数学（江苏泰州卷）学易金卷：2026年中考考前预测卷

**基本信息** 2026年中考数学预测卷全面覆盖代数、几何、统计核心知识，通过神舟十二、泰州早茶、研学活动等真实情境，考查抽象能力、推理意识与应用意识，适配中考命题趋势。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|6/18|倒数、因式分解、函数运算|基础概念辨析，如第5题结合半圆面积考查几何直观| |填空题|10/30|科学记数法、方差、圆锥侧面积|文化传承（《九章算术》改编）与空间观念，如第13题表望方城问题| |解答题|10/102|统计图表、解三角形、二次函数综合|跨学科应用与创新意识，如21题研学路线测量体现推理能力，26题函数平移考查模型观念|

2026年中考考前预测卷 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填： 缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ▣ 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用0.5m黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×]【1【/1 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共18分） 1[AJ[B][C][D] 3.[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 2[AJ[BJ[CJ[D] 4[AJIB][C][D] 6.[A][B][C][D] Ⅱ卷 二、填空题（每小题3分，共30分） 7. 8. 9 10. 11 12 15 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共10个小题，共102分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.(10分) 18.(10分) 人数 高度近视 00008000000200 中度近视 视力正常 15% 45% 轻度近视 1 FT--- 视力轻度中度高度 类型 正常近视近视近视 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(10分) 20.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(10分) 北 75° D 东 C Bo A 22.(10分) B 0 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(10分) F G B∠ E 24.(10分) 0 0 A 0 B 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(10分) 图1 图2 备用图 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26.(12分) X 图1 图2 备用图 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2026年中考考前预测卷 数学·参考答案 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 题号 1 2 3 4 5 6 答案 A C C B C B 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，满分30分） 7．x＞1 8．2.844×107 9．乙 10．k＞1 11．3π 12．3 13．300 14．105 15． 16．1或 三、解答题（本大题共10小题，满分102分） 17．（10分） 【解析】（1） ＝﹣4（3分） ＝﹣4 ＝﹣3；（5分） （2）， 方程可化为， 方程两边同乘x﹣2，得x﹣3+x﹣2＝﹣1， 解得x＝2，（8分） 检验：当x＝2时，x﹣2＝0，所以x＝2不是分式方程的解， 所以原分式方程无解．（10分） 18．（10分） 【解析】（1）90÷45%＝200， 故答案为：200；（3分） （2）“中度近视”的人数：200×15%＝30（人）， “高度近视”的人数：200﹣90﹣70﹣30＝10（人）， “轻度近视”对应的扇形的圆心角的度数；（7分） （3）（人）， 答：估计该校学生中近视程度为“轻度近视”的人数为1050人．（10分） 19．（10分） 【解析】（1）甲夹走一个肉馅后，剩下1个肉馅，2个秧草馅，共3个包子． 所以乙夹的包子是秧草馅的概率为，故答案为：；（3分） （2）将2个肉馅包子记为A1、A2，2个秧草馅包子记为B1、B2，列表如下： 甲 乙 结果 A1 A2 （A1，A2） A1 B1 （A1，B1） A1 B2 （A1，B2） A2 A1 （A2，A1） A2 B1 （A2，B1） A2 B2 （A2，B2） B1 A1 （B1，A1） B1 A2 （B1，A2） B1 B2 （B1，B2） B2 A1 （B2，A1） B2 A2 （B2，A2） B2 B1 （B2，B1） 共有12种等可能的结果，其中甲、乙两人各吃的2个包子的馅均为1个肉馅1个秧草馅的结果有8种． P，（8分） ∴甲、乙两人各吃的2个包子的馅均为1个肉馅1个秧草馅的概率为．（10分） 20．（10分） 【解析】（1）设每套A型储能锂电池系统的进价是万元，则每套B型储能锂电池系统的进价是（x+0.5）万元， 依题意得：， 解得：x＝1， 经检验，x＝1是原分式方程的解，且符合题意， 答：每套A型储能锂电池系统的进价是1万元；（5分） （2）设购买A型系统m套，则购买B型系统（15﹣m）套， 依题意得：m+（1+0.5）（15﹣m）≤20， 解得：m≥5． 答：购买A型系统最少5套．（10分） 21．（10分） 【解析】（1）如图，过C点作CH⊥BD于点H， 由题意得∠ECD＝75°，∠BDF＝15°，∠ACB＝30°，∠A＝90°， ∵CE∥DF， ∴∠CDF＝∠ECD＝75°， ∴∠CDB＝∠CDF﹣∠BDF＝60°，∠DCB＝180°﹣∠ECD﹣∠ACB＝75°， ∴在△BCD中，∠CBD＝180°﹣∠CDB﹣∠DCB＝45°， 在△BAC中，∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝60°， ∴∠ABD＝∠ABC+∠CBD＝105°；（5分） （2）∵在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ACB＝30°，BC＝8千米， ∴（千米）， AC＝BC•cos30°＝84（千米）， ∵在Rt△CBH中，∠CHB＝90°，∠CBH＝45°， ∴CH＝BC•sin∠CBH＝84（千米）， BH＝BC•cos∠CBH＝84（千米）， ∵在Rt△CHD中，∠CHD＝90°，∠CDH＝60°， DH， ， ∴， ∴①号线路的路程为（千米），（8分） ②号线路的路程为（千米）， ∵13.5＞12.9， ∴②号线路的路程更短．（10分） 22．（10分） 【解析】（1）把点A（2，m），B（﹣2，3m）分别代入y1和y2得， 解得3k1+k2＝0；（4分） （2）分别过点A，B作AM⊥y轴于M，BN⊥y轴于N， ∵A（2，m），B（﹣2，3m）， ∴AM＝2，OM＝m，BN＝2，ON＝3m， ∴tan∠AOC，tan∠BOC， ∵tan∠AOC+tan∠BOC， ∴， 解得m＝2， 经检验，m＝2是原方程的解， ∴m＝2， ∴A（2，2），B（﹣2，6）． 设直线AB的函数关系式为设直线AB的解析式为y＝px+q， 把A（2，2），B（﹣2，6）代入得， 解得， ∴直线AB的解析式为y＝﹣x+4；（7分） （3）设直线AB的解析式为y＝kx+b， 把A（2，m），B（﹣2，3m）代入得， 解得， 由（1）知m， ∴， ∴直线AB的解析式为yk1x+k1， 当x＝0时，yk1x+k1＝k1， ∴C（0，k1）， ∴S△AOB＝S△AOC+S△BOCk1•（2+2）＝2k1．（10分） 23．（10分） 【解答】（1）证明：∵△ABE≌△BCF，且∠ABE＝90°， ∴∠BAE＝∠CBF，∠BAE+∠AEB＝90°， ∴∠CBF+∠AEB＝90°， ∴∠BGE＝90°， ∴AE⊥BF；（3分） （2）解：如图1，点O即为所求； （6分） （3）解：如图2，连接CG，连接EF， ∵E是BC中点，△ABE≌△BCF， ∴BE＝EC＝CF， ∵∠BCF＝90°， ∴△ECF是等腰直角三角形， ∴∠EFC＝45°， ∵AE⊥BF，∠BCF＝90°， ∴∠FGE＝∠BCF＝90°， ∴G、E、C、F四点共圆， ∴∠FGC＝∠FEC＝45°， ∴∠AGC＝180°﹣45°＝135°．（10分） 24．（10分） 【解答】（1）证明：如图1，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝4，连接OB， ∴AB＝BC＝CD＝AD，∠C＝∠A＝60°， ∴△ABD，△BCD是等边三角形， ∴∠ABD＝∠CBD＝60°， ∵⊙O是△ABD的外接圆， ∴OB垂直平分AD， ∴， ∴∠CBO＝∠OBD+∠CBD＝90°， ∴OB⊥BC， ∵OB是⊙O的半径， ∴CB是⊙O的切线；（3分） （2）解：如图2，连接OD，OE，OB，设OE交BD于点F， 由（1）得：△ABD是等边三角形，AB＝4， ∴BD＝AB＝4， ∵E是中点， ∴，， ∴， ∵∠A＝60°， ∴∠BOD＝2∠A＝120°， ∴∠BOE＝60°， ∴， ∴， ∴， ∴图中阴影部分面积为；（6分） （3）解：如图3，四边形ABED是⊙O的内接四边形，∠A＝60°，过点M作MH⊥CD于点H， ∴∠BED＝180°﹣∠A＝120°， ∴∠DEN＝∠BEM＝60°， ∵∠C＝60°， ∴∠C＝∠BEM， ∵∠EBM＝∠CBN， ∴△BEM∽△BCN， ∴∠BME＝∠BNC， 在△BCN和△DBM中， ， ∴△BCN≌△DBM（AAS）， ∴CN＝BM＝3， 在Rt△CMH中，∠C＝60°，CM＝BC﹣BM＝1， ∴，， ∴， 在直角三角形MNH中，由勾股定理得：．（10分） 25．（10分） 【解析】（1）结论：BD＝CE． 理由：∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC，∠BAC＝60°． 根据题意，AD＝AE，∠DAE＝60°． 在△ABD和△ACE中，AB＝AC，∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD＝∠CAE，AD＝AE， ∴△ABD≌△ACE（SAS）． ∴BD＝CE．（3分） （2）点D为AC中点时的图形如下： 根据旋转的性质，AD＝AE，∠DAE＝60°，则△ADE是等边三角形． ∴∠ADE＝∠BAC＝60°， ∴DE∥AB， ∵点D为AC中点， ∴点G为线段BC中点． ∵AB＝AC， ∴AG⊥BC， ∴∠AGB＝90°．（6分） （3）当点D在AB右侧时，连接AG．如图， 根据旋转的性质易得△ADE为等边三角形，∠AEC＝60°， 又∵△ABC为等边三角形，∠ACG＝∠AEC＝60°， ∴AECG四点共圆， ∴∠AGB＝∠AEC． 由（1）知△ABD≌△ACE，∠ADB＝∠AEC． ∴∠ADB＝∠AGB． 当点D在AB左侧时，如图， 同理可得∠ADG＝∠ABG＝60°， ∴AECG四点共圆， ∴∠ADB+∠AGB＝180°． 故∠ADB＝∠AGB或∠ADB+∠AGB＝180°．（10分） 26．（12分） 【解析】（1）①点A（x0，p），B（3，q）在抛物线G1：y＝x2+bx+c上，x0＝1，p＝q， ∴A（1，p），B（3，p）， 依题意得：， 解得：b＝﹣4；（4分） ②MN的长为定值；理由如下： 由①得，抛物线G1：y＝x2﹣4x+c， 过点P的直线y＝x+m与抛物线G1的另一个交点为M，设P（xP，xP+m），M（xM，xM+m），N（xN，xN+m）， 联立得：， 整理得：x2﹣5x+c﹣m＝0， ∴xP+xM＝5， 直线y＝x+m与抛物线G2的另一个交点为N， 联立得：， 整理得：x2﹣9x+c1﹣m＝0， ∴xP+xN＝9， ∴xN﹣xM＝（xP+xN）﹣（xP+xM）＝9﹣5＝4， ∵M（xM，xM+m），N（xN，xN+m）， ∴ ＝2×42 ＝32， ∴， ∴MN的长为定值；（6分） （2）∵点A（x0，p），B（3，q）在抛物线G1：y＝x2+bx+c上，且p＞q， ∴， ∴， ∵对于，都有p＞q， ∴对于，都有，（8分） 设y′＝x2+bx﹣3b﹣9，则函数y′图象开口向上，对称轴为直线， ∵， ∴当时，y′随着x的增大而减小， ∴当时，y′≥0， ∴， 解得：﹣8≤b≤﹣4， ∴b的取值范围为﹣8≤b≤﹣4．（12分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $2026年中考考前预测卷 数学·答题卡 日 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 ==▣===-====。。=-。====-。一=▣。■ 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×][1【/1 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共18分）》 1[A][B][C][D] 3.A][B][C][D1 5.[A1[B][C1[D1 2.[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 6.[A1[B][CJ[D1 Ⅱ卷 二、填空题（每小题3分，共30分） 7. 8. 10 11 1 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共10个小题，共102分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17.(10分) 18.(10分) 人数 高度近视 100 、 90 中度近视 000105050400200 70 视力正常 /15% ----------- 45% 如=-。====== 轻度近视 -1-“i--- 视力轻度中度高度 类型 正常近视近视近视 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(10分) 20.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(10分) 北 75 D 个 东 B0 B 22.(10分) B o 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(10分) 24.(10分) D 0。 0 M B B 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(10分) 图1 图2 备用图 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26.(12分) B 图1 图2 备用图 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年中考考前预测卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，选择正确选项的字母代号涂在答题卡相应的位置上） 1．下列互为倒数的是（　　） A．3和 B．﹣2和2 C．3和 D．﹣2和 2．下列各式中，不能用平方差公式分解因式的是（　　） A．y2﹣49 B． C．﹣m4﹣n4 D． 3．如图，已知矩形ABCD的顶点A，D分别落在x轴，y轴上，OD＝2OA＝12，AD＝3AB，则点C的坐标是（　　） A．（6，14） B．（4，16） C．（4，14） D．（6，16） 4．下列计算正确的是（　　） A．a10÷a2＝a5 B．（a2）5＝a10 C．a6⋅a2＝a12 D．5a+2b＝7ab 5．如图，大半圆O的弦AB与小半圆O1交于E、F，且AB∥CD．则已知下列哪两条线段的长度可以求出阴影部分的面积（　　） A．AE、BF B．AF、BE C．AB、EF D．CO1、OD 6．直线y1＝m与二次函数的图象的交点坐标分别为（x1，m）、（x2，m），且x1＜x2.同时直线y1＝m与一次函数y3＝kx+1﹣k（k≠0）图象的交点坐标为（x3，m）．以下说法正确的是（　　） A．m≥﹣1 B．若x1+x2＝2x3，则m＝1 C．若x1+x2＞2x3，则m＞1 D．若x1+x2＜2x3，则m＞1 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，满分30分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7．函数中自变量x的取值范围是　 　 ． 8．神舟十二飞船的飞行速度每小时约为28440000米，这个数字用科学记数法表示为　 　 ． 9．甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数x（单位：环）及方差S2（单位：环2）如表所示： 甲 乙 丙 丁 9.6 9.6 9.4 9.4 S2 1.6 0.8 3 0.8 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择 　 　 ． 10．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0无实数根，则k的取值范围是　 　 ． 11．一圆锥的母线长为3，底面半径为1，则该圆锥的侧面积为　 　 ． 12．点A（m，n）是函数y＝﹣4x+2和图象的交点，则代数式4m+n﹣mn＝　 　 ． 13．小明对《九章算术》中的“表望方城”问题进行了改编：如图，一座正方形城堡在正北和正西城墙的正中间各开一门，出北门100步有一棵大树，出西门225步后刚好看到北门外的这棵大树，则该城堡的边长为 　 　 步． 14．已知：如图，四边形ABCD是正方形，O是其中心，以OC为边作一个正六边形，则α的度数是　 　 °． 15．如图，在3×4的正方形网格中，A、B、C为格点，连接AB交格线于点D，连接CD，交过点A的水平格线于点E．若小正方形边长为1，则CE＝ 　 　 ． 16．在正方形ABCD中，AB＝4，E为边AB上一点，将△ADE沿DE翻折，点A落在点F处，连接DF并延长交射线CB于点G，连接EG．若△EFG和△EBG全等，则BG＝ 　 　 ． 三、解答题（本大题共10小题，满分102分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分） （1）计算：；（2）解方程：． 18．（10分）近年来，“青少年视力健康”受到社会的广泛关注．某校综合实践小组为了解该校学生的视力健康状况，从全校学生中随机抽取部分学生进行视力调查．根据调查结果和视力有关标准，绘制了两幅不完整的统计图．请根据图中信息解答下列问题： （1）本次抽样调查的样本容量为　 　 ； （2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中“轻度近视”对应的扇形的圆心角的度数； （3）该校共有学生3000人，请估计该校学生中近视程度为“轻度近视”的人数． 19．（10分）泰州是个好地方，素有“早上皮包水，晚上水包皮”生活习惯，泰州早茶更是闻名遐迩，某天甲、乙两人来泰州旅游，到某茶社吃早茶，他们点一笼杂笼包子，共4个，外形、大小均相同，只是其中的馅不同，2个是肉馅，另2个是秧草馅， （1）若甲先用筷子随机夹了1个，咬开后发现是肉馅的，随后乙用筷子在剩下的3个中随机夹1个，则乙夹的包子是秧草馅的概率为　 　 ； （2）请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两人各吃的2个包子的馅均为1个肉馅1个秧草馅的概率． 20．（10分）某公司计划采购A型和B型储能锂电池系统．已知每套B型的进价比每套A型的进价多0.5万元，用6万元购进A型的数量与用9万元购进B型的数量相等． （1）求每套A型储能锂电池系统的进价； （2）该公司计划采购这两种系统共15套，总费用不超过20万元，则购买A型系统最少多少套？ 21．（10分）近期，我市各学校积极开展“行走的思政课”活动，让思政课从“书本本”走向“心窝窝”．某校精心挑选两条研学线路供选择：如图，①号线路A﹣C﹣D；②号线路A﹣B﹣D．经勘测，C在A的正北方向，B在A正东方向且在D南偏西15°方向，同时B在C南偏东30°方向，D在C北偏东75°方向，B、C两地相距8千米． （1）求∠ABD的度数； （2）请通过计算说明①、②两条线路中哪条线路路程更短？（参考数据：） 22．（10分）如图，点A（2，m），B（﹣2，3m）分别在反比例函数y1和y2的图象上，经过点A、B的直线与y轴相交于点C． （1）求k1、k2满足的等量关系； （2）若tan∠AOC+tan∠BOC，求直线AB的函数关系式； （3）试求△ABO的面积（用k1的代数式表示）． 23．（10分）如图，△ABE≌△BCF，且∠ABE＝∠BCF＝90°，点E在BC上，AE，BF交于点G． （1）求证：AE⊥BF； （2）△BCF可由△ABE绕点O旋转而得，用尺规作图的方法，作出O点（不写作法，保留作图痕迹）； （3）当E是BC中点时，连接CG，求∠AGC的大小． 24．（10分）如图1，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝4，⊙O是△ABD的外接圆，E是上一动点，连接DE并延长交BC于M，连接BE并延长交CD于N， （1）求证：CB是⊙O的切线； （2）如图2，当E是中点时，求图中阴影部分面积； （3）当BM＝3时，求MN的长． 25．（10分）已知，如图，等边△ABC，点D是平面内一点（点D不在直线AB上），连接AD、BD．将△ABD绕点A按逆时针方向旋转60°得到△ACE，点D的对应点是点E．设直线DE与直线BC交于点G． （1）如图1，判断线段BD与线段CE的数量关系，并说明理由； （2）当点D是线段AC的中点，根据题意，在图2中画出图形，求∠AGB的度数； （3）探索∠AGB与∠ADB的数量关系，直接写出结论． 26．（12分）在平面直角坐标系xOy中，点A（x0，p），B（3，q）在抛物线G1：y＝x2+bx+c上， （1）当x0＝1，p＝q时， ①求b的值； ②将抛物线G1平移后得抛物线G2：y＝x2﹣8x+c1，设抛物线G1与抛物线G2的交点为P，过点P的直线y＝x+m与抛物线G1的另一个交点为M，与抛物线G2的另一个交点为N，问MN的长是否为定值？若MN的长为定值，请求出这个值；若MN的长不为定值，请说明理由． （2）当b＜﹣2时，若对于，都有p＞q，求b的取值范围． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考考前预测卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，选择正确选项的字母代号涂在答题卡相应的位置上） 1．下列互为倒数的是（　　） A．3和 B．﹣2和2 C．3和 D．﹣2和 2．下列各式中，不能用平方差公式分解因式的是（　　） A．y2﹣49 B． C．﹣m4﹣n4 D． 3．如图，已知矩形ABCD的顶点A，D分别落在x轴，y轴上，OD＝2OA＝12，AD＝3AB，则点C的坐标是（　　） A．（6，14） B．（4，16） C．（4，14） D．（6，16） 4．下列计算正确的是（　　） A．a10÷a2＝a5 B．（a2）5＝a10 C．a6⋅a2＝a12 D．5a+2b＝7ab 5．如图，大半圆O的弦AB与小半圆O1交于E、F，且AB∥CD．则已知下列哪两条线段的长度可以求出阴影部分的面积（　　） A．AE、BF B．AF、BE C．AB、EF D．CO1、OD 6．直线y1＝m与二次函数的图象的交点坐标分别为（x1，m）、（x2，m），且x1＜x2.同时直线y1＝m与一次函数y3＝kx+1﹣k（k≠0）图象的交点坐标为（x3，m）．以下说法正确的是（　　） A．m≥﹣1 B．若x1+x2＝2x3，则m＝1 C．若x1+x2＞2x3，则m＞1 D．若x1+x2＜2x3，则m＞1 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，满分30分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7．函数中自变量x的取值范围是　 　 ． 8．神舟十二飞船的飞行速度每小时约为28440000米，这个数字用科学记数法表示为　 　 ． 9．甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数x（单位：环）及方差S2（单位：环2）如表所示： 甲 乙 丙 丁 9.6 9.6 9.4 9.4 S2 1.6 0.8 3 0.8 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择 　 　 ． 10．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0无实数根，则k的取值范围是　 　 ． 11．一圆锥的母线长为3，底面半径为1，则该圆锥的侧面积为　 　 ． 12．点A（m，n）是函数y＝﹣4x+2和图象的交点，则代数式4m+n﹣mn＝　 　 ． 13．小明对《九章算术》中的“表望方城”问题进行了改编：如图，一座正方形城堡在正北和正西城墙的正中间各开一门，出北门100步有一棵大树，出西门225步后刚好看到北门外的这棵大树，则该城堡的边长为 　 　 步． 14．已知：如图，四边形ABCD是正方形，O是其中心，以OC为边作一个正六边形，则α的度数是　 　 °． 15．如图，在3×4的正方形网格中，A、B、C为格点，连接AB交格线于点D，连接CD，交过点A的水平格线于点E．若小正方形边长为1，则CE＝ 　 　 ． 16．在正方形ABCD中，AB＝4，E为边AB上一点，将△ADE沿DE翻折，点A落在点F处，连接DF并延长交射线CB于点G，连接EG．若△EFG和△EBG全等，则BG＝ 　 　 ． 三、解答题（本大题共10小题，满分102分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分） （1）计算：；（2）解方程：． 18．（10分）近年来，“青少年视力健康”受到社会的广泛关注．某校综合实践小组为了解该校学生的视力健康状况，从全校学生中随机抽取部分学生进行视力调查．根据调查结果和视力有关标准，绘制了两幅不完整的统计图．请根据图中信息解答下列问题： （1）本次抽样调查的样本容量为　 　 ； （2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中“轻度近视”对应的扇形的圆心角的度数； （3）该校共有学生3000人，请估计该校学生中近视程度为“轻度近视”的人数． 19．（10分）泰州是个好地方，素有“早上皮包水，晚上水包皮”生活习惯，泰州早茶更是闻名遐迩，某天甲、乙两人来泰州旅游，到某茶社吃早茶，他们点一笼杂笼包子，共4个，外形、大小均相同，只是其中的馅不同，2个是肉馅，另2个是秧草馅， （1）若甲先用筷子随机夹了1个，咬开后发现是肉馅的，随后乙用筷子在剩下的3个中随机夹1个，则乙夹的包子是秧草馅的概率为　 　 ； （2）请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两人各吃的2个包子的馅均为1个肉馅1个秧草馅的概率． 20．（10分）某公司计划采购A型和B型储能锂电池系统．已知每套B型的进价比每套A型的进价多0.5万元，用6万元购进A型的数量与用9万元购进B型的数量相等． （1）求每套A型储能锂电池系统的进价； （2）该公司计划采购这两种系统共15套，总费用不超过20万元，则购买A型系统最少多少套？ 21．（10分）近期，我市各学校积极开展“行走的思政课”活动，让思政课从“书本本”走向“心窝窝”．某校精心挑选两条研学线路供选择：如图，①号线路A﹣C﹣D；②号线路A﹣B﹣D．经勘测，C在A的正北方向，B在A正东方向且在D南偏西15°方向，同时B在C南偏东30°方向，D在C北偏东75°方向，B、C两地相距8千米． （1）求∠ABD的度数； （2）请通过计算说明①、②两条线路中哪条线路路程更短？（参考数据：） 22．（10分）如图，点A（2，m），B（﹣2，3m）分别在反比例函数y1和y2的图象上，经过点A、B的直线与y轴相交于点C． （1）求k1、k2满足的等量关系； （2）若tan∠AOC+tan∠BOC，求直线AB的函数关系式； （3）试求△ABO的面积（用k1的代数式表示）． 23．（10分）如图，△ABE≌△BCF，且∠ABE＝∠BCF＝90°，点E在BC上，AE，BF交于点G． （1）求证：AE⊥BF； （2）△BCF可由△ABE绕点O旋转而得，用尺规作图的方法，作出O点（不写作法，保留作图痕迹）； （3）当E是BC中点时，连接CG，求∠AGC的大小． 24．（10分）如图1，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝4，⊙O是△ABD的外接圆，E是上一动点，连接DE并延长交BC于M，连接BE并延长交CD于N， （1）求证：CB是⊙O的切线； （2）如图2，当E是中点时，求图中阴影部分面积； （3）当BM＝3时，求MN的长． 25．（10分）已知，如图，等边△ABC，点D是平面内一点（点D不在直线AB上），连接AD、BD．将△ABD绕点A按逆时针方向旋转60°得到△ACE，点D的对应点是点E．设直线DE与直线BC交于点G． （1）如图1，判断线段BD与线段CE的数量关系，并说明理由； （2）当点D是线段AC的中点，根据题意，在图2中画出图形，求∠AGB的度数； （3）探索∠AGB与∠ADB的数量关系，直接写出结论． 26．（12分）在平面直角坐标系xOy中，点A（x0，p），B（3，q）在抛物线G1：y＝x2+bx+c上， （1）当x0＝1，p＝q时， ①求b的值； ②将抛物线G1平移后得抛物线G2：y＝x2﹣8x+c1，设抛物线G1与抛物线G2的交点为P，过点P的直线y＝x+m与抛物线G1的另一个交点为M，与抛物线G2的另一个交点为N，问MN的长是否为定值？若MN的长为定值，请求出这个值；若MN的长不为定值，请说明理由． （2）当b＜﹣2时，若对于，都有p＞q，求b的取值范围． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考考前预测卷 数学·全解全析 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，选择正确选项的字母代号涂在答题卡相应的位置上） 1．下列互为倒数的是（　　） A．3和 B．﹣2和2 C．3和 D．﹣2和 【答案】A 【解析】A、∵31， ∴3和互为倒数，符合题意； B、∵（﹣2）×2＝﹣4， ∴﹣2和2不互为倒数，不符合题意； C、∵3×（）＝﹣1， ∴3和不互为倒数，不符合题意； D、∵（﹣2）1， ∴﹣2和不互为倒数，不符合题意． 故选：A． 2．下列各式中，不能用平方差公式分解因式的是（　　） A．y2﹣49 B． C．﹣m4﹣n4 D． 【答案】C 【解析】根据能用平方差公式法进行因式分解的多项式的特点逐项分析判断如下： A、y2﹣49＝（y+7）（y﹣7），能用平方差公式分解因式，不符合题意； B、，能用平方差公式分解因式，不符合题意； C、﹣m4﹣n4，两个平方项的符号相同，不能用平方差公式分解因式，符合题意； D、，能用平方差公式分解因式，不符合题意； 故选：C． 3．如图，已知矩形ABCD的顶点A，D分别落在x轴，y轴上，OD＝2OA＝12，AD＝3AB，则点C的坐标是（　　） A．（6，14） B．（4，16） C．（4，14） D．（6，16） 【答案】C 【解析】过C作CE⊥y轴于E， ∵四边形ABCD是矩形， ∴CD＝AB，∠ADC＝90°， ∴∠ADO+∠CDE＝∠CDE+∠DCE＝90°， ∴∠DCE＝∠ADO， ∴△CDE∽△ADO， ∴， ∵OD＝2OA＝12，AD＝3AB， ∴OA＝6，CD：AD， ∴CEOD＝4，DEOA＝2， ∴OE＝14， ∴C（4，14）， 故选：C． 4．下列计算正确的是（　　） A．a10÷a2＝a5 B．（a2）5＝a10 C．a6⋅a2＝a12 D．5a+2b＝7ab 【答案】B 【解析】∵a10÷a2＝a8， ∴选项A不符合题意； ∵（a2）5＝a10， ∴选项B符合题意； ∵a6⋅a2＝a8， ∴选项C不符合题意； ∵5a+2b≠7ab， ∴选项D不符合题意． 故选：B． 5．如图，大半圆O的弦AB与小半圆O1交于E、F，且AB∥CD．则已知下列哪两条线段的长度可以求出阴影部分的面积（　　） A．AE、BF B．AF、BE C．AB、EF D．CO1、OD 【答案】C 【解析】如图将两个圆变为同心圆． 作OM⊥AB于M，连接OB、OF， 则MFEF，MBAB， S阴影πOB2πOF2 π（OB2﹣OF2） π[OM2+MB2﹣（OM2+MF2）] π（MB2﹣MF2） π（AB2EF2） π（AB2﹣EF2）， ∴只需知道线段AB，EF的长度可以求出阴影部分的面积． 故选：C． 6．直线y1＝m与二次函数的图象的交点坐标分别为（x1，m）、（x2，m），且x1＜x2.同时直线y1＝m与一次函数y3＝kx+1﹣k（k≠0）图象的交点坐标为（x3，m）．以下说法正确的是（　　） A．m≥﹣1 B．若x1+x2＝2x3，则m＝1 C．若x1+x2＞2x3，则m＞1 D．若x1+x2＜2x3，则m＞1 【答案】B 【解析】对于A，∵直线y＝m与抛物线的交点存在，且x1＜x2， ∴方程x2﹣2x﹣m＝0有实数解． ∴Δ＝4+4m＞0． ∴m＞﹣1，故A错误． 对于B，由题意得，x1+x2＝2． ∵直线y＝m与y3＝kx+1﹣k相交， ∴m＝kx3+1﹣k． ∴． 又∵x1+x2＝2x3， ∴，故B正确． 对于C，由题意，∵x1+x2＞2x3， ∴2＞2x3． ∴x3＜1． 又∵， ∴若k＞0，则m＜1；若k＜0，则m＞1，因此，m的范围不确定，故C错误． 对于D，由题意，∵x1+x2＜2x3， ∴2＜2x3． ∴x3＞1．同理，若k＞0，则m＞1；若k＜0，则m＜1，因此，m的范围不确定，故D错误． 故选：B． 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，满分30分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7．函数中自变量x的取值范围是x＞1　 ． 【答案】x＞1 【解析】根据题意得：x﹣1＞0， 解得：x＞1． 故答案为：x＞1． 8．神舟十二飞船的飞行速度每小时约为28440000米，这个数字用科学记数法表示为　2.844×107 ． 【答案】2.844×107 【解析】28440000＝2.844×107． 故答案为：2.844×107． 9．甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数x（单位：环）及方差S2（单位：环2）如表所示： 甲 乙 丙 丁 9.6 9.6 9.4 9.4 S2 1.6 0.8 3 0.8 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择 　乙　 ． 【答案】乙． 【解析】∵甲、乙平均数相同，丙、丁的平均数相同， ∵甲和乙平均数高于丙、丁的平均数， ∴从甲、乙中选择一人参加比赛， ∵S甲2＜S乙2， ∴选择乙运动员； 故答案为：乙． 10．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0无实数根，则k的取值范围是k＞1　 ． 【答案】k＞1． 【解析】∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0无实数根， ∴Δ＜0，即Δ＝4﹣4k＜0， 解得k＞1． 故答案为：k＞1． 11．一圆锥的母线长为3，底面半径为1，则该圆锥的侧面积为　3π　 ． 【答案】3π 【解析】圆锥的侧面积＝π×3×1＝3π； 故答案为：3π． 12．点A（m，n）是函数y＝﹣4x+2和图象的交点，则代数式4m+n﹣mn＝　3　 ． 【答案】3． 【解析】∵点A（m，n）是函数y＝﹣4x+2和的交点， ∴故其坐标满足方程组：． ∴． ∴4m2﹣2m﹣1＝0． ∴4m2﹣2m＝1． ∵n＝﹣4m+2， ∴4m+n﹣mn＝4m+（﹣4m+2）﹣m（﹣4m+2）＝4m2﹣2m+2＝1+2＝3． 13．小明对《九章算术》中的“表望方城”问题进行了改编：如图，一座正方形城堡在正北和正西城墙的正中间各开一门，出北门100步有一棵大树，出西门225步后刚好看到北门外的这棵大树，则该城堡的边长为 　300　 步． 【答案】300． 【解析】设该城堡的边长为x步，则BE＝BCx步， 由题意得：DE＝100步，AC＝225步， ∵BE∥AC， ∴∠DBE＝∠BAC， ∵∠DEB＝∠BCA＝90°， ∴△DBE∽△BAC， ∴DE：BC＝BE：AC， ∴100：xx：225， ∴x＝300（舍去负值）， ∴该城堡的边长为300步． 故答案为：300． 14．已知：如图，四边形ABCD是正方形，O是其中心，以OC为边作一个正六边形，则α的度数是　105　 °． 【答案】105． 【解析】如图， ∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线， ∴∠D＝90°，∠ACD＝45°， ∵六边形OCHGFE是正六边形， ∴120°， ∴∠α＝360°﹣90°﹣45°﹣120°＝105°， 故答案为：105． 15．如图，在3×4的正方形网格中，A、B、C为格点，连接AB交格线于点D，连接CD，交过点A的水平格线于点E．若小正方形边长为1，则CE＝ 　　 ． 【答案】 【解析】如图，由图形可知，CD， ∵EG∥DF， ∴， ∴CE， 故答案为：． 16．在正方形ABCD中，AB＝4，E为边AB上一点，将△ADE沿DE翻折，点A落在点F处，连接DF并延长交射线CB于点G，连接EG．若△EFG和△EBG全等，则BG＝ 　1或　 ． 【答案】1或． 【解析】当点G在CB的延长线上时， 翻折变换的性质可知AE＝EF，AD＝DF＝4， ∵△EFG≌△GBE， ∴EF＝BG＝AE，BE＝FG， 设EF＝AE＝BG＝x，则BE＝FG＝4﹣x， ∴DG＝4+4﹣x＝8﹣x，CG＝4+x， ∵∠C＝90°， ∴CD2+CG2＝DG2， ∴42+（4+x）2＝（8﹣x）2， 解得x， ∴BG． 当点G在线段BC上时， 由翻折变换的性质可知AE＝EF，∠AED＝∠FED， ∵△EFG≌△EBG， ∴EB＝EF＝AE＝2，∠BEG＝∠FEG， ∵2∠DEF+2∠FEG＝180°， ∴∠DEF+∠FEG＝90°， ∴∠DEG＝90°， ∵四边形ABC都是正方形， ∴∠A＝∠B＝90°， ∵∠AED+∠ADE＝90°，∠AED+∠BEG＝90°， ∴∠ADE＝∠GBE， ∴△ADE∽△BEG， ∴， ∴， ∴BG＝1． 综上所述，BG的值为1或． 故答案为：1或． 三、解答题（本大题共10小题，满分102分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）（1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）﹣3； （2）无解． 【解析】（1） ＝﹣4 ＝﹣4 ＝﹣3； （2）， 方程可化为， 方程两边同乘x﹣2，得x﹣3+x﹣2＝﹣1， 解得x＝2， 检验：当x＝2时，x﹣2＝0，所以x＝2不是分式方程的解， 所以原分式方程无解． 18．（10分）近年来，“青少年视力健康”受到社会的广泛关注．某校综合实践小组为了解该校学生的视力健康状况，从全校学生中随机抽取部分学生进行视力调查．根据调查结果和视力有关标准，绘制了两幅不完整的统计图．请根据图中信息解答下列问题： （1）本次抽样调查的样本容量为　200　 ； （2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中“轻度近视”对应的扇形的圆心角的度数； （3）该校共有学生3000人，请估计该校学生中近视程度为“轻度近视”的人数． 【答案】（1）200； （2）图见解析，126°； （3）1050人． 【解析】（1）90÷45%＝200， 故答案为：200； （2）“中度近视”的人数：200×15%＝30（人）， “高度近视”的人数：200﹣90﹣70﹣30＝10（人）， “轻度近视”对应的扇形的圆心角的度数； （3）（人）， 答：估计该校学生中近视程度为“轻度近视”的人数为1050人． 【点评】本题考查了条形统计图与扇形统计图、样本容量、用样本估计总体，读懂统计图获取必要的信息是解题的关键． 19．（10分）泰州是个好地方，素有“早上皮包水，晚上水包皮”生活习惯，泰州早茶更是闻名遐迩，某天甲、乙两人来泰州旅游，到某茶社吃早茶，他们点一笼杂笼包子，共4个，外形、大小均相同，只是其中的馅不同，2个是肉馅，另2个是秧草馅， （1）若甲先用筷子随机夹了1个，咬开后发现是肉馅的，随后乙用筷子在剩下的3个中随机夹1个，则乙夹的包子是秧草馅的概率为　　 ； （2）请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两人各吃的2个包子的馅均为1个肉馅1个秧草馅的概率． 【答案】（1）； （2）． 【解析】（1）甲夹走一个肉馅后，剩下1个肉馅，2个秧草馅，共3个包子． 所以乙夹的包子是秧草馅的概率为， 故答案为：； （2）将2个肉馅包子记为A1、A2，2个秧草馅包子记为B1、B2，列表如下： 甲 乙 结果 A1 A2 （A1，A2） A1 B1 （A1，B1） A1 B2 （A1，B2） A2 A1 （A2，A1） A2 B1 （A2，B1） A2 B2 （A2，B2） B1 A1 （B1，A1） B1 A2 （B1，A2） B1 B2 （B1，B2） B2 A1 （B2，A1） B2 A2 （B2，A2） B2 B1 （B2，B1） 共有12种等可能的结果，其中甲、乙两人各吃的2个包子的馅均为1个肉馅1个秧草馅的结果有8种． P， ∴甲、乙两人各吃的2个包子的馅均为1个肉馅1个秧草馅的概率为． 20．（10分）某公司计划采购A型和B型储能锂电池系统．已知每套B型的进价比每套A型的进价多0.5万元，用6万元购进A型的数量与用9万元购进B型的数量相等． （1）求每套A型储能锂电池系统的进价； （2）该公司计划采购这两种系统共15套，总费用不超过20万元，则购买A型系统最少多少套？ 【答案】见试题解答内容 【解析】（1）设每套A型储能锂电池系统的进价是万元，则每套B型储能锂电池系统的进价是（x+0.5）万元， 依题意得：， 解得：x＝1， 经检验，x＝1是原分式方程的解，且符合题意， 答：每套A型储能锂电池系统的进价是1万元； （2）设购买A型系统m套，则购买B型系统（15﹣m）套， 依题意得：m+（1+0.5）（15﹣m）≤20， 解得：m≥5． 答：购买A型系统最少5套． 21．（10分）近期，我市各学校积极开展“行走的思政课”活动，让思政课从“书本本”走向“心窝窝”．某校精心挑选两条研学线路供选择：如图，①号线路A﹣C﹣D；②号线路A﹣B﹣D．经勘测，C在A的正北方向，B在A正东方向且在D南偏西15°方向，同时B在C南偏东30°方向，D在C北偏东75°方向，B、C两地相距8千米． （1）求∠ABD的度数； （2）请通过计算说明①、②两条线路中哪条线路路程更短？（参考数据：） 【答案】（1）∠ABD＝105°； （2）②号线路的路程更短． 【解析】（1）如图，过C点作CH⊥BD于点H， 由题意得∠ECD＝75°，∠BDF＝15°，∠ACB＝30°，∠A＝90°， ∵CE∥DF， ∴∠CDF＝∠ECD＝75°， ∴∠CDB＝∠CDF﹣∠BDF＝60°，∠DCB＝180°﹣∠ECD﹣∠ACB＝75°， ∴在△BCD中，∠CBD＝180°﹣∠CDB﹣∠DCB＝45°， 在△BAC中，∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝60°， ∴∠ABD＝∠ABC+∠CBD＝105°； （2）∵在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ACB＝30°，BC＝8千米， ∴（千米）， AC＝BC•cos30°＝84（千米）， ∵在Rt△CBH中，∠CHB＝90°，∠CBH＝45°， ∴CH＝BC•sin∠CBH＝84（千米）， BH＝BC•cos∠CBH＝84（千米）， ∵在Rt△CHD中，∠CHD＝90°，∠CDH＝60°， DH， ， ∴， ∴①号线路的路程为（千米）， ②号线路的路程为（千米）， ∵13.5＞12.9， ∴②号线路的路程更短． 22．（10分）如图，点A（2，m），B（﹣2，3m）分别在反比例函数y1和y2的图象上，经过点A、B的直线与y轴相交于点C． （1）求k1、k2满足的等量关系； （2）若tan∠AOC+tan∠BOC，求直线AB的函数关系式； （3）试求△ABO的面积（用k1的代数式表示）． 【答案】（1）3k1+k2＝0； （2）直线AB的解析式为y＝﹣x+4； （3）2k1． 【解析】（1）把点A（2，m），B（﹣2，3m）分别代入y1和y2得， 解得3k1+k2＝0； （2）分别过点A，B作AM⊥y轴于M，BN⊥y轴于N， ∵A（2，m），B（﹣2，3m）， ∴AM＝2，OM＝m，BN＝2，ON＝3m， ∴tan∠AOC，tan∠BOC， ∵tan∠AOC+tan∠BOC， ∴， 解得m＝2， 经检验，m＝2是原方程的解， ∴m＝2， ∴A（2，2），B（﹣2，6）． 设直线AB的函数关系式为设直线AB的解析式为y＝px+q， 把A（2，2），B（﹣2，6）代入得， 解得， ∴直线AB的解析式为y＝﹣x+4； （3）设直线AB的解析式为y＝kx+b， 把A（2，m），B（﹣2，3m）代入得， 解得， 由（1）知m， ∴， ∴直线AB的解析式为yk1x+k1， 当x＝0时，yk1x+k1＝k1， ∴C（0，k1）， ∴S△AOB＝S△AOC+S△BOCk1•（2+2）＝2k1． 23．（10分）如图，△ABE≌△BCF，且∠ABE＝∠BCF＝90°，点E在BC上，AE，BF交于点G． （1）求证：AE⊥BF； （2）△BCF可由△ABE绕点O旋转而得，用尺规作图的方法，作出O点（不写作法，保留作图痕迹）； （3）当E是BC中点时，连接CG，求∠AGC的大小． 【答案】（1）∵△ABE≌△BCF，且∠ABE＝90°， ∴∠BAE＝∠CBF，∠BAE+∠AEB＝90°， ∴∠CBF+∠AEB＝90°， ∴∠BGE＝90°， ∴AE⊥BF； （2）如图1，点O即为所求； （3）135°． 【解答】（1）证明：∵△ABE≌△BCF，且∠ABE＝90°， ∴∠BAE＝∠CBF，∠BAE+∠AEB＝90°， ∴∠CBF+∠AEB＝90°， ∴∠BGE＝90°， ∴AE⊥BF； （2）解：如图1，点O即为所求； （3）解：如图2，连接CG，连接EF， ∵E是BC中点，△ABE≌△BCF， ∴BE＝EC＝CF， ∵∠BCF＝90°， ∴△ECF是等腰直角三角形， ∴∠EFC＝45°， ∵AE⊥BF，∠BCF＝90°， ∴∠FGE＝∠BCF＝90°， ∴G、E、C、F四点共圆， ∴∠FGC＝∠FEC＝45°， ∴∠AGC＝180°﹣45°＝135°． 24．（10分）如图1，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝4，⊙O是△ABD的外接圆，E是上一动点，连接DE并延长交BC于M，连接BE并延长交CD于N， （1）求证：CB是⊙O的切线； （2）如图2，当E是中点时，求图中阴影部分面积； （3）当BM＝3时，求MN的长． 【答案】（1）如图1，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝4，连接OB， ∴AB＝BC＝CD＝AD，∠C＝∠A＝60°， ∴△ABD，△BCD是等边三角形， ∴∠ABD＝∠CBD＝60°， ∵⊙O是△ABD的外接圆， ∴OB垂直平分AD， ∴， ∴∠CBO＝∠OBD+∠CBD＝90°， ∴OB⊥BC， ∵OB是⊙O的半径， ∴CB是⊙O的切线； （2）； （3）． 【解答】（1）证明：如图1，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝4，连接OB， ∴AB＝BC＝CD＝AD，∠C＝∠A＝60°， ∴△ABD，△BCD是等边三角形， ∴∠ABD＝∠CBD＝60°， ∵⊙O是△ABD的外接圆， ∴OB垂直平分AD， ∴， ∴∠CBO＝∠OBD+∠CBD＝90°， ∴OB⊥BC， ∵OB是⊙O的半径， ∴CB是⊙O的切线； （2）解：如图2，连接OD，OE，OB，设OE交BD于点F， 由（1）得：△ABD是等边三角形，AB＝4， ∴BD＝AB＝4， ∵E是中点， ∴，， ∴， ∵∠A＝60°， ∴∠BOD＝2∠A＝120°， ∴∠BOE＝60°， ∴， ∴， ∴， ∴图中阴影部分面积为； （3）解：如图3，四边形ABED是⊙O的内接四边形，∠A＝60°，过点M作MH⊥CD于点H， ∴∠BED＝180°﹣∠A＝120°， ∴∠DEN＝∠BEM＝60°， ∵∠C＝60°， ∴∠C＝∠BEM， ∵∠EBM＝∠CBN， ∴△BEM∽△BCN， ∴∠BME＝∠BNC， 在△BCN和△DBM中， ， ∴△BCN≌△DBM（AAS）， ∴CN＝BM＝3， 在Rt△CMH中，∠C＝60°，CM＝BC﹣BM＝1， ∴，， ∴， 在直角三角形MNH中，由勾股定理得：． 25．（10分）已知，如图，等边△ABC，点D是平面内一点（点D不在直线AB上），连接AD、BD．将△ABD绕点A按逆时针方向旋转60°得到△ACE，点D的对应点是点E．设直线DE与直线BC交于点G． （1）如图1，判断线段BD与线段CE的数量关系，并说明理由； （2）当点D是线段AC的中点，根据题意，在图2中画出图形，求∠AGB的度数； （3）探索∠AGB与∠ADB的数量关系，直接写出结论． 【答案】（1）BD＝CE，理由见解答． （2）画图见解答，90°． （3）∠ADB＝∠AGB或∠ADB+∠AGB＝180°． 【解析】（1）结论：BD＝CE． 理由：∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC，∠BAC＝60°． 根据题意，AD＝AE，∠DAE＝60°． 在△ABD和△ACE中，AB＝AC，∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD＝∠CAE，AD＝AE， ∴△ABD≌△ACE（SAS）． ∴BD＝CE． （2）点D为AC中点时的图形如下： 根据旋转的性质，AD＝AE，∠DAE＝60°，则△ADE是等边三角形． ∴∠ADE＝∠BAC＝60°， ∴DE∥AB， ∵点D为AC中点， ∴点G为线段BC中点． ∵AB＝AC， ∴AG⊥BC， ∴∠AGB＝90°． （3）当点D在AB右侧时，连接AG．如图， 根据旋转的性质易得△ADE为等边三角形，∠AEC＝60°， 又∵△ABC为等边三角形，∠ACG＝∠AEC＝60°， ∴AECG四点共圆， ∴∠AGB＝∠AEC． 由（1）知△ABD≌△ACE，∠ADB＝∠AEC． ∴∠ADB＝∠AGB． 当点D在AB左侧时，如图， 同理可得∠ADG＝∠ABG＝60°， ∴AECG四点共圆， ∴∠ADB+∠AGB＝180°． 故∠ADB＝∠AGB或∠ADB+∠AGB＝180°． 26．（12分）在平面直角坐标系xOy中，点A（x0，p），B（3，q）在抛物线G1：y＝x2+bx+c上， （1）当x0＝1，p＝q时， ①求b的值； ②将抛物线G1平移后得抛物线G2：y＝x2﹣8x+c1，设抛物线G1与抛物线G2的交点为P，过点P的直线y＝x+m与抛物线G1的另一个交点为M，与抛物线G2的另一个交点为N，问MN的长是否为定值？若MN的长为定值，请求出这个值；若MN的长不为定值，请说明理由． （2）当b＜﹣2时，若对于，都有p＞q，求b的取值范围． 【答案】（1）①b＝﹣4； ②MN的长为定值；定值为； （2）﹣8≤b≤﹣4． 【解析】（1）①点A（x0，p），B（3，q）在抛物线G1：y＝x2+bx+c上，x0＝1，p＝q， ∴A（1，p），B（3，p）， 依题意得：， 解得：b＝﹣4； ②MN的长为定值；理由如下： 由①得，抛物线G1：y＝x2﹣4x+c， 过点P的直线y＝x+m与抛物线G1的另一个交点为M，设P（xP，xP+m），M（xM，xM+m），N（xN，xN+m）， 联立得：， 整理得：x2﹣5x+c﹣m＝0， ∴xP+xM＝5， 直线y＝x+m与抛物线G2的另一个交点为N， 联立得：， 整理得：x2﹣9x+c1﹣m＝0， ∴xP+xN＝9， ∴xN﹣xM＝（xP+xN）﹣（xP+xM）＝9﹣5＝4， ∵M（xM，xM+m），N（xN，xN+m）， ∴ ＝2×42 ＝32， ∴， ∴MN的长为定值； （2）∵点A（x0，p），B（3，q）在抛物线G1：y＝x2+bx+c上，且p＞q， ∴， ∴， ∵对于，都有p＞q， ∴对于，都有， 设y′＝x2+bx﹣3b﹣9，则函数y′图象开口向上，对称轴为直线， ∵， ∴当时，y′随着x的增大而减小， ∴当时，y′≥0， ∴， 解得：﹣8≤b≤﹣4， ∴b的取值范围为﹣8≤b≤﹣4． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $