4.2 提公因式为多项式的因式分解（课件） 2025--2026学年北师大版八年级数学下册

4.2 提公因式法 第 2 课时 提公因式为多项式的因式分解 预习检测 1. 将3x(a－b)＋9y(a－b)因式分解，应提的公因式 是(　D　) A. 3x－9y B. 3x＋9y C. a－b D. 3(a－b) 2. 若(p－q)2－(q－p)3＝(q－p)2E，则E是(　C　) A. 1－q－p B. q－p C. 1＋p－q D. 1＋q－p D C 3. 把b2(x－2)＋b(2－x)因式分解的结果为(　C　) A. b(x－2)(b＋1) B. (x－2)(b2＋b) C. b(x－2)(b－1) D. (x－2)(b2－b) C 4. 因式分解： (1)3a(b－c)－3(b－c)； 解：原式＝3(b－c)(a－1). (2)(2x－1)(3x－7)－(3x－7)(x＋2). 解：原式＝(3x－7)(x－3). 解：原式＝3(b－c)(a－1). 解：原式＝(3x－7)(x－3). 5. 已知x＋y＝5，xy＝6， 求 x(x＋y)(x－y)－x(x＋y)2 的值. 解：原式＝－2xy(x＋y). ∵x＋y＝5，xy＝6， ∴原式＝－2×6×5＝－60. 素养目标 1. 理解公因式的意义；(重点) 2. 会用提公因式 ( 多项式 ) 法因式分解.(难点) 复习导入 问题1：多项式 ma + mb + mc 有哪几项？ 问题2：每一项的因式都分别有哪些？ 问题3：这些项中有没有公共的因式？ 若有，公共的因式是什么？ ma，mb，mc 依次为 m，a；m，b；m，c 有，为 m 新知探究 探究点一： 确定公因式 问题 观察下列多项式，它们有什么共同特点 ? mb2 + nb－b 相同的因式 b 3x2 ＋ x 相同的因式 x ab + bc 相同的因式 b 我们把多项式各项都含有的相同因式，叫作这个多项式各项的公因式. 新知探究 【想一想】 尝试将这几个多项式分别写成几个因式的乘积. (1) ab + bc ； (2) 3x2 + x； (3) mb2 + nb－b. b(a + c) x(3x + 1) b(mb + n－1) 探究点一： 确定公因式 新知探究 (1) 多项式 2x2 + 6x3 中各项的公因式是什么？ 系数： 最大公约数 2 字母： 相同的字母 x 所以公因式是 2x2. 指数： 相同字母的最低次幂 2 (2) 你能尝试将多项式 2x2 + 6x3 因式分解吗? 2x2 + 6x3＝2x2(1+ 3x) 【尝试·交流】 探究点一： 确定公因式 新知探究 正确找出多项式各项公因式的关键是： 1. 定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公 约数. 2. 定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母. 3. 定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即 字母最低次幂. 【归纳总结】 探究点一： 确定公因式 新知探究 1. 写出下列多项式的公因式. （1）x - x2； （2）4abc + 2a； （3）abc - b2 + 2ab； （4）a2 + ax2. x 2a b a 【练一练】 探究点一： 确定公因式 新知探究 2. 先化简，再求值：(x＋2y)(x－2y)－(2y－x)2， 其中 x＝2，y＝－1. 解：原式＝(x＋2y)(x－2y)－(x－2y)2 ＝(x－2y)(x＋2y－x＋2y) ＝4y(x－2y) ＝4xy－8y2. 当 x＝2，y＝－1 时， 原式＝4×2×(－1)－8×(－1)2＝－8－8＝－16. 探究点1：整体提公因式法 新知探究 探究点2：变形后提公因式法 下面的多项式有公因式吗？与同伴交流思考． (1) 5(a－b)－m(b－a)； (2) 3(m＋n)＋2a(－m－n)； (3) m(x－y)2－n(y－x)2；　　 (4) c2(b－a)3＋(c－1)(a－b)3. 思考：a－b 和 b－a，m＋n 和 －m－n， (x－y)2 和 (y－x)2，(b－a)3 和 (a－b)3有什么关系？ a－b＝－(b－a)，m＋n=(－m－n)，(x－y)2＝(y－x)2， (b－a)3＝－(a－b)3. 新知探究 探究点2：变形后提公因式法 问题：仿照 5(a－b)－m(b－a)＝5(a－b)＋m(a－b)＝(5＋m)(a－b)，将其他3个多项式因式分解． 解：3(m＋n)＋2a(－m－n)＝3(m＋n)－2a(m＋n) ＝(3－2a)(m＋n)． c2(b－a)3＋(c－1)(a－b)3＝c2(b－a)3－(c－1)(b－a)3 ＝(c2－c＋1)(b－a)3. m(x－y)2－n(y－x)2＝m(x－y)2－n(x－y)2 ＝(m－n)(x－y)2. 新知探究 【归纳总结】两个只有符号不同的多项式是否有关系，有如下判断方法： (2) 当相同字母前的符号均相反时，两个多项式互为相反数. 如：a - b 和 b - a，则 a - b = -(b - a). (1) 当相同字母前的符号相同时，两个多项式相等. 如：a - b 和 -b + a，则 a - b = -b + a. 探究点2：变形后提公因式法 新知探究 由此可知规律： (1) a - b 与 -a + b 互为相反数. (a - b)n = (b - a)n (n 是偶数) (a - b)n = -(b - a)n (n 是奇数) (2) a + b 与 b + a 相等，a - b 与 -b + a 相等. (a±b)n = (±b + a)n (n 是整数) a + b 与 -a - b 互为相反数. (-a - b)n = (a + b)n (n 是偶数) (-a - b)n = -(a + b)n (n 是奇数) 探究点2：变形后提公因式法 新知探究 【针对训练】在下列各式等号右边的括号前填入“+”或“-”号，使等式成立： (1) (a - b) =___(b - a)； (2) (a - b)2 =___(b - a)2； (3) (a - b)3 =___(b - a)3； (4) (a - b)4 =___(b - a)4； (5) (a + b) =___(b + a)； (6) (a + b)2 =___(b + a)2； + - - + + + (7) (a + b)3 =__(-b - a)3； - (8) (a + b)4 = __(-a - b)4. + 探究点2：变形后提公因式法 新知探究 例2 把下列各式因式分解： (1) a(x－y)＋b(y－x)； (2) 6(m－n)3－12(n－m)2. 解：(1) a(x－y)＋b(y－x)＝a(x－y)－b(x－y) ＝(x－y)(a－b) (2)6(m－n)3－12(n－m)2 ＝6(m－n)3－12(m－n)2 ＝6(m－n)2[(m－n)－2] ＝6(m－n)2(m－n－2) 探究点2：变形后提公因式法 新知探究 例3 下面用提公因式法分解因式的结果是否正确？ 说明理由．若不正确，请写出正确的结果． (1) 3x2y－9xy2＝3x(xy－3y2)； (2) 4x2y－6xy2＋2xy＝2xy(2x－3y)； (3) x(a－b)3(a＋b)－y(b－a)3＝(a－b)3[x(a＋b)－y]． 探究点2：变形后提公因式法 新知探究 解：(1)不正确，理由：公因式没有提完全； 正确的是：3x2y－9xy2＝3xy(x－3y)． (2)不正确，理由：提取公因式后剩下的因式中有常数项“1”； 正确的是：4x2y－6xy2＋2xy＝2xy(2x－3y＋1)． (1) 3x2y－9xy2＝3x(xy－3y2)； (2) 4x2y－6xy2＋2xy＝2xy(2x－3y)； 探究点2：变形后提公因式法 新知探究 (3) 不正确，理由：(a－b)3与(b－a)3不一样，应先统一，且因式是多项式时要最简；正确的是： x(a－b)3(a＋b)－y(b－a)3 ＝x(a－b)3·(a＋b)＋ (a－b)3y ＝(a－b)3[x(a＋b)＋y] ＝(a－b)3(ax＋bx＋y)． (3) x(a－b)3(a＋b)－y(b－a)3＝(a－b)3[x(a＋b)－y]． 探究点2：变形后提公因式法 新知探究 【思考·交流】 利用提公因式法进行因式分解，你积累了哪些经验 ? 与同伴进行交流。 1.在提取公因式时，各项公因式相同时，直接提取；各项公因式互为相反数时，需先变符号，再提取。 2.括号前面是“+”号，括号里的各项都不变号。 3.括号前面是“-”号，括号里的各项都变号。 探究点2：变形后提公因式法 新知探究 【尝试·思考】 如图 ，有三张不同型号的长方形卡片。 (1) 你能选择其中两张卡片拼成一个长方形吗 ? (2) 你能用这三张卡片拼成一个长方形吗 ? (3) 依据 (1) (2) 拼图的过程及结果，你能写出哪些多项式的因式分解 ? 你是怎样想的 ? n a n b a+b m ① ② ③ 探究点3：提公因式法的应用 新知探究 n a n b (1) 你能选择其中两张卡片拼成一个长方形吗 ? ① ② n a n b ① ② 将 ② 旋转 90°，然后把两个长方形长度为 n 的边拼在一起即可得到一个新的长方形。 根据拼组前后面积相等：a×n + b×n = (a + b)×n. 探究点3：提公因式法的应用 新知探究 a+b m (2) 你能用这三张卡片拼成一个长方形吗 ? a n b ① ② ③ 把 (1) 得到的长方形和 ③ 两个长方形长度为 a+b 的边拼在一起得到一个新的长方形。 根据拼组前后面积相等： a×n + b×n + (a + b)×m = (a + b)×n + (a + b)×m = (a + b)×(m + n) . 探究点3：提公因式法的应用 新知探究 【练一练】3. 如图，边长为 a，b 的长方形的周长为 10，面积为 6，则 a2b＋ab2 的值为　　． 30 a b 探究点3：提公因式法的应用 课堂小结 因式 分解 提公因式法 (单项式) 确定公因式的方法：三定，即定系数、定字母、定指数 分两步： 第一步找公因式；第二步提公因式 注意 1. 分解因式是一种恒等变形； 2. 公因式：要提尽； 3. 不要漏项； 4. 提负号，要注意变号 当堂检测 1. 对多项式3x2－3x因式分解，提取的公因式 为(　C　) A. 3 B. x C. 3x D. 3x2 C 2. 把多项式a2－4a因式分解，结果正确的是( 　A) A. a(a－4) B. (a＋2)(a－2) C. a(a＋2)(a－2) D. (a－2)2－4 A 3. 若ab＝－3，a－2b＝5，则a2b－2ab2的值 是 . 4. 因式分解与简便计算. (1)a2b＋ab2； 解：原式＝ab(a＋b). (2)m2n＋4mn－2n； 解：原式＝n(m2＋4m－2). (3)1.992＋1.99×0.01. 解：原式＝1.99×(1.99＋0.01)＝3.98. －15　 解：原式＝ab(a＋b). 解：原式＝n(m2＋4m－2). 解：原式＝1.99×(1.99＋0.01)＝3.98. $