数学（上海卷02）学易金卷：2026年中考考前预测卷

**基本信息** 2026年中考数学预测卷，通过选择、填空、解答题（含动点几何综合题）覆盖代数运算、几何推理、统计分析等知识，注重数学思维的逻辑性与创新意识的培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|6/24|实数运算、一次函数性质|结合一次函数图象判断点坐标，考查几何直观| |填空题|12/48|因式分解、概率、正六边形性质|正方形地毯重叠面积问题，体现模型观念| |解答题|7/78|动点几何、二次函数综合|25题动点与圆外切综合，考查推理能力；22题“双等四边形”新定义，培养创新意识|

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年中考考前预测卷 数学 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题(本大题共6题，每题4分，共24分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．一次函数（k为常数，且）的图象不经过第三象限．若点N在该一次函数的图象上，则点N的坐标不可能为（    ） A． B． C． D． 3．已知一元二次方程有一个根是1，则另一个根是（   ） A． B．2 C．1 D．0 4．一次数学测试，某小组5名同学的成绩统计如下（有两个数据被遮盖）： 甲 乙 丙 丁 戊 平均成绩 众数 成绩/分 81 76 ■ 80 83 80 ■ 则被遮盖的两个数据依次是（   ） A．80，82 B．81，82 C．80，80 D．81，80 5．如图，在中，，，，三点均在圆上，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．将直角三角板按如图位置摆放，顶点B落在直线上，顶点A落在直线上，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题(本大题共12题，每题4分，共48分) 7．因式分解：_________． 8．方程的解为________． 9．已知关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围为_____． 10．用三张面积为的正方形地毯，按如图方式重叠放在桌面上，如果它们盖住地面的总面积是，图中两个阴影部分的面积的和是，那么这三张地毯共同重叠部分的面积是______（用含a，b，c的代数式表示）． 11．已知直线与直线的交点在轴上，则的值是________． 12．如图，在中，，，点是内一点，且，，则的度数为_______． 13．已知向量与单位向量方向相反，且，那么________．（用向量的式子表示） 14．在如图所示的电路中，随机闭合开关、、中的两个，能同时点亮灯泡、的概率为_____． 15．某市为了了解九年级学生的身体素质情况，随机抽取了500名九年级学生进行检测，身体素质达标率为，请你估计该市6万名九年级学生中，身体素质达标的大约有 _______________万人． 16．如图是二次函数的图象，若关于的方程总有一正一负两个实数根，则的取值范围是_____________． 17．大自然中有许多小动物都是“小数学家”，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形，一个巢房的横截面为正六边形（如图），正六边形内接于于点，且，则这个正六边形的边长是___________． 18．在如图所示的三角形纸片中，，，．将三角形纸片进行以下操作：折叠三角形纸片使点C与点A重合，然后展开铺平，得到折痕；将绕点D顺时针方向旋转得到，点E，C的对应点分别是点F，G，直线与边交于点H，当直线经过点B时，的长为________． 三、解答题:(本大题共7题，共78分，19-22题每题10分，23-24每题12分，25题14分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．计算：． 20．解方程： ． 21．如图，分别是边上的高和中线，已知，，． (1)求的长； (2)求的值． 22．【探索发现】如图1，小军用两个大小不同的等腰直角三角板拼接成一个四边形． 【抽象定义】以等腰三角形的一腰为边向外作等腰三角形，使该边所对的角等于原等腰三角形的顶角，此时该四边形称为“双等四边形”，原等腰三角形称为四边形的“伴随三角形”．如图2，在中，，，．此时，四边形是“双等四边形”，是“伴随三角形”． (1)【问题解决】如图3，在四边形中，，，．求： ①与的位置关系为：_________； ②________．（填“>”，“<”或“=”） (2)【方法应用】如图，在等腰三角形中，，，，在平面内找一点，使四边形是以为伴随三角形的双等四边形，请直接写出的长． 23．已知：如图，在矩形中，点E在边的延长线上，，连接，分别交边、对角线于点F、G，． (1)求证：； (2)求证：． 24．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点，对称轴与x轴交于点D，点在抛物线上． (1)求直线的解析式； (2)如图1，点G是线段的中点，将抛物线沿x轴正方向平移得到新抛物线，经过点D，的顶点为F，点Q在新抛物线的对称轴上，当为等腰三角形时，求出点Q的坐标； (3)如图2，点P是直线下方抛物线上的一点，联结、、，当面积最大时，联结、，设K、M、N分别是线段、、上的点，且，求出点P的坐标，并直接写出四边形的面积． 25．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，P是斜边AB上的一个动点（点P与点A、B不重合），以点P为圆心，PA为半径的⊙P与射线AC的另一个交点为D，射线PD交射线BC于点E． （1）如图1，若点E在线段BC的延长线上，设AP=x，CE=y， ①求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； ②当以BE为直径的圆和⊙P外切时，求AP的长； （2）设线段BE的中点为Q，射线PQ与⊙P相交于点I，若CI=AP，求AP的长． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考考前预测卷 数学 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题(本大题共6题，每题4分，共24分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的运算法则逐一计算各选项即可得到正确结果． 【详解】解：A选项：， A错误， B选项：， B错误， C选项：， C错误， D选项：， D正确． 2．一次函数（k为常数，且）的图象不经过第三象限．若点N在该一次函数的图象上，则点N的坐标不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据一次函数图象不经过第三象限，结合一次函数性质确定的取值范围，再将各选项点坐标代入函数求出，判断是否符合的范围即可． 【详解】解：令得，， 一次函数与轴交于， 一次函数（）的图象不经过第三象限， ， 选项A、 将代入函数得： ，解得，符合条件； 选项B、 将代入函数得：，解得，符合条件； 选项C、 将代入函数得： ，解得，符合条件； 选项D、 将代入函数得： ，解得，不满足，不符合条件； 则点的坐标不可能为． 3．已知一元二次方程有一个根是1，则另一个根是（   ） A． B．2 C．1 D．0 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的根，根据方程根的定义，将已知根代入原方程求出的值，再将代回原方程求解，即可得到另一个根，解题需注意一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件. 【详解】解：∵一元二次方程有一个根是 ∴将代入原方程得， 化简得，即，解得. ∵原方程是一元二次方程， ∴二次项系数， 满足该条件，符合要求. 将代入原方程，得， 提取公因式得解得， ∴方程的另一个根是. 故选：D. 4．一次数学测试，某小组5名同学的成绩统计如下（有两个数据被遮盖）： 甲 乙 丙 丁 戊 平均成绩 众数 成绩/分 81 76 ■ 80 83 80 ■ 则被遮盖的两个数据依次是（   ） A．80，82 B．81，82 C．80，80 D．81，80 【答案】C 【分析】先根据平均数的定义计算出5人的总成绩，求出丙的成绩，再根据众数的定义得到众数，即可得到被遮盖的两个数据． 【详解】解：∵这5名同学的平均成绩为80， ∴丙同学的成绩为， ∵这5名同学的成绩中，成绩为80的人数最多， ∴众数为80， ∴缺失的两个数据依次为80，80． 5．如图，在中，，，，三点均在圆上，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解：连接，，由等边对等角得出，，证明，由全等三角形的性质得出，最后再根据角度的和差关系即可求解． 【详解】解：如图，连接，， ， ，． ，，， ， ， ． 6．将直角三角板按如图位置摆放，顶点B落在直线上，顶点A落在直线上，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由直角三角形的两个锐角互余及角的和与差即可求出，再利用平行线的性质可求出即可． 【详解】解：如图， ∵，， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴． 第Ⅱ卷 二、填空题(本大题共12题，每题4分，共48分) 7．因式分解：_________． 【答案】 【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式进行二次分解即可； 【详解】解：原式． 8．方程的解为________． 【答案】 【分析】将原无理方程两边平方，转化为一元二次方程求解，再对所得根进行检验，舍去增根即可得到原方程的解． 【详解】解：方程两边同时平方得：， 整理为一元二次方程一般式得：， 因式分解得：， 解得 ，， 检验：将代入原方程，左边，右边，左边右边，是增根，舍去， 将代入原方程，左边，右边，左边右边，符合原方程． 故原方程的解为． 9．已知关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围为_____． 【答案】 【分析】本题考查了根的判别式．根据方程有两个实数根则，得出关于k的不等式，求出k的取值范围即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得， 故答案为：． 10．用三张面积为的正方形地毯，按如图方式重叠放在桌面上，如果它们盖住地面的总面积是，图中两个阴影部分的面积的和是，那么这三张地毯共同重叠部分的面积是______（用含a，b，c的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查了列代数式，根据图中的面积关系正确列出代数式是解题的关键． 用三个正方形的面积之和减去它们盖住地面的总面积，再减去两个阴影部分的面积的和，然后除以2即可得到三张地毯共同重叠部分的面积． 【详解】根据题意，盖住地面的总面积两个阴影部分的面积的和两个三张地毯共同重叠部分的面积三个正方形的面积， 三张地毯共同重叠部分的面积是：． 故答案为：． 11．已知直线与直线的交点在轴上，则的值是________． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的交点问题，由直线与直线的交点在轴上可知当时函数值相等，得到，然后代入化简即可．推导知时函数值相等是解题的关键． 【详解】解：当时，，， ∵直线与直线的交点在轴上， ∴， ∴． 12．如图，在中，，，点是内一点，且，，则的度数为_______． 【答案】/40度 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角的和与差．利用角的和与差求得，再利用等边对等角即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 13．已知向量与单位向量方向相反，且，那么________．（用向量的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查了平面向量，熟练掌握单位向量以及向量反向的定义是解题的关键． 根据单位向量的定义和向量方向相反的条件，结合模长关系求解． 【详解】∵ 向量 与单位向量 方向相反，且 ，， ∴ ． 故答案为：． 14．在如图所示的电路中，随机闭合开关、、中的两个，能同时点亮灯泡、的概率为_____． 【答案】 【分析】本题考查利用列举法求随机事件的概率，解题关键是正确分析电路通路情况，列举出所有等可能的结果．首先确定随机闭合两个开关的所有等可能结果，再逐一分析每种结果下、的点亮情况，最后根据概率公式计算概率． 【详解】解：随机闭合开关、、中的两个，所有可能的结果有：、、，共3种等可能的结果． ∵当闭合和时，电路形成通路，能同时点亮灯泡、；闭合和时，无法形成通路，均不亮；闭合和时，只有亮． ∴能同时点亮灯泡、的结果只有1种． 根据概率公式，． 故答案为：． 15．某市为了了解九年级学生的身体素质情况，随机抽取了500名九年级学生进行检测，身体素质达标率为，请你估计该市6万名九年级学生中，身体素质达标的大约有 _______________万人． 【答案】5.4 【分析】本题主要考查了用样本估计总体的思想，掌握计算方法是解题的关键． 用样本的达标率估计总体的达标率，计算总人数乘以样本达标率即可． 【详解】解：根据用样本估计总体的思想，样本达标率为，总体学生数为6万人， ∴身体素质达标的大约有（万人）． 故答案为：5.4． 16．如图是二次函数的图象，若关于的方程总有一正一负两个实数根，则的取值范围是_____________． 【答案】 【分析】根据题意可得二次函数的图象与直线有两个交点，一个在第一象限，一个在第二象限内，即可求解． 【详解】解：如图，二次函数开口向上，故；且二次函数过，因此． ∵关于x的方程总有一正一负两个实数根， ∴二次函数的图象与直线有两个交点，一个在第一象限，一个在第二象限内， ∴． 17．大自然中有许多小动物都是“小数学家”，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形，一个巢房的横截面为正六边形（如图），正六边形内接于于点，且，则这个正六边形的边长是___________． 【答案】 【分析】连接，，证明为等边三角形，得出，根据勾股定理求出，得出，即可． 【详解】解：连接，，如图所示： 六边形是正六边形， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， 根据勾股定理得：， 即， 解得：，负值舍去， ∴， ∴这个正六边形的边长是． 18．在如图所示的三角形纸片中，，，．将三角形纸片进行以下操作：折叠三角形纸片使点C与点A重合，然后展开铺平，得到折痕；将绕点D顺时针方向旋转得到，点E，C的对应点分别是点F，G，直线与边交于点H，当直线经过点B时，的长为________． 【答案】/ 【分析】先证明是 的中位线 ，求出，，及，再证明，得出，，设 ，则 ，最后根据勾股定理求出即可． 【详解】解：由折叠的性质可知，垂直平分， ∴，， ∵，即， ∴， ∵E 是 的中点 ， ∴， ∴D是 的中点， ∴是 的中位线 ， ∴，， 在 中， ， ∴，， 由旋转的性质可知，， ∴，， ∵ 直线经过点 B ， ∴， 在 中，， ∵，， ， ∴ ， ∴， ∴， 设 ，则 ， 在 中，， ∴， 解得：， ∴． 三、解答题:(本大题共7题，共78分，19-22题每题10分，23-24每题12分，25题14分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，正弦等知识．熟练掌握零指数幂，负整数指数幂，正弦是解题的关键． 先分别计算零指数幂，负整数指数幂，正弦，然后进行乘法运算，最后进行加减运算即可． 【详解】解： ． 20．解方程： ． 【答案】，． 【分析】先把方程组化成两个二元一次方程组，再解这两个二元一次方程组即可． 【详解】解：∵，∴或，解得，． 【点睛】此题主要考查了二元二次方程组的解法，熟练掌握二元二次方程组的解法是解题的关键． 21．如图，分别是边上的高和中线，已知，，． (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由是边上的高得到，由，，得到则，即可得到答案； （2）过点E作于点F，由分别是边上的中线，得到，由得到，勾股定理求出，再由勾股定理得到，即可得到的值． 【详解】（1）解：∵是边上的高， ∴， ∵，， ∴ ∵， ∴； （2）解：过点E作于点F， ∵分别是边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴. 【点睛】此题考查了解直角三角形、勾股定理等知识，数形结合和准确计算是解题的关键． 22．【探索发现】如图1，小军用两个大小不同的等腰直角三角板拼接成一个四边形． 【抽象定义】以等腰三角形的一腰为边向外作等腰三角形，使该边所对的角等于原等腰三角形的顶角，此时该四边形称为“双等四边形”，原等腰三角形称为四边形的“伴随三角形”．如图2，在中，，，．此时，四边形是“双等四边形”，是“伴随三角形”． (1)【问题解决】如图3，在四边形中，，，．求： ①与的位置关系为：_________； ②________．（填“>”，“<”或“=”） (2)【方法应用】如图，在等腰三角形中，，，，在平面内找一点，使四边形是以为伴随三角形的双等四边形，请直接写出的长． 【答案】(1)①平行；② (2)的值为或或 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理等，注意分情况讨论是解题的关键 （1）①根据等腰三角形的性质，可得，，根据三角形的内角和，求出，，再根据，平行线的判定，即可；②根据相似三角形的判定和性质，即可； （2）过点作于点，根据，，求出，根据勾股定理求出，再根据勾股定理，求出，根据新定义，分类讨论：①当，，四边形是以为伴随三角形的双等四边形，②当，，四边形是以为伴随三角形的双等四边形，③当，，四边形是以为伴随三角形的双等四边形，利用三线合一，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，进行解答，即可． 【详解】（1）解：①∵，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴； ②∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：①平行；②． （2）解：过点作于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， 在中，， ∴， 解得：， ∴； ①当，，四边形是以为伴随三角形的双等四边形， ∴； ②当，，四边形是以为伴随三角形的双等四边形， ∴， 过点作于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ③当，，四边形是以为伴随三角形的双等四边形， ∴， ∴， ∴， 解得：， 综上所述，的值为或或时，四边形是以为伴随三角形的双等四边形， 23．已知：如图，在矩形中，点E在边的延长线上，，连接，分别交边、对角线于点F、G，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）由矩形的性质可知，然后可证，进而问题可求证； （2）由矩形的性质可知AD∥BC，AD=BC，CD=AB，，然后可得，则有，进而可证，最后根据相似三角形的性质可求证． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴（SAS）， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：在矩形ABCD中，AD∥BC，AD=BC，CD=AB，， ∴， ∴， 由（1）可知， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定及矩形的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定及矩形的性质是解题的关键． 24．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点，对称轴与x轴交于点D，点在抛物线上． (1)求直线的解析式； (2)如图1，点G是线段的中点，将抛物线沿x轴正方向平移得到新抛物线，经过点D，的顶点为F，点Q在新抛物线的对称轴上，当为等腰三角形时，求出点Q的坐标； (3)如图2，点P是直线下方抛物线上的一点，联结、、，当面积最大时，联结、，设K、M、N分别是线段、、上的点，且，求出点P的坐标，并直接写出四边形的面积． 【答案】(1) (2)或或或 (3) 【分析】（1）先用待定系数法求出抛物线的解析式，算出点E的坐标，再用待定系数法求出直线的解析式； （2）先根据抛物线的平移求出新的抛物线的解析式，再算出点F和点G的坐标，根据等腰三角形的存在性问题的分类讨论方法求出点Q的坐标； （3）过点P作x轴的垂线交于点Q，设，则，则，先用m表示出的面积，求出当面积最大时的点P的坐标，可得是等边三角形，根据题意求出四边形与的面积比，从而求出四边形的面积． 【详解】（1）解：抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为， 令，则， ∴， 设直线的解析式为， 把点和点代入得： ，解得 ∴直线的解析式为； （2）解：∵点G是的中点，点和点 ∴， ∵， ∴原抛物线的对称轴为直线， ∴点， 设图象向右平移了h个单位， ∴平移后的抛物线的解析式为， ∵新函数图象经过点D， ∴，解得：（负值舍去） ∴平移后的抛物线的解析式为， ∴顶点坐标，平移后的抛物线的对称轴为直线， 如图所示，分三种情况求解点Q的坐标，过点G作平移后的抛物线的对称轴的垂线，垂足为点R，则点， ①当时，点Q在图中的位置，此时点与点F关于x轴对称， ∴， ②当时，点Q在图中或的位置， ， ∴，， ③当时，点Q在图中的位置， 设， ∵，，， ∴在中，， ∴，解得， ∴， 综上：点Q坐标是或或或； （3）解：如图，过点P作x轴的垂线交于点Q， 设，则，则， ， 当时，最大，此时， ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴N、K、M分别是的三等分点， 如图，连接， 设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 25．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，P是斜边AB上的一个动点（点P与点A、B不重合），以点P为圆心，PA为半径的⊙P与射线AC的另一个交点为D，射线PD交射线BC于点E． （1）如图1，若点E在线段BC的延长线上，设AP=x，CE=y， ①求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； ②当以BE为直径的圆和⊙P外切时，求AP的长； （2）设线段BE的中点为Q，射线PQ与⊙P相交于点I，若CI=AP，求AP的长． 【答案】(1)①（）,②AP=;(2)AP的长为或． 【详解】试题分析：（1）①由AP=DP得到∠PAD=∠PDA，由对顶角相等得∠PDA=∠CDE，则∠PAD=∠CDE，根据三角形相似的判定方法得到△ABC∽△DEC，则∠ABC=∠DEC，BC:CE＝DE:AB，且得到PB=PE．在Rt△ABC中根据勾股定理计算出AB=5，则PB=PE=5-x，DE=5-2x，然后利用相似比即可得到y关于x的函数关系式； ②设BE的中点为Q，连结PQ，由于PB=PE，根据等腰三角形的性质得PQ⊥BE，易得PQ∥AC，则△BPQ∽△BAC，利用相似比得到PQ=-x+4（圆心距），BQ=-x+3（⊙Q的半径），根据两圆外切的性质得到-x+4=x+(-x+3），然后解方程即可； （2）分类讨论：当点E在线段BC延长线上时，利用（1）②的结论可得IQ=PQ-PI=-x+4，CQ=BC-BQ=x，在Rt△CQI中，根据勾股定理得CI2=CQ2+IQ2=（x）2+（-x+4）2=x2-x+16，再由CI=AP得到x2-x+16=x2，解得x1=，x2=4，由于0＜x＜，由此得到AP的长为;同理当点E在线段BC上时，IQ=PI-PQ=x-4，CQ=BC-BQ=x，在Rt△CQI中，CI2=CQ2+IQ2=x2-x+16，利用CI=AP得到x2- x+16=x2，解得x1=，x2=4，由于＜x＜5，则AP的长为4，由此得到AP的长为或4． 试题解析： 解：（1）①∵AP=DP，∴∠PAD=∠PDA． ∵∠PDA=∠CDE，∴∠PAD=∠CDE． ∵∠ACB=∠DCE=90°，∴△ABC∽△DEC． ∴∠ABC=∠DEC，． ∴PB=PE． Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，∴AB=5． 又AP=x，∴PB=PE=5-x，DE=5-2x， ∴ ∴（）． ②设BE的中点为Q，联结PQ． ∵PB=PE，∴PQ⊥BE，又∵∠ABC=90°，∴PQ∥AC， ∴，∴， ∴，． 当以BE为直径的圆和⊙P外切时， ． 解得，即AP的长为． （2）如果点E在线段BC延长线上时， 由（1）②的结论可知， ． 在Rt△CQI中， ． ∵CI=AP，∴， 解得，（不合题意，舍去）． ∴AP的长为． 同理，如果点E在线段BC上时， ， ． 在Rt△CQI中，． ∵CI=AP， ∴，解得（不合题意，舍去），． ∴AP的长为4． 综上所述，AP的长为或． 考点：圆的综合题． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 11 2026年中考考前预测卷【上海卷】 数学·答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂) 一、选择题（每小题4分，共24分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 第Ⅱ卷2、 填空题（每小题4分，共48分） 7._________________ 8. _________________ 9. _________________ 10. _________________ 11. _________________ 12. _________________ 13．_________________ 14．_________________ 15. _________________ 16. _________________ 17. _________________ 18. _________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共7个小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（10分） 20.（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21. （10分） 22.（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24. （12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25. （14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026年中考考前预测卷【上海卷】 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 一===-====。==一一====。==。--== 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×1【√1[/] 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题4分，共24分）》 1[A][B][C][D] 3.A][B][C][D1 5.[A1[B][C1[D1 2[AJ[B][C][D] 4[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题4分，共48分） 8. 10 12 13. 16. 17. 18 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共7个小题，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 19.(10分) ee4m sim60+26 20.(10分) [y-2x=6 4x2+4xy+y2=4 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(10分) D 22.(10分) D D B 图1 图2 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(12分) D C 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.（12分) 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(14分) 力 D E C B 图1 B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2026年中考考前预测卷 数学·参考答案 一、选择题(本大题共6题，每题4分，共24分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 题号 1 2 3 4 5 6 答案 D D D C C B 二、填空题(本大题共12题，每题4分，共48分) 7． 8． 9． 10． 11． 12．/40度 13． 14． 15．5.4 16． 17． 18．/ 三、解答题:(本大题共7题，共78分，19-22题每题10分，23-24每题12分，25题14分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．计算：． 【答案】 解： ． 20． 【答案】，． 解：∵，∴或，解得，． 21．【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵是边上的高， ∴， ∵，， ∴ ∵， ∴； （2）解：过点E作于点F， ∵分别是边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴. 【点睛】此题考查了解直角三角形、勾股定理等知识，数形结合和准确计算是解题的关键． 22． 【答案】(1)①平行；② (2)的值为或或 【详解】（1）解：①∵，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴； ②∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：①平行；②． （2）解：过点作于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， 在中，， ∴， 解得：， ∴； ①当，，四边形是以为伴随三角形的双等四边形， ∴； ②当，，四边形是以为伴随三角形的双等四边形， ∴， 过点作于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ③当，，四边形是以为伴随三角形的双等四边形， ∴， ∴， ∴， 解得：， 综上所述，的值为或或时，四边形是以为伴随三角形的双等四边形， 23． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴（SAS）， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：在矩形ABCD中，AD∥BC，AD=BC，CD=AB，， ∴， ∴， 由（1）可知， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定及矩形的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定及矩形的性质是解题的关键． 24． 【答案】(1) (2)或或或 (3) 【详解】（1）解：抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为， 令，则， ∴， 设直线的解析式为， 把点和点代入得： ，解得 ∴直线的解析式为； （2）解：∵点G是的中点，点和点 ∴， ∵， ∴原抛物线的对称轴为直线， ∴点， 设图象向右平移了h个单位， ∴平移后的抛物线的解析式为， ∵新函数图象经过点D， ∴，解得：（负值舍去） ∴平移后的抛物线的解析式为， ∴顶点坐标，平移后的抛物线的对称轴为直线， 如图所示，分三种情况求解点Q的坐标，过点G作平移后的抛物线的对称轴的垂线，垂足为点R，则点， ①当时，点Q在图中的位置，此时点与点F关于x轴对称， ∴， ②当时，点Q在图中或的位置， ， ∴，， ③当时，点Q在图中的位置， 设， ∵，，， ∴在中，， ∴，解得， ∴， 综上：点Q坐标是或或或； （3）解：如图，过点P作x轴的垂线交于点Q， 设，则，则， ， 当时，最大，此时， ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴N、K、M分别是的三等分点， 如图，连接， 设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 25． 【答案】(1)①（）,②AP=;(2)AP的长为或． 【详解】试题分析：（1）①由AP=DP得到∠PAD=∠PDA，由对顶角相等得∠PDA=∠CDE，则∠PAD=∠CDE，根据三角形相似的判定方法得到△ABC∽△DEC，则∠ABC=∠DEC，BC:CE＝DE:AB，且得到PB=PE．在Rt△ABC中根据勾股定理计算出AB=5，则PB=PE=5-x，DE=5-2x，然后利用相似比即可得到y关于x的函数关系式； ②设BE的中点为Q，连结PQ，由于PB=PE，根据等腰三角形的性质得PQ⊥BE，易得PQ∥AC，则△BPQ∽△BAC，利用相似比得到PQ=-x+4（圆心距），BQ=-x+3（⊙Q的半径），根据两圆外切的性质得到-x+4=x+(-x+3），然后解方程即可； （2）分类讨论：当点E在线段BC延长线上时，利用（1）②的结论可得IQ=PQ-PI=-x+4，CQ=BC-BQ=x，在Rt△CQI中，根据勾股定理得CI2=CQ2+IQ2=（x）2+（-x+4）2=x2-x+16，再由CI=AP得到x2-x+16=x2，解得x1=，x2=4，由于0＜x＜，由此得到AP的长为;同理当点E在线段BC上时，IQ=PI-PQ=x-4，CQ=BC-BQ=x，在Rt△CQI中，CI2=CQ2+IQ2=x2-x+16，利用CI=AP得到x2- x+16=x2，解得x1=，x2=4，由于＜x＜5，则AP的长为4，由此得到AP的长为或4． 试题解析： 解：（1）①∵AP=DP，∴∠PAD=∠PDA． ∵∠PDA=∠CDE，∴∠PAD=∠CDE． ∵∠ACB=∠DCE=90°，∴△ABC∽△DEC． ∴∠ABC=∠DEC，． ∴PB=PE． Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，∴AB=5． 又AP=x，∴PB=PE=5-x，DE=5-2x， ∴ ∴（）． ②设BE的中点为Q，联结PQ． ∵PB=PE，∴PQ⊥BE，又∵∠ABC=90°，∴PQ∥AC， ∴，∴， ∴，． 当以BE为直径的圆和⊙P外切时， ． 解得，即AP的长为． （2）如果点E在线段BC延长线上时， 由（1）②的结论可知， ． 在Rt△CQI中， ． ∵CI=AP，∴， 解得，（不合题意，舍去）． ∴AP的长为． 同理，如果点E在线段BC上时， ， ． 在Rt△CQI中，． ∵CI=AP， ∴，解得（不合题意，舍去），． ∴AP的长为4． 综上所述，AP的长为或． 考点：圆的综合题． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考考前预测卷 数学 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题(本大题共6题，每题4分，共24分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．一次函数（k为常数，且）的图象不经过第三象限．若点N在该一次函数的图象上，则点N的坐标不可能为（    ） A． B． C． D． 3．已知一元二次方程有一个根是1，则另一个根是（   ） A． B．2 C．1 D．0 4．一次数学测试，某小组5名同学的成绩统计如下（有两个数据被遮盖）： 甲 乙 丙 丁 戊 平均成绩 众数 成绩/分 81 76 ■ 80 83 80 ■ 则被遮盖的两个数据依次是（   ） A．80，82 B．81，82 C．80，80 D．81，80 5．如图，在中，，，，三点均在圆上，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．将直角三角板按如图位置摆放，顶点B落在直线上，顶点A落在直线上，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题(本大题共12题，每题4分，共48分) 7．因式分解：_________． 8．方程的解为________． 9．已知关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围为_____． 10．用三张面积为的正方形地毯，按如图方式重叠放在桌面上，如果它们盖住地面的总面积是，图中两个阴影部分的面积的和是，那么这三张地毯共同重叠部分的面积是______（用含a，b，c的代数式表示）． 11．已知直线与直线的交点在轴上，则的值是________． 12．如图，在中，，，点是内一点，且，，则的度数为_______． 13．已知向量与单位向量方向相反，且，那么________．（用向量的式子表示） 14．在如图所示的电路中，随机闭合开关、、中的两个，能同时点亮灯泡、的概率为_____． 15．某市为了了解九年级学生的身体素质情况，随机抽取了500名九年级学生进行检测，身体素质达标率为，请你估计该市6万名九年级学生中，身体素质达标的大约有 _______________万人． 16．如图是二次函数的图象，若关于的方程总有一正一负两个实数根，则的取值范围是_____________． 17．大自然中有许多小动物都是“小数学家”，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形，一个巢房的横截面为正六边形（如图），正六边形内接于于点，且，则这个正六边形的边长是___________． 18．在如图所示的三角形纸片中，，，．将三角形纸片进行以下操作：折叠三角形纸片使点C与点A重合，然后展开铺平，得到折痕；将绕点D顺时针方向旋转得到，点E，C的对应点分别是点F，G，直线与边交于点H，当直线经过点B时，的长为________． 三、解答题:(本大题共7题，共78分，19-22题每题10分，23-24每题12分，25题14分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．计算：． 20．解方程： ． 21．如图，分别是边上的高和中线，已知，，． (1)求的长； (2)求的值． 22．【探索发现】如图1，小军用两个大小不同的等腰直角三角板拼接成一个四边形． 【抽象定义】以等腰三角形的一腰为边向外作等腰三角形，使该边所对的角等于原等腰三角形的顶角，此时该四边形称为“双等四边形”，原等腰三角形称为四边形的“伴随三角形”．如图2，在中，，，．此时，四边形是“双等四边形”，是“伴随三角形”． (1)【问题解决】如图3，在四边形中，，，．求： ①与的位置关系为：_________； ②________．（填“>”，“<”或“=”） (2)【方法应用】如图，在等腰三角形中，，，，在平面内找一点，使四边形是以为伴随三角形的双等四边形，请直接写出的长． 23．已知：如图，在矩形中，点E在边的延长线上，，连接，分别交边、对角线于点F、G，． (1)求证：； (2)求证：． 24．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点，对称轴与x轴交于点D，点在抛物线上． (1)求直线的解析式； (2)如图1，点G是线段的中点，将抛物线沿x轴正方向平移得到新抛物线，经过点D，的顶点为F，点Q在新抛物线的对称轴上，当为等腰三角形时，求出点Q的坐标； (3)如图2，点P是直线下方抛物线上的一点，联结、、，当面积最大时，联结、，设K、M、N分别是线段、、上的点，且，求出点P的坐标，并直接写出四边形的面积． 25．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，P是斜边AB上的一个动点（点P与点A、B不重合），以点P为圆心，PA为半径的⊙P与射线AC的另一个交点为D，射线PD交射线BC于点E． （1）如图1，若点E在线段BC的延长线上，设AP=x，CE=y， ①求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； ②当以BE为直径的圆和⊙P外切时，求AP的长； （2）设线段BE的中点为Q，射线PQ与⊙P相交于点I，若CI=AP，求AP的长． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $