题号猜押06云南省中考数学22～23题（7大考点，解答题）（云南专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

题号猜押06 云南省中考数学22~23题（解答题） 考点1 分式方程应用题 1．（2026·云南大理·一模）云南大理，苍山洱海，风光如画．从大理港出发，乘船北行，可抵达湖中著名的小普陀——一座玲珑的石灰岩小岛，宛如碧玉盘中一颗青螺．这条经典航线全程约18千米，沿途可远眺苍山十九峰，近观白族渔村与海鸟翔集．某日，一艘常规游船与一艘观光快艇同时从大理港出发，驶向小普陀，已知快艇的平均速度是游船平均速度的2倍，结果快艇比游船早到0.5小时．求游船和快艇的平均速度分别是多少千米/小时？ 2．（2026·云南玉溪·一模）“人间烟火味，最抚凡人心”，玉溪城区、夜市、景区的个体商户是市民就业增收的重要渠道某商户购进了玉溪花腰傣文创玩具和澄江化石文创玩具两种特色文创产品，已知用600元购进花腰傣文创玩具的数量比用300元购进澄江化石文创玩具的数量多10个，且花腰傣文创玩具单价是澄江化石文创玩具单价的倍．求两种文创玩具的单价各是多少元？ 根据以上信息，解答下列问题： (1)甲同学：设澄江化石文创玩具的单价为元，可列方程为______________； 乙同学：设花腰傣文创玩具的数量为个，可列方程为______________． (2)请帮助甲同学完成剩下的解题过程． 3．（2026·云南红河·一模）云南省是我国的农业大省，随着科技的进步和农业现代化的发展，无人机喷洒农药技术在我省得到了广泛的推广和应用，相比传统的人工打药，无人机的作业速度更快，覆盖面积更广．已知每小时使用一台无人机对玉米地喷洒农药的面积是一个人对玉米地打药面积的8倍，使用一台无人机对600亩玉米地喷洒农药的时间比一个人对200亩玉米地打药的时间少25小时，求每小时一台无人机对玉米地喷洒农药的面积和一个人对玉米地打药的面积． 考点2 一元一次方程应用题 1．（21-22·广西防城港·）某服装厂专门安排160名工人手工缝制衬衣，每件衬衣由2个衣袖、1个衣身组成，如果每人每天能够缝制衣袖10个或衣身15个，那么应安排多少名工人缝制衣袖，才能使每天缝制出的衣袖、衣身正好配套． 2．（25-26·陕西西安·）2025年12月26日西延高铁正式开通运营．西延高铁的开通不仅拉近了两地的时空距离，更对区域发展、民生出行和经济格局产生了深远影响．西延高铁在修建过程中需要铺设一段轨道，甲队单独施工需要20天，乙队单独施工需要30天，甲先单独施工5天，然后乙队加入一起施工．问还需要多少天可以完成这段轨道铺设？ 3．（25-26·山东济南·期末）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作之一．书中记载：“今有人共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数、鸡价各几何？”译文：假设有几个人共同出钱买鸡，如果每人出九钱，那么多了十一钱；如果每人出六钱，那么少了十六钱．问：有几个人共同出钱买鸡？鸡的价钱是多少？请你列一元一次方程解决这个问题． 考点3 二元一次方程组应用题 1．（2022·吉林长春·三模）2022年第19届亚运会即将在我国杭州举行．如图是杭州市桐庐县瑶琳镇林场区块，从高处俯瞰，有一处白绿相间的“马”字形建筑分外引人注目，这里就是杭州亚运会马术项目比赛场馆桐庐马术中心，其总建筑面积约为5.4万平方米，包括各种功能区．其中主赛场和室内训练场总共占17000平方米，主赛场面积开阔，是室内训练场的2倍还多2000平方米．问主赛场的面积和室内训练场的面积各多少平方米？ 2．（2026·海南省直辖县级单位·一模）DeepSeek公司推出两款人工智能云服务套餐：基础版和增强版．已知增强版每月订阅费比基础版高50元．某科技团队订阅了5份增强版和3份基础版，共支付1850元．问增强版和基础版每月订阅费各是多少元？ 考点4 一元二次方程应用题 1．（2026·湖南娄底·一模）2026年央视春晚舞台上的人形机器人节目，引发了国际媒体对中国在机器人产业发展的关注．某市机器人产业2023年总产值约为256亿元，2025年总产值约为400亿元． (1)求这两年该市机器人产业总产值的年平均增长率； (2)该市2026年机器人产业总产值的目标是600亿元，若按照这个年平均增长率增长，该市能否实现目标？ 2．（21-22九年级上·云南红河·期末）某公园有一块长是宽的两倍的长方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原长方形的空地长的一边减少了2m，短的一边减少了1m，剩余空地的面积为，求原长方形空地的周长． 3．（25-26九年级上·江西赣州·期末）近期，全国多地出现因感染甲型流感病毒导致的学生病例增多情况，甲流是指甲型流感病毒引起的急性呼吸道感染．某小区有一居民不小心感染了该病毒，经过两轮传播后，共有25人感染． (1)在这两轮感染过程中，平均一人传染多少人？ (2)按照这样的传染速度，经过三轮传播后，共有多少人会被感染？ 考点5 网格作图 1．（25-26·云南楚雄·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是． (1)画出关于x轴成轴对称的，并写出点的坐标为 ． (2)求的面积． (3)请在轴上标出点P的位置，使得周长最小（保留作图痕迹）． 2．（25-26·云南临沧·周测）如图，在平面直角坐标系内，点的坐标为，点与点关于轴对称． (1)请在图中标出点和点； (2)求出的面积： (3)若在轴上有一点，且，求点的坐标． 3．（25-26·云南红河·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在格点上，且． (1)点的坐标为 ，点的坐标为 ； (2)的面积为 ； (3)已知点为轴上一点，若使得的周长最小，点坐标为 ． 考点6 用列表法或树状图求概率 1．（2026·云南大理·一模）某校数学社团开展“讲数学家故事”的活动，如图所示是印有四位中国数学家纪念邮票图案的卡片A，B，C，D，卡片除图案外其他均相同．将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，同学们可以从中随机抽取卡片，讲述卡片上数学家的故事．小理从这四张卡片中随机抽取2张卡片． (1)请用画树状图或列表的方法，求小理抽到的两张卡片所有可能出现的结果总数； (2)求所抽的两张卡片中，有数学家华罗庚邮票图案的概率． 2．（2026·云南昆明·一模）2026年春晚亮相了“人形”、“四足”、“仿生”、“轮式”四类机器人，展示了我国机器人发展的多元技术格局，某校七年级科创组准备从人形机器人A、四足机器人B两类机器人中，随机选择一类机器人的相关知识进行科普演讲，且每类机器人被选中的可能性相等；八年级科创组准备从人形机器人A、四足机器人B、仿生人形机器人C、轮式双臂机器人D四类机器人中，随机选择一类机器人的相关知识进行科普演讲，且每类机器人被选中的可能性相等．记选择人形机器人A为A，选择四足机器人B为B，选择仿生人形机器人C为C，选择轮式双臂机器人D为D，记七年级科创组的选择为，八年级科创组的选择为． (1)请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； (2)求该校七年级科创组、八年级科创组科普演讲选择的机器人类型不相同的概率． 3．（2026·云南临沧·一模）人工智能（英文名：Artificial Intelligence．英文缩写：AI）是研究、开发用于模拟、延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的一门新的技术科学．AI软件是非常强大的人工智能助手．小明和小红分别将从A．讯飞星火、B．豆包、C．ChatGPT、D．Deepseek这四个AI软件中随机选取一个使用．已知每个软件被抽中的可能性相同． (1)求小明选中“B．豆包”的概率． (2)请用画树状图或列表的方法求出小明和小红都选中Deepseek的概率．       小红 小明 A B C D A B C D 考点7 数据的统计与分析 1．（2022·辽宁朝阳·中考真题）为了解学生的睡眠情况，某校随机抽取部分学生对他们最近两周的睡眠情况进行调查，得到他们每日平均睡眠时长x（单位：h）的一组数据，将所得数据分为四组（A：x＜8；B：8≤x＜9；C：9≤x＜10；D：x≥10），并绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： (1)本次一共抽样调查了 名学生． (2)求出扇形统计图中D组所对应的扇形圆心角的度数． (3)将条形统计图补充完整． (4)若该校共有1200名学生，请估计最近两周有多少名学生的每日平均睡眠时长大于或等于9h． 2．（2023·云南红河·一模）为引导广大青少年追寻红色记忆，弘扬英雄精神，赓续红色血脉，致敬心中英雄，传承红色基因为主题的课外阅读活动．为有效了解学生课外阅读情况，调查结果如下： 收集数据（单位：min）： ，整理数据： 课外阅读的时间（min） 频数 1 5 a 5 分析数据： 平均数 中位数 众数 69 b c 根据上述数据回答以下问题： (1)表格中a＝ ，b＝ ，c＝ ； (2)如果该校九年级现有学生400名，估计该校九年级本次课外阅读时间在60分钟及以上的学生有多少名？ (3)若小东在本次主题课外阅读活动中的阅读时间为75分钟，请你从平均数、中位数和众数中选择一个统计量来说说小东本次主题课外阅读活动的阅读情况如何？ 1．（2023·云南红河·一模）某校为了预测本校九年级男生毕业体育测试达标情况，随机抽取该年级部分男生进行了一次测试（满分50分，成绩均记为整数分），并按测试成绩m（单位：分）分成四类：A类（45＜m≤50），B类（40＜m≤45），C类（35＜m≤40），D类（m≤35）绘制出如图所示的两幅不完整的统计图，请根据图中信息解答下列问题： （1）求本次抽取的样本容量和扇形统计图中A类所对的圆心角的度数； （2）若该校九年级男生有500名，D类为测试成绩不达标，请估计该校九年级男生毕业体育测试成绩能达标的有多少名？ 2．（2026·云南昆明·一模）为满足新能源汽车快速增长带来的充电需求，某企业计划在某一地区建成1800座充电站，实际建设中，平均每月建成的充电站数量是原计划的1.5倍，结果提前3个月完成任务，求原计划平均每月建成多少座充电站？ 3．（2026·云南临沧·一模）在夏季球类运动会举行期间，初三（6）班预计用90元为班级球员购买矿泉水，数学课代表发现超市有优惠活动；购买瓶装矿泉水可以打9折．经计算按优惠价购买能多买5瓶，求每瓶矿泉水的原价． 4．（2026·安徽合肥·一模）某疫苗研发机构启动了一项“月产千万”计划，原定每天稳定生产万剂疫苗，得益于一项生产技术的突破，实际每天能多生产万剂，最终任务提前天完成，并且总产量比原计划多出万剂，问：这项计划原定生产多少万剂疫苗？ 5．（25-26七年级上·辽宁沈阳·周测）《孙子算经》记载：“今有木，不知长短；引绳度之，余绳四尺五寸；折绳量之，不足一尺，木长几何、绳长几何？”（尺、寸是长度单位，寸）．意思是：现有一根长木，不知道其长短，用一根绳子去度量长木，绳子还剩余4尺5寸；将绳子对折再度量长木，绳子差1尺，问木长多少、绳长多少? 6．（2026·山西运城·一模）山西晋剧是国家级非物质文化遗产，其戏服制作工艺精湛．某戏服工坊制作晋剧戏服时，分为“蟒袍”和“褶子”两类款式．已知制作一套“蟒袍”比制作一套“褶子”多用2米锦缎，且制作3套“蟒袍”所用的锦缎与制作5套“褶子”所用的锦缎米数相等．问制作一套“蟒袍”和一套“褶子”分别需要多少米锦缎？ 7．（25-26九年级上·山西临汾·月考）一个美丽的乡村计划新建一个现代化的猪舍，以改善农场的养殖条件．农场主希望这个猪舍是一个矩形，且面积为25平方米，其中一边将利用现有的围墙（墙长为8米），这样可以节省材料成本．为了建造这个猪舍，农场主购买了长为15米的木板来围住其余的三边．现在，农场主要计算猪舍的边的长度，以便他能够合理地利用这些木板，并确保猪舍的面积符合要求．请你帮他算一算吧． 8．（25-26九年级上·山西运城·期末）山西省将半导体产业链列为战略性新兴产业，其中碳化硅材料项目发展迅猛．某半导体龙头企业生产基地生产一种碳化硅材料，2023年的年产量为16万片，2025年的年产量为万片，求该企业这两年碳化硅材料产量的年平均增长率． 9．（25-26八年级上·河南郑州·月考）如图所示，在平面直角坐标系中，已知，，． (1)在图中画出并标出字母； (2)若点P与点C关于y轴对称，则点P的坐标为______； (3)已知Q为y轴上一点，若的面积为8，请直接写出点Q的坐标． 10．（2025·云南昆明·二模）玉溪以三大文化地标闻名：澄江化石地见证生命起源，抚仙湖守护高原生态，聂耳故里传承民族精神．为开展主题研学，某校七、八年级分别从以下基地中随机选择一处（每个基地被选的可能性相等）： A．澄江化石地博物馆 （中国首个化石类世界自然遗产，亚洲唯一；保存亿年前寒武纪生命大爆发完整记录） B．抚仙湖湿地公园 （国家级生态保护区，长期保持Ⅰ类水质；中国最大深水型淡水湖，珠江源头战略水源库） C．玉溪聂耳纪念馆 （全国爱国主义教育基地，国歌作曲者聂耳故乡，聂耳与国歌故事的展示平台） 记七年级的选择为x，八年级的选择为y． (1)用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； (2)求该校七年级、八年级选择的研学基地相同的概率P． 11．（2025·云南昆明·二模）春节、清明、端午、中秋是我国四大传统节日，每个传统节日都有丰富的文化内涵，体现了厚重的家国情怀．中秋节前，某校举行“传经典·庆佳节”系列活动．活动设计以下三个活动项目：歌谣传情意、创意做灯笼、花好月圆写中秋，记“歌谣传情意”为A，“创意做灯笼”为B，“花好月圆写中秋”为C．为了公平，学校制作了一个电子抽签程序（每个项目被抽中的可能性相同），参加活动的学生利用电子抽签程序从三个项目中抽取一个项目参加，且选择哪个项目不受任何因素影响．若甲、乙二人一起参加该活动，甲抽中的项目编号记为x，乙抽中的项目编号记为y． (1)请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； (2)求甲和乙抽到相同活动项目的概率P． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 题号猜押06 云南省中考数学22~23题（解答题） 考点1 分式方程应用题 1．（2026·云南大理·一模）云南大理，苍山洱海，风光如画．从大理港出发，乘船北行，可抵达湖中著名的小普陀——一座玲珑的石灰岩小岛，宛如碧玉盘中一颗青螺．这条经典航线全程约18千米，沿途可远眺苍山十九峰，近观白族渔村与海鸟翔集．某日，一艘常规游船与一艘观光快艇同时从大理港出发，驶向小普陀，已知快艇的平均速度是游船平均速度的2倍，结果快艇比游船早到0.5小时．求游船和快艇的平均速度分别是多少千米/小时？ 【答案】游船的平均速度为18千米/小时，则快艇的平均速度为36千米/小时 【分析】设游船的平均速度为千米小时，则快艇的平均速度为千米小时，根据快艇比游船早到0.5小时列出方程，解方程并检验即可． 【详解】解：设游船的平均速度为千米小时，则快艇的平均速度为千米小时， 根据题意，得： 解得： 经检验是所列分式方程的解，且符合题目要求， 此时 答：游船的平均速度为18千米/小时，则快艇的平均速度为36千米/小时． 2．（2026·云南玉溪·一模）“人间烟火味，最抚凡人心”，玉溪城区、夜市、景区的个体商户是市民就业增收的重要渠道某商户购进了玉溪花腰傣文创玩具和澄江化石文创玩具两种特色文创产品，已知用600元购进花腰傣文创玩具的数量比用300元购进澄江化石文创玩具的数量多10个，且花腰傣文创玩具单价是澄江化石文创玩具单价的倍．求两种文创玩具的单价各是多少元？ 根据以上信息，解答下列问题： (1)甲同学：设澄江化石文创玩具的单价为元，可列方程为______________； 乙同学：设花腰傣文创玩具的数量为个，可列方程为______________． (2)请帮助甲同学完成剩下的解题过程． 【答案】(1)； (2)见解析 【分析】（1）根据“用600元购进花腰傣文创玩具的数量比用300元购进澄江化石文创玩具的数量多10个，且花腰傣文创玩具单价是澄江化石文创玩具单价的倍．”列方程即可； （2）解方程即可得到结论． 【详解】（1）解：甲同学：设澄江化石文创玩具的单价为元，可列方程为， 乙同学：设花腰傣文创玩具的数量为个，可列方程为； （2）解：， 解得，， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：澄江化石文创玩具单价为10元，花腰傣文创玩具单价为15元． 3．（2026·云南红河·一模）云南省是我国的农业大省，随着科技的进步和农业现代化的发展，无人机喷洒农药技术在我省得到了广泛的推广和应用，相比传统的人工打药，无人机的作业速度更快，覆盖面积更广．已知每小时使用一台无人机对玉米地喷洒农药的面积是一个人对玉米地打药面积的8倍，使用一台无人机对600亩玉米地喷洒农药的时间比一个人对200亩玉米地打药的时间少25小时，求每小时一台无人机对玉米地喷洒农药的面积和一个人对玉米地打药的面积． 【答案】每小时一个人对玉米地打药的面积为5亩，每小时一台无人机对玉米地喷洒农药的面积为40亩 【分析】设每小时一个人对玉米地打药的面积为亩，则每小时一台无人机对玉米地喷洒农药的面积为亩．根据题意列方程得：，解方程即可． 【详解】解：设每小时一个人对玉米地打药的面积为亩，则每小时一台无人机对玉米地喷洒农药的面积为亩． 根据题意列方程得：． 解得． 经检验：是原分式方程的解且符合题意． ． 答：每小时一个人对玉米地打药的面积为5亩，每小时一台无人机对玉米地喷洒农药的面积为40亩． 考点2 一元一次方程应用题 1．（21-22·广西防城港·）某服装厂专门安排160名工人手工缝制衬衣，每件衬衣由2个衣袖、1个衣身组成，如果每人每天能够缝制衣袖10个或衣身15个，那么应安排多少名工人缝制衣袖，才能使每天缝制出的衣袖、衣身正好配套． 【答案】120名 【分析】设应安排x名工人缝制衣袖，则有名工人缝制衣身，根据缝制的衣袖和衣身的数量关系列出方程求解即可． 【详解】解：设应安排x名工人缝制衣袖，则有名工人缝制衣身， 由题意得， 解得， 答：应安排120名工人缝制衣袖，才能使每天缝制出的衣袖、衣身正好配套． 2．（25-26·陕西西安·）2025年12月26日西延高铁正式开通运营．西延高铁的开通不仅拉近了两地的时空距离，更对区域发展、民生出行和经济格局产生了深远影响．西延高铁在修建过程中需要铺设一段轨道，甲队单独施工需要20天，乙队单独施工需要30天，甲先单独施工5天，然后乙队加入一起施工．问还需要多少天可以完成这段轨道铺设？ 【答案】9天 【分析】根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设还需要天可以完成这段轨道铺设， 由题意得，， 解得：． 答：还需要天可以完成这段轨道铺设． 3．（25-26·山东济南·期末）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作之一．书中记载：“今有人共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数、鸡价各几何？”译文：假设有几个人共同出钱买鸡，如果每人出九钱，那么多了十一钱；如果每人出六钱，那么少了十六钱．问：有几个人共同出钱买鸡？鸡的价钱是多少？请你列一元一次方程解决这个问题． 【答案】 共有9个人共同出钱买鸡，鸡的价钱是70钱 【分析】本题考查了一元一次方程在实际问题中的应用，解题的关键是抓住“鸡的价钱不变”这一等量关系，通过两种不同的出钱方式列出方程． 设人数为未知数，根据“每人出9钱多11钱”和“每人出6钱少16钱”分别表示鸡价，令两式相等列方程求解；再将人数代入表达式求出鸡价． 【详解】解：设共有人共同出钱买鸡．， ， ， ． 鸡的价钱为：． 答：有9个人共同出钱买鸡，鸡的价钱是70钱． 考点3 二元一次方程组应用题 1．（2022·吉林长春·三模）2022年第19届亚运会即将在我国杭州举行．如图是杭州市桐庐县瑶琳镇林场区块，从高处俯瞰，有一处白绿相间的“马”字形建筑分外引人注目，这里就是杭州亚运会马术项目比赛场馆桐庐马术中心，其总建筑面积约为5.4万平方米，包括各种功能区．其中主赛场和室内训练场总共占17000平方米，主赛场面积开阔，是室内训练场的2倍还多2000平方米．问主赛场的面积和室内训练场的面积各多少平方米？ 【答案】主赛场的面积为12000平方米，室内训练场的面积为5000平方米 【分析】设主赛场的面积为x平方米，室内训练场的面积为y平方米，根据其中主赛场和室内训练场总共占17000平方米，主赛场面积开阔，是室内训练场的2倍还多2000平方米，列出方程组进行求解即可. 【详解】解：设主赛场的面积为x平方米，室内训练场的面积为y平方米．             根据题意，得                 解得                 答：主赛场的面积为12000平方米，室内训练场的面积为5000平方米． 2．（2026·海南省直辖县级单位·一模）DeepSeek公司推出两款人工智能云服务套餐：基础版和增强版．已知增强版每月订阅费比基础版高50元．某科技团队订阅了5份增强版和3份基础版，共支付1850元．问增强版和基础版每月订阅费各是多少元？ 【答案】增强版每月订阅费250元，基础版每月订阅费200元 【分析】设增强版每月订阅费元，基础版每月订阅费元，根据题意列二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设增强版每月订阅费元，基础版每月订阅费元， 则，解得， 答：增强版每月订阅费250元，基础版每月订阅费200元． 考点4 一元二次方程应用题 1．（2026·湖南娄底·一模）2026年央视春晚舞台上的人形机器人节目，引发了国际媒体对中国在机器人产业发展的关注．某市机器人产业2023年总产值约为256亿元，2025年总产值约为400亿元． (1)求这两年该市机器人产业总产值的年平均增长率； (2)该市2026年机器人产业总产值的目标是600亿元，若按照这个年平均增长率增长，该市能否实现目标？ 【答案】(1)这两年该市机器人产业总产值的年平均增长率为； (2)不能实现目标． 【分析】（1）设年平均增长率为x，根据2023年总产值约为256亿元，2025年总产值约为400亿元．列出方程求解，并取符合实际的值即可； （2）按照这个年平均增长率增长，即可求出该市2026年机器人产业总产值，比较即可解答． 【详解】（1）解：设年平均增长率为x，根据题意得，， 解得或（舍去）， 答：这两年该市机器人产业总产值的年平均增长率为； （2）解：按照这个年平均增长率增长，该市2026年机器人产业总产值为（亿元）亿元， 答：不能实现目标． 2．（21-22九年级上·云南红河·期末）某公园有一块长是宽的两倍的长方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原长方形的空地长的一边减少了2m，短的一边减少了1m，剩余空地的面积为，求原长方形空地的周长． 【答案】原长方形的周长为24米 【分析】设原来长方形的宽为米，则长为米，由题意可得，求出x，再计算周长即可． 【详解】解：设原来长方形的宽为米，则长为米． 由题意可得：． 解之得：，（不符合题意，舍去）． ∴原长方形的宽为4米，长为8米． ∴原长方形的周长（米）． 答：原长方形的周长为24米． 3．（25-26九年级上·江西赣州·期末）近期，全国多地出现因感染甲型流感病毒导致的学生病例增多情况，甲流是指甲型流感病毒引起的急性呼吸道感染．某小区有一居民不小心感染了该病毒，经过两轮传播后，共有25人感染． (1)在这两轮感染过程中，平均一人传染多少人？ (2)按照这样的传染速度，经过三轮传播后，共有多少人会被感染？ 【答案】(1)每轮感染中平均一人传染4人 (2)三轮后共有125人被感染 【分析】（1）设每轮平均传染给人，刚开始1人，第一轮传染给人，第二轮传染给人，根据经过两轮传播后，共有25人感染，列出方程，解方程即可； （2）根据题意列出算式进行计算即可． 【详解】（1）解：设每轮平均传染给人，刚开始1人，第一轮传染给人，第二轮传染给人，根据题意得： ， 解得，（舍去）， 答：每轮感染中平均一人传染4人． （2）解：人 答：三轮后共有125人被感染． 考点5 网格作图 1．（25-26·云南楚雄·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是． (1)画出关于x轴成轴对称的，并写出点的坐标为 ． (2)求的面积． (3)请在轴上标出点P的位置，使得周长最小（保留作图痕迹）． 【答案】(1)见解析， (2) (3)见解析 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，坐标与图形，轴对称的性质，熟知轴对称的相关知识是解题的关键． （1）关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此可得点的坐标，描出点点，并顺次连接点即可； （2）利用割补法求解即可； （3）连接交x轴于点P，由轴对称的性质可得，则的周长，故当三点共线时，的周长有最小值． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求，则点的坐标为； （2）解：由（1）得； （3）解：如图所示，点即为所求． 2．（25-26·云南临沧·周测）如图，在平面直角坐标系内，点的坐标为，点与点关于轴对称． (1)请在图中标出点和点； (2)求出的面积： (3)若在轴上有一点，且，求点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，坐标与图形，解题的关键是掌握坐标平面点的特征，灵活运用所学知识解决问题． （1）关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此可得点C的坐标，再在坐标系中描出点A和点C即可； （2）根据求解即可； （3）根据题意可得，据此求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：∵点的坐标为，点与点关于轴对称， ∴点C的坐标为， 如图所示，即为所求： （2）解：如图所示，； （3）解：由（2）可知， ∴， ∵， ∴， ∴点D的坐标为或． 3．（25-26·云南红河·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在格点上，且． (1)点的坐标为 ，点的坐标为 ； (2)的面积为 ； (3)已知点为轴上一点，若使得的周长最小，点坐标为 ． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据点，在平面直角坐标系中的位置即可得到结论； （2）根据割补法即可得到结论； （3）取点关于轴的对称点，连接交轴于，则此时的周长最小，设直线的解析式为，得到直线的解析式为，解方程即可得到结论． 【详解】（1）解：如图所示，点的坐标为，点的坐标为， 故答案为：，； （2）解：如图所示： 的面积， 故答案为：； （3）解：取点关于轴的对称点，连接交轴于，如图所示： 则此时的周长最小， 设直线的解析式为，将、代入解析式得 ， ， 直线的解析式为， 当时，， 点坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了图形与坐标、网格中求三角形面积、轴对称-最短路径问题、待定系数法求一次函数解析式、求直线与轴交点坐标等知识，数形结合，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 考点6 用列表法或树状图求概率 1．（2026·云南大理·一模）某校数学社团开展“讲数学家故事”的活动，如图所示是印有四位中国数学家纪念邮票图案的卡片A，B，C，D，卡片除图案外其他均相同．将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，同学们可以从中随机抽取卡片，讲述卡片上数学家的故事．小理从这四张卡片中随机抽取2张卡片． (1)请用画树状图或列表的方法，求小理抽到的两张卡片所有可能出现的结果总数； (2)求所抽的两张卡片中，有数学家华罗庚邮票图案的概率． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据题意画出树状图即可得到答案； （2）找到符合要求的情况数，利用概率公式进行解答即可． 【详解】（1）解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，分别是 （2）解：小理抽到的两张卡片中有数学家华罗庚邮票图案的有6种等可能结果，分别为， （抽到的两张卡片中有数学家华罗庚邮票图案）． 答：小理抽到的两张卡片中有数学家华罗庚邮票图案的概率为． 2．（2026·云南昆明·一模）2026年春晚亮相了“人形”、“四足”、“仿生”、“轮式”四类机器人，展示了我国机器人发展的多元技术格局，某校七年级科创组准备从人形机器人A、四足机器人B两类机器人中，随机选择一类机器人的相关知识进行科普演讲，且每类机器人被选中的可能性相等；八年级科创组准备从人形机器人A、四足机器人B、仿生人形机器人C、轮式双臂机器人D四类机器人中，随机选择一类机器人的相关知识进行科普演讲，且每类机器人被选中的可能性相等．记选择人形机器人A为A，选择四足机器人B为B，选择仿生人形机器人C为C，选择轮式双臂机器人D为D，记七年级科创组的选择为，八年级科创组的选择为． (1)请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； (2)求该校七年级科创组、八年级科创组科普演讲选择的机器人类型不相同的概率． 【答案】(1)共有8种等可能性结果 (2) 【分析】（1）根据题意列出表格（或画出树状图）即可解题； （2）根据表格（或树状图），得到共有8个等可能的结果，该校七年级科创组、八年级科创组科普演讲选择的机器人类型不相同的情况有6种，再由概率公式求解即可； 【详解】（1）解：列表如下： 由上表可知，共有8种等可能性结果． （2）解：记“该校七年级科创组、八年级科创组科普演讲选择的机器人类型不相同”为事件，其中满足条件的有6种，即，，，，，， ． 3．（2026·云南临沧·一模）人工智能（英文名：Artificial Intelligence．英文缩写：AI）是研究、开发用于模拟、延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的一门新的技术科学．AI软件是非常强大的人工智能助手．小明和小红分别将从A．讯飞星火、B．豆包、C．ChatGPT、D．Deepseek这四个AI软件中随机选取一个使用．已知每个软件被抽中的可能性相同． (1)求小明选中“B．豆包”的概率． (2)请用画树状图或列表的方法求出小明和小红都选中Deepseek的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据概率公式进行解答即可； （2）用列表法得到所有等可能的结果和满足题意的结果数，利用概率公式进行解答即可． 【详解】（1）解：小明选中“B．豆包”的概率是． （2）列表如下：       小红 小明 A B C D A B C D 由上表可知，一共有16种等可能的结果，其中小明和小红都选Deepseek的结果有1种，所以（小明和小红都选Deepseek）． 考点7 数据的统计与分析 1．（2022·辽宁朝阳·中考真题）为了解学生的睡眠情况，某校随机抽取部分学生对他们最近两周的睡眠情况进行调查，得到他们每日平均睡眠时长x（单位：h）的一组数据，将所得数据分为四组（A：x＜8；B：8≤x＜9；C：9≤x＜10；D：x≥10），并绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： (1)本次一共抽样调查了 名学生． (2)求出扇形统计图中D组所对应的扇形圆心角的度数． (3)将条形统计图补充完整． (4)若该校共有1200名学生，请估计最近两周有多少名学生的每日平均睡眠时长大于或等于9h． 【答案】(1)50 (2) (3)答案见解析 (4)720 【分析】（1）由B组人数及其所占百分比求出总人数； （2）用360°乘以D组人数所占比例即可； （3）根据总人数求出A组人数，从而补全图形； （4）用总人数乘以睡眠时长大于或等于9h人数所占比例即可． 【详解】（1）解：本次调查的学生人数为16÷32%＝50（名）， 故答案为：50； （2）解：表示D组的扇形圆心角的度数为360°×＝14.4°； （3）解：A组人数为50﹣（16+28+2）＝4（名）， 补全图形如下： （4）解：1200×＝720（名）． 答：估计该校最近两周有720名学生的每日平均睡眠时长大于或等于9h． 【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图，理解两个统计图中数量之间的关系是正确计算的前提． 2．（2023·云南红河·一模）为引导广大青少年追寻红色记忆，弘扬英雄精神，赓续红色血脉，致敬心中英雄，传承红色基因为主题的课外阅读活动．为有效了解学生课外阅读情况，调查结果如下： 收集数据（单位：min）： ，整理数据： 课外阅读的时间（min） 频数 1 5 a 5 分析数据： 平均数 中位数 众数 69 b c 根据上述数据回答以下问题： (1)表格中a＝ ，b＝ ，c＝ ； (2)如果该校九年级现有学生400名，估计该校九年级本次课外阅读时间在60分钟及以上的学生有多少名？ (3)若小东在本次主题课外阅读活动中的阅读时间为75分钟，请你从平均数、中位数和众数中选择一个统计量来说说小东本次主题课外阅读活动的阅读情况如何？ 【答案】(1)9，70，70 (2)估计该校九年级本次课外阅读时间在60分钟及以上的学生有280名 (3)小东本次主题课外阅读活动的阅读时间多于一半以上的学生 【分析】（1）根据各组频数之和等于数据总数可得a的值，根据中位数和众数的定义可得b、c的值； （2）用总人数乘以样本中课外阅读时间在60分钟及以上的学生人数所占比例即可； （3）根据中位数的定义解答即可．本题主要考查众数、中位数及样本估计总体，解题的关键是掌握众数和中位数的定义及样本估计总体的应用． 【详解】（1）数据（单位：min）： ， 一共有20个， 故， 中位数，众数为70， 故答案为：9,70,70． （2）（名）， 答：估计该校九年级本次课外阅读时间在60分钟及以上的学生有280名． （3）由数据的中位数为70分， ， 故小东本次主题课外阅读活动的阅读时间多于一半以上的学生． 1．（2023·云南红河·一模）某校为了预测本校九年级男生毕业体育测试达标情况，随机抽取该年级部分男生进行了一次测试（满分50分，成绩均记为整数分），并按测试成绩m（单位：分）分成四类：A类（45＜m≤50），B类（40＜m≤45），C类（35＜m≤40），D类（m≤35）绘制出如图所示的两幅不完整的统计图，请根据图中信息解答下列问题： （1）求本次抽取的样本容量和扇形统计图中A类所对的圆心角的度数； （2）若该校九年级男生有500名，D类为测试成绩不达标，请估计该校九年级男生毕业体育测试成绩能达标的有多少名？ 【答案】（1）样本容量为50，A类所对的圆心角的度数为72°；（2）估计该校九年级男生毕业体育测试成绩能达标的有470名． 【分析】（1）用A类别人数除以其所占百分比可得样本容量，再用360°乘以A类别百分比可得其所对圆心角度数； （2）用总人数乘以样本中达标人数所占百分比可得． 【详解】解：（1）本次抽取的样本容量为10÷20%=50，扇形统计图中A类所对的圆心角的度数为360°×20%=72°； （2）估计该校九年级男生毕业体育测试成绩能达标的有500×（1-）=470名． 【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图、用本估计总体，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 2．（2026·云南昆明·一模）为满足新能源汽车快速增长带来的充电需求，某企业计划在某一地区建成1800座充电站，实际建设中，平均每月建成的充电站数量是原计划的1.5倍，结果提前3个月完成任务，求原计划平均每月建成多少座充电站？ 【答案】原计划平均每月建成200座充电站 【分析】设原计划平均每月建成座充电站，分别表示出原计划和实际的时间，再根据“提前3个月完成任务”建立分式方程求解． 【详解】解：设原计划平均每月建成座充电站，根据题意可列方程为 ， 解得， 经检验是所列方程的解，且符合题意． 答：原计划平均每月建成200座充电站． 3．（2026·云南临沧·一模）在夏季球类运动会举行期间，初三（6）班预计用90元为班级球员购买矿泉水，数学课代表发现超市有优惠活动；购买瓶装矿泉水可以打9折．经计算按优惠价购买能多买5瓶，求每瓶矿泉水的原价． 【答案】每瓶矿泉水的原价为2元 【分析】设每瓶矿泉水的原价为x元，根据“按优惠价购买能多买5瓶”建立分式方程求解． 【详解】解：设每瓶矿泉水的原价为x元． 由题意，得， 解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 答：每瓶矿泉水的原价为2元． 4．（2026·安徽合肥·一模）某疫苗研发机构启动了一项“月产千万”计划，原定每天稳定生产万剂疫苗，得益于一项生产技术的突破，实际每天能多生产万剂，最终任务提前天完成，并且总产量比原计划多出万剂，问：这项计划原定生产多少万剂疫苗？ 【答案】这项计划原定生产万剂疫苗 【分析】设计划原定生产万剂疫苗，根据题意得出方程，求解即可． 【详解】解：设计划原定生产万剂疫苗， 根据题意得： 解得： 答：这项计划原定生产万剂疫苗． 5．（25-26七年级上·辽宁沈阳·周测）《孙子算经》记载：“今有木，不知长短；引绳度之，余绳四尺五寸；折绳量之，不足一尺，木长几何、绳长几何？”（尺、寸是长度单位，寸）．意思是：现有一根长木，不知道其长短，用一根绳子去度量长木，绳子还剩余4尺5寸；将绳子对折再度量长木，绳子差1尺，问木长多少、绳长多少? 【答案】木长尺，绳长尺 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用．设木长为x尺，则根据“用一根绳子去度量长木，绳子还剩余尺”可得绳长为尺；根据“将绳子对折再度量长木，绳子差1尺” 可得绳长为尺；列方程求解可得答案． 【详解】解：设木长为x尺，则绳长为尺，根据题意，得 ， 解得， 绳长为（尺） 答：木长尺，绳长尺． 6．（2026·山西运城·一模）山西晋剧是国家级非物质文化遗产，其戏服制作工艺精湛．某戏服工坊制作晋剧戏服时，分为“蟒袍”和“褶子”两类款式．已知制作一套“蟒袍”比制作一套“褶子”多用2米锦缎，且制作3套“蟒袍”所用的锦缎与制作5套“褶子”所用的锦缎米数相等．问制作一套“蟒袍”和一套“褶子”分别需要多少米锦缎？ 【答案】制作一套“蟒袍”需要5米锦缎，制作一套“褶子”需要3米锦缎 【分析】根据制作一套“蟒袍”比制作一套“褶子”多用2米锦缎，且制作3套“蟒袍”所用的锦缎与制作5套“褶子”所用的锦缎米数相等列方程组求解即可． 【详解】解：设制作一套“褶子”需要米锦缎，制作一套“蟒袍”需要米锦缎． 由题意可得， 解得， 答：制作一套“蟒袍”需要5米锦缎，制作一套“褶子”需要3米锦缎． 7．（25-26九年级上·山西临汾·月考）一个美丽的乡村计划新建一个现代化的猪舍，以改善农场的养殖条件．农场主希望这个猪舍是一个矩形，且面积为25平方米，其中一边将利用现有的围墙（墙长为8米），这样可以节省材料成本．为了建造这个猪舍，农场主购买了长为15米的木板来围住其余的三边．现在，农场主要计算猪舍的边的长度，以便他能够合理地利用这些木板，并确保猪舍的面积符合要求．请你帮他算一算吧． 【答案】的长是5米． 【分析】设的长为米，则，根据面积列方程求解． 【详解】解：设的长为米，， 根据题意得， 整理得，， 解得， ∴的长是5米． 8．（25-26九年级上·山西运城·期末）山西省将半导体产业链列为战略性新兴产业，其中碳化硅材料项目发展迅猛．某半导体龙头企业生产基地生产一种碳化硅材料，2023年的年产量为16万片，2025年的年产量为万片，求该企业这两年碳化硅材料产量的年平均增长率． 【答案】该企业这两年碳化硅材料产量的年平均增长率为 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． 设该企业这两年碳化硅材料产量的年平均增长率为，根据2025年的年产量为万片列方程求解即可． 【详解】解：设该企业这两年碳化硅材料产量的年平均增长率为， 根据题意，得， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：该企业这两年碳化硅材料产量的年平均增长率为． 9．（25-26八年级上·河南郑州·月考）如图所示，在平面直角坐标系中，已知，，． (1)在图中画出并标出字母； (2)若点P与点C关于y轴对称，则点P的坐标为______； (3)已知Q为y轴上一点，若的面积为8，请直接写出点Q的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】本题考查了直角坐标系下图形的绘制，点关于坐标轴对称的特征，三角形面积公式的计算，解决本题的关键是分类讨论点Q的位置． （1）根据点的坐标画三角形即可； （2）根据两个点关于y轴对称，则纵坐标不变，横坐标变为对应的相反数，由此求解即可； （3）设点，根据点Q位于点A上方和点Q位于点A下方两种情况，结合面积求解即可． 【详解】（1）解：如下： （2）解：∵点P与点C关于y轴对称，且， ∴； 故答案为：； （3）解：∵点Q为y轴上一点， ∴设点， 当点Q位于点A上方时， 则， 即，解得， 此时点； 当点Q位于点A下方时， 则， 即，解得， 此时点； ∴点Q的坐标为或． 10．（2025·云南昆明·二模）玉溪以三大文化地标闻名：澄江化石地见证生命起源，抚仙湖守护高原生态，聂耳故里传承民族精神．为开展主题研学，某校七、八年级分别从以下基地中随机选择一处（每个基地被选的可能性相等）： A．澄江化石地博物馆 （中国首个化石类世界自然遗产，亚洲唯一；保存亿年前寒武纪生命大爆发完整记录） B．抚仙湖湿地公园 （国家级生态保护区，长期保持Ⅰ类水质；中国最大深水型淡水湖，珠江源头战略水源库） C．玉溪聂耳纪念馆 （全国爱国主义教育基地，国歌作曲者聂耳故乡，聂耳与国歌故事的展示平台） 记七年级的选择为x，八年级的选择为y． (1)用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； (2)求该校七年级、八年级选择的研学基地相同的概率P． 【答案】(1)所有可能出现的结果共有9种 (2) 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式． （1）根据题意列表即可； （2）列表可得出所有等可能的结果数以及该校七年级年级组、八年级年级组选择的研学基地相同的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：列表如下： xy A B C A                B                C                ∴所有可能出现的结果为：，，，，，，，，，它们出现的可能性相等，一共有9种． 答：所有可能出现的结果共有9种． （2）解：由表（图）可以看出，所有可能出现的结果共有9种，这些结果出现的可能性相等． 其中相同的结果有3种：，，． ∴该校七年级、八年级选择的研学基地相同的概率． 11．（2025·云南昆明·二模）春节、清明、端午、中秋是我国四大传统节日，每个传统节日都有丰富的文化内涵，体现了厚重的家国情怀．中秋节前，某校举行“传经典·庆佳节”系列活动．活动设计以下三个活动项目：歌谣传情意、创意做灯笼、花好月圆写中秋，记“歌谣传情意”为A，“创意做灯笼”为B，“花好月圆写中秋”为C．为了公平，学校制作了一个电子抽签程序（每个项目被抽中的可能性相同），参加活动的学生利用电子抽签程序从三个项目中抽取一个项目参加，且选择哪个项目不受任何因素影响．若甲、乙二人一起参加该活动，甲抽中的项目编号记为x，乙抽中的项目编号记为y． (1)请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； (2)求甲和乙抽到相同活动项目的概率P． 【答案】(1)共有9种等可能的结果 (2) 【分析】本题考查列举法求两步概率问题，涉及列表法与树状图法、简单概率公式等知识，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图，求出相应的概率． （1）根据题意，列出相应的表格即可得到所有可能出现的结果； （2）根据（1）中的表格，利用简单概率公式即可求出相应的概率． 【详解】（1）解：列表如下： yx A B C A B C 由表可知，共有9种等可能的结果． （2）解：由（1）知，甲和乙抽到相同活动的结果有3种：，，， ∴甲和乙抽到相同活动的概率． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $