河北省衡水市部分学校2025-2026学年高一年级4月质量检测数学试卷（一）

4月高一质量检测 数学（一） 考试说明： 1.本试卷共150分。考试时间120分钟。 2.请将各题答案填在答题卡上。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。 1.已知之=8一9i,则在复平面内之对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.经过两条不同直线的平面个数为 A.1 B.2 C.0或1 D.1或2 3.已知向量a=(3,1),b=(2,一1)，则a与b的夹角为 A.30 B.45° C.609 D.120° 4.若圆锥的底面半径为1，高为√2，则该圆锥的侧面积为 A.3π B.2π C.2√3π D.4π 5.已知复数之1=4一5i,之2=一2十3i,在复平面内之1，之2对应的向量分别为OZ1, OZ,则向量Z乙，对应的复数为 A.-6-8i B.-6+8i C.6-8i D.6+8i 6.如图，某组合体是由选项中某个图形绕轴旋转而成，则这个图形是 组合体 A B D 7.如图，水平放置的△AOB用斜二测画法画出的直观图为△A'O'B',其中 A'B'⊥OB',A'B'=1,O'B'=3,则原平面图形△AOB中，OA的长为 A.√6 B.2√2 C.25 D.√14 B'x 高一数学（一）第1页共4页 8.在Rt△ABC中，AB=BC=4,E,F两点在AC边上运动，且EF=2√2，则 IBE+BF|的取值范围是 A.[2,√10] B.[2√2，√10] C.[22,2√/1o] D.[42,210] 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多 项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。 6-7i ®已知复数之中则 A.|z=5 B.之的虚部为一2 C.之一1为纯虚数 D.z=-1-2i 10.已知m,n是两条不同的直线，α，B是两个不同的平面，则下列命题正确的是 A.若m⊥a,n⊥B,aB,则m∥n B.若ma,n⊥β，aB,则m⊥n C.若m∥n,a⊥B,m∥a,则n3 D.若m∥n,n⊥B,m⊥a,则a⊥B 11.已知正方体被一个平面截成两个几何体，其中一个几何体为三棱柱，则另外一 个几何体可能为 A.三棱柱 B.四棱柱 C.四棱台 D.五棱柱 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知向量a=(7,x),b=(4,3十x),若a∥b,则x= 13.给出以下说法： ①棱锥最少有六条棱； ②圆柱的母线和轴不平行； ③长方体一定是平行六面体 0 以上所有正确说法的序号是 14.如图，在圆柱OO1中，轴截面AA1B1B是正方形，C 在圆O的圆周上，∠AOC=60°，则异面直线A1C与 B,O所成角的余弦值为 高一数学（一）第2页共4页 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 已知向量a=(2,-5),b=(-1,3),c=(-2,-1) (1)分别求向量a+2b,a一2c的坐标； (2)证明：向量a十2b与b+3c互相垂直. 16.(本小题满分15分) 如图，在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD, PA=AB=2,AD=1. (1)求四棱锥P一ABCD的表面积； (2)四棱锥P一ABCD的所有顶点都在球O的球面上，求球O的体积. B 17.(本小题满分15分) 如图，在等腰梯形ABCD中，BC=2AD,E,F分别是AD,CD的中点，设 BA=a,BC=b (1)用a,b表示BE,BF; )老=.求合的位 B 高一数学（一）第3页共4页 18.(本小题满分17分) 如图，在正三棱柱ABC一A,B,C1中，E,F分别是CC1,B,C,的中点，点G 在棱AA,上，且满足AA,=4A,G. (1)证明：FG∥平面ABE; (2)若AB=AA,=4,求EG与平面ABB,A,所成角的正切值. G G B E 19.(本小题满分17分) 以三角形的三边各向其外侧作等边三角形，这三个等边三角形的外接圆交于一 点T,则点T称为托里拆利点，而三个等边三角形的外接圆叫做托里拆利圆. 已知△ABC的三个托里拆利圆的半径分别为23,2,3，点T为托里拆■ 利点， (1)求△ABC的面积； (2)求TA·TB+TA·TC+TB·TC的值； (3)求TA2+TB2+TC2的值. 高一数学（一）第4页共4页4月高一质量检测 数学（一）参考答案 1.【答案】D 【解析】因为==8-9i,所以在复平面内二对应的点的坐标为(8，-9)，位于第四象限故选D. 2.【答案】C 【解析】若两条直线平行或相交，则有且仅有1个平面经过两条不同直线：若两条直线异面， 则不存在经过两条不同直线的平面.故选C 3.【答案】B 【解析】由题意得ab=3×2+1x(-1)=5,a=V32+12=10,bl=√22+(-12=5，设a 与b的夹角为0，则c0s0=4b 5.5,又0∈0180小，所以0=45故选B l4-bl10x√52 4.【答案】A 【解析】由题知圆锥的底面半径R=1,高h=V反，所以母线长1=√R2+?=P+(=5, 所以该圆锥的侧面积S=πR1=√3π.故选A. 5.【答案】B 【解析】由题得OZ,=(4,-5),OZ,=(-2,3),所以ZZ=OZ,-OZ,=(-6,8),其对应的复数 为-6+8i.故选B 6.【答案】A 【解析】A中图形绕轴旋转可得由一个圆台挖去一个圆柱的组合体；B中图形绕轴旋转可得 圆锥：C中图形绕轴旋转可得由一个圆柱挖去两个圆台的组合体；D中图形绕轴旋转可得由 两个圆台挖去一个圆柱的组合体.故选A. 7.【答案】C 【解析】如图①，过A'作y轴的平行线，交x'轴于点C,则∠ACB'=45°，又AB'⊥OB', 所以BC'=A'B'=1,AC'=√2，所以OC=2 由直观图还原得△AOB,如图②，则OC=2,BC=1,AC=2√2，由勾股定理可得 0A=V0C2+AC=22+(2=25.故选C 第1页 B'x ① ② 8.【答案】D 【解析】取EP的中点M,连接BM,则BE+BF-2BM,所以BE+B=2Bd,显然当 BM⊥AC时， 取最小值，为46C4-25:由对称性可知当a-反或 AC√42+42 =2时，取最大值，为V22可矿+V=而，所以4W5≤252而，即 BE+BF的取值范围是4V2,2V10故选D, 9.【答案】BC 【解析】= 6-74-边_24-61-28-7=1-2i,所以=5，A错误： (4+i)(4-i) 17 二的虚部为-2，B正确； 二-1=-2i为纯虚数，C正确： z=1+2i,D错误.故选BC. 10.【答案】AB 【解析】因为m⊥o,∥B,所以m⊥B,又因为n⊥B,所以m∥n,A正确： 因为m∥，所以存在平面Y,使得ncY,且y∩a=l,所以/∥l,又因为n⊥B,a∥B, 所以n⊥，又lco,所以n⊥I,所以m⊥n,B正确： 因为m/n,m∥a,a⊥B,所以n/∥B或ncB或n与B相交，C错误： 因为∥n,n⊥B,所以m⊥B,又m⊥，则o∥B,D错误.故选AB 11.【答案】ABD 【解析】在正方体ABCD-AB,CD中，如图①，可得另外一个几何体也是三棱柱，A正确； 如图②，可得另外一个几何体是四棱柱，不是四棱台，B正确，C错误： 如图③，可得另外一个几何体是五棱柱，D正确故选ABD. 第2页 D D F C D C B E A A E D D G D B B B ① ② ③ 12.【答案】-7 【解析】因为a∥b,所以4x-7(3+x)=0,解得x=-7 13.【答案】①③（未填全或有错均不给分，填13给分) 【解析】棱锥中棱最少的是三棱锥，有六条棱，①正确： 圆柱是以矩形的一边为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体，母线一定和轴 平行，②错误： 长方体是底面为长方形的四棱柱，一定是平行六面体，③正确 14【答案】 (写成0.7也给分) 10 【解析】如图，设圆O的半径为r,延长BA至点D,使AD=AO,连接AD,CD,AC, 则AB,∥DO,AB=DO,所以四边形ABOD是平行四边形，所以DA∥B,O, D4=B,O=√5r，则∠DAC或其补角为异面直线AC与B,O所成的角.因为 ACVA4+AC-5,CD-V5r,所以cs∠D4C=4C+4D-CD_Z 即异面直线 2AC·AD10 AC与BO所成角的余弦值为 0 B D B 第3页 (判卷老师们好，大题的解题方法不唯一，命题老师给出的只是一种解题方法的参考答案， 如果学生答题时使用了其他方法，请判卷老师根据参考答案酌情给分。方法正确，过程无错 误，结果也正确的，都可以给满分。) 15.【解析】(1)a+2b=(2,-5)+2(-1,3)=(2,-5)+(-2,6)=(0,1).…3分 a-2c=(2,-5)-2(-2,-1)=(2,-5)-（-4,-2)=(6,-3).… …6分 (2)由(1)知a+2b=(0,1), b+3c=（-1,3)+3(-2,-1)=(-1,3)+(-6,-3)=（-7,0), …9分 所以(a+2b)(b+3C）=0×(-7)+1×0=0,…12分 所以向量☑+2b与b+3c互相垂直.…13分 (本题可以不写中间过程，或者不分开写，如果只写结果，结果正确，也给满分) (整道题小写字母的向量均没有加箭头的扣4分，部分没加箭头的扣2分，如果只答出一问 也这么扣分) 16.【解析】(1)因为PA⊥底面ABCD,CDC底面ABCD, 所以PA⊥CD,又AD⊥CD,PA∩AD=A,所以CD⊥平面PAD, 又PDc平面PAD,所以CD LPD,且PD=√PA+AD2=√5，…3分 同理CB⊥PB,且PB=√PA2+AB2=2√万，…4分 所以四棱锥P-ABCD的表面积S四棱P-AaCD=S短形ABCD十SAPAB十S△PAD十S△Pae十S△PcD =2x1+】x2×2+】x2x1+x1x22+】x2×√5=5+V5+5.…7分 (2)如图，取PC的中点O,连接AC,OA,OB,OD, 由(1)知CD⊥PD,CB⊥PB,所以OB=OD=OC=OP …8分 因为PA⊥底面ABCD,ACC底面ABCD, 所以PA⊥AC,所以OA=OC=OP, 所以OA=OC=OB=OD=OP,… …11分 第4页 所以球o的半径R=号PC=)VPA+AB+BC=V2+2+正= ，…12分 所以球o的体积r=号R-手元x 3 3 9 …15分 3 、) 17.【解析】(1)由BC=2AD,得AD=BC=b, 又E是4D的中点，所以AE=AD=b, 4 所以B2=B丽+AE=a+b,。 …3分 1 CD=CB+BA+AD=-b+a+ 义F是CD的中点，所以0F-号0D-方a-, …6分 4 所以际=BC+C际=6+4-b=4+3（未化简不扣分》.…8分 4 @因为厨网断以+A 3 理得飞d,所以2，（未化简不扣分）…B分 所以A26 (未化简不扣分)… …15分 (整道题小写字母的向量均没有加箭头的扣4分，部分没加箭头的扣2分，如果只答出一问 也这么扣分.) 18.【解析】(1)证明：如图，取BC的中点K,连接FK交BE于点H,连接AH, 又F是BC的中点，所以H是BE的中点，…2分 所以K∥cC,且派=，CE=CC,所以H=3CG, 又A4=44G,所以4G=344, 4 又AA∥CC,且AA=CC,所以AG∥FH,且AG=FH, 所以四边形AGFH为平行四边形， 所以FG/∥AH,… …5分 第5页 又FG丈平面ABE,AHC平面ABE, 所以FG/∥平面ABE.…8分 B H (2)取AB的中点M,过M作MNAG,且MN=BB,连接CM,GN,EN, 又E是CC,的中点，所以CE∥BB,且CE=BB, 2 所以MN∥CE,且MN=CE, 所以四边形MNEC为平行四边形， 所以CM∥EN.…I0分 又AC=BC,所以CM⊥AB 又因为AA⊥平面ABC,CMC平面ABC, 所以AA⊥CM,又A4∩AB=A,所以CM⊥平面ABBA1,…12分 所以EN⊥平面ABB,A, 所以∠EGN是EG与平面ABBA所成的角，…14分 其中EN=CM-25,NG=√AM+(AG-MW)=√5， 在Rt△GNE中，tan∠EGN= EN25215 NG√55 即G与平面A8BA所成角的正切值为2.（未化简不扣分）…17分 19.【解析】1)不妨设半径分别为25,55，V5的三个托里拆利圆所对应等边三角形的 3 3 边长分别为4，b,c, sn60° n60s2x56 由正弦定理得Q=2×25,b 3imn60°2x3g 3 第6页 解得a=6,b=5,c=V13,… …2分 所以cosC-&+b-c26+52-(V3) 4 …4分 2ab 2×6×5 5 所以sinC=V-cos'C-3 所以△1BC的面积S=bsnC=x6×5×2=9…5分 2 2 5 （2)由圆的性质可知∠ATB=∠ATC=∠BTC=120°，…7分 所以7i-7i+i.7元+7店-7元-A,Eco∠A7B+dcos∠A7C+F国cos∠B7C 253A8m214花m120+7870m1e0-258o+8+s） 32 2S= 2W3 ×9=-6W3.… 3 …11分 3 (3)由(2)知A7B+7A-7C+7B-7C-F++E-d-125.…12分 在△ATB中，由余弦定理得c2=TA+TB2-2TA·TB cos∠ATB, 即13=TA2+TB2-2TA.TBc0s120°=TA2+TB2+TA-TB,…14分 同理可得25=TA2+TC2+IA.TC,36=TB2+TC2+TBTC, 以上三式相加得74=2(TA+TB2+TC2)+TA·TB+TATC+TB.TC=2(TA+TB2+TC2)+12√3， 所以TA2+TB2+TC2=37-6√5.…17分 第7页