2026年重庆中考数学专题突破训练 -二次函数

**基本信息** 聚焦二次函数与几何综合，以"基础求解-动态最值-平移变换"为逻辑链，系统整合待定系数法、分类讨论等12种解题策略，突出代数几何融合的推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础求解|15题(第1问)|待定系数法、对称性应用|从抛物线三要素到解析式确定，构建代数表达基础| |动态最值|15题(第2问)|参数法、二次函数最值、辅助线构造|以动点为载体，渗透函数思想与几何转化，培养空间观念| |平移综合|15题(第3问)|坐标变换、分类讨论、模型迁移|结合图形变换深化综合应用，发展创新意识与推理能力|

重庆市中考数学专项练习-二次函数 1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点(A在B的左侧)，与y轴交 于点C,点C关于x轴的对称点为点D,连接BD、4C、BC,am∠4C0子，B0=340. B D D 备用图 (1)求抛物线的表达式： (②)P是第一象限抛物线上一动点，连接PB、PC,E、F为直线BC上的动点(E在F左侧)，且满足 EF=√，G为直线BD上的动点，连接PF、EG,当四边形CPBD面积最大时，求点P的坐标，并求出 PF+FE+EG的最小值； (3)将原抛物线沿射线CA方向平移得到新抛物线y,使平移后的新抛物线y的对称轴为y轴，点Q为y轴 右侧y上一动点，连接AQ,过AQ的中点M作AQ的垂线交直线BD于N,连接NQ,当∠MQN=∠ACO时， 直接写出所有符合条件的点Q的横坐标，并写出其中一个Q点横坐标的求解过程. 试卷第1页，共3页 2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+6a≠0)与直线y=- 2r+3交于点B和D,与坐标系 交于A、B、C三点，已知A-2,0),点B在x轴上，点E为直线与y轴交点， D C M E Al O B 备用图 (1)求抛物线的表达式： (2)点P是第一象限内抛物线上的一动点，过点P作PF∥y轴，交BD于点F.点M为线段PF上的一动点， MN⊥y轴，垂足为N,连接DN、BM.当PF+25EF取得最大值时，求BM+MN+DN的最小值： ③)将该抛物线沿射线BD方向平移。V5个单位得到新抛物线y,连接BC并延长BC,在第二象限与新抛物 线交于点H,点K为新抛物线上一点，当∠CHK=∠ABD+45°时，直接写出所有符合条件的点K的坐标， 并写出其中一个点的求解过程. 试卷第1页，共3页 3.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A,B(4,0)两点，交y轴于点C,抛物 线的对称轴为直线x=2· 3 B B y 备用图 (1)求抛物线的解析式： (②)连接AC,BC,点P是BC上方抛物线上的一个动点，过点P作PE⊥BC于点E,作PH⊥x轴于点H, 交BC于点F,点M,N是直线AC上的两个动点（点M在点N的上方），且MW=V10,连接BM,PN.当 取得最大值时，求此时点P的坐标以及PN+ ③)在(2)间中PE-2BH取得最大值的条件下，将抛物线沿射线CA方向平移2√0个单位长度得到新抛 物线y,点P的对应点为点P,点P关于新抛物线对称轴的对称点为点Q,点K为新抛物线y上一动点， 当∠KQB+∠ABQ=45°时，请直接写出所有符合条件的点K的坐标，并写出其中一个点的求解过程 试卷第1页，共3页 4.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A(-2,0),B(6,0)两点，与y轴交于点C ,连接BC. y外 备用图 (1)求抛物线的表达式： (②)点P是线段BC上方抛物线上的一动点，连接AP,BP,CP,点M,N分别是x轴上，直线BP上一动点，连 接CN,CM,MN,当SBcp-S.4cp取得最大值时，求aCMW周长的最小值； (3)在(2)问aCMN周长取得最小值的条件下，将抛物线沿射线AC方向平移√3个单位长度得到抛物线y ,点Q为y上的一动点.若∠CMN=2∠QPB,请直接写出所有符合条件的点Q的坐标，并写出求解点Q的 坐标的其中一种情况的过程. 试卷第1页，共3页 5.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于点A,B(1,0)两点，与y轴交于点C,抛 3 物线的对称轴是直线x=- V B 备用图 ()求抛物线的解析式： (②)过点B作BD∥AC交抛物线于点D,点P是射线AC上方抛物线上的一动点，连接DP与射线AC交于点 E,连接BE,BP,点M,N为抛物线对称轴上的动点（点N在点M的下方），且MN=1,连接PM,AN.当 △PBE面积最大时，求点P的坐标及PM+MN+AN的最小值； (3)在(2)中△PBE面积取得最大值时，将抛物线y=ax2+bx+2沿射线AC方向平移√5个单位长度得到新 抛物线y,点P为点P的对应点，点Q为新抛物线上的一个动点，当∠QBA=∠OPP-∠BAC时，直接写 出所有符合条件的点Q的坐标，并写出求解点Q的坐标的其中一种情况的过程 试卷第1页，共3页 6.二次函数y=ax2+bx+3,与x轴的交于点A-1,0),点B(3,0),函数与y轴交于点C. B 图1 备用图 ()求该二次函数的解析式： (2)如图1，连接AC与BC,在直线BC上方抛物线上有一动点P,过点P作PD∥y轴交线段BC于点D, 过点P作PE垂直于直线AC,垂足为点E,当3PD-V10PE最大时，求出点P的坐标，过点A作直线 AF∥BC且与y轴交于点F,点G为直线AF上的一个动点，当3PD-√10PE最大时，求△PDG的周长的 最小值； (3)把函数y=ax2+bx+3沿射线AC平移√10个单位得到函数y,直线BC上有一动点M,在(2)的条件下， 当3PD-V10PE最大时，若∠PMD=∠ACO,射线PM与函数y的图象交于点N,直接写出点N的坐标， 并写出求其中一个点的过程. 试卷第1页，共3页 7.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx-2(a≠0)分别交x轴于A,B两点(A在B的左侧)，交 y轴于点C,连接AC,其中0A=20B=20C. 备用图 (1)求抛物线的表达式： (②)点P是线段AC下方抛物线上的一动点，连接PB交线段AC于点E,过点B作直线BD∥AC交抛物线于 点D,点F是X轴上的动点，连接PF.当E取得最大值时，求点P的坐标及PF+5BF的最小值： BE ③)在(2)中当PE取得最大值时，将抛物线y=r2+br-2沿射线4C方向平移、5个单位长度得到抛物线 BE y,将点D向右平移一个单位长度得到点D,点K为拋物线y上的一动点并在拋物线y的对称轴右侧，过 点K作直线K0∥AC交抛物线y于点Q.连接PA,若∠QD'K+∠QKD'=45°-∠PAC,请直接写出所有符合 条件的点Q的横坐标，并写出求解点Q的横坐标的其中一种情况的过程 试卷第1页，共3页 8.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A(-6,0),B(1,0)两点，与y轴交于点C. 0 (备用图) (1)求抛物线的解析式； (2)连接BC,点P为直线AC上方抛物线上一动点，过点P作PD∥BC交AC于点D,点Q是抛物线对称 轴上一动点，连接PQ、BQ,当PD取得最大值时，求点P的坐标及PQ-BQ的最大值； (3)在(2)中PD取得最大值的条件下，将抛物线y=a2+bx+3沿射线AC方向平移得到新抛物线y,平移 后点P恰好落在y轴上，点K是新抛物线y上一动点，点H'是原抛物线顶点H的对应点，连接HH',将 线段HH'绕着点H'逆时针旋转90°得到线段HH”,若∠HH"K=∠CAB+∠OCB,请直接写出所有符合条件 的点K的坐标，并写出求解点K的坐标的其中一种情况的过程 试卷第1页，共3页 9.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=三x2+bx+c与x轴交于A-4,0),B两点，与y轴交于点C,抛 物线的对称轴直线x=-?与轴交于点D,点E为点C关于x轴的对称点，连接E. OB 备用图 (1)求抛物线的表达式： (2)点P是直线AC下方且在对称轴左侧的抛物线上的一动点，过点P作P?平行于y轴，交AC于点Q,过 点Q作QF⊥AC,交抛物线对称轴于点F,点M为抛物线对称轴上的动点，点N为y轴上的动点，连接 PM,MN,当PQ+0F取得最大值时，求点P的坐标及PM+MN+EN取得最小值时点N的坐标； 10 (3)将抛物线沿射线CB平移，平移后的新抛物线与x轴两交点间的距离为3，点G是线段BE上的动点，线 段DB关于DG的对称线段为DB',线段DB'所在直线交新抛物线于点K.若直线B'G与直线AC所成夹角等 于∠BC0,请直接写出所有符合条件的点K的横坐标，并写出求解点K的横坐标的其中一种情况的过程. 试卷第1页，共3页 10.如图，在平面直角坐标系中，抛物线)=之+h加+c与x轴交于4，B30)两点，与)辅交于点C 抛物线的对称轴是直线x=2 1 B 备用图 (1)求抛物线的表达式： (②)点E是直线BC上方抛物线上一动点，过点E作x轴垂线，交BC与x轴分别为点F与点G,点P,Q为 抛物线对称轴上的动点（点P在点Q的上方），且PQ=3,连接EP,E四.当EF+.BG取得最大值时， 求点E的坐标及△EPQ周长的最小值； ③)在②)中EF+8G取得最大值的条件下，将搅物线y三+bx+C向右平移2个单位，向上平移 个单位得到y,点H为点E的对应点，点M为y上的一动点，若∠HCM=∠CAB-∠ABC,请直接写出所 有符合条件的点M的坐标，并写出求解点M的坐标的其中一种情况的过程： 试卷第1页，共3页 11.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4a≠0)与x轴交于A-4,0),B(3,0),与y轴交于 点C. D A D 图1 图2 (1)求抛物线的解析式： (②)如图1，连接AC、BC,过点B作BD∥AC交抛物线于点D,点P为直线AC上方抛物线上一动点，连 接PD交AC于点E、点F为x轴负半轴上一动点，连接PF、PC、BE,当四边形PCBE的面积最大时， 求点P的坐标及PF+5OF的最小值： 5 (3)如图2，将抛物线y=ax2+bx+4(a≠0)沿射线AC方向平移√2个单位长度得到新抛物线y.点M为直 线AC上一点.将直线AC绕点M逆时针旋转a得到直线I,其中a=LCBO,直线I与新抛物线交于点N.若 ∠MCN=∠MNC,请直接写出所有符合条件的点N坐标. 试卷第1页，共3页 12.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,连接AC, BC,其中A-6,0),B(1,0). 备用图 (1)求该抛物线的函数表达式： (2)点P为直线AC上方抛物线上的一个动点，过点P作PD∥BC交x轴于点D,过P作PE∥y轴交AC于点 E.点F与点G为直线BC上的两个动点，满足点F在点G的上方且FG=√5，连接AG,PF,当 2y5PD-PE取得最大值时，求点P的坐标及PF-AG的最大值： 5 (3)将抛物线y=ax2+bx+2沿射线CB方向平移2√5个单位长度得到新拋物线，点Q为新抛物线上一点.若 ∠QCB=∠CAB+∠OCB,请直接写出所有符合条件的点Q的坐标，并写出求解点Q的坐标的其中一种情况 的过程， 试卷第1页，共3页 13.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x+bx+c与y轴交于点40,3)，与x轴交于B、C(-2,0)两 4 点 B B N 备用图 (1)求抛物线的表达式： (2)点P是直线AB上方抛物线上一动点，过点P作PD∥y轴交直线AB于点D,过点P作PE⊥AB于点E, 点M、N是抛物线的对称轴上的两动点，点M在点N上方且MN=1,连接PN、BM,当AE+BD长度取 得最小值时，求PN+BM长度的最小值： ③)在(2)中AE+BD长度取得最小值的条件下，将抛物线y=-x+x+c沿射线BA的方向平移？5个 4 4 单位长度得到抛物线y,点F为点P的对应点，点G为抛物线y上一动点，点H为抛物线y与x轴左侧的 交点，若LHFP=∠GAC+LOAB,请直接写出所有符合条件的点G的横坐标.并写出其中一个点的求解过 程. 14.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bxr+4(a≠0)与x轴交于A(-4,0、B两点（A在B的左侧)， 试卷第1页，共3页 与y轴交于点C,抛物线的对称轴是直线x=- 3 VA VA OB x 备用图 (1)求抛物线的表达式； (②)点P是射线AC上方抛物线上的一动点，过点P作PH⊥AC于点H,PD∥x轴交AC于点D,点E是直线 BC上动点，连接PE,当PD+兰PH取得及大值时，求点P的华标及此时PE+ BE的最小值： 2 17 (3)在(2)中PD+ PH取得最大值的条件下，将抛物线y=ar+br+4(a≠0)沿射线4C方向平移4W5个 2 单位长度得到抛物线y,点M为点P的对应点，点N为抛物线y上的一动点.若 ∠ABN+2∠P0C+∠OPM=180°，请直接写出所有符合条件的点N的横坐标，并写出其中一种结果的解答 过程 15.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx-4(a≠0)交x轴于点A、C,交y轴于点B.其中 0C=40A=4, 试卷第1页，共3页 C○ B 图1 图2 (1)求抛物线的表达式： (②)如图1，点P为直线BC下方抛物线上一动点，过P作PD∥y轴交BC于点D,点M是对称轴上的一个 动点，点N是y轴上的一个动点，求出当PD-√2CD取最大值时，点P的坐标，及此时PN+MN+AM的 最小值； (3)如图2，在(2)的条件下，当PN+MW+AM取最小值时，将抛物线y=ax2+bx-4a≠0)沿射线CB方 向平移√2个单位，得到新抛物线y,H为y轴上一点，Q为x轴上一点，当点K在新抛物线的对称轴上 时，是否存在这样的点K,使得以D,K,H,Q为顶点的四边形是以DH为边的矩形，若存在，请直接写 出符合条件的K的坐标，若不存在，请说明理由. 试卷第1页，共3页 参考答案 1.(0y=+x*3 (2395 10 (30点的横坐标为：-7+201或1+V465 2 4 【分析】(1)求得C(0,3),B(6,0),再利用待定系数法求解即可； (2)作PH上r轴，交BC于点H,设Pmm2+m+3 利用S四边形cPBD=S.CBP+S.BCD得 到关于m的二次函数，利用二次函数的性质求得P3,)· 将点P沿射线BC移动√5为 作P'W⊥x轴，交BD于点W,作P'G⊥BD于点G,交BC于 点E,推出四边形PP'EF是平行四边形，求得PF+FE+EG的最小值为P'G+√5，据此计 算即可求解； （3)利用平移的性质求得广：名+1，分当Q在BD上方和当Q在BD下方时，两科情 况讨论，据此求解即可. 【详解】(1)解：令x=0,则y=3, .0C=3,C0,3, 2 ∠A0C=90°，tan∠ACO= 3’ :0A=0Can∠AC0=3×2=2, 3 A-2,0,0B=3A0=6, .B(6,0, :抛物线y=ax2+bx+3过点A-2,0),B(6,0, a(-22-2b+3=0 a.62+6b+3=0 〔1 a=- 解得 4, b=1 :抛物线的表达式为y=+x+3: (2)解：如图1， 答案第1页，共2页 图1 作PH⊥x轴，交BC于点H, 设P+m+ :B(6,0,C(0,3), 设直线BC的解析式为y=+3,则0=6k+3, 特司 “直线BC的解析式为y= 2+3, 4 :S.c=2 Hk。=2x6 (m-32 1 4 2 :Sn=)CD.0B=x6x6=18, 1 2 3 SE边形CPBD=SCBP+S,CD= 4m-3)2+99 4 4 “当m=3时，四边形CPBD面积最大，此时点P的纵坐标为-×3？+3+3=5 将点P沿射线8C移动5为3-2号+小即户)】 作P'W⊥x轴，交BD于点W,作P'G⊥BD于点G,交BC于点E, :四边形PP'EF是平行四边形， :PP'=EF =5,PF=P'E, PF+FE+EG=P'E+V5+EG=P'G+√5， 答案第1页，共2页 即PF+FE+EG的最小值为P'G+V5, :点C(0,3)关于x轴的对称点为点D, .D(0,-3, B(6,0), 同理，直线BD的解析式为y=号x-3,BD=0D2+0B=V+6=35, -}咖0a-器5-29 BD3√55 p'p=19+529 4241 P'G=P'W,sn∠PwG=29sim∠0pB=29x25295 4 510 10+5=39V6 :PF+FE+EG的最小值为295 10 8解：y=+43=-2+4, 其顶点坐标为(2,4， :0A=2,OC=3,平移后的新抛物线y的对称轴为y轴， :顶点(2,4平移后的顶点为0,1，y=+1, 4 当Q在BD上方时，如图2， A B∠ 图2 过点M作EF∥x轴，作NE⊥EF于E,作QF⊥EF于F, .∠E=∠F=90°， .∠NME+∠MNE=90°， :∠QMN=90°， .∠NME+∠FMQ=90°， 答案第1页，共2页 .∠FMQ=∠MNE, △NEM∽△MFQ, EN EM MN ·MF=F0M0' ∠MQN=∠ACO, .tan∠MgN=tan∠ACo, MN OA 2 ÷M0oc3' EN EM2 MF-FO3 w20-小 12 2-4,-+4_+2 '(212,8-3 化简得t2+7t-38=0, 解得5=-7+V20 ,6=7-201(舍去. 2 -7+√201 Xo= 2 当2在BD下方时，如图3， E 图3 作EF⊥x轴，作OF⊥EF于F,作NE⊥EF于E, 答案第1页，共2页 0-小则经) 22 EM-0FEF 12 生244 2) 整理得2t2-t-58=0, .t3= 1+√465 1-V465 ,ta= (舍去) 4 4 1+V465 :Xo=- 4 综上，Q点的横坐标为：-7+201或1+46的 2 4 2.(1)y=-5x2+2x+6 2 20+v2 国3成-66 【分析】(1)先求出B(6,0),再将A-2,0)、B(6,0)代入抛物线y=ax2+bx+6求解即可. (2联立地物线y=+2+6与直线y=+3解断式求出0-引 再求出E(0,3列 ,设P+2+6,则r+3则PF=++3,EF=,从而得 2 PF+=- 7 > 5 3,根据次函数的性质得出当1=7时PF+25 22 从面得M在宣线x-子上，设（则Na,w-子，将D自右平移个单位料 33 则DN=D'M,得出BM+DN=BM+MD'≥BD',求出BD',即可得BM+DN 的最小值为5，从而求解。 2 3)求出am∠ABD%BE35,判出揽物线号+2x+6沿特线BD方狗 答案第1页，共2页 移5个单位得到新抛物线y,即抛物线y=-×+2x+6向左平移5个单位长度，再向上 平移个电位长度即可得到新数物线，求出新物线解祈式y一3x+6,求出直线 BC解析式，联立y= 分-3x+6和y=-x+6,则-分-3x+6=-x+6,求出H-40.设 分为①当点K在点H左侧时，过点H作HS⊥x轴，过点K作 KL⊥HS,证明∠BHS=45,得出m∠KS=m∠ABD),从面列方程求解。②当点K 在点H右侧时，过点H作HR⊥y轴，过点K作KT⊥HR,同理证明 n∠KH7=am∠48D=号，从面列方程求解， 【详解】(1)解：：点B在x轴和直线y=-二x+3上， 2 令y=0,得0=-x+3,解得：x=6,即B(6,0), 4a-2b+6=0 将A-2,0)、B(6,0)代入抛物线y=ax2+bx+6得 36a+6b+6=0' 解得：a=- 6=2, 1 .抛物线表达式为：y=-。x2+2x+6. 2 （2)解：联立抛物线y=方式+2x+6与直线y=+3解折式得-+2x+6=+3 1 2 解待：1，则y子 -引， 在直线y=-2x+3中，令x=0,得y=3, .E(0,3), 设P+2+6F+3 则=+26-+3++3. 宁可 答案第1页，共2页 25Er=, 则Pr+25E-++3+1=-+7 t+3, 5 2 2 2 2 7 该二次函数开口向下，故当(=- 1 时PF+25印取得最大值， 2 5 2 此时F》 7 M在直线x=2上， 设加[3： N(0,m),MN=7 路D向右平移个单位得D37) (22 则DN=D'M,连接BD', D E A O B外衣 .BM+DN=BM+MD'≥BD', BD'= 2 BM+DN的最小值为7V2 2 :BM+MN+DN的最小值为72,771+V2) 222 (3)解：：E(0,3,B(6,0), ian Z4BD-0R-BE-3+6-35 :3W5x5_55 62 答案第1页，共2页 55 3×= 5 6×=5, 62 6 +2x+6沿射线BD方向平移)5个单位得到新抛物线y,即抛物线 1 抛物线y=- y=- 园平移5个单位长度，再向上平移个单位长度面 :抛物线y= x2+2x+6的顶点坐标为2,8D 此时点2,8到的对应的点为-3,2 21 故新抛物线为：y=x+3+r-3+6. +2=-2 1 在y=- x2+2x+6中，令x=0,则y=6, .C(0,6), 设直线BC解析式为y=x+6, 代入B(6,0)得0=6k+6,解得：k=-1, 则直线BC解析式为y=-x+6, 联立y)-3x+6和y=-x+6,则23x+6=x+6 解得：x=-4,y=10, .H(-4,10）. 设k-3+6 当点K在点H左侧时，如图， S AO B 过点H作HS⊥x轴，过点K作KL⊥HS, :HS=BS=10, .△BSH是等腰直角三角形， 答案第1页，共2页 ∠BHS=45°， :∠CHK=∠ABD+45°，∠CHK=∠KHS+∠BHS=∠KHS+45°， .∠KHS=∠ABD, :an∠KHS=tan∠ABD=2 1 :L=10-（-3+6 )n2+3n+4,KL=-4 -4-n=1 1 n2+3m+42, 整理得：n2+10n+24=0, 解得：n=-4(舍去)或n=-6, K(-6,6. 当点K在点H右侧时，如图， D 过点H作HR⊥y轴，过点K作KT⊥HR, .HR=RC=4, .△CRH是等腰直角三角形， .∠CHR=45°， :∠CHK=LABD+45°，LCHK=∠CHR+∠KHR=∠KHR+45°， .∠KHR=∠ABD, tan∠KHR=tan∠ABD=), :kT2-n+6-10-=号r-颜-4m=n-4到=n+4, 1 2-3n-41, .2 4+n 2 答案第1页，共2页 整理得：n2+7n+12=0, 解得：n=-4(舍去)或n=-3, 个》： 或K(-6,6 3.0y=+gx+3 9 4 4 (2)P(3,3,PN+BM的最小值3√10 382 过程见解析 16a+4b+3=0 【分析】1D由抛物线经过84,0)及对称轴为直线x=)得出b3 ，解方程组求 2 2a2 出a、b的值即可得答案； (2)先求出直线BC的解析式为y=- x+3,设P1,- 4 3+91+30<1<4),可得 9 4 4 =4-,PF=-+3，证明PEFo80C,得出PE= P2BH=-3+山，根据三次函数点性质求出P3.3,将AC平移至PP,点A店 P是对应点，作点B关于AC的对称点B,连接BB'、P'B',根据平移的性质得出P'(4,6, 得出四边形MNPP'是平行四边形，PN=PM,利用勾股定理求出D, 根据点D为 BB'的中点得出B'(-5,3),即可得出当且仅当B、M、P共线时，BM+PN取得最小值， 最小值为Bp'=3V10; (3)先求出新抛物线解析式为y=-3 y-2,P,-3),Q-2,-3列，根据 x+2-16 ∠KQB+∠ABQ=45°，分点K在BQ上方和下方两种情况，利用一次函数的性质、结合全等 三角形的性质分别求解即可. 【详解】(1)解：：抛物线y三ar+bx+3与x轴交于A,B4,0)两点，对称轴为直线x=) 16a+4b+3=0 b3 2a2 答案第1页，共2页 3 a=- 解得： 4 9 b= 4 32 .9 抛物线的解析式为：y=4+x+3. (2)解：如图，将AC平移至PP',点A与点P是对应点，作点B关于AC的对称点B,连 接BB'、PB, :当x=0时，y=3, .C(0,3, 设直线BC的解析式为y=kx+b, B(4,0), 「4k+b=0 1b=3 3 = 解得： 4, b=3 ·直线BC的解析式为y=- x+3,BC=V32+42=5, 4 版P-++3jo<. 3 F6子+3H0, 3 4 :OC∥PH, ∠PFE=∠OCB, :∠PEF=∠C0B=90°， 答案第1页，共2页 PEF∽BOC, PE OB 4 PF BC 5' :PE-4PF. 5 5PE-5x4PF-4PF--244 35 3 5PE-2BH=-2+4h-2(4-）=-2+61-8=-t-3y+1, -1<0,0<1<4, 当t=3时， 5 PE-2BH 取得最大值， 32 t+1+3=- ×3+3=3, 4 4 *32+9 4 此时P(3,3, g对称轴为直线x,40小 A-1,0, AC=VP+32=10, 设直线AC解析式为y=kx+b2, 「-k2+b2=0 b=3 解得： [k2=3 b2=3 直线AC解析式为y4c=3x+3, 将AC平移至PP',P3,3), :PP'//AC,P(4,6),PP'=AC=10, :MN=V10, .四边形MNPP'是平行四边形， :PN P'M, 设BB'与AC交于点D(m,3m+3), AD2+BD2=AB2, 答案第1页，共2页 (-1-m)2+(3m+3)2+(m-4)2+(3m+3)2=52 解得：%=弓：=1（与点A重合，合去》 点D为BB'的中点， .B'(-5,3) .B'p'=V(-5-4)2+(3-6)2=3V10 点B与点B关于AC的对称， .BM B'M :BM+PN=B'M+P'M≥B'P 当且仅当B,M,P'共线时，BM+PN取得最小值，最小值为BP'=3√0， (3)解： 如图，沿射线CA方向平移2√10个单位长度得到新抛物线y,过点Q作S⊥y轴于S,QK, 交y轴于R, VA B 0. .平移方式为向下平移6个单位长度，向左平移2个单位长度，1，-3)， 3 y=- x2+9x+3=-3x-3}+7 4 4 4 216 :新抛物线解析式为y=-3x- 3 2+2)2 +75-6=-3x+-2 4 2 16 4 216 1 .新抛物线的对称轴为直线x= Γ2 0-2,-3,0S=3, 当点K在BQ上方时， 答案第1页，共2页 :∠KQB+∠ABQ=45°， :∠AGQ=45°， :∠RQS=45°，△RQS为等腰直角三角形， RS=QS=2,0R=1,R(0,-1), 设直线QR的解析式为y=kx+b, 「-2k3+b3=-3 b,=-1 k=1 解得： b=-1' 直线QR的解析式为y=x-1, =-3x2_3x-3 = 联立直线QR和新抛物线解析式得， 4 4x- 2， y=x-1 解得：=3飞=-2（舍） (引 当点K在BQ下方时，过点G作GT⊥BQ于L,交QK,于T, :∠K,QB+∠ABQ=45°， ∠KQB=∠K,QB, :QL=QL,∠QLG=∠QLT, .△QLG≌△QLT(ASA), :GL=TL, .BQ是GT的垂直平分线， 答案第1页，共2页 :BG=BT,OG=OT, :直线OR的解析式为y=x-1, .GL1,0),BG=4-1=3, 设T(x,y), x-4)2+y2=32 -2-+3-2-2-+-3-02 〔11 5 x3=1 解得： 12’ (与点G重合，舍去)， y=- 52=0 5 设直线QT的解析式为y=k4x+b, 「-2k4+b=-3 4+6=-12, .11 5 1 k27 解得： 19 b4= 7 :直线Qr的解析式为y=x- 119 7 y=-3x2-3x-3 -x- 联立直线QT和新抛物线解析式得， 442 119 y=7x-7 17 x1= 解得： 21 x2=-2 382 2=-3 (与点0重合，舍去)， 147 17382 .K221147 【点晴】本题是二次函数的综合，涉及相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、 待定系数法求函数解析式、平移的性质及勾股定理，合理作出辅助线是解题关键 4.(0y=-式+x+3 (2)310 答案第1页，共2页 es+24-到成e5+,5- 【分析】(1)由待定系数法求解函数解析式即可； (2)过点P作y轴的平行线交BC于点U,直线AC于点T,可求直线BC:y=-2x+3,直 线4C:=+3设Pp+p+3,则u(pp+,p+3小，由于 3 9 1 S△BcP=S△PUuB+S△Pc= +p:Scn-Sum-S.cm-+p, SBcp-S。Acp=-(p-22+4,那么当p=2时，SBcp-S。4Cp取得最大值，此时P(2,4),同理 可求直线BP:y=-x+6,过点C分别作x轴和直线BP的对称点为点C',C”,则C'(0,-3), 连接MC,NC",PC",CC",CC",CC"与直线BP交于点E,求出C"3,6),则 CC"=3-02+(-3-62=310,由对称可得，CM=CM,CW=C"W,则 C△cMw=CM+CN+MN=C'M+MW+C"N≥C'C",故当点C',M,N,C"共线时，△CMN的周 长取得最小值即为C'C"=3V10; (3)先求出抛物线/=x-4+7连接0P交BC于点1，过点P作P以1y轴于点，然 后证明出∠3=∠6，则PQC,求出直线PQ:y=方+5，则联立直线四和抛物线V表 达式得+5=x-4+7,解得x=5+厅或r=5-厅（舍，改 作点O关于BP的对称点R,射线PR交BC于点K,则∠3=∠7，此 时射线PR与抛物线)V的交点也是符合题意的点Q,可得KP=KB,设K(长，+3，则 -2+(+3-=t-++:解得=9，那么侣引 可求直线 PK:y=-2x+8,与抛物线y联立可得-2x+8=-4x-4)+7,解得x=8+2V而或 x=8-2(舍)，故Q(8+21,-4V1-8: 【详解】(1)解：：抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A(-2,0),B(6,0)两点， 答案第1页，共2页 [4a-2b+3=0 36a+6b+3=0 a=- 解得 4 b=1 “抛物线的表达式为y=-4+x+3: (2)解：过点P作y轴的平行线交BC于点U,直线AC于点T, YA T C B M 对于y=-x2+x+3,当x=0时，y=3, 4 C(0,3, 设直线BC:y=mx+n, 6m+n=0 则 n=3 1 1m=- 解得 2 n=3 C直线BC:y三-x+3 同理可求：直线AC:y= x+3 2 设ra4p+p+3则c(.2p+3小，np+3 11 3） p+ p×6= p, 答案第1页，共2页 smp2+9p(p+pjp+4p=p-2+4 :-1<0,0<p<6 .当p=2时，SBcp-S。4Cp取得最大值，此时P(2,4, 同理可求直线BP:y=-x+6, 过点C分别作x轴和直线BP的对称点为点C',C”, 则C'（0,-3, 连接MC',NC",PC",CC",CC",CC"与直线BP交于点E, 设E(e,-e+6),由对称可得CE=C"E C"2e,-2e+12-3),即C"(2e,-2e+9, 由对称可得PC"=PC, .(2-0)2+(4-32=(2-2e2+(-2e+9-4)2, 解行8-或=1（合 .C"(3,6, ·C'C"=V3-0)2+(-3-6)2=310 由对称可得，CM=C'M,CN=C"N, ∴.CACMN=CM+CN+MN=C'M+MW+C"N≥C'C" 当点C,M,N,C"共线时，△CMN的周长取得最小值即为C'C"=3√0. (3)解：：A(-2,0),C(0,3) .AC=V22+32=3 :将抛物线沿射线AC方向平移3个单位长度得到抛物线y, :抛物线=式+x+3向右平移2个单位，向上平移3个单位即可得到抛物线， 而y= 1 x2+x+3=4} (x-2)2+4 :抛物线y=-x-42+7 4 连接OP交BC于点I,过点P作PJ⊥y轴于点J, 答案第1页，共2页 ⊙ N B R 由对称可得，MC=MC', ∠1=∠2， .∠CMN=∠1+∠2=2∠1， :∠CMN=2∠3 .L3=∠1 :tan∠4= a42tan5=C0-31 PJ2 1 B062 .tan∠4=tan∠5 .∠4=∠5 .ZCOB=24+ZPOB=25+ZPOB=90 .PO⊥BC, LOCxOB=1BCxor 2 :OI=OCxOB =3×6_6V5 BC V32+625 P0=VPJ2+0J2=2V5 m=0-01=25-g5-5, 1-m-4+6-2-(传5-号5， .tan∠6= PI 1 BI-3' C"(3,6,C'(0,-3 .同上可求直线CC":y=3x-3, 答案第1页，共2页 当y=0时，3x-3=0 解得x=1, .M(1,0), tan 21=OM_1 OC 3 .tan∠1=tan∠6 ∠1=L6 .∠3=∠6 P0∥BC, 1 :直线BC:y=- +3, 1 :设直线P0:y=2+1, 代入点P2,4得，2》 ×2+t=4, 解得t=5 直线P0:y=2x+5 联立直线P0和抛物线)y表达式得之+5=-x-4+7, 解得x=5+√7或x=5-√7（舍）， 05,3- 作点Q关于BP的对称点R,射线PR交BC于点K, 则∠3=∠7 :∠CMN=2∠3， .∠CMN=2∠7， ∴.此时射线PR与抛物线y的交点也是符合题意的点Q :∠3=∠6， ∠6=∠7， .KP=KB 设K区-+3 答案第1页，共2页 -2++3-4=-6(+3 解得飞=10 104) K 33 同理可求直线PK:y=-2x+8, 与抛物线y联立可得-2x+8=-x-4+7, 解得x=8+21或x=8-21(舍) Q8+21,-41-8 综上：符合条作的点2的华标为23+3-4-8到或@5+，5 2r*2 5.0y22 (2)1+3 (3)-1,3)或-1-2V3,-3-3v5 【分析】(1)B(1,0)代入抛物线y=ax2+bx+2,结合抛物线的对称轴是直线x=-3 ,建立 方程组求解即可； (2)过P作PF∥y轴交BD于F,过点B作BG∥MN,使BG=MN,连接 BN,PG,GM,则四边形BGMN是平行四边形，BN=GM,求出A-4,0,C(0,2),求出 y=-1x-3x x+2 11 22 直线AC解析式)=2x+2,直线BD的解析式为y=2-2联立 11 ，解 =x- 22 得5，设-+小则F》--2+ 5 SoPF(化-o=引x+2+习得当=-2时，成m最大，由5am是定值， ,27 SPBD=SPBE+S,EBD,得SAPBE最大，得P(-2,3),当点M在直线PG上时，PB+GM=PG, 最小，由点A与点B关于对称轴对称，得AN=BN,得AN+PM=PG,最小，由G1,I, 得PG=√3，即得PM+MN+AN的最小值是1+√3； 答案第1页，共2页 ®)设0P与H0交于点可数物线x-)x+2年+5，向上平移1了 2x+2 + 8 个单位长度，再向右平移2个单位长度得到新抱物线，为少=之式++4，P14C, 1 得∠OPP=∠OLC,由三角形外角性质得∠QBA=∠AOP,得BQ∥OP,求出OP解析式 ,得吧解断式为=+当)=y时，解 、3 33 x=-1 y=3，得0(-1,3)；设9关 x=-1-23 于心轴对称点为Q山，-3，求出直线B,解析式y=):-,联立解得 3-3g'得 0(-1-25,-3-3V5). 【详解】(1)解：：抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于点A,B(1,0)两点，与y轴交于点C, 抛物线的对称轴是直线x=一2 3 a+b+2=0 b3, 2a2 1 a=- 解得： 2 3 b=- 2 抛物线为：y= 2+2. (2)解：如图，过P作PF∥y轴，交BD于F,过点B作BG∥MN,使BG=MN,连接 BN,PG,GM, 则四边形BGMN是平行四边形， .BN=GM, 对y=一 .23 +2, 答案第1页，共2页 1 2x+2=0, 令y=0,则-万x2-弓号x 解得x1=-4,x2=1; 令x=0,则y=2. A(-4,0),C(0,2. 设直线AC解析式为y=c+2, 把A(-4,0)代入，得-4k+2=0, 长-台 1 y=2+2, :BD∥AC, :设直线BD的解析式为y-+6, 把81,0代入，得+b=0, 解得b=一 1 1 .直线BD的解析式为y=一x- 22 =-r-3x y=- +2 联立{ 22 11 y=2x-2 [x=-5[x=1 解得 或 y=-3y=0' .D(-5,-3), 11 则Fx2x-2 wF---2+-5明+2r+号 -1<0, .当x=-2时，SPBD最大， 答案第1页，共2页 :S,EBD是定值，SPBD=SPBE+S.EBD, S△PBE最大， P(-2,3), 当点M在直线PG上时，PB+GM=PG,最小， :点A与点B关于对称轴对称， :AN =BN, AN+PM=PG,最小， G(1,1, PG=1-(-2)]+3-1)2=3, PM+MN+AN的最小值是1+√3. (3)解：设OP与AC交于点L, A(-4,0),C(0,2, .AC=V0A2+0C2=25, :将抛物线y=a2+bx+2沿射线AC方向平移√5个单位长度得到新抛物线y, 抛物线y=-1x2_3x 专x+2一x+2士25向上平移1个单位长度，再向石平移2个单 2 位长度得到新抛物线y, 即y=-x2+x+4, 2 2 :点P为点P的对应点， .PP'll AC, .∠OPP=∠OLC, :LAOP=LOLC-LBAC,且∠QBA=∠OPP-∠BAC, ∠QBA=∠AOP, BQ∥OP, 设OP解析式为y=mx, 答案第1页，共2页 把P(-2,3)代入，得-2m=3, 3 ∴.m=- 3 .OP解析式为y=- , 3 设B0解析式为y=-2r+n, 把8L,0)代入，得 2+n=0, .BQ解析式为y= 33 2* 2 y'= 当y=y时，联立 2+4 33 y= 2x+2 x=-1 x=5 解得 或{ y=3 y=-6 (舍去)， .0-1,3； 设g关于x轴对称点为Q(-1,-3),直线BQ解析式为y=ax+d, a+d=0 把B(1,0),Q(-1,-3)代入，得 -a+d=-31 3 a=- 2 解得 3 d=2 ·直线B0解析式为y=x-3 2 1 y'=- 2 2+4 33 =2x-2 x=-1+2W5 x=-1-2W5 解得 (舍去)或 y=-3+3V5 y=-3-35 0-1-25,-3-35. 故点Q的坐标为(-1,3)或-1-2V5,-3-35) 答案第1页，共2页 【点晴】第(2)小问添加辅助线构造将军饮马模型，第(3)小问∠QBA=∠AOP,点Q在 点B的左面，不合要求的点Q(在点B右面)舍去. 6.(1)y=-x2+2x+3 (②)P(1,4),△PDG的周长的最小值为2√3+2 (3)点N的坐标为3+V6,-26)或 9-V5727+V57 过程见解析 4 8 【分析】(1)利用待定系数法求解函数解析式即可； (2)延长DP交直线AC于点H,设点P的坐标为m,-m2+2m+3,先求出直线AC与直 线BC的解析式，从而表示出H(m,3m+3),D(m,-m+3),因此PH=m2+m, PD=-m2+3m.容易证明△AC0∽△PHE，根据相似可计算得PH=V10PE,因此 3PD-V10PE=3PD-PH=-4m2+8m,由二次函数的性质求出最大值为4，此时m=1, 点P的坐标为1,4.延长PD交x轴于点I,作点D关于点A的对称点D,连接D'G、DP ,根据平行计算出直线AF的解析式为y=-x-1,则点F的坐标为(0,1).容易证明 DD'⊥AF,则点D与点D关于AF对称，从而得到GD=GD'.当P、G、D三点共线时， PG+GD'最小，即△PDG的周长最小，使用勾股定理计算出PD即可； (3)沿射线AC平移√10个单位等同于从点A平移到点C,从而得到y'=-x2+4x+3.分 为点M在PD的左侧和右侧两种情况讨论，当点M在PD的右侧时，使用勾股定理计算出 △PBC的三边，从而得到△PBC是直角三角形，利用三角函数可证明∠PBD=∠AC0,因 此点B即为所求的点M,求出直线PB的解析式，与抛物线y联立，求出点N的坐标；点 M在PD的左侧时，利用对称性求出此时点M的坐标，然后使用同样方法求出点N的坐标， 答案第1页，共2页 删去不符合题意的点坐标后，得到结果. 【详解】(1)解：将点A(-1,0),B(3,0)代入y=ax2+bx+3,得， 0=a-b+3 0=9a+3b+3' a=-1 解得b=2' 二次函数的解析式为y=-x2+2x+3: (2)解：延长DP交直线AC于点H,设点P的坐标为m,-m2+2m+3, 将x=0代入y=-x2+2x+3,得y=3, 点C的坐标为0,3)， 设直线AC的解析式为y=kx+b, 将点A-1,0),C(0,3代入y=kx+b,得， [0=-k+b 3=b k=3 解得 b=3' .直线AC的解析式为y=3x+3, 同理，直线BC的解析式为y=-x+3, :PD∥y轴， .Xg=Xp=Xn=Ⅲ， 点H的坐标为m,3m+3),点D的坐标为m,-m+3), 答案第1页，共2页 PH=3m+3--m2+2m+3=m2+m,PD=-m2+2m+3--m+3=-m2+3m, A-1,0,B3,0),C(0,3, .0A=1,0B=0C=3, 由勾股定理可得AC=√042+0C2=V2+32=√0， :PE⊥AC, ∠PEH=90°=∠A0C, PD∥y轴， .∠AC0=∠PH0, .△AC0∽△PHE, PH PE PH=PE AC V101, :PH =10PE :3PD -10PE 3PD PH, =3-m2+3m-m2+m）, =-4m2+8m, =-4(m-1)2+4, :-4m-1)2≤0， .当m=1时，3PD-√10PE取得最大值4，此时点P的坐标为1,4； 如图，延长PD交x轴于点I,作点D关于点A的对称点D,连接D'G、DP, 珠 H D G O D 答案第1页，共2页 :m=1, 点D的坐标为1,2)， .PD=2, :点D与点D关于点A对称， .由中点公式可得，点D的坐标为(-1)×2-1,0×2-2，即D'(-3,-2), AD=AD', :△PDG的周长为PG+GD+PD=PG+GD+2, 当PG+GD最小时，△PDG的周长最小， :PD∥y轴， 点I的坐标为1,0)，∠IDA=90°， .ID =2 IA, :△ADI是等腰直角三角形， .∠DAI=45°， :AF∥BC, .kAF =kgc =-1, 设直线AF的解析式为y=一-x+b2, 将点A-1,0)代入y=-x+b2,得b=-1, 直线AF的解析式为y=-x-1, 将x=0代入y=-x-1,得y=-1, 点F的坐标为0，-1)， .0F=1=0A, :∠A0F=90°， .△AOF是等腰直角三角形， .∠0AF=45°， .∠DAF=∠OAF+∠DAI=90°，即DD'⊥AF, .AF垂直平分DD', .GD=GD', 答案第1页，共2页 .PG GD PG GD', :PG+GD'≥PD', :当P、G、D三点共线时，PG+GD'最小，即△PDG的周长最小， 由勾股定理可得D'P=V-3-1)2+(-2-4)2=23, .△PDG的周长的最小值为213+2； (3)解：：A-1,0),C0,3),AC=0, :沿射线AC平移√0个单位等同于从点A平移到点C,即向右平移1个单位，向上平移3个 单位， .y=-(x-1)2+2(x-1+3+3=-x2+4x+3, ①当点M在PD的右侧时，如图，连接PC,PB, B 由(2)可知，点P的坐标为1,4)， 由勾股定理可得PC=1-0)+(4-3)2=V2,PB=V1-3)2+(4-0)2=25, BC=V3-02+(0-32=3V2, :PB2=20=PC2+BC2, :△PBC是以PB为斜边的直角三角形， .∠PCB=90°， 在直角△PBC中，tan∠PBD=PC-2_1 BC3V2=3' 答案第1页，共2页 在直角△AC0中，tan∠4C0=O4_L, -03' :tan∠PBD=tan∠AC0, .∠PBD=∠AC0, :点B即为所求的点M, 设直线PB的解析式为y=kx+b, 将P1,4,B(3,0)代入y=kx+b,得， 4=k3+b 0=3k3+b,’ 「k3=-2 解得6=6’ .直线PB的解析式为y=-2x+6, 联立直线PB与抛物线y,得， y=-x2+4x+3 y=-2x+6 x=3-V6 x=3+V6 解得 或 y=26 y=-26 :点N在射线PM上， 点N的坐标为(3+V6,-26); ②当点M在PD的左侧时，如图， VA M. .:∠PMD=∠AC0=∠PBD, ∴.PM=PB, ∠PCB=90°，即PC⊥BC, 答案第1页，共2页 .BC=MC,即点C为BM的中点， 由中点公式可得，点M的坐标为(-3,6)， 设直线PM的解析式为y=k4x+b, 将P1,4),M-3,6代入y=k4x+b4,得， 4=k4+b4 6=-3k4+b,1 1 k4=- 解得 2 9 b4= 2 :直线PM的解式为y二一2子+兰， 联立直线PM与抛物线y,得， y=-x2+4x+3 19 y=- 2x+2 [9-√57 9+√57 X=- X=- 解得 或 (不符题意，舍去) 27+V57 27-√57 y= y= 8 8 点N的坐标为 9-V5727+V57 4， 8 综上所述，点N的坐标为3+6，-26)或9-V57,27+5团 4， 8 【点晴】本题是二次函数与几何的综合题，考查函数平移问题，线段和最值问题，角度问题， 掌握好相关知识并运用数形结合思想是解题关键， 7.0=+-2 2 2P(-2,-2,85 5 (3)-5-V37 3 【分析】本题主要考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的综合应用、三角函数、等腰 三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键， (1)先求得A-4,0),B2,0),再运用待定系数法求解即可： 答案第1页，共2页 (2)先求得直线AC的解析式为=2-2、直线BD的解析式为y=一2x+1,设 +2 2 可得直线B的解祈式为)y=牛(x-2引：联立PB、4C得 品：，：过P作PW1r,L轴，则w红0，E(二e小PM t+6’-t+6 (t+6 ，易得MN=2 ==,BN=2-24-12 -t ,再根据平行线等分线段定理可得 t+6 t+6 t+6t+6 -t2-4t 能器岁+ 1 进而确定t的值，从而确定点P的坐标；由题意可 t+6 得sin∠CAO= 如图：过点作FG∥AC,过点B作HGFG定为G,四 ∠GFB=∠C40,即sin∠GFB=BG-5,得BG=5FB:过点F作FH1BD于H,垂 FB 5 足为H,则四边形FGBH是矩形，易得PF+5 FB=PF+FH,过点P作PI⊥BD交AB于 E,则△BPI是直角三角形，由垂线段最短可知：PI为PF+FH的最小值；再根据勾股定 理逆定理以及两点间距离公式求解即可； 3先求4---3,1-54：设好--4>小，求得直线0的 y=- x+d2-3 1 解折式为y=分+-3，联立 1 可得Qd, 2_d-3 42 或 V=-x+-x-3 (与点K重合，不符合题意)，然后根据平行线的性质、等腰三角形的性质、 两点间的距离公式求解即可. 【详解】(1)解：：抛物线y=ax2+bx-2(a≠0)交y轴于点C, 令x=0,得y=-2, C(0,-2,0C=2. :0A=20B=20C .OA=4,OB=2 :点A在B左侧， A-4,0,B(2,0). 答案第1页，共2页 将A(-4,0,B(2,0)代入抛物线方程： (1 16a-4b-2=0 4a+2b-2=0，解得 1 1 1 抛物线的表达式为：y=4父+2-2. (2)解：设直线AC的解析式为y=c+b, 0=-4k+b 则 -2=b ，解得： ks、1 2 b=-2 直线4C的解析式为y2 :BD∥AC, 设BD的解祈式为)y=+么，测0=×2+，解得：=， 2 1 :直线BD的解析式为y=-一x+1. 2 设P+-2 设直线PB的解析式为y=k2x+b2, 2+t-2 经+宁-2=依+，解得 k=4 2 则4 t-2 0=2k2+b t-2 12+2t-2 :直线PB的解析式为y=4,? -12-t+4+-2 t-2 x+2 -42 t-2 2x-2)=—(x-2）’ +4(x-2) 2t y= x= 4 联立PB、AC得： ,解得： t+6 1 y=-2x-2 y=-31+12, t+6 E2-3+12 (t+6’t+6 如图：过P作PM1x轴，EN⊥x轴，则M,0,N2,0,PMINE, 1+6 答案第1页，共2页 MFN .MN = 2-1=-,8N=2-2=12 t+6 t+6 t+6t+6 :PMNE, -2-4t 1+6 :当=-2时， 有最大值，此时P(-2,-2: PE 2 0C=2,0A=4, .AC=V0A2+0C2=25, :sin∠CA0=O4-2-V5 AC255 如图：过点F作FG∥AC,过点B作BG⊥FG垂足为G, D A B .∠GFB=∠CAO, 答案第1页，共2页 .sin∠GFB= BG5 FB 5 BG-5FB 如图：过点F作FH⊥BD于H,垂足为H,则四边形FGBH是矩形， FH-BG-5FB PF+5FB=PF+FH 5 如图：过点P作PI⊥BD交AB于E,则△BPI是直角三角形， 由垂线段最短可知：PI为PF+FH的最小值， 设a+则r=a+2+1+2PB=2+2+0+2=20 2 o2-1+a-2(1-0j-0,:2 当a=2时与点B重合，不符合题意，故a= 5 5 :PF+5BF的最小值8N5 )解：能物成=号-2=-4-号沿C方询平移5个数， .y= +、一2向右平移2个单位，再向下平移1个单位 yx+1-2-1--化简得- 4 42-3. 1 y=-x+1 联立 2 ,1解得： x=-6x=2 +x-2 (4或/ (与点B重合舍去)， y=0 4 2 D-6,4, :将点D向右平移一个单位长度得到点D, .D'-5,4, 答案第1页，共2页 设ar--3d>. 设直线KQ的解析式为y= 2+6, 则好-d-3=4+6,解得：44-3 4 2 直线0的解折武为y+女-3， 4 -x+242-3 y= x=d x=-d 联立1x 24 ，解得： 或 y=- x-3 d2+d-3 4 2 42 A(-4,0,P(-2,-2）, .∠PA0=45°， :∠QD'K+∠QKD'=45°-∠PAC, ∴∠QD'K+∠QKD'=∠PAO-∠PAC=∠CAO, 图当g-d,+号3即，点Q位于对称轴的左侧，延长PA、kQ、DD使其相交于盒 H则DD∥01，H}-144 :DH=5-3-14=9-d,<0DK+∠0KD=∠D0n=Ca0. :D'D∥OA,AC∥KQ, ∠D'HA=∠OAP=45°，∠OHA=∠PAC, ∠QHD'=∠D'HA-∠OHA=∠OAP-∠PAC=∠COA, .∠D'QH=∠QHD', .D'H =D'O, 答案第1页，共2页 -9-d,解得：4=5+v37或5- 7(不合题意 3 3 舍去)， ·点0的横坐标为5-V37 3 80=- 一x+3 (2)P(-3,6),P0-BQ有最大值3V5 V3129-2W31 见解析 2 【分析】(1)利用待定系数法求解即可； (2)连接AQ,过P作PF⊥x轴交AC于F,过D作DG⊥PF于G,证明△PGD∽aCOB, 0040c料%-8没-瓷-瓷-设6F-,推导出m-0Pf,则 当F最大时，PD最大：求出直线4C的表达式为y+3,设Pmm- 2 2m+3, 2 则Fmm+36<m<0,PF=m+3+号，利用=次函数的性质求得PF取最大 1 值时的点P坐标；P(-3,6)；再根据对称性质得到当A、P、Q三点共线时PQ-BQ取最大 值，进而求解AP即可； ®)先根据二次函数图象平移规测得到新榄物线的解析式y=+x+5 24 ,和顶点坐 标（各》加公。）再构位全等三角形果考 如图，过H"的EF∥x轴，EH上EF于E,H℉⊥EF于R,2,3 ,利用锐角三角函数 8 求得∠HH"K=∠CAB+∠OCB=45°，分当K在直线HH"上方时和当K在直线HH"下方时分 别求解即可. 【详解】(1)解：：抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A-6,0),B(1,0), 1 [36a-6b+3=0 a=- ，解得 2 a+b+3=0 5’ b=- 2 日抛物线的解所式为y=产-，+3 2 (2)解：连接AQ,过P作PF⊥x轴交AC于F,过D作DG⊥PF于G, 答案第1页，共2页 G D 则DG∥AB,PF∥OC,∠PGD=∠C0B=LCOA=LDGF=90°， :PD∥BC, .∠DPG=∠BC0,LGDF=∠CA0, △GDACOB,△DGF∽△A0C, DG OB 1 GF OC 1 ·PG=oc=3'DG0A2' 设GF=a,则DG=2a,PG=6a,PF=PG+GF=7a, PD-PG+DGF-6a+2a-20a=20PF, 7 则当PF最大时，PD最大， 当x=0时，y=3,则C(0,3), 设直线AC的函数表达式为y=kx+t, -6k+t= 则 t=3 0,解得k=2, t=3 1 :直线AC的表达式为y=2+3, 改Pn-m 1 -2m+3则Fm2m+36<m<0, PF=-Im 2m+31 1 <0, 2 当=-时，F取鼓大，此时-m-m+3=-那--到3=6， .P(-3,6); :点Q是抛物线对称轴上一动点， :AO=BO, 答案第1页，共2页 PQ-BQ=PQ-AQ≤AP,当A、P、Q三点共线时取等号， :AP=V-6+3)2+0-6)2=35, .PQ-BQ的最大值为35； (3)解：将抛物线y=-1x2_5 2 、x+3一1了x+5+4罗沿射线AC方间平移得到新抛物线 2 8 y,平移后点P恰好落在y轴上，且A-6,0,C(0,3),P(-3,6), :平移方式为将抛物线y=ax2+bx+3先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度 得到新抛物线y, 如图，过H'的EF∥x轴，EH⊥EF于E,H℉⊥EF于F, B .∠HEH'=∠HFH"=90°， 由旋转性质得∠HHH"=90°，HH'=HH", .∠EHH'=∠FHH"=90°-∠EHH,∠HH"H'=45°， △HEH'≌aHFH"AAS), FH'==,FH=EH"=3, Hr2） OA2'tan∠0cB=OB=1 tan/C4B=OC =1 答案第1页，共2页 1,1 :amC8+∠0c-1CC6m0C8。-2-1,(mu+B= tana tanB =1-tanZCAB.tanZOCB 1- 1-tanatanβ 23 证明见后面，tan45°=1)， .∠CAB+∠0CB=45° ∠HH"K=∠CAB+L0CB=45 当K在直线HH上方时，K与H'重合，则K 161 28 当K在直线HH"下方时，∠HH"K=∠HH"H'+∠HH"K=90°=∠HHH",则 HK∥H'H∥AC, 设直线州家的函数解折式为y=分+9，则智×2+9g,则g 2 82 8, :直线H《的函数解析式为y=2x+ 129 81 129 x+ 联立方程组，得 28 1 y'= 2t× 2 31 x=- 解得 2 (另一组解不符合题意，已舍去) 29-2√31 y= 8 .K2 3129-231 2 8 综上，满足条样的K的华标为g》,太（ V3129-231 2’8 tana+tanβ 注：证明tana+B)= 1-tanatanB 如图，矩形ABCD中，AD=BC=1,AB=CD,AD∥BC,∠A=∠D=∠C=90°， F D 设∠CBE=B,∠FBE=a,∠BEF=90°， 则∠DEF=90°-∠CEB=∠CBE=B,∠AFB=∠CBF=a+B, 答案第1页，共2页 BC 1 在Rt△CBE中，CE=BC·tanB=tanB,BE= cosB cosB 在RtA BEF中，EF=BE,tana=ana cosB' 在RtAEDF中，DE=EF.cosB=tana,DF=DE.tanβ=tanatanB, 在RtaABF中，AF=AD-DF=l-tandtanβ，AB=CD=tana+tanβ， .tan(a+B)-48 tana+tanB AF1-tanatanB 【点晴】本题考查二次函数的综合，涉及待定系数法求函数解析式、二次函数的图象与性质、 二次函数的图象的平移、平行线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判 定与性质、坐标与图形、锐角三角函数等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关 键。 9 x-3 4 870段 18 〖份析】)先由抛物线对称轴为直线x三求得力的值，再根据抛物线与x轴交于点 A-4,0),求出c的值，从而得到抛物线的表达式： ②）求直线AC的解析式为y=一3，设直线4C与抛物线对称轴交于点L,过点0作 QK⊥FM于点K,过点N作NR⊥EB于点R,在RtaADL中，运用勾股定理求出AL的长度， 25 再I0,则8张--音-耳0r=0. 3 8 P+0F=PQ+0K=-求出当P-号》P0:0r取得最大值，证 3 △NERn△BE0, EN_BE-0=0,从而得出 NR BO 1 PM+MN+CEN=PM+AMN+NR,当PR⊥EB且P,M,N,R四点共线时， 10 PM+MN+EN有最小值，作PR⊥EB且P,M,N,R四点共线，作PS⊥y轴于点S, 10 证：Nn:,从而求出S-写5-号0N=05-AS背g多，最后求出N点坐 答案第1页，共2页 标； (3)先求出平移后的抛物线解析式，证明∠0AC=2∠BC0,分两种情况进行讨论，求出对 应K点横坐标 【详解】(1)解：：抛物线y=3x2+br+c的对称轴是直线x= 4 3 bb 2b 3 .2a 332, 2× 4 b=9 4 :抛物线y=3x+9x+c, 4 4 :抛物线与x轴交于A(-4,0), 将-40代入=+号x+e中得子4+3-4+e=0. 4 4 解得c=-3, 抛物线的表达式为：y= +2 3 9 (2)解：：抛物线的表达式为y=二x2+三x-3, .令x=0,得y=-3,即C(0,-3), A-4,0),C(0,-3, 3 直线AC的解析式为y=-三x-3, 4 如图1，设直线AC与抛物线对称轴交于点L,过点Q作OK⊥FM于点K,过点N作 NR⊥EB于点R, :QF⊥AC,DM⊥AO, .∠FQL=∠ADM=90°， 又：∠FLQ=∠DLA, .△FLQ△ALD, .∠QFK=∠DAL :QK⊥FM, ∠FKQ=∠ADM=90°， .△FKQ∽△ADL. 答案第1页，共2页 :A(-4,0, 24- 3 :AD=Xp-XA= :直线AC与抛物线对称轴交于点L, 在RteADL中， AL=AD2+DL2 :△FKQ△ADL, 25 _5 OK DL 153' for-ok, aPe+0r=re+0K. :能物线=子+子-3的对搭维是直线=子直线4C的解听式为y=-3。 9 3 :.PO=yo-yp=- 9 33, 3 4 （4 -3=-3-31,0K=-=- 4 4 PQ+20F=P0+QK=-3-4-3, 3 4 21 ”4<0,开口向下， 3 又-4<t<0, 1=时.P0+0r取最大信，时rs》 点E为点C关于x轴的对称点，C(0,-3), E(0,3, :抛物线y+}-3与x辅交于4-4,0，B两点，抛物线y+}-3的对称辅是 9 9 4 4 答案第1页，共2页 直线x=3 .B1,0), .0E=3,OB=1, 在Rt△EOB中， EB=V0E2+0B2=V32+12=V10, :NR⊥EB,EO⊥OB, LERN=∠E0B=90°， :∠NER=∠OEB, △NER∽△BE0, :EN BE 10 =10, NR BO 1 :f0 EN =NR 10 PM+MN+ -EN PM+MN+NR, 10 当PR⊥EB且P,M,N,R四点共线时， PM+MN+ √10 EN=PM+MN+NR≥PR, 10 此时PM+AMN+CEV的最小值为PR的长. 10 如图2，作PR⊥EB且P,M,N,R四点共线，作PS⊥y轴于点S, @-》 :PR⊥EB,PS⊥y轴， .∠ERN=∠PSN=90°， :∠ENR=∠PNS, △ENR∽aPNS, ∠NER=∠NPS, tan∠NER=tan∠NPS, :在Rt△EOB中， 0E=3,OB=1, 答案第1页，共2页 OB 1 ∴.tan∠NER=tan∠OEB= OE3 .tan∠WER=tan∠NPS 3 在RtaPSN中， ’an∠Wps=S_1 :Ps=8 PS3' 1 8 .NS=-PS= 3 9 :0s=马 3 ·ON=OS-NS=1825 399 25 N0,-9 E B N M 图1 图2 (3)解：设抛物线沿射线CB向右移动了m个单位长度(m>0),则抛物线向上平移了3m个 单位长度， 设平移后的揽物线为y/-x-m+?x-则-3+3m 4 设平移后的抛物线与x轴的交点横坐标分别为x,:, 令y'=0,整理得x2+3-2m)x+m2+m-4=0, ·平移后的新抛物线与x轴两交点间的距离为3， k-x=Vx-x2=Vx+xP-4x2=V3-2m2-4m2+m-4)=3, 解得m=1, :平移后的抛物线y=3x+3x- .33 442’ 设∠BC0=a, :点E为点C关于x轴的对称点， 答案第1页，共2页 :ZBEO=ZBCO=a, ①如图3，当点B在直线x=-3上，且DB'=DB时，设此时直线BG交x轴于点J,交直线 2 AC于点M,则直线B'G与直线AC所成夹角为∠BMC,此时∠B'MC=∠BCO,点K的横 坐标为多是由下： 在x轴上截取AR=AC,连接CR, :A-4,0),C(0,-3, .0A=4,0C=3, 在RtAAOC中， AC=VA02+0C2=V42+32=5, .AR=AC=5, .R0=RA+A0=5+4=9, 在RtAROC中， :R0=9,0C=3, .tan∠ORC= 0C1 OR3 :在RtABOC中， B0=1,0C=3, tan∠BCO=OB-1 0c=3 .∠0RC=LBC0=a, AR=AC, .∠ORC=∠ACR, .∠OAC=∠ACR+∠ARC=2∠ARC, .L0AC=2∠BC0=2a. :线段DB关于DG的对称线段为DB', .∠DB'G=∠DBG, :∠B'D0=∠B0E=90°， .∠B'DO+∠DB'G=LBOE+LDBG, :在△B'DJ中， 答案第1页，共2页 ∠B'JD=180°-（∠B'D0+∠DB'G), 在△EOB中， ∠OEB=180°-(LBOE+LDBG), .∠B'JD=∠OEB=a, :∠MAR=∠OAC=2∠BC0=2,∠MAR=∠B'JD+∠B'MA, .∠B'MA=a, 即此时直线B'G与直线AC所成夹角为∠B'MC,且∠B'MC=LBCO, :点K的横坐标为 3 M B'E G R DN 图3 ②如图4，当点B在y轴上，且DB'=DB时，设此时直线B'G交直线AC于点U,则直线 B'G与直线4C所成夹角为∠B'UC,此时∠B'UC=∠BC0,点K的横坐标为±MS6,理 18 由如下： :线段DB关于DG的对称线段为DB', .LDB'G=∠DBG=90°-∠0EB=90°-a, 在RtADOB'中， 、DO三·DB=DBES, .0B'=VDB2-D02 -周 B'O 4 .tan∠B'DO= -=tan∠ACO, OD 3 .∠B'D0=∠AC0, LB'D0=90°-LCA0=90°-2a, 在△DB'B中， ∠B'BD=180°-∠B'D0-∠DB'B=180°-(90°-2a-(90°-a=3a, 答案第1页，共2页 .∠B'BD=∠BAC+∠BUA,∠BAC=2a, .∠BUA=∠B'BD-LBAC=3a-2a=a, 此时B'(0,2), 直线BD解析式为：y 3+2， 3t*2 y 联立 32+x-3 4 X-2 [7+V1561 x= x=7-i561 解得 18 或 18 ys 68+2V1561 68-2√1561 y= 27 xr=7±vi567 18 综上=7±56或 3 YA 图4 【点晴】本题考查了二次函数与一次函数的综合应用，包括待定系数法求解析式，函数平移， 线段最值问题，角度存在性问题等，题目难度大 1 0.y2+x+9 2 (2)E(1,3),10+3 间点以的坐标为2,6或号智》，过程见详解 【分析】(1)先利用对称轴与点B的坐标求得点A的坐标，再利用待定系数法即可求解二 次函数解析式； 2》先求出当线C的解新式，再设(@+m+3小， 则F(m,-m+3,Gm,0),表 2 答案第1页，共2页 示出EF+】BG的表达式，此时表达式为开口向下的二次函数，化为顶点式后即可得出点E 的横坐标，代入二次函数解析式即可求得点E的坐标，将点E往下平移3个单位得到 E(1,O),则EE∥PQ,且EE=PQ,连接E,Q,得平行四边形EPOE,则EQ=EP,作E关 于对裕维直线x=的对称点E:100,甲为坐标原点0，则50-E0.当E,C,5,共袋 时取等，即可求得△EPQ周长的最小值： (3)先根据平移情况求出新抛物线解析式和点E平移后的点H坐标，作CP∥x轴，延长 AC于点N,根据题意可得出点M,在CN上，求出AC的解析式后联立新抛物线解析式即可 求得M的坐标；作CN关于CH对称的直线CM,交y于点M2,设LCAO=a,得出 ，利用导角得出∠M,CP=∠NCP-2∠HCN=90°-Q,再过M CP于点延长以，C交x轴于应R,求得mCM,K=-弓，设CK=,MK2, 从面求符m∠以，CP:总装答兰子进而有出m∠B合子求得点F的坐标，设直 CK 3k 3 线CM,的解析式为y=kx+b2,求出解析式联立新抛物线解析式即可求得M2的坐标。 【详解】1)解：描物线的对称铺为x弓4,8(3.0为抛物线与x袖的交点， 48=2×3-=5, .x4=XB-5=-2, A-2,0, 指420、8B.0代入=方r+加+e 2×-2+-2)xb+c=0 得： 2×32+3xb+c=0 解得b= 2’c=3, 1 1 y=-2+2x+3. 2 (2)解：：点C是抛物线与y轴交点， .当x=0时，y=3, .C0,3, 答案第1页，共2页 设直线BC解析式为y=kx+b, [3=b 将(3,0，C0,到代入得：0=站+6·解 k=-1 b=3 .直线BC:y=-x+3, 设Ea,m+m+3小，则Fa,m+引，G1m0. :-c-【m+e小wr-到=rtm-月 =m-2+2 1 2 <0, .抛物线开口向下有最大值， :在0<m<3中，当m=1时，EF+BG有最大值，此时E1,3), 如图，将点E往下平移3个单位得到E,(1,O),则EE∥PQ,且EE=PQ, 连接EQ, 则平行四边形EPOE, :E O=EP, 作E关于对称轴直线x=号的对称点E,0,0),即为坐标原点0，则EQ=E,Q, (E2)OE ∴.CAEPO=EP+EQ+P0=E,Q+EQ+32EE,+3=0+3，当E,Q,E2共线时取等， 即E(1,3),△EPQ周长最小值为√10+3. (3)解：由二次函数的平移可得新抛物线解析式为： y=-x-2+-2+93=++3 1 2 :点H对应点E平移的坐标， 答案第1页，共2页 H(3,6), 如图，作CP∥x轴，延长AC至点N,CN交抛物线y于点M, 、.M A B .LCAB=∠NCP, 过点H作HG⊥CP交CP于点G, :.HG=yH-yc=3,CG=H-xc=3, :.HG=CG, .∠HCP=45°， 0C=0B=3, LABC=45°， .∠HCP=∠ABC=45°， LHCN=LNCP-LHCP=LCAB-∠ABC,即∠HCM,=∠CAB-∠ABC, 设直线AC的解析式为y=kx+b2, 0=-2k,+b:,解 3 得： k2, 13=b2 b2=3 3 直线4C的解析式为：y=2x+3, 联立y:+3 2*3, 5 解得x=0(舍去)，x2=2, M1（2,6): 作CN关于CH对称的直线CM,,交y于点M2,延长M,C交x轴于点F, 设∠CA0=a, 答案第1页，共2页 0C3 .tana= 0A2’ :CP∥x轴，∠HCN=∠HCM2,∠HCP=45°， LNCP=∠CA0=a,∠HCN=∠HCM2=a-45°， :∠M,CP=∠NCP-2∠HCN=90°-a, 过M2作MK⊥CP交CP于点K, :∠CM2K=90°-∠M2CP=a, :tan∠CM,K=CK=3 M2K2' 设CK=3k,M2K=2k, tan∠M,CP=M,k=2k_2 CK 3k3' CP∥x轴， .∠MCP=∠CFO, 在Rt△CF0中，tam∠M,FB=CO_2 FO3 32 F0,解得F0 3 设直线CM,的解析式为y=kx+b, 0=-9k+ 2 ka= 将点C,F代入得： 2 ,解得 3， 3=b b,=3 直线CM,的解析式为y=二x+3, 3 联立y得：+3= 5 3 1x2+x+3, 2 2 11 解得x=0(舍去)，x2= 3 1149 :M,39 综上5所达，度M的华际为2.攻)9 【点晴】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题，二次函数线段周 长综合题，二次函数的平移，解直角三角形等知识点. 11.0①y=-x2-1x 3 3+4 答案第1页，共2页 ar, 15 )w-4-i丽8-3i可或N-1号》 【分析】本题考查二次函数与几何的综合，通过几何性质求出点坐标是解题关键； (1)代入点坐标求解即可： (2)先通过平行线，将四边形PCBE的面积转化为△DCP的面积，从而通过设点P的坐标， 用二次函数表示面积与点P的坐标的关系，求出最值；再构建直角三角形（胡不归模型）， 者0F转化为另一线段长，道过垂线段最短求出镜小怕： (3)先根据AC的斜率为1，求出新抛物线y的解析式，再分情况讨论，通过a与∠MCW, ∠MNC的关系，用含α的式子表示，通过过点C构造出对应的角度，求出此时对应角度所 在的直线解析式，与y联立，求解即可. 【详解】(1)解：代入点A-4,0),B(3,0)得 0=a×(-4)2+b×(-4)+4, 0=a×32+b×3+4, 1 a=- 3 解得 1 b=- 31 y=-+4: (2)解：令x=0,得y=4, .C(0,4), 设直线AC的解析式为y=kx+4, 代入点A-4,0),得0=-4k+4, 解得k=1, .y=x+4, BD∥AC, .可设直线BD的解析式为y=x+b, 代入点B(3,0),得0=3+b, 解得b=-3, .y=x-3, 答案第1页，共2页 令-4=-3 解得x=3,x2=-7, 令x=-7,得y=x-3=-7-3=-10, D(-7,-10, 如图，连接CD,过点P作PM∥y轴，交CD于点M, VA D :BD∥AC, :S.BCE S.DCE .四边形PCBE的面积=S.PCE+S.BCE=S.PCE+S.DcE=SDCP, 设直线CD的解析式为y=k,x+4, 代入点D-7,-10),得-10=-7k2+4, 解得k2=2, .y=2x+4, 设Par-pt4小则w2p+.pM=-p-p+4-(n+4到=r-子p. :当p=子时，Sc的面积最大，即四边形PCBE的面积最大， -12+12+12=121 此时点P的坐标为P1】 答案第1页，共2页 如图，作直线ON,使得FN1ON,且FN=5OF,则ON=VOF:-FN=2FN,连接 5 OP,过点P作PH⊥ON, PF+5OF-PF+FN PH即为PF+FN的最小值， 设N(xw,yw, 由题意，得an∠FON=FN=}-业=五 ON 2 -XNXN 设直线ON的解析式为y=kx, 代入N(xw,yw),得yN=kxw, :k==1 Xw2 .y=x, 21 点小则ow-,m-子小侣-沿 ( 又：OH2+PH2=OP2, ++沿-( 71 解得h=0(舍去)，或h=- 30 当动，m(侣町- 15 答案第1页，共2页 (3)解：：AC=V0A2+0C2=4V2,0A=0C=4, 5 2 店吃， 成能物线=-4沿射线4C方向平移反个单位长度，相当于先向右平移1个 位长度，再向上平移1个单位长度， 故=x--x-+4+1=x--x-+5, 分两种情况讨论： 第一种：如图，若a是△MCN的外角，则a=∠MCN+LMNC=2LMCN,CN交x轴于点 E,取点D(-3,0),则0D=0B, VA M 由题意，得LMCW=)a 0A=0C, .△OAC是等腰直角三角形， .∠0CA=45°， ·∠OCE=∠0CA-∠MCN=45°_ 20, :0D=0B,0C=0C,∠D0C=∠B0C=90°， .△D0C≌△B0C(SAS), :Z0DC ZCBO =a .∠0CD=90°-∠0DC=90°-a, .∠OCD=2∠0CE,CE平分∠OCD, 答案第1页，共2页 设点E到CD的距离为h,OE⊥OC, .0E=h, S.GE=CD-OCDE,S.G=10EOC, 1 1 2 2 2 S.DCE CD_DE S.cEOCOE :0C=4,CD=V0D2+0C2=5, 8能 又0E+DE=OD=3, oe- 设直线CE的解析式为y=kx+4, 代入点0小0=+4 3 解得k4=3, .y=3x+4, 联立，得x--x-刂+5=3x+4, 解得x=-4+V9(由图可知，不合题意，舍去)，x2=-4-√9， 当x=-4-V19时，y=3x+4=3-4-19+4=-12-3V19+4=-8-3V19, :N(-4-19,-8-319; 第二种：如图，若a是△MCN的内角，则a+∠MCN+∠MNC=180°，顺时针旋转90°第一 种情况下的△OCE得到△OCP, 由s意.得∠wCN=l80-a=90 -0, 答案第1页，共2页 ·∠OC=∠MCW+∠0CA=135°-1 a=90°+∠OCE, 2 ∠MCN=∠MCQ,点N在CQ上， 由旋转的性顾，易行PC=0C=4,P0=0E=}PO1x轴， 4 3 049》, 设直线CQ的解析式为y=kx+4, 代入点E49, 16 6 =-4k+4, 3 解得k=一3 1 .y= 3+4, 联立，得-x-2-x-+5=+4, 解得x=3（由图可知，不合题意，舍去)，x2=-1, 当x1时，少=+4=-+4 1 3 N3) 综上，-4i-83可列或N-l)月 20y+2 3 (2)-2,4:,√29： (3)点0的坐标为(-5+V19,319-13或-5-V9,-39-13)或4+10，-310-10)或 (4-0,30-10),过程见解析 【分析】(1)利用待定系数法求解即可； （②》延长PE交镇于友，采PH-25D和4C伯解析为y写+2，设点P的坐标 为-+小则写+2a0,得到 1 n-s=服PEg2将当断，2pm-g有大面， 5 3 5 此时点P的坐标为-2,4)；将点P沿着0D方向平移√5个单位得到P,则P(-1,2), 答案第1页，共2页 PP'=√5，进一步即可求出PF-AG=P'G-AG≤AP'=√29： (3)分两种情况讨论求解即可. 【详解】(1)解：把点A-6,0),B(1,0)代入y=ax2+bx+2,得 1 [0=36a-6b+2 a=- 0=a+b+2 ，解得 3 5 b=- 3 ·抛物线的解析式为y=- 1x2_5 x+2; 3 3 (2)解：延长PE交x轴于点H, 当x=0时，得到y=2, .C(0,2】 .0C=2 .BC=V0B2+0C2=V5 :PD∥BC, ∠PDH=LCBO, ·sin∠PDH=sin∠CB0,即PH_OC=25 PD BC 5 ·PH=2 5 PD 设直线AC的解析式为y=rx+3, -6r+S=0 r=- 则 解得 3 S=2 S=2 AC的解析为y 3+2, 1 改点P的坐标为m,3m2了 m+2则Emm+2H(m,0) 3 3m25 PE=-3m2-2m,PH=- m+2 3 答案第1页，共2页 5 2 2 6 3 :-<0, 6 :当m:-2时，25PD-1PE有最大值，此时点P的坐标为-2,4到： 2 将点P沿着PD方向平移√5个单位得到P(即向右平移1个单位，向下平移2个单位)， 则P(-1,2),PP'=√5 B 则PP'∥FG .四边形PP'GF为平行四边形， .PF=P'G ∴|PF-AG=P'G-AG≤AP=√29 即PF-AG的最大值为√29； (3)解：将抛物线沿着射线CB方向平移25个单位长度得到新抛物线，相当于将抛物线向 右移动2个单位，再向下平移4个单位， :箭地狗线的解折式为y=-2-引x-2小+2-4=-号 3, :∠QCB=∠QCO+∠BCO=∠CAB+∠BCO, :.∠QCO=∠CAB 如图，记直线CQ与x轴交于点L,交抛物线于点Q,Q:, 答案第1页，共2页 /0 则tan∠CAB=tan∠OCL, OC OA 即23，解得0= ·.、OL OC n OL 3 设直线@c们解折式为=pr+9,起（号0，c02到代入将到 3P+9 0,解得 p=3 9=2 9=2 :直线QC的解析式为y=3x+2, y=3x+2 联立得到， 121、 y= 33x x=-5+V19 x=-5-19 解得 或 y=319-13y=-319-13 在上取1点，俊科01-0以-子则[后0小 同理可得，直线CI的解析式为y=-3x+2,联立得到 y=-3x+2 121 y=-3-3 x=4+10s∫x=4-10 解得 或 y=-3V10-10y=310-10 .点0的坐标为-5+19,3V19-13或-5-V19,-3V19-13或4+V10,-3V10-10或 (4-0,30-10） 【点晴】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数的解析式，最值问题， 答案第1页，共2页 图象的平移，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，轴对称，求图象交点坐标等知识， 分类讨论是解本题的关键， 13.0=+x+3 (276 4 3)-29-2379 15+6V7 10 2 1 【分析】(1)把A(0,3),C(-2,0)代入y=-二x2+bx+c,解方程组即可得抛物线的表达式； 4 (2)由勾股定理可得AB,当AE+BD长度取得最小值时，PD最大，求出直线AB的解析 式，设点P坐标，可得线段PD,由二次函数的最值可得点P坐标，延长DP至点Q,使 PQ=MN=1,则四边形POMN是平行四边形，可得PN=MQ,由两点之间线段最短，结 合勾股定理，等量代换，可得PN+BM长度的最小值； (3)先求y的解析式，可得点H的坐标，作FK⊥x轴于点K,由平移的性质，结合己知 可得∠GAC=45°，按照点G在AC上方和下方进行分类讨论，由三角形全等的判定和性质， 可得点的坐标，用待定系数法可得直线AG的解析式，与抛物线y的解析式联立，即可得点 G的横坐标. 【详解】(1)解：将40,3)，C(-2,0)代入y=-r2+br+c,得 c=3 -22-26+c=0解得 b=1 抛物线的表达式为y=子+x+3。 2解：y=++3=-2+4 抛物线的对称轴为直线x=2. :B、C(-2,0)关于对称轴对称， B6,0). 0B=6. A(0,3), 0A=3. AB=V0A2+0B2=3V5. 答案第1页，共2页 ∴cos∠0AB=O4-3-V5 AB3√5 5 PD∥y轴， LPDE=∠OAB. Cos∠PDE= ED 5 PD 5 ·ED= -PD. 4E+BD=4B-ED=35-5PD. 5 当PD取最大值时，AE+BD长度取得最小值 设Pa+a+3 设直线AB的解析式为y=x+d, 将A(0,3),B(6,0)代入，得 「d=3 1 k=- 6k+d=0 ,解得 2, d=3 1 直线AB的解析式为y= 2t+3 son-im. PD=4m2+m+3- 10 当m=3时，PD最大，从而AE+BD长度取得最小值， 此时P) 如图，延长DP至点Q,使PQ=MN=1,则四边形POMN是平行四边形， E B ∴.PN=Mg 答案第1页，共2页 :抛物线与x轴交于B、C两点，点M在对称轴上， .BM =CM. ∴.PN+BM=QM+CM≥CQ. 当且仅当点C、M、Q在同一条直线上时，PN+BM取得最小值， PQ=1, C0=V3+2+ 19 =V767 4 4 PN+BM长度的最小值为76阿 (3)解：0A=3,0B=6, 0B=20A, 设抛物线y=-x+x+3向上平移n>0)个单位长度，向左平移2n个单位长度得到抛物线 4 , 依圈得：+2-95，解得n=}(负值舍去) 4 :21-2 9 :抛物线y=女+x+3向上平移？个单位长度，向左平移？个单位长度得到抛物线 +4+9-1x2575 +4=-4-4x+16 :点F为点P的对应点，P), 在y=--x+75中， x+ 4 416 当y=0时， x+ 0,解特无，’名 2， :点H为抛物线y与x轴左侧的交点， 过F点作FK⊥x轴于点K,则∠FKH=90°， 答案第1页，共2页 r6,m-5o, FR=6,hK=（5)=6. .FK HK .∠HFK=∠FHK=45°， 由平移得：∠PFK=∠BA0, :∠HFP=∠GAC+LOAB, ∠GAC=∠HFP-∠OAB=∠HFP-∠KFP=∠HFK=45°. 当点G在AC上方时，x。<0, 过点C作CR⊥AG于点R,过点R作RT⊥x轴于点T,过点A作AS⊥RT于点S,则 ∠ARC=∠RTC=∠S=90°， ∠RCT=90°-∠CRT=∠ARS,∠ACR=90°-45°=45°. :ZRAC ZRCA. RA=CR. 在△ASR和△RTC中， 「∠S=∠RTC ∠ARS=∠RCT, AR=RC △ASR≌△RTC(AAS). :SA=RT,SR=TC. XR=- 依题意得： （-2-xR=3-y,解得 0-xg=YR YR= 2 :引 设直线AR的解析式为y=kx+b, 指点408，点引代入得 b=3 5,解得 k=月 5， b=3 答案第1页，共2页 直线AR的解析式为y=x+3. 1 y=- x25.75 4 x+ 联立 416 1 ,解得x=-29±2V379 s 10 x。<0,r=-29-2379 10 当点G在AC下方时xG>0, 过点C作CW⊥AG于点W,过点W作W四⊥x轴于点？，过点A作AI⊥WQ于点I,则 ∠CWA=∠CQW=∠I=90°， ∴.∠CWQ=90°-∠AWI=∠WAI,∠ACW=90°-45°=45°. ∠ACW=∠CAW. :WA=CW 在△WIA和△CQW中， 「I=∠CQW ∠WAI=∠CWQ, WA=CW aWIA≌△COW(AAS). ∴.Wm=CQ,LA=QW. 1 ∫w(-2)=3-r,解得 Xw 2 依题意得： xw =yw yw=2 am2》 设直线AW的解析式为y=k2x+b, 将点0动，应脚[行》代入，为 b2=3 k3=-5 26+4 1,解得，=3’ 、 直线AW的解析式为y=-5x+3 联立 y=-x2-5x+5 44+16,解得x=15±6万 y=-5x+3 2 答案第1页，共2页 xo>0, x=l5+6V万 2 综上所述，所有符合条件的点G的横坐标-29-2379或15+6V万 10 2 T B 图2 【点晴】本题属于二次函数综合题，主要考查求二次函数的解析式，二次函数图象的平移， 勾股定理，求一次函数的解析式，二次函数的最值，平行四边形的判定和性质，二次函数的 图象和性质，两点之间线段最短，等腰三角形的判定，三角形全等的判定和性质，解答本题 的关键是熟练掌握二次函数的性质，构造适当的辅助线： 14.(1)y=-x2-3x+4 (2)P(-2,6),3 11-177,77-7）9-375-317 或 848 【分析】(1)由抛物线y=ax2+bx+4(a≠0)与x轴交于A-4,0)可得16a-4b+4=0①，由 抛物线的对称轴直线方程可得b=3a②，①②联立可求出a=-1,b=-3,即可求出抛物线 的解析式； (2)由运用待定系数法求出直线AC的解析式为y=x+4,设 Pm,-m2-3m+4-4<m<0）,易得D-m2-3m,-m2-3m+4,PD=-m2-4m: PH=P0es45=怎PD,可将Pm:pPH=m+2+6可球出当=-2时， PD+巨PH有最大值，此时P-2.6):先求得直线BC的解析式为y=4x+4,设 E(e,-4e+4),如图：过E作EF∥x轴，则F(1,-4e+4),由平行线的性质以及三角函数可 答案第1页，共2页 得EF=丽BE,即PE+TBE=PE+EF,如图：如图：连接PF,过P点作PG⊥BF的 17 17 延长线于G,则(1,6)，然后根据三角形三边关系以及垂线段最短即可解答： (3)先求出平移后抛物线解析式及点M(2,10),再求得平移后的函数解析式 y'=-x2+5x+4;如图：取点P关于y轴的对称点，即P(2,6),∠POP=2∠POC,连 接PM,OP并延长交于点R,PM与y轴交于点F,结合已知条件和三角形内角和定理可得 ∠BRP=∠ABN,再求得直线BC的解析式为y=x+8可得F(O,8);直线OR的解析式为 y=3x,联立可得R(4,12);再运用两点间距离公式、勾股定理逆定理、正切的定义可得 m∠48v=m∠BP-居-设-+5a+4小， -n2+5n+4 =3,然后再解绝对 1-n 值方程即可解答. 【详解】(1)解：：抛物线y=ax2+bx+4(a≠0)与x轴交于A-4,0), 16a-4b+4=0①， 3 :抛物线的对称轴是直线x= 2' 2a=2’即b=3a②， [16a-4b+4=0 由①②联立得 1b=3a 解得： a=-1 1b=-31 .抛物线的解析式为y=-x2-3x+4; (2)解：y=-x2-3x+4, A-4,0),B1,0),C(0,4, .0A=0C=4,∠A0C=90°， .∠0AC=∠0CA=45°， 设直线AC的解析式为y=+b, 把4-40，c0,4到代入得640，解得6=4 「-4k+b=0 k=1 直线AC的解析式为y=x+4, 答案第1页，共2页 设Pm,-m2-3m+4-4<m<0), :PD∥x轴交AC于点D, .D-m2-3m,-m2-3m+4, .PD=-m2-3m-m=-m2-4m, ∠CA0=45°， .LPDH=LCA0=45°， 又：PH=PD-co45-2pn, 2 Ppm=pn+9n-pnm2-4-m+26, 2 22 :-3<0, 2 :当m=-2时，PD+2PH有最大值，此时P-2,61, 2 A-4,0),B(1,0),C0,4, .0A=0C=4,0B=1,∠A0C=90°， .BC=V2+42=17, .sin∠OCB= 117 1717, 设直线BC的解析式为y=kx+b, 把B1,0),C(0,4代入得 k+b=0 ,k=-4 6=4，解得6=4， .直线BC的解析式为y=-4x+4, 设E(e,-4e+4), 如图：过E作EF∥x轴，则F(1,-4e+4, sin∠EBF=sin∠CoB=7, 17 EF 17 'sin∠EBF= BE 17 :EF=7 BE, 17 答案第1页，共2页 PE+BE-PE+EF 17 如图：连接PF,过P点作PG⊥BF的延长线于G,则G(1,6) B ·要求PE+ 1 -BE的最小值，只需求PE+EF得最小值， 由三角形的三边关系可知：PE+EF≤PF, 又由垂线段最短可知：PF的最小值为PG, PE+BE的最小值为PG=1--2=3. 17 (3》解：由(2)知，当PD+5PH取得最大值时，点P-2,6), :抛物线y=-x2-3x+4沿射线AC方向平移42个单位长度得到抛物线y,即抛物线 y=-x2-3x+4向右平移4个单位，再向上平移4个单位， 点P的对应点M的坐标为-2+4,6+4)，即M(2,10), :y=-x2-3x+4=-x+ ,25 12 如图：取点P关于y轴的对称点P,即P(2,6),∠POP=2∠POC,连接PM,OP并延长交 于点R,PM与y轴交于点F, 答案第1页，共2页 珠 M F P A DB :∠ABN+2∠P0C+∠0PM=180°， .∠ABN+∠POP+∠OPM=180°， .∠BRP+∠POP+∠OPM=180°， .∠BRP=∠ABN, 设直线PM的解析式为y=k2x+b2, -2k2+b2=6 k2=1 把P(-2,6),M(2,10)代入得 26+,=10,解得 b2=8' .直线PM的解析式为y=x+8, F(0,8): 设直线OR的解析式为y=kx, 把P2,6)代入得6=2k3,解得k=3, 直线OP的解析式为y=3x, y=3x 联立 x=4 y=x+8' 解得： y=12 R4,12), FP2=(0-22+(8-6)2=8,RD2=(4-22+(12-62=40,RF2=(4-02+(12-82=32, FP2+RF2=RP2,FB=22,RF=42, .∠PFR=90°， 答案第1页，共2页 tan∠ABN=tan∠BRP=Fg-l RF=2 w为描物线y上的减点，-(+- +25+4-+5x+4 4 设N(n,-n2+5n+4), :上+5a+41 1-n 2’ :=n2+5n+4_1或-n2+5n+4=-1 1-n2 1-n 2 当5+4时，解待-1币或1+西（不合题意，舍去。 1-n 4 4 1-i7,77-7） （4 8 当-+5n+4=-时，解得-9-37或，=9+37（不合题意，舍去）， 1-n 2 4 4 w9-3i7,5-3w7 4 8 11-√177V177-7） 9-3175-317 综上，所有符合条件的点N的坐标为 或 4 8 4 8 【点晴】本题主要考查了求一次函数和二次函数的解析式、二次函数的综合应用、二次函数 的图象性质、解直角三角形、二次函数图像的平移等知识点，灵活运用相关性质内容是解题 的关键。 15.(1)y=x2-3x-4 (2)P(3,-4),√65 (3)(-1,-3)或(-1,3)或(-1，-4) 【分析】(1)根据已知条件求出A,C的坐标，再利用待定系数法求得抛物线的解析式即可： (2)先利用待定系数法求出直线BC的解析式，再根据已知条件设P(m,m2-3m-4), D(m,m-4),得到PD线段的表达式，延长PD交x轴于点Q,将√2DC进行转化，从而得 到PD-√2CD=-m2+4m-(8-2m=-m2+6m-8=-(m-3)2+1,当m=3时有最大值，从 而求出点P的坐标，过点P作y轴的对称点P'(-3,-4),点！为A关于抛物线对称轴的对称 答案第1页，共2页 点，当P,N,M,A四点共线时，所求结果有最小值，即求PA的长度即可； (3)先根据题意得出点D坐标和新抛物线y的对称轴，根据题意，分两种情况讨论：①当 ∠HDQ=90°时，②当∠DHQ=90°时，针对不同情况作对应辅助线，利用相似三角形的性 质得到对应线段成比例关系，再设出相关点坐标结合图象列出方程并求解未知数，即可得到 K的点坐标. 【详解】(1)解：：0C=404=4, 0A=1, C(4,0),A-1,0), 将点A,C代入抛物线得， 0=16a+4b-4 a=1 0=4-6-4，解得6=-3 抛物线表达式为y=x2-3x-4. (2)解：设直线BC的解析式为y=c+b, 将点B,C代入得， 「-4=b k=1 0=4k+b’解得 b=-4' .直线BC的解析式为y=x-4, :PD∥y轴，D在直线BC上， 设Pm,m2-3m-4,Dm,m-4, :PD=yp-yp=-m2+4m, 如图，延长PD交x轴于点Q, 答案第1页，共2页 √2DQ=DC,则V2DC=2D0, .DQ=4-m,√2DC=8-2m, .PD-√2CD=-m2+4m-(8-2m=-m2+6m-8=-(m-3)+1, 当m=3时，PD-√2CD有最大值， P3,-4, 过点P作y轴的对称点P'(-3,-4),点为A关于抛物线对称轴的对称点， .当P,N,M,A四点共线时， (P'N+MN+A'M)=(PN+MN+AM)=P4=(3+4)+4=V65. (3)解：由题意知，原越物线y的对称销为x=}03,-小。 :抛物线沿射线CB方向平移2个单位得到新抛物线y, .新抛物线y的对称轴为x=-1, 根据题意，分以下情况讨论： ①当∠HDQ=90°时， 如图，作HE∥x轴，过点D分别作DE⊥HE,DF⊥x轴， B(H) 设H(0,n, .HE=3,DF=1, 易证得：△HDE△QDF, DE =30F, “DE=-1-n,则QF=-1-, 3 .0B=OC=3, 答案第1页，共2页 L0CD=45°， ∠FDC=45°，则∠QDF=45°， ∠F0D=45°， :OF=FD=1, 设K(-1,y, （-1-n=1 n=-4 .有{3，解得 n=y-1 y=-3 K-1,-3: ②当∠DHQ=90°时， 如图，过点D作DG⊥y轴， AOG B(H) 设H(0,n, 易证得△HGD∽△QH0, .HG=-1-n,H0=-n, .00=n+ 3 :有_n+n2 +3=-1,解得n=-4或3， 设K2（-1,y2), K2在第二象限，即y2>0, .3=-n-1, 答案第1页，共2页 当n=-4时，K2-1,3, 同理，设K,（-1,y), :K在第三象限，即3<0， .y3=-n-1, 当n=3时，K-1,-4), 综上所述，K(-1,-3或-1,3)或(-1，-4). 【点晴】本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数的解析式求解，二次函数与一元二次 方程的应用，矩形的性质及相似三角形的判定与性质等知识点. 答案第1页，共2页