题号猜押07 云南中考数学24～25题（5大考点，解答题）（云南专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

题号猜押07 云南中考数学24~25题（解答题） 考点1 矩形判定和性质应用 1．（2026·云南保山·一模）如图，在平行四边形中，，，，分别是各边的中点，四边形是菱形． (1)求证：平行四边形为矩形； (2)若平行四边形的周长是，面积是，求菱形的边长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据菱形的性质得出，根据中位线的性质可得，得出，即可得证； （2）依题意得出，根据勾股定理结合完全平方公式变形，求得，根据中位线的性质即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接 ∵四边形是菱形 ∴ ∵在平行四边形中，，，，分别是各边的中点， ∴， ∴ ∴平行四边形是矩形； （2）解：∵矩形的周长是，面积是， ∴ ∴ ∴ ∴，即菱形的边长为 2．（2026·云南玉溪·一模）如图，在中，的平分线和的平分线交于点，点在边上，以，为邻边作． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，即可得证； （2）根据平行四边形的性质可得，，根据含30度角的直角三角形的性质可得，再根据勾股定理可得，根据矩形的面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ， ， ∵和分别是和的平分线， ， ， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形． （2）解：∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ． 3．（2026·云南昆明·一模）如图，在中，点，分别是，的中点，过点作，垂足为，点在的延长线上，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，，求矩形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由题意易得，然后可得四边形是平行四边形，进而根据矩形的判定定理可进行求证； （2）由（1）可得，，设，则，然后根据勾股定理可得x的值，进而可得，最后问题可求解． 【详解】（1）证明：，分别是，的中点， 是的中位线， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形； （2）解：四边形是矩形， ，， ， 设，则， 在中，由勾股定理可得，，即， 解得：， ，是的中位线， ， ， ． 考点2 菱形判定和性质应用 1．（2026·云南红河·一模）如图，是直角三角形，且，点、分别是、的中点，连接并延长至点，使得，连接、、． (1)求证：四边形是菱形； (2)若的周长为30，且，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)30 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形．再结合直角三角形的性质可得，即可得证； （2）设，．则，，由勾股定理可得，求出，即可得出结果． 【详解】（1）证明：点是的中点， ． ， ∴四边形是平行四边形． 是直角三角形，点是的中点， ． 四边形是菱形． （2）解：设，． 的周长为，． ，． 在中，由勾股定理得． ∵， ∴． ∵点、分别是、的中点， ∴， ∵， ∴． ∴． 答：四边形的面积为30． 2．（2026·云南文山·一模）如图，在四边形中，对角线的垂直平分线分别交于点，垂足为，．连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)已知，延长到点，使，连接，，若点是的中点，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（）利用是的垂直平分线，得到且，结合先证四边形是平行四边形，再由对角线互相垂直的平行四边形是菱形，完成证明； （）先根据菱形性质和中位线定理求出的长度，再通过角度推导得到相关角的度数，作后用含的直角三角形性质与勾股定理求出各线段长，最后结合的长度，用三角形面积公式算出． 【详解】（1）证明：∵是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：在菱形中，是的中点，， ∵点是的中点， ∴是的中位线， 则， ∵， ∴， 则， ∴， 如图，过点作于， ∴， 则， ∴， 同理，在中，，， 则， ∴， ∴． 3．（2026·云南大理·一模）如图，平行四边形中，点在对角线的延长线上，于点，过点作交的延长线于点，且，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再证明四边形是菱形即可； （2）根据，求出，根据，求出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ， ∵， ∴， ∵， 四边形是平行四边形． ∵ 平行四边形是菱形． （2）解：∵， ， ∵，， 在中，， ， ， ∵四边形是菱形， ， 又∵， 在中，， ， ． 考点3实际问题与一次函数 1．（2026·云南玉溪·一模）请你根据以下素材，完成有关任务． 背景 为助力乡村振兴，推广云南特色农产品，某特产店推出云南小粒咖啡礼盒与云南野生菌干货礼盒两款产品． 素材1 购买2盒云南小粒咖啡和3盒野生菌干货共花费145元；购买3盒云南小粒咖啡和5盒野生菌干货共花费230元． 素材2 某游客计划购买这两种产品共40盒，若要求野生菌干货礼盒的数量不少于云南小粒咖啡礼盒的1.5倍． 请完成下列任务 (1)任务1：确定单价，求购买一盒云南小粒咖啡和一盒野生菌干货分别需要多少元？ (2)任务2：拟定购买方案，请设计最省钱的购买方案，并求出最低总费用． 【答案】(1)购买一盒云南小粒咖啡需要元，购买一盒野生菌干货需要元 (2)购买了云南小粒咖啡礼盒盒，则购买野生菌干货礼盒盒时最省钱，总费用最低为元 【分析】（1）购买一盒云南小粒咖啡需要x元，购买一盒野生菌干货需要y元，根据题目的数量关系列式方程组求解即可； （2）设购买了云南小粒咖啡礼盒盒，则购买野生菌干货礼盒盒，由此列不等式得到，设购买两种礼盒总费用为，根据数量关系，结合一次函数图像的性质求解即可． 【详解】（1）解：购买一盒云南小粒咖啡需要x元，购买一盒野生菌干货需要y元， ∴， 解得，， ∴购买一盒云南小粒咖啡需要元，购买一盒野生菌干货需要元； （2）解：设购买了云南小粒咖啡礼盒（是大于0的整数）盒，则购买野生菌干货礼盒盒， ∴， 解得，， ∵某游客计划购买这两种产品共40盒， ∴， 设购买两种礼盒总费用为， ∴， ∵， ∴随着的增大而增大， ∴当时，总费用最低，最低总费用为元，则， ∴购买了云南小粒咖啡礼盒盒，则购买野生菌干货礼盒盒时最省钱，总费用最低为元． 2．（2026·云南昆明·一模）【活动主题】 为什么天气闷热时，鱼塘里的鱼总是浮出水面？结合化学课上学习的“溶解度”相关知识，某班数学兴趣小组开展以“探究水体溶解氧含量与水温的关系”为题的跨学科实践活动． 【活动准备】 该数学兴趣小组分工查阅相关资料，整理得出以下信息：水面的溶解氧含量通常比水底高一些；当水底缺氧时，鱼就会游到水面，这里的水体溶解氧含量相对较高，这就是我们总能看到鱼把嘴伸出水面的原因、当水底的溶解氧含量下降时，不同鱼类因其耐受力差异会出现不同的反应；一般情况下，鱼类正常生长需要水体溶解氧含量在5毫克/升以上，此时水中氧气充足，有利于鱼类生长．在特定范围内，水体溶解氧含量（毫克/升）与水温（℃）呈现出一次函数的变化规律． 【活动探究】 该数学兴趣小组利用学校实验室中的传感器进行数字化实验，得到数据：当水温为时，水体溶解氧含量为9毫克/升；当水温为时，水体溶解氧含量为7毫克/升．实验要求检测的水温不低于，且不高于． 通过探究发现：当水温升高时，水体溶解氧含量就会降低，故天气闷热时，鱼塘水温上升，水体溶解氧含量降低，鱼在水底缺氧便会浮出水面． 【活动任务】 (1)任务1：请你根据数字化实验数据；求与之间的函数关系式； (2)任务2：请结合实验水温的限制要求，求水体溶解氧含量的最大值． 【答案】(1) (2)结合实验水温的限制要求，水体溶解氧含量最大值为10毫克/升 【分析】（1）设水体溶解氧含量与水温的一次函数关系式为，然后根据题意及待定系数法可进行求解； （2）由（1）可知，则有随的增大而减小，然后问题可进行求解． 【详解】（1）解：设水体溶解氧含量与水温的一次函数关系式为， ，解得， ； （2）解：， 随的增大而减小， ， 当时，． 答：结合实验水温的限制要求，水体溶解氧含量最大值为10毫克/升． 3．（2026·云南大理·一模）请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 大理白族扎染技艺流传千年，是第一批国家级非物质文化遗产，被誉为“针尖上的青花瓷”．某校文化节期间，舞蹈社团计划购买扎染服饰若干套用于表演，以彰显白族扎染非遗魅力，增强学生对大理民族文化的了解，提升文化自信． 素材一 经市场调查发现，每套女款扎染服饰比每套男款扎染服饰贵20元． 素材二 购买3套女款扎染服饰和5套男款扎染服饰共需540元； 素材三 该社团计划购买女款和男款服饰共30套，男女款均需购买，且购买男款的数量不超过购买女款数量的． 请完成下列任务： (1)任务一：计算每套女款和每套男款扎染服饰的价格分别是多少元？ (2)任务二：请给出最节省费用的购买方案． 【答案】(1)每套女款扎染服饰80元，每套男款扎染服饰60元 (2)当购买女款扎染服饰20套、男款扎染服饰10套时，总费用最低 【分析】（1）设每套女款扎染服饰元，每套男款扎染服饰元，列方程组，解方程组即可； （2）设购买女款扎染服饰套，则购买男款扎染服饰套，购买总费用为W元，得到，由购买男款的数量不超过购买女款数量的得到，求出，计算即可． 【详解】（1）解：设每套女款扎染服饰元，每套男款扎染服饰元， ，解得，， 答：每套女款扎染服饰80元，每套男款扎染服饰60元； （2）解：设购买女款扎染服饰套，则购买男款扎染服饰套，购买总费用为W元， ， 购买男款的数量不超过购买女款数量的 ，解得 随的增大而增大， 当时，的值最小 当购买女款扎染服饰20套时，总费用最低， 此时，购买男款扎染服饰套． 当购买女款扎染服饰20套、男款扎染服饰10套时，总费用最低． 考点4 实际问题与二次函数 1．（2023·云南昆明·一模）云南某旅游景区购进一批文创产品，40天销售完毕．根据记录的数据发现，日销售量y（件）与销售时间x（天）之间的关系式是，销售单价p（元/件）与销售时间x（天）之间的函数关系如图所示．    (1)第15天的日销售量为___________件； (2)当时，求日销售额的最大值． 【答案】(1)30 (2)当时，日销售额的最大值为2100元． 【分析】（1）将代入，求值即可； （2）结合图像，需要将函数分为和两个阶段进行计算，再根据一次函数和二次函数的性质，即可解答． 【详解】（1）解：当时，． 故答案为：30． （2）解：由图象得， ①当时， 日销售额为， ， 日销售额随x的增大而增大，当时，日销售额最大，为（元）； ②当时， 日销售额为， 当时，日销售额随x的增大而增大， 当时，日销售额最大，为（元）， 综上所述，当时，日销售额的最大值为2100元． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，一次函数的性质，二次函数的性质，正确利用自变量的取值范围确定函数的关系式是解题的关键． 2．（2023·云南昭通·一模）新华书店销售一个系列的儿童书刊，每套进价100元，销售定价为140元，一天可以销售20套．为了扩大销售，增加盈利，减少库存，书店决定采取降价措施．若一套书每降价1元，平均每天可多售出2套．设每套书降价元时，书店一天可获利润元． (1)求出与的函数关系式； (2)若要书店每天盈利1200元，则每套书销售定价应为多少元？ (3)当每套书销售定价为多少元时，书店一天可获得最大利润？这个最大利润为多少元？ 【答案】(1) (2)书店每天盈利1200元，每套书销售定价应定为130元或120元 (3)每套书销售定价为125元时，书店每天可获最大利润。最大利润为1250元 【分析】（1）由总利润=每套利润销售量可列出函数关系式； （2）由（1）可知与的函数关系式，令，即可求出，进而得到定价； （3）根据二次函数性质可得答案． 【详解】（1）由题意可知： ∴与的函数关系式为． （2）令 解得， ∴， 答：要书店每天盈利1200元，每套书销售定价应定为130元或120元． （3）， ∵ ∴当时，有最大值1250，此时， 答：当每套书销售定价为125元时，书店每天可获最大利润。最大利润为1250元． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，列出函数关系式． 3．（2023·云南西双版纳·一模）随着新一轮新冠疫情的爆发，某网店销售的消毒洗手液很畅销．已知该消毒洗手液的运营成本为每瓶4元，市场调查发现，每天的洗手液销售量y（瓶）与销售单价x（元/瓶）（，且x是正整数）之间满足某种函数关系，下表记录的是部分销售数据： x（元/瓶） 7 8 9 10 y（瓶） 85 80 75 70 (1)求出y与x之间的函数关系式； (2)设销售这种洗手液每天的利润为W元，求该网店每天销售洗手液的最大利润； (3)为了抗击疫情，该网店决定每销售1瓶洗手液便向隔离防控区捐款a元，实施决策后发现，网店每天的利润依然随着售价的增大而增大，则a的最小值是______． 【答案】(1) (2)500元 (3)2 【分析】（1）根据表格分析y与x之间符合一次函数关系，待定系数法求解即可； （2）销售利润W＝单件的利润×平均每天的销售量，代入得出W与x的函数关系式，再根据二次函数顶点式求最值即可； （3）根据题中所给的自变量的取值，类似于（2）得到的关系式，同样的方法即可求得的最小值． 【详解】（1）解：由表格可知，y与x之间符合一次函数关系， 设y与x的函数表达式为，则，解得， ∴y与x的函数表达式为； （2）解：根据题意可得， ∵，开口向下，， ∴当时，W最大＝500（元）， ∴该网店，每天销售洗手液的最大利润为500元； （3）解：由题意可得， ∴对称轴为：直线， ∵， ∴当时，W随x的增大而增大， ∵， ∴，解得：， ∴a的最小值为2． 【点睛】本题考查了函数在实际生活中的应用，最大销售利润的问题常用函数的增减性来解答，对于二次函数最值问题，要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在顶点处取得． 考点5 实际问题与不等式或不等式组 1．（2023·云南文山·一模）某中学开展关于“构建书香校园”读书活动的实施方案，以建设书香校园、和谐校园为目标，引领广大师生“走进五千年文明、品读祖国经典美文”，受到同学们的广泛关注，学校计划采购两类图书，通过市场了解，每套种图书的价钱是每套种图书价钱的倍，用4000元购买的种图书比用3000元购买的种图书多20套． (1)种图书，种图书每套分别为多少元? (2)现学校计划采购60套图书，且种图书数量不低于种图书数量的一半，请你用函数的知识说明，如何采购能使总费用最低?并求出最低费用． 【答案】(1)种图书每套150元，种图书每套100元 (2)购买种图书20套，则购买种图书40套时，总费用最低，最低费用为7000元 【分析】（1）设种图书每套元，则种图书每套元，根据用4000元购买的种图书比用3000元购买的种图书多20套列出方程，解方程即可，注意验根； （2）设学校购买种图书套，则购买种图书套，购买图书的总费用为元，根据总费用两种图书费用之和列出函数解析式，再根据种图书数量不低于种图书数量的一半求出的取值范围，由函数的性质求最值． 【详解】（1）解：设种图书每套元，则种图书每套元， 根据题意得：， 解得， 经检验，是原方程的解， 此时， 答：种图书每套150元，种图书每套100元； （2）解：设学校购买种图书套，则购买种图书套，购买图书的总费用为元， 由题意得：， ， 随的增大而增大， 种图书数量不低于种图书数量的一半， ， 解得， 当时，最小，最小值为7000， 此时（套）， 答：学校购买种图书20套，则购买种图书40套时，总费用最低，最低费用为7000元． 【点睛】本题考查一次函数的应用，分式方程的应用，二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，关键是找到数量关系列出函数解析式或方程和不等式． 2．（2023·云南昭通·二模）某地区为打造乡村振兴示范区．实行大面积机械化种植，今年共计种植某作物700亩，预计租用10台作物收割机在一天之内完成该作物的收割。已知可租用A、B两种型号的作物收割机，2台A型号收割机与3台B型号收割机一起工作1天共收制该作物310亩，1台A型号收割机和1台B型号收割机一起工作1天共收割该作物130亩，租用A型号收割机的租金为每天3000元，租用B型号收割机的租金为每天2000元． (1)两种型号收割机每台每天平均收割多少亩该作物? (2)设租用x台A型号的收割机，完成该作物的收割需要的总租金为y元，一共有多少种租赁方案，并求出最少的总租金． 【答案】(1)A型号收割机每台每天平均收割80亩该作物，B型号收割机每台每天平均收割50亩该作物 (2)一共有4种租赁方案，最少的总租金为27000元 【分析】（1）设A型号收割机每台每天平均收割a亩该作物，B型号收割机每台每天平均收割b亩该作物，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设租用x台A型号的收割机，则租用B型号的收割机（）台，根据题意列出不等式组，解得，由于x为整数，可知x=7或8或9或10，进而可得到4种租赁方案，再分别计算4种方案的总租金即可． 【详解】（1）解：设A型号收割机每台每天平均收割a亩该作物，B型号收割机每台每天平均收割b亩该作物， 由题意可得，解得， 即A型号收割机每台每天平均收割80亩该作物，B型号收割机每台每天平均收割50亩该作物； （2）设租用x台A型号的收割机，则租用B型号的收割机（）台， 由题意可得，解得， ∵x为整数， ∴x=7或8或9或10， 当时，，即租用A型号的收割机7台，租用B型号的收割机3台，完成该作物收割需要的总租金为元； 当时，，即租用A型号的收割机8台，租用B型号的收割机2台，完成该作物收割需要的总租金为元； 当时，，即租用A型号的收割机9台，租用B型号的收割机1台，完成该作物收割需要的总租金为元； 当时，，即租用A型号的收割机10台，租用B型号的收割机0台，完成该作物收割需要的总租金为元； 综上所述，一共有4种租赁方案，最少的总租金为27000元． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组和不等式组的实际应用，解题关键是读懂题意并正确列出方程组和不等式组． 1．（2026·云南保山·一模）请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 为深入推进乡村振兴战略，助力乡村产业发展，某合作社推出云南特色苹果销售业务，主营甲、乙两个品种的苹果． 素材一 2箱甲种苹果和1箱乙种苹果的售价之和为280元； 素材二 3箱甲种苹果和2箱乙种苹果的售价之和为460元； 素材三 某公司计划从该合作社购买甲乙两种苹果共200箱，且乙种苹果的箱数不超过甲种苹果箱数的3倍． 请完成下列任务： (1)每箱甲种苹果，每箱乙种苹果的售价分别是多少元？ (2)给出该公司最节省费用的购买方案． 【答案】(1)每箱甲种苹果售价100元.每箱乙种苹果售价80元 (2)最节省费用的购买方案为购买甲种苹果50箱，乙种苹果150箱 【分析】（1）设每箱甲种苹果的售价是元，每箱乙种苹果的售价是元，根据题中的等量关系，列出方程组，求解即可； （2）设购买甲种苹果箱，总费用为元，则购买乙种苹果箱，先根据题意，列出不等式，得，再根据题意得，最后根据一次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：设每箱甲种苹果的售价是元，每箱乙种苹果的售价是元， 由题可列，， 解得， 则每箱甲种苹果售价100元.每箱乙种苹果售价80元； （2）解：设购买甲种苹果箱，总费用为元，则购买乙种苹果箱， ，解得， ， ，随的增大而增大， 当时，取得最小值，则， 该公司最节省费用的购买方案是购买甲种苹果50箱，乙种苹果150箱． 2．（2025·云南昆明·二模）“母亲节”期间，某鲜花店计划购进康乃馨和玫瑰花两种鲜花，其中玫瑰花每束40元，购买康乃馨所需费用y（单位：元）与购买数量x（单位：束）的函数关系图象如图所示． (1)求y与x的函数解析式； (2)该鲜花店计划购进康乃馨和玫瑰花共200束，若购买康乃馨的数量不超过150束，且不少于玫瑰花的数量，求购买这两种鲜花的总费用W的最小值． 【答案】(1) (2)8600元 【分析】此题考查了一次函数的应用，根据图象求出函数关系式是解题的关键． （1）运用待定系数法求解即可； （2）根据题意得到一元一次不等式组，求出x的取值范围，再得出W关于x的函数解析式，根据一次函数的性质，即可解答． 【详解】（1）解：当时，设函数解析式为 ∵图象过点 ∴   ∴ ∴    当时，设函数解析式为 ∵图象过，两点， ∴ 解得 ∴    综上所述，； （2）解：由题意，得   ∴    ∴ 即    ∵   ∴W随x增大而增大． 又∵ ∴当时，W取得最小值8600． 答：购买康乃馨和玫瑰花各100束时，花费最少，最少费用为8600元． 3．（2026·云南临沧·一模）如图，在中，，DE平分∠BDC交BC于点O，交AB的延长线于点E，连接CE． (1)求证：四边形BECD是菱形； (2)如果，，求四边形BECD的面积． 【答案】(1)见解析 (2)24 【分析】（1）利用平行线和角平分线的性质证明，推出，结合已知条件证明，，得出四边形BECD是平行四边形，结合即可证明四边形BECD是菱形； （2）利用菱形的面积等于对角线乘积的一半求解； 【详解】（1）证明：∵中，， ∴， ∴． ∵DE平分∠BDC， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴四边形BECD是平行四边形． 又∵， ∴四边形BECD是菱形； （2）解：∵中，，， ∴，， 由（1）知四边形BECD是菱形， ∴，， 在中，由勾股定理可得，， ∴， ∴， 即四边形BECD的面积为24． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定、菱形的面积公式、勾股定理等，掌握菱形的判定方法及面积公式是解题的关键． 4．（2025·云南曲靖·二模）如图，在四边形中 ，，平分，过点A作， 交延长线于点E．四边形对角线交于点O，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了菱形的判定和性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识，证明四边形是菱形是解题的关键． （1）证明，得到四边形是平行四边形；由即可证明四边形是菱形； （2）根据菱形的性质和直角三角形的性质得到，根据勾股定理得到，即可求出答案． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∵平分， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴， ∵ ∴四边形是平行四边形； ∵ ∴四边形是菱形； （2）∵四边形是菱形 ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积． 5．（2025·云南昆明·二模）如图，已知四边形是菱形，延长到点E使，延长到点F使，连接，，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若平分，菱形的边长为4，求矩形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据，，得出四边形是平行四边形，根据四边形是菱形，得出，结合，，得出，即可证明四边形是矩形． （2）根据四边形是菱形，得出，，即可得，结合平分，证明，证出，得出，，在中，根据勾股定理求出，即可求出四边形的面积． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴， 又∵，， ∴， ∴四边形是矩形． （2）解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵菱形的边长为4 ， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∵中，， ∴， ∴， ∴四边形的面积为． 【点睛】该题考查了勾股定理，矩形的性质和判定，菱形的性质，等腰三角形的判定等知识点，掌握以上知识点是解题的关键． 6．（2025·云南昆明·二模）如图，在菱形中，与相交于点，点是中点，连接并延长至点，使得，连接，，点在线段上，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求点到的距离． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由菱形的性质可得，得到，由点是中点可得，推出四边形是平行四边形，结合，即可得证； （2）由菱形的性质可得：，进而得到，由矩形的性质可得：，，，推出，得到，结合三角形外角的性质和题意可得到，证明，推出，，即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是菱形， ， ， 点是中点， ， ， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是矩形； （2）解：四边形是菱形， ， 在中，． 由（1）知，四边形是矩形， ，，， ， ， 是的一个外角， ， ， ， ， 又， ， ，， 点到的距离为线段的长度，， 解得：， 点到的距离为． 【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，三角形的外角性质，解题的关键是掌握相关知识． 7．（2023·云南昆明·一模）云南鲜花饼远近闻名，为了更好地服务好顾客，昆明某鲜花店新购进了两种新款鲜花饼，相关信息如下表： 种别 玫瑰鲜花饼 茉莉鲜花饼 进价（元/盒） 30 45 备注 ①用不超过1950元购进两种鲜花饼共50盒； ②茉莉鲜花饼不少于20盒； (1)已知茉莉鲜花饼的标价是玫瑰鲜花饼标价的倍，若顾客用750元购买两种鲜花饼，能单独购买茉莉鲜花饼的数量恰好比单独购买玫瑰鲜花饼的数量少5盒，请求出玫瑰鲜花饼、茉莉鲜花饼两种鲜花饼的标价； (2)为了让利给消费者，商店老板便调整了销售方案，茉莉鲜花饼按照标价8折销售，玫瑰鲜花饼价格不变，那么商店应如何进货才能获得最大利润？ 【答案】(1)玫瑰鲜花饼的标价为50元/盒，茉莉鲜花饼的标价为75元/盒 (2)购进玫瑰鲜花饼30盒，则购进茉莉鲜花饼20盒，商店利润最大，最大利润为900元 【分析】（1）设玫瑰鲜花饼的标价为元/盒，则茉莉鲜花饼的标价为元/盒，根据“单独购买茉莉鲜花饼的数量恰好比单独购买玫瑰鲜花饼的数量少5盒”列方程求解即可； （2）设购进玫瑰鲜花饼a盒，商店利润为W元，根据用不超过1950元购进两种鲜花饼共50盒，茉莉鲜花饼不少于20盒，可得，而，由一次函数性质可得答案． 【详解】（1）解：设玫瑰鲜花饼的标价为元/盒，则茉莉鲜花饼的标价为元/盒， 由题意得：， 解得：， 经检验是原方程的解， ∴， 答：玫瑰鲜花饼的标价为50元/盒，茉莉鲜花饼的标价为75元/盒． （2）解：设购进玫瑰鲜花饼盒，则购进茉莉鲜花饼盒．商店利润为元． 由题意得：， 根据题意得：，解得， ∵， ∴w随a的增大而增大， ∴当时，， 此时，， 答：购进玫瑰鲜花饼30盒，则购进茉莉鲜花饼20盒，商店利润最大，最大利润为900元． 【点睛】本题考查分式方程的应用，一次函数的应用，涉及一元一次不等式组，解题的关键是读懂题意，列出方程和函数关系式． 5．（2023·云南昆明·一模）黔东南州某超市购进甲、乙两种商品，已知购进3件甲商品和2件乙商品，需60元；购进2件甲商品和3件乙商品，需65元． （1）甲、乙两种商品的进货单价分别是多少？ （2）设甲商品的销售单价为x（单位：元/件），在销售过程中发现：当11≤x≤19时，甲商品的日销售量y（单位：件）与销售单价x之间存在一次函数关系，x、y之间的部分数值对应关系如表： 销售单价x（元/件） 11 19 日销售量y（件） 18 2 请写出当11≤x≤19时，y与x之间的函数关系式． （3）在（2）的条件下，设甲商品的日销售利润为w元，当甲商品的销售单价x（元/件）定为多少时，日销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）甲、乙两种商品的进货单价分别是10、15元/件；（2）y＝﹣2x+40（11≤x≤19）．（3）当甲商品的销售单价定为15元/件时，日销售利润最大，最大利润是50元． 【分析】（1）设甲、乙两种商品的进货单价分别是a、b元/件，然后列出二元一次方程组并求解即可； （2）设y与x之间的函数关系式为y＝k1x+b1，用待定系数法求解即可； （3）先列出利润和销售量的函数关系式，然后运用二次函数的性质求最值即可． 【详解】解：（1）设甲、乙两种商品的进货单价分别是a、b元/件，由题意得： ， 解得：． ∴甲、乙两种商品的进货单价分别是10、15元/件． （2）设y与x之间的函数关系式为y＝k1x+b1，将（11，18），（19，2）代入得： ，解得：． ∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣2x+40（11≤x≤19）． （3）由题意得： w＝（﹣2x+40）（x﹣10） ＝﹣2x2+60x﹣400 ＝﹣2（x﹣15）2+50（11≤x≤19）． ∴当x＝15时，w取得最大值50． ∴当甲商品的销售单价定为15元/件时，日销售利润最大，最大利润是50元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、运用待定系数法则求函数解析式以及二次函数的性质求最值等知识点，弄懂题意、列出方程组或函数解析式是解答本题的关键． 9．（2023·云南昆明·二模）某杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板的右端处弹跳起经过最高点后下落到右端的椅子处，其身体看成一点运动的路线是一条抛物线的一部分，如图，已知，演员起跳点的高度，演员离开地面的最大高度是，此时，演员到起跳点的水平距离为． (1)求该抛物线的解析式； (2)已知人梯高，为了成功完成此次表演，那么人梯到起跳点A的水平距离应为多少？ 【答案】(1) (2)4m 【分析】（1）由题意知，抛物线顶点坐标，设顶点式形式解析式，将点代入求解； （2）将 代入解析式，求自变量取值，取合理值； 【详解】（1）根据题意可知，抛物线的顶点坐标为 设抛物线的解析式为 把 代入得： 解得： 抛物线的解析式为 ； （2）当 时， 解得： 不符合题意，舍去， 答：人梯到起跳点 A 的水平距离应为 ． 【点睛】本题考查待定系数法确定二次函数解析式，函数与方程的联系，一元二次方程的求解；理解函数与方程的联系是解题的关键． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 题号猜押07 云南中考数学24~25题（解答题） 考点1 矩形判定和性质应用 1．（2026·云南保山·一模）如图，在平行四边形中，，，，分别是各边的中点，四边形是菱形． (1)求证：平行四边形为矩形； (2)若平行四边形的周长是，面积是，求菱形的边长． 2．（2026·云南玉溪·一模）如图，在中，的平分线和的平分线交于点，点在边上，以，为邻边作． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的面积． 3．（2026·云南昆明·一模）如图，在中，点，分别是，的中点，过点作，垂足为，点在的延长线上，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，，求矩形的面积． 考点2 菱形判定和性质应用 1．（2026·云南红河·一模）如图，是直角三角形，且，点、分别是、的中点，连接并延长至点，使得，连接、、． (1)求证：四边形是菱形； (2)若的周长为30，且，求四边形的面积． 2．（2026·云南文山·一模）如图，在四边形中，对角线的垂直平分线分别交于点，垂足为，．连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)已知，延长到点，使，连接，，若点是的中点，求的面积． 3．（2026·云南大理·一模）如图，平行四边形中，点在对角线的延长线上，于点，过点作交的延长线于点，且，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，，求线段的长． 考点3实际问题与一次函数 1．（2026·云南玉溪·一模）请你根据以下素材，完成有关任务． 背景 为助力乡村振兴，推广云南特色农产品，某特产店推出云南小粒咖啡礼盒与云南野生菌干货礼盒两款产品． 素材1 购买2盒云南小粒咖啡和3盒野生菌干货共花费145元；购买3盒云南小粒咖啡和5盒野生菌干货共花费230元． 素材2 某游客计划购买这两种产品共40盒，若要求野生菌干货礼盒的数量不少于云南小粒咖啡礼盒的1.5倍． 请完成下列任务 (1)任务1：确定单价，求购买一盒云南小粒咖啡和一盒野生菌干货分别需要多少元？ (2)任务2：拟定购买方案，请设计最省钱的购买方案，并求出最低总费用． 2．（2026·云南昆明·一模）【活动主题】 为什么天气闷热时，鱼塘里的鱼总是浮出水面？结合化学课上学习的“溶解度”相关知识，某班数学兴趣小组开展以“探究水体溶解氧含量与水温的关系”为题的跨学科实践活动． 【活动准备】 该数学兴趣小组分工查阅相关资料，整理得出以下信息：水面的溶解氧含量通常比水底高一些；当水底缺氧时，鱼就会游到水面，这里的水体溶解氧含量相对较高，这就是我们总能看到鱼把嘴伸出水面的原因、当水底的溶解氧含量下降时，不同鱼类因其耐受力差异会出现不同的反应；一般情况下，鱼类正常生长需要水体溶解氧含量在5毫克/升以上，此时水中氧气充足，有利于鱼类生长．在特定范围内，水体溶解氧含量（毫克/升）与水温（℃）呈现出一次函数的变化规律． 【活动探究】 该数学兴趣小组利用学校实验室中的传感器进行数字化实验，得到数据：当水温为时，水体溶解氧含量为9毫克/升；当水温为时，水体溶解氧含量为7毫克/升．实验要求检测的水温不低于，且不高于． 通过探究发现：当水温升高时，水体溶解氧含量就会降低，故天气闷热时，鱼塘水温上升，水体溶解氧含量降低，鱼在水底缺氧便会浮出水面． 【活动任务】 (1)任务1：请你根据数字化实验数据；求与之间的函数关系式； (2)任务2：请结合实验水温的限制要求，求水体溶解氧含量的最大值． 3．（2026·云南大理·一模）请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 大理白族扎染技艺流传千年，是第一批国家级非物质文化遗产，被誉为“针尖上的青花瓷”．某校文化节期间，舞蹈社团计划购买扎染服饰若干套用于表演，以彰显白族扎染非遗魅力，增强学生对大理民族文化的了解，提升文化自信． 素材一 经市场调查发现，每套女款扎染服饰比每套男款扎染服饰贵20元． 素材二 购买3套女款扎染服饰和5套男款扎染服饰共需540元； 素材三 该社团计划购买女款和男款服饰共30套，男女款均需购买，且购买男款的数量不超过购买女款数量的． 请完成下列任务： (1)任务一：计算每套女款和每套男款扎染服饰的价格分别是多少元？ (2)任务二：请给出最节省费用的购买方案． 考点4 实际问题与二次函数 1．（2023·云南昆明·一模）云南某旅游景区购进一批文创产品，40天销售完毕．根据记录的数据发现，日销售量y（件）与销售时间x（天）之间的关系式是，销售单价p（元/件）与销售时间x（天）之间的函数关系如图所示．    (1)第15天的日销售量为___________件； (2)当时，求日销售额的最大值． 2．（2023·云南昭通·一模）新华书店销售一个系列的儿童书刊，每套进价100元，销售定价为140元，一天可以销售20套．为了扩大销售，增加盈利，减少库存，书店决定采取降价措施．若一套书每降价1元，平均每天可多售出2套．设每套书降价元时，书店一天可获利润元． (1)求出与的函数关系式； (2)若要书店每天盈利1200元，则每套书销售定价应为多少元？ (3)当每套书销售定价为多少元时，书店一天可获得最大利润？这个最大利润为多少元？ 3．（2023·云南西双版纳·一模）随着新一轮新冠疫情的爆发，某网店销售的消毒洗手液很畅销．已知该消毒洗手液的运营成本为每瓶4元，市场调查发现，每天的洗手液销售量y（瓶）与销售单价x（元/瓶）（，且x是正整数）之间满足某种函数关系，下表记录的是部分销售数据： x（元/瓶） 7 8 9 10 y（瓶） 85 80 75 70 (1)求出y与x之间的函数关系式； (2)设销售这种洗手液每天的利润为W元，求该网店每天销售洗手液的最大利润； (3)为了抗击疫情，该网店决定每销售1瓶洗手液便向隔离防控区捐款a元，实施决策后发现，网店每天的利润依然随着售价的增大而增大，则a的最小值是______． 考点5 实际问题与不等式或不等式组 1．（2023·云南文山·一模）某中学开展关于“构建书香校园”读书活动的实施方案，以建设书香校园、和谐校园为目标，引领广大师生“走进五千年文明、品读祖国经典美文”，受到同学们的广泛关注，学校计划采购两类图书，通过市场了解，每套种图书的价钱是每套种图书价钱的倍，用4000元购买的种图书比用3000元购买的种图书多20套． (1)种图书，种图书每套分别为多少元? (2)现学校计划采购60套图书，且种图书数量不低于种图书数量的一半，请你用函数的知识说明，如何采购能使总费用最低?并求出最低费用． 2．（2023·云南昭通·二模）某地区为打造乡村振兴示范区．实行大面积机械化种植，今年共计种植某作物700亩，预计租用10台作物收割机在一天之内完成该作物的收割。已知可租用A、B两种型号的作物收割机，2台A型号收割机与3台B型号收割机一起工作1天共收制该作物310亩，1台A型号收割机和1台B型号收割机一起工作1天共收割该作物130亩，租用A型号收割机的租金为每天3000元，租用B型号收割机的租金为每天2000元． (1)两种型号收割机每台每天平均收割多少亩该作物? (2)设租用x台A型号的收割机，完成该作物的收割需要的总租金为y元，一共有多少种租赁方案，并求出最少的总租金． 1．（2026·云南保山·一模）请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 为深入推进乡村振兴战略，助力乡村产业发展，某合作社推出云南特色苹果销售业务，主营甲、乙两个品种的苹果． 素材一 2箱甲种苹果和1箱乙种苹果的售价之和为280元； 素材二 3箱甲种苹果和2箱乙种苹果的售价之和为460元； 素材三 某公司计划从该合作社购买甲乙两种苹果共200箱，且乙种苹果的箱数不超过甲种苹果箱数的3倍． 请完成下列任务： (1)每箱甲种苹果，每箱乙种苹果的售价分别是多少元？ (2)给出该公司最节省费用的购买方案． 2．（2025·云南昆明·二模）“母亲节”期间，某鲜花店计划购进康乃馨和玫瑰花两种鲜花，其中玫瑰花每束40元，购买康乃馨所需费用y（单位：元）与购买数量x（单位：束）的函数关系图象如图所示． (1)求y与x的函数解析式； (2)该鲜花店计划购进康乃馨和玫瑰花共200束，若购买康乃馨的数量不超过150束，且不少于玫瑰花的数量，求购买这两种鲜花的总费用W的最小值． 3．（2026·云南临沧·一模）如图，在中，，DE平分∠BDC交BC于点O，交AB的延长线于点E，连接CE． (1)求证：四边形BECD是菱形； (2)如果，，求四边形BECD的面积． 4．（2025·云南曲靖·二模）如图，在四边形中 ，，平分，过点A作， 交延长线于点E．四边形对角线交于点O，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的面积． 5．（2025·云南昆明·二模）如图，已知四边形是菱形，延长到点E使，延长到点F使，连接，，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若平分，菱形的边长为4，求矩形的面积． 6．（2025·云南昆明·二模）如图，在菱形中，与相交于点，点是中点，连接并延长至点，使得，连接，，点在线段上，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求点到的距离． 7．（2023·云南昆明·一模）云南鲜花饼远近闻名，为了更好地服务好顾客，昆明某鲜花店新购进了两种新款鲜花饼，相关信息如下表： 种别 玫瑰鲜花饼 茉莉鲜花饼 进价（元/盒） 30 45 备注 ①用不超过1950元购进两种鲜花饼共50盒； ②茉莉鲜花饼不少于20盒； (1)已知茉莉鲜花饼的标价是玫瑰鲜花饼标价的倍，若顾客用750元购买两种鲜花饼，能单独购买茉莉鲜花饼的数量恰好比单独购买玫瑰鲜花饼的数量少5盒，请求出玫瑰鲜花饼、茉莉鲜花饼两种鲜花饼的标价； (2)为了让利给消费者，商店老板便调整了销售方案，茉莉鲜花饼按照标价8折销售，玫瑰鲜花饼价格不变，那么商店应如何进货才能获得最大利润？ 8．（2023·云南昆明·一模）黔东南州某超市购进甲、乙两种商品，已知购进3件甲商品和2件乙商品，需60元；购进2件甲商品和3件乙商品，需65元． （1）甲、乙两种商品的进货单价分别是多少？ （2）设甲商品的销售单价为x（单位：元/件），在销售过程中发现：当11≤x≤19时，甲商品的日销售量y（单位：件）与销售单价x之间存在一次函数关系，x、y之间的部分数值对应关系如表： 销售单价x（元/件） 11 19 日销售量y（件） 18 2 请写出当11≤x≤19时，y与x之间的函数关系式． （3）在（2）的条件下，设甲商品的日销售利润为w元，当甲商品的销售单价x（元/件）定为多少时，日销售利润最大？最大利润是多少？ 9．（2023·云南昆明·二模）某杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板的右端处弹跳起经过最高点后下落到右端的椅子处，其身体看成一点运动的路线是一条抛物线的一部分，如图，已知，演员起跳点的高度，演员离开地面的最大高度是，此时，演员到起跳点的水平距离为． (1)求该抛物线的解析式； (2)已知人梯高，为了成功完成此次表演，那么人梯到起跳点A的水平距离应为多少？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $