精品解析：湖北黄冈市蕲春县第一高级中2026届高三下学期数学测试题8

蕲春一中2026届高三下学期数学测试题8 命题人：陈成 审题：高三数学组 时间：2026.3.31 满分：150分 一、单选题 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先化简集合A，再根据并集的定义可得. 【详解】由不等式，可得；又因为，因此. 又因为，所以. 2. 已知（其中是虚数单位），则的共轭复数为（ ） A. 2 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法运算化简复数，再求共轭复数. 【详解】，则. 3. 函数 ，的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性，结合余弦函数的性质逐一排除即可. 【详解】当， ， 所以该函数是奇函数，图象关于原点对称，排除AD. 当时，，可以排除C. 故选：B 4. 已知向量满足，，且与的夹角为 ，则为（ ） A. B. C. 7 D. 21 【答案】A 【解析】 【详解】由向量，可得， 因为，且与夹角为，所以， 则，所以. 5. 设等差数列的前项和为，若，则满足的正整数的值为（ ） A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 【答案】B 【解析】 【详解】由，则，，则， 因为是等差数列，则，即是递减数列， 又，， 则满足的正整数的值为14. 6. 已知双曲线的右顶点为，抛物线的焦点为.若在双曲线的渐近线上存在点，使得，则双曲线的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出双曲线的右顶点和渐近线方程，抛物线的焦点坐标，可设，根据向量的数量积为；再由二次方程有实根的条件：判别式大于等于，化简整理，结合离心率公式即可得到所求范围． 【详解】双曲线的右顶点，渐近线方程为， 抛物线的焦点为， 设，则，， 由可得：， 整理可得：， ， ， ， 则：， 由可得：. 故选：B. 7. 若函数的两个零点分别为和，则（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用辅助角公式化简，再利用函数零点的意义及正弦函数的性质求得，进而求出，最后利用二倍角的余弦求值. 【详解】函数，其中， 由，得，而， 因此，即，则即， 所以. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：利用辅助角公式化简，结合正弦函数的性质用零点表示辅助角是求解问题的关键. 8. 棱长为的正方体盒子中装有半径分别为1和2的两个铁球，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题关键在于分析两个铁球在正方体盒子中的放置情况,当两个铁球刚好外切且与正方体的某些面接触时,此时正方体的棱长取到最小值. 通过建立几何关系可以求出这个最小值. 【详解】设正方体为,球,的半径分别为,.当两个球在正方体中,要使正方体的棱长最小,两个球应分别位于正方体的两个相对顶点处,且与正方体的面相切.不妨设两球的球心在体对角线上. 因为正方体的棱长为,所以体对角线,在直角中, 又因为可以得到,. 因为，当两球外切时，，取最小值. 即 所以,即正方体的棱长最小值为. 二、多选题 9. 下列说法正确的是（ ） A. 数据2，3，4，5，6，7，8，9的第25百分位数为3 B. 若随机变量，，则 C. 某校在对高一（2）班学生的数学成绩调查中，随机抽取10名男生的数学成绩，其平均数为105，方差为24，随机抽取5名女生的数学成绩，其平均数为102，方差为21，则这15名学生的数学成绩的方差为25 D. 一箱12罐的饮料中4罐有奖券，每张奖券奖励饮料一罐，从中任意抽取2罐，则这2罐中有奖券的概率为 【答案】BC 【解析】 【分析】A选项，由百分位数的定义进行求解；B选项，利用二项分布的期望和方差公式进行求解；C选项，利用总体方差和样本方差的关系进行求解；D选项，利用超几何分布求解相应的概率 【详解】A选项，，故从小到大选取第2和第3个数的平均数作为第25百分位数， 即，故数据2，3，4，5，6，7，8，9的第25百分位数为3.5，A错误； B选项，随机变量，，即，解得， 所以则，B正确； C选项，这15名学生的数学成绩的平均数为， 故这15名学生的数学成绩的方差为，C正确； D选项，2罐中有奖券的概率为，D错误. 10. 设 ，则（ ） A. B. C. 的最小值为 D. 若且当时， 则有 【答案】AC 【解析】 【分析】先写出二项式的展开式的通项，根据各选项中对各项系数的要求，对照可得其表达式，分别求解可判断A，C两项；采用赋值法即可判断B项；根据题意先求出，即得时，，将其代入化简计算即可判断D项 【详解】因二项式的展开式的通项为， 对于A，由题意，故A正确； 对于B，在中， 取，可得，故B错误； 对于C，， 因，当时，的最小值为，故C正确； 对于D，由二项式的通项， 令，可得， 因且当时， 则当时，， 于是当时， ， 故，故D错误. 故选：AC 11. 已知等式其中e是自然对数的底数，将a视为自变量x（，），b为x的函数，记为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 若方程有4个不等的实根，则 D. 当时，若的两实根为，，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意求出，即可判断A选项；利用导数求出函数的单调性即可判断B选项；利用为偶函数，结合函数的单调性即可判断C选项；利用对数均值不等式即可判断D选项. 【详解】由题意知，，故即， 且，故， 对于A，，故A正确； 对于B，故在上，单调递增； 在和上，单调递减； 故且故，故B正确； 对于C，，故为偶函数， 则有4个不等的实根，即，有2个不等的实根， 且在和上单调递减，在上单调递增， 故，即，故C错误； 对于D，由的单调性可知，当时，若的两实根为，， 则， 且，故， 引入不等式， 证明过程如下：不妨设， 因为， 设，，则问题转化为：，． 令， 所以在上恒成立， 所以在上单调递增；所以， 故，成立，所以． 故， 故，故D正确. 故选：ABD 三、填空题 12. 已知数列为正项等比数列，数列满足，若，，则________. 【答案】20 【解析】 【详解】因为数列为正项等比数列，数列满足，则， 所以为定值，所以数列为等差数列， 由，故. 13. 现将位民警派往甲，乙，丙，丁，戊5个学校进行“反校园欺凌”普法宣讲，每人只到1个学校，每个学校只去1人.已知民警不能去甲学校，两位民警不能到乙学校，则不同的分派方法共有__________种. 【答案】60 【解析】 【分析】利用间接法可求得不同的分派方法总数. 【详解】因为每人只到1个学校，每个学校只去1人，所以将5人全排列有种， 其中将A民警安排在甲学校有种不同的安排方法， 将民警B或C安排在乙学校有种不同的安排方法， 又A民警在甲学校，且民警B或C在乙学校有， 所以A民警不能去甲学校，B，C两位民警不能到乙学校， 则不同的分派方法共有种. 故答案为：60. 14. 已知向量，，，若向量满足，则的最大值为________. 【答案】## 【解析】 【分析】由向量数量积可得夹角为60°，通过坐标化将条件转化为圆的标准方程，圆心为，半径为，从而的模表示圆上的点到原点的距离，进而求出的最大值. 【详解】由题可知，设夹角为， 则，， 设， ，代入坐标化简得： 故的最大值为原点到圆上的点最大距离，如下图所示， 又圆心，半径，， 故. 四、解答题 15. 的内角的对边分别为，且. （1）求； （2）若的外接圆半径为，且，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边化角，再结合辅助角公式即可求解； （2）由正弦定理求得，再由余弦定理求得，结合面积公式求解. 【小问1详解】 由 可得：， 即, 即， 又， 所以， 所以，即， 又, 所以， 所以. 【小问2详解】 由（1）可得：， 所以， 又，可得：， 由， 解得：， 所以. 16. 已知函数. （1）当时，求的最大值； （2）判断函数在的零点个数，并说明理由 【答案】（1） （2）1，理由为： 令，则，，整理得， 令，则，， 当时，，所以在上单调递减， 又，，所以由零点存在性定理得，在上存在唯一零点， 当时，，，两个不等式等号无法同时成立， ，此时函数无零点， 综上所述，在上存在唯一零点， 即函数在上的零点个数为. 【解析】 【分析】（1）求导后可得函数单调性，即可得其最大值； （2）令，可得，构造函数，借助导数可研究其单调性，利用单调性与零点存在性定理即可得解. 【小问1详解】 由题意得，，，令，解得， 所以当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的最大值为. 【小问2详解】 略 17. 已知椭圆（）的离心率为，且椭圆C过点. （1）求椭圆C的方程； （2）椭圆C的左、右顶点分别为A，B两点，直线l交椭圆C于M，N两点（点M，N异于点A，B），直线，的斜率分别为，，且.证明：直线l过定点. 【答案】（1） （2） 由条件可得直线的斜率不为，故设直线l方程为，，， 由 消去x，得， 方程的判别式， ，， 又因为，， 点在椭圆C上，则， 由，得， 所以， 所以， 所以， 即 或（舍去）， 故直线l方程为，所以直线l过定点. 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的性质，结合已知条件求出的值，进而得出椭圆的方程； （2）设出直线的方程，联立椭圆方程，利用根与系数的关系得到的表达式，再根据斜率公式和已知条件建立等式，化简等式后求出直线所过的定点. 【小问1详解】 因为椭圆C过点 ， 又离心率为 ， 所以椭圆C的方程为； 【小问2详解】 略 18. 为备战2026年第十一届全国学生“学宪法讲宪法”比赛，某校举办了法治素养竞赛（分初赛和决赛两部分）．初赛从6道题中任选2题作答，2题均答对则进入决赛．已进入决赛的参赛者允许连续抽奖3次，中奖1次奖励120元，中奖2次奖励180元，中奖3次奖励360元，若3次均未中奖，则只奖励60元．假设每次抽奖中奖的概率均为，且每次是否中奖相互独立． （1）已知初赛6道题中甲能答对其中4道题，记甲在初赛中答对的题目个数为，求的数学期望以及甲在已经答对一题的前提下，仍未进入决赛的概率； （2）假设该校共选拔出9名同学进入决赛，若这9名同学获得的总奖金的期望值不小于1120元，试求此时的取值范围． 【答案】（1）期望为； （2） 【解析】 【分析】（1）根据超几何的期望公式即可求解，利用条件概率以及超几何概率的计算公式可求解概率， （2）根据二项分布的概率公式以及期望公式求解一个人获得奖金的期望，进而根据题意得，构造函数，利用导数求解函数的单调性得解. 【小问1详解】 记总题数，甲会做的题数， 从中任选2题作答，则答对题数服从超几何分布， 数学期望． 事件“已答对一题”即；“仍未进入决赛”即， 由条件概率公式得：． 【小问2详解】 设进入决赛的同学获得的奖金为元， 其分布为， 期望，化简得 9名同学总奖金的期望， 即．整理得． 令，由知在单调递增， 又，因此不等式解为， 结合，得． 19. 如图1所示，用一个截面去截圆锥，记圆锥的母线与圆锥的轴线的夹角为，截面与圆锥的轴线的夹角为，当时，截线是圆；当时，截线是椭圆；当时，截线是抛物线；当时，截线为双曲线. 如图2所示，为圆锥的顶点，为底面圆心，为圆的一条直径，且为弧的中点，点满足，点为线段的中点； （1）求直线与平面所成角的大小； （2）平面与圆锥的截线记为曲线，在平面内，以所在的直线为轴（设以的方向为轴正方向），以线段的中垂线为轴（设以逆时针旋转后的方向为轴正方向），建立平面直角坐标系. ①求出曲线的标准方程； ②设为曲线上两动点，若的平分线与轴垂直，求证：直线的斜率是定值，并求出这个定值. 【答案】（1） （2）①；②易知直线 的斜率存在，设其方程为， 联立得， 设点，由韦达定理与点坐标，则， 的平分线与轴垂直，故直线 与直线的斜率互为相反数， 设直线的方程为， 设点，同理可得， 故直线 的斜率为，是一个定值. 【解析】 【分析】（1）由题设建立适当空间直角坐标系，求出和平面的一个法向量即可由向量夹角余弦公式计算求解，进而得解； （2）①先由题设结合（1）得到曲线是椭圆，由求出，接着求出点在平面内的坐标，由点在曲线上求出即可得解； ②设直线 的方程为，与椭圆联立求出韦达定理，设点，由韦达定理与点坐标求出，同理求出点中的，即可计算直线 的斜率是一个定值. 【小问1详解】 由题设以为原点，分别以所在直线和正方向为轴､轴､ 轴，建立空间直角坐标系， 则， 故， 设平面的一个法向量为， 则，令，则 故，则， 故直线与平面所成角的大小为. 【小问2详解】 ①由（1）知，直线与圆锥母线所成的角为，且，故曲线为椭圆， 设该椭圆的方程为，故 ； 由（1）可得，设与的交点为 ， 则， 易得，即 ，且， 设的中点为，易得，故， 故点在平面内的坐标为， 因为点在曲线上，故有， 故曲线的标准方程为. ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 蕲春一中2026届高三下学期数学测试题8 命题人：陈成 审题：高三数学组 时间：2026.3.31 满分：150分 一、单选题 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知（其中是虚数单位），则的共轭复数为（ ） A. 2 B. 2 C. D. 3. 函数 ，的图象大致为（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量满足，，且与的夹角为 ，则为（ ） A. B. C. 7 D. 21 5. 设等差数列的前项和为，若，则满足的正整数的值为（ ） A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 6. 已知双曲线的右顶点为，抛物线的焦点为.若在双曲线的渐近线上存在点，使得，则双曲线的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 若函数的两个零点分别为和，则（   ） A. B. C. D. 8. 棱长为的正方体盒子中装有半径分别为1和2的两个铁球，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. D. 6 二、多选题 9. 下列说法正确的是（ ） A. 数据2，3，4，5，6，7，8，9的第25百分位数为3 B. 若随机变量，，则 C. 某校在对高一（2）班学生的数学成绩调查中，随机抽取10名男生的数学成绩，其平均数为105，方差为24，随机抽取5名女生的数学成绩，其平均数为102，方差为21，则这15名学生的数学成绩的方差为25 D. 一箱12罐的饮料中4罐有奖券，每张奖券奖励饮料一罐，从中任意抽取2罐，则这2罐中有奖券的概率为 10. 设 ，则（ ） A. B. C. 的最小值为 D. 若且当时， 则有 11. 已知等式其中e是自然对数的底数，将a视为自变量x（，），b为x的函数，记为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 若方程有4个不等的实根，则 D. 当时，若的两实根为，，则 三、填空题 12. 已知数列为正项等比数列，数列满足，若，，则________. 13. 现将位民警派往甲，乙，丙，丁，戊5个学校进行“反校园欺凌”普法宣讲，每人只到1个学校，每个学校只去1人.已知民警不能去甲学校，两位民警不能到乙学校，则不同的分派方法共有__________种. 14. 已知向量，，，若向量满足，则的最大值为________. 四、解答题 15. 的内角的对边分别为，且. （1）求； （2）若的外接圆半径为，且，求的面积. 16. 已知函数. （1）当时，求的最大值； （2）判断函数在的零点个数，并说明理由 17. 已知椭圆（）的离心率为，且椭圆C过点. （1）求椭圆C的方程； （2）椭圆C的左、右顶点分别为A，B两点，直线l交椭圆C于M，N两点（点M，N异于点A，B），直线，的斜率分别为，，且.证明：直线l过定点. 18. 为备战2026年第十一届全国学生“学宪法讲宪法”比赛，某校举办了法治素养竞赛（分初赛和决赛两部分）．初赛从6道题中任选2题作答，2题均答对则进入决赛．已进入决赛的参赛者允许连续抽奖3次，中奖1次奖励120元，中奖2次奖励180元，中奖3次奖励360元，若3次均未中奖，则只奖励60元．假设每次抽奖中奖的概率均为，且每次是否中奖相互独立． （1）已知初赛6道题中甲能答对其中4道题，记甲在初赛中答对的题目个数为，求的数学期望以及甲在已经答对一题的前提下，仍未进入决赛的概率； （2）假设该校共选拔出9名同学进入决赛，若这9名同学获得的总奖金的期望值不小于1120元，试求此时的取值范围． 19. 如图1所示，用一个截面去截圆锥，记圆锥的母线与圆锥的轴线的夹角为，截面与圆锥的轴线的夹角为，当时，截线是圆；当时，截线是椭圆；当时，截线是抛物线；当时，截线为双曲线. 如图2所示，为圆锥的顶点，为底面圆心，为圆的一条直径，且为弧的中点，点满足，点为线段的中点； （1）求直线与平面所成角的大小； （2）平面与圆锥的截线记为曲线，在平面内，以所在的直线为轴（设以的方向为轴正方向），以线段的中垂线为轴（设以逆时针旋转后的方向为轴正方向），建立平面直角坐标系. ①求出曲线的标准方程； ②设为曲线上两动点，若的平分线与轴垂直，求证：直线的斜率是定值，并求出这个定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $