第六章　平行四边形【章末复习】课件 2025-2026学年北师大版数学八年级下册

北师大版数学8年级下册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（*）班 . 时 间： . 2026年4月28日 章末复习 第六章　平行四边形 北师大版八年级数学下册 第六章 平行四边形 章末复习题 班级：________ 姓名：________ 得分：________ 时间：45分钟 本次章末复习题涵盖第六章全章核心知识点，包括平行四边形的定义、边、角、对角线的性质，平行四边形的判定方法（边、对角线关系），平行线间的距离，三角形的中位线及其性质，分层考查基础掌握、综合运用与推理证明能力，助力梳理全章知识体系，查漏补缺，巩固复习效果。 一、选择题（每题3分，共15分） 1. 下列图形中，一定是平行四边形的是（ ） A. 邻边相等的四边形 B. 两组对边分别平行的四边形 C. 有一个角是直角的四边形 D. 对角线相等的四边形 2. 在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若OA=3cm，OB=4cm，则▱ABCD的周长可能为（ ） A. 10cm B. 12cm C. 16cm D. 20cm 3. 下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ） A. AB∥CD，AB=CD B. AB=CD，AD=BC C. AB∥CD，AD=BC D. OA=OC，OB=OD 4. 在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，若DE=5cm，BC边上的高为8cm，则△ABC的面积为（ ） A. 20cm² B. 40cm² C. 60cm² D. 80cm² 5. 下列关于平行线间距离和三角形中位线的说法，错误的是（ ） A. 平行线间的距离处处相等 B. 三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半 C. 平行四边形的一组对边之间的距离处处相等 D. 连接三角形三边中点所得的四边形是菱形 二、填空题（每题3分，共15分） 1. 平行四边形的性质：对边________且________，对角________，邻角________，对角线________。 2. 平行四边形的判定方法（写出2种）：①________；②________。 3. 两条平行线间的距离：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的________的长度。 4. 在△ABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，若△ABC的周长为36cm，则△DEF的周长为________cm。 5. 在▱ABCD中，AB=6cm，AD=4cm，AB与CD之间的距离为3cm，则▱ABCD的面积为________cm²。 三、解答题（共70分） 1. （10分）基础应用题，考查平行四边形的性质与三角形中位线的简单运用。 （1）在▱ABCD中，AB=8cm，AD=6cm，求▱ABCD的周长； （2）在▱ABCD中，∠A=105°，求∠B、∠C、∠D的度数； （3）在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，若BC=14cm，求DE的长度； （4）已知l₁∥l₂，两条平行线间的距离为5cm，过l₁上一点作l₂的垂线，求垂线段的长度。 解： 2. （12分）推理与计算题，综合运用平行四边形的性质与判定。 （1）在四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD，求证：四边形ABCD是平行四边形； （2）在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OA=2x-1，OC=x+2，求x的值及AC的长度； （3）在△ABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，求证：四边形ADEF是平行四边形； （4）在▱ABCD中，周长为40cm，AB比AD长4cm，求平行四边形各边的长度。 解： 3. （12分）综合几何题，结合平行四边形与三角形中位线。 （1）在▱ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，求证：四边形AECF是平行四边形； （2）在△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，D、E分别是AC、BC的中点，求DE的长度及四边形ADEB的面积； （3）在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形； （4）在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F分别是OB、OD的中点，求证：四边形AECF是平行四边形。 解： 4. （12分）判断下列说法是否正确，若正确，说明理由；若错误，举出反例。 （1）对角线互相平分的四边形是平行四边形； （2）三角形的中位线所组成的三角形与原三角形面积比为1:4； （3）一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形； （4）平行线间的所有垂线段都相等。 解： 5. （12分）综合应用题，灵活运用全章知识点求解。 （1）在▱ABCD中，AB=10cm，AD=8cm，AB与AD之间的夹角为60°，求AB与CD之间的距离； （2）在△ABC中，D是AB的中点，E是AC的中点，连接DE并延长至点F，使EF=DE，连接CF，求证：CF∥AB且CF=AD； （3）在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC⊥BD，AB=6cm，AC=8cm，求BD的长度及▱ABCD的面积。 解： 6. （10分）拓展应用题，结合实际场景考查综合运用能力。 （1）一块平行四边形的草坪，相邻两边长分别为12米和8米，其中一组对边之间的距离为6米，求这块草坪的面积及另一组对边之间的距离； （2）一块三角形的菜地，三边长分别为12米、16米、20米，现要在菜地内部连接三边中点，围成一个小三角形区域种植蔬菜，求小三角形的周长和面积。 解： 参考答案（简要提示） 一、选择题：1.B 2.C 3.C 4.B 5.D 二、填空题：1.平行；相等；相等；互补；互相平分 2.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形（答案不唯一） 3.垂线段 4.18 5.18 三、解答题：1.（1）28cm；（2）∠B=75°，∠C=105°，∠D=75°；（3）7cm；（4）5cm 2.（1）略；（2）x=3，AC=10cm；（3）略；（4）AB=CD=12cm，AD=BC=8cm 3.（1）略；（2）DE=5cm，面积24cm²；（3）略；（4）略 4.（1）正确；（2）正确；（3）错误，反例：等腰梯形；（4）正确 5.（1）4√3 cm；（2）略；（3）BD=12cm，面积48cm² 6.（1）面积72平方米，另一组距离9米；（2）周长24米，面积24平方米 平行且相等 相等 互相平分 中心 对角线 平行 相等 平行且相等 互相平分 距离 平行线段 第三边 第三边 的一半 (n－2)·180° 360° 2 例1 如图，在平行四边形 ABCD 中，下列结论中错误的是（　　） A．∠1 =∠2 B．∠BAD =∠BCD C．AB = CD D．AC = BC D 考点一 平行四边形的性质 例3 如图，四边形 ABCD 的对角线交于点 O，下列哪组条件不能判断四边形 ABCD 是平行四边形（　 ） A．OA = OC，OB = OD B．∠BAD =∠BCD，AB∥CD C．AD∥BC，AD = BC D．AB = CD，AO = CO D 考点二 平行四边形的判定 例4 如图，已知 E，F 分别是□ABCD的边 BC、AD 上的点，且BE = DF．求证：四边形 AECF 是平行四边形. 证明：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AD∥BC，且 AD = BC (平行四边形的对边平行且相等). ∴ AF∥EC. ∵ BE = DF，∴ AF = EC. ∴ 四边形 AECF 是平行四边形. 考点三 平行四边形性质和判定的综合应用 证明：取 CF 的中点 H，连接 DH. ∵ AD 是△ABC 的中线，∴ D 是 BC 的中点. ∴ DH∥BF，即 EF∥DH. 取 AH 的中点 F′，连接 EF′， 同理可得 EF′∥DH，∴ 点 F 和 F′ 重合. ∴ AF＝FH＝ FC. 例5 已知：AD 是△ABC 的中线，E 是 AD 的中点，F 是 BE 的延长线与 AC 的交点. 求证： A B C D E F H 考点四 三角形的中位线 例6 已知一个多边形的每个外角都是其相邻内角度数的 ，求这个多边形的边数. 解：设此多边形的外角的度数为 x， 则内角的度数为 4x， 则 x + 4x = 180°，解得 x = 36°. ∴ 边数 n = 360°÷36° = 10. 考点五 多边形的内角和与外角和 ▱DBEF，▱DECF，▱DEFA　 返回 1． 如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC边的中点，则图中所有的平行四边形有_______________________. 中考考法 8 返回 C 2． 如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在E处．若∠1＝56°，∠2＝42°，则∠A的度数为(　　) A．108° B．109° C．110° D．111° 中考考法 9 3． [2025成都期末]如图，在▱ABCD中，E是AD边上的点，连接CE，过B作BF⊥CE，垂足为F，延长BF交CD于点G，2∠DCE＋∠CED＝90°. (1)求证：BG＝AD； 中考考法 10 【证明】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠CED＝∠BCE， ∵2∠DCE＋∠CED＝90°，2∠DCE＋∠CED＝ ∠DCE＋∠DCE＋∠CED＝∠DCE＋∠BCG， ∴∠DCE＋∠BCG＝90°. ∵BF⊥CE，∴∠CFG＝90°，∴∠DCE＋∠BGC＝90°， ∴∠BGC＝∠BCG，∴BG＝BC，∴BG＝AD. 中考考法 (2)若DG＝GC，CF＝3，FG＝1，求四边形ABGD的面积． 中考考法 返回 中考考法 4． AE＝CF(答案不唯一) 如图，在四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F. (1)请你添加一个条件(不另加辅助线)，使得四边形AECF为平行四边形，你添加的条件是____________________； 中考考法 14 (2)添加了条件后，证明四边形AECF为平行四边形． 【证明】∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴AE∥CF. 又∵AE＝CF，∴四边形AECF为平行四边形． 返回 中考考法 5． 返回 B [2025资阳]三角形的周长为48 cm，则它的三条中位线组成的三角形的周长是(　　) A．12 cm B．24 cm C．28 cm D．30 cm 中考考法 16 6． 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上的一点，连接CD，∠ADC＋∠DCB＝90°，AE平分∠CAB交CD于点E. (1)求证：AE垂直平分CD； 中考考法 17 【证明】∵∠ACB＝∠ACD＋∠DCB＝90°， ∠ADC＋∠DCB＝90°，∴∠ACD＝∠ADC. ∴AC＝AD.∴△ACD为等腰三角形． 又∵AE平分∠CAB，∴AE⊥CD，CE＝DE. ∴AE垂直平分CD. 中考考法 (2)若AC＝6，BC＝8，F为BC的中点，连接EF，求EF的长． 返回 中考考法 7． 返回 45 [2025湖南]如图，左图为传统建筑中的一种窗格，右图为其窗框的示意图，多边形ABCDEFGH为正八边形，连接AC，BD，AC与BD交于点M，则∠AMB＝________°. 中考考法 20 8． 某同学在进行多边形的内角和的计算时，求得的内角和为1 125°，当发现错了以后，重新检查，发现少算了 一个内角，则少算的这个内角是多少度？他求的是几边形的内角和？ 中考考法 21 返回 【解】设此多边形的内角和为x°， 则有1 125<x<1 125＋180，即180×6＋45<x<180×7＋45. ∵x°为多边形的内角和，∴它应为180°的正整数倍． ∴x＝180×7＝1 260. ∴1 260°－1 125°＝135°，7＋2＝9. ∴少算的这个内角是135°，他求的是九边形的内角和． 中考考法 9． 返回 【解】设此多边形的边数为n， 则(n－2)·180°＝1 440°＋360°，解得n＝12. ∴这个多边形的边数为12. 已知一个多边形的内角和与外角和的差为1 440°. (1)求这个多边形的边数； (2)如果这个多边形是正多边形，则它的每一个内角是________． 150° 中考考法 23 10． [2025南京期末]对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，称P，Q两点间距离的最小值为图形M，N间的“最近距离”，记作d(M，N)．如图，在▱ABCD中，点A(6，12)，B(－6，0)，C(－6，－12)，D(6，0)． (1)d(点O，▱ABCD)＝________. 中考考法 24 (2)若点P在y轴正半轴上，d(点P，▱ABCD)＝2，求点P的坐标； 【解】设AB交y轴于点M，易得M(0，6)，∠BMO＝45°. 作PQ⊥AB于Q，如图①，当点P在点M的上方时，∵d(点P，▱ABCD)＝2，∴PQ＝2， ∵∠PMQ＝∠BMO＝45°，∴MQ＝PQ＝2， 中考考法 中考考法 (3)若已知点E(a，－a)，F(a＋2，－a)，G(a＋1，－a－1)，H(a＋3，－a－1)，顺次连接点E，F，H，G，将得到的四边形记为图形W. ①当a＝0时，直接写出d(W，▱ABCD)的值； 中考考法 【点拨】 ∵a＝0，∴E(0，0)，F(2，0)，G(1，－1)，H(3，－1)，在平面直角坐标系中描点，依次连接各点，如图③所示，▱EFHG即为图形W，过点H作HK⊥BD，垂足为K，延长FH，交CD于N，∵F(2，0)，H(3，－1)，∴K(3，0)，∴FK＝3－2＝1，HK＝0－(－1)＝1，∴FK＝HK，∴∠KFH＝45°＝∠FHK，∵BD＝BC＝12，∴∠BDC＝45°＝∠BCD， 中考考法 中考考法 ②若d(W，▱ABCD)≥1，直接写出a的取值范围． 中考考法 【点拨】 中考考法 中考考法 返回 中考考法 平 行 四 边 形 性质 ①对边平行且相等 ②对角相等，邻角互补 ③对角线互相平分 判定 ①两组对边分别平行的 ②两组对边分别相等的 ③一组对边平行且相等的 ④对角线互相平分的 四 边 形 平行四边形 三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. 多边形的内角和与外角和 内角和计算公式 (n - 2)×180° (n≥3且为整数) 外角和 多边形的外角和等于 360°. 特别注意：与边数无关 正多边形 内角= ，外角= 【解】作BH⊥CD于点H，如图． ∵FG＝1，∴BF＝GB－1，由(1)可知，BG＝BC， ∵∠CFG＝∠CFB＝90°，CF＝3，∴DG＝CG＝＝＝，CF2＋BF2＝BC2， ∴AB＝CD＝2DG＝2，32＋(BG－1)2＝BG2，解得BG＝5， ∵S△BCG＝BH＝×5×3，∴BH＝， ∵DG∥AB， ∴S四边形ABGD＝(＋2)×＝. 【解】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8， ∴AB＝＝＝10. 由(1)知AD＝AC＝6，∴BD＝AB－AD＝4. 由(1)知CE＝DE，∴E为CD的中点． 又∵F为BC的中点，∴EF为△CBD的中位线．∴EF＝BD＝2. 3 在Rt△PQM中，由勾股定理得，PM＝＝2， ∴OP＝6＋2， ∴点P的坐标为(0，6＋2); 　如图②，当点P在点M的下方时， 同理可得PM＝2，∴OP＝6－2， ∴点P的坐标为(0，6－2)； 综上，点P的坐标为(0，6＋2)或(0，6－2)． 【解】d(W，▱ABCD)＝. ∴∠BDC＝∠KFH＝45°，∴∠FND＝90°，FN＝DN，∴d(W，▱ABCD)＝HN，∵FN2＋DN2＝DF2，∴2FN2＝DF2＝16， ∴FN＝2(负值已舍去)，∵FK2＋KH2＝FH2，∴FH＝，∴HN＝FN－FH＝，∴d(W，▱ABCD)的值为； 【解】a≤－5－或a≥3＋或－3＋≤a≤1－. 如图④，将直线AD，BC向左向右各平移1个单位长度，直线AB，CD向上向下各平移个单位长度，得到▱A1B1C1D1和▱A2B2C2D2，∴当▱EFHG在▱A2B2C2D2内或▱A1B1C1D1外时，符合题意，∵点A(6，12)，B(－6，0)，C(－6，－12)，D(6，0)，∴直线AB：y＝x＋6，直线CD：y＝x－6，∴直线A1B1：y＝x＋6＋， 直线C1D1：y＝x－6－，直线A2B2：y＝x＋6－，直线C2D2：y＝x－6＋，∵点E(a，－a)，F(a＋2，－a)，G(a＋1，－a－1)，H(a＋3，－a－1)，∴点E，G在直线 y＝－x上，点F，H在直线y＝－x＋2上，设直线A1B1与直线y＝－x＋2交于点P，直线C2D2与直线y＝－x＋2交于点M，直线A2B2与直线y＝－x交于点Q， 直线C1D1与直线y＝－x交于点N，∴P，Q，M，N，∴a＋3≤－2－或a≥3＋或 解得a≤－5－或a≥3＋或－3＋≤a≤1－. $