期中培优：周长问题、面积问题、线段长度最值与范围问题复习讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

期中培优：周长问题、面积问题、线段长度最值与范围问题复习讲义 期中培优：周长问题、面积问题、线段长度最值与范围问题复习讲义 考点目录 周长问题 面积问题 线段长度最值与范围问题 考点一 周长问题 【知识点解析】 一、解题原理 1.三角形周长L=a十b十c,依托正弦定理边角互化、余弦定理实现边、角统一； 2.结合三角形内角和、三角恒等变换，转化为单一三角函数： 3.利用三角函数有界性、角的取值约束，或基本不等式，求周长最值/范围： 4.固定一角、一边时，第三边由余弦定理构造边的二次关系。 二、解题思路 1.统一变量 已知角优先边化角，把三边都用角表示；已知边多则角化边。 2.化简三角式 利用内角和消角、和差公式、辅助角公式，化为y=Asin(ωx+p)+B形式。 3.锁定角范围 结合三角形内角限制、锐角条件、边角大小关系，确定角的区间。 4.求值域得周长范围/最值 由三角函数单调性、有界性求范围： 若为两边和结构，可结合基本不等式求周长最值。 5.特殊题型 期中培优：周长问题、面积问题、线段长度最值与范围问题复习讲义 定边定角模型：用余弦定理+不等式： 外接圆背景：结合a=2 RsinA转化。 【例题分析】 例1.(25-26高一下·浙江杭州期中)已知ABC中的内角A,B,C所对的边为a,b,C,asin B=V3 bcos A. (1)求角A: 2)若a=2,bc8,求ABC的周R 例2.(25-26高一下·湖南衡阳·月考)在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=2,b=√3c 0)若cosA=5 求ABC的面积； 3 2若sinB+sinC=5+1,求ABC的周长 2 2 期中培优：周长问题、面积问题、线段长度最值与范围问题复习讲义 例3.(25-26高一下·江苏无锡月考)已知ABC为锐角三角形，a,b,c分别为ABC三个内角A,B,C的对边，且 bcosC ccosB 2acosA (1)求A; @若b+c5，ABC的面积为3，求4Bc的周长的 (3)若a=1,求ABC周长的取值范围 例4.(2025·河南南阳模拟预测)己知ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、C,且a=2, cos 2B+cos 2C+2sin B sin C=2-2sin24. (1)求A; (2)若ABC内心为I,求△IBC的周长范围. 期中培优：周长问题、面积问题、线段长度最值与范围问题复习讲义 【变式训练】 变式1.(2526高一下山东济南月考)在4BC中，角4，B,C所对的边分别为ab,c,已知0sC-2a-C (1)求B; ②者b=25,且eC=名求4BC的周长. 变式2.(25-26高三下-辽宁月考)设ABC的内角4,8，C的对边分别为a,hc,若c=3,si如nC= 4sinB (1)求b的值； (2)若B=2C,求ABC的周长 期中培优：周长问题、面积问题、线段长度最值与范围问题复习讲义 变式.a423商-下货州月考)已潮时量a=3os3汇3on刘，6-n-君引o-君》 令fx)=a-i. (1)求(x)的最小正周期和单调递增区间； (2)已知当x∈ 工，时，关于x的方程f()-m=0meR)有两个不等的实根，求m的取值范围： 6'2 ③)在锐角三角形4BC中，角4，B,C的对边分别为a,®，c,已知f(4到=a=2,求48C周长1的取值范围. 3 变式4.(2425高一下山东济南期中)在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、C,且m=(cosB,cosC) ,n=（-2a+c,b),m-n=0, (I)求角B的大小： ②若a+c=4,4BC的面积为25，求ABC的周长。 (③)若三角形为锐角三角形，且b=√5，求ABC周长的取值范围 5 期中培优：周长问题、面积问题、线段长度最值与范围问题复习讲义 考点二 面积问题 【知识点解析】 一、 解题原理 1.核心面积公式： S=absinC=bcsinA=acsinB 2.以两边+夹角为核心结构，结合正、余弦定理进行边角转化： 3.面积表达式可转化为三角函数型或边的二次型，进而求最值、范围； 4.结合余弦定理、基本不等式，可建立边的不等关系求面积上限。 二、解题思路 1.选对面积公式 条件含两边夹角：直接套正弦面积公式： 条件单一，先正余弦定理补全边或角。 2.边角转化 利用正弦定理统一为角，或余弦定理统一为边。 3.化简表达式 三角形式：恒等变换→单角三角函数→利用区间求最值； 边长形式：结合基本不等式b≤（驶）2求最值。 4.限制约束 锐角三角形、角的范围、三边关系，缩小取值区间，避免增解。 三、综合应用 与周长、中线、高结合时，拆分三角形，分步列式求解。 6 期中培优：周长问题、面积问题、线段长度最值与范围问题复习讲义 【例题分析】 例1.(25-26高一下·江苏无锡期中)在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,C,且 (2a+b).cosC+c.cos B=0. (1)求角C的大小； (2)若sinA+sinB=1,c=√5，求ABC的面积. 例2.(25-26高三下·湖北武汉·月考)在ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且2c=a+2 bcosA. )若6=V2AMBC的面积为5，求ABC的周长， 2 (2)若b=2V3,D为AC边上的一点，BD=3,且∠ABD=∠CBD,求ABC的面积. 期中培优：周长问题、面积问题、线段长度最值与范围问题复习讲义 例3.(25-26高一下浙江台州期中)在ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,若asin B+√5 bcos A=√5c. (I)求B; (2)若b=√7，c=1,求ABC的面积； (3)若c=2,求锐角ABC面积的取值范围. 例4.(25-26高一下…河南许昌·期中)请在①向量m=(c0sC,c0sB),i=（2a-c,b,且m/m;② (a2-b2)V1-cos2A=b2-c2sinC这两个条件中任选一个，填入横线上并解答. 在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足 (I)求B的大小： (2)若b=2,求ABC周长的取值范围： (3)若AC边上的高为1，求ABC面积的最小值. 6 期中培优：周长问题、面积问题、线段长度最值与范围问题复习讲义 【变式训练】 变式1.(25-26高一下·四川成都期中)在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,C.向量d=(a-b,b+c b=(sinA,sinB-sinC),a.b=0. (1)求角C; (2)若b=1,c=√，求ABC的面积 变式2.(25-26高一下·湖南长沙·期中)在ABC中，角A、B、C对应的边分别为a、b、c,己知A=45°，a=√2， c=/3 (1)求b: (2)求ABC的面积S 0 期中培优：周长问题、面积问题、线段长度最值与范围问题复习讲义 变式3.(25-26高一下·安徽淮南期中)已知ABC,点P,2,R满足AP=元AB,BQ=元BC,CR=λCA， 2∈(0，+o). (I)若ABC为等边三角形，且sin∠ARP=2sin∠APR,求的值； ②若ABC中AB=3,BC=4AC=5,求元=号时aPOR的面积： (3)若ABC面积为定值S,求1变化时，△PQR的面积的最小值. 变式4.(25-26高一下·江苏无锡月考)在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足a2+b2-ab=c2. (I)求角C的大小； (2)若a+b=8,求ABC周长的最小值； (3)若ABC是锐角三角形，且c=2√3，求ABC面积S的取值范围， ⊙ 期中培优：周长问题、面积问题、线段长度最值与范围问题复习讲义 考点三 线段长度最值与范围问题 【知识点解析】 一、解题原理 1.三角形中边长受内角大小、两边夹角直接影响： 2.正弦定理：边长与对角正弦值成正比，角变化决定边长范围； 3.余弦定理：将边长表示为另一边或角的二次函数： 4.核心约束：三角形三边关系、内角范围、大边对大角、锐角限制： 5.函数思想：把线段长构造为单变量函数，利用单调性、不等式求最值。 二、解题思路 1.构造目标线段表达式 求谁，就以谁为未知量，用正余弦定理建立方程。 2.统一为单一变量 要么统一为角变量（正弦定理优先）， 要么统一为边变量（余弦定理优先）。 3.确定变量取值范围 由：0<A,B,C<π、两角和大于号（锐角△）入、三边关系列约束。 4.求最值/范围 ·三角型：利用sinx,cosx区间单调性、有界性； ·二次型：配方、对称轴、区间最值； ·齐次结构：基本不等式求最值。 5.检验取舍 期中培优：周长问题、面积问题、线段长度最值与范围问题复习讲义 保证三边能构成三角形，舍去不合范围的值。 【例题分析】 例1.(25-26高一下·浙江·期中)如图，己知a,b,c为ABC三个内角A,B,C的对边，D为边BC上一点，且 AD⊥AC,∠ACB=∠BAD A B ①若6=c,求CD的值， BD 2者C D =3,求tanC的值； ③)求C2-BD+办的取值范围 a2+c2 例2.(25-26高一下·湖北武汉·期中)记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C,已知点D为线段BC上 的一点，AD为∠BAC的平分线，AD=3 B D (1)ccosB=(2a-b)cosC,CD=2, (i)求角C的大小： (i)求△ADC的面积： (2)当a=√5时，求b+c的最小值 12 期中培优：周长问题、面积问题、线段长度最值与范围问题复习讲义 例3.(2026·天津滨海新区·模拟预测)在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.满足 2sin C sin A+cos A tan B (1)求角B的大小： (2)设a=4,b=2V7,求c0s2C+B)的值： (3)设b=2,已知D是边AC的中点，求BD的最大值. b 例4.(25-26高二下，浙江杭州月考)在锐角ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a,b、c,且asinB-bcosA= 5' (1)求sin2A的值： (2)若a=2,求ABC面积的最大值： ③)求的取值范围 13 期中培优：周长问题、面积问题、线段长度最值与范围问题复习讲义 【变式训练】 变式1.(25-26高一下·浙江·期中)在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,A为锐角，已知 a cos C-3csin A-b+3c=0. (1)求A; (2)若a=3,4ABC的面积为2-√3，求ABC的周长； (3)若ABC是锐角三角形，求a+C的取值范围. 变式2.(25-26高一下·福建期中)在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知 b=3,2v3cosC=2a-c (1)求角B: (2)若a+c=2,D是AC上的点，BD平分∠ABC,求BD长； (③)求边AC上的中线BE的取值范围. 14 期中培优：周长问题、面积问题、线段长度最值与范围问题复习讲义 变式3.(25-26高二下·浙江温州期中)已知ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,C,且满足 bcosC ccosB 2acosA. (1)求角A的值. (2)若a=1,求b+c的最大值. 变式4.(2026·河北保定·一模)已知ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,函数f(A)=2sin2A-sin2A. (1)求∫(A)的单调递增区间： (2)若a2+b2<c2,且f(A)=0,求的取值范围. 15期中培优：周长问题、面积问题、线段长度最值与范围问题复习讲义 期中培优：周长问题、面积问题、线段长度最值与范围问题复习讲义 考点目录 周长问题 面积问题 线段长度最值与范围问题 考点一 周长问题 【知识点解析】 一、解题原理 1. 三角形周长 ，依托正弦定理边角互化、余弦定理实现边、角统一； 1. 结合三角形内角和、三角恒等变换，转化为单一三角函数； 1. 利用三角函数有界性、角的取值约束，或基本不等式，求周长最值/范围； 1. 固定一角、一边时，第三边由余弦定理构造边的二次关系。 二、解题思路 1. 统一变量 已知角优先边化角，把三边都用角表示；已知边多则角化边。 1. 化简三角式 利用内角和消角、和差公式、辅助角公式，化为 形式。 1. 锁定角范围 结合三角形内角限制、锐角条件、边角大小关系，确定角的区间。 1. 求值域得周长范围/最值 由三角函数单调性、有界性求范围； 若为两边和结构，可结合基本不等式求周长最值。 1. 特殊题型 定边定角模型：用余弦定理+不等式； 外接圆背景：结合 转化。 【例题分析】 例1．（25-26高一下·浙江杭州·期中）已知中的内角，，所对的边为，，，. (1)求角； (2)若，，求的周长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理边角转换后求解即可； （2）利用余弦定理求解即可. 【详解】（1）由正弦定理得： ，， ， （2）由余弦定理， 得：，又， ， 故的周长为 例2．（25-26高一下·湖南衡阳·月考）在中，内角的对边分别为，已知. (1)若，求的面积； (2)若，求的周长. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先利用余弦定理求边，再利用三角形的面积公式求面积. （2）先利用正弦定理结合所给条件求角和角，再分情况确定三角形的形状求周长. 【详解】（1）由余弦定理得， 将代入，得， 化简得，所以，所以. 又，所以， 故. （2）由正弦定理得，又，可得. 因为，即， 所以，因为，所以一定是锐角，故. 同时，，故或. ①若，则，此时为直角三角形，为斜边. ， 所以周长. ②若，则，此时为等腰三角形， 所以， 周长. 综上所述，的周长为或. 例3．（25-26高一下·江苏无锡·月考）已知为锐角三角形，分别为三个内角的对边, 且， (1)求； (2)若，的面积为，求的周长； (3)若，求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式推出，可求得答案； （2）由三角形的面积公式求出，代入余弦定理可求出，即可求出的周长. （3）由正弦定理表示出，结合两角差的正弦公式可化简得到，确定角的范围，结合正弦函数性质即可求得答案. 【详解】（1）在中，因为， 所以，即， 因为所以，故 ，则； （2）因为的面积为，即， 所以. 由余弦定理得. 解得, 所以周长为. （3）由正弦定理得，即， 则， 因为为锐角三角形，则 ，故， 所以，则， 故， 故周长的取值范围为. 例4．（2025·河南南阳·模拟预测）已知中，内角、、所对的边分别为、、，且，． (1)求； (2)若内心为，求的周长范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用二倍角的余弦公式以及正弦定理化简得出，结合余弦定理可求出的值，再由角的取值范围可得出角的值； （2）解法一：求出，利用余弦定理结合基本不等式可求出的最大值，再利用三角形三边关系可得出的取值范围，即可得出周长的取值范围； 解法二：求出，设，求出的取值范围，利用正弦定理结合三角恒等变换化简得出，利用正弦函数的基本性质可求出的取值范围，进而可得出周长的取值范围. 【详解】（1）因为， 整理可得， 由正弦定理可得， 由余弦定理可得， 因为，故. （2）方法一：因为的内心为，所以和分别平分和， 可得，则，    设，，在中，由余弦定理得， 即，即，整理得， 因为且，由基本不等式可得， 可得，即， 当且仅当时，即时等号成立， 又因为，所以，故， 综上所述，的周长的取值范围为； 方法二：因为的内心为，所以和分别平分和， 可得，则， 设，则有，则，， 由，可得， 在中，，由正弦定理得， 则，， 可得 ， 根据，，所以， 可得，所以， 所以的周长范围为． 【变式训练】 变式1．（25-26高一下·山东济南·月考）在中，角所对的边分别为，已知． (1)求； (2)若，且，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理得，再根据三角恒等变形化简求解即可； （2）利用的和角公式，结合及，可得，利用正弦定理得，再根据余弦定理求出即可． 【详解】（1）解：由正弦定理得， ， ， ， 因为，所以，解得： 又因为，所以； （2）由（1）知，则， ， ，， 解得：， 由正弦定理得， 由余弦定理得， 即，解得：， 故的周长． 变式2．（25-26高三下·辽宁·月考）设的内角的对边分别为，若，. (1)求的值； (2)若，求的周长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理角化边，即可求解； （2）利用二倍角公式化简可求，再结合余弦定理可求，然后再检验即可求得周长. 【详解】（1）因为，所以由正弦定理角化边可得， 又因为，所以，即. （2）由，，可得， 因为，所以可得， 又由余弦定理得，代入，， 则可得， 整理得，解得或. 由，得， 当时，，与矛盾，舍去； 当时，，符合题意. 故的周长为. 变式3．（24-25高一下·贵州·月考）已知向量，令． (1)求的最小正周期和单调递增区间； (2)已知当时，关于的方程有两个不等的实根，求的取值范围； (3)在锐角三角形中，角的对边分别为，已知，求周长的取值范围． 【答案】(1);单调递增区间为. (2) (3) 【分析】（1）根据数量积的运算，结合和差角公式化简，即可利用周期公式以及整体法求解单调性； （2）利用整体法求解； （3）利用正弦定理，结合三角恒等变换以及三角函数的性质求解. 【详解】（1）， 故周期为， 令，解得， 故单调递增区间为； （2）当时，， 若有两个实数根，所以. 所以的取值范围为：. （3）由可得，则， 故或，故 或， 由于为锐角，故，故， 故， 由于，故， 因此，故， 因此，故. 故周长的取值范围为. 变式4．（24-25高一下·山东济南·期中）在中，角、、所对的边分别为、、，且，，， (1)求角的大小； (2)若，的面积为，求的周长． (3)若三角形为锐角三角形，且，求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由数量积坐标公式计算结合两角和正弦公式计算求解； （2）应用余弦定理结合三角形面积公式计算求解； （3）先应用正弦定理结合三角恒等变换计算，再应用正弦函数值域计算求解. 【详解】（1），， 即， ，， 又，，， （2），， ， ，， 的周长为． （3）在锐角三角形ABC中，， 因为根据正弦定理，所以， 因为三角形周长为， 又因为，所以， 所以， 因为，即，所以， 即，， 所以. 考点二 面积问题 【知识点解析】 1、 解题原理 1. 核心面积公式： 2. 以两边+夹角为核心结构，结合正、余弦定理进行边角转化； 3. 面积表达式可转化为三角函数型或边的二次型，进而求最值、范围； 4. 结合余弦定理、基本不等式，可建立边的不等关系求面积上限。 2、 解题思路 1. 选对面积公式 条件含两边夹角：直接套正弦面积公式； 条件单一，先正余弦定理补全边或角。 2. 边角转化 利用正弦定理统一为角，或余弦定理统一为边。 3. 化简表达式 三角形式：恒等变换→单角三角函数→利用区间求最值； 边长形式：结合基本不等式 求最值。 4. 限制约束 锐角三角形、角的范围、三边关系，缩小取值区间，避免增解。 三、综合应用 与周长、中线、高结合时，拆分三角形，分步列式求解。 【例题分析】 例1．（25-26高一下·江苏无锡·期中）在中，角，，的对边分别为，，，且． (1)求角的大小； (2)若，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理与和角公式，结合三角形内角范围即可求得； （2）将代入题设条件，利用辅助角公式，解出，进而推得，再使用余弦定理和三角形面积公式求解. 【详解】（1）由和正弦定理，可得， 即， 因， 代入可得 ，，则，即， 又，. （2）由（1）知，，即， 可得， 即，即， ，所以，解得，则，所以， 由余弦定理得，，解得，则， 所以的面积为. 例2．（25-26高三下·湖北武汉·月考）在中，内角的对边分别是，且． (1)若的面积为，求的周长； (2)若为边上的一点，，且，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用题干条件结合正弦定理求出角B；利用三角形面积公式得到的值；再结合余弦定理求出的值，进而得到三角形周长； （2）由题意知，即可推出．由余弦定理得，即可推出，再计算三角形面积. 【详解】（1）在中，因为，由正弦定理得， 即， 所以，即， 又，所以， 又，所以． 由，得， 由余弦定理得，得，得，得， 所以的周长为． （2）由题意知，，由（1）知， 所以，即． 由余弦定理得，则，即， 结合，得，解得或（舍）， 所以． 例3．（25-26高一下·浙江台州·期中）在中，角的对边分别是，若． (1)求； (2)若，，求的面积； (3)若，求锐角面积的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，结合消去，化简后通过同角三角函数关系求； （2）已知，先用余弦定理列方程解出，再代入三角形面积公式计算； （3）先用正弦定理将用表示，结合锐角三角形条件求出的范围，再将面积转化为关于的三角函数，结合单调性求值域． 【详解】（1）由得， 因为，所以， 所以， 即， 因为，所以，所以， 所以，又因为，所以； （2）由，得，解得，（舍去）， 所以； （3）因为，，所以， 由，得， 所以 ， 因为为锐角三角形且，所以， 则，，，， 所以． 例 4．（25-26高一下·河南许昌·期中）请在①向量，，且；②这两个条件中任选一个，填入横线上并解答． 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足______． (1)求B的大小； (2)若，求周长的取值范围； (3)若AC边上的高为1，求面积的最小值． 【答案】(1) (2) (3)． 【分析】（1）根据所选的条件，应用向量平行的坐标表示、正弦边角关系、三角恒等变换，将条件化为或，最后由三角形内角性质、余弦边角关系求角； （2）由余弦定理、基本不等式得到，从而求得，即可得； （3）应用等面积法得，余弦定理得，结合基本不等式求得，最后应用三角形面积公式求最小值. 【详解】（1）选择①：因为，所以， 由正弦定理，得， 即， 即， 因为，所以，所以， 又，所以； 选择②：因为，所以， 由正弦定理，得，即， 即，即，即， 由余弦定理，得，又，所以； （2）由余弦定理，得， 即，即，当且仅当时取等号， 所以，得，即周长的取值范围为； （3）由面积公式，得， 由余弦定理可得， 所以， 所以，当且仅当时等号成立． 所以， 即面积的最小值为. 【变式训练】 变式1．（25-26高一下·四川成都·期中）在中，角，，所对的边分别为，，.向量，，且. (1)求角； (2)若，，求的面积. 【答案】(1) (2) 【详解】（1），，， 所以， 由正弦定理,为三角形外接圆半径 联立可得，所以， 所以，由余弦定理可知， 所以，,所以； （2）因为，， 在中，由余弦定理得， 所以，所以，（舍）， 所以的面积为. 变式2．（25-26高一下·湖南长沙·期中）在中，角A、B、C对应的边分别为a、b、c，已知，， (1)求b； (2)求的面积S. 【答案】(1)或 (2)或 【详解】（1）根据正弦定理得 因为，，所以 所以或120° 当时， 此时 当时， 此时 （2）当时，， 当时，， 变式3．（25-26高一下·安徽淮南·期中）已知，点满足，，，． (1)若为等边三角形，且，求的值； (2)若中，求时的面积； (3)若面积为定值，求变化时，的面积的最小值． 【答案】(1)或 (2)2 (3) 【分析】（1）由正弦定理即可求解； （2）由三角形面积公式即可求解； （3）分类讨论和两种情况，结合三角形面积公式即可求解； 【详解】（1）在中，因为，由正弦定理，可得， 因为为等边三角形，且，，， 所以，即， 当点在的边上时，； 当点在边的延长线上时，； 所以或． （2）时，由，，， 可知，， 所以， 同理可知，所以， 因为， 所以，所以， 即时的面积为2． （3）由题意，①当时，； ②当时，，， 所以， 同理可知， 所以， 所以当时，最小为， 综上①②可知，当时，取最小值． 变式4．（25-26高一下·江苏无锡·月考）在中，角的对边分别为，满足. (1)求角的大小； (2)若，求周长的最小值； (3)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由余弦定理计算即可求解； （2）由题意可得，根据基本不等式计算即可求解； （3）由正弦定理将化为关于角的函数，根据正弦函数性质及三角形面积公式计算求解. 【详解】（1）因为，所以， 由余弦定理可得， 因为，所以； （2）因为， 所以， 由基本不等式可知，当且仅当时等号成立， 所以，即， 所以当时，周长有最小值为； （3）由正弦定理可得，所以，， 因为，所以， 则 ， 因为是锐角三角形，有，即， 所以，，， 因为， 所以，即面积的取值范围是. 考点三 线段长度最值与范围问题 【知识点解析】 1、 解题原理 1. 三角形中边长受内角大小、两边夹角直接影响； 2. 正弦定理：边长与对角正弦值成正比，角变化决定边长范围； 3. 余弦定理：将边长表示为另一边或角的二次函数； 4. 核心约束：三角形三边关系、内角范围、大边对大角、锐角限制； 5. 函数思想：把线段长构造为单变量函数，利用单调性、不等式求最值。 二、解题思路 1. 构造目标线段表达式 求谁，就以谁为未知量，用正余弦定理建立方程。 2. 统一为单一变量 要么统一为角变量（正弦定理优先）， 要么统一为边变量（余弦定理优先）。 3. 确定变量取值范围 由：、两角和大于（锐角△）、三边关系列约束。 4. 求最值/范围 · 三角型：利用区间单调性、有界性； · 二次型：配方、对称轴、区间最值； · 齐次结构：基本不等式求最值。 5. 检验取舍 保证三边能构成三角形，舍去不合范围的值。 【例题分析】 例1．（25-26高一下·浙江·期中）如图，已知为三个内角的对边，为边上一点，且. (1)若，求的值； (2)若，求的值； (3)求的取值范围. 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】（1）根据题意得出角的大小，然后通过计算即可； （2）利用正弦定理的边化角以及三角形三角的关系即可求解； （3）利用正弦定理的边化角以及三角形三角的关系构造新函数，利用函数的单调性即可求解. 【详解】（1）如图所示，，所以， （2）设，则， 所以在中，有， 所以，所以， 又因为，所以 所以， 因为，所以. （3）设，则，设外接圆半径为，则 因为，所以，因此.所以，所以 所以 设，则由已知可知，所以， 所以 任取，则， 所以，所以，所以 又因为，所以 所以，所以在上单调递减， 所以，即的取值范围是. 例2．（25-26高一下·湖北武汉·期中）记的内角，，的对边分别为，，，已知点为线段上的一点，为的平分线，. (1)若，， （i）求角的大小： （ii）求的面积： (2)当时，求的最小值. 【答案】(1) （i）（ii） (2) 【分析】（1）（i)可利用正弦定理将边转化为角，再结合三角形内角和定理与两角和的正弦公式化简，进而求出角； (ii)先利用余弦定理求出b，再结合三角形面积公式计算面积; （2）可利用角平分线性质和余弦定理建立、的关系式，再结合基本不等式，即可求出的最小值. 【详解】（1）（i）已知，由正弦定理得 整理得即 左边，因此 因为，，所以，又，故 (ii) 设，在中，已知，，， 由余弦定理得代入得， 整理得，解得（负根舍去） （2）设，是角平分线，，代入面积公式： ，代入，得 由余弦定理，，且， 代入化简得 整理得 令，，得 由基本不等式， ，且，代入得 当且仅当时等号成立，故的最小值为. 例3．（2026·天津滨海新区·模拟预测）在中，角所对的边分别为．满足 (1)求角的大小； (2)设，求的值； (3)设，已知是边的中点，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用三角恒等变换可得，结合角的范围即可求解； （2）根据余弦定理可得，利用余弦定理，同角关系式及二倍角公式可得，，然后利用和差角公式结合条件即得. （3）根据题意，结合余弦定理得，进而结合基本不等式得，再根据中线公式，结合余弦定理求解即可. 【详解】（1）因为， 所以， 所以， 因为，故，则， 又，所以. （2）由（1）知，，且，， 因为，即， 化简，解得（舍），，所以. 由， 则， 则，， 所以. （3）由（1）知，， 所以，由余弦定理得：， 因为，即，当且仅当时等号成立， 因为是边的中点，所以， 所以 ， 所以，即的最大值为. 例4．（25-26高二下·浙江杭州·月考）在锐角中，内角所对的边分别为，且， (1)求的值； (2)若，求面积的最大值； (3)求的取值范围. 【答案】(1) (2)2 (3) 【分析】（1）利用正弦定理求得，两边平方即可求解； （2）利用余弦定理，结合基本不等式可求得，进而可求面积的最大值； （3）由正弦定理，结合三角恒等变换可得，利用锐角，可求得的范围，进而可求解. 【详解】（1）由正弦定理，得，所以. 两边平方得，所以. （2）因为，所以， ，当且仅当，等号成立. 因此面积的最大值为2. （3）. 在锐角中，，则， 所以，所以， 所以. 【变式训练】 变式1．（25-26高一下·浙江·期中）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，为锐角，已知． (1)求； (2)若的面积为，求的周长； (3)若是锐角三角形，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由正弦定理化边为角，然后由诱导公式、两角和的正弦公式化简求解； （2）由三角形面积公式求得，再由余弦定理求得，从而得三角形周长； （3）由正弦定理化边为角，再利用两角和的正弦公式，二倍角公式，同角关系化为关于的式子，再由的范围求得结论． 【详解】（1）在中，由及正弦定理、内角和定理，得， 即 ，故得，从而， 或， 而，故（舍去）． （2）由的面积为 又由余弦定理，得， 从而得， 所以的周长为． （3）由正弦定理得 为锐角三角形，由，得，则， 即，故， 得， 所以的范围是． 变式2．（25-26高一下·福建·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 (1)求角B； (2)若，D是AC上的点，BD平分，求BD长； (3)求边AC上的中线BE的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）运用余弦定理将角化为边，化简后再用余弦定理求出，得出B即可． （2）先用余弦定理得出a，c关系式，再将三角形面积进行转化，用等面积法，运用面积公式求解即可． （3）先用中线的向量表达式，，两边平方，将中线长转化为求ac的范围，后将ac又转化为三角函数求值域问题，最终求得中线长范围． 【详解】（1）已知，由余弦定理可得， 因为，代入中，得，化简得， 则，因为，所以． （2），，由余弦定理得， 即，又因为，所以， 由面积关系可得， ， 所以，即. （3）因为E是AC的中点，所以， 则， 由正弦定理得，， 即， 因为，所以， 所以，所以， 所以，所以， 所以，即边AC上的中线BE的取值范围为． 变式3．（25-26高二下·浙江温州·期中）已知中，角，，的对边分别为，，，且满足． (1)求角的值． (2)若，求的最大值． 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）法一：借助余弦定理将角化为边后计算即可得；法二：借助正弦定理将边化为角后计算即可得； （2）法一：借助余弦定理结合基本不等式计算即可得；法二：借助正弦定理将边化为角后，利用三角恒等变换公式计算即可得. 【详解】（1）法一：借助余弦定理可得， ，，，； 法二：借助正弦定理可得， ，， ，，，，； （2）法一：，， ， ，即，当且仅当时取等． 的最大值为2. 法二：由，得，． ， 当时，取到最大值2． 变式4．（2026·河北保定·一模）已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，函数． (1)求的单调递增区间； (2)若，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）利用三角恒等变换公式化简可得，结合正弦函数的单调性，即可求得答案； （2）由求出A，由确定C的范围，即可确定B的范围，利用正弦定理边化角可得，结合B的范围，即可求得答案. 【详解】（1）由， 化简得， 令，∵，则， 因为，的单调递减区间是， 由，解得， ∴函数单调递增区间为； （2）∵，∴， 又∵，∴，即， 由已知条件可知，则角C为钝角，是钝角三角形， ∴， 则， ∴，∴， ∴的取值范围为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $