题号猜押04 云南省中考数学16～19题（11大考点，填空题）（云南专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

题号猜押04 云南省中考数学16~19题（填空题） 考点1 角平分线性质与三角形性质的应用 1．2 2．3 3．3 考点2 因式分解 1． 2．． 3． 4． 考点3 平行四边形性质应用 1． 2．6 3． 考点4 圆锥展开图 1． 2．5 3．216 考点5 代数式有无意义 1．． 2． 3． 考点6 反比例函数图形性质和解析式简单应用 1．（答案不唯一） 2．6 3．-2 考点7 相似三角形性质和判断应用 1． 2． 3． 考点8 锐角三角函数 1． 2． 3． 考点9 数据的收集与整理 1．300 2．400 3．80 考点10 平均数、中位数、众数 1．13 2．45 考点11 二次函数根的个数-判别式 1．m＜且m≠0． 2．且 3．2 1．12 2．3 3．3 4. 5. 6．4 1 7．3 8．3 9． 10． 11． 12．0（答案不唯一） 13． 14. 15．（答案不唯一）． 16．-8 17．1或2 18．4 19．或． 20． 21．16 22． 23． 24． 25．336 26．1800 27．400 28．8 29．96 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 题号猜押04 云南中考数学16~19题（填空题） 考点1 角平分线性质与三角形性质的应用 1．（25-26·昆明八中·期末）如图，在中，，平分．若，，则的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线性质，过点作于点，根据角平分线性质，得到，再结合三角形面积公式求解，即可解题． 【详解】解：过点作于点， ，平分，， ， ， ， 故答案为：． 2．（24-25玉溪·一中·一模）如图，在中，是的角平分线，，垂足是．若，则的长_______． 【答案】3 【分析】本题考查了角平分线的性质，解题的关键是利用角平分线的性质定理进行求解． 本题可根据角平分线的性质定理，即角平分线上的点到角两边的距离相等，来求解的长度． 【详解】 ∵是的角平分线，， 故答案为：3． 3．（23-24·红河个旧·期中）如图，在中，以点A为圆心适当长为半径作弧，分别交于点D，E．再分别以点D，E，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧交于点F，作射线交于点G，若，则点G到的距离是________．    【答案】3 【分析】本题考查作图—角平分线，角平分线的性质定理．正确作出辅助线，利用角平分线的性质计算是解题关键． 【详解】过作交于点H，    由作图可知平分， ∵， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 考点2 因式分解 1．（2024·北京·中考真题）分解因式：___________. 【答案】 【分析】先提取公因式，再套用公式分解即可． 本题考查了因式分解，熟练掌握先提取公因式，再套用公式分解是解题的关键． 【详解】． 故答案为：． 2．（2011·广东珠海·中考真题）分解因式：_______. 【答案】． 【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，先提取公因式后继续应用平方差公式分解即可 【详解】解：， 故答案为：． 3．（2020·湖北鄂州·中考真题）分解因式：___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了分解因式，先提取公因数2，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 4．（2024·广东·模拟预测）因式分解：________． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，先提取公因式m，再用完全平方公式因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 考点3 平行四边形性质应用 1．（2026·云南玉溪·一模）如图，已知线段，分别以点，为圆心，以为半径画弧，两弧相交于点，，连接，，，，则四边形的面积为____________． 【答案】 【分析】连接，根据作图可知，再根据菱形的性质可得，，，再由勾股定理求出，，再根据菱形的性质求面积即可． 【详解】解：如图：连接， 根据作图可知，， ∴四边形是菱形， ∵， ∴，，， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴四边形的面积为． 2．（2026·云南·一模）如图，菱形的对角线，相交，且，菱形面积为24，则的长为___________． 【答案】6 【分析】设，，根据菱形面积列方程求出，进而求解即可． 【详解】解：∵ ∴设， ∵菱形面积为24 ∴ ∴ ∴ ∴的长为6． 3．（2021·北京房山·一模）如图，点O是矩形的对角线的中点，点E是的中点，连接，．若，，则矩形的面积为_______    【答案】 【分析】利用直角三角形斜边上中线等于斜边的一半得到，利用中位线定理得到，利用勾股定理得到，即求得矩形的面积． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵点O是矩形的对角线的中点， ∴， ∴， ∵点E是的中点， ∴是的中位线， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴矩形的面积为． 故答案为： 【点睛】此题考查了矩形的性质、直角三角形的性质、勾股定理、三角形中位线定理等知识，熟练掌握直角三角形的性质和三角形中位线定理是解题的关键． 考点4 圆锥展开图 1．（2026·云南红河·一模）圆锥在生活中随处可见，例如：陀螺、漏斗、屋顶等．一个半径为2、圆心角为的扇形是一个圆锥的侧面展开图，则这个圆锥的底面半径为_____． 【答案】/0.5 【分析】利用圆锥侧面展开图的弧长等于圆锥底面圆的周长，设出底面半径，列方程求解即可． 【详解】解：设这个圆锥的底面圆半径为， 根据题意得 化简得 解得． 2．（2026·云南昭通·一模）妈妈的生日前夕，芳芳用一张圆心角为，半径为的扇形卡纸制作一个圆锥形的生日帽，则这个圆锥的底面半径为_____________． 【答案】5 【分析】圆锥侧面展开图是扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，先计算扇形弧长，再利用圆的周长公式求解底面半径． 【详解】解：设圆锥的底面半径为， 根据弧长公式，可得扇形弧长为：， 由圆锥侧面展开图的性质，扇形弧长等于圆锥底面圆的周长，因此：， 解得． 3．（23-24九年级下·云南昆明·月考）小李同学在数学综合实践活动中，用一块扇形材料制作了一个圆锥模型（如图所示），经过小黄同学测量得圆锥底面直径为，圆锥的高为，则根据测量数据推算，制作该圆锥模型所需要的扇形材料圆心角的度数为_______． 【答案】 【分析】本题考查的是圆锥的底面圆的周长，弧长的计算，掌握“圆锥的侧面展开图中的弧长等于圆锥的底面圆的周长”是解题的关键.利用圆锥的底面周长＝展开扇形的弧长可得到，求得n值即可． 【详解】解：设制作该圆锥模型所需要的扇形材料圆心角的度数为， 由图知圆锥的高为，圆锥的底面直径为，即底面半径为， ∴圆锥的母线长为， ∵圆锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长， ∴， 解得． 故答案为：． 考点5 代数式有无意义 1．（25-26八年级上·江苏南通·期末）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件，被开方数必须大于或等于零，计算即可得出结果，熟练掌握二次根式有意义的条件是解此题的关键． 【详解】解：∵代数式在实数范围内有意义， ∴， 解得：， 故答案为：． 2．（19-20八年级上·四川成都·期中）在函数中自变量x的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据二次根式的被开方数大于等于0进行解答即可． 【详解】解：二次根式有意义的条件是，所以， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件、解一元一次不等式，熟练掌握二次根式的被开方数的非负性是解答的关键． 3．（23-24八年级上·上海金山·月考）当_______________时，二次根式有意义． 【答案】 【分析】本题考查二次根式性质．根据二次根式的性质，被开方数必须为非负数． 【详解】解：由二次根式有意义的条件，得， 解得：， 故答案为：． 考点6 反比例函数图形性质和解析式简单应用 1．（25-26九年级下·福建厦门·月考）点在双曲线上，若点也在此双曲线上，则点的坐标可以是_________（写出一个即可）． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】先根据点在双曲线上求出的值，再根据反比例函数中为定值的特点，找出符合条件的一组、的对应值即可. 【详解】解：点在双曲线上， ， 解得， 反比例函数中为定值， 只要点的横纵坐标乘积为，该点就在此双曲线上， 点的坐标可以是. 2．（2026·福建漳州·一模）反比例函数的图象如图所示，则的值可以是___________．（写出一个满足条件的值即可） 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：过点作轴的垂线交反比例函数的图象于点， 则点的横坐标为，纵坐标小于，即点可以是， 将代入，得， 解得， 则的值可以是． 3．（2026·云南昭通·模拟预测）若点在反比例函数的图象上，则________． 【答案】 【分析】反比例函数图象上的点的坐标满足反比例函数解析式，将点A的坐标代入解析式即可求解k的值. 【详解】解：将点代入中， 得. 考点7 相似三角形性质和判断应用 1．（25-26九年级上·江苏徐州·期末）如图，与交于点，且．若，则__________．    【答案】/ 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质．证明，根据相似三角形周长之比等于相似比，即可解题． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 2．（2026·云南临沧·一模）如图，，，则与的周长之比为________． 【答案】 【分析】根据，证明，根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ∵， ∴． 3．（2026·云南昭通·模拟预测）如图，在中，，若，则与四边形的面积比是________． 【答案】 【分析】先证明，利用三角形相似的性质解答即可. 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 考点8 锐角三角函数 1．（2026·云南文山·一模）如图，在中，为直角，，，则的值为__________． 【答案】/0.6 【分析】根据边长求解余弦值即可． 【详解】解：在中，， 所以． 2．（2026·云南昭通·一模）在中，，，，则的值是_____________． 【答案】/ 【分析】先根据勾股定理求出的长. 再根据直角三角形中锐角正切函数的定义计算的值即可． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∴． 3．（25-26九年级上·江苏南通·期末）在正方形网格中，的位置如图所示，则的值为_________． 【答案】 【分析】本题考查网格中的三角函数值，过点作于点，根据网格特点以及勾股定理，求出的长，利用余弦的定义，进行求解即可． 【详解】解：过点作于点， 由网格特点可知：为小正方形的对角线， 由勾股定理，得，， ∴； 故答案为：． 考点9 数据的收集与整理 1．（2026·云南文山·一模）非遗传承调研小组为调查某地居民对文山州的传统音乐和舞蹈的了解情况，制作了如下调查问卷（局部），随机抽取了当地部分居民填写调查问卷，将收集的数据整理，绘制成如下条形统计图： 调查问卷（局部） 下列传统音乐或舞蹈中，您最了解的是（    ）（必选且只能选择一项） A．麻栗坡小钱舞            B．广南壮族高跷舞        C．广南金竹舞            D．丘北铜鼓 E．丘北三眼巴乌 若当地共有居民1000人，则最了解丘北铜鼓的居民大约有__________人． 【答案】300 【分析】先求解出调查的总人数，再根据丘北铜鼓人数的占比求解即可． 【详解】解：由条形统计图可知，参与调查总人数为人， ∵丘北铜鼓的人数为30人，占比为， ∴当地共有居民1000人，则最了解丘北铜鼓的居民大约有人． 2．（2026·云南玉溪·一模）阅读能提升素养、启迪智慧、助力成长．某校数学兴趣小组随机抽取了部分同学，调查他们最喜欢阅读的课外图书类别，将调查结果绘制成如图所示的两个统计图： 若该校共有学生1000人，则该校最喜欢科学类图书的学生大约有____________人． 【答案】 400 【分析】先求出被调查人数，再求出样本中最喜欢科学类的人数，利用该校总人数乘以样本中喜欢科学类图书的学生人数所占的比求解即可． 【详解】解：被调查人数为（人）， 样本中最喜欢科学类的人数为（人）， 若该校共有学生1000人，则该校最喜欢科学类图书的学生大约有：（人）． 3．（2026·云南红河·一模）某校开设了四个课外兴趣小组，如图是该校七年级学生参加课外兴趣小组人数的扇形统计图（每人参加且只参加一项）．若参加书法兴趣小组的人数是50人，则参加体育兴趣小组的人数是_____人． 【答案】80 【分析】用参加书法小组的人数除以其人数占比求出参加课外兴趣小组的总人数，再用参加课外兴趣小组的总人数乘以参加体育小组的人数占比即可得到答案． 【详解】解：∵人， ∴参加课外兴趣小组的总人数为200人， ∴参加体育兴趣小组的人数是人． 考点10 平均数、中位数、众数 1．（2026·云南红河·一模）去年1月，中共中央、国务院印发《教育强国建设规划纲要（2024－2035年）》，其中就提出了中小学生每天综合体育活动时间不低于2小时的要求．某校为了解学生的综合体育活动情况，对部分学生在一周内的综合体育活动时间统计如下表： 时间/ 12 13 14 15 16 人数 12 20 10 5 3 则这些学生的综合体育活动时间的众数是_____． 【答案】13 【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数据． 【详解】解：由表格可知，综合体育活动时间为的学生人数最多，为人． 因此这些学生的综合体育活动时间的众数是． 2．（2026·云南昭通·一模）某班8位学生参加中考体育测试的成绩（单位：分）分别是：45，48，44，50，45，48，47，45，则这组数据的众数是_____________． 【答案】45 【分析】解题思路是根据众数的定义，统计各数据的出现次数，找出出现次数最多的数据即可． 【详解】解：根据众数的定义，众数是一组数据中出现次数最多的数据，在这组数据，，，，，，，中，出现次，出现次，、、各出现次，出现的次数最多，因此这组数据的众数是． 考点11 二次函数根的个数-判别式 1．（20-21八年级上·上海·期中）当______时，关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． 【答案】m＜且m≠0． 【分析】根据一元二次方程的定义及判别式的意义得出m≠0，且△=（-3）2-4m×5=9-20m＞0，解不等式组，确定m的取值范围． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程mx2-3x+5=0有两个不相等的实数根， ∴m≠0，且△=（-3）2-4m×5=9-20m＞0， 解得m＜且m≠0， 故当m＜且m≠0时，关于x的一元二次方程mx2-3x+5=0有两个不相等的实数根． 故答案是：m＜且m≠0． 【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系： （1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根． 2．（20-21九年级上·山西运城·期末）关于的一元二次方程总有两个实数根，则常数的取值范围是________． 【答案】且 【分析】根据一元二次方程根与判别式的关系及一元二次方程的定义即可得答案． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴△=[-(2k+1)]2-4kk≥0，且k≠0， 解得：且k≠0． 故答案为：且k≠0． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义．一元二次方程根的情况与判别式△的关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根；注意一元二次方程的二次项系数不为0的隐含条件，避免漏解． 3．（2019九年级·河南·专题练习）关于的一元二次方程，其根的判别式的值为1，=______． 【答案】2 【分析】根据判别式的值为1得出△=，解之求出的值，继而根据一元二次方程的定义可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 解得或， 又此方程为一元二次方程，即， ∴， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查根的判别式，一元二次方程 ()的根与有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根． 1．（25-26八年级上·江苏泰州·月考）如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，，的面积是，则_____． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的作图与性质，熟记角平分线的性质是解题关键．作于E，利用基本作图得到平分，根据角平分线的性质得到，然后根据三角形面积公式得出的面积是，进而求得的面积是，再根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：作于E，如图， 由题意得平分，而 ∴， ∴的面积． ∵的面积是， ∴的面积， ∴，即 ∴ 故答案为：． 2．（25-26九年级下·广东中山·月考）如图，在中，，以点A为圆心，任意长为半径画弧分别交于点M 和点N ，再分别以点M、N为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于点P．连接并延长交于点D，若，则点D到直线的距离是______． 【答案】3 【分析】过作交于，先由勾股定理求解，再由角平分线的性质定理求解即可． 【详解】解：过作交于， ∵， ∴， 由作图得平分， ， ∴点D到直线的距离是． 3．（25-26八年级上·四川自贡·期末）如图，在中，平分交于点，点为上一点，且，则___________． 【答案】3 【分析】本题考查角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．作于点F，由角平分线的性质定理得，再依次证明，，根据对应边相等，即可求解． 【详解】解：如图，作于点F， ， ， 又平分， ， 在和中， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：3． 4．（24-25八年级上·安徽芜湖·期末）分解因式________． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握平方差公式是解答本题的关键．套用平方差公式分解是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 5．（2024·四川遂宁·中考真题）分解因式：______． 【答案】 【分析】本题主要考查了提公因式分解因式，提公因式a即可解答． 【详解】解： 故答案为： 6．（2025·河南周口·二模）如图，有一张矩形纸条，，，点N在边上，，动点M从点A向点B运动，将四边形沿折叠，点B，C的对应点分别为点，，线段与边交于点E，则的最小值为__________，此时点E离开初始位置（指点M从点A出发时，点E的位置）的距离为__________． 【答案】 4 1 【分析】本题考查矩形与折叠，勾股定理与折叠，完全平方式的应用．由折叠的性质得，又，有，求得，，过作于，设，则，设，在中，，有，故，根据线段与边相交，即可得，从而求得的最小值和最大值；设，在中，可得，即可求得点E的初始位置据此计算，即可得到答案． 【详解】（1）解：由折叠的性质得， ∵， ， ， ， 为等腰三角形； 过作于，如图： 设，则， 设， ， 四边形是长方形， ，， ， 在中，， ， 化简整理得， 线段与边相交， ， ， ，， ， ，即的最小值为4； 故答案为：4； ， 最大为4； 设， ，，， ， 当点M从点A出发时 由（1）知， 在中，， ， ， 即； ∴当从开始，运动到最大时，的路径长为； 故答案为：1． 7．（25-26九年级上·陕西西安·期末）如图，菱形对角线与相交于点，为的中点，菱形周长为，则的长为________． 【答案】3 【分析】本题考查菱形的性质与三角形中位线定理的应用．先根据菱形周长求出边长，再结合中点条件，利用三角形中位线定理求出的长度． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，是的中点． ∵菱形的周长为， ∴． 又∵为的中点， ∴在中，是中位线， ∴． 故答案为：3． 8．（25-26八年级下·广东广州·月考）如图，菱形的对角线相交于点，过点作于点，连接，若，，则的长为__________． 【答案】3 【分析】利用菱形的面积求得的长度，再根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：菱形中，对角线相交于点O， 则为的中点， ∴ 由可得， ∵ ∴ 又为的中点 ∴． 9．（2026·云南·模拟预测）竹编技艺是云南省级非物质文化遗产，匠人们用灵巧的双手编织出各式各样的实用器物，如图所示，在一次非遗体验活动中，非遗代表性传承人用一张半径为的扇形竹篾制作了一个圆锥形竹帽（接缝处忽略不计）．若圆锥形竹帽的底面圆的半径为，则这张扇形竹篾的圆心角的度数为______． 【答案】/200度 【分析】先求圆锥形竹帽的底面圆的周长，即扇形竹篾的弧长，再由弧长公式列方程求解即可． 【详解】解：由圆锥形竹帽的底面圆的半径为，可得底面圆的周长为， 扇形竹篾的弧长为， 设这张扇形竹篾的圆心角的度数为，则 ， 解得． 10．（2024·山东济宁·二模）现有圆周的一个扇形彩纸片，该扇形的半径为40，小红同学为了在“六一”儿童节联欢晚会上表演节目，她打算剪去部分扇形纸片后，利用剩下的纸片制作成一个底面半径为10的圆锥形纸帽（接缝处不重叠），那么剪去的扇形纸片的圆心角为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了扇形的弧长公式和圆锥相关计算，熟知两者之间的对应关系是解题关键．圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．据此计算出制作圆锥形纸帽的扇形纸片的圆心角，即可获得答案． 【详解】解：设制作圆锥形纸帽的扇形纸片的圆心角为， 由题意，剩下的纸片制作成一个底面半径为的圆锥形纸帽， 可得， 解得， ∵扇形彩纸片是圆周，因而圆心角是， ∴剪去的扇形纸片的圆心角为． 故答案为：． 11．（23-24九年级上·内蒙古呼和浩特·期末）圆锥的侧面积恰好等于其底面积的2倍，则该圆锥的侧面展开图所对应的扇形圆心角的度数为 _________． 【答案】/180度 【分析】本题考查了扇形的面积公式，圆的面积公式，弧长公式，圆的周长公式求解．设出母线长与底面半径，根据题意和圆的面积，扇形的面积公式求解． 【详解】解：设母线长为R，圆锥侧面展开图所对应扇形圆心角的度数为n，底面半径为r． ∴底面周长，底面面积，侧面积， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 12．（2026·河南驻马店·模拟预测）要使二次根式有意义，则的值可以是____________．（写出一个即可） 【答案】0（答案不唯一） 【分析】根据被开方数为非负数得到，求出，任取一个符合条件的值即可． 【详解】解：要使二次根式有意义， 则， ， 的值可以是． 13．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）二次根式中，字母的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件，被开方数必须是非负数即可求解，熟记二次根式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：由题意得， ， ， 故答案为：． 14．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知反比例函数的图象过两点，则该反比例函数的表达式为________． 【答案】 【分析】本题考查求反比例函数的解析式，根据反比例函数图象上的点的横纵坐标之积为，列出方程求出的值，进一步求出值，即可得出结果． 【详解】解：将代入中， 可得，解得 ， 即． 故答案为：． 15．（24-25九年级上·北京·月考）已知点，B在反比例函数的图象上，请写出一个点B的坐标______． 【答案】 【分析】本题考查考查了待定系数法求解反比例函数解析式和反比例函数的图象上的点的特征：点的横纵坐标满足函数解析式．把代入函数中可先求出k的值，那么就可求出函数解析式，再在此函数图象上取一个点（不同于A点）的横坐标，代入求出即可求解． 【详解】解：根据题意：， 解得：， 则反比例函数的解析式为， 当时，， 故点B的坐标可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 16．（24-25九年级上·安徽安庆·月考）已知反比例函数图象经过点，则的值是______． 【答案】 【分析】此题考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式，解答此题时，借用了“反比例函数图象上点的坐标特征”这一知识点．根据反比例函数图象上点的坐标特征，将代入反比例函数的解析式，列出关于系数的方程，通过解方程即可求得的值． 【详解】解：把代入得，， 解得：， 故答案为：． 17．（20-21九年级上·江苏泰州·期中）若关于的一元二次方程有一个正整数解，则正整数=___． 【答案】1或2 【分析】根据一元二次方程的定义得到a≠0，计算判别式得到△=，由于x的一元二次方程有一个整数根，则为完全平方数，而a为正整数，所以a=1、2，否则x=没有整数． 【详解】解：根据题意得a≠0，△=， ∴x=， ∴， ∵关于x的一元二次方程有一个整数根，而a为正整数， ∴不符合题意，必为整数， ∴a=1或2， 故答案为：1或2． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义． 18．（18-19八年级下·浙江温州·期末）若关于的方程有实数根，则的值可以是_____（写出一个即可） 【答案】4 【分析】根据一元二次方程根的情况结合根的判别式得出关于的关系式，然后进一步求解即可. 【详解】∵关于的方程有实数根， ∴， ∴， ∴要使原方程有实数根，可取的值为4， 故答案为：4. 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式的运用，熟练掌握相关概念是解题关键. 19．（2026·湖北黄冈·一模）如图，在中，，，，是的中点，点在上．若与相似，则________cm． 【答案】或 【分析】本题考查相似三角形，勾股定理的知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，勾股定理的应用；根据题意，求出，分类讨论：当时，，当时，，分别求出，即可． 【详解】解：∵中，，，， ∴， ∵是的中点， ∴， 当时，， ∴， ∴， 解得：； 当时，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：或． 20．（2026·上海杨浦·二模）在梯形中，，对角线相交于点O，如果，则___________． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线之间距离处处相等，先理解，，以及三角形面积公式，得出，再证明，故，然后结合和共顶点，底边、在同一直线上，高相同，得出，即可作答． 【详解】解：依题意，如图所示： ∵，和的高都等于梯形的高（两平行线间距离相等），且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 则， ∴， ∴， ∴， ∵和共顶点，底边、在同一直线上，高相同， 因此面积比等于底边长的比，即， 故答案为：． 21．（25-26九年级上·内蒙古包头·月考），于点D，，，则______． 【答案】16 【分析】本题考查相似三角形的性质以及相似比的应用．利用互余关系证明：，可证，然后利用相似比，就可求出的值． 【详解】解：∵，， ， ∴， ∴， ∴， 解得∶， 故答案为：16． 22．（24-25九年级上·广东湛江·期末）如图，在正方形网格中，点为网格交点，，垂足为，则的值为_________． 【答案】/0.8 【分析】本题主要考查勾股定理及三角函数，熟练掌握勾股定理及余弦的定义是解题的关键；如图，由题意易得，然后根据勾股定理及余弦的定义可进行求解． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为． 23．（25-26九年级上·安徽六安·月考）在正方形网格中，在网格中的位置如图，点A，B，C均在正方形的顶点上，则__________． 【答案】 【分析】本题主要考查三角函数，熟练掌握余弦的定义是解题的关键；由网格可知：，则有，然后根据余弦的定义可进行求解． 【详解】解：如图， 由网格可知：， ∴， ∴； 故答案为． 24．（2024·江苏宿迁·一模）在中，，则的值为____________． 【答案】/0.75 【分析】本题考查锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边．根据锐角三角函数的概念直接解答即可． 【详解】解：∵， 故答案为：． 25．（2025·河南商丘·三模）在线上教学期间，某校落实市教育局要求，督促学生每天做眼保健操．为了解落实情况，学校随机抽取了部分学生进行调查，调查结果分为四类（A类：总时长5分钟；B类：5分钟总时长10分钟；C类：10分钟总时长分钟；D类：总时长分钟），将调查所得数据整理并绘制成如下两幅不完整的统计图． 该校共有1200名学生，请根据以上统计分析，估计该校每天做眼保健操总时长超过5分钟且不超过10分钟的学生约有_______人． 【答案】336 【分析】先计算样本容量，再利用样本估计总体的思想解答即可． 本题考查了样本容量的计算，样本估计总体，熟练掌握计算是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得(人)， D组的人数为：(人)， B组的人数为：(人)， 故（人） 故答案为：336． 26．（2025·云南昆明·二模）今年春节期间，以迅猛之势火爆全网，成为人们热议的焦点．海内外模型、机器人都已获得显著的技术突破．目前人工智能市场分为：决策类人工智能；：人工智能机器人；：语音类人工智能；：视觉类人工智能四大类型．某校为了解学生对以上四类人工智能的兴趣，随机抽取了名学生，就“你最关注的人工智能类型”进行了一次调查，并将调查结果绘制成如下统计图．若该校共有名学生，请根据图中提供的信息，估计该校最关注类人工智能的学生大约有______人． 【答案】 【分析】本题考查了由样本所占百分比估计总体的数量，用乘以最关注类人工智能的学生所占的百分比即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：估计该校最关注类人工智能的学生大约有（人）， 故答案为：． 27．（24-25七年级下·河南商丘·期末）某校计划组织一场研学活动，学生可根据自己的喜好从A．洛阳博物馆、B．二里头夏都遗址博物馆、C．周王城天子驾六博物馆、D．龙门石窟、E．隋唐洛阳城遗址五个地点中选择一个参加．为了合理规划研学活动，学校设计了研学方案，随机抽取了该校120名学生，统计了他们选择的地点，绘制了条形统计图（如图）．若该校共有1600人，则该校选择到C．周王城天子驾六博物馆参加研学活动的学生大约有________人． 【答案】400 【分析】本题主要考查的是利用样本估计总体、条形统计图等知识点，掌握用样本估计整体的方法成为解题的关键． 用1600乘以选择到C的学生的百分比即可解答． 【详解】解：由题意可得：该校选择到C．周王城天子驾六博物馆参加研学活动的学生大约有： （人）． 故答案为：400． 28．（2026·河南驻马店·二模）李老师统计全班学生每周参加体育锻炼的时间（单位：），并绘制成如图所示的统计图，则全班学生每周参加体育锻炼的时间的众数是______． 【答案】8 【分析】根据“众数就是一组数据中出现次数最多的那个数据”解答即可． 【详解】解：∵每周参加体育锻炼的时间为的人数最多， ∴全班学生每周参加体育锻炼的时间的众数是． 29．（24-25八年级下·福建福州·期中）2024年4月25日20时59分，搭载神舟十八号载人飞船在酒泉卫星发射中心发射升空，为了弘扬航天精神，激发初中生的爱国热情，某校开展航天知识竞赛，来自不同年级的30名参赛同学的得分情况如下表所示： 成绩（分） 84 88 92 96 100 人数 2 4 9 10 5 这30名参赛同学成绩的众数是_____． 【答案】96 【分析】本题考查了求众数“众数就是一组数据中出现次数最多的那个数据”，熟记众数的定义是解题关键．根据众数的定义求解即可得． 【详解】解：由表格可知，在这30名参赛同学成绩中，96分的人数最多，有10人， 则这30名参赛同学成绩的众数是96， 故答案为：96． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 题号猜押04 云南中考数学16~19题（填空题） 考点1 角平分线性质与三角形性质的应用 1．（25-26·昆明八中·期末）如图，在中，，平分．若，，则的面积为______． 2．（24-25玉溪·一中·一模）如图，在中，是的角平分线，，垂足是．若，则的长_______． 3．（23-24·红河个旧·期中）如图，在中，以点A为圆心适当长为半径作弧，分别交于点D，E．再分别以点D，E，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧交于点F，作射线交于点G，若，则点G到的距离是________．    考点2 因式分解 1．（2024·北京·中考真题）分解因式：___________. 2．（2011·广东珠海·中考真题）分解因式：_______. 3．（2020·湖北鄂州·中考真题）分解因式：___________． 4．（2024·广东·模拟预测）因式分解：________． 考点3 平行四边形性质应用 1．（2026·云南玉溪·一模）如图，已知线段，分别以点，为圆心，以为半径画弧，两弧相交于点，，连接，，，，则四边形的面积为____________． 2．（2026·云南·一模）如图，菱形的对角线，相交，且，菱形面积为24，则的长为___________． 3．（2021·北京房山·一模）如图，点O是矩形的对角线的中点，点E是的中点，连接，．若，，则矩形的面积为_______    考点4 圆锥展开图 1．（2026·云南红河·一模）圆锥在生活中随处可见，例如：陀螺、漏斗、屋顶等．一个半径为2、圆心角为的扇形是一个圆锥的侧面展开图，则这个圆锥的底面半径为_____． 2．（2026·云南昭通·一模）妈妈的生日前夕，芳芳用一张圆心角为，半径为的扇形卡纸制作一个圆锥形的生日帽，则这个圆锥的底面半径为_____________． 3．（23-24九年级下·云南昆明·月考）小李同学在数学综合实践活动中，用一块扇形材料制作了一个圆锥模型（如图所示），经过小黄同学测量得圆锥底面直径为，圆锥的高为，则根据测量数据推算，制作该圆锥模型所需要的扇形材料圆心角的度数为_______． 考点5 代数式有无意义 1．（25-26八年级上·江苏南通·期末）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_________． 2．（19-20八年级上·四川成都·期中）在函数中自变量x的取值范围是________． 3．（23-24八年级上·上海金山·月考）当_______________时，二次根式有意义． 考点6 反比例函数图形性质和解析式简单应用 1.（25-26九年级下·福建厦门·月考）点在双曲线上，若点也在此双曲线上，则点的坐标可以是_________（写出一个即可）． 2．（2026·福建漳州·一模）反比例函数的图象如图所示，则的值可以是___________．（写出一个满足条件的值即可） 3．（2026·云南昭通·模拟预测）若点在反比例函数的图象上，则________． 考点7 相似三角形性质和判断应用 1．（25-26九年级上·江苏徐州·期末）如图，与交于点，且．若，则__________．    2．（2026·云南临沧·一模）如图，，，则与的周长之比为________． 3．（2026·云南昭通·模拟预测）如图，在中，，若，则与四边形的面积比是________． 考点8 锐角三角函数 1．（2026·云南文山·一模）如图，在中，为直角，，，则的值为__________． 2．（2026·云南昭通·一模）在中，，，，则的值是_____________． 3．（25-26九年级上·江苏南通·期末）在正方形网格中，的位置如图所示，则的值为_________． 考点9 数据的收集与整理 1．（2026·云南文山·一模）非遗传承调研小组为调查某地居民对文山州的传统音乐和舞蹈的了解情况，制作了如下调查问卷（局部），随机抽取了当地部分居民填写调查问卷，将收集的数据整理，绘制成如下条形统计图： 调查问卷（局部） 下列传统音乐或舞蹈中，您最了解的是（    ）（必选且只能选择一项） A．麻栗坡小钱舞            B．广南壮族高跷舞        C．广南金竹舞            D．丘北铜鼓 E．丘北三眼巴乌 若当地共有居民1000人，则最了解丘北铜鼓的居民大约有__________人． 2．（2026·云南玉溪·一模）阅读能提升素养、启迪智慧、助力成长．某校数学兴趣小组随机抽取了部分同学，调查他们最喜欢阅读的课外图书类别，将调查结果绘制成如图所示的两个统计图： 若该校共有学生1000人，则该校最喜欢科学类图书的学生大约有____________人． 3．（2026·云南红河·一模）某校开设了四个课外兴趣小组，如图是该校七年级学生参加课外兴趣小组人数的扇形统计图（每人参加且只参加一项）．若参加书法兴趣小组的人数是50人，则参加体育兴趣小组的人数是_____人． 考点10 平均数、中位数、众数 1．（2026·云南红河·一模）去年1月，中共中央、国务院印发《教育强国建设规划纲要（2024－2035年）》，其中就提出了中小学生每天综合体育活动时间不低于2小时的要求．某校为了解学生的综合体育活动情况，对部分学生在一周内的综合体育活动时间统计如下表： 时间/ 12 13 14 15 16 人数 12 20 10 5 3 则这些学生的综合体育活动时间的众数是_____． 2．（2026·云南昭通·一模）某班8位学生参加中考体育测试的成绩（单位：分）分别是：45，48，44，50，45，48，47，45，则这组数据的众数是_____________． 考点11 二次函数根的个数-判别式 1．（20-21八年级上·上海·期中）当______时，关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． 2．（20-21九年级上·山西运城·期末）关于的一元二次方程总有两个实数根，则常数的取值范围是________． 3．（2019九年级·河南·专题练习）关于的一元二次方程，其根的判别式的值为1，=______． 1．（25-26八年级上·江苏泰州·月考）如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，，的面积是，则_____． 2．（25-26九年级下·广东中山·月考）如图，在中，，以点A为圆心，任意长为半径画弧分别交于点M 和点N ，再分别以点M、N为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于点P．连接并延长交于点D，若，则点D到直线的距离是______． 3．（25-26八年级上·四川自贡·期末）如图，在中，平分交于点，点为上一点，且，则___________． 4．（24-25八年级上·安徽芜湖·期末）分解因式________． 5．（2024·四川遂宁·中考真题）分解因式：______． 6．（2025·河南周口·二模）如图，有一张矩形纸条，，，点N在边上，，动点M从点A向点B运动，将四边形沿折叠，点B，C的对应点分别为点，，线段与边交于点E，则的最小值为__________，此时点E离开初始位置（指点M从点A出发时，点E的位置）的距离为__________． 7．（25-26九年级上·陕西西安·期末）如图，菱形对角线与相交于点，为的中点，菱形周长为，则的长为________． 8．（25-26八年级下·广东广州·月考）如图，菱形的对角线相交于点，过点作于点，连接，若，，则的长为__________． 9．（2026·云南·模拟预测）竹编技艺是云南省级非物质文化遗产，匠人们用灵巧的双手编织出各式各样的实用器物，如图所示，在一次非遗体验活动中，非遗代表性传承人用一张半径为的扇形竹篾制作了一个圆锥形竹帽（接缝处忽略不计）．若圆锥形竹帽的底面圆的半径为，则这张扇形竹篾的圆心角的度数为______． 10．（2024·山东济宁·二模）现有圆周的一个扇形彩纸片，该扇形的半径为40，小红同学为了在“六一”儿童节联欢晚会上表演节目，她打算剪去部分扇形纸片后，利用剩下的纸片制作成一个底面半径为10的圆锥形纸帽（接缝处不重叠），那么剪去的扇形纸片的圆心角为______． 11．（23-24九年级上·内蒙古呼和浩特·期末）圆锥的侧面积恰好等于其底面积的2倍，则该圆锥的侧面展开图所对应的扇形圆心角的度数为 _________． 12．（2026·河南驻马店·模拟预测）要使二次根式有意义，则的值可以是____________．（写出一个即可） 13．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）二次根式中，字母的取值范围是______． 14．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知反比例函数的图象过两点，则该反比例函数的表达式为________． 15．（24-25九年级上·北京·月考）已知点，B在反比例函数的图象上，请写出一个点B的坐标______． 16．（24-25九年级上·安徽安庆·月考）已知反比例函数图象经过点，则的值是______． 17．（20-21九年级上·江苏泰州·期中）若关于的一元二次方程有一个正整数解，则正整数=___． 18．（18-19八年级下·浙江温州·期末）若关于的方程有实数根，则的值可以是_____（写出一个即可） 19．（2026·湖北黄冈·一模）如图，在中，，，，是的中点，点在上．若与相似，则________cm． 20．（2026·上海杨浦·二模）在梯形中，，对角线相交于点O，如果，则___________． 21．（25-26九年级上·内蒙古包头·月考），于点D，，，则______． 22．（24-25九年级上·广东湛江·期末）如图，在正方形网格中，点为网格交点，，垂足为，则的值为_________． 23．（25-26九年级上·安徽六安·月考）在正方形网格中，在网格中的位置如图，点A，B，C均在正方形的顶点上，则__________． 24．（2024·江苏宿迁·一模）在中，，则的值为____________． 25．（2025·河南商丘·三模）在线上教学期间，某校落实市教育局要求，督促学生每天做眼保健操．为了解落实情况，学校随机抽取了部分学生进行调查，调查结果分为四类（A类：总时长5分钟；B类：5分钟总时长10分钟；C类：10分钟总时长分钟；D类：总时长分钟），将调查所得数据整理并绘制成如下两幅不完整的统计图． 该校共有1200名学生，请根据以上统计分析，估计该校每天做眼保健操总时长超过5分钟且不超过10分钟的学生约有_______人． 26．（2025·云南昆明·二模）今年春节期间，以迅猛之势火爆全网，成为人们热议的焦点．海内外模型、机器人都已获得显著的技术突破．目前人工智能市场分为：决策类人工智能；：人工智能机器人；：语音类人工智能；：视觉类人工智能四大类型．某校为了解学生对以上四类人工智能的兴趣，随机抽取了名学生，就“你最关注的人工智能类型”进行了一次调查，并将调查结果绘制成如下统计图．若该校共有名学生，请根据图中提供的信息，估计该校最关注类人工智能的学生大约有______人． 27．（24-25七年级下·河南商丘·期末）某校计划组织一场研学活动，学生可根据自己的喜好从A．洛阳博物馆、B．二里头夏都遗址博物馆、C．周王城天子驾六博物馆、D．龙门石窟、E．隋唐洛阳城遗址五个地点中选择一个参加．为了合理规划研学活动，学校设计了研学方案，随机抽取了该校120名学生，统计了他们选择的地点，绘制了条形统计图（如图）．若该校共有1600人，则该校选择到C．周王城天子驾六博物馆参加研学活动的学生大约有________人． 28．（2026·河南驻马店·二模）李老师统计全班学生每周参加体育锻炼的时间（单位：），并绘制成如图所示的统计图，则全班学生每周参加体育锻炼的时间的众数是______． 29．（24-25八年级下·福建福州·期中）2024年4月25日20时59分，搭载神舟十八号载人飞船在酒泉卫星发射中心发射升空，为了弘扬航天精神，激发初中生的爱国热情，某校开展航天知识竞赛，来自不同年级的30名参赛同学的得分情况如下表所示： 成绩（分） 84 88 92 96 100 人数 2 4 9 10 5 这30名参赛同学成绩的众数是_____． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $