专题08 平面图形的认识与测量（思维导图+必备知识&考点清单+分层训练）江苏专用-2026年小升初数学二轮复习真题培优讲练

该小学数学小升初复习讲义聚焦平面图形的认识与测量专题，涵盖线和角、三角形、四边形、圆及组合图形等核心知识点，教学目标是帮助学生系统掌握图形性质、公式及应用。通过导图指引构建思维框架，知识清单提炼考点考向，考点讲练分析重难点，分层训练夯实基础与拓展拔尖，形成完整复习体系。 特色在于融合数学核心素养，如通过对比线、角、图形的性质培养几何直观与空间观念（数学眼光），利用母题精讲与举一反三训练推理能力（数学思维），设计“右转危险区”等实际问题培养模型意识（数学语言）。例如圆的面积推导中，通过切拼成长方形的活动让学生理解公式由来，配合分层练习帮助不同学生突破难点，教师可据此精准教学，提升复习效率。

2026年小升初数学二轮复习之必备知识考点清单真题汇编讲练•江苏专用 专题08 平面图形的认识与测量（必备知识&二轮复习+考点清单） 【原卷版】 内●容●导●航 第一部分 导图指引 构建思维框架。明确攻坚方向 第二部分 知识清单 洞察考点考向，提炼通用解法 知识点01 知识点01 线和角的认识 知识点02 三角形的认识与测量 知识点03 四边形的认识与测量 知识点04 圆的周长和面积 知识点05 组合图形的面积 第三部分 考点讲练 重点难点分析，强化解题技能 考点序列 考点名称 考点序列 考点名称 考点一 直线、射线、线段 考点十三 多边形的内角和 考点二 平行与垂直的特征、性质 考点十四 三角形的周长 考点三 角 考点十五 三角形面积的计算与应用 考点四 长方形的周长 考点十六 圆的周长及应用 考点五 正方形的周长 考点十七 圆的面积及应用 考点六 长、正方形周长的应用 考点十八 圆环的面积 考点七 长方形的面积 考点十九 方中圆和圆中方的面积问题 考点八 正方形的面积 考点二十 含圆的组合图形的计算（周长和面积） 考点九 画指定面积的长方形、正方形 考点二十一 弧、圆心角、扇形的认识 考点十 平行四边形面积的计算与应用 考点二十二 扇形的周长和面积 考点十一 梯形面积的计算与应用 考点二十三 画圆及扇形 考点十二 三角形的内角和 第四部分 分层训练 基础能力夯实，思维拓展拔尖 导●图●指●引 知●识●清●单 知识点01 线和角的认识 知识必备 1.线段、直线、射线的特点 (1)线段有两个端点,可以度量长度;射线只有一个端点,它可以向一端无限延伸,不可以度量长度;直线　没有　端点,它可以向两端无限延伸,不能度量长度。  (2)两点之间线段最短。  2.垂直与平行 (1)同一平面内,两条直线的位置关系是平行和相交　。如果两条直线相交成　直角　,就说这两条直线互相垂直,其中一条直线叫作另一条直线的垂线,它们的交点叫作垂足。过直线外一点只能画一条已知直线的垂线。  (2)平行线之间的距离处处相等;点到直线的所有连线中,垂线段最短。 3.角 (1) 由一点出发的两条射线组成的图形叫角;角的大小与两边的画出的长短　无关,与两边张开的大小有关。  (2)角的分类 锐角 直角 钝角 平角 周角 大于0。 小于90。 90。 大于90。 小于180。 180° 360° 知识点02 三角形的认识与测量 知识必备 1.三角形的认识 (1)三角形的特殊性质:三角形具有稳定性　。  (2)三角形三边关系:在一个三角形中,任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边。 (3)三角形的分类:三角形按角分,分为　锐角三角形、直角三角形和钝角　三角形;按边分,分为特殊三角形和一般三角形。等腰三角形和等边三角形是特殊三角形,等边三角形是特殊的等腰三角形。  (4)三角形的内角和是（ 180° ) 2.三角形的面积 两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形,这个平行四边形的底就是三角形的底,所拼成平行四边形的高就是三角形的高。每个三角形的面积是所拼成平行四边形面积的一半。因为平行高四边形的面积=底×高　,所以三角形的面积=　底×高　,用字母 表示为: S=ah 。 知识点03 四边形的认识与测量 知识必备 1.四边形的认识 (1)四边形的特殊性质:不稳定,易变形　 。  (2)平行四边形两组对边分别平行且相等,梯形只有一组对边　平行　。 2.四边形的测量 (1)平行四边形的面积:平行四边形可以割补成一个长方形,这个长方形的长就是平行四边形的底　,这个长方形的宽就是平行四边形的高　,长方形的面积=长×宽,因此平行四边形的面积=底×高　,用字母表示为: S=ah　。 (2)梯形的面积:两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形。这个平行四边形的底是原梯形的上底与下底之和,这个平行四边形的高是原梯形的高　。所拼成的平行四边形的面积就是（上底+下底）×高　,而原来的一个梯形的面积是拼成平行四边形面积的一半,所以梯形的面积=　(上底+下底)×高÷2　,用字母表示为:　S=(a+b)×h÷2　。 知识点04 圆的周长和面积 知识必备 1.圆的周长 (1)圆周率:圆的周长与直径的比值叫作圆周率。圆周率用希腊字母“π”表示,它是一个无限不循环 小数。经过精密计算:π=3.1415926…在小学数学中,我们常常取圆周率的近似值3.14 (2)圆的周长=圆周率×直径或圆周率×半径×2　用字母表示为:C=πd或2πr　 2.圆的面积:把一个圆平均分成若干份,剪开后拼成一个近似的平行四边形,如果分的份数越多,拼成的图形越接近长方形,这个近似长方形的长等于圆周长的一半,宽等于圆的半径 ,由此圆的面积S=πr2　 3.圆环的面积 (1)同一个圆心的两个半径不相等的圆,它们之间的部分叫作　圆环　 (2)面积公式:　S=πR2-πr2　 知识点05 组合图形的面积 知识必备 1.求组合图形面积的方法 (1)分割法:把阴影部分分割成几个基本图形,利用求几个基本图形面积的　和　求出阴影部分的面积。　 (2)添补法:在阴影部分上添补一个基本图形,使其变成另一个基本图形,计算出这个基本图形的面积后　减去　补上的基本图形的面积,从而求出阴影部分的面积。 考●点●讲●练 考点一 直线、射线、线段 母题精讲按要求作图。 （1）将长方形绕O点顺时针旋转90°后，再向东平移5格。 （2）画出以直线a为对称轴的三角形的对称图形。 （3）画出将原来的三角形按2∶1放大后的图形。 （4）从D点起北偏东45°方向画一条射线。 举一反三（2024·江苏·小升初模拟）需要2枚钉子才能把一根细木条固定在墙上，体现了“两点确定一条直线”的道理。( )（判断对错） 考点二 平行与垂直的特征、性质 母题精讲（2024·江苏无锡·小升初真题）为了能尽快穿越斑马线，小希觉得应当沿垂直马路的方向走过斑马线。这一想法体现的数学依据是（    ）。 A．两点确定一直线 B．两点之间线段最短 C．过直线外一点到这条直线的垂直线段最短 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 举一反三（2024·江苏·小升初模拟）下面说法正确的是（    ）。 A．假分数的倒数都小于1 B．不相交的两条直线一定是平行线 C．如果要统计气温的升降变化用折线统计图最合适 D．如果表示一个自然数，那么不一定是一个偶数 考点三 角 母题精讲（2024·江苏泰州·小升初真题）如图，把三角形ABC的边AC延长到点D，那么∠1＋∠2( )∠4。（填“＞”“＜”或“＝”） 举一反三一个直角三角形，两个锐角的度数的比是2∶3，这两个锐角分别是( )度和( )度。 考点四 长方形的周长 母题精讲针对2a＋6这个式子，四名同学分别画图表示了自己的理解，其中正确的是（    ）。 A． B． C． D． 举一反三（2024·江苏无锡·小升初真题）如图所示，一张长方形纸，宽为a，长是宽的2倍。在这张长方形纸中剪去一个半圆，那么剩下部分的周长是（    ）。 A．6a＋－a B．5a＋ C．2a2－ D．2a2－ 考点五 正方形的周长 母题精讲（23-24六年级下·江苏南京·期末）如图，大正方形中两个涂色正方形周长和是40厘米，则大正方形面积是( )平方厘米。 举一反三（2024·江苏常州·小升初真题）用一根长36厘米的铁丝围成一个正方形，围成的正方形面积最大是( )平方厘米。如果把它围成一个三条边的长度比是3∶4∶5的三角形，这个三角形的边最长是( )厘米。 考点六 长、正方形周长的应用 母题精讲（2024·湖南怀化·小升初真题）如下图，把一个直径是4厘米的圆分成若干等分，然后把它剪开，照下图的样子拼起来，拼成的图形的周长比原来的周长增加( )厘米。 举一反三把一个圆平均分成若干份，剪拼成一个近似的长方形，长方形和圆比，（    ）。 A．周长、面积都相等 B．长方形周长大、圆面积大 C．面积相等、长方形周长大 D．长方形周长小、圆面积小 考点七 长方形的面积 母题精讲（2024·江苏泰州·小升初真题）下面各项中，可以用表示的是（    ）。 A．线段的总长度： B．线段的总长度： C．靠墙围长方形所用木料长度： D．长方形的面积： 举一反三（2024·江苏·小升初模拟）如图，长方形内有个等边三角形，( )。如果等边三角形的面积是4cm2，那么长方形的面积是( )cm2。 考点八 正方形的面积 母题精讲（2024·江苏扬州·小升初真题）如图3个正方形大小相同，其中涂色部分面积相等的是（    ）。 A．①和② B．①和③ C．②和③ D．①②③ 举一反三（2024·江苏连云港·小升初真题）将一个正方形的边长按照3∶1放大，若原来正方形的面积为4平方厘米，则放大后正方形的面积 ________平方厘米。 考点九 画指定面积的长方形、正方形 母题精讲在下面的方格图中画一个面积是15平方厘米的长方形，再画一个面积是7平方厘米的任意图形。（每个小方格表示1平方厘米） 举一反三（1）把三角形按2∶1的比放大，画出放大后的图形。 （2）把梯形绕点O顺时针旋转90°，画出旋转后的图形。 （3）画一个与梯形面积相等的三角形和长方形。 考点十 平行四边形面积的计算与应用 母题精讲（2024·江苏南通·小升初真题）小红学习圆的知识后，在课后实践中，尝试在上面平行四边形中画一个最大的圆。第一步：从两个顶点向对边作垂线，画出正方形；第二步：在正方形中用圆规画出一个最大的圆。已知圆规两脚的距离是2厘米，根据图中所给数据，计算出平行四边形中阴影部分的面积是( )平方厘米。 举一反三如图，平行四边形的面积是20cm2，图中甲、乙、丙三个三角形的面积比是( )，涂色部分的面积是( )cm2。 考点十一 梯形面积的计算与应用 母题精讲（2024·江苏盐城·小升初真题）《九章算术》中记载一种求圆环面积的方法：“并中外周而半之，以径乘之为积步”。意思是：圆环面积＝（内圆周长＋外圆周长）÷2×径，径的长度是外圆半径与内圆半径的差。材料中的方法可以看成将一个圆环形地垫沿一条径剪开，展开后得到一个近似的等腰梯形（如图）。在这个过程中，面积保持不变。如果梯形的上底是6.28米，下底是12.56米，那么圆环形地垫的面积是（    ）平方米。 A．6.28 B．9.42 C．12.56 D．18.84 举一反三（2024·江苏盐城·小升初真题）选择合适的解决问题的策略，可以帮助我们找到探究新知的思路。如图三个探究新知的过程，都运用了（    ）策略。 梯形的面积计算 异分母分数减法 多边形的内角和 A． 画图 B．列举 C．转化 D．假设 B． 考点十二 三角形的内角和 母题精讲（24-25六年级下·全国·小升初复习）下列说法正确的有（    ）句。 ①大于1.2且小于1.4的小数只有1个。 ②三角形三个内角度数的比是，最大的角是。 ③、、都是非零自然数。其中，是的倍数，是的倍数，那么是的倍数。 ④四位数35□0，□里只填一个数字，使它同时是2、3、5的倍数，□里最多有4种填法。 ⑤一个人的体重和他的年龄成正比例关系。 A．1 B．2 C．3 D．4 举一反三一个三角形的三个内角度数的比是1∶2∶3，其中最大的内角的度数是( )，这是一个( )三角形。 考点十三 多边形的内角和 母题精讲（2024·江苏淮安·小升初真题）已知三角形的内角和是180度，一个六边形的内角和是（    ）。 A．360度 B．540度 C．720度 D．900度 举一反三下面四句话中，错误的一句话是( )。 A．1既不是质数，也不是合数 B．四边形的内角和是360° C． 假分数的倒数是真分数 D．两个圆的面积相等，这两个圆的周长也一定相等 D． 考点十四 三角形的周长 母题精讲（2025·江苏无锡·小升初真题）一个等腰三角形，三条边长度都是整厘米数。其中两条边的长度分别是7厘米和15厘米，这个三角形的周长是( )厘米。 举一反三（2024·江苏泰州·小升初真题）在数学上，图形可以通过一种特殊的方式进行“生长”。以一个正三角形为例，将它的三条边分别进行三等分，然后以每条边中间的一段为底边，向外再画出一个等边三角形，并擦去原来中间的那一段，这时，图形就完成了一次“生长”变形，成为了一个新图形（如图中①②。 (1)如果一个边长是27厘米的等边三角形，经过两次“生长”变形，得到的图形（如图③周长是( )厘米。 (2)如果一个边长为厘米的等边三角形，像这样经过四次“生长”变形，得到的图形周长是( )厘米。（用含有的式子表示） 考点十五 三角形面积的计算与应用 母题精讲（2024·江苏泰州·小升初真题）我是小小设计师：小明家门前有一块空地（每格边长代表1m），请根据描述帮小明进行设计。 ①小明计划在空地围一个平行四边形的花园，四个顶点的位置分别是A（0，3），B（4，0），C（8，3），D（4，6），请画出这个花园。 ②小明发现这个花园面积过大，需要把它按1∶2缩小，且位置改在原来这个花园的东面，请画出缩小后的花园。缩小后的花园与原来花园的面积比是（    ）。 ③小明准备在空地的东北角围一块三角形草坪，草坪的面积和现在缩小后的花园面积相等，请画出这块三角形草坪。 ④小明准备用西面的空地种蔬菜。他为了浇灌方便，准备在（0，0）的北偏东45°方向点P（a，7）处安装一个喷水头，请在图中用“●”表示出P点的位置。 举一反三（2024·江苏常州·小升初真题）只列方程不计算。 一块三角形的指示牌（如图），它的面积约7平方分米。这块三角形指示牌的高是多少分米？ 解：设这块三角形指示牌的高是x分米。 __________________ 考点十六 圆的周长及应用 母题精讲（2025·江苏淮安·小升初真题）在圆形切拼成的近似长方形上，第一只小蚂蚁从A点出发，第二只小蚂蚁同时从B点出发，已知第一只小蚂蚁的速度是第二只的3.2倍，第________只小蚂蚁先到达C。 举一反三（2025·江苏无锡·小升初真题）在一块正方形铁皮上剪下一个圆和一个扇形，恰好围成一个高是6厘米的圆锥模型（如图）。如果圆的半径为a厘米，扇形的半径为b厘米，那么b∶a的比值是（    ）。 A．3 B．4 C．4.5 D．3.5 考点十七 圆的面积及应用 母题精讲（2024·江苏无锡·小升初真题）下面可以从图中看出圆的周长在直径的3倍到4倍之间的是（    ）。 A． B． C． D． 举一反三（2024·江苏泰州·小升初真题）小学阶段我们学会了计算长方体、正方体和圆柱体的表面积，那怎样计算圆锥的表面积呢？ 如图①：已知一个圆锥的底面半径是6cm，母线的长度是10cm。（圆锥的母线用字母L表示） 结合图②我们可以发现：圆锥的侧面展开图是一个扇形，扇形的半径就是圆锥的（    ）；扇形的弧长就是圆锥的（    ）。 结合图③请你尝试计算圆锥的表面积。 考点十八 圆环的面积 母题精讲（2025·江苏淮安·小升初真题）为美化校园环境，实验小学需翻新广场中央的圆形花坛，并紧贴花坛外围铺设一条宽1米的环形地砖带。已知花坛的半径为4米，请计算铺设地砖的面积是多少平方米？（先绘制示意图，再解答） 举一反三（2024·江苏南通·小升初真题）图中每个小方格的边长表示1厘米。 （1）把长方形ABCD绕点A逆时针旋转90°，旋转后点C对应点的位置用数对表示是（    ）。 （2）以E点为圆心先画两个同心圆，一个圆的直径是4厘米，另一个圆的半径是3厘米。两个圆之间形成的环形面积是（    ）平方厘米。 考点十九 方中圆和圆中方的面积问题 母题精讲（2024·江苏泰州·小升初真题）中国古代建筑中经常能见到“外方内圆”和“外圆内方”的设计。仔细观察如图，可以通过计算发现外方、圆、内方的面积比是（    ）。其实，只要把内方绕它的中心旋转一下，就能清楚地看出外方和内方之间的关系，请画出旋转后的内方。 举一反三（2024·福建泉州·小升初真题）如图三个图，都是在边长2分米的正方形内画半圆或圆。 （1）它们的阴影面积相等么？请说明理由。 （2）我选择第 图，计算出阴影面积占正方形面积的。 考点二十 含圆的组合图形的计算（周长和面积） 母题精讲（2024·江苏盐城·小升初真题）小明：爸爸，我发现最近盐城许多路口的地面上都设置了“右转危险区”。这是为什么呢？ 爸爸：卡车、货车等车身较长的大型车辆在转弯时，驾驶员都会产生视觉盲区，容易造成交通事故，为此我们交警部门设置了这样的“右转危险区”标线。我们的设计图是用小学数学知识绘制的哦！ （1）请你按设计图上标注的数据，将“右转危险区”按1∶200缩小后，画在如图的方格图上，并涂上阴影。 （2）该“右转危险区”的实际面积是（    ）平方米（为了方便计算，本题π取3） 举一反三（2024·江苏常州·小升初真题）长方形ABCD的宽是2厘米，分别以点B、C为圆心，以2厘米为半径画两段圆弧相交于点M，图中两块阴影部分的面积相等，长方形的面积是( )平方厘米。 考点二十一 弧、圆心角、扇形的认识 母题精讲（2024·江苏苏州·小升初真题）小明在一张正方形卡纸上剪下一个圆形和一个扇形，圆的周长恰好和扇形曲线部分的长度相等，这样刚好围成一个圆锥体模型（如图）。如果圆的半径为r，扇形半径为R，那么r∶R＝( )∶( )。 举一反三某班有50人，其中三好学生10人，优秀学生干部5人，在扇形统计图上表示三好学生和优秀学生干部人数的圆心角分别是（    ）。 A．72°，36° B．100°，50° C．80°，40° D．120°，60° 考点二十二 扇形的周长和面积 母题精讲（2025·江苏无锡·小升初真题）如图，三个圆的周长都是25.12厘米，则阴影部分的总面积是( )平方厘米。 举一反三在一块正方形纸片上剪下一个圆形和一个扇形（如图所示），恰好能圈成一个圆锥模型。如果扇形的半径为a，圆的半径为b，那么（    ）。 A． B． C． D． 考点二十三 画圆及扇形 母题精讲（2024·江苏扬州·小升初真题）用一张长1.8米、宽0.8米的长方形铁皮，做一种直径8分米的圆形交通标志牌，怎样裁切比较合理，先在图中画一画，再完成填空。 最多能做（    ）块这样的交通指示牌。 举一反三（2024·江苏无锡·小升初真题）按要求画一画、填一填。 （1）已知图中梯形顶点A的位置在（2，5），则顶点C的位置可以用数对（    ）表示。 （2）画出梯形绕顶点B逆时针旋转90°后的图形。 （3）以点O为圆心，按3∶1的比画出圆放大后的图形；放大后的圆与原来圆周长的比是（    ）；放大后的圆与原来的圆组成的图形有（    ）条对称轴。 分●层●训●练 【基础能力夯实】 1．钟面上（    ）时整，时针和分针形成的角是直角。 A．3 B．6 C．12 2．（2025·江苏苏州·小升初真题）如图，小亮从A点出发，向北走30米到达B点，再从B点向东走30米到达C点。小亮回头看A点，发现A点在C点的（    ）。 A． 南偏西30°方向 B．南偏东30°方向 C．南偏西45°方向 D．南偏东45°方向 3．（2023·四川成都·小升初真题）笑笑用16分米长的铁丝做成（    ）的面积最大。 A．正三角形 B．长方形 C．正方形 D．圆 4．一个圆柱的侧面展开后是正方形，这个圆柱的底面直径与高的比是（    ）。 A．2π∶1 B．1∶1 C．1∶π D．π∶1 5．把边长为1厘米的正方形纸片，按下面的规律拼成长方形。 用5个正方形拼成的长方形的周长是( )厘米，用n个正方形拼成的长方形的周长是( )厘米。 6．（2024·江苏无锡·小升初真题）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，线段CD是AB边上的高。已知∠1＝20°，那么∠2＝( )°。 7．（2025·江苏淮安·小升初真题）如图1，用正方形纸剪出一个特殊的三角形。 (1)∠1＝________°，∠2＝________°。 (2)通过折、剪，我们得到的这个特殊三角形是________三角形，如果正方形的边长是5厘米，那么这个三角形的周长是________厘米。 (3)如果把这个特殊三角形沿虚线剪去一个角（如图2），那么剩下的四边形中，∠3＋∠4＝________°。 8．（2023·四川成都·小升初真题）一个圆的半径增加1米，则这个圆的面积增加平方米。( )（判断对错） 9．（2025·江苏苏州·小升初真题）（1）把三角形绕点O顺时针旋转90°。 （2）点D和点A、B、C正好围成一个平行四边形，画出这个平行四边形。 （3）按1∶3的比画出长方形缩小后的图形。 10． （2024·江苏无锡·小升初真题） （1）画出图①的另一半，使它成为一个轴对称图形。 （2）如果用数对表示图②梯形的四个顶点，点的数对是，点的数对是，那么点的数对是（    ）。 （3）将图③绕点逆时针旋转90度，画出旋转后的图形。 （4）以点为圆心画一个直径4厘米的圆。（图中每个小方格的边长表示1厘米） 【思维拓展拔尖】 1．（2025·江苏苏州·小升初真题）小林在正方形中画一个最大的圆，圆的面积是50.24平方厘米，这个正方形的边长（    ）厘米。 A．48 B．32 C．16 D．8 2．（2025·江苏苏州·小升初真题）如图，在一个等边三角形中画一个尽可能大的圆，又在这个圆中画一个尽可能大的等边三角形。图中小等边三角形的面积相当于大等边三角形面积的（    ）。 A． B． C． D． 3．（2025·江苏淮安·小升初真题）把图中三角形按3∶1的比缩小后： ①相对应的“线段BC的长度” ②“三角形的面积” ③“∠A的度数” ④“AB与AC长度的比值”。 四个要素中，不发生变化的有（    ）个。 A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2025·江苏苏州·小升初真题）活动课上，同学们用铁丝圈成一个等腰三角形，其中两条边的长度分米和分米，这个三角形的周长是( )分米。 5．（2025·江苏淮安·小升初真题）把一根长度为21厘米的小棒，先截成三段整厘米数的小棒，再围成一个三角形。那么这三根小棒中最长的一根最多是________厘米。 6．（2025·江苏无锡·小升初真题）钟面的分针长4厘米，从2时到2时30分，分针转过( )°，分针扫过的面积是( )平方厘米，针尖走过的距离是( )厘米。 7．两个面积相等的三角形能拼成一个平行四边形。( )（判断对错） 8．等腰直角三角形的底角一定是45°。( )（判断对错） 9．（2024·江苏扬州·小升初真题）看图列出方程。 10．（2024·江苏无锡·小升初真题）同学们，“观察一猜想一验证一结论一应用”是我们常用的数学探究方法。梁希同学在边长为5厘米的正方形纸片上剪去一个边长为3厘米的小正方形，怎样求剩余部分的面积呢？梁希同学想出了两种不同的方法（如下图）。 从中可以得到：。观察这个等式的特征，回答问题： （1）猜想：是不是任意两个数都具有这样的规律呢？（    ）（填“是”或“不是”） （2）请举2个例子验证： ①（    ）×（    ）   ②____________________________ （3）如果用和分别表示两个数，这样的规律可以表示为：_______________________ （4）计算下图中圆环的面积，尝试应用上面得到的规律进行简算。（单位：厘米） 试卷第2页，共121页 试卷第2页，共33页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026年小升初数学二轮复习之必备知识考点清单真题汇编讲练•江苏专用 专题08 平面图形的认识与测量（必备知识&二轮复习+考点清单） 【解析版】 内●容●导●航 第一部分 导图指引 构建思维框架。明确攻坚方向 第二部分 知识清单 洞察考点考向，提炼通用解法 知识点01 知识点01 线和角的认识 知识点02 三角形的认识与测量 知识点03 四边形的认识与测量 知识点04 圆的周长和面积 知识点05 组合图形的面积 第三部分 考点讲练 重点难点分析，强化解题技能 考点序列 考点名称 考点序列 考点名称 考点一 直线、射线、线段 考点十三 多边形的内角和 考点二 平行与垂直的特征、性质 考点十四 三角形的周长 考点三 角 考点十五 三角形面积的计算与应用 考点四 长方形的周长 考点十六 圆的周长及应用 考点五 正方形的周长 考点十七 圆的面积及应用 考点六 长、正方形周长的应用 考点十八 圆环的面积 考点七 长方形的面积 考点十九 方中圆和圆中方的面积问题 考点八 正方形的面积 考点二十 含圆的组合图形的计算（周长和面积） 考点九 画指定面积的长方形、正方形 考点二十一 弧、圆心角、扇形的认识 考点十 平行四边形面积的计算与应用 考点二十二 扇形的周长和面积 考点十一 梯形面积的计算与应用 考点二十三 画圆及扇形 考点十二 三角形的内角和 第四部分 分层训练 基础能力夯实，思维拓展拔尖 导●图●指●引 知●识●清●单 知识点01 线和角的认识 知识必备 1.线段、直线、射线的特点 (1)线段有两个端点,可以度量长度;射线只有一个端点,它可以向一端无限延伸,不可以度量长度;直线　没有　端点,它可以向两端无限延伸,不能度量长度。  (2)两点之间线段最短。  2.垂直与平行 (1)同一平面内,两条直线的位置关系是平行和相交　。如果两条直线相交成　直角　,就说这两条直线互相垂直,其中一条直线叫作另一条直线的垂线,它们的交点叫作垂足。过直线外一点只能画一条已知直线的垂线。  (2)平行线之间的距离处处相等;点到直线的所有连线中,垂线段最短。 3.角 (1) 由一点出发的两条射线组成的图形叫角;角的大小与两边的画出的长短　无关,与两边张开的大小有关。  (2)角的分类 锐角 直角 钝角 平角 周角 大于0。 小于90。 90。 大于90。 小于180。 180° 360° 知识点02 三角形的认识与测量 知识必备 1.三角形的认识 (1)三角形的特殊性质:三角形具有稳定性　。  (2)三角形三边关系:在一个三角形中,任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边。 (3)三角形的分类:三角形按角分,分为　锐角三角形、直角三角形和钝角　三角形;按边分,分为特殊三角形和一般三角形。等腰三角形和等边三角形是特殊三角形,等边三角形是特殊的等腰三角形。  (4)三角形的内角和是（ 180° ) 2.三角形的面积 两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形,这个平行四边形的底就是三角形的底,所拼成平行四边形的高就是三角形的高。每个三角形的面积是所拼成平行四边形面积的一半。因为平行高四边形的面积=底×高　,所以三角形的面积=　底×高　,用字母 表示为: S=ah 。 知识点03 四边形的认识与测量 知识必备 1.四边形的认识 (1)四边形的特殊性质:不稳定,易变形　 。  (2)平行四边形两组对边分别平行且相等,梯形只有一组对边　平行　。 2.四边形的测量 (1)平行四边形的面积:平行四边形可以割补成一个长方形,这个长方形的长就是平行四边形的底　,这个长方形的宽就是平行四边形的高　,长方形的面积=长×宽,因此平行四边形的面积=底×高　,用字母表示为: S=ah　。 (2)梯形的面积:两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形。这个平行四边形的底是原梯形的上底与下底之和,这个平行四边形的高是原梯形的高　。所拼成的平行四边形的面积就是（上底+下底）×高　,而原来的一个梯形的面积是拼成平行四边形面积的一半,所以梯形的面积=　(上底+下底)×高÷2　,用字母表示为:　S=(a+b)×h÷2　。 知识点04 圆的周长和面积 知识必备 1.圆的周长 (1)圆周率:圆的周长与直径的比值叫作圆周率。圆周率用希腊字母“π”表示,它是一个无限不循环 小数。经过精密计算:π=3.1415926…在小学数学中,我们常常取圆周率的近似值3.14 (2)圆的周长=圆周率×直径或圆周率×半径×2　用字母表示为:C=πd或2πr　 2.圆的面积:把一个圆平均分成若干份,剪开后拼成一个近似的平行四边形,如果分的份数越多,拼成的图形越接近长方形,这个近似长方形的长等于圆周长的一半,宽等于圆的半径 ,由此圆的面积S=πr2　 3.圆环的面积 (1)同一个圆心的两个半径不相等的圆,它们之间的部分叫作　圆环　 (2)面积公式:　S=πR2-πr2　 知识点05 组合图形的面积 知识必备 1.求组合图形面积的方法 (1)分割法:把阴影部分分割成几个基本图形,利用求几个基本图形面积的　和　求出阴影部分的面积。　 (2)添补法:在阴影部分上添补一个基本图形,使其变成另一个基本图形,计算出这个基本图形的面积后　减去　补上的基本图形的面积,从而求出阴影部分的面积。 考●点●讲●练 考点一 直线、射线、线段 母题精讲按要求作图。 （1）将长方形绕O点顺时针旋转90°后，再向东平移5格。 （2）画出以直线a为对称轴的三角形的对称图形。 （3）画出将原来的三角形按2∶1放大后的图形。 （4）从D点起北偏东45°方向画一条射线。 【答案】 【思路引导】（1）根据旋转的特征，这个图形绕点O顺时针旋转90°后，点O位置不动，其余各部分均绕此点按相同方向旋转相同的度数即可，再把旋转后的图形的各个顶点向东平移5格，最后把各点连接起来即可画出图形。 （2）根据轴对称图形的特征，每组对应的顶点到到对称轴的距离是相等的，先描出对应的顶点，再连线即可画出图形。 （3）根据图形放大的特征，放大前后的图形形状没有改变，按照2∶1放大就是把三角形的每条边都放大到原来的2倍，原来底2格，高2格，现在底4格，高4格，据此即可画出图形。 （4）以D为射线的起点，北偏东45°表示东面和北面的中间位置，作以D点为一个顶点的正方形的对角线即可。 【规范解答】 【考点剖析】旋转作图要注意：（1）旋转角度（2）旋转方向；平移时要注意：（1）平移方向与距离（2）每组对应点的距离都是图形平移的距离；图形的放大与缩小要注意：图形各部分的长度都是按照一定的比例变化的，放大或缩小后的图形大小变了，形状没有变。 举一反三（2024·江苏·小升初模拟）需要2枚钉子才能把一根细木条固定在墙上，体现了“两点确定一条直线”的道理。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】根据直线的性质解答，过两点可以画一条直线。 【规范解答】需要2枚钉子才能把一根细木条固定在墙上，体现了“两点确定一条直线”的道理。原题说法正确。 故答案为：√ 考点二 平行与垂直的特征、性质 母题精讲（2024·江苏无锡·小升初真题）为了能尽快穿越斑马线，小希觉得应当沿垂直马路的方向走过斑马线。这一想法体现的数学依据是（    ）。 A．两点确定一直线 B．两点之间线段最短 C．过直线外一点到这条直线的垂直线段最短 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】C 【思路引导】小希为尽快穿越斑马线，选择沿垂直马路的方向走，这里把马路边缘看作直线，行人位置是直线外一点，垂直马路走的路径就是“垂直线段”，对应数学中 “点到直线的垂直路径”，进而具体分析。 【规范解答】A．“两点确定一条直线”，强调的是通过两点可以确定一条唯一的直线，而在穿越斑马线的情境中，重点不是确定直线，而是怎样走距离最短，所以该选项不符合； B．“两点之间线段最短”，是指在平面上，连接两点的所有线中，线段的长度是最短的，但此情境中，是从直线（马路边缘可看作直线 ）外一点（行人所在位置 ）到直线（马路对面对应点 ）的最短路径问题，并非单纯的两点之间，所以该选项不符合； C．把马路的一边看作一条直线，行人所在位置是直线外一点，沿垂直马路的方向走过斑马线，对应的线段就是过直线外一点到这条直线的垂直线段。根据 “过直线外一点到这条直线的垂直线段最短”，这样走的距离最短，能尽快穿越斑马线，该选项符合； D．“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”，强调的是垂直直线的唯一性，比如过平面内一点作已知直线的垂线，只能作一条，而在穿越斑马线情境中，需要的是最短距离的依据，不是垂直直线的唯一性，所以该选项不符合。 故答案为：C 举一反三（2024·江苏·小升初模拟）下面说法正确的是（    ）。 A．假分数的倒数都小于1 B．不相交的两条直线一定是平行线 C．如果要统计气温的升降变化用折线统计图最合适 D．如果表示一个自然数，那么不一定是一个偶数 【答案】C 【思路引导】A．分子大于等于分母的分数，叫做假分数； B．在同一平面内，不相交的两条直线一定是平行线； C．以折线的上升或下降来表示统计数量的增减变化的统计图，叫作折线统计图； D．偶数奇数偶数，偶数偶数偶数。 【规范解答】A．分子大于等于分母的分数，叫做假分数，当分子等于分母时，它的倒数等于1，故错误； B．在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线，需要“同一平面内”的前提，故错误； C．折线统计图能清楚地反映事物的变化情况，如果要统计气温的升降变化用折线统计图最合适，故正确； D．偶数奇数偶数，偶数偶数偶数，2为偶数，为自然数，所以一定是偶数，故错误。 故答案为：C 考点三 角 母题精讲（2024·江苏泰州·小升初真题）如图，把三角形ABC的边AC延长到点D，那么∠1＋∠2( )∠4。（填“＞”“＜”或“＝”） 【答案】＝ 【思路引导】分析题目，根据“三角形的内角和是180°”可知：∠1＋∠2＋∠3＝180°，再根据“平角是180°”可知：∠3＋∠4＝180°，据此进一步解答即可。 【规范解答】根据∠1＋∠2＋∠3＝180°可得：∠1＋∠2＝180°－∠3； 根据∠3＋∠4＝180°可得：∠4＝180°－∠3； 所以∠1＋∠2＝∠4＝180°－∠3。 把三角形ABC的边AC延长到点D，那么∠1＋∠2＝∠4。 举一反三一个直角三角形，两个锐角的度数的比是2∶3，这两个锐角分别是( )度和( )度。 【答案】 36 54 【思路引导】因为该三角形是直角三角形，所以有一个角是90度。又因为三角形内角和为180度，所以两个锐角的和为180－90＝90度。已知两个锐角的度数比是2∶3，那么总共的份数为2＋3＝5份，则每份的度数为90÷5＝18（度），第一个锐角占2份，度数为18×2＝36度。第二个锐角占3份，度数为18×3＝54度。 【规范解答】直角三角形有一个角是90度，三角形内角和为180度。 180－90＝90（度） 2＋3＝5（份） 90÷5＝18（度） 18×2＝36（度） 18×3＝54（度） 这两个锐角分别是36度和54度。 考点四 长方形的周长 母题精讲针对2a＋6这个式子，四名同学分别画图表示了自己的理解，其中正确的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】2a＋6表示2个a加上6，即a＋a＋6，据此逐项分析即可。 【规范解答】 A．，表示2＋a＋6，不正确。 B．，表示a＋a＋6，即2a＋6，正确。 C．，表示（2＋6）×a，不正确。 D．，表示（a＋6）×2，不正确。 针对2a＋6这个式子，画图表示了自己的理解，其中正确的是。 故答案为：B 举一反三（2024·江苏无锡·小升初真题）如图所示，一张长方形纸，宽为a，长是宽的2倍。在这张长方形纸中剪去一个半圆，那么剩下部分的周长是（    ）。 A．6a＋－a B．5a＋ C．2a2－ D．2a2－ 【答案】B 【思路引导】确定长方形的长：题目中明确告知宽是a，又说长是宽的2倍。求一个数的几倍是多少，我们就用这个数去乘倍数。所以长方形的长就是2乘以a，即2×a＝2a。 计算剩下部分的周长：剩下部分的周长包含长方形的两条长、一条宽和半圆的弧长。把长方形部分的长度（两条长和一条宽的长度和）与半圆的弧长相加，就是剩下部分的周长，也就是4a＋a＋πa，先算4a＋a＝5a，所以结果就是5a＋πa。 【规范解答】长方形的长为：2×a＝2a 圆的周长为：π×a＝πa 剩下部分的周长： 2a×2＋a＋πa÷2 ＝4a＋a＋πa× ＝5a＋πa 故答案为：B。 考点五 正方形的周长 母题精讲（23-24六年级下·江苏南京·期末）如图，大正方形中两个涂色正方形周长和是40厘米，则大正方形面积是( )平方厘米。 【答案】100 【思路引导】可将涂色部分的边进行平移，从而将涂色部分的周长转化为这个大正方形的4条边的和，所以40厘米就是大正方形的周长，根据正方形周长＝边长×4，边长＝周长÷4，可得大正方形的边长，然后根据正方形的面积＝边长×边长，代入数据，计算即可。 【规范解答】如图： 40÷4＝10（厘米） 10×10＝100（平方厘米） 大正方形中两个涂色正方形周长和是40厘米，则大正方形面积是100平方厘米。 举一反三（2024·江苏常州·小升初真题）用一根长36厘米的铁丝围成一个正方形，围成的正方形面积最大是( )平方厘米。如果把它围成一个三条边的长度比是3∶4∶5的三角形，这个三角形的边最长是( )厘米。 【答案】 81 15 【思路引导】由题意可知，铁丝的长就是正方形的周长，根据的逆运算，用周长除以4可得正方形的边长，再根据，代入数据可得第一问；根据比的意义可知，这根据铁丝可分成份，用铁丝的长度除以总份数可得每份是多少，再用每份的长度乘5即可得第二问。 【规范解答】36÷4＝9（厘米） 9×9＝81（平方厘米） 3＋4＋5＝12 36÷12×5 ＝3×5 ＝15（厘米） 用一根长36厘米的铁丝围成一个正方形，围成的正方形面积最大是81平方厘米。如果把它围成一个三条边的长度比是3∶3∶5的三角形，这个三角形的边最长是15厘米。 考点六 长、正方形周长的应用 母题精讲（2024·湖南怀化·小升初真题）如下图，把一个直径是4厘米的圆分成若干等分，然后把它剪开，照下图的样子拼起来，拼成的图形的周长比原来的周长增加( )厘米。 【答案】4 【思路引导】圆拼成近似的长方形后，长方形的长就等于圆的周长的一半，宽就等于圆的半径，所以这个长方形的周长比原来圆的周长多出了两个半径的长度，半径×2＝直径，即多出了一个直径的长度，也就是4厘米。据此解答。 【规范解答】根据分析可知，把一个直径是4厘米的圆分成若干等分，然后把它剪开，拼成的图形的周长比原来的周长增加4厘米。 举一反三把一个圆平均分成若干份，剪拼成一个近似的长方形，长方形和圆比，（    ）。 A．周长、面积都相等 B．长方形周长大、圆面积大 C．面积相等、长方形周长大 D．长方形周长小、圆面积小 【答案】C 【解析】圆切拼成长方形，面积不变，周长增加了一个直径的长度。以此解答。 【规范解答】把一个圆平均分成若干份，剪拼成一个近似的长方形，长方形和圆比，面积相等、长方形周长大。 故答案为：C 【考点剖析】此题主要考查学生对圆剪拼成长方形后的图形面积和周长变化的理解。 考点七 长方形的面积 母题精讲（2024·江苏泰州·小升初真题）下面各项中，可以用表示的是（    ）。 A．线段的总长度： B．线段的总长度： C．靠墙围长方形所用木料长度： D．长方形的面积： 【答案】C 【思路引导】：表示两个相加的和，再加上4，据此观察四个选项，解答此题。 【规范解答】A．线段的长度：2＋＋4＝； B．线段的长度：＋4＋4＝； C．围长方形所用木料长度：＋＋4＝； D．长方形的面积是：（4＋2）＝。 故答案为：C 举一反三（2024·江苏·小升初模拟）如图，长方形内有个等边三角形，( )。如果等边三角形的面积是4cm2，那么长方形的面积是( )cm2。 【答案】 30 8 【思路引导】根据长方形的特征可知，，又因为三角形是等边三角形，等边三角形的每个角都是60°，所以；因为等底等高的长方形的面积等于三角形的面积的2倍，所以长方形的面积等于三角形面积的2倍，据此解答。 【规范解答】 （cm2） ；长方形的面积是8cm2。 考点八 正方形的面积 母题精讲（2024·江苏扬州·小升初真题）如图3个正方形大小相同，其中涂色部分面积相等的是（    ）。 A．①和② B．①和③ C．②和③ D．①②③ 【答案】B 【思路引导】①中涂色部分的面积＝正方形的面积－2个半圆的面积； ②中涂色部分的面积＝4个圆的面积； ③中涂色部分的面积＝正方形的面积－圆的面积； 设正方形的边长是2cm，则各图中圆的半径等于正方形边长的一半；根据正方形的面积公式S＝a2，圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算，求出各图中涂色部分的面积，再比较，即可得解。 【规范解答】设正方形的边长是2cm。 圆的半径是：2÷2＝1（cm） ①涂色部分的面积： 2×2－3.14×12÷2×2 ＝2×2－3.14×1÷2×2 ＝4－3.14 ＝0.86（cm2） ②涂色部分的面积： 3.14×12÷4×4 ＝3.14×1÷4×4 ＝3.14（cm2） ③涂色部分的面积： 2×2－3.14×12 ＝2×2－3.14×1 ＝4－3.14 ＝0.86（cm2） 所以，如图3个正方形大小相同，其中涂色部分面积相等的是①和③。 故答案为：B 举一反三（2024·江苏连云港·小升初真题）将一个正方形的边长按照3∶1放大，若原来正方形的面积为4平方厘米，则放大后正方形的面积 ________平方厘米。 【答案】36 【思路引导】正方形的面积为4平方厘米，根据正方形面积＝边长×边长，2×2＝4（平方厘米），正方形边长是2米，正方形的边长按照3∶1放大是2×3＝6（厘米），再求出放大后正方形的面积，即可解答。 【规范解答】2×2＝4（平方厘米） 2×3＝6（厘米） 6×6＝36（平方厘米） 将一个正方形的边长按照3∶1放大，若原来正方形的面积为4平方厘米，则放大后正方形的面积36平方厘米。 考点九 画指定面积的长方形、正方形 母题精讲在下面的方格图中画一个面积是15平方厘米的长方形，再画一个面积是7平方厘米的任意图形。（每个小方格表示1平方厘米） 【答案】见详解 【思路引导】要画一个面积是15平方厘米的长方形，根据长方形面积＝长×宽，只要长×宽＝15即可，可以选择长5厘米、宽3厘米的长方形；画一个面积是7平方厘米的任意图形可以画一个三角形，令三角形的底×高÷2＝7即可，可以选择底7厘米、高2厘米的三角形。 【规范解答】 （画法不唯一） 【考点剖析】熟练掌握常见平面图形面积计算方法是解题关键。 举一反三（1）把三角形按2∶1的比放大，画出放大后的图形。 （2）把梯形绕点O顺时针旋转90°，画出旋转后的图形。 （3）画一个与梯形面积相等的三角形和长方形。 【答案】 【规范解答】说明：第三小题答案不唯一。 （1）按比例放大，先把三角形两条直角边同时扩大2倍画好，再连接第三条边。 （2）先把梯形与O相连的两条边顺时针旋转90°，再画另两条边。 （3）三角形和长方形的面积都是18。 考点十 平行四边形面积的计算与应用 母题精讲（2024·江苏南通·小升初真题）小红学习圆的知识后，在课后实践中，尝试在上面平行四边形中画一个最大的圆。第一步：从两个顶点向对边作垂线，画出正方形；第二步：在正方形中用圆规画出一个最大的圆。已知圆规两脚的距离是2厘米，根据图中所给数据，计算出平行四边形中阴影部分的面积是( )平方厘米。 【答案】19.44 【思路引导】分析题目，根据“圆规两脚的距离是2厘米”可知圆的直径是2×2＝4（厘米），再根据有一个角是45°的直角三角形是等腰直角三角形可知左边三角形是等腰直角三角形，即平行四边形的底是（4＋4）厘米高是4厘米，根据平行四边形的面积＝底×高，圆的面积S＝π（d÷2）2，代入数据分别算出平行四边形和圆的面积，最后用平行四边形的面积减去圆的面积即可得到阴影部分的面积。 【规范解答】2×2＝4（厘米） （4＋4）×4－3.14×（4÷2）2 ＝8×4－3.14×22 ＝32－3.14×4 ＝32－12.56 ＝19.44（平方厘米） 小红学习圆的知识后，在课后实践中，尝试在上面平行四边形中画一个最大的圆。第一步：从两个顶点向对边作垂线，画出正方形；第二步：在正方形中用圆规画出一个最大的圆。已知圆规两脚的距离是2厘米，根据图中所给数据，计算出平行四边形中阴影部分的面积是19.44平方厘米。 举一反三如图，平行四边形的面积是20cm2，图中甲、乙、丙三个三角形的面积比是( )，涂色部分的面积是( )cm2。 【答案】 5∶2∶3 4 【思路引导】观察图形可知，平行四边形底是（2＋3）cm，根据平行四边形面积公式：面积＝底×高；高＝面积÷底，代入数据，求出平行四边形的高；甲、乙、丙三个三角形的高等于平行四边形的高，甲的底等于平行四边形的底，根据三角形面积公式：面积＝底×高÷2，代入数据，求出甲、乙、丙三个三角形面积，再根据比的意义，用甲的面积∶乙的面积∶丙的面积，求出三个三角形面积比；涂色部分等于乙三角形面积，据此解答。 【规范解答】高：20÷（2＋3） ＝20÷5 ＝4（cm） 甲：（2＋3）×4÷2 ＝5×4÷2 ＝20÷2 ＝10（cm2） 乙：2×4÷2 ＝8÷2 ＝4（cm2） 丙：3×4÷2 ＝12÷2 ＝6（cm2） 10∶4∶6 ＝（10÷2）∶（4÷2）∶（6÷2） ＝5∶2∶3 涂色面积是4cm2。 如图，平行四边形的面积是20cm2，图中甲、乙、丙三个三角形的面积比是5∶2∶3，涂色部分的面积是4cm2。 考点十一 梯形面积的计算与应用 母题精讲（2024·江苏盐城·小升初真题）《九章算术》中记载一种求圆环面积的方法：“并中外周而半之，以径乘之为积步”。意思是：圆环面积＝（内圆周长＋外圆周长）÷2×径，径的长度是外圆半径与内圆半径的差。材料中的方法可以看成将一个圆环形地垫沿一条径剪开，展开后得到一个近似的等腰梯形（如图）。在这个过程中，面积保持不变。如果梯形的上底是6.28米，下底是12.56米，那么圆环形地垫的面积是（    ）平方米。 A．6.28 B．9.42 C．12.56 D．18.84 【答案】B 【思路引导】依据题意结合图示可知，梯形的上底等于内圆的周长，梯形的下底等于外圆的周长，根据圆的半径＝C÷π÷2分别求出内圆和外圆的半径，再根据圆环面积＝（内圆周长＋外圆周长）÷2×（外圆半径－内圆半径），据此列式计算。 【规范解答】6.28÷3.14÷2 ＝2÷2 ＝1（厘米） 12.56÷3.14÷2 ＝4÷2 ＝2（厘米） （6.28＋12.56）÷2×（2－1） ＝18.84÷2×1 ＝9.42×1 ＝9.42（平方米） 如果梯形的上底是6.28米，下底是12.56米，那么圆环形地垫的面积是9.42平方米。 故答案为：B 举一反三（2024·江苏盐城·小升初真题）选择合适的解决问题的策略，可以帮助我们找到探究新知的思路。如图三个探究新知的过程，都运用了（    ）策略。 梯形的面积计算 异分母分数减法 多边形的内角和 A．画图 B．列举 C．转化 D．假设 【答案】C 【思路引导】A．根据梯形面积公式的推导过程可知，把两个完全一样的梯形拼成一个平行四边形，拼成的平行四边形的面积是每个梯形面积的2倍，再根据平行四边形的面积公式推导出梯形的面积公式； B．根据异分母分数减法的计算法则，先把异分母分数转化为同分母分数，然后根据同分母分数减法的计算法则计算； C．根据多边形内角和公式的推导过程，把多边形分成若干个三角形，三角形的内角和是180°，由此推导出多边形的内角和＝180°×（n－2）；据此解答。 【规范解答】由分析得：梯形面积公式的推导，异分母分数减法的计算、多边形内角和公式的推导都运用了“转化”的策略。 故答案为：C 考点十二 三角形的内角和 母题精讲（24-25六年级下·全国·小升初复习）下列说法正确的有（    ）句。 ①大于1.2且小于1.4的小数只有1个。 ②三角形三个内角度数的比是，最大的角是。 ③、、都是非零自然数。其中，是的倍数，是的倍数，那么是的倍数。 ④四位数35□0，□里只填一个数字，使它同时是2、3、5的倍数，□里最多有4种填法。 ⑤一个人的体重和他的年龄成正比例关系。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【思路引导】①先看它们的整数部分，整数部分大的那个数就大；整数部分相同，十分位上的数大的那个数就大；十分位上的数相同，百分位上的数大的那个数就大以此类推。据此判断； ②三角形三个内角度数的比是2∶3∶4，由此可知，最大角的度数占180°的，根据求一个数的几分之几是多少，求出最大角。据此判断； ③若是b的倍数，b是c的倍数，则b可以整除，c可以整除b，据此举例判断即可； ④根据2的倍数的特征，一个数的个位如果是偶数，这个数就是2的倍数；根据5的倍数的特征，一个数的个位是0或5，这个数就是5的倍数；根据3的倍数的特征，各个数位的数字之和是3的倍数。观察可知，个位上是0，符合2和5的倍数的特征，即根据3的倍数的特征找出方框里可以填的数，再进行判断； ⑤判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例。 【规范解答】①大于1.2且小于1.4的一位小数只有1个，但大于1.2且小于1.4的小数有1.21、1.211、1.2111无数个，所以原题说法错误。 ② 三角形三个内角度数的比是，最大的角是。原题说法正确。 ③如＝36，b＝12，c＝4，36是12的倍数，12是4的倍数，36是4的倍数，所以原题说法正确； ④3＋5＋0＝8，8＋1＝9，8＋4＝12，8＋7＝15，□里最多有3种填法。所以原题说法错误。 ⑤虽然一个人的体重会随着年龄的变化而变化，但它们的比值和乘积都不一定，所以一个人的体重和他的年龄不成比例，原题说法错误。 所以，上面说法正确的有2句。 故答案为：B 举一反三一个三角形的三个内角度数的比是1∶2∶3，其中最大的内角的度数是( )，这是一个( )三角形。 【答案】 90°/90度 直角 【思路引导】分析题目，三角形的内角和是180°，据此先用180°除以总份数求出一份是多少度，再乘3求出最大的角是多少度；最后根据最大的角确定三角形的类型，最大的角是什么角，则这个三角形就是什么三角形，据此解答。 【规范解答】180°÷（1＋2＋3） ＝180°÷6 ＝30° 30°×3＝90° 90°是直角，所以这个三角形是直角三角形。 一个三角形的三个内角度数的比是1∶2∶3，其中最大的内角的度数是90°，这是一个直角三角形。 考点十三 多边形的内角和 母题精讲（2024·江苏淮安·小升初真题）已知三角形的内角和是180度，一个六边形的内角和是（    ）。 A．360度 B．540度 C．720度 D．900度 【答案】C 【思路引导】根据多边形的内角和公式：（n－2）×180°代入数据解答即可。 【规范解答】（6－2）×180 ＝4×180 ＝720（度） 故答案为：C 【考点剖析】本题考查了多边形的内角和公式：（n－2）×180°的灵活应用。 举一反三下面四句话中，错误的一句话是( )。 A．1既不是质数，也不是合数 B．四边形的内角和是360° C．假分数的倒数是真分数 D．两个圆的面积相等，这两个圆的周长也一定相等 【答案】C 【思路引导】根据质数和合数的意义、多边形内角和度数、真分数和假分数的区别以及圆的特征注意判断即可。 【规范解答】A．1既不是质数，也不是合数。原题说法正确。 B．四边形内角和可看成两个三角形的内角和，一个三角形的内角和是180°，两个三角形的内角和是360°。原题说法正确。 C．由于假分数可以是1，所以原题说法错误。 D．两个圆的面积相等，则两个圆的半径相等，所以两个圆的周长也相等。所以原题说法正确。 故答案选：C 【考点剖析】本题考查质数与合数的意义、多边形的内角和、真分数与假分数的认识、圆的面积和周长的理解。 考点十四 三角形的周长 母题精讲（2025·江苏无锡·小升初真题）一个等腰三角形，三条边长度都是整厘米数。其中两条边的长度分别是7厘米和15厘米，这个三角形的周长是( )厘米。 【答案】37 【思路引导】根据等腰三角形的性质，第三条边可能是7厘米或15厘米。再利用三角形三边关系：两边之和大于第三边，验证找出符合条件的第三边的长度，再把三角形的三边相加即可解答。 【规范解答】第三条边可能是7厘米或15厘米。 7＋7＝14（厘米），14厘米＜15厘米，所以三角形的第三边不可能是7厘米； 15＋15＝30（厘米），30厘米＞7厘米，所以三角形的第三边是15厘米。 15＋15＋7 ＝30＋7 ＝37（厘米） 所以这个三角形的周长是37厘米。 举一反三（2024·江苏泰州·小升初真题）在数学上，图形可以通过一种特殊的方式进行“生长”。以一个正三角形为例，将它的三条边分别进行三等分，然后以每条边中间的一段为底边，向外再画出一个等边三角形，并擦去原来中间的那一段，这时，图形就完成了一次“生长”变形，成为了一个新图形（如图中①②。 (1)如果一个边长是27厘米的等边三角形，经过两次“生长”变形，得到的图形（如图③周长是( )厘米。 (2)如果一个边长为厘米的等边三角形，像这样经过四次“生长”变形，得到的图形周长是( )厘米。（用含有的式子表示） 【答案】(1)144 (2) 【思路引导】如图②把新图形的周长看作12份，则原来图形①的周长看作是9份，，也就是每一次“生长”，新图形的周长都变成原来的，再按规律解答即可。 【规范解答】（1）边长是27厘米的等边三角形，周长是27×3＝81（厘米）。 第一个“生长”，得到图形的周长是（厘米） 第二次“生长”，得到图形的周长是（厘米） 因此一个边长是27厘米的等边三角形，经过两次“生长”变形，得到的图形周长是144厘米。 （2）边长为a厘米等边三角形，周长是（3a）厘米。 第一次“生长”，得到图形的周长是（厘米） 第二次“生长”，得到图形的周长是（厘米） 第三次“生长”，得到图形的周长是（厘米） 第四次“生长”，得到图形的周长是（厘米） 因此一个边长为厘米的等边三角形，像这样经过四次“生长”变形，得到的图形周长是厘米。 【考点剖析】解答本题的关键是通过图形①和图形②的特例分析从而总结出图形周长变化的规律，再直接利用规律求解。 考点十五 三角形面积的计算与应用 母题精讲（2024·江苏泰州·小升初真题）我是小小设计师：小明家门前有一块空地（每格边长代表1m），请根据描述帮小明进行设计。 ①小明计划在空地围一个平行四边形的花园，四个顶点的位置分别是A（0，3），B（4，0），C（8，3），D（4，6），请画出这个花园。 ②小明发现这个花园面积过大，需要把它按1∶2缩小，且位置改在原来这个花园的东面，请画出缩小后的花园。缩小后的花园与原来花园的面积比是（    ）。 ③小明准备在空地的东北角围一块三角形草坪，草坪的面积和现在缩小后的花园面积相等，请画出这块三角形草坪。 ④小明准备用西面的空地种蔬菜。他为了浇灌方便，准备在（0，0）的北偏东45°方向点P（a，7）处安装一个喷水头，请在图中用“●”表示出P点的位置。 【答案】见解答 【规范解答】①用数对表示位置时，先表示第几列，再表示第几行，根据四个顶点用数对表示的位置标出A、B、C、D后依次连接AB、BC、CD、DA即可画出平行四边形ABCD； ②画出平行四边形按照1∶2缩小后的图形就是把ABCD的四条边缩小到原来的，根据上北下南，左西右东，东面即原来花园的右面，据此画出缩小后的平行四边形即可；通过观察可连接平行四边形的AC两点分为两个三角形，可知三角形的底是80m，高是30m，根据三角形面积的计算方法求出两个三角形的面积之和即平行四边形的面积，用同样的方法可求缩小后的平行四边形的面积，再列比并化简。 ③根据上北下南，左西右东，东北角即空地的右上角，根据三角形的面积公式：三角形面积＝底×高÷2，以及②求出的缩小后的平行四边形的面积为6m2，可以设计三角形的底为4m，高为3m，然后画出三角形即可（画法不唯一）； ④根据上北下南，左西右东，空地西面即左面，根据方向和距离找出在（0，0）的北偏东45°方向的斜线，斜线相交于纵轴7刻度的横线上的点即可确定P点的位置为（7，7），然后标出黑点即可。 【解答】解：①如下图所示： ②如下图所示： 平行四边形ABCD面积＝8×3÷2×2＝24（m2） 缩小后的平行四边形面积＝4×1.5÷2×2＝6（m2） 缩小后的花园与原来花园的面积比＝6∶24＝（6÷6）∶（24÷6）＝1∶4 小明发现这个花园面积过大，需要把它按1∶2缩小，且位置改在原来这个花园的东面，请画出缩小后的花园。缩小后的花园与原来花园的面积比是1∶4。 ③6＝4×3÷2 所以三角形的底可以是4m，高是3m。 如下图所示（画法不唯一）： ④如下图所示： 举一反三（2024·江苏常州·小升初真题）只列方程不计算。 一块三角形的指示牌（如图），它的面积约7平方分米。这块三角形指示牌的高是多少分米？ 解：设这块三角形指示牌的高是x分米。 __________________ 【答案】3.5分米；4x÷2＝7 【思路引导】根据三角形的面积＝底×高÷2，三角形的底为4分米，高为x分米，面积为7平方分米，据此列方程。 【规范解答】解：设这块三角形指示牌的高是x分米。 4x÷2＝7 4x÷2×2＝7×2 4x＝14 4x÷4＝14÷4 x＝3.5 答：这块三角形指示牌的高是3.5分米。 考点十六 圆的周长及应用 母题精讲（2025·江苏淮安·小升初真题）在圆形切拼成的近似长方形上，第一只小蚂蚁从A点出发，第二只小蚂蚁同时从B点出发，已知第一只小蚂蚁的速度是第二只的3.2倍，第________只小蚂蚁先到达C。 【答案】一 【思路引导】把圆形切拼成长方形时，长方形的长近似于圆周长的一半，宽近似于圆的半径。从图中可知，第一只小蚂蚁从A点到C点的路程是长方形的长，即圆周长的一半，第二只小蚂蚁从B点到C点的路程是长方形宽，即为圆的半径。设圆的半径为r，根据圆周长公式C＝2πr（π取3.14），圆周长的一半为3.14r，则第一只小蚂蚁的路程为πr。假设第二只蚂蚁的速度为v，第一只小蚂蚁的速度是第二只的3.2倍，则第一只蚂蚁的速度为3.2v。最后根据时间＝路程÷速度，分别代入数据求出两只蚂蚁的爬行时间，最后比较即可。 【规范解答】设圆的半径为r，第二只蚂蚁的速度为v。 第一只小蚂蚁的路程： 第一只小蚂蚁所用时间： 第二只小蚂蚁所用时间： π通常取3.14，3.2＞3.14，所以＜，那么第一只蚂蚁先到。 【考点剖析】本题关键是找到圆形切拼成长方形时，长方形的长和圆周长的关系，宽和半径的关系。 举一反三（2025·江苏无锡·小升初真题）在一块正方形铁皮上剪下一个圆和一个扇形，恰好围成一个高是6厘米的圆锥模型（如图）。如果圆的半径为a厘米，扇形的半径为b厘米，那么b∶a的比值是（    ）。 A．3 B．4 C．4.5 D．3.5 【答案】B 【思路引导】剪下的扇形正好是一个直角扇形（即 90°）做成圆锥的侧面，扇形半径b便是圆锥的斜高，圆的半径a则是圆锥的底面半径。圆锥底面圆周长与扇形弧长相等。根据围成圆锥后圆锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长就是圆的周长，列出关系式即可得两个半径之间的关系。剪下的扇形正好是一个直角扇形，是圆，所以圆弧的周长＝；圆的周长＝2πa。 【规范解答】 b＝4a b∶a＝4∶1＝4 故答案为：B 考点十七 圆的面积及应用 母题精讲（2024·江苏无锡·小升初真题）下面可以从图中看出圆的周长在直径的3倍到4倍之间的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】根据圆周长公式，用圆的周长除以直径则为圆周率π（3～4之间），结合各选项图形特点逐一分析能否体现圆周长与直径的关系。 【规范解答】A．由图可知：正六边形的边长为6r，即为3d；正方形周长为4d；圆的周长大于正六边形周长且小于正方形周长，则圆的周长大于3d小于4d，用圆的周长除以直径，商大于3小于4，所以圆的周长在直径的3倍到4倍之间，该选项符合； B．图中是圆和圆内的小方格，通过数方格等方式，可计算圆面积（近似 ），但不能体现圆周长和直径的倍数关系，该选项不符合； C．图中是用直尺和三角板测量圆的直径，只能测量出圆的直径长度，无法体现圆周长与直径的倍数关系，该选项不符合； D．图中是把圆转化为近似的长方形（通过剪拼），转化过程中面积不变，圆周长的一半是长方形的长，圆的半径是长方形的宽，根据“长方形面积＝长×宽”可推出圆的面积公式，但不能体现圆周长和直径的倍数关系，该选项不符合。 故答案为：A 举一反三（2024·江苏泰州·小升初真题）小学阶段我们学会了计算长方体、正方体和圆柱体的表面积，那怎样计算圆锥的表面积呢？ 如图①：已知一个圆锥的底面半径是6cm，母线的长度是10cm。（圆锥的母线用字母L表示） 结合图②我们可以发现：圆锥的侧面展开图是一个扇形，扇形的半径就是圆锥的（    ）；扇形的弧长就是圆锥的（    ）。 结合图③请你尝试计算圆锥的表面积。 【答案】母线；底面周长；301.44平方厘米 【思路引导】依据题意结合图示可知，扇形的半径就是圆锥的母线；扇形的弧长就是圆锥的底面周长。根据圆的周长公式：周长＝π×半径×2，分别求出圆锥底面周长和半径是10厘米的圆的周长，再用圆锥底面周长÷半径是10厘米的圆的周长，再乘360°，求出扇形的圆心角；再根据扇形的面积公式：面积＝π×半径2×，求出扇形的面积，再根据圆的面积公式：面积＝π×半径2，代入数据，求出圆锥的底面面积，圆锥的表面积＝扇形的面积＋底面积，由此列式计算即可。 【规范解答】扇形的半径就是圆锥的母线；扇形的弧长就是圆锥的底面周长。 底面周长： 3.14×6×2 ＝18.84×2 ＝37.68（厘米） 圆心角： 37.68÷（3.14×10×2）×360° ＝37.68÷（31.4×2）×360° ＝37.68÷62.8×360° ＝0.6×360° ＝216° 3.14×102×＋3.14×62 ＝3.14×100×＋3.14×36 ＝314×＋113.04 ＝188.4＋113.04 ＝301.44（平方厘米） 答：圆锥的表面积是301.44平方厘米。 考点十八 圆环的面积 母题精讲（2025·江苏淮安·小升初真题）为美化校园环境，实验小学需翻新广场中央的圆形花坛，并紧贴花坛外围铺设一条宽1米的环形地砖带。已知花坛的半径为4米，请计算铺设地砖的面积是多少平方米？（先绘制示意图，再解答） 【答案】见详解； 28.26平方米 【思路引导】根据环形的画法，先画出两个大小不同的同心圆，标注好内圆的半径4米和环宽1米，再根据环形面积公式：，把数据代入公式解答。 【规范解答】作图如下： 4＋1＝5（米） 3.14×（52－42） ＝3.14×（25－16） ＝3.14×9 ＝28.26（平方米） 答：铺设地砖的面积是28.26平方米。 举一反三（2024·江苏南通·小升初真题）图中每个小方格的边长表示1厘米。 （1）把长方形ABCD绕点A逆时针旋转90°，旋转后点C对应点的位置用数对表示是（    ）。 （2）以E点为圆心先画两个同心圆，一个圆的直径是4厘米，另一个圆的半径是3厘米。两个圆之间形成的环形面积是（    ）平方厘米。 【答案】（1）（5，8）；（2）画图见详解；15.7 【思路引导】（1）求旋转后点C对应点的位置， 明确旋转中心和旋转方向、角度：旋转中心是点A，旋转方向为逆时针，旋转角度是90°。分析点C的旋转过程：在平面直角坐标系中，绕点A逆时针旋转90°，点C原来相对于点A的横、纵坐标会发生变化，根据旋转的性质确定旋转后点C对应点的位置，再用数对表示。 （2）求环形面积， 确定两个圆的半径：已知一个圆直径是4厘米，则其半径为2厘米，另一个圆半径是3厘米。运用环形面积公式：根据环形面积公式S＝π（R2－r2）（其中R是外圆半径，r是内圆半径 ），将两个圆半径代入公式计算环形面积。 【规范解答】（1）确定旋转后点C对应点的位置点A坐标为（2，4），点C坐标为（6，2）。绕点A逆时针旋转90° 后，点C对应点相对于点A，原来的横坐标变为旋转后的纵坐标（要加上点A纵坐标），原来纵坐标变为旋转后横坐标的相反数（要加上点A横坐标）。即横坐标为2＋（4－2）＝5，纵坐标为4＋（6－2）＝8，用数对表示为（5，8）。 （2） 内圆半径r ＝4÷2＝2（厘米），外圆半径R＝3厘米， 环形面积S＝3.14×（32－22） ＝3.14×（9－4） ＝3.14×5 ＝15.7（平方厘米） 即，两个圆之间形成的环形面积是15.7平方厘米。 考点十九 方中圆和圆中方的面积问题 母题精讲（2024·江苏泰州·小升初真题）中国古代建筑中经常能见到“外方内圆”和“外圆内方”的设计。仔细观察如图，可以通过计算发现外方、圆、内方的面积比是（    ）。其实，只要把内方绕它的中心旋转一下，就能清楚地看出外方和内方之间的关系，请画出旋转后的内方。 【答案】4∶π∶2；图见详解 【思路引导】依据题意可得：假设圆的半径是1，由此确定外方的边长，利用圆的面积＝π×半径×半径，正方形的面积＝边长×边长，分别求出圆的面积和外方的面积，内方旋转之后可以看出其面积正好为外方的一半，据此求出内方的面积，再将三个图形的面积做比即可。 【规范解答】假设圆的半径是1，如图： 外方的边长为：1×2＝2 外方的面积：2×2＝4 圆的面积：π×1×1＝π 内方的面积：4÷2＝2 外方、圆、内方的面积比是4∶π∶2。 举一反三（2024·福建泉州·小升初真题）如图三个图，都是在边长2分米的正方形内画半圆或圆。 （1）它们的阴影面积相等么？请说明理由。 （2）我选择第 图，计算出阴影面积占正方形面积的。 【答案】（1）相等；原因见详解 （2）①； 【思路引导】（1）图①：两个半圆的面积和等于直径是2分米的圆的面积；阴影部分面积＝正方形面积－直径为2分米圆的面积，根据正方形面积＝边长×边长，圆的面积＝π×半径2，代入数据，求出阴影部分面积。 图②：四个空白面积加起来是一个直径2分米的圆的面积；阴影部分面积＝正方形面积－直径为2分米的圆的面积，据此求出阴影部分面积。 图③：三个空白面积加起来就是直径2分米的圆的面积，阴影部分面积＝正方形面积－圆的面积，据此求出阴影部分面积，再进行比较，即可解答。 （2）选择图①（选法不唯一），用阴影部分的面积÷正方形面积，即可解答。 【规范解答】（1）图①： 2×2－3.14×（2÷2）2 ＝2×2－3.14×12 ＝4－3.14×1 ＝4－3.14 ＝0.86（平方分米） 图②： 2×2－3.14×（2÷2）2 ＝2×2－3.14×12 ＝4－3.14 ＝0.86（平方分米） 图③： 2×2－3.14×（2÷2）2 ＝2×2－3.14×12 ＝4－3.14×1 ＝4－3.14 ＝0.86（平方分米） 0.86＝0.86＝0.86，阴影部分的面积相等。 答：阴影部分的面积相等，因为计算的阴影部分的面积结果相同。 （2）0.86÷（2×2） ＝0.86÷4 ＝ 我选择第①图，计算出阴影面积占正方形面积的。（选择的图答案不唯一） 考点二十 含圆的组合图形的计算（周长和面积） 母题精讲（2024·江苏盐城·小升初真题）小明：爸爸，我发现最近盐城许多路口的地面上都设置了“右转危险区”。这是为什么呢？ 爸爸：卡车、货车等车身较长的大型车辆在转弯时，驾驶员都会产生视觉盲区，容易造成交通事故，为此我们交警部门设置了这样的“右转危险区”标线。我们的设计图是用小学数学知识绘制的哦！ （1）请你按设计图上标注的数据，将“右转危险区”按1∶200缩小后，画在如图的方格图上，并涂上阴影。 （2）该“右转危险区”的实际面积是（    ）平方米（为了方便计算，本题π取3） 【答案】（1）见详解 （2）21 【思路引导】（1）依据题意可知，图上1厘米代表实际距离200厘米，即2米，由此计算图中各个线段的图上距离，由此作图； （2）该“右转危险区”的实际面积＝边长为10米的正方形的面积＋半径是4米的圆的面积÷4－边长为4米的正方形的面积－半径为10米的圆的面积÷4，由此列式计算。 【规范解答】（1）10÷2＝5（厘米） 6÷2＝3（厘米） 4÷2＝2（厘米） 如图： （2）10×10＋3×4×4÷4－4×4－3×10×10÷4 ＝100＋12－16－75 ＝21（平方米） 则该“右转危险区”的实际面积是21平方米。 举一反三（2024·江苏常州·小升初真题）长方形ABCD的宽是2厘米，分别以点B、C为圆心，以2厘米为半径画两段圆弧相交于点M，图中两块阴影部分的面积相等，长方形的面积是( )平方厘米。 【答案】6.28 【思路引导】 由图可知，长方形被分成四个部分，其中②和④的面积相等，还知①和②、②和③的面积正好都为一个四分之一圆的面积，那么①和④也为一个四分之一圆的面积，这样①和④、②和③正好是两个四分之一圆的面积，也就是一个半径为2厘米半圆的面积，所以长方形的面积＝半圆的面积，根据半圆的面积＝πr2÷2，代入数据求解即可。 【规范解答】3.14×22÷2 ＝3.14×4÷2 ＝12.56÷2 ＝6.28（平方厘米） 长方形的面积是6.28平方厘米。 【考点剖析】本题主要考查了组合图形的面积，解题的关键是明确长方形的面积＝半圆的面积。 考点二十一 弧、圆心角、扇形的认识 母题精讲（2024·江苏苏州·小升初真题）小明在一张正方形卡纸上剪下一个圆形和一个扇形，圆的周长恰好和扇形曲线部分的长度相等，这样刚好围成一个圆锥体模型（如图）。如果圆的半径为r，扇形半径为R，那么r∶R＝( )∶( )。 【答案】 1 4 【思路引导】根据围成圆锥后圆锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长，列出关系式即可得到两个半径之间的关系。 【规范解答】因为扇形的弧长等于圆锥底面周长， 所以2πR＝2πr R＝2r （R×2）＝（2r×2） R＝4r r∶R＝1∶4 【考点剖析】解答此题的关键是明白：圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长。 举一反三某班有50人，其中三好学生10人，优秀学生干部5人，在扇形统计图上表示三好学生和优秀学生干部人数的圆心角分别是（    ）。 A．72°，36° B．100°，50° C．80°，40° D．120°，60° 【答案】A 【思路引导】把全班人数看作单位“1”，用三好学生人数、优秀学生干部人数分别除以全班人数，求出三好学生人数、优秀学生干部人数分别占全班人数的几分之几； 已知圆的圆心角是360°，根据求一个数的几分之几是多少，用360°分别乘三好学生人数、优秀学生干部人数占的分率，即可得解。 【规范解答】10÷50＝ 5÷50＝ 360°×＝72° 360°×＝36° 在扇形统计图上表示三好学生的圆心角是72°，表示优秀学生干部人数的圆心角是36°。 故答案为：A 【考点剖析】先求出三好学生人数、优秀学生干部人数分别占的分率，然后根据圆的圆心角为360°，用分数乘法的意义解答。 考点二十二 扇形的周长和面积 母题精讲（2025·江苏无锡·小升初真题）如图，三个圆的周长都是25.12厘米，则阴影部分的总面积是( )平方厘米。 【答案】37.68 【思路引导】四边形的内角和是360°，这三个扇形的圆心角之和是360°－90°＝270°；所以这三个阴影部分和起来，正好是一个圆的，圆的周长已知，用圆的周长除以，再除以2求出半径，根据扇形的面积＝解答即可。 【规范解答】25.12÷3.14÷2 ＝8÷2 ＝4（厘米） 360°－90°＝270° ×3.14× ＝×3.14×16 ＝3.14×12 ＝37.68（平方厘米） 所以阴影部分的总面积是37.68平方厘米。 举一反三在一块正方形纸片上剪下一个圆形和一个扇形（如图所示），恰好能圈成一个圆锥模型。如果扇形的半径为a，圆的半径为b，那么（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】根据围成圆锥后圆锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长，列出关系式即可得到两个半径之间的关系。 【规范解答】因为扇形的弧长等于圆锥底面周长 所以×2πa＝2πb a＝2b a∶b＝2∶＝4∶1 故答案为：B 【考点剖析】解答此题的关键是明白：圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长。 考点二十三 画圆及扇形 母题精讲（2024·江苏扬州·小升初真题）用一张长1.8米、宽0.8米的长方形铁皮，做一种直径8分米的圆形交通标志牌，怎样裁切比较合理，先在图中画一画，再完成填空。 最多能做（    ）块这样的交通指示牌。 【答案】图见详解；2 【思路引导】先根据进率“1米＝10分米”把长1.8米换算成18分米，宽0.8米换算成8分米；要在这张长方形铁皮做直径8分米的圆形交通标志牌，那么圆的直径等于长方形的宽；分别用长、宽除以直径，求出长、宽里面最多有几个直径，再相乘，即可求出最多能做几块这样的交通指示牌，据此在图中画出圆。 【规范解答】如图： 1.8米＝18分米 0.8米＝8分米 18÷8＝2（个）……2（分米） 8÷8＝1（个） 一共：2×1＝2（块） 最多能做（2）块这样的交通指示牌。 举一反三（2024·江苏无锡·小升初真题）按要求画一画、填一填。 （1）已知图中梯形顶点A的位置在（2，5），则顶点C的位置可以用数对（    ）表示。 （2）画出梯形绕顶点B逆时针旋转90°后的图形。 （3）以点O为圆心，按3∶1的比画出圆放大后的图形；放大后的圆与原来圆周长的比是（    ）；放大后的圆与原来的圆组成的图形有（    ）条对称轴。 【答案】（1）（4，7） （2）图见详解 （3）图见详解；3∶1；无数 【思路引导】（1）用数对表示位置的方法：数对的第一个数字表示列，第二个数字表示行；由顶点A的数对，推导出顶点C的数对。 （2）根据旋转的特征，将梯形绕顶点B逆时针旋转90°，点B位置不变，其余各部分均绕此点按相同方向旋转相同度数，即可画出旋转后的图形。 （3）以点O为圆心，圆按3∶1的比放大，那么原来圆的半径乘3，即是放大后圆的半径，据此画出放大的圆。 根据圆的周长公式C＝2πr以及积的变化规律，可知两个圆的周长之比等于它们的半径之比。 一个图形沿一条直线对折后，折痕两旁的部分能够完全重合，这样的图形就是轴对称图形，这条直线就是对称轴。 【规范解答】（1）列：2＋2＝4 行：5＋2＝7 顶点C的位置可以用数对（4，7）表示； （2）梯形绕顶点B逆时针旋转90°后的图形，如下图。 （3）放大后圆的半径是：1×3＝3 以点O为圆心，画一个半径为3的圆，如下图。 放大后的圆与原来圆周长的比是（3∶1），放大后的圆与原来的圆组成的图形有（无数）条对称轴。 分●层●训●练 【基础能力夯实】 1．钟面上（    ）时整，时针和分针形成的角是直角。 A．3 B．6 C．12 【答案】A 【思路引导】在三角板上，最大角就是直角。 3时时，时针指向3，分针指向12，时针和分针形成的角是直角；9时时，时针指向9，分针指向12，时针和分针形成的角是直角；据此解决。 【规范解答】由题意分析得： 钟面上3时整，时针和分针形成的角是直角。 故答案为：A 2．（2025·江苏苏州·小升初真题）如图，小亮从A点出发，向北走30米到达B点，再从B点向东走30米到达C点。小亮回头看A点，发现A点在C点的（    ）。 A． 南偏西30°方向 B．南偏东30°方向 C．南偏西45°方向 D．南偏东45°方向 【答案】C 【思路引导】根据题意结合图示可知，AB＝BC＝30米，所以三角形ABC是等腰直角三角形，则∠BCA＝45°，根据地图上方向的规定“上北下南，左西右东”，以C点为观测点，确定出A点的位置，进而解答。 【规范解答】根据分析可知，以C点为观测点，A点在C点的南偏西45°方向。 故答案为：C 3．（2023·四川成都·小升初真题）笑笑用16分米长的铁丝做成（    ）的面积最大。 A．正三角形 B．长方形 C．正方形 D．圆 【答案】D 【思路引导】平面图形中当周长相等时，越接近圆，面积就越大。 【规范解答】据分析，四个选项的面积大小排序是正三角形＜长方形＜正方形＜圆 故答案为：D 4．一个圆柱的侧面展开后是正方形，这个圆柱的底面直径与高的比是（    ）。 A．2π∶1 B．1∶1 C．1∶π D．π∶1 【答案】C 【思路引导】圆柱侧面展开为正方形，说明圆柱的高等于底面周长。底面周长公式为C＝πd，因此高h＝πd，进而推导底面直径与高的比。 【规范解答】一个圆柱的侧面展开后是正方形，则πd＝h。 d∶h＝d∶πd＝（d÷d）∶（πd÷d）＝1∶π 这个圆柱的底面直径与高的比是1∶π。 5．把边长为1厘米的正方形纸片，按下面的规律拼成长方形。 用5个正方形拼成的长方形的周长是( )厘米，用n个正方形拼成的长方形的周长是( )厘米。 【答案】 12 2n＋2 【思路引导】用5个正方形拼成的长方形，长是5厘米，宽是1厘米。用n个正方形拼成的长方形，长沙n厘米，宽是1厘米。根据长方形的周长＝（长＋宽）×2＝2×长＋2×宽解答。 【规范解答】（5＋1）×2 ＝6×2 ＝12（厘米） 用5个正方形拼成的长方形的周长是12厘米，用n个正方形拼成的长方形的周长是（2n＋2）厘米。 6．（2024·江苏无锡·小升初真题）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，线段CD是AB边上的高。已知∠1＝20°，那么∠2＝( )°。 【答案】40 【思路引导】利用三角形的内角和是180°，等腰三角形的两个底角的度数相等，分别求出∠B、∠ACB的度数，即可求出∠2的度数。 【规范解答】在三角形BCD中，∠BDC＝90°，∠1＝20°； 所以∠B＝180°－90°－20°＝70° 三角形ABC是等腰三角形，则∠ACB＝∠B＝70°； 所以∠2＝180°－70°－70°＝40°。 那么∠2＝40°。 7．（2025·江苏淮安·小升初真题）如图1，用正方形纸剪出一个特殊的三角形。 (1)∠1＝________°，∠2＝________°。 (2)通过折、剪，我们得到的这个特殊三角形是________三角形，如果正方形的边长是5厘米，那么这个三角形的周长是________厘米。 (3)如果把这个特殊三角形沿虚线剪去一个角（如图2），那么剩下的四边形中，∠3＋∠4＝________°。 【答案】(1) 30 60 (2) 等边 15 (3)240 【思路引导】（1）根据图形折叠，可知最后剪下来的是等边三角形，等边三角形的每个内角都是60度，即∠2＝60°，根据折叠性质即可求出∠1＝60°÷2＝30°； （2）根据等边三角形的性质可知，三边相等，都等于正方形边长，根据封闭图形一周的长度即为周长，据此即可求出三角形的周长； （3）根据等边三角形的性质可知三个内角都是60°，而四边形的内角和是360°，据此即可求出∠3和∠4的度数和。据此解答。 【规范解答】（1）∠2＝60°。∠1＝60°÷2＝30° 所以∠1＝30°，∠2＝60°。 （2）5×3＝15（厘米） 通过折、剪，我们得到的这个特殊三角形是等边三角形，如果正方形的边长是5厘米，那么这个三角形的周长是15厘米。 （3）∠3＋∠4＝360°－60°－60°＝240° 即剩下的四边形中，∠3＋∠4＝240°。 8．（2023·四川成都·小升初真题）一个圆的半径增加1米，则这个圆的面积增加平方米。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】假设原来圆的半径是1米，半径增加1米后，现在圆的半径是2米。根据圆的面积＝（r是圆的半径）分别求出增加前后的圆的面积，再相减。 【规范解答】圆的半径是1米时：3.14×12＝3.14（平方米） 增加半径过后的圆：3.14×22＝12.56（平方米） 12.56－3.14＝9.42（平方米） 故答案为：× 9．（2025·江苏苏州·小升初真题）（1）把三角形绕点O顺时针旋转90°。 （2）点D和点A、B、C正好围成一个平行四边形，画出这个平行四边形。 （3）按1∶3的比画出长方形缩小后的图形。 【答案】（1）（2）（3）见详解 【思路引导】（1）根据旋转的特征，三角形绕点O顺时针旋转90°后，点O的位置不动，其余各部分均绕此点按相同方向旋转相同的度数，得到旋转后的图形 （2）利用平行四边形的特点；通过平移AB边或BC边等方法来确定点D的位置去画图（答案不唯一）。 （3）按1∶3缩小就是长方形的长和宽分别除以3，求出缩小后的长和宽，原来长方形的长是6格，宽是3格，缩小后的长是6÷3＝2格，宽是3÷3＝1格，画出缩小后的长方形（位置不唯一）。 【规范解答】（1）图下图： （2）如下图：（答案不唯一） （3）如下图： 10． （2024·江苏无锡·小升初真题） （1）画出图①的另一半，使它成为一个轴对称图形。 （2）如果用数对表示图②梯形的四个顶点，点的数对是，点的数对是，那么点的数对是（    ）。 （3）将图③绕点逆时针旋转90度，画出旋转后的图形。 （4）以点为圆心画一个直径4厘米的圆。（图中每个小方格的边长表示1厘米） 【答案】见详解 【思路引导】（1）轴对称图形对应点到对称轴的距离相等，对应点的连线垂直于对称轴，据此画出图①的另一半； （2）数对中的第一个数表示列，第二个数表示行。点A的数对位置是（9，5），说明A在第9列。看图可知，点B在点A右边，点B在（9＋3）列。点C的数对位置是（16，8），点B和点C在同一行。据此写出点B的数对位置； （3）点E不动，将图形③的各边均绕着点E逆时针旋转90°，画出旋转后的图形； （4）半径为4÷2＝2（厘米），取圆规两脚间的距离为2厘米，点O为圆心，画出这个圆。 【规范解答】（2）9＋3＝12 点B在第12列第8行，用数对表示是（12，8）。 （1）（3）（4）见下图： 【思维拓展拔尖】 1．（2025·江苏苏州·小升初真题）小林在正方形中画一个最大的圆，圆的面积是50.24平方厘米，这个正方形的边长（    ）厘米。 A．48 B．32 C．16 D．8 【答案】D 【思路引导】在正方形中画一个最大的圆，则这个圆的直径等于这个正方形的边长，根据圆的面积公式：，用50.24平方厘米除以3.14计算出的值，进而求出半径和正方形的边长即可。 【规范解答】50.24÷3.14＝16（平方厘米） 因为4×4＝16，所以圆的半径是4厘米 4×2＝8（厘米），则圆的直径也就是这个正方形的边长是8厘米。 故答案为：D 2．（2025·江苏苏州·小升初真题）如图，在一个等边三角形中画一个尽可能大的圆，又在这个圆中画一个尽可能大的等边三角形。图中小等边三角形的面积相当于大等边三角形面积的（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】可以作出小三角形顺时针或逆时针旋转后的图形，再判断它与大三角形的关系。 【规范解答】由分析，作旋转后的图形如下： 把大三角形看作单位“1”，平均分成4份，取其中的1份，就是一个小三角形。 所以，图中小等边三角形的面积相当于大等边三角形面积的。 【考点剖析】利用作图的方式找到大小三角形的关系是关键。 3．（2025·江苏淮安·小升初真题）把图中三角形按3∶1的比缩小后： ①相对应的“线段BC的长度” ②“三角形的面积” ③“∠A的度数” ④“AB与AC长度的比值”。 四个要素中，不发生变化的有（    ）个。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【思路引导】图形的放大和缩小是生活中常见的现象，把一个图形放大或缩小后所得到的图形与原图形相比，形状相同，大小不同，据此判断。 【规范解答】图中三角形按3∶1的比缩小后： ①相对应的“线段BC的长度”变为原来长度的； ②△ABC的面积＝AC×BC÷2，缩小后的三角形的面积＝AC×BC÷2＝×△ABC的面积，“三角形的面积”变小，变为原来的； ③“∠A的度数”不变； ④“AB与AC长度的比值”缩小后也为3∶1，即比值不变。 不发生变化的有③④，不发生变化的有2个。 故答案为：B 4．（2025·江苏苏州·小升初真题）活动课上，同学们用铁丝圈成一个等腰三角形，其中两条边的长度分米和分米，这个三角形的周长是( )分米。 【答案】 【思路引导】等腰三角形的特征是两条腰相等，已知一个等腰三角形的两条边的长度分别是分米和分米，则另外一条边可能是分米或分米；根据三角形的两边之和大于第三条边，两边之差小于第三条边求出另一条边的长度，最后把三条边相加之和就是这个等腰三角形的周长。 【规范解答】如果这个等腰三角形的腰长度是分米。 ＋＝，因为＜，不满足三角形的两边之和大于第三条边，所以这个等腰三角形的腰长度是分米。 ＋＋ ＝＋＋ ＝＋ ＝（分米） 这个三角形的周长是分米。 5．（2025·江苏淮安·小升初真题）把一根长度为21厘米的小棒，先截成三段整厘米数的小棒，再围成一个三角形。那么这三根小棒中最长的一根最多是________厘米。 【答案】10 【思路引导】由三角形的三边关系可知，三角形的任意两边之和大于第三条边，任意两边之差小于第三条边，据此求解即可。 【规范解答】21÷2＝10.5（厘米） 因为截成的三段小棒是整厘米数，所以两个短边的和大于或等于11厘米。 21－11＝10（厘米） 所以这三根小棒中最长的一根最多是10厘米。 6．（2025·江苏无锡·小升初真题）钟面的分针长4厘米，从2时到2时30分，分针转过( )°，分针扫过的面积是( )平方厘米，针尖走过的距离是( )厘米。 【答案】 180 25.12 12.56 【思路引导】钟面1个大格是30°，从2时到2时30分，分针转过了6个大格，每个大格的度数×转过的大格数＝转过的度数；分针相当于圆的半径，从2时到2时30分，分针扫过的面是个半圆，针尖走过的距离是圆周长的一半，根据半圆的面积＝圆周率×半径的平方÷2，圆周长的一半＝圆周率×半径，列式计算即可。 【规范解答】30°×6＝180° 3.14×42÷2 ＝3.14×16÷2 ＝25.12（平方厘米） 3.14×4＝12.56（厘米） 钟面的分针长4厘米，从2时到2时30分，分针转过180°，分针扫过的面积是25.12平方厘米，针尖走过的距离是12.56厘米。 7．两个面积相等的三角形能拼成一个平行四边形。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】两个三角形能拼成一个平行四边形的条件是它们必须形状和大小完全相同。面积相等只保证面积大小相同，但无法保证形状相同（如底和高可能不同）。因此，面积相等的三角形不一定能拼成平行四边形。 【规范解答】根据分析可知，两个三角形能拼成一个平行四边形的条件是它们必须形状和大小完全相同，面积相等的三角形不一定能拼成平行四边形。原说法错误。 故答案为：× 8．等腰直角三角形的底角一定是45°。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】等腰直角三角形中，两个底角相等，顶角为90°。根据三角形内角和为180°可知，等腰直角三角形的底角的度数为（180°－90°）÷2。 【规范解答】（180°－90°）÷2 ＝90°÷2 ＝45° 等腰直角三角形的底角一定是45°。原题说法正确。 故答案为：√ 9．（2024·江苏扬州·小升初真题）看图列出方程。 【答案】y＝30 【思路引导】从图中可知，直角三角形的面积是240cm2，一条直角边是16cm，则对应的高是ycm，根据“三角形的面积＝底×高÷2”列出方程，并求解。 【规范解答】16y÷2＝240 解：8y＝240 y＝240÷8 y＝30 10．（2024·江苏无锡·小升初真题）同学们，“观察一猜想一验证一结论一应用”是我们常用的数学探究方法。梁希同学在边长为5厘米的正方形纸片上剪去一个边长为3厘米的小正方形，怎样求剩余部分的面积呢？梁希同学想出了两种不同的方法（如下图）。 从中可以得到：。观察这个等式的特征，回答问题： （1）猜想：是不是任意两个数都具有这样的规律呢？（    ）（填“是”或“不是”） （2）请举2个例子验证： ①（    ）×（    ）   ②____________________________ （3）如果用和分别表示两个数，这样的规律可以表示为：_______________________ （4）计算下图中圆环的面积，尝试应用上面得到的规律进行简算。（单位：厘米） 【答案】（1）是 （2）10＋6；10－6 82－32＝（8＋3）×（8－3） 92－32＝（9＋3）×（9－3） （3）a2－b2＝（a＋b）×（a－b） （4）23.55平方厘米 【思路引导】（1）猜想任意两个数都具有这样的规律。 （2）根据题意得出规律是：两个数的平方差等于这两个数的和与两个数的差的乘积，据此写出102－62的等式以及列举算式。 （3）用字母表示规律，可以把两个数分别用两个字母表示，然后利用对应的规律解答即可。 （4）根据圆环的面积＝π×（大圆半径2－小圆半径2），化为π×（大圆半径＋小圆半径）×（大圆半径－小圆半径），据此求出圆环的面积，据此解答。 【规范解答】（1）是不是任意两个数都具有这样的规律呢？是。 （2）102－62＝（10＋6）×（10－6） 82－32＝（8＋3）×（8－3） 92－32＝（9＋3）×（9－3）（答案不唯一） （3）如果a和b分别表示两个数（a＞b），这样的规律可以表示为： a2－b2＝（a＋b）×（a－b） （4）3.14×（4.252－3.252） ＝3.14×（4.25＋3.25）×（4.25－3.25） ＝3.14×7.5×1 ＝23.55×1 ＝23.55（平方厘米） 答：圆环的面积是23.55平方厘米。 试卷第2页，共121页 试卷第2页，共33页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $