4.2.2 公因式为多项式的因式分解-课件--2025--2026学年北师大版八年级数学下册

北师大版数学8年级下册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（*）班 . 时 间： . 2026年4月28日 4.2.2公因式为多项式的因式分解 第四章 因式分解 北师大版八年级数学下册 4.2.2 公因式为多项式的因式分解 练习题 班级：________ 姓名：________ 得分：________ 时间：45分钟 本次练习题围绕“公因式为多项式的因式分解”核心知识点设计，重点考查多项式公因式的识别、转化（如符号转化）、提取方法，以及与单项式公因式因式分解的区别与联系，分层考查基础掌握、辨析判断与灵活运算能力，助力熟练掌握提取多项式公因式的技巧，提升因式分解综合能力。 一、选择题（每题3分，共15分） 1. 下列等式中，属于提取多项式公因式的因式分解是（ ） A. $$x(x-2)+3(x-2)=(x+3)(x-2)$$ B. $$(x+1)(x-1)=x^2-1$$ C. $$x^2-4x=x(x-4)$$ D. $$x^2+2x+1=(x+1)^2$$ 2. 下列关于公因式为多项式的说法，正确的是（ ） A. 多项式公因式只能是一次多项式 B. 寻找多项式公因式时，需先观察各项是否有相同的多项式因式，再考虑符号转化 C. 多项式$$(x-2)^2+3(x-2)$$的公因式是$$(x-2)^2$$ D. 提取多项式公因式后，括号内的式子一定不含多项式公因式 3. 多项式$$3(x-1)^2-6(x-1)$$的公因式（多项式）是（ ） A. 3 B. $$x-1$$ C. $$3(x-1)$$ D. $$3(x-1)^2$$ 4. 把多项式$$2(x-y)^2+4(y-x)$$提取多项式公因式后，正确的是（ ） A. $$(x-y)[2(x-y)+4]$$ B. $$2(x-y)(x-y-2)$$ C. $$2(x-y)(x-y+2)$$ D. $$(y-x)[2(y-x)+4]$$ 5. 下列提取多项式公因式的因式分解正确的是（ ） A. $$x(x+3)-2(x+3)=(x+3)(x-2)$$ B. $$3(x-2)-x(2-x)=(x-2)(3-x)$$ C. $$(a+b)^2-2(a+b)=(a+b)(a+b)$$ D. $$4(x-1)^2+8(1-x)=4(x-1)(x-1-8)$$ 二、填空题（每题3分，共15分） 1. 公因式为多项式时，公因式的确定方法：①观察各项是否有相同的________；②若各项含有的多项式因式符号相反，可通过提取________，转化为相同的多项式因式；③确定公因式的次数（取各项中相同多项式因式的________次幂）。 2. 提取多项式公因式的关键是________，常用的符号转化技巧：$$(y-x)=$$________$$(x-y)$$，$$(y-x)^2=$$________$$(x-y)^2$$。 3. 多项式$$5(x-2)^3+10(x-2)^2$$的多项式公因式是________。 4. 提取多项式公因式因式分解：$$x(x-1)-3(x-1)=$$________；$$2(a+b)-4(a+b)^2=$$________。 5. 若多项式$$(x-3)a+(3-x)b$$的公因式是多项式$$(x-3)$$，则因式分解的结果为________。 三、解答题（共70分） 1. （10分）基础应用题，考查多项式公因式的判断及因式分解定义。 （1）判断下列各式是否为提取多项式公因式的因式分解，若是，说明理由；若不是，说明理由并改正（能改正的改正）： ① $$x(x-5)+2(5-x)=(x-2)(x-5)$$；② $$3(x+2)-x(x+2)=3-x(x+2)$$；③ $$(x+1)(x-3)-2(x-3)=(x-3)(x+1-2)$$；④ $$2(x-y)^2+(y-x)=2(x-y)^2-(x-y)$$。 （2）找出下列各多项式的多项式公因式： ① $$4(x-3)^2-8(x-3)$$；② $$3(a+b)-6(a+b)^2+9(a+b)^3$$；③ $$x(y-2)-y(2-y)$$；④ $$7(x+1)^2+14(x+1)$$。 解： 2. （12分）计算题，运用提取多项式公因式法进行因式分解。 （1）$$x(x-2)+5(x-2)$$；（2）$$3(a-b)-6(b-a)$$；（3）$$4(x+1)^2-8(x+1)$$；（4）$$x(y+3)-2(y+3)$$； （5）$$6(x-3)^2+3(3-x)$$；（6）$$2(a+b)^2-4a(a+b)$$。 解： 3. （12分）辨析与纠错题，改正提取多项式公因式中的错误。 （1）指出下列因式分解的错误，并改正（均为提取多项式公因式）： ① $$2(x-1)+x(1-x)=2(x-1)-x(x-1)=(2-x)(x-1)$$（判断对错，错则改正）；② $$5(x+2)^2-10(x+2)=5(x+2)(x+2)$$； ③ $$(x-y)^2+2(y-x)=(x-y)(x-y+2)$$；④ $$3(x-2)^3-6(x-2)^2=3(x-2)^2(x-2-6)$$。 （2）说明提取多项式公因式时，为什么要进行符号转化，举例说明常见的符号转化技巧。 解： 4. （12分）综合题，结合单项式、多项式公因式的因式分解求解。 （1）已知$$(x+3)(x-2)=x^2+x-6$$，补充一个含多项式公因式的因式分解：$$x(x+3)-2(x+3)=$$________； （2）若$$ax(x-4)+b(4-x)=(x-4)(ax-b)$$，验证等式是否成立，并说明理由； （3）先将多项式$$2x(x-5)+3(5-x)$$提取多项式公因式因式分解，再求值（其中$$x=4$$）； （4）已知多项式$$(x-2)m+(2-x)n$$提取多项式公因式后结果是$$(x-2)(m-n)$$，验证该结果的正确性，并写出原多项式的公因式。 解： 5. （12分）应用题，运用提取多项式公因式解决简单实际问题。 （1）一个长方形的面积为$$x(x-3)+4(x-3)$$（$$x>3$$），其中一边长为$$x-3$$（多项式），求另一边长； （2）已知一个多项式与$$(x+2)$$的积为$$3(x+2)^2+6(x+2)$$，求这个多项式（用因式分解求解）； （3）若一个多项式提取多项式公因式后结果为$$2(x+1)(x-3)$$，且这个多项式的二次项系数为$$2$$，求原多项式，并写出它的公因式。 解： 6. （10分）拓展题，提升提取多项式公因式的灵活运用能力。 （1）因式分解：$$x(x-y)^2-y(y-x)^2$$；（2）因式分解：$$3(x-1)^3+6(1-x)^2$$； （3）已知$$a+b=3$$，求多项式$$a(a+b)-b(a+b)$$的值（提示：先提取多项式公因式，再代入求值）。 解： 参考答案（简要提示） 一、选择题：1.A 2.B 3.C 4.B 5.A 二、填空题：1.多项式因式；负号；最低 2.转化符号，确定相同的多项式公因式；$$-$$；$$+$$ 3.$$5(x-2)^2$$ 4.$$(x-1)(x-3)$$；$$2(a+b)(1-2a-2b)$$ 5.$$(x-3)(a-b)$$ 三、解答题：1.（1）①是，提取公因式$$(x-5)$$；②不是，结果不是整式积，改正：$$(x+2)(3-x)$$；③是，提取公因式$$(x-3)$$；④不是，未完成因式分解，改正：$$(x-y)(2x-2y-1)$$；（2）①$$4(x-3)$$；②$$3(a+b)$$；③$$(y-2)$$（或$$(2-y)$$）；④$$7(x+1)$$ 2.（1）$$(x-2)(x+5)$$；（2）$$3(a-b)(1+2)$$；（3）$$4(x+1)(x+1-2)$$；（4）$$(y+3)(x-2)$$；（5）$$3(x-3)(2x-6-1)$$；（6）$$2(a+b)(a+b-2a)$$ 3.（1）①正确；②错误，改正：$$5(x+2)(x+2-2)$$；③错误，改正：$$(x-y)(x-y-2)$$；④错误，改正：$$3(x-2)^2(x-2-2)$$；（2）略 4.（1）$$(x+3)(x-2)$$；（2）成立，理由略；（3）因式分解为$$(x-5)(2x-3)$$，值为-3；（4）正确，公因式为$$(x-2)$$ 5.（1）$$x+4$$；（2）$$3(x+2)+6$$；（3）原多项式$$2x^2-4x-6$$，公因式$$2(x+1)$$ 6.（1）$$(x-y)^2(x-y)$$；（2）$$3(x-1)^2(x-1+2)$$；（3）9 学习目标 能准确地找出各项的多项式公因式进行因式分解. 2. 能运用整体思想进行因式分解. 1.分解因式：. 导入新知 解： ) 注意：多项式的第一项系数为负数时，先提取“-”号，注意多项式的各项变号. 3 2.公因式的确定：定系数，定字母，定指数. 导入新知 例如，多项式的公因式为: 思考： （1）提公因式时，公因式可以是多项式吗？ （2）若公因式为多项式，怎样运用提公因式法分解因式？ 最大公约数 相同的字母 最低次幂 4 解：(1) a(x - 3) + 2b(x - 3) = (x - 3)(a + 2b). 例1 把下列各式分解因式： (1) a(x - 3) + 2b(x - 3)； (2) y( x + 1) + y2( x + 1)2 . = y(x + 1)(1 + xy + y). 提公因式为多项式的因式分解 1 典例精析 (2) y(x + 1) + y2(x + 1)2 P P P(a + 2b) P P yP(1 + P) 1. 公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式. 2.整体思想是数学中一种重要而且常用的思想方法. 归纳总结 1. x(a + b) + y(a + b) 2. 3a(x - y) - (x - y) 3. 6(p + q)2 - 12(q + p) = (a + b)(x + y) = (x - y)(3a - 1) = 6(p + q)(p + q - 2) 练一练 例2 把下列各式因式分解： (1) a(x－y)＋b(y－x)； (2) 6(m－n)3－12(n－m)2. 解：(1) a(x－y)＋b(y－x)＝a(x－y)－b(x－y) ＝(x－y)(a－b) 解：(2)6(m－n)3－12(n－m)2 ＝6(m－n)3－12(n－m)2 ＝6(m－n)2[(m－n)－2] ＝6(m－n)2(m－n－2) 两个只有符号不同的多项式是否有关系，有如下判断方法： 归纳总结 (2) 当相同字母前的符号均相反时，两个多项式互为相反数. 如：a - b 和 b - a，则 a - b = -(b - a). (1) 当相同字母前的符号相同时，两个多项式相等. 如：a - b 和 -b + a，则 a - b = -b + a. 由此可知规律： (1) a - b 与 -a + b 互为相反数. (a - b)n = (b - a)n (n是偶数) (a - b)n = -(b - a)n (n是奇数) (2) a + b 与 b + a 相等，a - b 与 -b + a 相等. (a±b)n = (±b + a)n (n是整数) a + b 与 -a - b 互为相反数. (-a - b)n = (a + b)n (n是偶数) (-a - b)n = -(a + b)n (n是奇数) 在下列各式等号右边的括号前填入“+”或“-”号，使等式成立： (1) (a-b) =___(b-a)； (2) (a-b)2 =___(b-a)2； (3) (a-b)3 =___(b-a)3； (4) (a-b)4 =___(b-a)4； (5) (a+b) =___(b+a)； (6) (a+b)2 =___(b+a)2； + - - + + + (7) (a+b)3 =__(-b-a)3； - (8) (a+b)4 = __(-a-b)4. + 【解】原式＝－3ma(a2－2a＋4)． 返回 1． 把下列各式因式分解： (1)－3ma3＋6ma2－12ma； (2)x(x－y)(a－b)－y(y－x)(b－a)． 原式＝x(x－y)(a－b)－y(x－y)(a－b) ＝(x－y)·(a－b)(x－y)＝(x－y)2(a－b)． 中考考法 12 返回 【解】(x－2y)(x＋3y)＋(－x＋2y)2＝(x－2y)[(x＋3y)＋(x－2y)]＝(x－2y)(2x＋y)＝2x2－4xy＋xy－2y2 ＝2(x2－y2)－3xy. ∵x2－y2＝8，xy＝3，∴原式＝2×8－3×3＝7. 2． [2025上海闵行区期中]已知x2－y2＝8，xy＝3，将 (x－2y)(x＋3y)＋(－x＋2y)2先化简，再求值． 中考考法 13 【解】原式＝[2(a－b)－3a]2＝(2b＋a)2. 返回 3． 把下列各式因式分解： (1)4(a－b)2－12a(a－b)＋9a2； (2)(x2＋1)2－4x2；   (3)(m＋n)2－4(m＋n－1)． 原式＝(x2＋1＋2x)(x2＋1－2x)＝(x＋1)2(x－1)2. 原式＝(m＋n)2－4(m＋n)＋4＝(m＋n－2)2. 中考考法 14 4． 返回 【解】原式＝662－2×66×50＋502＝(66－50)2＝256. 利用因式分解计算：662－6 600＋2 500. 中考考法 15 5． 观察“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行的因式分解： 甲：x2－xy＋4x－4y ＝(x2－xy)＋(4x－4y)(分成两组) ＝x(x－y)＋4(x－y)(分别提公因式) ＝(x－y)(x＋4)． 乙：a2－b2－c2＋2bc ＝a2－(b2＋c2－2bc)(分成两组) ＝a2－(b－c)2(直接运用公式) ＝(a＋b－c)(a－b＋c)． 中考考法 16 请你在他们的解法的启发下，把下列各式因式分解： (1)x2＋xy－xz－yz；　 (2)xy2－2xy＋2y－4； 【解】原式＝x(x＋y)－z(x＋y)＝(x＋y)(x－z)． 原式＝(xy2－2xy)＋(2y－4) ＝xy(y－2)＋2(y－2)＝(y－2)(xy＋2)． 中考考法 (3)m3－2m2－4m＋8；　 (4)x2－2xy＋y2－9. 原式＝m2(m－2)－4(m－2)＝(m－2)(m2－4) ＝(m－2)(m＋2)(m－2)＝(m＋2)(m－2)2. 原式＝(x－y)2－32＝(x－y＋3)(x－y－3)． 返回 中考考法 6． 【阅读理解】用“十字相乘法”分解因式2x2－x－3. (1)二次项系数2＝1×2，常数项－3＝－1×3＝1×(－3)； (2)验算：“交叉相乘之和”； ①1×3＋2×(－1)＝1；②1×(－1)＋2×3＝5； ③1×(－3)＋2×1＝－1； ④1×1＋2×(－3)＝－5. 中考考法 19 (3)发现第③个“交叉相乘之和”的结果为－1，等于一次项系数－1， 即(x＋1)(2x－3)＝2x2－3x＋2x－3＝2x2－x－3，∴2x2－x－3＝(x＋1)(2x－3)． 像这样，通过十字交叉线的帮助，把二次三项式因式分解的方法，叫作十字相乘法． 仿照此方法，分解因式：3x2＋5x－12＝_________________________. 返回 (x＋3)(3x－4) 中考考法 7． 下面是某同学对多项式(x2－4x＋2)(x2－4x＋6)＋4进行因式分解的过程． 解：设x2－4x＝y，则 原式＝(y＋2)(y＋6)＋4　　(第一步) ＝y2＋8y＋16(第二步) ＝(y＋4)2(第三步) ＝(x2－4x＋4)2.(第四步) 中考考法 21 回答下列问题： (1)该同学因式分解的结果是否彻底？________(填“彻底”或“不彻底”)．若不彻底，请你直接写出该因式分解的最后结果：____________． 不彻底 (x－2)4 中考考法 (2)请你仿照以上方法尝试对多项式(m2－2m)·(m2－2m＋2)＋1进行因式分解． 【解】设m2－2m＝n，则原式＝n(n＋2)＋1＝n2＋2n＋1＝(n＋1)2＝(m2－2m＋1)2＝(m－1)4. 中考考法 提公因式法 （多项式） 确定公因式的方法 注意 定系数，定字母（或多项式），定指数 课堂小结 一找； 二提； 三分解. 提公因式法的步骤 提公因式法与多项式乘多项式是互逆的恒等变形 1、因式分解要彻底； 2、不要漏项； 3、底数相反时，提取“-”号要变号. $