精品解析：重庆复旦中学教育发展共同体2025-2026学年八年级下学期期中考卷数学试卷

重庆复旦中学教育发展共同体2025-2026学年度下期期中考试初2027届数学试题 尊重自己！爱护复旦！复旦过去的光荣，将来的灿烂，全赖我们共同爱护，共同发展！同学：今天在考试的时候，不要忘记自己！不要忘记复旦！考场秩序井然，人人洁身自爱． 本试卷分为I卷和Ⅱ卷，考试时间120分钟，满分150分．请将答案工整地书写在答题卡上． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列情境中，优先考虑用解析法表示函数关系的是（ ） A. 记录某病人一天内不同时刻的体温 B. 反映某城市一年中各月份的平均降雨量 C. 用公式计算圆柱高h一定的情况下的体积V与底面半径r之间的关系 D. 展示某运动员在100米比赛中速度随时间的变化 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查函数不同表示方法的适用场景，初中函数表示方法分为解析法、列表法、图象法三类，解析法通过数学解析式表达函数关系，需结合各情境特征判断． 【详解】解：∵ 解析法适合表示有明确数学关系式的函数关系，列表法适合整理离散的对应数据，图象法适合直观展示变化趋势． 又∵ A选项记录不同时刻的体温，为离散对应数据，优先选列表法；B选项反映各月份的平均降雨量，为离散对应数据，优先选列表法；D选项展示速度随时间的变化趋势，优先选图象法． C选项中h为定值，体积与底面半径有明确关系式，符合解析法的适用特征，优先用解析法． 2. 如图，长方形的边在数轴上，若点A与数轴上表示数的点重合，点D与数轴上表示数的点重合，，以点A为圆心，对角线的长为半径作弧与数轴负半轴交于一点E，则点E表示的数为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查勾股定理与无理数，实数与数轴．勾股定理求出的长，进而求出点E表示的数即可． 【详解】解：由题意，得：，，， ∴， ∴点表示的数为； 故选A． 3. 在平行四边形中，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟知平行四边形的性质是解题的关键．根据平行四边形的性质得到，即可求解． 【详解】解：如图， ∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ． 故选：B． 4. 有以下关于x，y的等式：①；②；③；④，其中y是x的函数的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查函数的定义，判断每个等式是否满足函数的定义，即对于每一个x值，只能有一个y值与之对应． 【详解】解：∵ ① 可化为，对于每一个x值，y有唯一确定值， ∴ ①y是x的函数； ∵ ②，例如当时，或，一个x对应两个y， ∴ ②y不是x的函数； ∵ ③，例如当时，或，一个x对应两个y， ∴ ③y不是x的函数； ∵ ④可化为（），对于每一个非零x值，y有唯一确定值， ∴ ④y是x的函数； ∴ ①和④是函数，共2个， 故选：B． 5. 在四边形中，对角线和相交于点O，，添加下列条件后能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．根据平行四边形的判定定理判断即可． 【详解】解：如图： A、∵，， ∴不能判定四边形是平行四边形；故该选项是错误的； B、∵，， ∴不能判定四边形是平行四边形；故该选项是错误的； C、∵，，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形；故该选项是正确的； D、∵，， ∴不能判定四边形是平行四边形；故该选项是错误的； 故选：C． 6. 如图所示的是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理计算出大正方形边长的平方，即大正方形的面积，再根据勾股定理可得两个小正方形的边长的平方和等于斜边的平方，即两个小正方形的面积和等于大正方形的面积，从而得出答案． 【详解】由勾股定理得，大正方形边长的平方==25，即大正方形面积为25， ∵两个小正方形的边长的平方和等于斜边的平方， ∴两个小正方形的面积和为25， ∴阴影部分的面积为：25+25=50． 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题关键． 7. 如图，是的中位线，点F在上，且，若，，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2.5 D. 1.5 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查三角形中位线定理，直角三角形斜边中线的性质，根据三角形中位线定理求出，根据直角三角形的性质求出，结合图形计算，得到答案. 【详解】解：∵是的中位线， ∴， 在三角形中，是的中点， ∴， ∴ 故选：D. 8. 如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是对顶角的性质，多边形和正多边形的内角和，熟练掌握正多边形每个内角的求解公式是解题的关键． 先根据正多边形每个内角为，得到正六边形和正方形每个内角的度数，再结合四边形的内角和以及对顶角的性质可得答案． 【详解】解：如图， 由多边形内外角和定理可知，，， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故选：B． 9. 某物流公司的快递车和货车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，快递车到达乙地后卸完物品再另装货物共用，立即按原路以另一速度返回，直至与货车相遇，已知货车的速度为，两车之间的距离与货车行驶时间之间的函数图象如图所示.其中正确的结论有（ ） 现有以下4个结论： ①快递车到达乙地时两车相距；②甲、乙两地之间的距离为； ③快递车从甲地到乙地的速度为；④图中点B的坐标为. A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查从函数图象获取信息．结合题意可得时，快递车到达乙地，此时两车之间距离最大，之后段为快递车卸货装货时间期间两车距离变化情况，时两车相遇，由此逐项判断即可． 【详解】解：由图可知，时，快递车到达乙地，此时两车相距，故①正确； 快递车从甲地到乙地的速度为：，故③错误； 甲、乙两地之间的距离为，故②正确； 图中点B的横坐标为，纵坐标为：，故④正确， 综上可知，正确的结论有①②④． 故选：D． 10. 如图，在正方形中，E、F分别是的中点，交于点G，连接．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（　　） A. ①② B. ①③ C. ①②④ D. ①②③ 【答案】C 【解析】 【分析】证明，得到，故①正确；延长，二线交于点H， 证明，正方形的性质，直角三角形的性质可判定②正确；无法判定③，等量代换继续求解即可； 【详解】解：∵四边形是正方形，E、F分别是的中点， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， 故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 延长，二线交于点H， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故②正确； 无法得出； 故③错误； ， ， ∴， ∵， ∴； 故④正确． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 如图，是四边形的外角，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了四边形内角和定理，先由平角的定义求出的度数，再根据四边形内角和为360度即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 如图，网格中每个小正方形的边长均为1，以A为圆心，为半径画弧，交最上方的网格线于点N，则的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，则，在中，利用勾股定理求出即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， 由题意知：， 在中，由勾股定理得： ， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，求出的长是解题的关键． 13. 古代数学的“折竹抵地”问题：“今有竹高二十五尺，末折抵地，去本五尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高25尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为5尺，问折处高几尺？即：如图，尺，尺，竹子折断处的高度是______． 【答案】12尺 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，设尺，则尺，利用勾股定理列出方程求解x即可． 【详解】解：设尺，则尺， 由勾股定理得，， 解得， ∴尺， 故答案为：12尺． 14. 如图1，一个正方体铁块放置在圆柱形水槽内，现以一定的速度往水槽中注水，时注满水槽，水槽内水面的高度与注水时间之间的函数图像如图2所示.如果将正方体铁块取出，又经过____秒恰好将水槽注满. 【答案】4 【解析】 【分析】根据函数图像可得正方体的棱长为10cm，同时可得水面上升从10cm到20cm,所用的时间为16秒，结合前12秒由于立方体的存在，导致水面上升速度加快了4秒可得答案. 【详解】解：由题意可得:12秒时,水槽内水面的高度为10cm,12秒后水槽内水面高度变化趋势改变，正方体的棱长为10cm； 没有立方体时,水面上升从10cm到20cm,所用的时间为:28-12=16秒 前12秒由于立方体的存在，导致水面上升速度加快了4秒 将正方体铁块取出, 又经过4秒恰好将此水槽注满. 故答案：4 【点睛】本题主要考查一次函数的图像及应用，根据函数图像读懂信息是解题的关键. 15. 如图，在平行四边形中，是的中点，是的中点，交于点，若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了平行四边形的判定和性质，三角形中位线的性质定理等． 取中点H，连接与，根据线段中点得出，利用三角形中位线的性质及平行线的判定得出四边形为平行四边形，再由平行四边形的性质求解即可． 【详解】解： 取中点H，连接与，如图所示： ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵F是的中点，H为中点， ∴为的中位线， ∴，， ∵E是中点， ∴， ∴， ∵ ∴四边形为平行四边形， ∴， 故答案为：． 16. 如图，在中，，，点N在直线上运动，以为边向的右侧作菱形，且，M为中点，连接，则点N在运动过程中，_____，的长度存在最小值为______． 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】根据三角形全等的判定和性质，菱形的性质，直角三角形斜边中线等于斜边一半，垂线段最短求解即可； 【详解】解：，， ， ， ， 取的中点Q，连接， M为中点， ， ∵四边形是菱形， ∴ ∴在和中， ∴， ∴， 根据垂线段最短，当时，取得最小值， 此时也取得最小值， 此时； 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 在中，已知，，，延长到点，使，连接，请求出的长度． 【答案】 【解析】 【分析】根据勾股定理，勾股定理逆定理求解即可． 【详解】解：∵ ，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴ ． 18. 已知：四边形中，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明见解析． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，平行线的判定与性质，根据平行线的性质得到，再得到，推出，即可得出答案，掌握平行四边形的判定法则是解题的关键． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 重庆复旦外语学校校门到操场是一段“之”字形下坡道路，数学抽象如图所示，其中线段两段之字路，初二年级的数学兴趣小组同学设计了一个数学问题，通过手机智能工具测量出校门口A点到操场水平线垂直高度米，拐点B到操场水平线垂直高度米，B点到的水平距离米，道路下端点C到的水平距离米，请你运用所学知识作图分析来求出道路的总长度大约是多少米?（最后数据只要求精确到米） 【答案】道路总长度约为55米． 【解析】 【分析】作于F，在和中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解；作于F， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， 解得， ∵， ∴且更接近14， ∴， ∵，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴道路总长度约为55米． 20. 如图，在中，点E在上，且平分． （1）请用尺规过A点作的垂线交于点O，交于点F，连接．（保留作图痕迹，不写作法） （2）求证：四边形是菱形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据垂线的基本作图求解即可； （2）根据菱形的判定证明即可． 【小问1详解】 解：根据基本作图，作图如下： 则点F即为所求； 【小问2详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ， 平分， ， ， ， 设的交点为O， 则 故垂直平分， ， ∵， ∴， ∴， ∴， 四边形是菱形； 21. 某校“书法社”和“音乐社”两个社团开展课外实践活动．如图①，“书法社”同学骑自行车从中央广场出发前往社区文化站参加书法展，“音乐社”同学坐小型新能源旅游观光车从区少年宫出发，途经社区文化站后前往中央广场参加活动（两个社团在社区文化站与中央广场之间沿同一路段行驶），两个社团同时出发且匀速行驶．已知旅游观光车的速度是自行车速度的3倍，如图②表示的是两个社团离社区文化站的距离与行驶时间之间的函数图象．观察函数图象回答下列问题： （1）“书法社”骑自行车的速度为　　　； （2）求图象中a与b的值； （3）请求出P点的坐标，并说明点P表示的实际意义． 【答案】（1） （2）， （3），它表示“书法社”和“音乐社”同学相遇的时间和距离社区文化站的距离 【解析】 【分析】（1）根据速度=路程÷时间求解即可； （2）根据图象，得中央广场与区少年宫的距离为，区少年宫与社区文化站的距离为，根据公式计算即可； （3）利用待定系数法，相遇的意义求解即可． 【小问1详解】 解：根据图象，得中央广场与社区文化站的距离为，“书法社”骑自行车用时间为， 故速度为； 【小问2详解】 解：根据题意，得旅游观光车的速度是自行车速度的3倍， 故旅游观光车的速度为； 根据图象得区少年宫与社区文化站的距离为，社区文化站与中央广场的距离为， 故“音乐社”从少年宫到文化站用时为， 即； 因为“音乐社”从社区文化站与中央广场用时为， 所以； 【小问3详解】 解：设“书法社”运动的图象解析式为， 根据题意，得， 解得， 故直线的解析式为； 设返回文化站运动的图形解析式为， 根据题意，得， 解得， 故直线的解析式为； 根据题意，得， 解得， 故. 点P表示的实际意义是“书法社”同学骑自行车从中央广场到社区文化站的途中，与“音乐社”同学坐小型新能源旅游观光车从社区文化站前往中央广场的途中相遇． 22. 如图1，在矩形中，平分交于点，作于． （1）求证：四边形是正方形． （2）【问题探究】如图2，连接交于．发现：用勾股定理去探究与有何关系，并说明理由． （3）【学以致用】若，，请求出的长． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的判定证明即可； （2）连接交于O，设，利用勾股定理求解即可； （3）根据（2）的结论求解即可； 【小问1详解】 证明：∵四边形是矩形 ∴， ∵， ∴ ∴四边形是矩形 ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴矩形是正方形. 【小问2详解】 解：；理由如下： 连接交于O,设， ∵四边形是正方形 ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵，，由 可知 ∴， ∴； 23. 综合与实践：手工课上，老师给每个小组准备了一张边长为20cm的正方形硬纸板，同学们需要将正方形硬纸板制成无盖的长方体收纳盒，并希望所制成的盒子能够收纳尽可能多的物品，你能设计出合理的方案，并制作出实物模型吗？ 【建立模型】如图1，把正方形硬纸板的四周各剪去一个边长为的小正方形，再折叠成 一个无盖的长方体盒子，设所折叠的长方体盒子的容积为，求的最大值． 【探究模型】小亮类比函数的学习进行了如下探究． （1）写出V关于x的函数表达式，并写出x的取值范围． （2）列出当小正方形边长x为整数时对应长方体盒子容积V的值如下表． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 324 512 588 576 a 384 252 128 36 表中a的值是__________． （3）如图2，在平面直角坐标系中已给出部分x为整数时对应的点，请你描出其余各点，画出函数V的大致图象． 【解决问题】 （4）利用函数图象回答：①长方体盒子的容积最大约为多少？（结果保留整数） ②若要制作一个容积为的长方体盒子，直接写出小正方形的边长x的值．（结果保留一位小数） 【答案】（1）； （2）500； （3）画出函数的大致图象如下所示： （4）①（答案不唯一）；②（答案不唯一）或 【解析】 【分析】本题考查了画函数图象、一元一次不等式组的应用，熟练掌握函数图象的画法是解题关键． （1）根据长方体的体积公式即可的函数关系式，根据硬纸板的边长即可得的取值范围； （2）将代入计算即可得； （3）先描出其余各点，再顺次连接即可画出函数的大致图象； （4）①根据函数图象即可得； ②根据函数图象即可得． 【详解】解：（1）由题意得：， ∵， ∴， 则． （2）当时，，即， 故答案为：500． （3）略 （4）①由函数图象可知，长方体盒子的容积最大约为（答案不唯一）； ②由函数图象可知，当时，（答案不唯一）或． 24. 著名数学家希尔伯特曾说：“算式是算出来的图形，图形是画出来的公式”，构造图形是为了运用几何图形的直观性，数形结合来简化解决一些复杂代数问题． 比如的几何意义是以，为直角边的直角三角形斜边长，故当求的最小值时，可数形结合构造两个分别以，3和，1为直角边的直角三角形（如图），，，，，，由勾股定理知，，细心观察发现与的长度恰好凑成3，故将两个图形拼在一起，再由将军饮马几何模型与三角形三边关系可推得，当、、三点共线（点位于、之间）时，的最小值为线段的长． （1）根据上述规律和结论，请构图求代数式的最小值（其中）； （2）借助上述解题思路，迁移运用并从下列两个题中任选一题进行解答（其中）： ①解方程：； ②求代数式的最大值． 【答案】（1）10 （2）①；② 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用、三角形三边关系、将军饮马模型以及数形结合思想，解题的关键是根据代数式的几何意义构造直角三角形，将代数问题转化为几何最值或求解问题。 （1）构造以、和、为直角边的两个直角三角形，拼接成共边线段长为的图形，过其中一个直角三角形的顶点作平行线构造新的直角三角形，利用勾股定理计算出共线时的线段长度，即为代数式的最小值； （2）①构造以为公共直角边，斜边分别为、的两个直角三角形，结合已知等式判断出大三角形为直角三角形，利用面积法或两边平方的代数方法求解的值； ②构造两个直角三角形表示出代数式中的两个根式，利用三角形三边关系“两边之差小于第三边”，确定三点共线时差值取得最大值，再构造直角三角形用勾股定理计算该最大值。 【小问1详解】 如图（1），作与， 且使，，，，， 则，， 连接交于点，则， 过作交延长线于，则，，， 在中，， 故的最小值为10． 【小问2详解】 解：①如图（2），作与，且使，，， 则，，， 在中，，即为直角三角形，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ②如图（3），作与，使，，， 则， 过点作于，连接，则，，，， 在中，由三边关系得：， 如图（4），当、、三点共线时，有最大值为． 【点睛】 25. 【模型呈现】在正方形学习过程中，我们发现下面的结论：如图1，正方形中，点P为线段上一个动点，若线段垂直于点E，交线段于点M，交线段于点N，则． （1）如图②，将边长为40的正方形折叠，使得点B落在上的点处．若折痕，则______． 【继续探索】 （2）如图③，正方形中，点P为线段上一动点，若垂直平分线段，分别交， 于点M，E，F，N，求证：． （3）如图④，在正方形中，E、F分别为上的点，作于M，在上截取，连接，G为中点，连接．请依题意补全图形，若，则______． 【答案】（1）9； （2）证明：如图，连接， 正方形是轴对称图形，F为对角线上一点， ，， 又垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 由模型呈现知，， ， ； （3）根据题意补全图形如图所示： 【解析】 【分析】（1）利用证明，得，再利用勾股定理可得答案． （2）根据垂直平分线的性质和正方形的性质求得，然后根据等边对等角和等量代换求得，根据直角三角形斜边中线的性质证出，由模型呈现知，，则可得出结论； （3）连接并延长使得，利用可证，再结合全等三角形的性质和正方形的性质证明，进而可证明，是等腰直角三角形，即可得出答案． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ，， 过点F作于P，连接， 则四边形是矩形， ，， 由翻折知，，则， ∴， ∵， ， ∴， 在中，由勾股定理得， 故答案为：9； （2）略 （3）解：连接并延长使得， ∵点为的中点， ∴， 又∵， ， ，，，则， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 由正方形的性质可知，， ， ，，， 则， 是等腰直角三角形， ∵， ∴，则也是等腰直角三角形，则， ． 故答案为：． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆复旦中学教育发展共同体2025-2026学年度下期期中考试初2027届数学试题 尊重自己！爱护复旦！复旦过去的光荣，将来的灿烂，全赖我们共同爱护，共同发展！同学：今天在考试的时候，不要忘记自己！不要忘记复旦！考场秩序井然，人人洁身自爱． 本试卷分为I卷和Ⅱ卷，考试时间120分钟，满分150分．请将答案工整地书写在答题卡上． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列情境中，优先考虑用解析法表示函数关系的是（ ） A. 记录某病人一天内不同时刻的体温 B. 反映某城市一年中各月份的平均降雨量 C. 用公式计算圆柱高h一定的情况下的体积V与底面半径r之间的关系 D. 展示某运动员在100米比赛中速度随时间的变化 2. 如图，长方形的边在数轴上，若点A与数轴上表示数的点重合，点D与数轴上表示数的点重合，，以点A为圆心，对角线的长为半径作弧与数轴负半轴交于一点E，则点E表示的数为（ ） A. B. C. D. 1 3. 在平行四边形中，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 有以下关于x，y的等式：①；②；③；④，其中y是x的函数的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5. 在四边形中，对角线和相交于点O，，添加下列条件后能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示的是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是的中位线，点F在上，且，若，，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2.5 D. 1.5 8. 如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则（ ） A. B. C. D. 9. 某物流公司的快递车和货车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，快递车到达乙地后卸完物品再另装货物共用，立即按原路以另一速度返回，直至与货车相遇，已知货车的速度为，两车之间的距离与货车行驶时间之间的函数图象如图所示.其中正确的结论有（ ） 现有以下4个结论： ①快递车到达乙地时两车相距；②甲、乙两地之间的距离为； ③快递车从甲地到乙地的速度为；④图中点B的坐标为. A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②④ 10. 如图，在正方形中，E、F分别是的中点，交于点G，连接．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（　　） A. ①② B. ①③ C. ①②④ D. ①②③ 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 如图，是四边形的外角，若，则______． 12. 如图，网格中每个小正方形的边长均为1，以A为圆心，为半径画弧，交最上方的网格线于点N，则的长是______． 13. 古代数学的“折竹抵地”问题：“今有竹高二十五尺，末折抵地，去本五尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高25尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为5尺，问折处高几尺？即：如图，尺，尺，竹子折断处的高度是______． 14. 如图1，一个正方体铁块放置在圆柱形水槽内，现以一定的速度往水槽中注水，时注满水槽，水槽内水面的高度与注水时间之间的函数图像如图2所示.如果将正方体铁块取出，又经过____秒恰好将水槽注满. 15. 如图，在平行四边形中，是的中点，是的中点，交于点，若，则_____． 16. 如图，在中，，，点N在直线上运动，以为边向的右侧作菱形，且，M为中点，连接，则点N在运动过程中，_____，的长度存在最小值为______． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 在中，已知，，，延长到点，使，连接，请求出的长度． 18. 已知：四边形中，．求证：四边形是平行四边形． 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 重庆复旦外语学校校门到操场是一段“之”字形下坡道路，数学抽象如图所示，其中线段两段之字路，初二年级的数学兴趣小组同学设计了一个数学问题，通过手机智能工具测量出校门口A点到操场水平线垂直高度米，拐点B到操场水平线垂直高度米，B点到的水平距离米，道路下端点C到的水平距离米，请你运用所学知识作图分析来求出道路的总长度大约是多少米?（最后数据只要求精确到米） 20. 如图，在中，点E在上，且平分． （1）请用尺规过A点作的垂线交于点O，交于点F，连接．（保留作图痕迹，不写作法） （2）求证：四边形是菱形． 21. 某校“书法社”和“音乐社”两个社团开展课外实践活动．如图①，“书法社”同学骑自行车从中央广场出发前往社区文化站参加书法展，“音乐社”同学坐小型新能源旅游观光车从区少年宫出发，途经社区文化站后前往中央广场参加活动（两个社团在社区文化站与中央广场之间沿同一路段行驶），两个社团同时出发且匀速行驶．已知旅游观光车的速度是自行车速度的3倍，如图②表示的是两个社团离社区文化站的距离与行驶时间之间的函数图象．观察函数图象回答下列问题： （1）“书法社”骑自行车的速度为　　　； （2）求图象中a与b的值； （3）请求出P点的坐标，并说明点P表示的实际意义． 22. 如图1，在矩形中，平分交于点，作于． （1）求证：四边形是正方形． （2）【问题探究】如图2，连接交于．发现：用勾股定理去探究与有何关系，并说明理由． （3）【学以致用】若，，请求出的长． 23. 综合与实践：手工课上，老师给每个小组准备了一张边长为20cm的正方形硬纸板，同学们需要将正方形硬纸板制成无盖的长方体收纳盒，并希望所制成的盒子能够收纳尽可能多的物品，你能设计出合理的方案，并制作出实物模型吗？ 【建立模型】如图1，把正方形硬纸板的四周各剪去一个边长为的小正方形，再折叠成 一个无盖的长方体盒子，设所折叠的长方体盒子的容积为，求的最大值． 【探究模型】小亮类比函数的学习进行了如下探究． （1）写出V关于x的函数表达式，并写出x的取值范围． （2）列出当小正方形边长x为整数时对应长方体盒子容积V的值如下表． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 324 512 588 576 a 384 252 128 36 表中a的值是__________． （3）如图2，在平面直角坐标系中已给出部分x为整数时对应的点，请你描出其余各点，画出函数V的大致图象． 【解决问题】 （4）利用函数图象回答：①长方体盒子的容积最大约为多少？（结果保留整数） ②若要制作一个容积为的长方体盒子，直接写出小正方形的边长x的值．（结果保留一位小数） 24. 著名数学家希尔伯特曾说：“算式是算出来的图形，图形是画出来的公式”，构造图形是为了运用几何图形的直观性，数形结合来简化解决一些复杂代数问题． 比如的几何意义是以，为直角边的直角三角形斜边长，故当求的最小值时，可数形结合构造两个分别以，3和，1为直角边的直角三角形（如图），，，，，，由勾股定理知，，细心观察发现与的长度恰好凑成3，故将两个图形拼在一起，再由将军饮马几何模型与三角形三边关系可推得，当、、三点共线（点位于、之间）时，的最小值为线段的长． （1）根据上述规律和结论，请构图求代数式的最小值（其中）； （2）借助上述解题思路，迁移运用并从下列两个题中任选一题进行解答（其中）： ①解方程：； ②求代数式的最大值． 25. 【模型呈现】在正方形学习过程中，我们发现下面的结论：如图1，正方形中，点P为线段上一个动点，若线段垂直于点E，交线段于点M，交线段于点N，则． （1）如图②，将边长为40的正方形折叠，使得点B落在上的点处．若折痕，则______． 【继续探索】 （2）如图③，正方形中，点P为线段上一动点，若垂直平分线段，分别交， 于点M，E，F，N，求证：． （3）如图④，在正方形中，E、F分别为上的点，作于M，在上截取，连接，G为中点，连接．请依题意补全图形，若，则______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $