4.2.1 公因式为单项式的因式分解 课件 2025-2026学年北师大版数学八年级下册

北师大版数学8年级下册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（*）班 . 时 间： . 2026年4月28日 4.2.1 公因式为单项式的因式分解 第四章 因式分解 北师大版八年级数学下册 4.1 公因式为单项式的因式分解 练习题 班级：________ 姓名：________ 得分：________ 时间：45分钟 本次练习题围绕“公因式为单项式的因式分解”核心知识点设计，重点考查单项式公因式的寻找方法、提取单项式公因式的步骤，以及因式分解与整式乘法的基础关系，分层考查基础掌握、辨析判断与运算能力，助力熟练掌握提取单项式公因式的技巧，夯实因式分解基础。 一、选择题（每题3分，共15分） 1. 下列等式中，属于提取单项式公因式的因式分解是（ ） A. $$(x+2)(x-2)=x^2-4$$ B. $$x^2-4+3x=(x+2)(x-2)+3x$$ C. $$x^2-2x=x(x-2)$$ D. $$x^2+2x+1=(x+1)^2$$ 2. 下列关于公因式为单项式的说法，正确的是（ ） A. 公因式只能是数字 B. 公因式是单项式时，需取各项系数的最大公约数和相同字母的最低次幂 C. 多项式$$x^2+xy$$的公因式是$$x^2$$ D. 提取单项式公因式后，括号内的多项式一定不含公因式 3. 多项式$$4x^3-8x^2+12x$$的公因式（单项式）是（ ） A. 4 B. $$4x$$ C. $$x$$ D. $$4x^2$$ 4. 把多项式$$6a^2b-9ab^2+3ab$$提取单项式公因式后，正确的是（ ） A. $$ab(6a-9b+3)$$ B. $$3ab(2a-3b+1)$$ C. $$3a^2b(2-3b+1)$$ D. $$6ab(a-b+1)$$ 5. 下列提取单项式公因式的因式分解正确的是（ ） A. $$x^2+xy=x(x+y)$$ B. $$3x^2-6x=3x(x-6)$$ C. $$2a^2b-4ab^2=2ab(a-4b)$$ D. $$5x^3-10x^2=5x(2x^2-4x)$$ 二、填空题（每题3分，共15分） 1. 公因式为单项式时，公因式的确定方法：①取各项系数的________；②取各项都含有的________的最低次幂；③把两部分相乘，就是这个多项式的单项式公因式。 2. 因式分解中，提取单项式公因式的依据是________（填运算律），因式分解与整式乘法是________运算。 3. 多项式$$5x^3y^2-10x^2y+15xy$$的单项式公因式是________。 4. 提取单项式公因式因式分解：$$x^2-3x=$$________；$$8ab-12a^2b=$$________。 5. 若多项式$$ax^2+bx$$（$$a eq0$$）的单项式公因式是$$5x$$，则$$a$$的取值可以是________（写出一个即可）。 三、解答题（共70分） 1. （10分）基础应用题，考查单项式公因式的判断及因式分解定义。 （1）判断下列各式是否为提取单项式公因式的因式分解，若是，说明理由；若不是，说明理由并改正（能改正的改正）： ① $$x^2-4x=x(x-4)$$；② $$2x^2+6x=2x(x+3)+0$$；③ $$3x(x-2)=3x^2-6x$$；④ $$4x^2+2x=2x(2x+1)$$。 （2）找出下列各多项式的单项式公因式： ① $$6x^2-12x$$；②$$4a^2b-8ab^2+12ab$$；③ $$7x^3y^2-21x^2y^3$$；④ $$3m^2n-6mn^2+9mn$$。 解： 2. （12分）计算题，运用提取单项式公因式法进行因式分解。 （1）$$2x^2-4x$$；（2）$$6a^2b+12ab^2$$；（3）$$8x^3-24x^2$$；（4）$$15x^2y-10xy^2$$； （5）$$5a^3b-10a^2b^2+5ab$$；（6）$$12x^2y^3-18x^3y^2$$。 解： 3. （12分）辨析与纠错题，改正提取单项式公因式中的错误。 （1）指出下列因式分解的错误，并改正（均为提取单项式公因式）： ①$$4x^2-8x=4x(x-8)$$；② $$3a^2b-6ab^2=ab(3a-6b)$$； ③ $$x^2+xy=x(x+y+1)$$；④ $$9x^3-6x^2=3x(3x^2-2x)$$。 （2）说明提取单项式公因式时，为什么要取各项系数的最大公约数和相同字母的最低次幂。 解： 4. （12分）综合题，结合整式乘法与提取单项式公因式的关系求解。 （1）已知$$2x(x-3)=2x^2-6x$$，写出$$2x^2-6x$$提取单项式公因式后的因式分解结果； （2）若$$ax^2+bx=3x(2x+5)$$，求$$a$$、$$b$$的值（提示：先展开右边，再对比系数）； （3）先将多项式$$3x(x-2)+4(x-2)$$提取单项式公因式因式分解，再求值（其中$$x=3$$）； （4）已知多项式$$ax^2+bx$$提取单项式公因式后结果是$$2x(3x+4)$$，求原多项式及公因式。 解： 5. （12分）应用题，运用提取单项式公因式解决简单实际问题。 （1）一个长方形的面积为$$x^2+5x$$（$$x>0$$），其中一边长为$$x$$（单项式），求另一边长； （2）已知一个正方形的面积比一个长方形的面积大$$x^2-6x$$，且正方形的边长与长方形的长相等，长方形的宽为$$x-6$$，求正方形的边长（用因式分解求解）； （3）若一个多项式提取单项式公因式后结果为$$4x(x-3)$$，且这个多项式的一次项系数为$$k$$，求$$k$$的值，并写出原多项式。 解： 6. （10分）拓展题，提升提取单项式公因式的灵活运用能力。 （1）因式分解：$$x(x-2)+3(2-x)$$（提示：先转化为相同公因式，再提取单项式公因式）； （2）因式分解：$$4(x-1)^2+8(1-x)$$； （3）已知$$m-n=4$$，$$mn=2$$，求多项式$$m^2n-mn^2$$的值（提示：先提取单项式公因式，再代入求值）。 解： 参考答案（简要提示） 一、选择题：1.C 2.B 3.B 4.B 5.A 二、填空题：1.最大公约数；相同字母 2.乘法分配律；互逆 3.$$5xy$$ 4.$$x(x-3)$$；$$4ab(2-3a)$$ 5.5（答案不唯一，是5的倍数即可） 三、解答题：1.（1）①是，提取公因式x；②不是，结果不是整式积，改正：$$2x(x+3)$$；③不是，是整式乘法；④是，提取公因式2x；（2）①$$6x$$；②$$4ab$$；③$$7x^2y^2$$；④$$3mn$$ 2.（1）$$2x(x-2)$$；（2）$$6ab(a+2b)$$；（3）$$8x^2(x-3)$$；（4）$$5xy(3x-2y)$$；（5）$$5ab(a^2-2ab+1)$$；（6）$$6x^2y^2(2y-3x)$$ 3.（1）①错误，改正：$$4x(x-2)$$；②错误，改正：$$3ab(a-2b)$$；③错误，改正：$$x(x+y)$$；④错误，改正：$$3x^2(3x-2)$$；（2）略 4.（1）$$2x(x-3)$$；（2）$$a=6$$，$$b=15$$；（3）因式分解为$$(x-2)(3x+4)$$，值为7；（4）原多项式$$6x^2+8x$$，公因式$$2x$$ 5.（1）$$x+5$$；（2）$$x$$；（3）$$k=-12$$，原多项式为$$4x^2-12x$$ 6.（1）$$(x-2)(x-3)$$；（2）$$4(x-1)(x-3)$$；（3）8 学习目标 能准确地找出各项的公因式，并注意各种变形的符号问题. 2. 能简单运用提公因式法进行因式分解. 如图，一块场地由3个矩形组成，这些矩形的长分别为，宽都是，则这块场地的面积为 或 . 导入新知 m a b c 3 确定公因式 1 含相同因式 p 下面的多项式有什么特点？ pa + pb + pc 我们把多项式各项都含有的相同因式，叫作这个多项式各项的公因式. 例1 (1) 多项式 2x2 – 6x3 中各项的公因式是什么？ 系数： 最大公约数 2 字母： 相同的字母 x 所以公因式是 2x2. 指数： 相同字母的最低次幂 2 议一议 (2)你能尝试将多项式 2x2 – 6x3 因式分解吗? 2x2 – 6x3＝2x2(1– 3x) 正确找出多项式各项公因式的关键是： 1. 定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公 约数. 2. 定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母. 3. 定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即 字母最低次幂. 要点归纳 写出下列多项式的公因式. （1）x - x2； （2）4abc + 2a； （3）abc - b2 + 2ab； （4）a2 + ax2. x 2a b a 练一练 提公因式为单项式的因式分解 2 ( a + b + c ) pa + pb + pc p = 如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式.这种因式分解的方法叫做提公因式法. 思考：以下是三名同学对多项式 2x2 + 4x 分解因式的结果： （1）2x2 + 4x = 2(x2 + 2x)； （2）2x2 + 4x = x(2x + 4)； （3）2x2 + 4x = 2x(x + 2). 哪位同学的结果是正确的？ 用提公因式法分解因式应注意哪些问题呢？ 根据最终结果是否还能进一步分解，易知第三位同学的结果是正确的. 例1 把下列各式因式分解： 解：(1) 原式 = 2m·n + 2m ·2m = 2m(n + 2m). (2) 原式 = 7p·p－7p·3 = 7p(p－3). (3) 原式 = ab·8a2b－ab·12b2c＋ab·1 = ab(8a2b－12b2c＋1). (4) 原式 = －(24x3－12x2 + 28x) =－(4x·6x2－4x·3x + 4x·7) =－4x(6x2 －3x+7). B 返回 1． [2025青岛期中]把多项式12ab2c＋3ab3分解因式，应提的公因式是(　　) A．3ab B．3ab2 C．12ab3c D．12a2b5c 中考考法 11 返回 A 2． 把－6a3＋4a2－2a分解因式时，提出公因式后，另一个因式是(　　) A．3a2－2a＋1 B．6a2－4a＋2 C．3a2－2a D．3a2＋2a－1 中考考法 12 B 返回 3． 把－a(x－y)－b(y－x)＋c(x－y)因式分解，正确的结果是(　　) A．(x－y)(－a－b＋c) B．(y－x)(a－b－c) C．－(x－y)(a＋b＋c) D．－(y－x)(a＋b－c) 中考考法 13 4． 返回 A 把多项式a3b4－abnc因式分解时，提取的公因式是ab4，则n的值可能为(　　) A．5 B．3 C．2 D．1 中考考法 14 5． 多项式(x＋2)(2x－1)－(x＋2)可以因式分解成2(x＋m)(x＋n)，则m－2n的值是(　　) A．2 B．4 C．4或－5 D．±4 中考考法 15 【点拨】 【答案】C (x＋2)(2x－1)－(x＋2)＝2(x＋2)(x－1)＝2(x＋m)(x＋n)，故m＝2，n＝－1或m＝－1，n＝2， 则m－2n＝4或m－2n＝－5. 故选C. 返回 中考考法 6． 返回 x2＋x(答案不唯一) 一个多项式，把它因式分解后有一个因式为(x＋1)，请你写出一个符合条件的多项式：__________________． 中考考法 17 7． 返回 2 已知mn＝2，m－n＝1，则m2n－mn2＝________. 中考考法 18 8． 【解】4a－2ab＝2a(2－b)． 分解因式： (1)4a－2ab; (2)－6x2＋4xy； －6x2＋4xy＝－2x(3x－2y)． 中考考法 19 (3)(a－2)2－5(2－a); (4)y2(x－2y)2－y(2y－x)2. (a－2)2－5(2－a)＝(a－2)(a－2＋5)＝(a－2)·(a＋3)． y2(x－2y)2－y(2y－x)2＝y2(x－2y)2－y(x－2y)2＝y(x－2y)2(y－1)． 返回 中考考法 提公因式法 （单项式） 确定公因式的方法 注意 定系数，定字母，定指数 课堂小结 一找； 二提； 三分解. 提公因式法的步骤 提公因式法与单项式乘多项式是互逆的恒等变形 1、因式分解要彻底； 2、不要漏项； 3、提取“-”号要变号. $