4.1 因式分解- 课件 2025-2026学年北师大版数学八年级下册

北师大版数学8年级下册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（*）班 . 时 间： . 2026年4月28日 4.1 因式分解 第四章 因式分解 北师大版八年级数学下册 4.1 因式分解 练习题 班级：________ 姓名：________ 得分：________ 时间：45分钟 本次练习题围绕“因式分解”核心知识点设计，涵盖因式分解的定义、因式分解与整式乘法的关系，以及提公因式法（找公因式、提取公因式）的基础应用，分层考查基础掌握、辨析判断与简单运算能力，助力理解因式分解的本质，掌握提公因式法的解题步骤，夯实基础。 一、选择题（每题3分，共15分） 1. 下列等式中，属于因式分解的是（ ） A. $$(x+2)(x-2)=x^2-4$$ B. $$x^2-4+3x=(x+2)(x-2)+3x$$ C. $$x^2-4=(x+2)(x-2)$$ D. $$x^2+2x+1=x(x+2)+1$$ 2. 下列关于因式分解的说法，正确的是（ ） A. 因式分解是把一个整式化成几个整式相加的形式 B. 因式分解与整式乘法是互逆运算 C. 所有整式都能进行因式分解 D. 因式分解的结果一定是两个一次因式的乘积 3. 多项式$$3x^2-6x$$的公因式是（ ） A. 3 B. $$3x$$ C. $$x$$ D. $$3x^2$$ 4. 把多项式$$4a^2b-6ab^2$$因式分解，正确的是（ ） A. $$ab(4a-6b)$$ B. $$2ab(2a-3b)$$ C. $$2a^2b(2-3b)$$ D. $$4ab(a-b)$$ 5. 下列因式分解正确的是（ ） A. $$x^2+xy=x(x+y)$$ B. $$x^2+3x-4=x(x+3)-4$$ C. $$2x^2-2=2(x^2-1)$$ D. $$3x^2-6x=3x(x-6)$$ 二、填空题（每题3分，共15分） 1. 把一个________化成几个________的积的形式，叫做因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。 2. 因式分解与整式乘法是________运算，例如$$(x+3)(x-3)=x^2-9$$是________，$$x^2-9=(x+3)(x-3)$$是________。 3. 多项式$$5x^3+10x^2+15x$$的公因式是________。 4. 因式分解：$$x^2-5x=$$________；$$6ab-9a^2=$$________。 5. 若多项式$$ax^2+bx$$（$$a eq0$$）的公因式是$$2x$$，则$$a$$的取值可以是________（写出一个即可）。 三、解答题（共70分） 1. （10分）基础应用题，考查因式分解的定义及公因式的判断。 （1）判断下列各式是否为因式分解，若是，说明理由；若不是，说明理由并改正（能改正的改正）： ① $$x^2-4x+4=(x-2)^2$$；② $$x^2+2x=x(x+2)+0$$；③ $$(x+1)(x-1)=x^2-1$$；④ $$x^2+6x+9=x(x+6)+9$$。 （2）找出下列各多项式的公因式： ① $$4x^2-8x$$；② $$3a^2b-6ab^2+9ab$$；③ $$5x^3y^2-10x^2y^3$$；④ $$2m^2n-4mn^2+6mn$$。 解： 2. （12分）计算题，运用提公因式法进行因式分解。 （1）$$3x^2-6x$$；（2）$$5a^2b+10ab^2$$；（3）$$7x^3-21x^2$$；（4）$$12x^2y-8xy^2$$； （5）$$4a^3b-6a^2b^2+2ab$$；（6）$$9x^2y^3-15x^3y^2$$。 解： 3. （12分）辨析与纠错题，改正因式分解中的错误。 （1）指出下列因式分解的错误，并改正： ① $$3x^2-6x=3x(x-6)$$；② $$2a^2b-4ab^2=ab(2a-4b)$$； ③ $$x^2+xy=x(x+y+1)$$；④ $$8x^3-4x^2=4x(2x^2-x)$$。 （2）说明为什么$$x^2+3x+2=(x+1)(x+2)$$是因式分解，而$$(x+1)(x+2)=x^2+3x+2$$不是因式分解。 解： 4. （12分）综合题，结合整式乘法与因式分解的关系求解。 （1）已知$$(x+2)(x-1)=x^2+x-2$$，写出$$x^2+x-2$$的因式分解结果； （2）若$$x^2+ax+b=(x+3)(x-2)$$，求$$a$$、$$b$$的值； （3）先将多项式$$2x(x-3)+5(x-3)$$因式分解，再求值（其中$$x=2$$）； （4）已知多项式$$ax^2+bx$$因式分解的结果是$$x(ax+b)$$，若公因式是$$3x$$，且$$a=6$$，求$$b$$的取值范围。 解： 5. （12分）应用题，运用因式分解解决简单实际问题。 （1）一个长方形的面积为$$x^2+4x$$（$$x>0$$），其中一边长为$$x$$，求另一边长； （2）已知一个正方形的面积比一个长方形的面积大$$x^2-4x$$，且正方形的边长与长方形的长相等，长方形的宽为$$x-4$$，求正方形的边长； （3）若一个多项式因式分解后结果为$$3x(x-2)$$，且这个多项式的一次项系数为$$k$$，求$$k$$的值，并写出原多项式。 解： 6. （10分）拓展题，提升因式分解的灵活运用能力。 （1）因式分解：$$x(x-y)+y(y-x)$$；（2）因式分解：$$3(x-1)^2+6(1-x)$$； （3）已知$$a+b=5$$，$$ab=3$$，求多项式$$a^2b+ab^2$$的值（提示：先因式分解，再代入求值）。 解： 参考答案（简要提示） 一、选择题：1.C 2.B 3.B 4.B 5.A 二、填空题：1.多项式；整式 2.互逆；整式乘法；因式分解 3.$$5x$$ 4.$$x(x-5)$$；$$3a(2b-3a)$$ 5.2（答案不唯一，是2的倍数即可） 三、解答题：1.（1）①是，符合因式分解定义；②不是，结果不是整式积，改正：$$x^2+2x=x(x+2)$$；③不是，是整式乘法；④不是，结果不是整式积，改正：$$x^2+6x+9=(x+3)^2$$；（2）①$$4x$$；②$$3ab$$；③$$5x^2y^2$$；④$$2mn$$ 2.（1）$$3x(x-2)$$；（2）$$5ab(a+2b)$$；（3）$$7x^2(x-3)$$；（4）$$4xy(3x-2y)$$；（5）$$2ab(2a^2-3ab+1)$$；（6）$$3x^2y^2(3y-5x)$$ 3.（1）①错误，改正：$$3x(x-2)$$；②错误，改正：$$2ab(a-2b)$$；③错误，改正：$$x(x+y)$$；④错误，改正：$$4x^2(2x-1)$$；（2）略 4.（1）$$(x+2)(x-1)$$；（2）$$a=1$$，$$b=-6$$；（3）因式分解为$$(x-3)(2x+5)$$，值为-3；（4）$$b$$是3的倍数 5.（1）$$x+4$$；（2）$$x$$；（3）$$k=-6$$，原多项式为$$3x^2-6x$$ 6.（1）$$(x-y)^2$$；（2）$$3(x-1)(x-3)$$；（3）15 学习目标 1.了解多项式的因式分解的定义,知道因式分解与整式乘法之间的联系与区别. 2.能判断因式分解的正误，了解因式分解的过程，会进行简单的因式分解. 1. 630可以被哪些整数整除？ 导入新知 思考：既然有些数能分解因数，那么类似地，有些多项式可以分解成几个整式的积吗？ 解决这个问题，需要对630进行分解质因数 3 （1）单项式×单项式: . （2）单项式×多项式: . （3）多项式×多项式: . 2.整式乘法类型 导入新知 （1）平方差公式: (() = . （2）完全平方公式: (a±b)2= . 3.特殊的整式乘法公式 a2±2ab+b2 a2－b2 4 因式分解的概念 1 议一议 你能尝试把 a3 - a 化成几个整式的乘积的形式吗? 与同伴交流. 提示：类比 993 - 99 的因数分解 a3 - a = a(a2 - 1) = a(a + 1)(a - 1) 做一做 观察下面拼图过程，写出相应的关系式. (1) a m b m c m a+b+c m ________________＝________________ m(a + b + c) ma + mb + mc x x ________________＝________________ (2) 1 x x 1 1 1 x+1 x+1 x2 + 2x + 1 (x + 1)2 其中，每个整式都叫做这个多项式的因式. 归纳总结 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，也可称为分解因式. 判断下列各式从左到右的变形中，是否为因式分解： A. x(a﹣b) = ax﹣bx B. x2﹣1 + y2 = (x﹣1)(x + 1) + y2 C. y2﹣1 = (y + 1)(y﹣1) D. ax + by + c = x(a + b) + c E. 2a3b = a2 • 2ab F. (x + 3)(x﹣3) = x2﹣9 √ × × × × × 提示：判定一个等式是因式分解的条件：(1)左边是多项式；(2)右边是积的形式；(3)右边的因式全是整式. 辩一辩 根据左边的算式进行因式分解： (1) 3x2-3x = ( )( ) (2) ma+mb-m = ( )( ) (3) m2-16 = ( )( ) (4) y2-6y+9 = ( )( ) 计算下列各式： (1) 3x(x - 1) = __________ (2) m(a+b-1) = _______ (3)(m+4)(m-4) = _____ (4)(y-3)2 = _____ 3x2 - 3x ma+mb-m m2 -16 y2-6y+9 3x x-1 m a+b-1 m+4 m-4 y-3 y-3 做一做 或 (y-3)2 x2 - 1 (x + 1)(x - 1) 因式分解 整式乘法 想一想：因式分解与整式乘法有什么关系? 是互为相反的变形，即 因式分解等式的特征： x2 - 1 = (x + 1)(x - 1) 左边是多项式， 右边是几个整式的乘积. 例 若多项式 x2 + ax + b 分解因式的结果为 a(x﹣2)(x + 3)，求 a，b 的值. 解：∵ x2 + ax + b = a(x﹣2)(x + 3) = ax2 + ax - 6a， ∴ a = 1，b =﹣6a =﹣6. 方法归纳：对于此类问题，掌握因式分解与整式乘法为互逆运算是解题关键，应先把分解因式后的结果展开，再与原多项式各项对应的系数比较，使其分别相等即可. 典例精析 下列多项式中，分解因式的结果为 -(x + y)(x - y)的是（　　） A．x2﹣y2 B．﹣x2 + y2 C．x2 + y2 D．﹣x2﹣y2 B 练一练 A 返回 1． [教材P108随堂练习T2 ]下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　 A．m4－1＝(m2＋1)(m＋1)(m－1) B．x2－y2－1＝(x＋y)(x－y)－1 C．15ab－6a＋3＝3(5ab－2a) D．(x－2y)2＝x2－4xy＋4y2 中考考法 14 返回 －1 2． 若多项式x2＋kx－6因式分解后有一个因式是(x－3)，则k＝________. 中考考法 15 x2＋6x＋8＝(x＋2)(x＋4) 返回 3． 根据如图所示的拼图过程，写出一个多项式的因式分解：_________________________. 中考考法 16 4． 返回 【解】x2＋Ax＋B＝(x－3)(x＋5)＝x2＋2x－15， 则A＝2，B＝－15. ∴3A－B＝3×2－(－15)＝21. 如果x2＋Ax＋B＝(x－3)(x＋5)，求3A－B的值． 中考考法 17 5． 返回 A 已知多项式x2＋kx＋36能分解为两个整系数的一次式的乘积，则k的值有(　　) A．10个 B．8个 C．5个 D．4个 中考考法 18 6． 返回 D [2025保定一模]若552×17－452×17能被n整除，则整数n的值不可能是(　　) A．100 B．50 C．17 D．3 中考考法 19 7． 两名同学将一个二次三项式分解因式，一名同学因看错了一次项系数而分解成2(x－1)(x－9)，另一名同学因看错了常数项而分解成2(x－2)(x－4)，求出原多项式． 中考考法 20 返回 【解】设原多项式为ax2＋bx＋c (其中a，b，c均为常数，且abc≠0)． ∵2(x－1)(x－9)＝2(x2－10x＋9)＝2x2－20x＋18， ∴由题意得a＝2，c＝18. 又∵2(x－2)(x－4)＝2(x2－6x＋8)＝2x2－12x＋16， ∴由题意得b＝－12. ∴原多项式为2x2－12x＋18. 中考考法 8． (x－1)(x＋2) 对于多项式x2＋x－2，如果我们把x＝1代入x2＋x－2，发现此多项式的值为0，这时可以断定多项式x2＋x－2中有因式x－1，可设x2＋x－2＝(x－1)(x＋t)(t为常数)，通过展开多项式或代入合适的x的值即可求出t的值．我们把这种因式分解的方法叫“试根法”． 根据以上阅读材料，完成下列问题： (1)请完成下列因式分解：x2＋x－2＝___________； 中考考法 22 (2)若多项式x2＋mx－n(m，n为常数)因式分解后，有一个因式是x－2，求2m－n的值； 【解】设x2＋mx－n＝(x－2)(x＋s)＝x2＋(s－2)x－2s， 其中s为常数， 则m＝s－2，n＝2s， ∴2m－n＝2(s－2)－2s＝2s－4－2s＝－4. 中考考法 (3)多项式x3＋2x2－3用“试根法”因式分解得(x＋a)(x2＋bx＋c)(a，b，c为常数)，请直接写出a，b，c的值． a＝－1，b＝3，c＝3. 返回 中考考法 因式分解 定 义 与整式乘法运算的关系 把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解，也可称为分解因式. 课堂小结 因式分解 整式乘法 多项式化为整式乘积 因式分解与整式乘法是互逆的恒等变形. 整式乘积化为多项式 $