6.6.3 球的表面积和体积（教学课件）数学北师大版必修第二册

§6 简单几何体的再认识 6.3 球的表面积和体积 第六章 立体几何初步 1 2 3 了解并掌握球的体积和表面积公式。（重点） 会用球的体积与表面积公式解决实际问题。（重难点） 会解决几何体与球的切、接问题。（重点） 2.给这些水果打蜡，需要用到多少蜡油？ ——球的表面积 1.切这些水果，切面有什么特点？ ——球的性质 情景导入 读教材 阅读课本P254-P255，3分钟后完成下列问题： 1.类比圆的截面和切线，球的截面有哪些性质？ 2.什么是球的切线？球的切线有什么性质？ 3.球的表面积和体积公式分别是什么？ 我们一起来探究“球的表面积和体积”吧！ 类比 1.一条直线与圆相交，在圆内的部分是线段——弦？ 用一个平面去截球，得到的截面是什么？ 圆 什么情况下，得到的圆最大？ 2.直线过圆心时，得到的弦最长——直径. 新知探索 一、球的截面 球的大圆：球面被经过球心的平面截得的圆. 1. 大小圆的定义 球的小圆：球面被不经过球心的平面截得的圆. 新知探索 一、球的截面 类比 3、垂径定理：垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧. 在圆中有以下性质： （1）.圆心与弦中点的连线垂直于弦. 球心与截面圆心的连线与圆面是怎样的位置关系呢？ （1）.球心与截面圆心的连线与圆面垂直. 2. 球的截面性质 新知探索 一、球的截面 （2） （2） 类比 1.直线与圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切. 2.过圆外一点可以引2条直线与圆相切，且切线长相等. 1.球的切线怎样定义？ 2.过球外一点P，可以引多少条直线与球相切？ 3.这些切线的长度相等吗？所有切点组成什么图形？ 新知探索 二、球的切线 1.球的切线：当直线与球有唯一交点时，称直线与球相切，其中它们的交点称为直线与球的切点. 2.球的切线性质： （1）过球外一点的所有切线长都相等.切线长为： （2）这些切点的集合是一个圆. 新知探索 二、球的切线 （1）球的表面积：能否采用展开的方法，求球体的表面积呢？ （2）球的体积：给你一个半径为R的实心铁球，如何测量该球的体积呢？ 思考：当球的半径变化时，球的体积随之改变，你是否每次都要这样测量呢？ 不能，球体无法展开为一个平面图形 排水法 H R h 新知探索 三、球的表面积和体积 ——球的表面积和体积的计算 法一：祖暅原理“幂势既同，则积不容异” 1.球的体积和表面积计算方法： 法二：类比利用圆的周长求圆的面积的方法，我们可以利用球的表面积求球的体积.如图，把球O的表面分成n个小网格，连接球心O 和每个小网格的顶点，整个球体就被分割成n 个“小锥体”.如此，我们可以得到球的体积公式是什么？ 法三：课后探究：查阅资料，阿基米德是如何推算出球体体积的？如何推导求球的表面积计算公式？ 新知探索 三、球的表面积和体积 O R 2.球的体积和表面积 新知探索 三、球的表面积和体积 S球面 =4πR2,V球= πR3 （其中R为球的半径） 典例讲解 例1 （1）已知球的表面积为 ，求它的体积； （2）已知球的体积为 ，求它的表面积. 解： （1）设球的半径为，则由已知得 ，解得 ， 所以球的体积 . （2）设球的半径为，由已知得 ，所以 ， 所以球的表面积 . 方法点拨：要求球的体积或表面积，必须知道半径或者通 过条件能求出半径 ，然后代入体积或表面积公式求解. （1）两个球的半径相差1，表面积之差为 ，求它们的体积之和； （2）已知球的大圆周长为 ，求这个球的表面积。 解： （1）设大、小两球半径分别为， ， 则由题意可得 它们的体积之和为. （2）设球的半径为，由题意可知 ，解得 ， 则 典例讲解 例2 如图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰激凌，如果冰激凌融化了，会溢出杯子吗？（假设冰激凌融化前后体积不变） 典例讲解 解： ∵V半球===， V圆锥====， V半球 < V圆锥 ∴ 冰激凌融化了，不会溢出杯子。 一个圆柱形的玻璃瓶的内半径为3 cm，瓶里所装的水深为8 cm，将一个钢球完全浸入水中，瓶中水的高度上升到8.5 cm，求钢球的半径. 3 cm 8cm 8.5cm 典例讲解 解： 设钢球半径为Rcm，依题可得： +=.5， 解得：R=1.5 ∴ 钢球的半径为1.5cm。 几何体的外接球（内切球） 例3（1） 设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a ，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( ). A.3πa2 B.6πa2 C.12πa2 D.24πa2 典例讲解 B 解： 作出球的轴截面，如图所示，点为该球的球心， 线段 为长方体底面的对角线，长度为， 线段 为长方体的高，长度为， 线段为长方体的体对角线，长度为 ， 则球的半径，所以球的表面积 。 几何体的外接球（内切球） 典例讲解 例3（2） 已知棱长为 的正四面体的各条棱都与同一球面相切，则该球 的表面积为 ( ). A A. B. C. D. 解： 如图所示， 在棱长为2的正方体中构造棱长为的正四面体 ， 显然正四面体的棱切球为正方体的内切球， 故球的半径，则该球的表面积 . 典例讲解 几何体的内切球（外接球） （1）正方体的内切球 球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时 球的半径为 ，过在一个平面上的四个切点作截面如图①. （2）长方体的外接球 长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球， 根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体 过同一顶点的三条棱棱长分别为，， ，过球心作长方体的 体对角线，则球的半径为 ，如图②. （3）正四面体的外接球 正四面体的棱长与外接球的半径的关系为 典例讲解 1 设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为 ，顶点都在一个球面上， 则该球的表面积为( ). B A. B. C. D. 2 如图，已知球是棱长为1的正方体 的内切球，则平面 截球 的截面面积为( ). C A. B. C. D. 典例讲解 1 设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为 ，顶点都在一个球面上， 则该球的表面积为( ). B A. B. C. D. 解： 由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为. 如图， 为三棱柱上底面的中心，为球心， 易知， ， 所以球的半径， 满足，故 . 典例讲解 2 如图，已知球是棱长为1的正方体 的内切球，则平面 截球 的截面面积为( ). C A. B. C. D. 解：平面截球的截面为 的内切圆，如图. 正方体的棱长为1， ， 内切圆半径 ， 截面面积 .故选C. $