考点03 证明（3大题型）（专项训练）数学新教材苏科版七年级下册

考点03 证明 考点一：证明的概念 从命题的条件出发，根据一些已知的事实（如概念的定义，基本性质，真命题等），用“因为……，所以……”的形式一步一步推出命题的结论，从而确定这个命题为真命题的过程称为证明（proof）. 考点二：证明的依据 （1）已知条件：题目给出的前提 （2）定义：本章及之前学过的概念定义 （3）基本事实（公理）：无需证明、公认成立的真命题（如：两点确定一条直线；同位角相等，两直线平行） （4）定理：已经证明为真的命题，可直接作为后续证明依据（如：对顶角相等，三角形内角和为180°） 考点三：证明的一般步骤 根据题设、结论，结合图形，写出已知、求证，经过分析找出由已知推出结论的途径，写出证明过程，并注明依据。 题型一：平行线的性质与证明 平行线的性质： （1）两直线平行，同位角相等 （2）两直线平行，内错角相等 （3）两直线平行，同旁内角互补 平行线的判定： （1）同位角相等 ⇒ 两直线平行 （2）内错角相等 ⇒ 两直线平行 （3）同旁内角互补 ⇒ 两直线平行 （4）平行于同一直线的两直线互相平行 （5）垂直于同一直线的两直线互相平行 （1）把判定和性质用反； （2）看错角的位置，把内错角当成同位角； （3）忽略对顶角、邻补角，少一步倒角． 【典例精讲】（2026春•石家庄校级期中）完成下面探究命题“内错角相等”是真命题还是假命题的过程． 如图，已知AB与CD相交于点O，AB与EF相交于点H，CD与EF相交于点G． （1）找出∠1的一个内错角　∠OHF（答案不唯一）　 ，∠1与这个内错角　不相等　 （填“相等”或“不相等”），所以该命题是：　假命题　 （填“真命题”或“假命题”）； （2）在（1）的基础上，若该命题是真命题，给出证明；若是假命题，改变一个已知条件，使得该命题为真命题． 【分析】（1）根据内错角的定义求解，然后判断即可； （2）根据平行线的性质求解即可． 【解答】解：（1）找出∠1的一个内错角∠OHF（答案不唯一），∠1与这个内错角不相等，所以该命题是：假命题， 故答案为：∠OHF（答案不唯一），不相等，假命题； （2）改变的条件为：若CD∥EF，则∠1＝∠OHF． 【变式训练1】（2026春•七星区校级月考）命题“如果两条直线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行，那么这两条直线也互相平行”．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程． （1）已知：如图，EF分别交AB，CD于G，H，EF分别交AB，CD于G，H，GI平分∠AGH，HJ平分∠GHD ，GI∥HJ，求证AB∥CD ． （2）证明： （3）命题“如果两条平行直线被第三条直线所截，那么一组同旁内角的角平分线互相垂直”，此命题是　真　 命题（填“真”或“假”）． 【分析】（1）根据题意、结合图形写出已知和求证即可； （2）根据平行线的性质和判定证明即可； （3）写出已知和求证，然后证明即可． 【解答】解：（1）命题“如果两条直线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行，那么这两条直线也互相平行”． 如图，EF分别交AB，CD于G，H，GI平分∠AGH，HJ平分∠GHD，GI∥HJ．求证：AB∥CD． 故答案为：EF分别交AB，CD于G，H，GI平分∠AGH，HJ平分∠GHD；AB∥CD； （2）证明：∵GI平分∠AGH， ∴∠AGH＝2∠IGH， ∵HJ平分∠GHD， ∴∠DHG＝2∠JHG， ∵GI∥HJ， ∴∠IGH＝∠JHG， ∴∠AGH＝∠DHG， ∴AB∥CD； （3）命题“如果两条平行直线被第三条直线所截，那么一组同旁内角的角平分线互相垂直”，此命题是真命题， 已知：AB∥CD，被EF所截，GN平分∠AGH，HM平分∠CHG，求证：GN⊥MH； 如图所示， ∵AB∥CD，被EF所截，GN平分∠AGH，HM平分∠CHG， ∴∠AGH+∠CHG＝180°， ，，则：， ∴GN⊥MH． 【变式训练2】（2025秋•市南区校级期末）请你完成命题“平面内，垂直于同一条直线的两直线平行”的证明． 【分析】根据题意写出已知和求证，根据垂直的定义、平行线的判定证明． 【解答】已知：如图，直线a⊥c，b⊥c． 求证：a∥b． 证明：∵a⊥c，b⊥c（已知）， ∴∠1＝90°，∠2＝90°（垂直的定义）， ∴∠1＝∠2（等量代换）， ∴a∥b（同位角相等，两直线平行）． 【变式训练3】（2025春•闵行区校级期中）如图，在三角形ABC中，D、E是AB上的点，F是BC上一点，G、H是AC上的点，FD⊥AB，连接EF、EH、EG．有下列三个条件：①EG⊥AB；②∠1＝∠2；③EH∥BC． （1）请从三个条件中任选两个与题干结合作为题设，另一个作为结论，写出所有命题，并判断这些命题是真命题还是假命题； （2）请你选择（1）中的一个真命题进行证明． 【分析】（1）根据题意写出命题，并判断真假即可； （2）选择命题一：先根据垂直得到DF∥EG，即可得到∠HEF＝∠BFE，然后根据角的和差解题即可；选择命题二：延长EG、BC交于点M，根据垂直可得∠BDF＝90°，然后根据H∥BC，得到∠2＝∠M，然后根据等量代换的到∠1＝∠M，即可得到FD∥EM，证明结论；选择命题三：延长EG、BC交于点M，可以得到DF∥EG，即可得到∠1＝∠M，然后推导∠2＝∠M，即可得到平行． 【解答】解：（1）命题一：已知FD⊥AB， 若EG⊥AB，EH∥BC，则∠1＝∠2；真命题． 命题二：已知FD⊥AB， 若EH∥BC，∠1＝∠2，则EG⊥AB；真命题． 命题三：已知FD⊥AB， 若EG⊥AB，∠1＝∠2，则EH∥BC；真命题． （2）选择命题一． 证明：∵FD⊥AB，EG⊥AB， ∴∠BDF＝∠BEG＝90°， ∴DF∥EG， ∴∠GEF＝∠DFE． 又∵EH∥BC， ∴∠HEF＝∠BFE， ∴∠HEF﹣∠GEF＝∠BFE﹣∠DFE， ∴∠1＝∠2． 选择命题二：延长EG、BC交于点M， ∵FD⊥AB， ∴∠BDF＝90°， 又∵EH∥BC， ∴∠2＝∠M， 又∵∠1＝∠2， ∴∠1＝∠M， ∴FD∥EM， ∴∠MEB＝∠BDF， ∴EG⊥AB； 选择命题三：延长EG、BC交于点M， ∵FD⊥AB，EG⊥AB， ∴∠BDF＝∠BEG＝90°， ∴DF∥EG， ∴∠1＝∠M， 又∵∠1＝∠2， ∴∠2＝∠M， ∴EH∥BC． 题型二：整除问题 整除问题 = 抓因数 + 看余数 + 用性质 - 被 2 整除：个位 0、2、4、6、8 - 被 5 整除：个位 0 或 5 - 被 3、9 整除：各位数字之和能被 3、9 整除 - 被 4 整除：末两位能被 4 整除 - 被 8 整除：末三位能被 8 整除 - 被 6 整除：同时被 2 和 3 整除 - 被 10 整除：个位是 0 （1）概念用反：“整除”和“除尽”分不清 （2）被3、9整除：只算数字和，不是看个位 （3）字母代数式：忘记“整数”前提 【典例精讲】（2025秋•同步）说明“如果一个三位数的三个数位上的数字的和能被3整除，那么这个三位数也能被3整除”是真命题． 【分析】根据题意写出已知和求证，再利用数的整除证明． 【解答】已知：a+b+c能被3整除． 求证：100a+10b+c能被3整除． 证明：100a+10b+c ＝99a+9b+a+b+c ＝3（33a+3b）+（a+b+c）， ∵3（33a+3b）+（a+b+c）能被3整除， ∴100a+10b+c能被3整除， ∴“如果一个三位数的三个数位上的数字的和能被3整除，那么这个三位数也能被3整除”是真命题． 【变式训练1】已知：正整数n能被3整除，也能被7整除．求证：n能被21整除． 【分析】根据题意得到3是n的因数，7也是n的因数，进而求解即可． 【解答】证明：因为正整数n能被3整除，也能被7整除， 所以3是n的因数，7也是n的因数， 所以21是n的因数， 所以n能被21整除． 【变式训练2】我们知道32-12=8，52-32=16，72-52=24，且8，16，24都能被8整除．试问：任意两个连续奇数的平方差都能被8整除吗？请说明理由． 【分析】根据题意，设两个连续的奇数为2n-1和2n+1，再表示出它们的平方差，并进行因式分解即可解决问题． 【解答】解：能，理由如下： 设两个连续的奇数为2n-1和2n+1， 则（2n+1）2-（2n-1）2=（2n+1+2n-1）（2n+1-2n+1）=4n×2=8n. 因为8n为8的倍数， 所以任意两个连续奇数的平方差都能被8整除． 题型三：证明 熟练掌握各概念． 对各概念模糊不清． 【典例精讲】（2026•建湖县一模）判断命题“如果a＜b，c＜d，那么a+c＜b+d”的真假性？并证明你的结论． 【分析】根据不等式两边同时加（或减）同一个数，不等号方向不变，可得a+c＜b+c，b+c＜b+d，由此即可判断命题的真假性． 【解答】证明：根据不等式性质可知a+c＜b+c．b+c＜b+d． ∵a+c＜b+c，b+c＜b+d， ∴a+c＜b+d． 因此原命题是真命题． 【变式训练1】证明：在一个三角形中有两个角相等，则与第三个角相邻的外角平分线平行于第三个角的对边． 【分析】根据题意画出图形，写出已知和求证，根据三角形的外角性质得到∠EAC=∠B+∠C，得到∠EAD=∠B，根据平行线的判定证明． 已知：在△ABC中，∠B=∠C，AD平分△ABC的外角∠EAC， 求证：AD∥BC． 证明：∵AD平分∠EAC， ∴∠EAD=∠EAC， ∵∠EAC是△ABC的外角， ∴∠EAC=∠B+∠C， ∵∠B=∠C， ∴∠B=∠EAC， ∴∠EAD=∠B， ∴AD∥BC． 【变式训练2】证明：在同一平面内，如果直线a∥b,l⊥a,那么l⊥b. 【分析】根据平行线的判定和性质定理即可得到结论． 【解答】解：已知直线a∥b,l⊥a, 求证：l⊥b, 证明：∵l⊥a, ∴∠1=90°， ∵直线a∥b, ∴∠2=∠1=90°， ∴l⊥b. 1．（2025秋•长沙期末）下列命题中，真命题的个数有（　　） ①连接两点的线段叫做两点之间的距离； ②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短； ③过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ④过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据相关知识逐一判断每个命题的真假． 【解答】解：∵两点之间的距离是连接两点的线段的长度，而不是线段本身， ∴命题①连接两点的线段叫做两点之间的距离错误； ∵连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，这是垂线段的基本性质， ∴命题②正确； ∵过一点作与已知直线平行的直线：如果点在直线外，有且只有一条；如果点在直线上，则没有（因为过直线上一点的任何直线都会与已知直线相交，重合不算平行）， ∴命题③错误； ∵在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，但是不在同一平面内，过一点作已知直线的垂线不满足有且仅有一条． ∴命题④错误． 故选：A． 2．（2026春•金水区校级月考）下列语句中正确的个数是（　　） ①每个定理都有逆定理； ②在三角形中，如果一边是另一边的一半，那么这条边所对的角等于30°； ③如果CA＝CB，则过点C的直线垂直平分线段AB； ④到三角形三个顶点距离相等的点是三边垂直平分线的交点． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】利用定理及逆定理的定义，含30°的直角三角形性质，线段垂直平分线的判定和性质等知识分别判断后即可确定正确的选项． 【解答】解：每个定理不一定都有逆定理，①说法错误， 在直角三角形中，如果直角边是斜边的一半，那么这条边所对的角等于30°，②说法错误； 如果CA＝CB，则过点C在线段AB的垂直平分线上，但过点C的直线不一定垂直平分线段AB，③说法错误； 根据垂直平分线的性质可知，到三角形三个顶点距离相等的点是三边垂直平分线的交点，④说法正确， 正确的共1个， 故选：B． 3．（2026•南京模拟）对于命题“任何数a的平方都大于0”能说明它是假命题的反例是（　　） A．a＝0 B．a＝1 C．a＝﹣2 D． 【答案】A 【分析】根据a的平方都大于0，因此找出a的平方等于0的选项即可． 【解答】解：当a＝0时，a2＝0， ∴a＝0，能说明“任何数a的平方都大于0”是假命题， 故选：A． 4．（2025秋•贵州期末）下列说法正确的是（　　） A．任何定理都有逆定理 B．只有定理的逆命题是真命题时，它才有逆定理 C．只有原命题是真命题时，它的逆命题才是真命题 D．定理的逆命题都是真命题 【答案】B 【分析】利用定理和互逆定理的知识进行判断即可． 【解答】解：A、任何定理都有逆定理，说法错误，不符合题意； B、只有定理的逆命题是真命题时，它才有逆定理，正确，符合题意； C、只有原命题是真命题时，它的逆命题才是真命题，说法错误，不符合题意； D、定理的逆定理不一定是真命题，故原说法错误，不符合题意． 故选：B． 5．（2025秋•安徽期末）下列命题中，逆命题是真命题的是（　　） A．对顶角相等 B．若a＝b，那么a2＝b2 C．等角的补角相等 D．若a＝b，那么|a|＝|b| 【答案】C 【分析】先交换命题的条件与结论得到四个命题的逆命题，然后分别利用对顶角的定义、平方根的定义、补角的定义和绝对值的意义进行判断． 【解答】解：A．对顶角相等的逆命题为相等的角为对顶角，此逆命题为假命题，所以A选项不符合题意； B．若a＝b，那么a2＝b2的逆命题为若a2＝b2，那么a＝b，此逆命题为假命题，所以B选项不符合题意； C．等角的补角相等的逆命题为若两角的补角相等，则这两个角相等，此逆命题为真命题，所以C选项符合题意； D．若a＝b，那么|a|＝|b|的逆命题为若|a|＝|b|，那么a＝b，此逆命题为假命题，所以D选项不符合题意． 故选：C． 6．（2025秋•乌当区期末）将命题“互为相反数的两数之和为0”改写成“如果…，那么…”的形式为 　如果两个数互为相反数，那么这两个数相加为0　 ． 【答案】如果两个数互为相反数，那么这两个数相加为0． 【分析】把原命题的题设放在如果后面，结论放在那么后面即可． 【解答】解：把命题“互为相反数的两数之和为0”改写成“如果…，那么…”的形式是： 如果两个数互为相反数，那么这两个数相加为0， 故答案为：如果两个数互为相反数，那么这两个数相加为0． 7．（2025秋•洞口县期末）命题“若|a|＝2，则a＝2”是个　假　 命题．（填“真”或“假”） 【答案】假． 【分析】根据绝对值的定义，|a|＝2时，a的值可以是2或﹣2，因此命题不总是成立，进而可得答案． 【解答】解：根据绝对值的定义可知： 当a＝﹣2时，|a|＝|﹣2|＝2，但a≠2， ∴命题是假命题． 故答案为：假． 8．（2025秋•埇桥区校级期末）把命题“正数的绝对值大于0”改成“如果…，那么…”的形式：　如果一个数是正数，那么它的绝对值大于0　 ． 【答案】如果一个数是正数，那么它的绝对值大于0． 【分析】原命题可分解为条件部分“一个数是正数”和结论部分“它的绝对值大于0”，然后套用“如果…，那么…”的结构进行改写． 【解答】解：原命题中“正数”是条件，“绝对值大于0”是结论，因此改写为“如果…，那么…”的形式：“如果一个数是正数，那么它的绝对值大于0”． 故答案为：如果一个数是正数，那么它的绝对值大于0． 9．（2025秋•宝鸡期末）下列命题中，是真命题的是　②　 ．（填序号） ①同位角相等；②过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；③两个锐角之和一定是钝角． 【答案】② 【分析】逐一判断各命题的真假：①同位角相等需两直线平行才成立，否则不真；②符合平行公理，正确；③两个锐角之和可能为锐角、直角或钝角，不一定为钝角． 【解答】解：①同位角相等的前提是两直线平行，否则不一定相等，因此是假命题，不符合题意； ②过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，是真命题，符合题意； ③锐角定义是小于90°的角，两个锐角之和可能小于90°（如30°+40°＝70°）、等于90°（如45°+45°＝90°，为直角）或大于90°但小于180°（如60°+50°＝110°，为钝角），因此不一定为钝角，是假命题，不符合题意， 故答案为：②． 10．（2025春•花都区校级期中）“两条直线平行，同位角相等”的逆命题可以写成　同位角相等，两直线平行　 ． 【答案】同位角相等，两直线平行． 【分析】把一个命题的题设和结论互换就得到它的逆命题． 【解答】解：题干命题结论是“同位角相等”． 所以它的逆命题是“同位角相等，两直线平行．” 故答案为：同位角相等，两直线平行． 11．（2026春•霸州市月考）命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行． （1）请将此命题改写成“如果…，那么…”的形式：　如果在同一平面内，两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行　 ； （2）用图形语言表示该命题如图所示，请用符号语言表示该命题，补全下列填空． 已知：b⊥a，c⊥a ． 求证：b∥c ． 【答案】（1）如果在同一平面内，两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行； （2）c⊥a，b∥c． 【分析】（1）依据“如果……那么……”形式的要求，梳理命题条件与结论进行改写； （2）先补充已知和求证，再利用垂直定义得到角的度数，结合平行线判定定理完成证明． 【解答】解：（1）改写为：如果在同一平面内，两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行 故答案为：如果在同一平面内，两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行． （2）c⊥a，b∥c， 证明如下：如图， 由条件可知∠1＝∠2＝90°， ∴b∥c（同位角相等，两直线平行）． 故答案为：c⊥a，b∥c． 12．（2025春•北川县期中）如图，有以下三个条件：①AB∥CD；②∠B＝∠D；③∠E＝∠F． （1）从三个条件中选出两个作为题设，另一个作为结论可得到一个命题．请按“⊗⊗→⊗”的形式将所有真命题一一书写出来（用序号表示）； （2）从（1）中选择一个真命题进行证明． 【答案】（1）见解析； （2）见解析． 【分析】（1）根据平行线的判定与性质判断解答即可； （2）根据平行线的判定与性质解答即可． 【解答】解：（1）有三个真命题，分别是：①②→③；①③→②；②③→①； （2）选择①②→③， 证明：∵AB∥CD， ∴∠B＝∠DCF， ∵∠B＝∠D， ∴∠D＝∠DCF， ∴DE∥BF， ∴∠E＝∠F； 选择①③→②， 证明：∵AB∥CD， ∴∠DAB+∠D＝180°， ∵∠E＝∠F， ∴DE∥BF， ∴∠DAB+∠B＝180°， ∴∠B＝∠D； 选择②③→①， 证明：∵∠E＝∠F， ∴DE∥BF， ∴∠DAB+∠B＝180°， ∵∠B＝∠D， ∴∠DAB+∠D＝180°， ∴AB∥CD． 13．（2025秋•崂山区校级月考）如图，∠ACD是∠ACB的邻补角，请你从下面的三个条件中，选出两个作为已知条件，另一个作为结论，得出一个真命题．①CE∥AB；②∠A＝∠B；③CE平分∠ACD． （1）由上述条件可得哪几个真命题？请按“⊗⊗⇒⊗”的形式一一书写出来； （2）请根据（1）中的真命题，选择一个进行证明． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据题意，结合平行线的性质，选择两个条件做题设，一个条件做结论，得到正确的命题． （2）任选一个命题，根据平行线的性质或角平分线的定义进行证明． 【解答】解：（1）上述问题有三种正确命题，分别是： 命题1：①②⇒③；命题2：①③⇒②；命题3：②③⇒①． （2）解：选择命题2：①③⇒②． 证明：∵CE∥AB，∴∠ACE＝∠A，∠DCE＝∠B． ∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝∠DCE． ∴∠A＝∠B． 14．（2025春•单元）证明：如果一个数的平方的个位数不是5，那么这个数的个位数也不是5． 【答案】∵12＝1，22＝4，32＝9，42＝16，52＝25，62＝36，72＝49，82＝64，92＝81，102＝100，112＝121……∴一个数的平方的个位数不是5，那么这个数的个位数也不是5． 【分析】根据一个数平方后个位数字与原数个位数字之间的关系进行判断即可． 【解答】证明：∵12＝1，22＝4，32＝9，42＝16，52＝25，62＝36，72＝49，82＝64，92＝81，102＝100，112＝121…… ∴一个数的平方的个位数不是5，那么这个数的个位数也不是5． 15．（2025春•舒兰市校级期末）某数学兴趣小组探究命题“两边分别平行的两个角相等”是否是真命题，甲同学认为该命题是真命题，并作图如图1所示，已知AB∥DE，BC∥DF，BC与DE交于点G． （1）根据甲同学的作图及题设，求证：∠B＝∠D； （2）乙同学对甲同学的判断提出质疑，认为该命题不一定成立，是假命题，并作图如图2所示，题设与甲同学相同，得到∠B≠∠D，根据乙同学的作图，试判断∠B与∠D的数量关系，并说明理由； （3）结合甲乙两位同学的探究过程，请写出正确的命题． 【答案】（1）证明见解析； （2）∠B+∠D＝180°，理由见解析； （3）两边分别平行的两个角相等或互补． 【分析】（1）根据两直线平行，同位角相等、等量代换证明； （2）根据两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补证明； （3）由（1）（2）的结论总结即可． 【解答】（1）证明：∵AB∥DE，AC∥DF， ∴∠B＝∠CGE，∠D＝∠CGE， ∴∠B＝∠D； （2）解：∠B+∠D＝180°，理由如下： ∵AB∥DE，BC∥DF， ∴∠B+∠DGB＝180°，∠D＝∠DGB， ∴∠B+∠D＝180°； （3）解：综上所述，两边分别平行的两个角相等或互补． 16．（2025秋•瑶海区校级期中）如图，在三角形ABC中，点D在边BC的延长线上，射线CE在∠DCA的内部．给出下列信息：①AB∥CE；②CE平分∠DCA；③∠A＝∠B．请选择其中的两条信息作为条件，余下的一条信息作为结论组成一个真命题，并说明理由． 【答案】见解析部分． 【分析】根据平行线性质及判定，角平分线定义及等量代换即可得到证明； 【解答】解：选择①③作为条件，②作为结论．理由如下： ∵AB∥CE， ∴∠A＝∠ECA，∠B＝∠ECD， ∵∠A＝∠B， ∴∠ECA＝∠ECD， ∴CE平分∠DCA； 选择①②作为条件，③作为结论．理由如下： ∵AB∥CE， ∴∠A＝∠ECA，∠B＝∠ECD， ∵CE平分∠DCA， ∴∠ECA＝∠ECD， ∴∠A＝∠B； 选择②③作为条件，①作为结论．理由如下： ∵CE平分∠DCA， ∴∠ECA＝∠ECD， ∵∠A＝∠B，∠A+∠B＝∠ACD＝∠ECD+∠ECA， ∴∠A＝∠ECA＝∠B＝∠ECD， ∴AB∥CE； 17．（2025春•单元）设是一个四位数，若a+b+c+d可以被3整除，求证：这个四位数也能被3整除． 【答案】见解答． 【分析】根据题意可得，再变形为（a+b+c+d）+3（333a+33b+3c），再由3（333a+33b+3c）能被3整除，a+b+c+d能被3整除，即可． 【解答】证明：（a+b+c+d）+3（333a+33b+3c）， ∵a，b，c是整数， ∴3（333a+33b+3c）能被3整除， 又a+b+c+d能被3整除， ∴能被3整除． 18．（2025春•西城区校级期中）（1）对于命题“如果两条直线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行，那么这两条直线也互相平行”． ①先画出相应的图形，并判断命题的真假； ②如为真命题，写出“已知”“求证”（不必给出证明）；如为假命题，举出反例． （2）如图，已知AD∥BF，AE∥BC，AF∥EC，若∠B＝45°，∠C＝75°，将求∠FAD的过程填写完整． 解：∵AD∥BF， ∴∠B＝∠ADC． ∵AE∥BC， ∴①　∠ADC +∠DAE＝180°． 又∠B＝45°，可解得∠DAE＝（②　135　 ）°． ∵AE∥BC， ∴∠C+∠E＝180°． ∵AF∥EC， ∴∠FAE＝③　∠E ．（④　两直线平行，内错角相等　 此处填推理的依据） 又∠C＝75°，可解得∠FAE＝（⑤　105　 ）°， ∴∠FAD＝360°﹣∠DAE﹣∠FAE＝（⑥　120　 ）°． 【答案】（1）①见解析；真命题；②已知：如图（EF分别交AB，CD于G，H），GI平分∠AGH，HJ平分∠GHD，GI∥HJ，求证：AB∥CD；（2）①∠ADC；②135；③∠E；④两直线平行，内错角相等；⑤105；⑥120． 【分析】（1）①根据题意即可作答； ②根据真命题的定义即可作答； （2）根据平行线的判定和性质，即可作答． 【解答】解：（1）①如图： 真命题． ②已知：如图（EF分别交AB，CD于G，H），GI平分∠AGH，HJ平分∠GHD，GI∥HJ， 求证：AB∥CD． （2）∵AD∥BF， ∴∠B＝∠ADC， ∵AE∥BC， ∴∠ADC+∠DAE＝180°， 又∠B＝45°，可解得∠DAE＝135°， ∵AE∥BC， ∴∠C+∠E＝180°， ∵AF∥EC， ∴∠FAE＝∠E（两直线平行，内错角相等）， 又∠C＝75°，可解得∠FAE＝105°， ∴∠FAD＝360°﹣∠DAE﹣∠FAE＝120°． 故答案为：①∠ADC；②135；③∠E；④两直线平行，内错角相等；⑤105；⑥120． 19．（2025春•献县校级期末）如图，已知AB∥CD，射线AH交BC于点F，交CD于点D，从D点引一条射线DE，且∠1＝∠2． （1）求证：BC∥DE； （2）若命题“已知∠CDE＝ 　140°　 ，则∠B＝40°”是真命题，请填空，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析； （2）140°． 【分析】（1）由对顶角相等得到∠BFD＝∠1，因此∠2＝∠BFD，推出BC∥DE； （2）由平行线的性质推出∠C+∠CDE＝180°，∠B＝∠C，求出∠C＝40°，即可得到∠B的度数． 【解答】（1）证明：∵∠1＝∠2，∠BFD＝∠1， ∴∠2＝∠BFD， ∴BC∥DE； （2）解：命题“已知∠CDE＝140°，则∠B＝40°”是真命题，理由如下： 由（1）知BC∥DE， ∴∠C+∠CDE＝180°， ∵∠CDE＝140°， ∴∠C＝40°， ∵AB∥CD， ∴∠B＝∠C＝40°． 故答案为：140°． 20．（2026春•浦东新区期中）如图，已知直线EF∥GH，给出下列信息： ①AC⊥BC； ②BC平分∠DCH； ③∠ACD＝∠DAC． 请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论组成一个真命题，你选择的条件是　①②　 ，结论是　③　 ．（只要填写序号），并说明理由． 【分析】根据角平分线定义，平行线的性质，垂直定义逐一求解即可． 【解答】解：条件：①②，结论：③，理由如下： ∵BC平分∠DCH， ∴∠BCD＝∠BCH， ∵AC⊥BC， ∴∠ACB＝90°，即∠ACD+∠BCD＝90°， ∵∠ACG+∠ACD+∠BCD+∠BCH＝180°， ∴∠ACG+∠BCH＝90°， ∴∠ACD＝∠ACG， ∵EF∥GH， ∴∠ACG＝∠DAC， ∴∠ACD＝∠DAC， 故答案为：①②，③． 21．（2025秋•海淀区校级期中）对于有理数a，b定义一种幂的新运算：am◎bn＝（ab）m+n+（a+b）mn．其中m，n是正整数，请利用这种运算规则解决下列问题： （1）1◎2的值为 　7　 ； （2）若2◎2t+1＝80，求t的值； （3）这种运算是否满足结合律，即（am◎bn）◎cp＝am◎（bn◎cp）成立吗？如果成立，请说明理由；如果不成立，请举一个反例． 【答案】（1）7； （2）1； （3）不成立．当a＝1，b＝﹣1，c＝0，m＝n＝1，（am◎bn）◎cp≠am◎（bn◎cp）． 【分析】（1）根据所给规定进行计算即可； （2）根据题意，建立关于t的等式，据此进行计算即可； （3）利用反例等式不成立，若a＝1，b＝﹣1，c＝0，m＝n＝1． 【解答】解：（1）由题知， 1◎2＝（1×2）1+1+（1+2）1×1＝22+31＝7． 故答案为：7； （2）由2◎2t+1＝80得， （2×2）1+t+1+（2+2）1×（t+1）＝80， 则4t+2+4t+1＝80， 5×4t+1＝80， 4t+1＝16， 所以t＝1； （3）不成立． 设a＝1，b＝﹣1，c＝0，m＝n＝1， am◎bn＝1◎（﹣1）＝（﹣1×1）1+1+（1﹣1）1×1＝1+0＝1， 1◎01＝（1×0）1+1+（1+0）1×1＝0+1＝1， 即（am◎bn）◎cp＝1； bn◎cp＝（﹣1）◎0＝（﹣1×0）1+1+（﹣1+0）1×1＝0+1＝1， am◎（bn◎cp）＝1◎1＝）＝（1×1）1+1+（1+1）1×1＝1+2＝3 所以（am◎bn）◎cp≠am◎（bn◎cp）． 22．（2025春•宿城区校级期末）（1）已知：如图，直线AB，CD，EF被直线BF所截，∠1＝∠2，∠3＝∠4．求证：∠1＝∠F． （2）你在（1）的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题？ 【答案】（1）证明见解析； （2）“同位角相等，两直线平行”和“两直线平行，同位角相等”． 【分析】（1）根据平行线的判定和性质证明； （2）根据“同位角相等，两直线平行”和“两直线平行，同位角相等”，同位角相等解答． 【解答】（1）证明：∵∠1＝∠2， ∴AB∥CD， ∵∠3＝∠4， ∴EF∥CD， ∴AB∥EF， ∴∠1＝∠F； （2）在（1）的证明过程中应用了：“同位角相等，两直线平行”和“两直线平行，同位角相等”两个互逆的真命题． 23．（2025春•黄石期末）如图，有三个条件：①∠1＝∠2，②∠C＝∠D，③∠A＝∠F，从中任选两个作为已知条件，另一个作为结论，可以组成3个命题，例如： 以③作为结论的命题是：如图，已知∠1＝∠2，∠C＝∠D，求证：∠A＝∠F． （1）请按要求写出命题： 以①作为结论的命题是：　如图，已知∠C＝∠D，∠A＝∠F，求证：∠1＝∠2．　 ； 以②作为结论的命题是：　如图，已知∠1＝∠2，∠A＝∠F，求证：∠C＝∠D．　 ； （2）请证明以②作为结论的命题． 【答案】（1）已知∠C＝∠D，∠A＝∠F，求证：∠1＝∠2；已知∠1＝∠2，∠A＝∠F，求证：∠C＝∠D； （2）证明见解析． 【分析】（1）根据题意要求写出已知求证，写出命题即可求解； （2）根据平行线的判定可得DB∥EC，DF∥AC，根据平行线的性质可得∠DBA＝∠C，∠D＝∠DBA，等量代换即可得证． 【解答】解：（1）以①作为结论的命题是：如图，已知∠C＝∠D，∠A＝∠F，求证：∠1＝∠2． 以②作为结论的命题是：如图，已知∠1＝∠2，∠A＝∠F，求证：∠C＝∠D． 故答案为：如图，已知∠C＝∠D，∠A＝∠F，求证：∠1＝∠2； （2）∵∠1＝∠2 ∴DB∥EC ∴∠DBA＝∠C ∵∠A＝∠F ∴DF∥AC ∴∠D＝∠DBA ∴∠C＝∠D． 24．（2026春•石家庄校级期中）完成下面探究命题“内错角相等”是真命题还是假命题的过程． 如图，已知AB与CD相交于点O，AB与EF相交于点H，CD与EF相交于点G． （1）找出∠1的一个内错角　∠OHF（答案不唯一）　 ，∠1与这个内错角　不相等　 （填“相等”或“不相等”），所以该命题是：　假命题　 （填“真命题”或“假命题”）； （2）在（1）的基础上，若该命题是真命题，给出证明；若是假命题，改变一个已知条件，使得该命题为真命题． 【答案】（1）∠OHF（答案不唯一），不相等，假命题； （2）改变的条件为：若CD∥EF，则∠1＝∠OHF． 【分析】（1）根据内错角的定义求解，然后判断即可； （2）根据平行线的性质求解即可． 【解答】解：（1）找出∠1的一个内错角∠OHF（答案不唯一），∠1与这个内错角不相等，所以该命题是：假命题， 故答案为：∠OHF（答案不唯一），不相等，假命题； （2）改变的条件为：若CD∥EF，则∠1＝∠OHF． 25．（2025秋•鼓楼区校级期末）如果两个方程的解相差k，且k为正整数，则称解较大的方程是另一个方程的“k的后移方程”． 例如：方程x﹣4＝0的解是x＝4，方程x﹣2＝0的解是x＝2． 所以：方程x﹣4＝0是方程x﹣2＝0的“2的后移方程”． （1）判断方程2x﹣3＝0是否为方程2x﹣1＝0的k的后移方程　是　 （填“是”或“否”）； （2）已知关于x的方程2x﹣a﹣b＝0是关于x的方程2x+a＝0的“3的后移方程”，求4a+2b的值； （3）无论m，n为意整数，关于x的方程2x﹣a﹣（m+n）2026﹣（m﹣n）2026＝0是关于x的方程2x﹣a＝0的“k的后移方程”．请判断以上说法是否正确，若正确，说明理由；若不正确，举一个反例． 【分析】（1）分别求解两个方程，计算它们解的差值，判断差值是否为正整数，从而确定是否为“k的后移方程”； （2）先分别求出两个方程的解，再根据“3的后移方程”的定义列出关于a、b的等式，最后化简求值； （3）分别求出两个方程的解，计算它们解的差值，根据m、n的取值情况判断差值是否为正整数，进而判断说法是否正确． 【解答】解：（1）对于方程2x﹣3＝0， 解得x， 对于方程2x﹣1＝0， 解得x， 两个方程解的差值为1， 1是正整数， 所以方程2x﹣3＝0是方程2x﹣1＝0的“k的后移方程”， 故答案为：是； （2）对于方程2x﹣a﹣b＝0， 解得x， 对于方程2x+a＝0， 解得x， 因为方程2x﹣a﹣b＝0是方程2x+a＝0的“3的后移方程”， 所以（）＝3． 即2a+b＝6， 则4a+2b＝2（2a+b）＝2×6＝12， 因此，4a+2b的值为12； （3）对于方程2x﹣a﹣（m+n）2026﹣（m﹣n）2026＝0， 解得x． 对于方程2x﹣a＝0， 解得x， 两个方程解的差值为， 当m、n同为奇数或同为偶数时，（m+n）2026和（m﹣n）2026都为偶数， 所以（m+n）2026+（m﹣n）2026为偶数， 为正整数， 此时方程2x﹣a﹣（m+n）2026﹣（m﹣n）2026＝0，是方程2x﹣a＝0的“k的后移方程”； 当m、n一奇一偶时，（m+n）2026和（m﹣n）2026都为奇数，所以（m+n）2026+（m﹣n）2026为偶数， 为正整数， 此时方程2x﹣a﹣（m+n）2026﹣（m﹣n）2026＝0，是方程2x﹣a＝0的“k的后移方程”． 因此，无论m，n为任意整数，关于x的方程2x﹣a﹣（m+n）2026﹣（m﹣n）2026＝0，是关于x的方程2x﹣a＝0的“k的后移方程”，该说法正确． 26．（2025秋•西城区校级月考）对于正数a（a≠1）和N，如果整数x满足ax＝N（a＞0且a≠1），定义一种能求出x的新运算： ． 例如：因为25＝32，所以log232＝5； （1）填空：log327＝　3　 ； （2）若，求a的值； （3）这个新运算的性质与我们所学的幂运算有联系，探究它的性质． ①举一个反例说明“若logaM＞logaN，则M＞N”是假命题：a＝　　 ，M＝　2　 ，N＝　4　 ； ②，该性质的证明过程如下： 设logaM＝x，则M＝ax，Mb＝（ax）b＝abx． 由此新运算的定义可得：． 请参考以上方法，证明性质：loga（MN）＝logaM+logaN． 【分析】（1）根据定义直接作答即可； （2）根据定义直接作答即可； （3）①举一个反例即可说明； ②令x，则M＝ax，logaN＝y，则N＝ay，等量代换等号的左边，再根据新定义即可得证． 【解答】解：（1）∵33＝27， ∴log327＝3． 故答案为：3． （2）由已知可得a﹣2， ∴， ∵a＞0， ∴a． （3）①当a，M＝2，N＝4时， ∵（）﹣1＝2，（）﹣2＝4， ∴1，， ∵﹣1＞﹣2，而M＜N． 故答案为：；2；4； ②令logaM＝x，则M＝ax，logaN＝y，则N＝ay， ∴MN＝ax•ay＝ax+y， ∴loga（MN） ＝loga ＝x+y ＝logaM+logaN． 27．（2025春•梁溪区期末）我们用符号＜ab＞表示一个两位数（其中a、b分别表示十位、个位上数字），即＜ab＞＝10a+b，类似的，我们用符号＜abc＞表示一个三位数． 请根据以上材料，解答下列问题： （1）命题：若计算＜ab＞2的结果的个位数字为4，则b＝2．请举反例说明它是个假命题； （2）若a、b、c为三个连续整数，试证明：＜abc＞+7＜ab＞﹣6b能被13整除． 【答案】（1）a＝1，b＝8； （2）证明见解析． 【分析】（1）根据182＝324说明即可； （2）根据新定义＜ab＞表示一个两位数、＜abc＞表示一个三位数用含a的代数式表示出＜abc＞+7＜ab＞﹣6b，即可证明． 【解答】（1）解：当a＝1，b＝8时，＜ab＞2＝182＝324， 说明命题“若计算＜ab＞2的结果的个位数字为4，则b＝2”是个假命题； （2）证明：∵a、b、c为三个连续整数， ∴b＝a+1，c＝a+2， ∴＜abc＞+7＜ab＞﹣6b ＝100a+10b+c+7×（10a+b）﹣6b ＝100a+10（a+1）+a+2+7×（10a+a+1）﹣6（a+1） ＝100a+10a+10+a+2+77a+7﹣6a﹣6 ＝182a+13 ＝13（14a+1）， ∵a是整数， ∴13（14a+1）能被13整除， ∴若a、b、c为三个连续整数，＜abc＞+7＜ab＞﹣6b能被13整除． 28．（2025春•梁溪区校级月考）若一个四位正整数P满足千位上的数字比百位上的数字大2，十位上的数字比个位上的数字大2，千位上的数字与十位上的数字不相等且各个数位上的数字都不为零，则称P为“双减数”．将“双减数P”的千位和百位数字组成的两位数与十位和个位数字组成的两位数的差记为N（P）．例如：四位正整数7564，∵7﹣5＝6﹣4＝2，且7≠6，∴7564是“双减数”，此时N（7564）＝75﹣64＝11． （1）判断“8631”是否是双减数？若是，请求出N（8631）的值；若不是，请说明理由． （2）命题“对于任意双减数A，N（A）都能被11整除”是真命题还是假命题？说明你的理由． 【答案】（1）8631是双减数，此时N（8631）＝86﹣31＝55； （2）是真命题，理由见解析． 【分析】（1）根据“双减数”的定义可得出8631是双减数，根据例题的计算方法即可得出结论； （2）设“双减数”千位数字为a，十位数字为b，则百位数字为a﹣2，个位数字为b﹣2，且a≠b，求出N（A）＝10a+（a﹣2）﹣[10b+（b﹣2）]＝11（a﹣b），即可得出结论． 【解答】解：（1）∵8﹣6＝2，3﹣1＝2，8≠3 ∴8631是双减数，此时N（8631）＝86﹣31＝55； （2）是真命题，理由如下： 设千位数字为a，十位数字为b，则百位数字为a﹣2，个位数字为b﹣2，且a≠b， 于是双减数为A＝1000a+100（a﹣2）+10b+（b﹣2）， 由题意，N（A）＝10a+（a﹣2）﹣[10b+（b﹣2）]＝11（a﹣b）， ∴N（A） 能被11整数． 29．（2025春•泗洪县期末）代数证明题是数学中常见的一种题型，它要求运用逻辑推理和代数知识来证明某个数学命题的正确性． 例如：证明命题“如果a＜b，c＜d，那么a+c＜b+d”是真命题． 证明：∵a＜b，（已知） ∴在不等式两边都加上c，得a+c＜b+c．（不等式的基本性质） ∵c＜d，（已知） ∴在不等式两边都加上b，得b+c＜b+d．（不等式的基本性质） ∵a+c＜b+c，b+c＜b+d，（已证） ∴a+c＜b+d．（不等式的传递性） （1）已知有理数x、y满足x＞y＞0，证明：x2＞y2（补全下列推理过程）； 证明：∵x＞y且x，y均为正数，（已知） ∴不等式的两边都乘以同一个正数x，得x2＞xy ，（不等式的基本性质） 不等式的两边都乘以同一个正数y，得xy＞y2 ．（不等式的基本性质） ∴x2＞y2．（不等式的传递性） （2）请你尝试证明：若a＜b，则． （3）命题“三个连续自然数之和能被3整除”是真命题还是假命题？若为真命题，请证明；若为假命题，请举一个反例说明． 【答案】（1）xy；y2； （2）证明过程见解析部分； （3）命题“三个连续自然数之和能被3整除”是真命题，证明见解析部分． 【分析】（1）根据题意，结合不等式的基本性质，补齐各步骤的结论即可； （2）仿照示例，按照不等式的基本性质，进行证明即可； （3）先设出三个连续自然数，再进行证明即可． 【解答】证明：（1）∵x＞y且x，y均为正数（已知）， ∴不等式的两边都乘以同一个正数x，得x2＞xy（不等式的基本性质）， 不等式的两边都乘以同一个正数y，得xy＞y2（不等式的基本性质）， ∴x2＞y2（不等式的传递性）； 故答案为：xy；y2；（2）a＜b（已知）， 不等式两边都加上b，得a+b＜2b（不等式的基本性质）， 不等式两边都乘以正数2，得（不等式的基本性质）； （3）命题“三个连续自然数之和能被3整除”是真命题，证明如下： 设三个连续自然数为a，a+1，a+2，其中a≥0， 则a+（a+1）+（a+2）＝a+a+1+a+2＝3a+3＝3（a+1）， ∵a+1为自然数， ∴3（a+1）能被3整除， ∴命题“三个连续自然数之和能被3整除”是真命题． 30．（2025春•宿豫区期末）在整数除法体系中，一个正整数除以3的余数规律蕴含着深刻的数学逻辑． 若我们把一个正整数a除以3所得的余数记作“a模3”，例如：12÷3＝4…0记作“12模3＝0”；16÷3＝5…1记作“16模3＝1”；11÷3＝3…2记作“11模3＝2”． （1）直接写出结果：36模3＝　0　 ；360模3＝　0　 ． （2） ①命题：如果a模3＝0，其中a为正整数，那么10a模3＝0．这个命题是真命题，证明过程如下： 证明：若a模3＝0，其中a为正整数，则a能被3整除，可以设a＝3k； 则10a＝30k＝3×10k； 所以10a能被3整除， 即10a模3＝0． ②命题：如果a模3＝1，其中a为正整数，那么10a模3＝1．是否正确？若正确，请证明，若不正确，举例说明； （3）证明：如果a模3＝1，b模3＝2，其中a、b为正整数，那么（a+b）模3＝0． 【答案】（1）0；0； （2）②正确，证明见解析； （3）见解析． 【分析】（1）根据新定义解答即可求解； （2）根据命题①的证明方法解答，即可求解； （3）根据题意设a＝3k+1，b＝3m+2，可得 a+b＝3k+1+3m+2＝3k+3m+3＝3（k+m+1），即可解答． 【解答】解：（1）36÷3＝12…0，360÷3＝120…0， ∴36模3＝0；360模3＝0； 故答案为：0；0； （2）②正确， 证明：若a模3＝1，其中a为正整数，则a除以3余1，可以设a＝3k+1， 则10a＝10（3k+1）＝30k+10， 因为30k能被3整除，10除以3余1， 所以 （30k+10）模3＝1， 即10a模3＝1； （3）证明：因为a模3＝1，b模3＝2， 所以设a＝3k+1，b＝3m+2， a+b＝3k+1+3m+2＝3k+3m+3＝3（k+m+1）， 所以3（k+m+1模3＝0， 所以（a+b）模3＝0． 31．（2026春•呈贡区校级月考）在学习了平行线的性质后，老师请同学们证明命题：两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直． 小颖根据命题画出图形并写出如下的已知条件． 已知：如图1，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F．∠BEF的角平分线EG与∠DFE的角平分线FG交于点G． （1）直线EG，FG有何位置关系？直接写出结论 EG⊥FG ． （2）在图1的基础上，分别作∠BEG的角平分线EM与∠DFG的角平分线FM交于点M，得到图2，求∠EMF的度数． （3）如图3，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F点O在直线AB，CD之间，且在直线EF右侧，∠BEO的角平分线EP与∠DFO的角平分线FP交于点P，请直接写出∠EOF与∠EPF满足的数量关系 　∠EOF＝2∠EPF ． 【答案】（1）EG⊥FG， （2）45°； （3）∠EOF＝2∠EPF． 【分析】（1）由平行线大的性质推出∠BEF+∠EFD＝180°，由角平分线定义得到∠GEF+∠GFE（∠BEF+∠EFD）＝90°，由三角形内角和定理求出∠G＝90°，推出EG⊥FG； （2）过M作MN∥AB，得到MN∥CD，由平行线的性质推得到∠EMF＝∠BEM+∠MFD，同理∠EGF＝∠BEG+∠DFG，由角平分线定义得到∠EGF＝2（∠BEM+∠MFD）＝2∠EMF，即可求出∠EMF＝45°； （3）由角平分线定义得到∠BEO+∠DFO＝2（∠BEP+∠DFP），而∠EOF＝∠BEO+∠DFO，∠EPF＝∠BEP+∠DFP，得到∠EOF＝2∠EPF． 【解答】解：（1）如图1，直线EG⊥FG，理由如下： ∵AB∥CD， ∴∠BEF+∠EFD＝180°， ∵EG平分∠BEF，FG平分∠EFD， ∴∠GEF∠BEF，∠GFE∠EFD， ∴∠GEF+∠GFE（∠BEF+∠EFD）＝90°， ∴∠G＝180°﹣90°＝90°， ∴EG⊥FG， 故答案为：EG⊥FG； （2）如图2，过MN∥AB， ∵AB∥CD， ∴MN∥CD， ∴∠EMN＝∠BEM，∠FMN＝∠MFD， ∴∠EMN+∠FMN＝∠BEM+∠MFD， ∴∠EMF＝∠BEM+∠MFD， 同理：∠EGF＝∠BEG+∠DFG， ∵EM平分∠BEG，FM平分∠DFG， ∴∠BEG＝2∠BEM，∠DFG＝2∠DFM， ∴∠EGF＝2（∠BEM+∠MFD）＝2∠EMF， 由（1）知∠EGF＝90°， ∴∠EMF＝45°； （3）∠EOF＝2∠EPF，理由如下： ∵EP平分∠BEO，∠FP平分∠DFO， ∴∠BEO＝2∠BEP，∠DFO＝2∠DFP， ∴∠BEO+∠DFO＝2（∠BEP+∠DFP）， 由（2）的证明可得：∠EOF＝∠BEO+∠DFO，∠EPF＝∠BEP+∠DFP， ∴∠EOF＝2（∠BEP+∠DFP）＝2∠EPF． 故答案为：∠EOF＝2∠EPF． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点03 证明 考点一：证明的概念 从命题的条件出发，根据一些已知的事实（如概念的定义，基本性质，真命题等），用“因为……，所以……”的形式一步一步推出命题的结论，从而确定这个命题为真命题的过程称为证明（proof）. 考点二：证明的依据 （1）已知条件：题目给出的前提 （2）定义：本章及之前学过的概念定义 （3）基本事实（公理）：无需证明、公认成立的真命题（如：两点确定一条直线；同位角相等，两直线平行） （4）定理：已经证明为真的命题，可直接作为后续证明依据（如：对顶角相等，三角形内角和为180°） 考点三：证明的一般步骤 根据题设、结论，结合图形，写出已知、求证，经过分析找出由已知推出结论的途径，写出证明过程，并注明依据。 题型一：平行线的性质与证明 平行线的性质： （1）两直线平行，同位角相等 （2）两直线平行，内错角相等 （3）两直线平行，同旁内角互补 平行线的判定： （1）同位角相等 ⇒ 两直线平行 （2）内错角相等 ⇒ 两直线平行 （3）同旁内角互补 ⇒ 两直线平行 （4）平行于同一直线的两直线互相平行 （5）垂直于同一直线的两直线互相平行 （1）把判定和性质用反； （2）看错角的位置，把内错角当成同位角； （3）忽略对顶角、邻补角，少一步倒角． 【典例精讲】（2026春•石家庄校级期中）完成下面探究命题“内错角相等”是真命题还是假命题的过程． 如图，已知AB与CD相交于点O，AB与EF相交于点H，CD与EF相交于点G． （1）找出∠1的一个内错角　 　 ，∠1与这个内错角　 　 （填“相等”或“不相等”），所以该命题是：　 　 （填“真命题”或“假命题”）； （2）在（1）的基础上，若该命题是真命题，给出证明；若是假命题，改变一个已知条件，使得该命题为真命题． 【变式训练1】（2026春•七星区校级月考）命题“如果两条直线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行，那么这两条直线也互相平行”．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程． （1）已知：如图，EF分别交AB，CD于G，H，　 　，GI∥HJ，求证　 　． （2）证明： （3）命题“如果两条平行直线被第三条直线所截，那么一组同旁内角的角平分线互相垂直”，此命题 是　　 　命题（填“真”或“假”）． 【变式训练2】（2025秋•市南区校级期末）请你完成命题“平面内，垂直于同一条直线的两直线平行”的证明． 【变式训练3】（2025春•闵行区校级期中）如图，在三角形ABC中，D、E是AB上的点，F是BC上一点，G、H是AC上的点，FD⊥AB，连接EF、EH、EG．有下列三个条件：①EG⊥AB；②∠1＝∠2；③EH∥BC． （1）请从三个条件中任选两个与题干结合作为题设，另一个作为结论，写出所有命题，并判断这些命题是真命题还是假命题； （2）请你选择（1）中的一个真命题进行证明． 题型二：整除问题 整除问题 = 抓因数 + 看余数 + 用性质 - 被 2 整除：个位 0、2、4、6、8 - 被 5 整除：个位 0 或 5 - 被 3、9 整除：各位数字之和能被 3、9 整除 - 被 4 整除：末两位能被 4 整除 - 被 8 整除：末三位能被 8 整除 - 被 6 整除：同时被 2 和 3 整除 - 被 10 整除：个位是 0 （1）概念用反：“整除”和“除尽”分不清 （2）被3、9整除：只算数字和，不是看个位 （3）字母代数式：忘记“整数”前提 【典例精讲】说明“如果一个三位数的三个数位上的数字的和能被3整除，那么这个三位数也能被3整除”是真命题． 【变式训练1】已知：正整数n能被3整除，也能被7整除．求证：n能被21整除． 【变式训练2】我们知道32-12=8，52-32=16，72-52=24，且8，16，24都能被8整除．试问：任意两个连续奇数的平方差都能被8整除吗？请说明理由． 题型三：证明 熟练掌握各概念． 对各概念模糊不清． 【典例精讲】（2026•建湖县一模）判断命题“如果a＜b，c＜d，那么a+c＜b+d”的真假性？并证明你的结论． 【变式训练1】证明：在一个三角形中有两个角相等，则与第三个角相邻的外角平分线平行于第三个角的对边． 【变式训练2】证明：在同一平面内，如果直线a∥b,l⊥a,那么l⊥b. 1．（2025秋•长沙期末）下列命题中，真命题的个数有（　　） ①连接两点的线段叫做两点之间的距离； ②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短； ③过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ④过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2026春•金水区校级月考）下列语句中正确的个数是（　　） ①每个定理都有逆定理； ②在三角形中，如果一边是另一边的一半，那么这条边所对的角等于30°； ③如果CA＝CB，则过点C的直线垂直平分线段AB； ④到三角形三个顶点距离相等的点是三边垂直平分线的交点． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．（2026•南京模拟）对于命题“任何数a的平方都大于0”能说明它是假命题的反例是（　　） A．a＝0 B．a＝1 C．a＝﹣2 D． 4．（2025秋•贵州期末）下列说法正确的是（　　） A．任何定理都有逆定理 B．只有定理的逆命题是真命题时，它才有逆定理 C．只有原命题是真命题时，它的逆命题才是真命题 D．定理的逆命题都是真命题 5．（2025秋•安徽期末）下列命题中，逆命题是真命题的是（　　） A．对顶角相等 B．若a＝b，那么a2＝b2 C．等角的补角相等 D．若a＝b，那么|a|＝|b| 6．（2025秋•乌当区期末）将命题“互为相反数的两数之和为0”改写成“如果…，那么…”的形式为 　 　． 7．（2025秋•洞口县期末）命题“若|a|＝2，则a＝2”是个　 　 命题．（填“真”或“假”） 8．（2025秋•埇桥区校级期末）把命题“正数的绝对值大于0”改成“如果…，那么…”的形式：　 　． 9．（2025秋•宝鸡期末）下列命题中，是真命题的是　 　 ．（填序号） ①同位角相等；②过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；③两个锐角之和一定是钝角． 10．（2025春•花都区校级期中）“两条直线平行，同位角相等”的逆命题可以写成　 　． 11．（2026春•霸州市月考）命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行． （1）请将此命题改写成“如果…，那么…”的形式：　 　 ； （2）用图形语言表示该命题如图所示，请用符号语言表示该命题，补全下列填空． 已知：b⊥a，　 　 ． 求证：　 　 ． 12．（2025春•北川县期中）如图，有以下三个条件：①AB∥CD；②∠B＝∠D；③∠E＝∠F． （1）从三个条件中选出两个作为题设，另一个作为结论可得到一个命题．请按“⊗⊗→⊗”的形式将所有真命题一一书写出来（用序号表示）； （2）从（1）中选择一个真命题进行证明． 13．（2025秋•崂山区校级月考）如图，∠ACD是∠ACB的邻补角，请你从下面的三个条件中，选出两个作为已知条件，另一个作为结论，得出一个真命题．①CE∥AB；②∠A＝∠B；③CE平分∠ACD． （1）由上述条件可得哪几个真命题？请按“⊗⊗⇒⊗”的形式一一书写出来； （2）请根据（1）中的真命题，选择一个进行证明． 14．（2025春•单元）证明：如果一个数的平方的个位数不是5，那么这个数的个位数也不是5． 15．（2025春•舒兰市校级期末）某数学兴趣小组探究命题“两边分别平行的两个角相等”是否是真命题，甲同学认为该命题是真命题，并作图如图1所示，已知AB∥DE，BC∥DF，BC与DE交于点G． （1）根据甲同学的作图及题设，求证：∠B＝∠D； （2）乙同学对甲同学的判断提出质疑，认为该命题不一定成立，是假命题，并作图如图2所示，题设与甲同学相同，得到∠B≠∠D，根据乙同学的作图，试判断∠B与∠D的数量关系，并说明理由； （3）结合甲乙两位同学的探究过程，请写出正确的命题． 16．（2025秋•瑶海区校级期中）如图，在三角形ABC中，点D在边BC的延长线上，射线CE在∠DCA的内部．给出下列信息：①AB∥CE；②CE平分∠DCA；③∠A＝∠B．请选择其中的两条信息作为条件，余下的一条信息作为结论组成一个真命题，并说明理由． 17．（2025春•单元）设是一个四位数，若a+b+c+d可以被3整除，求证：这个四位数也能被3整除． 18．（2025春•西城区校级期中）（1）对于命题“如果两条直线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行，那么这两条直线也互相平行”． ①先画出相应的图形，并判断命题的真假； ②如为真命题，写出“已知”“求证”（不必给出证明）；如为假命题，举出反例． （2）如图，已知AD∥BF，AE∥BC，AF∥EC，若∠B＝45°，∠C＝75°，将求∠FAD的过程填写完整． 解：∵AD∥BF， ∴∠B＝∠ADC． ∵AE∥BC， ∴①　 　 +∠DAE＝180°． 又∠B＝45°，可解得∠DAE＝（②　 　 ）°． ∵AE∥BC， ∴∠C+∠E＝180°． ∵AF∥EC， ∴∠FAE＝③　 　 ．（④　 　　 　此处填推理的依据） 又∠C＝75°，可解得∠FAE＝（⑤　 　 ）°， ∴∠FAD＝360°﹣∠DAE﹣∠FAE＝（⑥　 　 ）°． 19．（2025春•献县校级期末）如图，已知AB∥CD，射线AH交BC于点F，交CD于点D，从D点引一条射线DE，且∠1＝∠2． （1）求证：BC∥DE； （2）若命题“已知∠CDE＝ 　 　，则∠B＝40°”是真命题，请填空，并说明理由． 20．（2026春•浦东新区期中）如图，已知直线EF∥GH，给出下列信息： ①AC⊥BC； ②BC平分∠DCH； ③∠ACD＝∠DAC． 请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论组成一个真命题，你选择的条件是　 　 ，结论是　 　 ．（只要填写序号），并说明理由． 21．（2025秋•海淀区校级期中）对于有理数a，b定义一种幂的新运算：am◎bn＝（ab）m+n+（a+b）mn．其中m，n是正整数，请利用这种运算规则解决下列问题： （1）1◎2的值为 　 　 ； （2）若2◎2t+1＝80，求t的值； （3）这种运算是否满足结合律，即（am◎bn）◎cp＝am◎（bn◎cp）成立吗？如果成立，请说明理由；如果不成立，请举一个反例． 22．（2025春•宿城区校级期末）（1）已知：如图，直线AB，CD，EF被直线BF所截，∠1＝∠2，∠3＝∠4．求证：∠1＝∠F． （2）你在（1）的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题？ 23．（2025春•黄石期末）如图，有三个条件：①∠1＝∠2，②∠C＝∠D，③∠A＝∠F，从中任选两个作为已知条件，另一个作为结论，可以组成3个命题，例如： 以③作为结论的命题是：如图，已知∠1＝∠2，∠C＝∠D，求证：∠A＝∠F． （1）请按要求写出命题： 以①作为结论的命题是：　 　　 　 ； 以②作为结论的命题是：　 　　 　； （2）请证明以②作为结论的命题． 24．（2026春•石家庄校级期中）完成下面探究命题“内错角相等”是真命题还是假命题的过程． 如图，已知AB与CD相交于点O，AB与EF相交于点H，CD与EF相交于点G． （1）找出∠1的一个内错角　 　　 　 ，∠1与这个内错角　 　 （填“相等”或“不相等”），所以该命题是：　 　 （填“真命题”或“假命题”）； （2）在（1）的基础上，若该命题是真命题，给出证明；若是假命题，改变一个已知条件，使得该命题为真命题． 25．（2025秋•鼓楼区校级期末）如果两个方程的解相差k，且k为正整数，则称解较大的方程是另一个方程的“k的后移方程”． 例如：方程x﹣4＝0的解是x＝4，方程x﹣2＝0的解是x＝2． 所以：方程x﹣4＝0是方程x﹣2＝0的“2的后移方程”． （1）判断方程2x﹣3＝0是否为方程2x﹣1＝0的k的后移方程　 　 （填“是”或“否”）； （2）已知关于x的方程2x﹣a﹣b＝0是关于x的方程2x+a＝0的“3的后移方程”，求4a+2b的值； （3）无论m，n为意整数，关于x的方程2x﹣a﹣（m+n）2026﹣（m﹣n）2026＝0是关于x的方程2x﹣a＝0的“k的后移方程”．请判断以上说法是否正确，若正确，说明理由；若不正确，举一个反例． 26．（2025秋•西城区校级月考）对于正数a（a≠1）和N，如果整数x满足ax＝N（a＞0且a≠1），定义一种能求出x的新运算： ． 例如：因为25＝32，所以log232＝5； （1）填空：log327＝　 　 ； （2）若，求a的值； （3）这个新运算的性质与我们所学的幂运算有联系，探究它的性质． ①举一个反例说明“若logaM＞logaN，则M＞N”是假命题：a＝　 　 ，M＝　 　 ，N＝　 　 ； ②，该性质的证明过程如下： 设logaM＝x，则M＝ax，Mb＝（ax）b＝abx． 由此新运算的定义可得：． 请参考以上方法，证明性质：loga（MN）＝logaM+logaN． 27．（2025春•梁溪区期末）我们用符号＜ab＞表示一个两位数（其中a、b分别表示十位、个位上数字），即＜ab＞＝10a+b，类似的，我们用符号＜abc＞表示一个三位数． 请根据以上材料，解答下列问题： （1）命题：若计算＜ab＞2的结果的个位数字为4，则b＝2．请举反例说明它是个假命题； （2）若a、b、c为三个连续整数，试证明：＜abc＞+7＜ab＞﹣6b能被13整除． 28．（2025春•梁溪区校级月考）若一个四位正整数P满足千位上的数字比百位上的数字大2，十位上的数字比个位上的数字大2，千位上的数字与十位上的数字不相等且各个数位上的数字都不为零，则称P为“双减数”．将“双减数P”的千位和百位数字组成的两位数与十位和个位数字组成的两位数的差记为N（P）．例如：四位正整数7564， ∵7﹣5＝6﹣4＝2，且7≠6， ∴7564是“双减数”，此时N（7564）＝75﹣64＝11． （1）判断“8631”是否是双减数？若是，请求出N（8631）的值；若不是，请说明理由． （2）命题“对于任意双减数A，N（A）都能被11整除”是真命题还是假命题？说明你的理由． 29．（2025春•泗洪县期末）代数证明题是数学中常见的一种题型，它要求运用逻辑推理和代数知识来证明某个数学命题的正确性． 例如：证明命题“如果a＜b，c＜d，那么a+c＜b+d”是真命题． 证明：∵a＜b，（已知） ∴在不等式两边都加上c，得a+c＜b+c．（不等式的基本性质） ∵c＜d，（已知） ∴在不等式两边都加上b，得b+c＜b+d．（不等式的基本性质） ∵a+c＜b+c，b+c＜b+d，（已证） ∴a+c＜b+d．（不等式的传递性） （1）已知有理数x、y满足x＞y＞0，证明：x2＞y2（补全下列推理过程）； 证明：∵x＞y且x，y均为正数，（已知） ∴不等式的两边都乘以同一个正数x，得x2＞xy ，（不等式的基本性质） 不等式的两边都乘以同一个正数y，得xy＞y2 ．（不等式的基本性质） ∴x2＞y2．（不等式的传递性） （2）请你尝试证明：若a＜b，则． （3）命题“三个连续自然数之和能被3整除”是真命题还是假命题？若为真命题，请证明；若为假命题，请举一个反例说明． 30．（2025春•宿豫区期末）在整数除法体系中，一个正整数除以3的余数规律蕴含着深刻的数学逻辑． 若我们把一个正整数a除以3所得的余数记作“a模3”，例如：12÷3＝4…0记作“12模3＝0”；16÷3＝5…1记作“16模3＝1”；11÷3＝3…2记作“11模3＝2”． （1）直接写出结果：36模3＝　 　 ；360模3＝　 　 ． （2） ①命题：如果a模3＝0，其中a为正整数，那么10a模3＝0．这个命题是真命题，证明过程如下： 证明：若a模3＝0，其中a为正整数，则a能被3整除，可以设a＝3k； 则10a＝30k＝3×10k； 所以10a能被3整除， 即10a模3＝0． ②命题：如果a模3＝1，其中a为正整数，那么10a模3＝1．是否正确？若正确，请证明，若不正确，举例说明； （3）证明：如果a模3＝1，b模3＝2，其中a、b为正整数，那么（a+b）模3＝0． 31．（2026春•呈贡区校级月考）在学习了平行线的性质后，老师请同学们证明命题：两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直． 小颖根据命题画出图形并写出如下的已知条件． 已知：如图1，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F．∠BEF的角平分线EG与∠DFE的角平分线FG交于点G． （1）直线EG，FG有何位置关系？直接写出结论 　 　 ． （2）在图1的基础上，分别作∠BEG的角平分线EM与∠DFG的角平分线FM交于点M，得到图2，求∠EMF的度数． （3）如图3，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F点O在直线AB，CD之间，且在直线EF右侧，∠BEO的角平分线EP与∠DFO的角平分线FP交于点P，请直接写出∠EOF与∠EPF满足的数量关系 　 　． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $