精品解析：北京市育英中学2025-2026学年度第二学期（1-4班）期中考试试题高一数学

北京市育英中学2025-2026学年度第二学期（1-4班）期中考试试题高一数学 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据诱导公式即可得结果. 【详解】. 2. 在半径为5的圆中，的圆心角所对弧长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】弧长公式,已知,, 代入得弧长. 3. 下列函数中，既是偶函数又是周期为的函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由函数的奇偶性与周期性判断即可. 【详解】是偶函数，但不是周期函数，故A错误； 是偶函数，最小正周期为，故B错误； 是偶函数，最小正周期为，故C正确； 是奇函数，最小正周期为，故D错误. 故选：C 4. 若四边形ABCD是正方形，E是DC边的中点，且，则等于(　 　) A. b＋a B. b－a C. a＋b D. a－b 【答案】B 【解析】 【详解】 ∵四边形ABCD为正方形，E为CD边的中点， . 又因为. 所以. 故选B. 5. 已知函数的部分图象如图所示，则的解析式为（） A. ， B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】①求振幅：由图象可知，函数的最大值为，最小值为，且，故. ②求周期与：图象中，点到对称轴的水平距离为，该距离为个周期，故，得，由，所以，得. ③求：此时，将点代入，得，即. 又，故，解得. 综上所述，. 6. 下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】A：，A错， B：，B错， C：，C对， D：，D错. 7. 设，，则“”是“，”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由可得或，再由充分条件和必要条件的定义求解即可. 【详解】由可知，或，， 所以“”是“，”的必要不充分条件． 故选：B． 8. 蜂巢的精密结构是通过优胜劣汰的进化自然形成的，若不计蜂巢壁的厚度.蜂巢的横截面可以看成正六边形网格图，如图所示.设P为图中7个正六边形（边长为1）内部或边界上点，A，B为两个固定顶点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图建立平面直角坐标系，根据数量积的坐标运算，当点P与点E或点F重合时，可得最小值，当点P与点G或点H重合时，可得最大值. 【详解】如图建立平面直角坐标系，则， 设，则， 所以，由于， 所以当点P与点E或点F重合时，最小，最小值为， 当点P与点G或点H重合时，最大，最大值为， 所以. 故选：A. 9. 已知函数，其图象如图所示.为得到函数的图象，只需先将函数图象上各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再（ ） A. 向右平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向左平移个单位 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数图象特征，结合周期的变化和点的对应变化关系即可得到函数图象的平移方法. 【详解】函数，其图象如图所示， 可见的周期为的周期为，且图象上的点， 在的图象上对应，为得到函数的图象， 只需先将函数图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）， 平移后的图象依然过 所以再向右平移个单位，即可得到. 故选：A. 【点睛】此题考查函数平移，根据函数图象特征，描述函数的变化过程，需要熟练掌握函数的相关性质. 10. 已知函数，若在区间上单调，且，则的值为（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由函数两点函数值相等求出一条对称轴，由两点函数值互为相反数求出一个对称中心，结合给定区间上函数单调，推得对称轴与对称中心相邻，利用二者间距为求出周期，再结合周期公式算出，最后验证区间长度符合单调要求，求得的值. 【详解】由，得的一条对称轴为. 由，得的一个对称中心为. 正弦函数单调区间长度不超过，函数在区间上单调，且函数一t条对称轴为、一个对称中心为. 因此二者必须是相邻的对称轴与对称中心，故对称轴与对称中心必相邻. 相邻的对称轴与对称中心的水平距离为，即，得，所以. 又，故. 验证:时，区间长度为，满足单调条件. 综上所述，. 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．将答案填在题中横线上．） 11. 函数的定义域为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】由，可求函数的定义域. 【详解】由，得， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 12. 向量和的夹角为，且，，则等于___________． 【答案】 【解析】 【详解】, 由,（为与夹角）, 代入,,, 原式. 13. 已知角的终边经过点，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】由三角函数的定义即可知和. 【详解】角的终边过点， ，， ， ， 故答案为：. 14. 中，，则的最小值为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】分析得到为的中点，⊥，，数形结合得到当重合时，取得最小值，求出最小值. 【详解】，故为的中点， ，故⊥，， ，故三点共线， 故当两点重合时，取得最小值，最小为. 15. 数学上的符号函数可以返回一个整型变量，用来指出参数的正负号，一般用来表示，其解析式为.已知函数，给出下列结论： ①函数的最小正周期为； ②函数的单调递增区间为； ③函数的对称中心为； ④在上函数的零点个数为4. 其中正确结论的序号是____________.（写出所有正确结论的序号） 【答案】①④ 【解析】 【分析】作出函数的图象，通过图象讨论函数周期、单调区间、对称中心和零点等问题. 【详解】函数，画出函数的部分图象，如图所示： ， 结合函数图象可知，函数的最小正周期为，结论①正确； 由，结合函数图象可知，函数的单调递增区间为，结论②错误； 结合函数图象可知，函数的对称中心为，结论③错误； 函数的零点，即方程的根，时方程不成立， 方程等价于， 函数与函数的图象在上有4个交点， 所以在上函数的零点个数为4. 结论④正确. 故答案为：①④ 【点睛】方法点睛：由符号函数的定义，把表示为分段函数，作出函数图象，函数解析式结合图象，解决函数周期、单调区间、对称中心和零点等问题. 三、解答题（本题共4小题，共45分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 16. 已知，求的值 【答案】 【解析】 【详解】. 17. 已知向量，且． （1）求满足条件的所有的值． （2）求的值． 【答案】（1）或 （2）的值为或 【解析】 【小问1详解】 已知,且, 由向量平行坐标关系得, 即, 因式分解得, 解得或. 【小问2详解】 ①当时,,, , 则. ②当时,,, , 则. 综上所述,的值为或. 18. 已知函数． （1）若，求的值； （2）在下列条件①、条件②、条件③这三个条件中，选择可以确定和的值的两个条件作为已知： 条件①：的图象过点； 条件②：的最大值与最小值之和为0； 条件③：的图象的两个相邻对称轴的距离等于； 请写出你选择的条件，并求的解析式和单调递增区间； （3）在（2）的条件下，若时，该函数有最小值无最大值．求实数的取值范围． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1） （2）若选①②，则两者求出的值不同，不合要求，舍去； 若选①③，则有，则， 若选②③，则有，则， 单调递增区间为，. （3） 【解析】 【分析】（1）根据得到方程，求出； （2）根据条件①得到，根据条件②得到，根据条件③得到，故不能选①②，若选①③，则，若选②③，则；两种情况下单调递增区间均为，. （3）选①③和②③，方法相同，先得到，分析函数性质得到，求出答案. 【小问1详解】 ，解得； 【小问2详解】 先分析条件： 条件①：过点，则，得，则. 条件②：，， 由，得，. 条件③：相邻对称轴距离为，故，，由，得. 若选①②，则两者求出的值不同，不合要求，舍去； 若选①③，则有，则， 若选②③，则有，则， 选①③和选②③求得函数单调区间一致. 令，， 解得，. 即单调递增区间为，. 【小问3详解】 若选①③，则， ，则， 时，该函数有最小值无最大值， 故，解得， 若选②③，则， ，则， 时，该函数有最小值无最大值，故， 解得. 19. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到应用．假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．如图，将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车半径为，筒车转轮的中心到水面的距离为，筒车每分钟沿逆时针方向转动3圈，规定：盛水筒M对应的点从水中浮现（即时的位置）时开始计算时间，且以水轮的圆心为坐标原点，过点的水平直线为轴建立平面直角坐标系．设盛水筒从点运动到点时所经过的时间为（单位：），且此时点距离水面的高度为（单位：m）（在水面下则为负数） （1）求与时间之间的关系． （2）求点第一次到达最高点需要的时间为多少？在转动的一个周期内，点在水中的时间是多少？ 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）根据给定信息，设出，再求出参数即可. （2）由（1）的信息，结合周期性，求出点在对应条件下，点转动的圆心角弧度即可计算得解. 【小问1详解】 依题意，设与时间t之间的关系为， 由筒车半径为，筒车转轮的中心到水面的距离为， 得点P距离水面的高度的最值为，解得， 而筒车每60s沿逆时针方向转动3圈，则周期，， 由，得，而，解得， 所以与时间之间的关系是. 【小问2详解】 依题意且，则与x轴正方向的夹角为， 结合题图，点P第一次到达最高点需要转动， 所以点第一次到达最高点所需时间为； 在转动的一个周期内，点在水中转动， 所以点在水中的时间是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市育英中学2025-2026学年度第二学期（1-4班）期中考试试题高一数学 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. （ ） A. B. C. D. 2. 在半径为5的圆中，的圆心角所对弧长为（ ） A. B. C. D. 3. 下列函数中，既是偶函数又是周期为的函数是（ ） A. B. C. D. 4. 若四边形ABCD是正方形，E是DC边的中点，且，则等于(　 　) A. b＋a B. b－a C. a＋b D. a－b 5. 已知函数的部分图象如图所示，则的解析式为（） A. ， B. C. D. 6. 下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 设，，则“”是“，”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 蜂巢的精密结构是通过优胜劣汰的进化自然形成的，若不计蜂巢壁的厚度.蜂巢的横截面可以看成正六边形网格图，如图所示.设P为图中7个正六边形（边长为1）内部或边界上点，A，B为两个固定顶点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 已知函数，其图象如图所示.为得到函数的图象，只需先将函数图象上各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再（ ） A. 向右平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向左平移个单位 10. 已知函数，若在区间上单调，且，则的值为（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．将答案填在题中横线上．） 11. 函数的定义域为_____________． 12. 向量和的夹角为，且，，则等于___________． 13. 已知角的终边经过点，则的值为________． 14. 中，，则的最小值为___________． 15. 数学上的符号函数可以返回一个整型变量，用来指出参数的正负号，一般用来表示，其解析式为.已知函数，给出下列结论： ①函数的最小正周期为； ②函数的单调递增区间为； ③函数的对称中心为； ④在上函数的零点个数为4. 其中正确结论的序号是____________.（写出所有正确结论的序号） 三、解答题（本题共4小题，共45分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 16. 已知，求的值 17. 已知向量，且． （1）求满足条件的所有的值． （2）求的值． 18. 已知函数． （1）若，求的值； （2）在下列条件①、条件②、条件③这三个条件中，选择可以确定和的值的两个条件作为已知： 条件①：的图象过点； 条件②：的最大值与最小值之和为0； 条件③：的图象的两个相邻对称轴的距离等于； 请写出你选择的条件，并求的解析式和单调递增区间； （3）在（2）的条件下，若时，该函数有最小值无最大值．求实数的取值范围． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 19. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到应用．假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．如图，将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车半径为，筒车转轮的中心到水面的距离为，筒车每分钟沿逆时针方向转动3圈，规定：盛水筒M对应的点从水中浮现（即时的位置）时开始计算时间，且以水轮的圆心为坐标原点，过点的水平直线为轴建立平面直角坐标系．设盛水筒从点运动到点时所经过的时间为（单位：），且此时点距离水面的高度为（单位：m）（在水面下则为负数） （1）求与时间之间的关系． （2）求点第一次到达最高点需要的时间为多少？在转动的一个周期内，点在水中的时间是多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $