4.5 垂线 2教学课件2025-2026学年湘教版数学七年级下册

该初中数学课件聚焦“垂线（2）：垂线段与点到直线的距离”，通过“过直线外一点画相交线和垂线”的问题链导入，引导学生从“无数条相交线”到“1条垂线”的认知进阶，构建从操作探究到性质归纳的学习支架。 其亮点在于融合动手作图（“放靠移画”四步法）、生活情境（羊喝水选最短路径）和分层例题（基础作图到三角形距离计算），以几何直观引导观察现实世界，用推理意识推导“垂线段最短”性质，借应用意识解决水泵房选址等实际问题。课堂小结结构化梳理知识，助力学生建立知识网络，教师可通过此资料提升教学的直观性与实效性。

4.5 垂 线（2） 垂线段与点到直线的距离 情景引入 过直线外一点与已知直线的相交线可以画几条呢？ 无数条 过直线外一点作已知直线的垂线可以作几条呢？ 1条 ？ 过直线外一点作已知直线的垂线可以作几条呢？ 新课讲授 1条 ？ ！ 过直线外一点作已知直线的垂线有且只有一条 这不全面 过一点作已知直线的垂线可以作几条呢？ 新课讲授 点在直线上 点在直线外 过这一点任意画一条直线都与已知直线相交 一条！ 我们一起动手来画一画如图，已知直线 l,作l的垂线. l A O 1.放 2.靠 3.画 这样画l的垂线可以画几条？ 无数条 新课讲授 如图，已知直线 l 和l上的一点A ,作l的垂线. 这样画l的垂线可以画几条？ 一条 1.放 2.靠 3.移 4.画 l A B 新课讲授 如图，已知直线 l 和l外的一点A ,作l的垂线. 1.放 2.靠 3.移 4.画 B A l 根据以上操作，你能得出什么结论? 这样画l的垂线可以画几条？ 一条 新课讲授 知识要点 由此我们得到， 垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 注意： 1.“过一点”中的点，可以在已知直线上，也可以在已知直线外； 2.“有且只有”中，“有”指存在，“只有”指唯一性. 1.如图，分别画出点A到BC的垂线，并量出点A到BC的距离. 例题讲解 点到直线的距离 如图，有一只羊在P点，现在它很渴想去河边喝水. 1.图中有五条路，这只羊会选择图中哪条路呢？ 2.你能用一句话表示这个结论吗？ l P A C O D B 新课讲授 解：1.很明显这只羊会选择线段PO，因为这条路最短. 2.从直线外一点到已知直线，沿着垂线走最短. 由此我们得到， 直线外一点与直线上各点连接的线段中，垂线段最短. 简单说成：垂线段最短. 知识要点 特别规定： 线段PO的长度叫做点P到直线l的距离. l P O 即：从直线外一点到这条直线的垂线段长度，叫做点到直线的距离. 2. ①你能量出图中点P到直线AB的距离吗？ 例题讲解 ②．如图，某单位要在河岸l 上建一个水泵房引水到C处，问建在哪个位置才最节省水管？为什么？ 答： 过点C作l 的垂线， 设D为垂足， 水泵房应建在D处， 因为垂线段最短. D 例题讲解 例题讲解 3.如图，在三角形ABC中，∠ABC = 90°， AB = 5， BC = 12， AC = 13. 求：（1）点A到直线BC的距离； （2）点B到直线AC的距离. （1）点A到直线BC的距离； 解：∵∠ABC = 90°， ∴AB⊥BC，B为垂足. ∴线段AB即为点A到直线BC的垂线段. ∵AB = 5， ∴点A到直线BC的距离为5. （2）点B到直线AC的距离. 解：∵BD⊥AC，垂足为D， ∴线段BD的长度即为点B到直线AC的距离. ∵三角形面积＝ ∴ ∴点B到直线AC的距离为 过点B作AC的垂线，如图所示 1.如图，如果直线OD⊥直线a，直线OM⊥直线a，那么OM与ON重合，其理由是 . 2.如图，三角形ABC中，∠C=90°，AC=3，点P是边BC上的动点，则AP的长不可能是（ ） A.2.5 B.3 C.4 D.5 3.下列说法正确的有（ ） ①在平面内，过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线； ②在平面内，过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线； ③在平面内，过一点任意画一条直线垂直于已知直线; ④在平面内，有且只有一条直线垂直于已知直线. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. A B 4.已知直线AB，CB，l在同一平面内，若AB⊥l，垂足为B， CB⊥l，垂足也为B，则符合题意的图形可以是（ ） 5.下列说法正确的是（ ） A.线段AB叫做点B到直线AC的距离 B.线段AB的长度叫做点A到直线AC的距离 C.线段BD的长度叫做点D到直线BC的距离 D.线段BD的长度叫做点B到直线AC的距离 C D 6.如图所示，火车站、码头分别位于A、B两点，直线a和b分别表示铁路与河流. （1）从火车站到码头怎样走最近，画图并说明理由； （2）从码头到铁路怎样走最近，画图并说明理由. 火车站 码头 两点之间，线段最短 垂线段最短 课堂即练 1. 如图，在直角三角形ABC中，∠A=90°，AB= 3cm， AC=4cm，BC=5cm，求点A到BC的距离，点C到AB的距离. (2)因为∠BAC = 90°， 所以BA⊥AC，A为垂足. 所以线段AC即为点C到直线AB的垂线段. 因为AC = 4， 所以点C到直线AB的距离为4. D 解:(1)作AD⊥BC，垂足为D， 所以线段AD的长度即为点A到直线BC的距离. 因为 所以 所以点A到直线BC的距离为 提升训练 如图，平原上有A，B，C，D 四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备修建一个蓄水池. （1）不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池H 点的位置，使它到四个村庄距离之和最小； （2）计划把河水引入蓄水池 H 中，怎样开渠最短并说明根据. 解：（1）∵两点之间线段最短， ∴连接AD，BC 交于 H ，则 H 为蓄水池位置，它到四个村庄距离之和最小. H （2）过 H 作 HG⊥EF ，垂足为 G . “过直线外一点与直线各点的连线中，垂线段最短”是把河水引入蓄水池 H 中开渠最短的根据. H G 课堂小结 这节课你的收获是什么？ $