专题01 多边形常考问题专训（专项训练）数学新教材北京版八年级下册

专题01 多边形常考问题专训（解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、多边形的概念与分类 1 题型二、多边形截角后的边数问题 2 题型三、多边形的周长 3 题型四、网格中多边形面积比较 5 题型五、多边形对角线的问题 6 题型六、正多边形的相关概念 8 题型七、多边形的内角和问题 9 题型八、正多边形的内角和问题 11 题型九、多边形截角后的内角和问题 11 题型十、多边形的外角问题 11 题型十一、多边形外角和的实际应用 11 题型十二、多边形内角和与外角和的综合问题 11 题型十三、平面镶嵌 11 B综合攻坚・能力跃升 题型一、多边形的概念与分类 1．下列说法正确的是（   ） A．由四条线段首尾顺次相接组成的图形叫作四边形 B．四边形相邻两边组成的角是这个四边形的内角 C．连接四边形的两顶点的线段，叫作四边形的对角线 D．四边形有四个外角 【答案】B 【详解】解：在同一平面内，由四条线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫作四边形，A说法错误； 四边形相邻两边组成的角是这个四边形的内角，B说法正确； 四边形的对角线是连接不相邻两个顶点的线段，C说法错误； 四边形每个顶点处有2个外角，共8个外角，D说法错误． 2．在下列图形中，不属于多边形的有（） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查多边形的定义，解题关键是紧扣“三条及以上线段首尾顺次连接、封闭、平面图形”的定义判断每个图形是否符合多边形特征． 多边形的定义是“由三条或三条以上线段首尾顺次连接组成的封闭平面图形”，需满足：线段组成、封闭、平面图形即可解答． 【详解】三角形：是多边形；四边形（不规则）：是多边形；圆：由曲线组成，不是多边形；六边形：是多边形；正方体：是立体图形，不是多边形． 因此，不属于多边形的是“圆”和“正方体”，共2个． 故选：A． 3．如图，凸四边形，有两种剖分方法：（如图示）世纪，数学家乌尔班发现并证明了下面的公式：（表示凸边形的三角剖分数），请你用上面的公式计算______． 【答案】 【分析】本题考查了多边形的概念，代数式求值，由题意得，，求出，然后再通过即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意得：，， ∴， 解得：， ∴， ∴， 故答案为：． 4．三角形有几个顶点，几条边，几个内角？四边形有几个顶点，几条边，几个内角？……n边形呢？ 【特别提示】n边形有n条边，n个内角，n个顶点． 【答案】见详解 【分析】本题考查了多边形的有关概念，解题关键是准确识别多边形，明确多边形的顶点和内角概念． 根据图形的特征作答即可． 【详解】解：如图所示，三角形有3个顶点，3条边，3个内角； 四边形有4个顶点，4条边，4个内角； 五边形有5个顶点，5条边，5个内角； …… 可发现，多边形的顶点个数和内角个数与边数相同； n边形有n个顶点，n条边，n个内角． 题型二、多边形截角后的边数问题 5．若一个多边形截去一个角后，变成五边形，则原来的多边形的边数不可能为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查多边形的知识．一个多边形截去一个角后，边数可能增加、不变或减少．由于截去后变成五边形，因此原多边形边数可能为4、5或6，不可能为3． 【详解】解：∵一个多边形截去一个角后，边数可能增加一条、不变或减少一条， ∴当新多边形为五边形时，原多边形边数可能为4、5或6． ∴原多边形边数不可能为3． 故选：A． 6．若一个多边形截去一个角后，变成五边形，则原来的多边形的边数可能为（   ） A．5或6 B．4或5 C．3或4或5 D．4或5或6 【答案】D 【分析】本题考查了多边形的知识，一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条．根据一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，依此即可解决问题． 【详解】解：一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条， 则多边形的边数是4或5或6， 故选：D． 7．把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个十八边形，则原多边形纸片的边数可能是 ___． 【答案】十七边形，或十八边形，或十九边形 【分析】结合题意，根据多边形截角后边数的性质，分三种截下的方式分析，即可得到答案． 【详解】把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个十八边形，有三种截下的方式： 下图为多边形局部图，如按下图所示沿虚线截下三角形： ∴原多边形纸片的边数是：十七边形 如按下图所示沿虚线截下三角形： ∴原多边形纸片的边数是：十八边形 如按下图所示沿虚线截下三角形： ∴原多边形纸片的边数是：十九边形 ∴原多边形纸片的边数可能是：十七边形，或十八边形，或十九边形 故答案为：十七边形，或十八边形，或十九边形． 【点睛】本题考查了多边形的知识；解题的关键是熟练掌握多边形的性质，从而完成求解． 8．张明和李华的对话如图所示，请根据对话内容回答下列问题： (1)张明的说法正确吗？请说明理由； (2)张明得到的新多边形是几边形？ 【答案】(1)不正确，理由见解析 (2)九边形或八边形或七边形 【分析】本题考查了多边形的内角和问题； （1）根据多边形的内角和为，即任意多边形的内角和一定能被整除，即可求解． （2）设这个正多边形的边数为n，剪去的内角为，根据题意列出不等式，求得整数解，再分类讨论，即可求解． 【详解】（1）解：张明的说法不正确．理由如下： 由多边形内角和定理可知，多边形的内角和为， 即任意多边形的内角和一定能被整除． 不能被整除， 张明的说法不正确． （2）设这个正多边形的边数为n，剪去的内角为， 根据题意，得， ． ． 为整数， 这个正多边形为正八边形 如答图，将正八边形剪去一个角后，得到的多边形的边数增加1或不变，或减少1，则得到的多边形边数为9或8或7，即得到的新多边形是九边形或八边形或七边形． 题型三、多边形的周长 9．我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，其轮廓是一个正八边形，某个正八边形窗户的一边长为a分米，则该正八边形的周长为（    ）分米 A．a B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形的性质． 直接根据正多边形每边都相等作答即可． 【详解】解：某个正八边形窗户的一边长为a分米，则该正八边形的周长为分米． 故选：D． 10．小亮绘制了一个如图所示的大长方形，上面绘有五个小长方形，若这五个小长方形的周长之和为50，则大长方形的周长为（    ） A．25 B．50 C．75 D．100 【答案】B 【分析】本题主要考查了平移的性质，长方形的周长，根据题意可得五个小长方形的长之和等于大长方形的长之和，五个小长方形的宽之和等于大长方形的宽之和，进而可知大长方形的周长等于五个小长方形的周长之和． 【详解】解：根据题意得：把五个小长方形的长和宽分别平移到大长方形的长和宽上，则五个小长方形的长之和等于大长方形的长之和， 五个小长方形的宽之和等于大长方形的宽之和， ∴大长方形的周长等于五个小长方形的周长之和， ∵五个小长方形的周长之和为50， ∴大长方形的周长为50． 故选：B． 11．将图1中周长为28的长方形纸片剪成1号、2号、3号、4号正方形和5号长方形，并将它们按图2的方式放入周长为38的长方形中，则没有覆盖的阴影部分的周长为________． 【答案】31 【分析】本题主要考查的是整式的加减的应用、列代数式等知识点，列代数式表示出正方形的边长成为解题的关键． 设1号正方形的边长为x，2号正方形的边长为y，则3号正方形的边长为，4号正方形的边长为，5号长方形的长为，宽为，根据图1中是周长为28的长方形，计算出，然后再列出图2中长方形的周长和没有覆盖的阴影部分的周长代数式，将代入计算即可． 【详解】解：设1号正方形的边长为x，2号正方形的边长为y，则3号正方形的边长为，4号正方形的边长为，5号长方形的长为，宽为， 如图1中是周长为28的长方形，可得， 解得：， 将A、B、C、D四点在图2中标出，如图所示： 如图，图2中长方形的周长为38， ∴， ∴， 根据平移得，没有覆盖的阴影部分的周长是如图中四边形的周长， ∴ ． 故答案为：31． 12．如图，有3张卡片，用它们拼成各种形状不同的多边形（相同长度的边拼靠在一起，卡片不重叠）． (1)这些拼成的多边形的周长有哪几种不同的结果？ (2)这些结果中，最长的周长和最短的周长分别是多少？请说明理由． 【答案】(1)，， (2)周长最大，最短，理由见解析 【分析】（1）画出图形可得结论； （2）根据（1）中结论结合，再判断即可． 【详解】（1）解：如图， 图形有四种情形，周长为：或或. （2）周长的最大值为，最小值为. 理由：由题意可得：， 因为，所以， 因为，所以， ∴， 周长的最大值为，最小值为. 【点睛】本题考查图形的拼剪，不等式的性质，长方形的性质，多边形的周长等知识，解题的关键是理解题意，正确作出图形． 题型四、网格中多边形面积比较 13．如图所示的方格（每个小方格面积为1）中阴影部分为两个轴对称型的汉字，图①中汉字面积为，图②中汉字的面积为，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】D 【分析】利用割补法分别求出和的面积，再作差即可． 【详解】解：如图， ， ， ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查不规则图形的面积，掌握割补法求不规则图形的面积是解题关键． 14．如图，在边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，，正方形、正方形的顶点均在格点上．    利用面积计算线段_____，_____，则，，三条线段的数量关系为_______． 【答案】 【分析】根据网格，计算正方形、正方形的面积，利用面积计算线段，，从而得到，，三条线段的数量关系． 【详解】解：，正方形、正方形的顶点均在格点上， 正方形面的积，正方形的面积，， ，， ， 故答案为：，，． 【点睛】本题主要考查了网格图形面积计算，正方形面积与边长关系，算术平方根计算，熟练掌握网格图形面积计算是解题的关键． 15．如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点．若AB=1，则四边形ABCD的面积为_____． 【答案】 【分析】由图可得S四边形ABCD=S△ACD+S△ABC，利用网格来计算两个三角形的面积相加即可． 【详解】解：S四边形ABCD=S△ACD+S△ABC= 故答案为： 【点睛】本题是求三角形的面积问题，解题关键是熟练对不规则三角形进行分割． 16．如图，每个小正方形的边长都为1． (1)四边形的面积________； (2)四边形的周长________； (3)与有什么关系？请说明理由． 【答案】(1)12 (2) (3)相等，且垂直 【分析】（1）根据正方形的面积减去三个直角三角形的面积计算即可； （2）根据勾股定理计算即可； （3）先根据勾股定理的逆定理确定是直角三角形，可得答案． 【详解】（1）四边形的面积； 故答案为：12； （2）四边形的周长为 ； 故答案为：； （3）相等，且垂直． 理由：如图所示，连接． 根据勾股定理，得， ∴， ∴是直角三角形， ∴， 所以，且． 【点睛】本题主要考查了勾股定理在网格中的应用，勾股定理逆定理，求不规则图形的面积等，将不规则图形的面积转化为规则图形的面积的和或差是解题的关键． 题型五、多边形对角线的问题 17．过边形的一个顶点可以画条对角线，将它分成个三角形，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查多边形的对角线，解题的关键是掌握：从边形的一个顶点出发可以引条对角线，这些对角线将边形分成个三角形．据此列式求出，的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵过边形的一个顶点可以画出条对角线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的值是． 故选：C． 18．从n边形的一个顶点出发，连接其余各顶点，可以将这个n边形分成7个三角形，则这个n边形的对角线条数是________条． 【答案】27 【分析】本题主要考查了多边形的定义和性质，解题的关键是掌握相关公式． 根据从n边形一个顶点出发连接其余顶点可分割成个三角形的规律，求出n值，再代入n边形对角线条数公式计算． 【详解】解：由题意，从n边形一个顶点出发分割三角形数为个， 已知分成7个三角形，得， 解得， n边形的对角线条数公式为，代入，得， 故答案为：27． 19．人们在房屋装修时，需要选择适当的地砖拼成各种美丽的图案，生活中对地砖拼接最基本的要求是：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌．哪些正多边形可以镶嵌？怎样开展研究？ 为了解决上面的问题，我们先从最简单的情形入手，从中找到解决问题的方法． (1)探究一：五边形一个顶点出发有2条对角线，可以分成三个三角形，因此五边形内角和为，正五边形每个内角为；…… 边形一个顶点出发有_____条对角线，正边形内角和为_____，正边形每个内角为_____． (2)探究二：两种正多边形围绕一个点镶嵌的条件是：其中一个正多边形的个数乘以它的内角度数加上另一个正多边形的个数乘以它的内角度数等于，即；若正三角形有个，正方形有个，求为何值时能够实现平面镶嵌？请说明理由． (3)探究三：若用两种边长相等的正多边形进行平面镶嵌，能与正三角形匹配形成镶嵌图形的正多边形有_____． ①正五边形；②正六边形；③正八边形；④正十二边形 【答案】(1) ；； (2)，理由见解析 (3)②④ 【分析】本题主要考查平面镶嵌（密铺）和多边形内角与外角，解不定方程，解题关键是掌握平面镶嵌的要求：拼接在同一个顶点处的多边形的内角之和等于． （1）根据多边形的对角线的定义和内角和的求法即可得出答案； （2）根据正三角形每个内角的度数为，正方形每个内角的度数为，于是得到方程，即，解方程即可得到结论； （3）先分别得出各个正多边形的内角度数，再根据平面镶嵌的定义，逐个进行判断即可． 【详解】（1）解：边形一个顶点出发有条对角线，正边形内角和为，正边形每个内角为； 故答案为：，，； （2）解：当时能够实现平面镶嵌，理由如下： 正三角形每个内角的度数为，正方形每个内角的度数为， ，即， ∵为正整数， ； （3）解：①设正三角形个，正五边形个， 由题意得：， 此方程无正整数解， 正三角形和正五边形不能进行平面密铺； ②设正三角形个，正六边形个， 由题意得：， 解得：或， 正三角形和正六边形能进行平面密铺，需要2个正三角形和2个正六边形或需要4个正三角形和1个正六边形； ③设正三角形个，正八边形个， 由题意得：， 此方程无正整数解， 正三角形和正八边形不能进行平面密铺； ④设正三角形个，正十二边形个， 由题意得：， 解得：， 正三角形和正十二边形能进行平面密铺，需要1个正三角形和2个正十二边形； 故答案为：②④． 20．某中学七年级数学兴趣小组在探究“边形的相关性质”这一知识点时，设计了如下表格： 多边形的边数 从多边形的一个顶点引出对角线的条数 从多边形的一个顶点引出的对角线将多边形分割出三角形的个数 (1)填空：______，______．（用含的式子表示） (2)过多边形的一个顶点的所有对角线的条数与这些对角线将多边形分割所得的三角形的个数的和可能为吗？若能，求出这个多边形的边数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)能，这个多边形的边数为． 【分析】本题考查边形从多边形的一个顶点引出对角线的条数，从多边形的一个顶点引出的对角线将多边形分割出三角形的个数，一元一次方程的应用，掌握对角线数量形成的规律，熟练应用规律是解题的关键． （）由表格中的数据探求得出最终结果； （）把代入求出的值即可判断． 【详解】（1）解：由表格可知，，， 故答案为：，， （2）解：能，理由， 由题意得，， 当时，即， 解得：， ∴这个多边形的边数为． 题型六、正多边形的相关概念 21．如图，正十二边形的面积是2022，那么图中阴影部分的面积是（    ）． A．504 B．568 C．612 D．674 【答案】D 【分析】根据图，将阴影部分等积变形，推出阴影部分和正十二边形的关系，计算得到结论即可． 本题考查了面积与等积变换，正确地识别图形是解题的关键． 【详解】解：如图，正十二边形是有12个正三角形和6个四边形组成的， 设正三角形的面积为a，四边形的面积为b， 而阴影部分是有4个正三角形和2个四边形组成的，恰好是正十二边形的， 图中阴影部分的面积是， 故选：D． 22．下列命题：①各边都相等的多边形是正多边形；②三角形相邻两边组成的角叫三角形的内角；③三角形的角平分线是射线；④三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外；⑤任何一个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线；正确的命题有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】根据正多边形的定义可判断①；根据三角形内角的定义可判断②；根据三角形角平分线的定义可判断③；根据直角三角形三条高的交点情况可判断④；根据三角形中线、高、角平分线的数量可判断⑤． 【详解】解：①各边相等且各角相等的多边形是正多边形，故原命题不正确； ②三角形相邻两边组成的角叫三角形的内角，故原命题正确； ③三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线，而非射线，故命题不正确； ④直角三角形的高交于直角顶点（在三角形上），故原命题不正确； ⑤：任何三角形均有三条高、三条中线、三条角平分线，故原命题正确； ∴正确的命题有个． 故选：B． 【点睛】本题考查正多边形，三角形的内角，与三角形有关的线段，解题的关键是掌握正多边形的定义，三角形的高、中线、角平分线的相关知识． 23．如图，正六边形的边长是，点是上的一动点，的最小值是______． 【答案】 【分析】本题考查了正六边形的性质，轴对称的性质，等边三角形的性质，两点之间线段最短，由正多边形的性质可得点关于的对称点为点，连接交于点，则，最小，根据正六边形性质可得都是等边三角形，，从而求得即可，掌握正六边形的性质以及轴对称解决路径最短问题的解题方法是解题的关键． 【详解】解：如图，由正多边形的性质可得点关于的对称点为点，连接交于点， ∴， ∴最小，最小值为的长， ∵六边形是正六边形，对角线交于， ∴都是等边三角形， ∴， ∴， ∴最小值为， 故答案为：． 24．如图是边长为1的等边三角形网格，的顶点都在图1的格点上． (1)在图1中画出将绕点顺时针旋转得到的图案； (2)在图2中画一个边长为2，顶点都在格点上的正六边形，并写出它的周长和面积． 周长为：______； 面积为：______． 【答案】(1)见解析 (2)12， 【分析】本题主要考查了正六边形的性质，旋转的性质，勾股定理． （1）利用旋转的性质作出图形即可； （2）根据正六边形的性质求解即可． 【详解】（1）解：是所求作的图形； ； （2）解：正六边形是所求作的图形； 周长为：； 如图，是等边三角形，则，， ∴， ∴， ∴正六边形的面积为：， 故答案为：12，． 题型七、多边形的内角和问题 25．如图所示为用镜子拼成的正八边形，点为上一点，现从点射出一束光线，经过两次反射后，到达边上的点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了多边形的内角，解题关键是熟练掌握多边形的内角和定理和反射定理． 设上方的正八边形的顶点依次为，，，与的交点为，先求出正八边形每个内角的度数，再由光的反射定理得、、和的数量关系，再利用多边形是五边形，求出与的度数和，再求出的度数，然后求出答案即可． 【详解】解：如图，设上方的正八边形的顶点依次为，，，与的交点为， 八边形是正八边形， ， 设，， 由光的反射定理可知：， ， 多边形是五边形， ， 即， 化简得：， ， ， 多边形是四边形，， ， 故选：A． 26．如图，图中的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了多边形内角和定理，三角形外角的定义和性质，设与，分别交于点，，与交于点，由三角形外角的定义得出，，则同理进而转化成求五边形的内角和求解即可． 【详解】解：设与，分别交于点，，与交于点， 则，， 同理 ． 故选A 27．如图，以四边形各顶点及各边延长线上的点构成，，，，则，，，，，，，的度数和为____________． 【答案】 【分析】首先根据外角的性质可得：根据四边形的外角和为，所以，即可解答． 【详解】解：由三角形外角的性质，得，，，． 四边形的外角和为， ， ． 故答案为： 【点睛】本题考查了三角形外角的性质和多边形的外角和，解决本题的关键是熟记多边形的外角和为． 28．在四边形中，． (1)如图1，若，则______度； (2)如图2，作的平分线交于点，若，求的度数； (3)如图3，作和的平分线交于点，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由四边形内角和为，代入，求解即可得到答案； （2）由平行性质得到，再由邻补角及角平分线定义得到，在中，由三角形内角和定理代值求解即可得到答案； （3）由（1）可知，再由角平分线定义得到，进而求出，在中，由三角形内角和定理代值求解即可得到答案． 【详解】（1）解：在四边形中，，则， ， ， 故答案为：； （2）解：， ， ， 平分， ， 在中，， ； （3）解：由（1）可知， 平分，平分， ， ， ． 【点睛】本题考查四边形、三角形中求角度，涉及四边形内角和为、平行性质、邻补角定义、角平分线求角度、三角形内角和定理等知识，数形结合，准确表示出相关角度的关系是解决问题的关键． 题型八、正多边形的内角和问题 29．阅读小明和小红的对话，解决下列问题． 小明：我把一个多边形的各内角相加，得到的和为． 小红：多边形的内角和不可能是，你一定是多加了一个锐角． (1)这个“多加的锐角”是______度． (2)小明求的是几边形内角和？ (3)若这是个正多边形，则这个正多边形的一个内角是多少度？ 【答案】(1)30 (2)十二边形 (3) 【分析】（1）根据多边形的内角和能被整除求解即可； （2）根据对话和多边形的内角和公式列方程求解即可； （3）根据正多边形的每个内角都相等进行计算即可． 【详解】（1）解：∵多边形内角和公式为， ∴多边形的内角和能被整除， ∵， ∵加了一个锐角， ∴这个“多加的锐角”是； （2）解：设多边形为n边形， ∴， ∴， ∴小明求的是12边形的内角和； （3）解：正十二边形的每一个内角为． ∴这个正多边形的一个内角是． 30．（1）如图1，是一个边长为1的正六边形（正六边形有很多条对称轴）； ①的度数为_____________；连接，_____________； ②证明：； （2）M，N是正六边形对角线上的两点，从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，证明：； 条件①：； 条件②：； 条件③： 注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分； 【答案】（1）①②证明见解析（2）选择①，证明见解析 【分析】本题考查了正六边形的性质、等边三角形的性质以及平行线的判定，解题的关键是利用正六边形的内角、对称性及等边三角形的性质进行推理． （1）①利用正六边形内角和公式求，结合等边三角形性质求， ②证明都是等边三角形，根据等边三角形性质证内错角相等，从而得平行； （2）选择条件①，利用三角形外角性质证，由内错角相等，从而得平行． 【详解】解：（1）①∵是正六边形， 如图中，连接交于点， ， ∴，，都是等边三角形， ， 故答案为：； ②证明：∵， ∴都是等边三角形， ； （2）证明：选择条件①， ， 又∵， ， ． 31．如图，这是正四边形，正五边形，正六边形，分别将它们相邻对角线的夹角记为，，． (1)求，，的度数． (2)猜想正边形相邻两条对角线的夹角，并求正二十边形相邻两条对角线的夹角的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查正多边形的性质多边形的内角和定理以及全等三角形的性质与判定，三角形的外角的性质，掌握正多边形的性质，三角形外角的性质是正确解答的关键． （1）根据三角形外角的性质，全等三角形的判定和性质以及正多边形的性质进行计算即可； （2）归纳概括一般性的结论，并求当时的度数即可． 【详解】（1）解： ，理由如下： 四边形是正方形， ，， ， ， ； ，理由如下： 五边形是正五边形， ，， ， ， ； ，理由如下： 六边形是正六边形， ，， ， ， ； ； （2）由（1）的规律可知，正边形相邻两条对角线的夹角的度数等于正边形的一个内角的度数， 即 当时， 32．【问题背景】生活中，我们经常可以看到由各种形状的地砖铺成的地面，在这些地面上，相邻的地砖平整地贴合在一起，整个地面没有一点空隙．从数学角度来看，当一个顶点周围围绕的各个多边形的内角恰好拼成一个周角时，就能形成一个既不留空隙又不互相重叠的平面图案，我们把这类问题叫做多边形平面镶嵌问题．如图1是由若干正方形镶嵌而成的图案，图2是由若干正三角形、正方形和正六边形镶嵌的图案． 【探究发现】 （1）填写下表： 正多边形的边数 3 4 5 6 8 正多边形每个外角的度数 ___________ ___________ ___________ （2）若只用一种正多边形镶嵌整个平面图案，则这样的正多边形有___________（填序号） ①正三角形；②正五边形；③正六边形；④正七边形；⑤正八边形 【拓展应用】 （3）如图3，由六个全等的正五边形和五个全等的等腰三角形镶嵌组成了一个大五边形．求的度数． 【答案】（1）；；；（2）①③；（3） 【分析】该题主要考查了正n边形内角和定理以及平面镶嵌，解题的关键是掌握正n边形内角和定理以及平面镶嵌的相关知识． （1）用再除以n即可求解； （2）根据正n边形的每一个内角度数与相邻外角的度数之各为进行求解即可； （3）根据正五边形每一个内角的度数结合周角进行求解即可． 【详解】（1）解：正五边形每个外角的度数为， 正六边形每个外角的度数为， 正八边形每个外角的度数为， 正多边形的边数 3 4 5 6 8 正多边形每个外角的度数 （2）解：正三角形每个内角的度数为， 正五边形每个内角的度数为， 正六边形每个内角的度数为， 正七边形每个内角的度数为， 正八边形每个内角的度数为， ∵，，， ∴只用一种正多边形镶嵌，那么能镶嵌成一个平面图案的正多边形有①③， 故答案为：①③． （3）解：∵正五边形的内角为， ∴． 题型九、多边形截角后的内角和问题 33．将一块长方形木板锯掉一个角，则锯掉后剩下的多边形木板的内角和为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或或 【答案】D 【分析】本题主要考查了多边形的内角和，理解一个长方形锯掉一个角以后得到的多边形的形状是解题的关键． 长方形木板锯掉一个角后可能是三角形或四边形或五边形，再根据多边形的内角和定理即可解决． 【详解】解：长方形木板锯掉一个角以后可能是：三角形或四边形或五边形， 则剩下的多边形木板的内角和是或或． 故选：D． 34．把一个六边形纸片沿一条直线截下一个角后，得到的多边形纸片的内角和为________． 【答案】或或 【分析】由题意知，把一个六边形纸片沿一条直线截下一个角后，可得七边形、六边形、五边形，由边形的内角和为，分别计算求解即可． 【详解】解：由题意知，把一个六边形纸片沿一条直线截下一个角后，可得七边形、六边形、五边形， ∵边形的内角和为， ∴，，， 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了多边形截去一个角的内角和．解题的关键在于确定六边形纸片沿一条直线截下一个角后，得到的多边形的种类． 35．如图所示，请你用一条直线去截这个多边形，使得到的新多边形分别满足以下条件．（画出图形，把截去的部分打上阴影） (1)在图①中画出的新多边形的内角和比原多边形的内角和增加了． (2)在图②中画出的新多边形的内角和与原多边形的内角和相等． (3)在图③中画出的新多边形的内角和比原多边形的内角和减少了 (4)将多边形只截去一个角，截后形成的多边形的内角和为，原多边形是___________边形． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析 (4)11或12或13 【分析】本题考查了多边形截角后的内角和问题，多边形的内角和；根据多边形内角和公式求解即可； （1）使得原多边形增加一条边，即可求解； （2）不改变原多边形的边数，即可求解； （3）使得原多边形减少一条边，即可求解； （4）由多边形内角和公式得，按不同截法，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得 （2）解：由题意得 （3）解：由题意得 （4）解：设新多边形的边数为n， 则， 解得：， ①若截去一个角后边数增加1，则原多边形边数为， ②若截去一个角后边数不变，则原多边形边数为， ③若截去一个角后边数减少1，则原多边形边数为， 故答案为：11或12或13． 36．（1）一个多边形的纸片，小明将这个多边形纸片剪去一个角后，得到的新多边形的内角和为2160°，求原多边形的边数． （2）小明在算另一个多边形纸片的内角和时不小心少算了一个内角，得到的结果为2024°，求它的边数及少算的内角的度数． 【答案】（1）13或14或15；（2）边数为14，内角为 【分析】本题考查多边形的内角和与切割问题： （1）先根据多边形的内角和公式，求出现在多边形的边数，再分三种情况讨论即可； （2）根据多边形的内角和为的整数倍，用2024°除以的结果中的整数加1再加2即为边数，再求出多边形的内角和减去2024°，即可． 【详解】解：（1）设新的多边形的边数为，由题意，得：， ∴， ∵切去一角有如图所示的三种切法，切完后新多边形的边数可以比原多边形多一条边，相等，少一条边，三种情况，      故：原多边形的边数为13或14或15； （2）设多边形的边数为， ∵， ∴， ∴， ∴少算的内角的度数为， 故多边形的边数为14，少算的内角度数为． 题型十、多边形的外角问题 37．如图，正六边形与正方形有两个顶点重合，且中心都是点O．若是某正多边形的一个外角，则的值为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形的内角和外角性质，先求出的度数，即可得出的值，熟练掌握正多边形的性质是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接， 则，， ∴， ∵是某正多边形的一个外角， ∴， 故选：D． 38．如图，小明从点O出发，前进15m后向右转，再前进15m后又向右转…这样一直走下去，他第一次回到出发点O时一共走了（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了多边形的外角和、一元一次方程的应用等知识点，发现小明所走路径为正多边形是解题的关键． 由题意可知，小明所走路径为正多边形，设这个正多边形的边数为n，根据正多边形外角和的性质列方程可得，然后再求所走的路程即可． 【详解】解：依题意可知，小明所走路径为正多边形， 设这个正多边形的边数为n， 则，解得：， ∴他第一次回到出发点O时一共走了：． 故选：D． 39．（1）如果一个多边形每一个外角都是，那么这个多边形的边数为____________． （2）正边形的一个内角为，则的值是____________． 【答案】 6 5 【分析】（1）利用任意多边形的外角和为，用外角和除以每个外角的度数，即可得到多边形的边数； （2）先根据内角与相邻外角互补求出正边形的一个外角的度数，再利用多边形外角和为，用外角和除以每个外角的度数，得到的值． 【详解】解：（1）∵任意多边形的外角和为，且该多边形每个外角为， ∴边数． （2）∵正边形的一个内角为，内角与外角互补， ∴一个外角的度数为， ∵多边形外角和为， ∴． 【点睛】本题考查了多边形的外角和与内角和的性质，掌握任意多边形的外角和恒为，及内角与相邻外角的互补关系是解题的关键． 40．现在有一个正八边形． (1)求其每个外角的度数； (2)把该正八边形剪掉一个角，发现从一个顶点引出的对角线比原来多了一条．求新多边形的内角和． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了多边形的内角和与外角和，掌握多边形的外角和等于以及内角和公式是解题关键． （1）根据正八边形的外角和为求解即可； （2）根据题意得出新多边形是九边形，再根据多边形内角和公式求解即可． 【详解】（1）解：正八边形的外角和为， 每个外角； （2）解：八边形剪掉一个角可以得七边形或八边形或九边形，且从一个顶点引出的对角线比原来多一条， 新多边形是九边形， 内角和． 题型十一、多边形外角和的实际应用 41．某人从A点出发，沿着六边形的公园逆时针转了一圈又回到了A处（如图）．如果在B，C，D，E，F五个转角处都转了，那么他在A处转过多少度角才能仍面向所指的方向（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查多边形外角和定理的应用，熟练掌握多边形外角和定理是解题的关键． 根据转过的角度之和等于多边形外角和，解答即可． 【详解】解：根据题意得：某人在途中转过了， 由于在B，C，D，E，F五个转角处都转了， 则他在A处转过的度数为 故选：D． 42．如图，小红和家人游览了应县木塔，小红从塔底的某一顶点出发走了后向右转，转的角度为，再走，如此重复，小红走了后回到点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形的性质，掌握正多边形外角和为是解题的关键． 先根据总路程与每段路程的长度求出正多边形的边数，再利用正多边形外角和为的性质求出每次右转的角度． 【详解】解：小红的路径构成一个正多边形，正多边形的边数 ，这是一个正六边形． 角度是正六边形的外角，正六边形的每个外角大小为 ． 故选：D． 43．冰裂纹是苏州园林花窗的一种装饰纹样，看似杂乱，实则有序，象征着冰消雪融，春回大地．图是拙政园宜两亭中的冰裂纹梅花窗，图是该花窗中的部分图案．已知，，，则_____． 【答案】 【分析】此题主要考查了三角形内角和定理，平行线的性质，多边形的外角和，根据三角形内角和定理得，由平行线的性质得，根据多边形的外角和是即可求解，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 44．如图1．嘉琪沿一个五边形广场周围的小路按逆时针方向跑步，她每从一条小路转到下一条小路时，跑步的方向改变一定的角度． (1)嘉琪跑完一圈，跑步方向改变的角度的和是_________度； (2)如图2，珍珍参加活动，从点起跑绕湖周围的小路跑至终点．若，且，求行程中珍珍身体转过的角度的和（即的值）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）跑步方向改变的角度的和即为五边形的外角和； （2）延长交于点F，再在五边形中计算即可． 【详解】（1）解：∵跑步方向改变的角度的和即为五边形的外角和， ∴跑步方向改变的角度的和是度； （2）解：如图，延长交于点F，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∵在五边形中， ∴． 题型十二、多边形内角和与外角和的综合问题 45．某数学兴趣小组在学习了“多边形内角和与外角和”后，受到“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”的启发，探究出了“多边形的两个外角的和等于与它不相邻的内角之和”．下面请同学们完成这个结论的证明并运用这个结论解题． 已知：在四边形中，和是该四边形的两个外角，且，． 【结论证明】（1）如图1，证明：； 【结论应用】（2）如图2，若，分别平分四边形的外角和，与相交于点G，应用（1）的结论探究，α，β三者之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，当四边形的外角和角平分线的反向延长线相交于点G时，试探究，α，β之间的数量关系是________． （4）如图4，当时，试判断α，β之间的数量关系是________． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）；（4） 【分析】（1）由四边形内角和得到，然后结合平角的定义即可证明； （2）由角平分线得到，，由得到，然后结合四边形内角和求解即可； （3）同（2）的方法求解即可； （4）如图所示，过点C作，同（2）得到，然后结合平行线的性质等量代换得到，进而求解即可． 【详解】（1）∵在四边形中，， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）∵，分别平分四边形的外角和， ∴，， ∵， ∴， ∵优角， ∴优角， ∵优角， ∴， ∴整理得，； （3）如图所示， ∵四边形的外角和角平分线的反向延长线相交于点G时， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵优角， ∴优角， ∵优角， ∴， ∴整理得，； （4）如图所示，过点C作， ∵，分别平分四边形的外角和， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了多边形内角和和外角和，角平分线的定义，平行线的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点． 46．数学探究课上，同学们通过撕、拼的方法，探索、验证三角形的内角和． 【发现】 （1）如图1，在小学我们曾剪下三角形的两个内角，将它们与第三个内角拼在一起，发现三个内角恰好拼成了一个___________角，得出如下的结论：三角形的内角和等于___________． 【尝试】 （2）现在我们尝试用说理的方式说明该结论正确． 如图2，已知，分别用，，表示的三个内角，说明 解：如图2，画的边的延长线，过点C画 因为， 所以___________①___________， ___________②___________ 因为___________③+___________④ 所以 【拓展】 （3）如图3，请在六边形中画出所有从A点引出的对角线，此时六边形被分成了___________个三角形，这样，请你直接写出六边形的内角和是___________ 【答案】（1）平，180；（2）， 两直线平行，内错角相等，，两直线平行，同位角相等，，；（3）4，720 【分析】本题考查作图-复杂作图，三角形内角和定理，平行线的性质，多边形的对角线，多边形的内角与外角，图形的拼剪，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 利用平角的性质解决问题即可； 利用平行线的性质平角的性质，解决问题即可； 利用三角形内角和定理解决问题即可． 【详解】解：如图1中，发现三个内角恰好拼成了一个平角，得出如下的结论：三角形的内角和等于 故答案为：平，180； 如图2，画的边的延长线，过点C画 因为， 所以两直线平行，内错角相等， 两直线平行，同位角相等， 因为 所以 故答案为：，两直线平行，内错角相等，，两直线平行，同位角相等，，； 如图3中，连接，，此时六边形被分成了4个三角形，六边形的内角和． 故答案为：4，． 47．阅读与思考 阅读下列材料，并完成相应的任务． 多边形分为凸多边形和凹多边形． 如果将一个多边形的任意一条边向两方无限延长成为一条直线时，其他各边都在此直线的同旁，那么这个多边形就叫做凸多边形． 如果一个多边形的所有边中有一条边向两方无限延长成为一条直线时，其他各边不都在此直线的同旁，那么这个多边形就叫做凹多边形． 我们知道，探索多边形内角和的方法是将其转化为三角形，利用三角形内角和获得结论，这一方法也可以用来解决其他求角度的问题． 如图，四边形是凸四边形，探究其内角和的方法是：连接对角线，则四边形内角和就转化为与内角和相加，为． 任务一：在上述阅读材料的探究过程中，体现了数学中的_____． A．整体思想    B．方程思想 C．转化思想    D．分类讨论思想 任务二：如图1，四边形是凹四边形，请探究与，三个角之间的等量关系． 小明得出的结论是：．请你将下面小明的证明过程补充完整． 证明：如图1，连接并延长到点． …… 任务三：图2中的度数为_____． 【答案】任务一  ；任务二一  见解析；任务三   【分析】本题考查了多边形的内角和外角公式．解题关键掌握多边形的内角和外角关系； 任务一：根据材料中“四边形内角和就转化为和内角和的和”可得答案； 任务二：先证明，，相加即可； 任务三：利用外角的性质，对顶角和三角形内角和定理转化求解． 【详解】解：任务一：根据材料中“四边形内角和就转化为和内角和的和”，可知体现了数学中的转化思想方法， 故答案为：C； 任务二：证明：连接并延长到点． 则为的外角，为的外角， ， ． ， ． ， ． 任务三：如下图： 根据三角形外角的性质得：， 又， ， 又， ． 48．阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容．请认真阅读并完成相应的任务． 关于“正多角星图形”的研究报告（博学小组） 研究对象：正多角星图形． 研究思路：类比一般图形，按“概念一性质一判定”的路径，由一般到特殊进行研究． 研究方法：观察（测量、实验）一猜想一推理证明． 教材知识：①三角形的内角和为▲_________． ②三角形的一个外角等于与它两个不相邻的内角的■_________． 研究内容： 【一般概念】正多角星图形是一种特殊的几何图形，它由等长的直线段（边）连接而成，形成一个具有多个等大的尖角（顶点）的闭合多边形． 【特例研究】由正多角星图形的定义，对于五角星图形研究， 可得结论：． 证明：如图1，由三角形外角的性质，可得， …… 任务： (1)材料中，“▲”处内容为_________，“■”处的内容为_________； (2)补全材料中“……”处的证明过程； (3)由以上材料内容，可知图2中正八角星八个尖角的度数和为__________． 【答案】(1)，和 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形外角性质及多边形内角和． （1）根据三角形内角和定理与三角形外角性质即可解答； （2）利用是三角形外角的性质可得：，，再利用三角形内角和定理得到，等量代换得出结论； （3）根据三角新内角和定理得到，，，，再根据，即可求解． 【详解】（1）解：三角形的内角和为； 三角形的一个外角等于与它两个不相邻的内角的和； 故答案为：，和 （2）证明：，，， ； （3）解：如图2， ，，，， 又， ， ． 题型十三、平面镶嵌 49．小明用两个全等的正五边形硬纸片和一个正m边形硬纸片拼了一个平面图形，这三个硬纸片的拼接处无空隙，不重叠．如图所示，则m的值为（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【分析】本题的解题思路是先求出正五边形的内角度数，再结合平面镶嵌（密铺）的条件，通过周角为计算出正边形的内角度数，最后利用多边形内角和公式求出的值． 【详解】解：正五边形的内角和为：， ∵正五边形的每个内角相等， ∴正五边形的每个内角度数为：． ∵拼接处无空隙、不重叠，三个角在拼接点处构成周角， ∴正边形的一个内角度数为：． 设正边形的边数为，根据多边形内角和公式可得：， 解得． 50．图形的镶嵌（或称图形的密铺）指用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间既不留空隙、也不互相重叠地把一部分平面完全覆盖．如果我们只用一种正多边形镶嵌，那么下面正多边形中，不能进行镶嵌的是①正三角形②正方形③正五边形④正六边形_____．（填序号） 【答案】③ 【分析】本题考查平面镶嵌的知识，正多边形能单独镶嵌的关键是在一个公共顶点处，各正多边形的内角之和为，据此判断各正多边形内角是否能整除即可． 【详解】解：正三角形的内角为，，即6个正三角形在顶点处内角和为，可以镶嵌． 正方形的内角为，，即4个正方形在顶点处内角和为，可以镶嵌． 正五边形的内角为，，不是整数，无法使顶点处内角和为，不能镶嵌． 正六边形的内角为，，即3个正六边形在顶点处内角和为，可以镶嵌． 51．已知有三个边长相同，但边数不同且边数是偶数的正多边形可以无缝拼接，那么这三个正多边形的边数分别是______． 【答案】 【分析】题目主要考查多边形内角和及无缝拼接，根据题意列出方程求解是解题关键 设这三个正多边形的边数分别是，根据题意列出方程，整理得，然后从构成多边形的最小的偶数开始进行试算求解即可． 【详解】解：设这三个正多边形的边数分别是， ∵三个边长相同，但边数不同且边数是偶数的正多边形可以无缝拼接， ∴， 整理得：， ∵边数不同且边数是偶数， ∴假设，则，解得：， 经检验，符合题意， ∴这三个正多边形的边数分别是， 故答案为：． 52．阅读下列材料，并完成相应任务． 平面密铺是指用一些形状大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠的铺成一片，这就是平面图形的密铺，又称做平面图形的镶嵌．一般来说，构成一个平面密铺图形的基本图形是多边形或类似的一些常规形状，例如我们铺地板时经常使用正方形地砖． 任务一：探究同一种正多边形的密铺． 如图1，通过拼图发现正方形、正六边形都可以进行密铺，此时公共顶点处的几个角正好拼成了一个周角． 问题①密铺的条件为：当公共顶点处所有角的和为 ，并使相等的边重合时，该图形就可以进行密铺． 问题②你认为正五边形可以进行密铺吗？并说明理由． 任务二：探究同一种一般多边形的密铺 经过同学们动手实验，每小组画出自己小组的拼接图，如图2． 问题③观察图2，可以发现任意 和任意 都可以单独密铺． 经过研究发现三对对边平行的六边形可以单独密铺，人们借助六边形的密铺，发现虽然正五边形不能进行密铺，但有些特殊五边形可以进行密铺，从此展开了对一般五边形的密铺探究． 目前可以密铺的凸五边形共有15种，如图3为其中一种五边形的密铺图． 问题④图4为图3中抽象出的一个五边形，其中，则∠A的度数为 ． 问题⑤继续研究发现，多个的多边形也可以进行镶嵌 现有如下若干个正多边形：①正三角形，②正方形，③正五边形，④正六边形，⑤正八边形，⑥正十边形，⑦正十二边形，这些正多边形的边长均相等．若从中选用两种不同的正多边形进行平面密铺，写出三种组合是 ；若选用三种不同的正多边形可以进行平面密铺，写出所有的组合是 ．（填数字序号即可） 问题⑥已知2个正多边形A和3个正多边形B可绕一点周围镶嵌（密铺），A的一个内角的度数是B的一个内角的度数的． （1）试分别确定A，B是什么正多边形； （2）画出这5个正多边形在平面镶嵌（密铺）的图形． 【答案】任务一：360；问题②：正五边形不可以进行密铺，理由见解析；任务二：问题③：三角形；四边形；问题④：；问题⑤：①②，①④，②⑤，①⑦，③⑥；①②④，②④⑦，①②⑦；问题⑥：（1）A为正四边形，B为正三边形；（2）见解析 【分析】本题考查了多边形内角和、平面镶嵌，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 任务一：问题①：根据题意即可得出答案；问题②：求出正五边形的内角度数，结合①的结论即可得出答案； 任务二：问题③观察图形直接作答即可；问题④根据平面镶嵌的特点，进行计算即可； 问题⑤：根据各种正多边形的内角，结合平面镶嵌的特点作答即可；问题⑥：（1）设B的内角为x，则A的内角为x，根据题意，列出方程进行求解即可；（2）根据要求画出图形即可． 【详解】解：任务一：问题①密铺的条件为：当公共顶点处所有角的和为，并使相等的边重合时，该图形就可以进行密铺； 故答案为：360； 问题②：正五边形不可以进行密铺，理由如下： ∵正五边形的每一个内角度数为，， ∴正五边形不可以进行密铺； 任务二：问题③：观察图2，可以发现任意三角形和任意四边形都可以单独密铺； 故答案为：三角形；四边形； 问题④：由图形并结合题意可得：∠A的度数为． 故答案为：． 问题⑤：由正边形的一个内角的计算公式:可知：①正三角形的一个内角为，②正方形的一个内角为，③正五边形的一个内角为，④正六边形的一个内角为，⑤正八边形的一个内角为，⑥正十边形的一个内角为，⑦正十二边形的一个内角为， ∵，，，，； ，，， 故答案为：①②，①④，②⑤，①⑦，③⑥（写三个即可）；①②④，②④⑦，①②⑦； 问题⑥：（1）设B的内角为x，则A的内角为x， ∵2个正多边形A和3个正多边形B可绕一点周围镶嵌（密铺）， ∴， 解得：， 则 ， ∴可确定A为正四边形，B为正三边形； （2）答案不唯一，所画图形如下： ． 1．（25-26八年级下·北京房山·期中）如图，正五边形与正方形的两邻边相交，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形的性质，多边形的内角和，对顶角的性质，由正多边形的性质及多边形的内角和公式可得，，即得，再根据对顶角的性质即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：如图， 由题意得，，， ∴， ∵，， ∴， 故选：． 2．（25-26八年级下·北京石景山·期中）如图，，是五边形的三个外角，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了多边形的内角和，多边形的外角，解题的关键是熟练掌握求多边形内角和的公式进行解题. 先求出五边形的内角和，结合，即可求出答案． 【详解】解：根据题意，五边形的内角和为：， ∵ ， ∵， ∴； 故选：A． 3．（25-26八年级下·北京通州·期中）把一个正方形锯掉一个角，剩下的多边形是（   ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．三角形或四边形或五边形 【答案】D 【分析】此题主要考查了多边形，此题应根据题意，结合图形进行操作，进而得出结论． 锯掉正方形一个角时，锯痕的位置不同会导致剩余多边形的边数变化，从而可能得到三角形、四边形或五边形． 【详解】解：设正方形，锯掉角A， 若锯痕连接上的两点（均非顶点），则增加一条边，剩余5条边，为五边形； 若锯痕连接上的顶点B（或上的顶点D）与上的点（或上的点）， 则边数不变，剩余4条边，为四边形； 若锯痕连接相邻顶点B和D，则减少一条边，剩余3条边，为三角形， ∴ 剩余多边形可能是三角形、四边形或五边形． 故选：D． 4．（25-26八年级下·北京朝阳·期中）如图，将四边形纸片沿折叠，使点落在四边形外点的位置，点落在四边形内点的位置，若，，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了四边形的内角和，三角形的内角和定理，折叠的性质，熟练掌握多边形的内角和定理和外角的性质是解题的关键． 延长交于点，利用四边形的内角和定理得到：，利用四边形的内角和定理，折叠的性质，三角形的内角和定理，等量代换的性质求得的值，则结论可求． 【详解】解：延长交于点，设交于点，如图， 四边形的内角和为， ， ， ． 由折叠的性质可得：． ， ． 在和中， ， ， ，， ． ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：D． 5．（25-26八年级下·北京海淀·期中）（1）如果一个多边形的内角和与外角和相等，那么这个多边形的边数是______． （2）如果一个多边形的每个外角都等于，这个多边形的内角和是_______°． 【答案】 4 2340 【分析】本题考查多边形的外角和和内角和（1）利用多边形外角和恒为与内角和公式列方程求解； （2）先由外角和求边数，再代入内角和公式计算． 【详解】解：（1）设多边形的边数为n．多边形的外角和为，内角和为． 由题意得，， 解得， 故答案为：4； （2）多边形的每个外角为，外角和为， ∴边数， ∴内角和为， 故答案为：2340． 6．（2026·甘肃·模拟预测）任意一个五边形，以每个顶点为圆心作半径为R的等圆，如图所示，则阴影部分面积为 ___________ ． 【答案】 【分析】本题主要考查了五边形内角和以及扇形的面积公式，学会把图中不规则图形的面积由几何关系转化为规则图形的面积． 先求出五边形的内角和，再根据扇形的面积公式即可求出． 【详解】解：∵五边形的内角和为， ∴阴影部分面积的和为． 故答案为：． 7．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，正五边形的对角线恰围成“正五角星”（即阴影部分），该正五角星的每个顶角（如）的度数是______． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形与圆，根据正多边形的每个内角都相等，每条边都相等求出每个内角的度数，再根据等边对等角分别求出、的度数，即可得解,熟练掌握正多边形的性质是解题的关键． 【详解】解：五边形是正五边形， ∴，， ∴，， ∴， 即该正五角星的每个顶角的度数是， 故答案为：． 8．（25-26八年级上·吉林松原·期中）用对角线把多边形分成几个三角形，叫做“多边形的三角剖分”． 20世纪，数学家乌尔班发现并证明了下面的公式：（其中表示凸n边形的三角剖分数）．如图，凸四边形，有两种剖分方式（即：），请你用上面的公式计算______． 【答案】14 【分析】本题考查了多边形的对角线，解答本题的关键是发现．根据，可得出，由可得出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴； 故答案为14． 9．（25-26七年级上·安徽宿州·月考）如图，从一个多边形的某个顶点出发，分别连接这个顶点与其余不相邻的各顶点，可以把这个多边形分割成若干个三角形． (1)根据以上多边形的边数与分割成的三角形的个数之间的规律，猜测边形可以分割成_______个三角形； (2)若一个多边形按以上方法可分割成120小三角形，求该多边形的边数； (3)求边形的对角线条数． 【答案】(1) (2)122 (3) 【分析】本题考查了多边形的对角线，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据找到的规律即可解题； （2）由（1）中的结论解题； （3）探究从边形的一个顶点可引出的对角线条数，进而解题． 【详解】（1）解：由图可得，四边形的某个顶点所做的对角线可将该多边形分成个三角形， 五边形的某个顶点所做的对角线可将该多边形分成个三角形， 六边形的某个顶点所做的对角线可将该多边形分成个三角形， ∴边形可以分割成个三角形， 故答案为：； （2）解：由（1）知，， ∴； （3）解：从边形的一个顶点可引出条对角线， ∴对角线的总数为条． 10．（25-26八年级下·北京东城·期中）如下图，以正六边形的一边为边向外作正方形，连接，．求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了多边形内角与外角、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，根据等腰三角形的性质结合三角形内角和定理求出、的度数是解题的关键． 根据正多边形的性质、三角形内角和定理以及等腰三角形的性质可求出的度数，同理可求出的度数，再根据即可求出结论． 【详解】解：六边形为正六边形， ，， ． 四边形为正方形， ，， ， ， ． 11．（25-26八年级下·北京西城·期中）阅读与思考 连接多边形任意两个不相邻顶点的线段叫做多边形的对角线． 如图所示，过多边形的一个顶点作出所有的对角线，可以把多边形分割成若干个三角形．请仔细观察下面的图形和表格，并回答下列问题： 多边形的顶点数/个 4 5 6 7 8 …… 从一个顶点出发的对角线的条数/条 1 2 3 4 5 …… ①_____ 分割成的三角形个数/个 2 3 4 5 6 …… ②_____ (1)观察探究：请仔细观察上面的图形和表格，并用含的代数式填写表格①______，②______； (2)n边形有n个顶点，那么所有对角线的条数可表示为______； (3)类比应用：数学社团共有11名同学，大家约定，春节期间每人都要给同社团的其他同学打一个电话拜年．请问，按照此约定，数学社团的同学们一共将拨打电话多少个？ 【答案】(1)①，② (2) (3)44个 【分析】本题考查了多边形对角线规律及其应用，难点是理解这个规律的应用． （1）根据所给图形总结规律解答即可； （2）当多边形的顶点数为n时，从一个顶点可以引出条对角线，则n个顶点可以引出条对角线，其中每一条都重复算了一次，因此实际的对角线条数为． （3）根据（2）的结论求解即可． 【详解】（1）∵4边形从一个顶点出发的对角线有条，分割成的三角形有个， 5边形从一个顶点出发的对角线有条，分割成的三角形有个， 6边形从一个顶点出发的对角线有条，分割成的三角形有个， 7边形从一个顶点出发的对角线有条，分割成的三角形有个， 8边形从一个顶点出发的对角线有条，分割成的三角形有个， …， ∴n边形从一个顶点出发的对角线有条，分割成的三角形有个， 故答案为：①，②； （2）当多边形的顶点数为n时，从一个顶点可以引出条对角线，则n个顶点可以引出条对角线，其中每一条都重复算了一次，因此实际的对角线条数为． 故答案为：； （3）11名学生看成是顶点数为11的多边形，每人都要给同社团的其他同学打一个电话拜年是这个多边形的对角线，则由（2）可得，数学社团的同学们一共将拨打电话（个）． 12．（24-25八年级上·北京·期中）（1）如图1，是一个边长为1的正六边形（正六边形有很多条对称轴）； ①的度数为______；连接，______； ②证明：； （2），是正六边形对角线上的两点，从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，证明：； 条件①：； 条件②：； 条件③： 注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分；我选择的序号为：______． 【答案】（1）①；②证明见解析（2）选择①，证明见解析 【分析】本题考查了正六边形的性质、等边三角形的性质以及平行线的判定，解题的关键是利用正六边形的内角、对称性及等边三角形的性质进行推理． （1）①利用正六边形内角和公式求，结合等边三角形性质求， ②证明都是等边三角形，根据等边三角形性质证内错角相等，从而得平行； （2）选择条件①，利用三角形外角性质证，由内错角相等，从而得平行． 【详解】解：（1）①∵是正六边形， 如图中，连接交于点， ， ∴，，都是等边三角形， ， 故答案为：； ②证明：∵， ∴都是等边三角形， ； （2）证明：选择条件①， ， 又∵， ， ． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 多边形常考问题专训（原卷版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、多边形的概念与分类 1 题型二、多边形截角后的边数问题 2 题型三、多边形的周长 3 题型四、网格中多边形面积比较 5 题型五、多边形对角线的问题 6 题型六、正多边形的相关概念 8 题型七、多边形的内角和问题 9 题型八、正多边形的内角和问题 11 题型九、多边形截角后的内角和问题 11 题型十、多边形的外角问题 11 题型十一、多边形外角和的实际应用 11 题型十二、多边形内角和与外角和的综合问题 11 题型十三、平面镶嵌 11 B综合攻坚・能力跃升 题型一、多边形的概念与分类 1．下列说法正确的是（   ） A．由四条线段首尾顺次相接组成的图形叫作四边形 B．四边形相邻两边组成的角是这个四边形的内角 C．连接四边形的两顶点的线段，叫作四边形的对角线 D．四边形有四个外角 2．在下列图形中，不属于多边形的有（） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．如图，凸四边形，有两种剖分方法：（如图示）世纪，数学家乌尔班发现并证明了下面的公式：（表示凸边形的三角剖分数），请你用上面的公式计算______． 4．三角形有几个顶点，几条边，几个内角？四边形有几个顶点，几条边，几个内角？……n边形呢？ 【特别提示】n边形有n条边，n个内角，n个顶点． 题型二、多边形截角后的边数问题 5．若一个多边形截去一个角后，变成五边形，则原来的多边形的边数不可能为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 6．若一个多边形截去一个角后，变成五边形，则原来的多边形的边数可能为（   ） A．5或6 B．4或5 C．3或4或5 D．4或5或6 7．把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个十八边形，则原多边形纸片的边数可能是 ___． 8．张明和李华的对话如图所示，请根据对话内容回答下列问题： (1)张明的说法正确吗？请说明理由； (2)张明得到的新多边形是几边形？ 题型三、多边形的周长 9．我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，其轮廓是一个正八边形，某个正八边形窗户的一边长为a分米，则该正八边形的周长为（    ）分米 A．a B． C． D． 10．小亮绘制了一个如图所示的大长方形，上面绘有五个小长方形，若这五个小长方形的周长之和为50，则大长方形的周长为（    ） A．25 B．50 C．75 D．100 11．将图1中周长为28的长方形纸片剪成1号、2号、3号、4号正方形和5号长方形，并将它们按图2的方式放入周长为38的长方形中，则没有覆盖的阴影部分的周长为________． 12．如图，有3张卡片，用它们拼成各种形状不同的多边形（相同长度的边拼靠在一起，卡片不重叠）． (1)这些拼成的多边形的周长有哪几种不同的结果？ (2)这些结果中，最长的周长和最短的周长分别是多少？请说明理由． 题型四、网格中多边形面积比较 13．如图所示的方格（每个小方格面积为1）中阴影部分为两个轴对称型的汉字，图①中汉字面积为，图②中汉字的面积为，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D． 14．如图，在边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，，正方形、正方形的顶点均在格点上．    利用面积计算线段_____，_____，则，，三条线段的数量关系为_______． 15．如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点．若AB=1，则四边形ABCD的面积为_____． 16．如图，每个小正方形的边长都为1． (1)四边形的面积________； (2)四边形的周长________； (3)与有什么关系？请说明理由． 题型五、多边形对角线的问题 17．过边形的一个顶点可以画条对角线，将它分成个三角形，则的值是（　　） A． B． C． D． 18．从n边形的一个顶点出发，连接其余各顶点，可以将这个n边形分成7个三角形，则这个n边形的对角线条数是________条． 19．人们在房屋装修时，需要选择适当的地砖拼成各种美丽的图案，生活中对地砖拼接最基本的要求是：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌．哪些正多边形可以镶嵌？怎样开展研究？ 为了解决上面的问题，我们先从最简单的情形入手，从中找到解决问题的方法． (1)探究一：五边形一个顶点出发有2条对角线，可以分成三个三角形，因此五边形内角和为，正五边形每个内角为；…… 边形一个顶点出发有_____条对角线，正边形内角和为_____，正边形每个内角为_____． (2)探究二：两种正多边形围绕一个点镶嵌的条件是：其中一个正多边形的个数乘以它的内角度数加上另一个正多边形的个数乘以它的内角度数等于，即；若正三角形有个，正方形有个，求为何值时能够实现平面镶嵌？请说明理由． (3)探究三：若用两种边长相等的正多边形进行平面镶嵌，能与正三角形匹配形成镶嵌图形的正多边形有_____． ①正五边形；②正六边形；③正八边形；④正十二边形 20．某中学七年级数学兴趣小组在探究“边形的相关性质”这一知识点时，设计了如下表格： 多边形的边数 从多边形的一个顶点引出对角线的条数 从多边形的一个顶点引出的对角线将多边形分割出三角形的个数 (1)填空：______，______．（用含的式子表示） (2)过多边形的一个顶点的所有对角线的条数与这些对角线将多边形分割所得的三角形的个数的和可能为吗？若能，求出这个多边形的边数；若不能，请说明理由． 题型六、正多边形的相关概念 21．如图，正十二边形的面积是2022，那么图中阴影部分的面积是（    ）． A．504 B．568 C．612 D．674 22．下列命题：①各边都相等的多边形是正多边形；②三角形相邻两边组成的角叫三角形的内角；③三角形的角平分线是射线；④三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外；⑤任何一个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线；正确的命题有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 23．如图，正六边形的边长是，点是上的一动点，的最小值是______． 24．如图是边长为1的等边三角形网格，的顶点都在图1的格点上． (1)在图1中画出将绕点顺时针旋转得到的图案； (2)在图2中画一个边长为2，顶点都在格点上的正六边形，并写出它的周长和面积． 周长为：______； 面积为：______． 题型七、多边形的内角和问题 25．如图所示为用镜子拼成的正八边形，点为上一点，现从点射出一束光线，经过两次反射后，到达边上的点，若，则（   ） A． B． C． D． 26．如图，图中的度数为（   ） A． B． C． D． 27．如图，以四边形各顶点及各边延长线上的点构成，，，，则，，，，，，，的度数和为____________． 28．在四边形中，． (1)如图1，若，则______度； (2)如图2，作的平分线交于点，若，求的度数； (3)如图3，作和的平分线交于点，求的度数． 题型八、正多边形的内角和问题 29．阅读小明和小红的对话，解决下列问题． 小明：我把一个多边形的各内角相加，得到的和为． 小红：多边形的内角和不可能是，你一定是多加了一个锐角． (1)这个“多加的锐角”是______度． (2)小明求的是几边形内角和？ (3)若这是个正多边形，则这个正多边形的一个内角是多少度？ 30．（1）如图1，是一个边长为1的正六边形（正六边形有很多条对称轴）； ①的度数为_____________；连接，_____________； ②证明：； （2）M，N是正六边形对角线上的两点，从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，证明：； 条件①：； 条件②：； 条件③： 注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分； 31．如图，这是正四边形，正五边形，正六边形，分别将它们相邻对角线的夹角记为，，． (1)求，，的度数． (2)猜想正边形相邻两条对角线的夹角，并求正二十边形相邻两条对角线的夹角的度数． 32．【问题背景】生活中，我们经常可以看到由各种形状的地砖铺成的地面，在这些地面上，相邻的地砖平整地贴合在一起，整个地面没有一点空隙．从数学角度来看，当一个顶点周围围绕的各个多边形的内角恰好拼成一个周角时，就能形成一个既不留空隙又不互相重叠的平面图案，我们把这类问题叫做多边形平面镶嵌问题．如图1是由若干正方形镶嵌而成的图案，图2是由若干正三角形、正方形和正六边形镶嵌的图案． 【探究发现】 （1）填写下表： 正多边形的边数 3 4 5 6 8 正多边形每个外角的度数 ___________ ___________ ___________ （2）若只用一种正多边形镶嵌整个平面图案，则这样的正多边形有___________（填序号） ①正三角形；②正五边形；③正六边形；④正七边形；⑤正八边形 【拓展应用】 （3）如图3，由六个全等的正五边形和五个全等的等腰三角形镶嵌组成了一个大五边形．求的度数． 题型九、多边形截角后的内角和问题 33．将一块长方形木板锯掉一个角，则锯掉后剩下的多边形木板的内角和为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或或 34．把一个六边形纸片沿一条直线截下一个角后，得到的多边形纸片的内角和为________． 35．如图所示，请你用一条直线去截这个多边形，使得到的新多边形分别满足以下条件．（画出图形，把截去的部分打上阴影） (1)在图①中画出的新多边形的内角和比原多边形的内角和增加了． (2)在图②中画出的新多边形的内角和与原多边形的内角和相等． (3)在图③中画出的新多边形的内角和比原多边形的内角和减少了 (4)将多边形只截去一个角，截后形成的多边形的内角和为，原多边形是___________边形． 36．（1）一个多边形的纸片，小明将这个多边形纸片剪去一个角后，得到的新多边形的内角和为2160°，求原多边形的边数． （2）小明在算另一个多边形纸片的内角和时不小心少算了一个内角，得到的结果为2024°，求它的边数及少算的内角的度数． 题型十、多边形的外角问题 37．如图，正六边形与正方形有两个顶点重合，且中心都是点O．若是某正多边形的一个外角，则的值为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 38．如图，小明从点O出发，前进15m后向右转，再前进15m后又向右转…这样一直走下去，他第一次回到出发点O时一共走了（　　） A． B． C． D． 39．（1）如果一个多边形每一个外角都是，那么这个多边形的边数为____________． （2）正边形的一个内角为，则的值是____________． 40．现在有一个正八边形． (1)求其每个外角的度数； (2)把该正八边形剪掉一个角，发现从一个顶点引出的对角线比原来多了一条．求新多边形的内角和． 题型十一、多边形外角和的实际应用 41．某人从A点出发，沿着六边形的公园逆时针转了一圈又回到了A处（如图）．如果在B，C，D，E，F五个转角处都转了，那么他在A处转过多少度角才能仍面向所指的方向（    ） A． B． C． D． 42．如图，小红和家人游览了应县木塔，小红从塔底的某一顶点出发走了后向右转，转的角度为，再走，如此重复，小红走了后回到点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 43．冰裂纹是苏州园林花窗的一种装饰纹样，看似杂乱，实则有序，象征着冰消雪融，春回大地．图是拙政园宜两亭中的冰裂纹梅花窗，图是该花窗中的部分图案．已知，，，则_____． 44．如图1．嘉琪沿一个五边形广场周围的小路按逆时针方向跑步，她每从一条小路转到下一条小路时，跑步的方向改变一定的角度． (1)嘉琪跑完一圈，跑步方向改变的角度的和是_________度； (2)如图2，珍珍参加活动，从点起跑绕湖周围的小路跑至终点．若，且，求行程中珍珍身体转过的角度的和（即的值）． 题型十二、多边形内角和与外角和的综合问题 45．某数学兴趣小组在学习了“多边形内角和与外角和”后，受到“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”的启发，探究出了“多边形的两个外角的和等于与它不相邻的内角之和”．下面请同学们完成这个结论的证明并运用这个结论解题． 已知：在四边形中，和是该四边形的两个外角，且，． 【结论证明】（1）如图1，证明：； 【结论应用】（2）如图2，若，分别平分四边形的外角和，与相交于点G，应用（1）的结论探究，α，β三者之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，当四边形的外角和角平分线的反向延长线相交于点G时，试探究，α，β之间的数量关系是________． （4）如图4，当时，试判断α，β之间的数量关系是________． 46．数学探究课上，同学们通过撕、拼的方法，探索、验证三角形的内角和． 【发现】 （1）如图1，在小学我们曾剪下三角形的两个内角，将它们与第三个内角拼在一起，发现三个内角恰好拼成了一个___________角，得出如下的结论：三角形的内角和等于___________． 【尝试】 （2）现在我们尝试用说理的方式说明该结论正确． 如图2，已知，分别用，，表示的三个内角，说明 解：如图2，画的边的延长线，过点C画 因为， 所以___________①___________， ___________②___________ 因为___________③+___________④ 所以 【拓展】 （3）如图3，请在六边形中画出所有从A点引出的对角线，此时六边形被分成了___________个三角形，这样，请你直接写出六边形的内角和是___________ 47．阅读与思考 阅读下列材料，并完成相应的任务． 多边形分为凸多边形和凹多边形． 如果将一个多边形的任意一条边向两方无限延长成为一条直线时，其他各边都在此直线的同旁，那么这个多边形就叫做凸多边形． 如果一个多边形的所有边中有一条边向两方无限延长成为一条直线时，其他各边不都在此直线的同旁，那么这个多边形就叫做凹多边形． 我们知道，探索多边形内角和的方法是将其转化为三角形，利用三角形内角和获得结论，这一方法也可以用来解决其他求角度的问题． 如图，四边形是凸四边形，探究其内角和的方法是：连接对角线，则四边形内角和就转化为与内角和相加，为． 任务一：在上述阅读材料的探究过程中，体现了数学中的_____． A．整体思想    B．方程思想 C．转化思想    D．分类讨论思想 任务二：如图1，四边形是凹四边形，请探究与，三个角之间的等量关系． 小明得出的结论是：．请你将下面小明的证明过程补充完整． 证明：如图1，连接并延长到点． …… 任务三：图2中的度数为_____． 48．阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容．请认真阅读并完成相应的任务． 关于“正多角星图形”的研究报告（博学小组） 研究对象：正多角星图形． 研究思路：类比一般图形，按“概念一性质一判定”的路径，由一般到特殊进行研究． 研究方法：观察（测量、实验）一猜想一推理证明． 教材知识：①三角形的内角和为▲_________． ②三角形的一个外角等于与它两个不相邻的内角的■_________． 研究内容： 【一般概念】正多角星图形是一种特殊的几何图形，它由等长的直线段（边）连接而成，形成一个具有多个等大的尖角（顶点）的闭合多边形． 【特例研究】由正多角星图形的定义，对于五角星图形研究， 可得结论：． 证明：如图1，由三角形外角的性质，可得， …… 任务： (1)材料中，“▲”处内容为_________，“■”处的内容为_________； (2)补全材料中“……”处的证明过程； (3)由以上材料内容，可知图2中正八角星八个尖角的度数和为__________． 题型十三、平面镶嵌 49．小明用两个全等的正五边形硬纸片和一个正m边形硬纸片拼了一个平面图形，这三个硬纸片的拼接处无空隙，不重叠．如图所示，则m的值为（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 50．图形的镶嵌（或称图形的密铺）指用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间既不留空隙、也不互相重叠地把一部分平面完全覆盖．如果我们只用一种正多边形镶嵌，那么下面正多边形中，不能进行镶嵌的是①正三角形②正方形③正五边形④正六边形_____．（填序号） 51．已知有三个边长相同，但边数不同且边数是偶数的正多边形可以无缝拼接，那么这三个正多边形的边数分别是______． 52．阅读下列材料，并完成相应任务． 平面密铺是指用一些形状大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠的铺成一片，这就是平面图形的密铺，又称做平面图形的镶嵌．一般来说，构成一个平面密铺图形的基本图形是多边形或类似的一些常规形状，例如我们铺地板时经常使用正方形地砖． 任务一：探究同一种正多边形的密铺． 如图1，通过拼图发现正方形、正六边形都可以进行密铺，此时公共顶点处的几个角正好拼成了一个周角． 问题①密铺的条件为：当公共顶点处所有角的和为 ，并使相等的边重合时，该图形就可以进行密铺． 问题②你认为正五边形可以进行密铺吗？并说明理由． 任务二：探究同一种一般多边形的密铺 经过同学们动手实验，每小组画出自己小组的拼接图，如图2． 问题③观察图2，可以发现任意 和任意 都可以单独密铺． 经过研究发现三对对边平行的六边形可以单独密铺，人们借助六边形的密铺，发现虽然正五边形不能进行密铺，但有些特殊五边形可以进行密铺，从此展开了对一般五边形的密铺探究． 目前可以密铺的凸五边形共有15种，如图3为其中一种五边形的密铺图． 问题④图4为图3中抽象出的一个五边形，其中，则∠A的度数为 ． 问题⑤继续研究发现，多个的多边形也可以进行镶嵌 现有如下若干个正多边形：①正三角形，②正方形，③正五边形，④正六边形，⑤正八边形，⑥正十边形，⑦正十二边形，这些正多边形的边长均相等．若从中选用两种不同的正多边形进行平面密铺，写出三种组合是 ；若选用三种不同的正多边形可以进行平面密铺，写出所有的组合是 ．（填数字序号即可） 问题⑥已知2个正多边形A和3个正多边形B可绕一点周围镶嵌（密铺），A的一个内角的度数是B的一个内角的度数的． （1）试分别确定A，B是什么正多边形； （2）画出这5个正多边形在平面镶嵌（密铺）的图形． 1．（25-26八年级下·北京房山·期中）如图，正五边形与正方形的两邻边相交，则的大小为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·北京石景山·期中）如图，，是五边形的三个外角，若，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·北京通州·期中）把一个正方形锯掉一个角，剩下的多边形是（   ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．三角形或四边形或五边形 4．（25-26八年级下·北京朝阳·期中）如图，将四边形纸片沿折叠，使点落在四边形外点的位置，点落在四边形内点的位置，若，，则等于（　　） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·北京海淀·期中）（1）如果一个多边形的内角和与外角和相等，那么这个多边形的边数是______． （2）如果一个多边形的每个外角都等于，这个多边形的内角和是_______°． 6．（2026·甘肃·模拟预测）任意一个五边形，以每个顶点为圆心作半径为R的等圆，如图所示，则阴影部分面积为 ___________ ． 7．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，正五边形的对角线恰围成“正五角星”（即阴影部分），该正五角星的每个顶角（如）的度数是______． 8．（25-26八年级上·吉林松原·期中）用对角线把多边形分成几个三角形，叫做“多边形的三角剖分”． 20世纪，数学家乌尔班发现并证明了下面的公式：（其中表示凸n边形的三角剖分数）．如图，凸四边形，有两种剖分方式（即：），请你用上面的公式计算______． 9．（25-26七年级上·安徽宿州·月考）如图，从一个多边形的某个顶点出发，分别连接这个顶点与其余不相邻的各顶点，可以把这个多边形分割成若干个三角形． (1)根据以上多边形的边数与分割成的三角形的个数之间的规律，猜测边形可以分割成_______个三角形； (2)若一个多边形按以上方法可分割成120小三角形，求该多边形的边数； (3)求边形的对角线条数． 10．（25-26八年级下·北京东城·期中）如下图，以正六边形的一边为边向外作正方形，连接，．求的度数． 11．（25-26八年级下·北京西城·期中）阅读与思考 连接多边形任意两个不相邻顶点的线段叫做多边形的对角线． 如图所示，过多边形的一个顶点作出所有的对角线，可以把多边形分割成若干个三角形．请仔细观察下面的图形和表格，并回答下列问题： 多边形的顶点数/个 4 5 6 7 8 …… 从一个顶点出发的对角线的条数/条 1 2 3 4 5 …… ①_____ 分割成的三角形个数/个 2 3 4 5 6 …… ②_____ (1)观察探究：请仔细观察上面的图形和表格，并用含的代数式填写表格①______，②______； (2)n边形有n个顶点，那么所有对角线的条数可表示为______； (3)类比应用：数学社团共有11名同学，大家约定，春节期间每人都要给同社团的其他同学打一个电话拜年．请问，按照此约定，数学社团的同学们一共将拨打电话多少个？ 12．（24-25八年级上·北京·期中）（1）如图1，是一个边长为1的正六边形（正六边形有很多条对称轴）； ①的度数为______；连接，______； ②证明：； （2），是正六边形对角线上的两点，从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，证明：； 条件①：； 条件②：； 条件③： 注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分；我选择的序号为：______． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $