个棱长5厘米的正方体木块表面涂色后切割成棱长1厘米的小正方体（无损耗），其中两面涂色的有（    ）个。 A．8 B．27 C．36 D．54 【答案】C 【思路引导】因为5÷1＝5（个），所以大正方体每条棱长上都有5个小正方体；根据立体图形的知识可知：三个面均为涂色的是各顶点处的小正方体；在各棱处，除去顶点处的小正方体都是两面涂色；在每个面上除去棱上的小正方体都是一面涂色；根据上面的结论，即可求得答案。 【完整解答】5÷1＝5（个） （5－2）×12 ＝3×12 ＝36（个） 其中两面涂色的有36个。 故答案为：C 举一反三（2024·浙江杭州·小升初真题）用32个棱长1cm的白色小正方体与32个棱长1cm的蓝色小正方体拼成一个大正方体。如果使蓝色的面向外露的面积最大，那么这个大正方体的6个面上有( )cm2是蓝色的。 【答案】72 【思路引导】大正方体顶点处小正方体有3个面露在外面，大正方体棱上（不含顶点处）小正方体有2个面露在外面，把32个棱长1厘米的蓝色小正方体放8个顶点处，剩下32－8＝24个放在大正方体的棱上（不含顶点处），由于一条棱可以放2个，那么12条棱可以放：12×2＝24个，正好放完，这样蓝色的面向外露的面积最大，据此进一步计算即可。 【完整解答】1×1×3×8＋1×1×2×（32－8） ＝1×1×3×8＋1×1×2×24 ＝24＋48 ＝72（cm2） 用32个棱长1cm的白色小正方体与32个棱长1cm的蓝色小正方体拼成一个大正方体。如果使蓝色的面向外露的面积最大，那么这个大正方体的6个面上有72cm2是蓝色的。 考点九 圆柱的侧面积的计算与应用 母题精讲（2024·江苏无锡·小升初真题）把一个底面半径为4厘米、高为5厘米的圆柱沿侧面虚线剪开后得到一个平行四边形（如图），这个平行四边形的面积是( )平方厘米。 【答案】125.6 【思路引导】圆柱侧面斜着剪开后得到一个平行四边形，平行四边形的底＝圆柱底面周长，平行四边形的高＝圆柱的高，平行四边形面积＝圆柱侧面积，根据圆柱侧面积＝底面周长×高，列式计算即可。 【完整解答】2×3.14×4×5 ＝25.12×5 ＝125.6（平方厘米） 这个平行四边形的面积是125.6平方厘米。 举一反三（2025·江苏苏州·小升初真题）一个圆柱只把高减少3厘米，表面积减少94.2平方厘米，体积减少( )立方厘米。 【答案】235.5 【思路引导】根据题意可知，减少的表面积就是底面等于原来圆柱的底面，高是3cm的圆柱的侧面积，根据圆柱的侧面积＝底面周长×高，底面周长＝侧面积÷高，代入数据，求出底面周长；再根据圆的周长＝π×半径×2，直径＝周长÷π÷2，代入数据，求得底面半径，再根据圆柱的体积＝底面积×高，据此求出高是3厘米的圆柱的体积，也就是减少的体积，即可解答。 【完整解答】94.2÷3＝31.4（厘米） 31.4÷3.14÷2 ＝10÷2 ＝5（厘米） 3.14×52×3 ＝3.14×25×3 ＝78.5×3 ＝235.5（立方厘米） 一个圆柱只把高减少3厘米，表面积减少94.2平方厘米，体积减少235.5立方厘米。 考点十 圆柱的表面积的计算与应用 母题精讲（2024·江苏宿迁·小升初模拟）一个圆柱体油箱，从里面量直径是40厘米，高是60厘米。 （1）做这样一个油桶，至少需用铁皮多少平方分米？ （2）如果1升汽油重0.85千克，这个油桶可装汽油多少千克？（得数保留整千克数） 【答案】（1）100.48平方分米 （2）64千克 【思路引导】（1）由于油桶是有盖的，做这个油桶需要铁皮多少平方分米，相当于是求油桶的表面积，根据圆柱的表面积＝πdh＋2πr2，把数值代入即可求解； （2）如果1升汽油重0.85千克，即圆柱形油桶能装多少升汽油，根据圆柱的体积＝Sh，把数值代入即可求出能装多少体积的汽油，再把得出的结果换算成以升为单位的数，最后再乘0.85即可求出能装多少千克，结果保留整数即可。 【完整解答】（1）40厘米＝4分米，60厘米＝6分米 3.14×4×6＋3.14×（4÷2）2×2 ＝3.14×24＋3.14×22×2 ＝75.36＋3.14×4×2 ＝75.36＋3.14×8 ＝75.36＋25.12 ＝100.48（平方分米） 答：至少需用铁皮100.48平方分米。 （2）40厘米＝4分米，60厘米＝6分米 3.14×（4÷2）2×6 ＝3.14×22×6 ＝3.14×4×6 ＝3.14×24 ＝75.36（立方分米） 75.36立方分米＝75.36升 0.85×75.36＝64.056≈64（千克） 答：这个油桶可装汽油64千克。 举一反三（2024·江苏镇江·小升初真题）数学家阿基米德用“圆柱容球”实验（如图），发现了球的表面积正好是圆柱表面积的，如果圆柱的底面半径为3分米，则球的表面积是( )平方分米。 【答案】113.04 【思路引导】首先明确要计算球的表面积，需依据球的表面积与圆柱表面积的关系，即球的表面积是圆柱表面积的，所以要先求出圆柱的表面积。计算圆柱表面积时，要分别算出圆柱的底面积和侧面积。计算底面积需用到园的面积公式，已知底面半径，可求出一个底面面积，再乘2得到两个底面面积。计算侧面积要根据圆柱侧面积公式，结合已知的底面半径和由图得出的高来计算。最后将底面积和侧面积相加得到圆柱表面积。得到圆柱表面积后，根据球与圆柱表面积的关系，用圆柱表面积乘，并带入π的值，从而算出球的表面积。 【完整解答】圆柱两个底面积：2×π×32＝ 18π（平方分米） 圆柱侧面积：2 ×π×3×（2×3）＝ 36π（平方分米 ） 圆柱表面积：18π＋36π＝54π（平方分米） 球的表面积：×54π＝36π，36×3.14＝113.04（平方分米） 则球的表面积是113.04平方分米。 考点十一 圆柱的体积的计算与应用 母题精讲（2024·江苏苏州·小升初真题）赵师傅向下图所示的空容器（由上、下两个圆柱组成）中匀速注油，注满结束。注油过程中，容器中油的高度与所用时间的关系如图所示。 (1)把下面的大圆柱注满需( )分钟。 (2)上面小圆柱高( )厘米。 (3)如果下面的大圆柱底面积是48平方厘米，那么大圆柱的体积是多少立方厘米？上面小圆柱的底面积是多少平方厘米？ 【答案】(1) (2)30 (3)960立方厘米；16平方厘米 【思路引导】（1）根据图像的高度判断，两段图像分别对应的是向大圆柱和小圆柱注油的过程；图像发生转折的时间，即为大圆柱注满的时间。 （2）用最终高度减去大圆柱注满的高度，即可求出小圆柱的高； （3）根据圆柱的体积＝底面积×高，求出大圆柱的体积即可。先用大圆柱的体积除以注满大圆柱的时间，计算出注油的速度，即每分钟注油的多少立方厘米；再计算出注满小圆柱所用的时间，二者相乘即可得出小圆柱的体积；最后用小圆柱的体积除以小圆柱的高度，求出小圆柱的底面积。 【完整解答】（1）由图可知，前一段油的高度较低，所对应的是向大圆柱注油的过程。图像在分钟处发生了转折，即为大圆柱注满的时间。 （2）由图可知，后一段油的高度较高，所对应的是向小圆柱注油的过程。整个容器注满时的高度是50厘米，大圆柱注满的高度是20厘米，所以小圆柱高是50－20＝30（厘米）。 （3）大圆柱的体积：48×20＝960（立方厘米） 小圆柱的底面积： = = =480（立方厘米） 480÷30＝16（平方厘米） 答：大圆柱的体积是960立方厘米，上面小圆柱的底面积是16平方厘米。 【考点剖析】本题主要考查根据图像获取信息的能力，通过分析图像中油的高度与时间的关系，确定大、小圆柱的高度。难点在于抓住“匀速注油”这一点，通过每分钟注油量，由大圆柱体积计算出小圆柱的体积，进而求出其底面积。 举一反三（2025·江苏苏州·小升初真题）如图，两个同样的量杯原来各盛有640毫升水。现将两个等底等高的圆柱与圆锥零件分别放入这两个量杯中，圆柱放入后量杯水面刻度如图①所示，那么图②中圆锥放入后量杯水面刻度显示应是( )毫升。 【答案】720 【思路引导】题目给出两个相同的量杯初始各有640毫升水，分别放入等底等高的圆柱和圆锥后，通过圆柱放入后水面上升的体积求出圆柱体积，再根据等底等高时圆柱体积是圆锥3倍的关系求出圆锥体积，最后将圆锥体积与初始水量相加得到最终水面刻度。 【完整解答】圆柱体积：880－640＝240（毫升） 圆锥体积：240÷3＝80（毫升） 最终刻度：640＋80＝720（毫升） 那么图②中圆锥放入后量杯水面刻度显示应是720毫升。 考点十二 圆柱的容积 母题精讲（2024·江苏连云港·小升初真题）一个圆柱形水池，从里面量得底面直径是8米，深3.5米。 ①在这个水池的底面和四周抹上水泥，抹水泥部分的面积是多少平方米？ ②这个水池最多能蓄水多少吨？（1立方米水重1吨） 【答案】①138.16平方米 ②175.84吨 【思路引导】①求水池的底面和四周抹上水泥的面积，就是求这个圆柱的表面积，即，侧面积＋一个底的面积＝抹水泥的部分的面积，圆柱侧面积＝底面周长×高，圆柱底面积＝圆周率×半径的平方，据此列式解答； ②求这个水池最多能蓄水多少吨，其实就是求水池的内部容积，根据圆柱体积＝底面积×高，求出容积再转化成水的重量。 【完整解答】①抹水泥的面积是： 3.14×8×3.5＋3.14×（8÷2）2 ＝87.92＋3.14×42 ＝87.92＋3.14×16 ＝87.92＋50.24 ＝138.16（平方米） 答：抹水泥的面积是138.16平方米。 ②蓄水的吨数： 1×[3.14×（8÷2）2×3.5] ＝1×[3.14×42×3.5] ＝1×[3.14×16×3.5] ＝1×175.84 ＝175.84（吨） 答：这个水池最多能蓄水175.84吨。 举一反三（2024·江苏·小升初模拟）如图所示，利用图中的阴影部分刚好能做成一个圆柱形的油桶（接头处忽略不计），这个油桶的底面直径是( )dm，油桶的容积是( )L。 【答案】 6 169.56 【思路引导】通过观察图形可知，这个油桶的底面周长和底面直径的2倍的和是30.84dm，油桶的高等于圆柱的底面直径，设圆柱油桶的底面直径为厘米，根据圆的周长公式：，底面周长＋直径×2＝30.84dm，列出方程可以求出圆柱的底面直径，再根据圆柱的容积（体积）公式：，把数据代入公式求出油桶的容积。 【完整解答】解：设圆柱油桶的底面直径为分米。 （立方分米） ＝169.56（升） 这个油桶的底面直径是6分米，油桶的容积是169.56升。 考点十三 圆柱与圆锥体积的关系 母题精讲把一个圆柱削成一个最大的圆锥，那么圆柱的体积和削去部分的体积比是（    ）。 A．2∶3 B．1∶3 C．2∶1 D．3∶2 【答案】D 【思路引导】把一个圆柱削成一个最大的圆锥，这个圆锥与原来圆柱是等底等高的，所以圆锥体积是圆柱体积的，则削去部分体积是圆柱体积的1－＝，然后写出对应的圆柱的体积和削去部分的体积比，最后根据比的基本性质化为最简整数比。 【完整解答】圆柱体积∶削去部分体积＝1∶（1－） ＝1∶ ＝（1×3）∶（×3） ＝3∶2 故答案为：D 举一反三（2024·江苏南通·小升初真题）青青在学习了圆柱和圆锥的体积知识后，她希望探究下面的问题：两个圆柱同底等高，将它们按照下图分别切割出与圆柱底面相等的圆锥，图①中两个圆锥的体积之和与图②中圆锥的体积相等吗？先判断再想办法说明理由。（可以在图上画一画来帮助说明哦！） 【答案】相等 【思路引导】分析题目，可以假设圆柱的底面直径是4，高是9，图①中上面的圆锥的高是6，则下面圆锥的高是（9－6），根据圆锥的体积＝π（d÷2）2h分别算出图①和图②中的圆锥的体积，再比较大小即可。 【完整解答】假设圆柱的底面直径是4，高是9，图①中上面的圆锥的高是6。 3.14×（4÷2）2×6×＋3.14×（4÷2）2×（9－6）× ＝3.14×22×6×＋3.14×22×3× ＝3.14×4×6×＋3.14×4×3× ＝12.56×6×＋12.56×3× ＝75.36×＋37.68× ＝25.12＋12.56 ＝37.68 3.14×（4÷2）2×9× ＝3.14×22×9× ＝3.14×4×9× ＝12.56×9× ＝113.04× ＝37.68 因为37.68＝37.68，所以图①中两个圆锥的体积之和与图②中圆锥的体积相等。 答：图①中两个圆锥的体积之和与图②中圆锥的体积相等。 考点十四 圆锥的体积（容积） 母题精讲（2025·江苏苏州·小升初真题）如图，圆锥形容器中有10升水，水的高度是圆锥高度的一半，这个容器还能装（    ）升水。 A．20 B．80 C．40 D．70 【答案】D 【思路引导】本题涉及圆锥体积公式V＝πr2h，通过分析水的圆锥和整个圆锥容器的底面半径、高的关系，求出体积倍数关系，进而计算容器还能装的水量。设圆锥容器的底面半径为R，高为h，则水形成的小圆锥的底面半径为，高为。分别计算水的体积和容器的体积，求出体积倍数关系，再用容器体积减去水的体积得到还能装的水量。 【完整解答】（1）计算水的体积V水 设圆锥容器底面半径为R，高为h，水形成的小圆锥面积底面半径r＝，高h水＝。 根据圆锥体积公式V＝πr2h，水的体积： V水＝π（）2×＝π××＝πR2h （2）计算容器的体积V容 容器体积：V容＝πR2h （3）求体积倍数关系 V容÷V水＝πR2h÷πR2h＝8，即容器体积是水的体积的8倍。 （4）计算还能装的水量： 已知水有10升，容器体积为10×8＝80（升），所以这个容器还能装80－10＝70（升）。 故答案为：D 【考点剖析】解决本题的关键是利用圆锥体积公式，结合水的圆锥和容器圆锥的高、底面半径的比例关系，求出体积倍数，进而算出还能装的水量。要注意理解相似圆锥（水形成的圆锥和容器圆锥）的半径、高的比例对体积的影响。 举一反三（2024·江苏无锡·小升初真题）一个圆锥形的沙堆，底面积是36平方米，高0.8米。用这堆沙子去填一个长6米，宽4米的长方体沙坑，沙坑里沙子的厚度约是多少米？ 【答案】0.4米 【思路引导】先根据圆锥体积公式求出沙堆体积，圆锥体积公式为V＝Sh（S是底面积，h是高）。再根据长方体体积公式求出沙坑中沙子厚度，长方体体积公式为V＝a×b×h（a为长，b为宽，h为高），这里沙子体积等于圆锥体积，已知长和宽，求高（即沙子厚度），用沙子体积除以长和宽的乘积。 【完整解答】×36×0.8 ＝12×0.8 ＝9.6（立方米） 9.6÷（6×4） ＝9.6÷24 ＝0.4（米） 答：沙坑里沙子的厚度约是0.4米。 考点十五 组合体的表面积（长方体、正方体） 母题精讲（2025·山东·小升初模拟）求下面立体图形的表面积和体积。（单位：cm） （1）（2） 【答案】（1）628cm2；1177.5cm3；（2）238cm2；195cm3 【思路引导】图1的圆柱： （1）圆柱表面积＝侧面积＋2个底面积，底面积（圆的面积）S底＝πr2，圆柱侧面积公式S侧＝2πrh； 圆柱体积V＝πr2h，代入对应数据计算。 （2）组合图形的表面积＝长方体表面积＋正方体4个面面积，长方体表面积S长＝（ab＋ac＋bc）×2，正方体4个面面积＝4a2； 组合图形的体积＝长方体体积＋正方体体积，长方体体积V长＝abh，正方体体积V正＝a3，代入对应数据计算。 【完整解答】（1）表面积： 3.14×5×2×15＋3.14×52×2 ＝15.7×2×15＋3.14×25×2 ＝31.4×15＋78.5×2 ＝471＋157 ＝628（cm2） 体积： 3.14×52×15 ＝3.14×25×15 ＝78.5×15 ＝1177.5（cm3） （2）表面积： （7×8＋7×3＋8×3）×2＋3×3×4 ＝（56＋21＋24）×2＋36 ＝101×2＋36 ＝202＋36 ＝238（cm2） 体积： 7×8×3＋3×3×3 ＝168＋27 ＝195（cm3） 举一反三（2025·四川绵阳·小升初真题）计算下图的表面积。（单位：cm） 【答案】1364 cm2 【思路引导】观察上图可知，长方体上面有一个小正方体，组合体的表面积等于长方体的表面积加正方体4个面的面积，长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，正方形的面积＝边长×边长，把数据代入分别计算出长方体的表面积和正方体4个面的面积，然后相加即可解答。 【完整解答】（20×10＋20×15＋10×15）×2＋4×4×4 ＝650×2＋64 ＝1300＋64 ＝1364（cm2） 图形的表面积是1364 cm2。 考点十六 组合体的表面积（圆柱) 母题精讲（24-25六年级下·江苏南京·期中）单板滑雪U型池赛是冬奥会的比赛项目，比赛在一个形状类似于U型滑道里进行，结构由宽阔平坦的底部和两侧的四分之一的圆管组成。U型池面的面积是多少平方米？ 【答案】368.4平方米 【思路引导】观察可知U型池面的面积由一个长是20米，宽是9米的长方形和一个底面半径是3米、高20米的圆柱的侧面积的一半组成，根据长方形面积＝长×宽，圆柱的侧面积公式，代入数据计算即可。 【完整解答】 （平方米） 答：U型池面的面积是368.4平方米。 举一反三（2024·山西晋城·小升初真题）如图的博士帽是用黑色卡纸做成的，上面是边长30厘米的正方形，下面是底面直径16厘米、高10厘米的无底无盖的圆柱。制作一个这样的“博士帽”至少需要多少平方厘米的黑色卡纸？ 【答案】1402.4平方厘米 【思路引导】根据题意和图意可知，制作一个这样的“博士帽”至少需要黑色卡纸的面积＝正方形的面积＋圆柱的侧面积，根据正方形的面积公式S＝a2，圆柱的侧面积公式S侧＝πdh，代入数据计算求解。 【完整解答】30×30＋3.14×16×10 ＝900＋502.4 ＝1402.4（平方厘米） 答：制作一个这样的“博士帽”至少需要1402.4平方厘米的黑色卡纸。 考点十七 组合体的体积（长方体、正方体） 母题精讲（2025·四川成都·小升初真题）求这个图形的表面积和体积。（单位：厘米） 【答案】600平方厘米；936立方厘米 【思路引导】观察图形可知，这个图形的表面积就等于棱长10厘米的正方体的表面积，利用正方体的表面积公式计算即可解答，正方体的表面积＝棱长×棱长×6；体积等于棱长10厘米的正方体与棱长4厘米的正方体的体积之差，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，据此即可解答。 【完整解答】10×10×6 ＝100×6 ＝600（平方厘米） 10×10×10－4×4×4 ＝100×10－16×4 ＝1000－64 ＝936（立方厘米） 所以这个图形的表面积是600平方厘米，体积是936立方厘米。 举一反三（23-24五年级下·四川达州·期末）用若干个体积为1cm3的小正方体拼成一个立体图形，分别从它的前面、右面、上面看到的相应图形如图所示。这个立体图形的体积最多是（    ）cm3。 A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【思路引导】根据立体图形的前面、右面、上面看到的平面图形可知，这个立体图形有两层，下层分两行，前一行有3个小正方体，后一行有2个小正方体，右齐，共有5个小正方体；上层分两行，前一行最多有3个小正方体，后一行最多有2个小正方体，共有5个小正方体；所以拼成这个立体图形最多用了10小正方体；最后用每个小正方体的体积乘小正方体的总个数，即是这个立体图形的体积。 【完整解答】拼成的立体图形如下图： 这个立体图形最多由10个小正方体拼成。 1×10＝10（cm3） 这个立体图形的体积最多是10cm3。 故答案为：B 考点十八 组合体的体积（圆柱、圆锥） 母题精讲（2025·安徽合肥·小升初真题）据推断，陀螺产生于我国宋朝，相关古籍记载了当时流行于北京的一句童谣“杨柳儿活，抽陀螺同现代的陀螺玩法完全一样。如图，一个陀螺上面是圆柱，且圆锥的高是圆柱高的。已知圆柱的底面直径是10厘米，高是8厘米，这个陀螺的体积是多少立方厘米？ 【答案】785立方厘米 【思路引导】这个陀螺是圆柱和圆锥的组合体，且圆锥和圆柱的底面是同一个圆（半径相同）。已知圆柱的高，圆锥的高是圆柱高的，用乘法求出圆锥的高。直径除以2即可求得圆柱和圆锥的底面圆半径。根据圆柱体积公式和圆锥体积公式，求出两者体积并相加，即可求得陀螺的体积。 【完整解答】计算圆锥的高： 计算圆柱和圆锥底面圆半径： 计算圆柱体积： 计算圆锥体积： 求陀螺体积： 答：这个陀螺的体积是785立方厘米。 举一反三（2025·云南昆明·小升初模拟）下面是三个图形的旋转。 （1）图②中长方形绕一条边旋转一周，得到图形的体积，是图①中直角三角形绕直角边旋转一周，得到图形体积的多少倍？并请说明理由。 （2）图③中平行四边形绕AB边旋转一周，得到图形的体积是多少？ 【答案】（1）3倍；理由见详解 （2）150.72立方厘米 【思路引导】（1）图①直角三角形绕直角边旋转一周，得到的是底面半径4厘米，高是3厘米的圆锥；图形②绕长方形一条边旋转一周，得到的是底面半径是4厘米，高是3厘米的圆柱；由此可知，圆锥和圆柱是等底等高；再根据等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，进行解答。 （2）求图③绕AB旋转一周，得到的图形的体积，得到的图形可通过割补法得到一个底面半径是4厘米，高是3厘米的圆柱；根据圆柱体积公式：体积＝，代入数据，求出平行四边形绕AB边旋转一周得到图形的体积，据此解答。 【完整解答】（1）图①和图②旋转后得到的图形是等底等高的圆柱和圆锥，所以图②中长方形绕一条边旋转一周，得到的圆柱的体积是图①中直角三角形绕直角边旋转一周得到的圆锥的体积的3倍。因为等底等高的圆柱的体积是圆锥的3倍。 （2）3.14×42×3 ＝3.14×16×3 ＝50.24×3 ＝150.72（立方厘米） 答：图③中平行四边形绕AB边旋转一周，得到图形的体积是150.72立方厘米。 考点十九 不规则物体的体积算法（长方体、正方体) 母题精讲（2025·河北保定·小升初模拟）在一个圆柱形的水桶里，垂直放入一段半径是2cm的圆钢，如果把它完全放入水中，桶里的水就上升10cm，如果把水中的圆钢露出水面6cm，那么这时桶里的水就下降3cm。这根圆钢的高是( )cm，体积是( )cm3。 【答案】 20 251.2 【思路引导】已知圆钢半径为2厘米，根据圆的面积公式S＝πr2（π取3.14），求出圆钢底面积。当圆钢露出水面6厘米时，露出部分的体积等于水桶底面积乘水下降的高度，求出露出部分体积。水下降3厘米，用露出部分体积除以水下降的高度，求出水桶底面积。当圆钢完全放入水中时，水上升10厘米，圆钢体积等于水桶底面积乘水上升的高度，求出圆钢的体积。圆钢的高等于体积除以底面积，求出圆钢的高。 【完整解答】圆钢的底面积：3.14×22 ＝3.14×4 ＝12.56（cm2） 露出水面的圆钢体积：12.56×6＝75.36（cm3） 水桶底面积：75.36÷3＝25.12（cm2） 圆钢的体积：25.12×10＝251.2（cm3） 圆钢的高：251.2÷12.56＝20（cm） 所以这根圆钢的高是20cm，体积是251.2cm3。 【考点剖析】本题关键在于利用“圆钢露出水面的体积＝水桶中下降的水的体积”这一关系，先求出水桶的底面积，再结合“圆钢完全放入时水上升的体积＝圆钢的体积”，最终算出圆钢的高和体积。 举一反三（2025·湖南长沙·小升初真题）如图①，在底面积为100平方厘米、高为20厘米的长方体水槽内放一个圆柱烧杯，以恒定不变的流量速度先向烧杯中注水，注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽为止，此过程中，烧杯本身的质量、体积忽略不计，烧杯在大水槽中的位置始终不改变，水槽中水面上升的高度h（cm）与注水时间t（s）之间的关系如图②所示。 （1）图②中，点_____表示烧杯中刚好注满水，点_____表示水槽中水面恰好与烧杯中水面平齐。 （2）求烧杯的底面积及注满水槽所用的时间。 【答案】（1）A；B （2）烧杯底面积是20平方厘米；注满水槽所用的时间是180秒 【思路引导】（1）观察图②，注水初期仅向烧杯注水，当烧杯刚好注满时，后续注水开始使水槽水面上升，此转折点为点A，故点A表示烧杯中刚好注满水。 当水槽中水面恰好与烧杯中水面平齐时，后续注水的“有效底面积”变为水槽底面积（因烧杯已被水覆盖），水面上升速度改变，此转折点为点B，故点B表示水槽中水面恰好与烧杯中水面平齐。 （2）设烧杯的底面积为S平方厘米、高为厘米，注水速度为每秒v立方厘米，注满水槽所用时间为秒。 由图2知，当注水18秒时，烧杯刚好注满，此时烧杯容积等于注水体积，根据容积＝底面积×高，注水体积＝注水速度×时间（匀速注水情况），得到S＝18v；当注水90s时，水槽内的水面高度恰好是厘米（即烧杯高度），即100＝90V，因为90V=5×18V则有100＝5S，两边同时约掉，即可求出烧杯底面积S。 由图可知注满烧杯和水槽一半所用的时间比是18∶90＝1∶5，当注水速度一定时，此时体积比等于时间比，把烧杯的体积看成1份，水槽一半的体积就是5份，用水槽的底面积乘此时的高度10厘米，再除以5就可以得到烧杯的体积，即：100×10÷5＝200（立方厘米），再根据注水速度＝注水体积÷时间，得到注水速度，即200÷18＝（立方厘米/秒）；再用水槽的总体积除以注水速度，得到注满水槽所用时间，即100×20÷＝180（秒）。 【完整解答】（1）根据分析，可知： 图②中，点A表示烧杯中刚好注满水，点B表示水槽中水面恰好与烧杯中水面平齐。 （2）设烧杯的底面积为S平方厘米、高为厘米，注水速度为每秒v立方厘米，注满水槽所用时间为秒。 由图②知，当注水18秒时，烧杯刚好注满；当注水90s时，水槽内的水面高度恰好是厘米（即烧杯高度），于是S＝18V，100＝90V， 因为90V=5×18V，则有100＝5S， 所以S＝100÷5＝20（平方厘米） 由图可知注满烧杯和水槽一半所用的时间比是18∶90＝1∶5， 烧杯的体积：100×10÷5＝200（立方厘米） 注水速度：200÷18＝（立方厘米/秒） 注满水槽所用时间： 100×20÷ ＝2000÷ ＝2000× ＝180（秒） 答：烧杯的底面积为20平方厘米，注满水槽所用的时间为180秒。 【考点剖析】本题核心是利用恒定流量下“体积与时间成正比”的关系，结合图像转折点的实际意义（注满烧杯、水面平齐），通过建立方程求解未知量。关键在于理解不同注水阶段的“有效底面积”变化，从而关联体积、时间和底面积的关系。 考点二十 不规则物体的体积算法（圆柱、圆锥） 母题精讲（2025·湖北十堰·小升初真题）小东测量瓶子的容积（如下图），测得瓶子的底面直径是10厘米，然后给瓶子内盛入一些水，正放时水高15厘米，倒放时水高25厘米，瓶子深30厘米。这个瓶子的容积是多少毫升？（π取3.14）（单位：厘米） 【答案】1570毫升 【思路引导】瓶子的容积等于瓶子正放时的水的体积加上瓶子倒放时上面空的部分的体积，这两部分都是圆柱，根据圆柱的体积公式V＝πr2h解决。1立方厘米＝1毫升。 【完整解答】10÷2＝5（厘米） 3.14×52×15＋3.14×52×（30－25） ＝3.14×25×15＋3.14×25×（30－25） ＝3.14×25×15＋3.14×25×5 ＝1177.5＋392.5 ＝1570（立方厘米） 1570立方厘米＝1570毫升 答：这个瓶子的容积是1570毫升。 【考点剖析】瓶子的容积等于水的体积加上空的部分的体积，把瓶子倒放时，空的部分正好是圆柱，根据圆柱体积公式。算出水的体积和空的部分的体积之和就是瓶子的容积。 举一反三（2025·山东·小升初真题）同学们，你做过“鸡蛋浮起来”的实验吗？这个科学实验中也有许多数学问题。 实验名称：鸡蛋、鸭蛋浮起来。 准备材料：一个圆柱形玻璃杯，半径5厘米，1个鸡蛋（小）、1个鸭蛋（大），一些水和盐。 实验过程： （1）往杯子里加水，加盐搅拌，测量盐水的高度是8.4厘米； （2）放入1个鸡蛋，这时水面上升到9厘米； （3）放入1个鸭蛋，再测量水面高度。 观察记录：鸡蛋和鸭蛋都浮在水中，如图①所示。水面高度变化和三种物体体积情况如图②、③所示。 请根据实验所得数据，解答问题。 （1）鸡蛋的体积是多少立方厘米？ （2）放入鸭蛋以后水面上升了多少厘米？ 【答案】（1）47.1立方厘米 （2）1厘米 【思路引导】（1）圆柱体积公式为V＝πr2h（r是底面半径，h是高，π取3.14）。放入鸡蛋前盐水高度是8.4厘米，放入鸡蛋后水面上升到9厘米，水面上升的高度为9－8.4＝0.6厘米。玻璃杯半径为5厘米，鸡蛋体积等于水面上升部分的体积，即3.14×52×0.6＝47.1（立方厘米）。 （2）由图③可知，鸡蛋体积占总体积（盐水、鸡蛋、鸭蛋体积和）的6%，盐水占总体积的84%，把总体积看作单位“1”，所以鸭蛋体积占总体积的1－6%－84%＝10%。鸡蛋体积是47.1立方厘米，总体积为47.1÷6%＝785立方厘米。鸭蛋体积为785×10%＝78.5立方厘米。水面上升高度h＝V÷π÷r2（V是鸭蛋体积），把鸭蛋体积78.5立方厘米，π＝3.14，r＝5厘米代入计算即可。 【完整解答】（1）9－8.4＝0.6（厘米） 3.14×52×0.6 ＝3.14×25×0.6 ＝78.5×0.6 ＝47.1（立方厘米）。 答：鸡蛋的体积是47.1立方厘米。 （2）把总体积看作单位“1”。 1－6%－84% ＝100%－6%－84% ＝94%－84% ＝10% 47.1÷6% ＝47.1÷0.06 ＝785（立方厘米） 785×10% ＝785×0.1 ＝78.5（立方厘米） 78.5÷3.14÷52 ＝78.5÷3.14÷25 ＝25÷25 ＝1（厘米） 答：放入鸭蛋以后水面上升了1厘米。 考点二十一 体积的等积变形（长方体、正方体） 母题精讲（2025·山东潍坊·小升初真题）如下图，甲圆柱形容器是空的，乙长方体容器中水深6.28cm，将乙容器中的水全部倒入甲容器中，这时水深( )cm；如果倒入与这个圆柱底面积之比是5∶1的圆锥形容器中，刚好倒满，那么圆锥的高是( )cm。 【答案】 8 4.8 【思路引导】（1）先根据长方体体积＝长×宽×高，求出乙容器中水的体积，再利用圆柱的体积＝底面积×高，求出水倒入甲容器后的水深。圆柱底面积S＝πr2、d＝2r。 （2）根据圆柱和圆锥的底面积之比可知，圆锥底面积是圆柱的底面积的5倍，先求出圆锥的底面积，由圆锥体积公式V＝πr2h，可知用水的体积×3÷圆锥的底面积，即可求出圆锥的高。 【完整解答】（1）水的体积：10×10×6.28＝628（cm3） 圆柱底面积：3.14×（10÷2）2 ＝3.14×25 ＝78.5（cm2） 水深：628÷78.5＝8（cm） （2）圆锥底面积：78.5×5＝392.5（cm2） 圆锥的高：628×3÷392.5 ＝1884÷392.5 ＝4.8（cm） 举一反三（2025·湖南长沙·小升初真题）有甲、乙两种长方体容器。甲容器长、宽、高分别为10厘米、3厘米、10厘米，乙容器长、宽、高分别是5厘米、4厘米、15厘米。已知甲容器中装有水，将其倾斜，水面刚好如下图所示。乙容器是空的。如果将甲容器中的水倒一部分到乙容器，使得甲、乙容器中的水面一样高，那么需要从甲容器中倒出多少水？ 【答案】60立方厘米 【思路引导】根据左图可知，甲容器中装水的体积是甲容器体积的一半，根据长方体的体积公式V＝abh，即可求出水的体积；将甲容器中的水倒一部分到乙容器中，使甲、乙两个容器中的水面高度相同，此时水的总体积不变。用甲容器中水的体积除以甲、乙容器的底面积之和，即可求出此时水面的高度；再根据长方体的体积公式V＝abh，求出乙容器中水的体积，即是从甲容器倒出的水的体积，据此进行解答。 【完整解答】甲容器中水的体积：10×3×10÷2 ＝30×10÷2 ＝300÷2 ＝150（立方厘米） 底面积之和：10×3＋5×4 ＝30＋20 ＝50（平方厘米） 高：150÷50＝3（厘米） 乙容器中水的体积：5×4×3 ＝20×3 ＝60（立方厘米） 答：需要从甲容器中倒出60立方厘米的水。 【考点剖析】本题的核心是抓住两个不变量：一是水的总体积不变，二是最终甲、乙容器中水面的高度相同。利用这两个条件，才能将“倒出部分水”的问题，转化为“总体积÷总底面积＝共同高度”的简单计算。 考点二十二 体积的等积变形（圆柱、圆锥) 母题精讲（2024·江苏常州·小升初真题）如图，将一个由圆柱和圆锥组合成的容器（圆柱的高是8厘米，圆锥的高是3厘米）倒置后，水面高7厘米。如果把这个容器正放，那么容器内水面的高是( )厘米。 【答案】5 【思路引导】根据题意把这个容器正放，那么水都流到圆柱，那么容积水面的高＝倒置圆柱部分水的高＋圆锥部分变圆柱后水的高，倒置时圆柱部分的高为（7－3）厘米，圆锥部分水变圆柱后的高与圆柱等底等体积，那么圆柱的高是圆锥的，据此解答。 【完整解答】（7－3）＋×3 ＝4＋1 ＝5（厘米） 如果把这个容器正放，那么容器内水面的高是5厘米。 举一反三（2024·河北邢台·小升初真题）健身房有一个圆柱形沙包，量得沙包的底面直径为2分米，高是8分米，在一次训练中，沙包底破了，沙子全部流到地上形成了一个高是4分米的圆锥形沙堆，这个沙堆的占地面积是多少平方分米？（忽略沙包皮厚度） 【答案】18.84平方分米 【思路引导】根据题意，一个圆柱形沙包的底面直径为2分米，高是8分米，根据圆柱的体积公式V＝πr2h，求出这些沙子的体积； 沙子全部流到地上形成了一个高是4分米的圆锥形沙堆，沙子的体积不变；根据圆锥的体积公式V＝Sh，可知圆锥的底面积S＝3V÷h，求出这个沙堆的占地面积。 【完整解答】3.14×（2÷2）2×8 ＝3.14×12×8 ＝3.14×1×8 ＝25.12（立方分米） 25.12×3÷4 ＝75.36÷4 ＝18.84（平方分米） 答：这个沙堆的占地面积是18.84平方分米。 分●层●训●练 【基础能力夯实】 1．有一个无盖的正方体纸盒，下底标有字母“M”，如果沿棱长剪开并展开成平面图形，会是（    ）。 A．B． C． D． 【答案】A 【思路引导】根据题意，需按照正方体展开图特征来判断哪个选项才是正确的，正方体展开图是将正方体的各个面沿棱剪开后平铺得到的平面图形。对于无盖正方体，它比完整正方体少一个面，即由5个正方形组成。在判断展开图是否正确时，要依据正方体面与面之间的相邻和相对关系。比如，正方体展开图中相对的面在折叠后不会相邻。这是基于正方体的空间结构特征，每个面都有其特定的相邻面和相对面。 1.无盖正方体展开图有5个面，四个选项均符合。 2.选项A中5个面的连接方式正确，且“M”位置符合下底要求。 3.选项B中面的连接方式，折叠时无法形成无盖正方体（无盖正方体展开图相邻面的连接需符合正方体特征），排除B。 4.考虑“M”的位置，无盖正方体展开图折叠后“M”要在下底。选项C、D折叠后“M”不在下底位置，不符合要求，排除C、D。 【完整解答】A．面的连接符合无盖正方体展开图特点，“M” 在下底，正确。 B．面的连接不符合无盖正方体展开图要求，错误。 C．折叠后 “M” 不在下底，错误。 D．折叠后 “M” 不在下底，错误。 故答案为：A 2．（2024·江苏南京·小升初真题）有一个圆柱形纸筒，底面直径8cm，高4cm，侧面积是（    ）cm2。 A．16π B．32π C．64π 【答案】B 【思路引导】圆柱的侧面积等于底面周长乘高，计算即可。 【完整解答】π×8×4＝32π（平方厘米） 侧面积是32πcm2。 故答案为：B 【考点剖析】本题主要考查圆柱侧面积的计算，熟练掌握它的公式并灵活运用。 3．（2024·江苏苏州·小升初真题）如图是一个正方体纸盒的展开图，如果再把它折成一个正方体，5的对面是（    ）。 A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】A 【思路引导】根据在正方体的展开图中，相对的面之间间隔一个正方形，可解答此题。 【完整解答】由图可知，2和4相对，3和6相对，所以5和1相对。 故答案为：A。 【考点剖析】在正方体展开图中，相对的面一定不相邻。 4．（2024·江苏无锡·小升初真题）如图是一个正方体的展开图，在原正方体上，两个相对面的两数之和最大是( )。 【答案】50 【思路引导】这个展开图符合正方体展开图的“2－3－1”型结构，看中间的一行，相对的面之间会隔着一个小正方形，由此即可知道18和23相对，以23为底面，把17往上折，那么20往上折，28会往后折，这个时候17和28相对，最后就是20与30相对，分别求出相对面的两个数的和，进而解答。 【完整解答】根据分析可知，17与28相对，23与18相对，20与30相对。 17＋28＝45 23＋18＝41 20＋30＝50 41＜45＜50，两个相对面的两数之和最大是50。 一个正方体的展开图，在原正方体上，两个相对面的两数之和最大是50。 5．将一段长4m的长方体木料横截成3段，表面积增加了1.6m2，这段长方体木料原来的体积是( )m3。 【答案】1.6 【思路引导】根据锯木问题可知，锯的段数比锯的次数多1，锯成3段需要锯2次，每锯1次就增加两个截面，那么锯2次增加4个截面；用1.6÷4即可求出长方体木料的底面积，再乘4m即可求出原来的体积。 【完整解答】1.6÷[（3－1）×2]×4 ＝0.4×4 ＝1.6（m3） 【考点剖析】解答关键是理解锯木问题锯的次数比锯的段数少1，先求出底面积，再根据长方体的体积公式解答。 6．（2024·江苏连云港·小升初真题）如图正方体、圆柱和圆锥的底面积相等，高也相等。如果圆锥的高是10分米，那么圆柱的底面积是( )平方分米，正方体的体积是( )立方分米。 【答案】 100 1000 【思路引导】已知正方体、圆柱和圆锥的底面积相等，高也相等，且高都是10分米。因为正方体的12条棱的长度都相等，正方体的底面是正方形，根据正方形的面积＝边长×边长，计算出正方体的底面积，即求出圆柱的底面积；再根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据计算求出正方体的体积。 【完整解答】10×10＝100（平方分米） 10×10×10 ＝100×10 ＝1000（立方分米） 【考点剖析】此题考查的目的是理解掌握正方体、圆柱、圆锥的特征，以及正方形的面积公式、正方体的体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 7．（2025·江苏苏州·小升初真题）一个表面涂色的大正方体，用激光把它切割成若干个体积是1立方厘米的小正方体。已知一面涂色的小正方体24个，未涂色的小正方体有( )个，这个大正方体的体积是( )立方厘米。 【答案】 8 64 【思路引导】根据正方体涂色问题的规律，一面涂色的小正方体位于大正方体的面上。其数量公式为6×（n－2）2，其中n为大正方体的棱长小正方体个数。因此可以推断出n＝4，根据未涂色的小正方体的个数＝（n－2）³，代入计算即可。大正方体的每条棱上有4个小正方体，说明正方体的棱长是4厘米，再根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，计算出结果。 【完整解答】24÷6＝4（个） （4－2）×（4－2） ＝2×2 ＝4（个） （4－2）³ ＝2³ ＝8（个） 4×4×4 ＝16×4 ＝64（立方厘米） 所以，未涂色的小正方体有8个，这个大正方体的体积是64立方厘米。 8．（2024·河北秦皇岛·小升初真题）长方体、正方体、圆柱和圆锥都可以用“底面积×高”来计算体积。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】长方体、正方体、圆柱的体积公式均为底面积乘高，而圆锥的体积公式为底面积乘高再乘。因此，圆锥的体积不能用“底面积×高”直接计算。 【完整解答】长方体体积：底面积（长×宽）×高，符合公式； 正方体体积：底面积（棱长×棱长）×高，符合公式； 圆柱体积：底面积（圆面积）×高，符合公式； 圆锥体积：底面积×高×，不能用“底面积×高”直接计算； 因此，原说法错误。 故答案为：× 9．（2024·江苏·小升初模拟）求出下面这根塑料管材所用塑料的体积。（单位：分米） 【答案】1004.8立方分米 【思路引导】首先根据环形面积公式：，求出它的底面积，再根据圆柱的体积公式：，把数据代入公式解答。 【完整解答】 （立方分米） 这根塑料管材所用塑料的体积是1004.8立方分米。 10．（2025·江苏苏州·小升初真题）学校新建了一个花坛，底面是边长1.5米的正方形，高0.6米，四周用砖头砌成。砖的厚度是0.2米。 （1）如果在花坛的侧面贴上瓷砖，至少需要多少平方米的瓷砖？ （2）在花坛的中间填满泥土，大约要多少立方米的泥土？如果每立方米泥土的费用约是36元，一共需要多少钱？ 【答案】（1）3.6平方米； （2）0.726立方米；26.136元 【思路引导】（1） 一个花坛，底面是边长1.5米的正方形，则这个花坛的四个侧面是相同的。求需要瓷砖多少平方米，就是求这个长方体花坛的侧面积，这四个面相等，用长方体的长×高×4，代入数据，求出侧面积； （2）花坛中间填满泥土，由题意知花坛中间是一个长方体，长方体的体积＝长×宽×高，且花坛内侧长方体的长是（1.5－0.2－0.2）米，宽是（1.5－0.2－0.2）米，高是0.6米，据此解答即可。 【完整解答】（1）1.5×0.6×4 ＝0.9×4 ＝3.6（平方米） 答：至少需要贴3.6平方米的瓷砖。 （2）（1.5－0.2－0.2）×（1.5－0.2－0.2）×0.6 ＝（1.3－0.2）×（1.3－0.2）×0.6 ＝1.1×1.1×0.6 ＝1.21×0.6 ＝0.726（立方米） 0.726×36＝26.136（元） 答：一共需要26.136元。 【思维拓展拔尖】 1．一个圆柱的侧面展开后是正方形，这个圆柱的底面直径与高的比是（    ）。 A．2π∶1 B．1∶1 C．1∶π D．π∶1 【答案】C 【思路引导】圆柱侧面展开为正方形，说明圆柱的高等于底面周长。底面周长公式为C＝πd，因此高h＝πd，进而推导底面直径与高的比。 【完整解答】一个圆柱的侧面展开后是正方形，则πd＝h。 d∶h＝d∶πd＝（d÷d）∶（πd÷d）＝1∶π 这个圆柱的底面直径与高的比是1∶π。 2．（2025·江苏无锡·小升初真题）在一块正方形铁皮上剪下一个圆和一个扇形，恰好围成一个高是6厘米的圆锥模型（如图）。如果圆的半径为a厘米，扇形的半径为b厘米，那么b∶a的比值是（    ）。 A．3 B．4 C．4.5 D．3.5 【答案】B 【思路引导】剪下的扇形正好是一个直角扇形（即 90°）做成圆锥的侧面，扇形半径b便是圆锥的斜高，圆的半径a则是圆锥的底面半径。圆锥底面圆周长与扇形弧长相等。根据围成圆锥后圆锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长就是圆的周长，列出关系式即可得两个半径之间的关系。剪下的扇形正好是一个直角扇形，是圆，所以圆弧的周长＝；圆的周长＝2πa。 【完整解答】 b＝4a b∶a＝4∶1＝4 故答案为：B 3．下图是测量一个铁球体积的过程：①将300mL的水倒入一个容积是500mL的杯子中；②将四个相同的铁球放入水中，水没有满；③再将一个同样的铁球放入水中，水满溢出。根据以上测量过程推测一个铁球的体积是在（    ）。 A．50cm3以上60cm3以下 B．30cm3以上40cm3以下 C．40cm3以上50cm3以下 D．无法确定 【答案】C 【思路引导】将500mL减去300mL，求出杯子里面没有水部分的容积。根据测量过程可知，4个铁球的体积小于没有水部分的容积，5个铁球的体积大于没有水部分的容积。利用除法求出1个铁球的体积范围。 【完整解答】500mL＝500cm3，300mL＝300cm3 （500－300）÷4 ＝200÷4 ＝50（cm3） （500－300）÷5 ＝200÷5 ＝40（cm3） 所以，1个铁球的体积在40cm3以上50cm3以下。 故答案为：C 4．（2025·江苏苏州·小升初真题）一个底面是正方形的长方体，侧面展开后也是正方形。如果它的底面积是6平方分米，那么它的表面积是( )平方分米；如果它的底面边长是6厘米，那么它的体积是( )立方厘米。 【答案】 108 864 【思路引导】根据题意可知，侧面展开也是正方形，说明长方体的高等于底面边长的4倍，由此可知，一个侧面积等于底面面积的4倍，已知一个底面积是6平方分米，则一个侧面积等于（6×4）平方分米，4个侧面积，再乘4，再加上两个底面积，即可求出这个长方体的表面积；如果底面正方形的边长是6厘米，则长方体的高是（6×4）厘米，根据长方体的体积公式：长×宽×高，代入数据，即可求出长方体的体积。 【完整解答】6×2＋6×4×4 ＝12＋96 ＝108（平方分米） 6×6×（6×4） ＝6×6×24 ＝36×24 ＝864（立方厘米） 一个底面是正方形的长方体，侧面展开后也是正方形。如果它的底面积是6平方分米，那么它的表面积是108平方分米；如果它的底面边长是6厘米，那么它的体积是864立方厘米。 【考点剖析】利用长方体表面积公式、体积公式进行解答，关键明确底面积与长方体的高之间的关系。 5．（2025·江苏无锡·小升初真题）小芳先把一个棱长为8厘米的正方体表面涂上了红色，再切成棱长为2厘米的小正方体，切好后数一数发现两面涂上红色的有( )个。 【答案】 24 【思路引导】大正方体表面涂色后，切割时只有暴露在外的小正方体面会被涂色。两面涂色的小正方体位于大正方体的棱上（非角位置），因为每条棱中间部分的小正方体恰好暴露在两个相邻面上。计算时，先确定每条棱上的两面涂色小正方体数量（去掉两个角），再乘总棱数（12 条）。 【完整解答】8÷2＝4（个） 4－2＝2（个） 12×2＝24（个） 两面涂上红色的有24个。 6．（2025·江苏淮安·小升初真题）一个长方体的展开图如图所示（单位：厘米）。涂色部分的面积之和为35平方厘米。这个长方体的表面积是________平方厘米。 【答案】94 【思路引导】通过观察长方体展开图的可知，这个长方体的宽是4厘米，高是3厘米，涂色部分是长方体上面和后面，上面的面积＝长×宽，后面的面积＝长×高，已知上面和后面的面积和是35平方厘米，据此可以求出长方体的长，再根据长方体的表面积表面积＝（长＋宽＋长×高＋宽×高）×2，把数据代入公式解答。 【完整解答】上面的面积＝长×宽，后面的面积＝长×高， 上面的面积＋后面的面积＝长×（宽＋高） 所以长＝35÷（4＋3） ＝35÷7 ＝5（厘米） （5×4＋5×3＋4×3）×2 ＝（20＋15＋12）×4 ＝47×2 ＝94（平方厘米） 所以这个长方体的表面积是94平方厘米。 【考点剖析】明确长方体展开图中涂色部分的面与长方体长、宽、高的对应关系，通过涂色部分面积和求出长方体的长；熟练运用长方体表面积公式，代入长、宽、高的值即可求出表面积。 7．用8个1立方分米的正方体堆成一个大正方体，大正方体的底面周长是16分米。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】8个1立方分米的正方体一共有8立方分米，根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，可知大正方体的棱长是2分米，根据底面周长公式，用2×4即可求出大正方体的底面周长。 【完整解答】8×1＝8（立方分米） 8＝2×2×2 2×4＝8（分米） 用8个1立方分米的正方体堆成一个大正方体，大正方体的底面周长是8分米。原题干说法错误。 故答案为：× 8．计算下图的体积。 【答案】753.6cm3 【思路引导】组合体的体积＝底面直径6cm，高是20cm的圆柱的体积＋底面直径12cm，高是5cm的圆锥的体积；根据圆柱的体积公式：底面积×高；圆锥的体积公式：底面积×高×；代入数据，即可解答。 【完整解答】3.14×（6÷2）2×20＋3.14×（12÷2）2×5× ＝3.14×9×20＋3.14×36×5× ＝28.26×20＋113.04×5× ＝565.2＋565.2× ＝565.2＋188.4 ＝753.6（cm3） 9．（2025·江苏无锡·小升初真题）一个圆锥体的底面周长是12.56分米，高6分米。 （1）这个圆锥体所占的空间是多少立方分米？ （2）如果给这个圆锥形物体做一个长方体的包装盒，至少要多少平方分米的硬纸板？ 【答案】（1）25.12立方分米 （2）128平方分米 【思路引导】（1）先根据底面周长公式C＝求出底面半径；再根据圆锥体积公式V＝求出圆锥体所占空间； （2）要使长方体包装盒最小，其长和宽应等于圆锥的底面直径，高应等于圆锥的高。根据底面周长公式C＝求出底面直径；再根据长方体的表面积公式S＝（长×宽＋宽×高＋长×高）×2计算所需要的硬纸板。 【完整解答】（1）×3.14×（12.56÷3.14÷2）2×6 ＝×3.14×4×6 ＝25.12（立方分米） 答：这个圆锥体所占的空间是25.12立方分米。 （2）12.56÷3.14＝4（分米） （4×4＋4×6＋4×6）×2 ＝（16＋24＋24）×2 ＝64×2 ＝128（平方分米） 答：至少要128平方分米的硬纸板。 10．（2024·江苏无锡·小升初真题）小红家新买了一个长8分米、宽6分米、高6分米的长方形玻璃鱼缸，小红在这个鱼缸内放入了体积约4立方分米的养鱼装饰物。正常情况下，鱼缸水位至少要比鱼缸口低0.5分米，照此计算，最多还能再加入多少升的水？（鱼缸玻璃厚度忽略不计） 【答案】260升 【思路引导】根据长方体体积＝长×宽×高，据此计算鱼缸的有效装水容积，即水位最高时的体积，再减去装饰物的体积，即可得到最多能加入的水量。 【完整解答】6－0.5＝5.5（分米） 8×6×5.5－4 ＝264－4 ＝260（立方分米） 260立方分米＝260升 答：最多还能再加入260升的水。 试卷第2页，共121页 试卷第2页，共33页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $