4.5 垂线 课件 2025-2026学年湘教版七年级数学下册

第4章 平面内的两条直线 4.5 垂线 1 第4章 平面内的两条直线 课堂小结 获取新知 随堂演练 情景引入 例题讲解 4.5 第1课时 垂线 2 画框的边线，十字路口两条笔直的街道，屋架的横梁与支撑梁等都相交成多少度的角？ 情景引入 同一平面内的两条直线相交所成的四个角中，若有一个角是直角(90°)（此时可知其余三个角也是直角），则称这两条直线互相垂直，其中一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足. b a O 垂直的定义 用字母和“⊥ ”表示垂直. 垂直的表示： 如图，a、b互相垂直， 垂足为O，则记为： a⊥b或b⊥a. 若要强调垂足，则记为：a⊥b， 垂足为O. 如图，a、b互相垂直，O叫做垂足. a叫做b的垂线，b也叫做a的垂线. 读做“a垂直于b”或“b垂直于a” 获取新知 归纳总结 垂直定义的理解 (1)由两直线垂直可得其夹角为90°; (2)由两直线的夹角为90°,可得两直线互相垂直. 在相交线的模型中，固定木条a，转动木条b，当b的位置变化时，a、b所成的角α也会发生变化. 当α =90°时，a与b垂直. 当α ≠90°时，a与b不垂直，叫斜交. 两条直线相交 斜交 垂直 垂直是相交的特殊情况. ) α a b b b b b ) α b a O α 斜线定义：两条直线相交不成直角时，其中一条直线叫做另一条直线的斜线，它们的交点叫做斜足． 从垂直的定义可知，判断两条直线互相垂直的关键是： 只要找到两条直线相交时四个交角中一个角是直角. 例如：若∠α=90°，则a⊥b，垂足为O点. 如图，直线CD是AB的斜线，同样，直线AB也是CD的斜线，点O是斜足. 日常生活中，两条直线互相垂直的情形很常见，说出图中的一些互相垂直的线条. 你能再举出其他例子吗？ 做一做 生活中的垂直 问题1 如图，在同一平面内，如果直线a⊥l, b⊥l，那么a//b吗？ l a b 1 2 解：a∥b. 因为直线a⊥l, b⊥l， 所以∠1＝∠2＝90°， 所以a∥b.（同位角相等，两直线平行） 垂线的性质1 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行. 归纳总结 Administrator (A) - 垂线的这两条性质并没有直接应用于逻辑推理中，只作为结论了解即可. 问题2 如图，在同一平面内，如果a//b，l⊥a，那么l⊥b吗？ l a b 1 2 解：l⊥b. 因为l⊥a， 所以∠1＝90°， 因为a//b，所以∠2＝∠1＝90°， （两直线平行，同位角相等） 从而l⊥b. 在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么这条直线垂直于另一条. 垂线的性质2 归纳总结 Administrator (A) - 判断两条直线垂直最基本的方法就是说明这两条直线的夹角等于90°. Administrator (A) - 垂线的两条性质中，不要遗漏条件“在同一平面内”，以保证定理的精确性．对于垂线的概念和性质，要让学生理解记忆 【例1】 在如图所示的简易屋架中，BD，AE，HF都垂直于CG，若∠1=60°，求∠2的度数. 解：因为BD，AE都垂直于CG， 所以 ∠BDC=∠AEC=90. 所以 BD∥AE(同位角相等，两直线平行). 从而 ∠2=∠1=60°(两直线平行，同位角相等). 例题讲解 【例2】 如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，∠1=∠2，求∠BEF的度数. 解：因为CD⊥AB， 所以∠BDC=90°. 又因为∠1=∠2， 所以DC∥EF ( ). 所以∠BEF=∠BDC=90° ( ). 同位角相等，两直线平行 两直线平行，同位角相等 1、如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD, ∠BOE＝60°， 求∠AOC的度数． A B C D E O 解:因为 EO⊥CD， 所以∠EOD=90°， 又∠BOE+∠BOD＝∠EOD＝90°， 所以∠BOD＝90°－∠BOE＝90°－60°＝30°. 又 ∠AOC＝∠BOD ， 所以 ∠AOC＝30°. 随堂演练 2.如图，AB⊥AD,CD⊥DA，∠B＝56°，求∠C的度数. 解: 因为AB⊥AD, CD⊥AD, 所以DC∥AB. 所以∠B+∠C=180°, 所以∠C=180°－∠B=180°－56°=124°. A B C D 垂线 垂线的定义 两条直线相交所成的四个角中,有一个角是直角时,这两条直线叫做互相垂直.其中一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足.  垂线的性质与判定 1.在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线平行. 2.在同一平面内,如果一条直线垂直于两条平行线中的一条,那么这条直线平行于另一条.   课堂小结 第4章 平面内的两条直线 课堂小结 获取新知 随堂演练 知识回顾 例题讲解 4.5 第2课时 垂线的性质与点到直线的距离 1．掌握垂线的基本事实：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；(重点) 2．理解垂线段最短的性质及点到直线的距离的概念．(重点、难点) 17 回顾上节课学的垂线的定义. 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角(90°)时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足. 知识回顾 用三角尺或量角器过一点P画已知直线 l 的垂线. （1）经过直线l上一点P画l的垂线a； a （2）经过直线l外一点P画l的垂线b. b 这样的直线分别可以画出几条呢？ 有且只有一条. 获取新知 a b 思考：这样的直线分别可以画出几条呢？ 有且只有一条. 假如过点P还有一条直线 c⊥l，则c∥a(或c∥b)，但是c与a(或b)有公共点P，这是不可能的. 理 由 我们有如下基本事实： 思考： 去掉条件“在同一平面内”,这个性质还正确吗?你能举出反例说明吗? 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 思考：如果直线PC与PD都与l垂直，那么PC与PD的位置关系怎样？ 重合 归纳总结 P A B D l G 如图，设PO 垂直于直线m，O为垂足，线段PO 叫做点P到直线 l 的垂线段． 经过点P的其他直线交l于A，B，C，D， …，线段PA，PB，PC，PD，…都不是垂线段，称为斜线段． O C E F 概念认知 线段PA，PB，PC，PD ， …，PO中，哪条线段最短？ 用圆规比较垂线段PO和斜线段PA，PB，PC，…，PD 的长度 可知垂线段PO最短． P A B D l G O C E F 想一想 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短. 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离. 简单说成：垂线段最短． 归纳总结 由上可知： Administrator (A) - 垂线段与点到直线的距离是两个不同的概念，垂线段是一条线段，而点到直线的距离是垂线段的长度． 1、你能量出图中点P到直线AB的距离吗？ 答：PO的长度就是点P到AB的距离. O 做一做 Administrator (A) - 与垂线段有关的作图，一般是过一点作已知直线的垂线，作图的依据是“垂线段最短”． 2、如图，某单位要在河岸l上建一个水泵房引水到C处，问建在哪个位置才最节省水管？为什么？ 答：过C作l的垂线，设D为垂足，水泵房应建在D处. 因为垂线段最短. D 做一做 我们可以把点到直线的距离转化为点到点的距离. 【例1】如图，在三角形ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，垂足为D，AB=5，BC=12，AC=13. 求：(1)点A到直线BC的距离； (2)点B到直线AC的距离． （1）解：因为∠ABC=90°， 所以AB⊥BC． 所以线段AB即为点A到直线BC的垂线段. 因为AB=5， 所以点A到直线BC的距离为5． 例题讲解 (2)解：因为BD⊥AC， 所以线段BD的长度即为点B到直线AC的距离． 所以点B到直线AC的距离为 . 【例1】如图，在三角形ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，垂足为D，AB=5，BC=12，AC=13. 求：(1)点A到直线BC的距离； (2)点B到直线AC的距离． 如图，在直角三角形ABC中，∠A=90°，AB= 3，AC=4，BC=5，求点A到BC的距离，点C到AB的距离. 随堂演练 解:(1)作AD⊥BC，垂足为D， 所以线段AD的长度即为点A到直线BC的距离. 所以点A到直线BC的距离为 (2)因为∠BAC = 90°， 所以BA⊥AC，A为垂足. 所以线段AC即为点C到直线AB的垂线段. 因为AC = 4， 所以点C到直线AB的距离为4. 2. 某公园的4条纵横交错的人行道和一喷泉的示意图如图所示（比例尺为1: 5000），其中直线a，b，c，d表示人行道，点P表示喷泉，量出点P到4条直线的距离，并求出其实际距离. 解：略（实际距离=测量距离×5000，根据上述公式自行计算）． 3. 如图，体育课上应该怎样测量同学们的跳远成绩？ 答：量绳的一端放在“落足点”, 拉直与起跳板垂直. 课堂小结 垂线的性质： ①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 ②直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短. $