题号猜押09 云南中考数学27题（4大考点，解答题）（云南专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题号猜押09云南中考数学27题（解答题） 押题预测 考点1圆与相似三角形综合应用 1.(2026云南昆明一模)如图，⊙0为ABC的外接圆，且AB为O0的直径，D为BC的中点，连接 AD交BC于点P,连接BD,CD,过点D作DE⊥AC交其延长线于点E, B (I)若LBAD=40°，求∠ABD的度数； (2)求证：DE为⊙0的切线： (3)想一想，证一证，以下三个结论：2CD2>AB2-AB·AC,2CD2=AB2-AB·AC,2CD2<AB2-AB·AC ,你认为哪个正确？请说明理由. 【答案】(1)LABD=50° (2)见解析 (3)2CD2=AB2-AB·AC正确，理由见解析 【分析】(1)根据圆周角定理得到LADB=90°，利用∠ABD=90°-∠BAD求解即可； (2)连接OD,根据圆周角定理得到∠BAD=∠CAD,根据等腰三角形的性质得到， ∠BAD=∠ODA,进而得到∠CAD=LODA,证得OD∥AE,进而得到∠ODE=180°-∠E,从而得出结论： (3)根据圆周角定理易证得△ACP∽△ADB,进而得到AB·AC=AD·AP,再证得△CDP∽△ADC,进而 得到ADDP=CD,在Rt△ABD中，利用勾股定理求解即可， 【详解】(1)解：AB为⊙0的直径， ∠ADB=90°， 在Rt△ABC中，∠ABD=90°-∠BAD=90°-40°=50°： (2)证明：连接0D, 1/47 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :DE⊥AC, .∠E=90°， D为BC的中点， :BD CD :BD =CD, ∠BCD=∠CBD, :∠BCD=∠BAD,∠CBD=∠CAD, ∴.∠BAD=∠CAD, :0A=0D, ∠BAD=∠ODA, .∠CAD=∠ODA, .OD∥AE, ∠0DE+∠E=180°， ∠0DE=180°-∠E=180°-90°=90°， .OD⊥DE, :0D为00的半径， DE为OO的切线； (3)解：2CD2=AB2-AB·AC正确，理由如下： :AB为OO的直径， ∠ACP=∠ADB=90°， :∠CAD=∠BAD, △ACP∽△ADB, :AC、AP AD AB :AB·AC=AD·AP, :∠DCP=∠CAD,∠CDP=∠ADC, 2/47 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 △CDP∽△ADC, CD DP AD DC' :.AD.DP=CD2, :△ABD是直角三角形， :AB2=AD2+BD2, :CD=BD, .AB2-AB·AC=AD2+BD2-AD·AP, =AD2-AD·AP+BD2, AD(AD-AP)+BD2, AD.DP+CD2, CD2+CD2, =2CD2, ..2CD2 AB2-AB.AC. 【点晴】本题考查圆周角定理、切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握相关 性质定理是解题的关键， 2.(2026云南玉溪一模)如图，四边形ABCD内接于O0,AC是O0的直径，连接BD,点E是⊙0外 一点，且∠DBE=∠DAB,过点B作BF⊥AC,垂足为点F. (I)若AF·AC=9,直接写出AB的长； (2)求证：直线BE是O0的切线； (3)探究，发现与证明：己知AB=BD,LABD=2LBDC,是否存在常数m,使等式AB2-BC2=mAC·OF成 立？若存在，请直接写出n的值，并证明你写出的m的值，使等式AB2-BC2=mAC.OF成立；若不存在， 请说明理由， 【答案】(1)AB=3 (2)见解析 3/47 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (3存在，m=2 【分析】(1)由AC是OO的直径可得∠ABC=90°，由BF⊥AC得∠AFB=90°，又∠BAC=∠FAB,可证 明△ABC∽△AFB,得AB2=AF·AC,即可求出AB; (2)连接OB,可以证得LOAB+∠OBC=90°，再证明∠BAC=∠CBE,即可得出OB⊥BE,从而可判断 BE是OO的切线； (3)设O0的半径为R,则AC=2R,OA=OC=R,证明AB2=AF,AC,BC2=CF·AC,得 AB2-BC2=AC(AF-CF),设OF=x,则AF=R+x,CF=R-x,得AF-CF=2OF,代入 AB2-BC2=AC.20F=2AC.OF即可. 【详解】(1)解：：AC是⊙0的直径， :∠ABC=90°， BF⊥AC, ∠AFB=90°， 又∠BAC=∠FAB, △ABC∽△AFB, 片BAC AF AB .AB2=AF.AC, .AF.AC=9, AB2=9 .AB=3(负值舍去)； (2)证明：连接OB,如图， :0A=0B, ∠OAB=L0BA, ∠ABC=90°， ∠0BA+∠0BC=90°， 4/47 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠0AB+∠0BC=90°， DC=DC, LDAC=∠DBC, :∠DBE=∠DAB, ∠DAC+∠BAC=∠DBC+∠CBE, ∠BAC=LCBE, ·LCBE+L0BC=90°，即L0BE=90°， OB⊥BE, :OB是O0的半径， :BE是OO的切线： (3)解：存在，m=2,理由如下： 设O0的半径为R,则AC=2R,OA=OC=R, 由(1)得AB2=AF·AC, 同理可证△BCF∽△ACB, 片8Ccs AC BC .BC2=CF·AC, AB2-BC2=AC(AF-CF）, 设OF=x,则AF=OA+OF=R+x,CF=0C-0F=R-x, .AF-CF=(R+x)-(R-x)=2x=20F, .AB2-BC2=AC.20F =2AC.OF, 当m=2时，等式恒成立 3.(2026云南大理一模)如图，AB是O0的直径，点C是O0上异于A、B的点，点P是AB延长线上 一点，AD⊥PC于点D,且AC平分∠PAD,点E是弧AC上一动点（不与A、C重合），连接PE交⊙O于 点F,设⊙0的半径为r. B 5/47 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)当∠CAB=30°，求∠ABC; (2)求证：PC是⊙0的切线： (3)在点E的移动过程中，是否存在常数a,b,使等式EF.PF=aPC2+bPF2成立？若存在，请直接写出一 个a,b的值，并证明你写出的a,b的值，使EF.PF=aPC2+bPF2成立；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)LABC=60° (2)见解析 (3)存在常数a,b,使等式EF.PF=aPC2+bPF2成立，且a=1,b=-1,理由见解析 【分析】(1)根据直径所对的圆周角是直角进行解答即可： (2)连接OC,结合角平分线证明OC‖AD,得到∠OCP=∠ADP,根据切线的判定定理进行即可证明： ()③连接AB,BF,证明PBFPEA,则E=B,进一步得到PAPB=OP-广，结合 PA PE OP2-r2=PC2,PF.PE=PF2+PF·EF即可证明结论. 【详解】(1)解：：AB是⊙0的直径， :LACB=90°， .∠BAC=30°， :∠ABC=90°-∠BAC=60°； (2)证明：连接0C, D :AD⊥PC, LADP=90°， :0A=0C, :∠0AC=∠0CA, :AC平分∠PAD, .∠CAD=∠CAP, ∠CAD=∠OCA, ..OC Il AD, :∠ADP=90°， ∠0CP=∠ADP=90°， 6/47 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 OC⊥PD, 又：0C是00的半径， PC是O0的切线： (3)解：存在常数a,b,使等式EF.PF=aPC2+bPF2成立，且a=1,b=-1,理由如下： 连接AE,BF, D 四边形ABFE是OO的内接四边形， :∠AEF+∠ABF=180°， :∠PBF+∠ABF=180°， .∠AEF=∠PBF, .∠FPB=∠EPA, △PBFn△PEA, PF PB PA PE PA·PB=PF·PE, 在Rt△0CP中，∠0CP=90°， .0P2-r2=PC2, :PAPB=(0P+r)(0P-r=0p2-r2, ..PA.PB=PC2, :PF.PE=PFPF+EF）=PF2+PF·EF, ..PC2=PF2+PF.EF, ..PF.EF PC2-PF2, :EF.PF aPC2+bPF2, a=1,b=-1. 考点2圆与勾股定理、三角形全等综合应用-割补法 1.(2026云南红河一模)自然界是几何的宝库，几何之美是生活中最无声却又最动人的旋律，让我们的 世界充满了惊喜与奇迹，圆是几何中最美的图形之一，如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，半径为r=3, 7/47 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 过点D作DE⊥AB交BA的延长线于点E,AD平分∠EAC. D B B 图1 图2 (1)在图1中，若AC是O0的直径.求证：ED是⊙0的切线； (2)在(1)的条件下，若ED=3EA,求线段AD的长； (3)在图2中，若BC=CD、m=AB+AD,求m的最大值. 【答案】(1)见解析 (23i0 5 (3)6 【分析】(1)连接0D,证明∠EAD=∠ODA,根据LEAD+LADE=90°可得∠ODE=90°，故可得ED是 00的切线： 设EA=0,由ED=3EH得BD=a,由勾股定理待4D=0a,明△CADDAE,得份化，代 入相关数据进行计算即可得出结论： (3)延长AB至点F,使得BF=AD,连接CF,BD.证明∠CAB=∠CAD=∠DAE=60°.∠ADC=LFBC.根 据SAS证明△ADC≌△FBC,得CA=CF,再证明CAF是等边三角形，得AF=AC,根据AC≤2r=6可得 结论 【详解】(1)证明：连接0D. D E :0A=0D, .∠0AD=∠0DA, :AD平分∠EAC, ∴∠OAD=∠EAD, ∠EAD=∠ODA. 8/47 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :DE⊥AB, ∠AED=90°， :∠EAD+∠ADE=90°. :∠0DA+∠ADE=90°，即∠0DE=90°. OD⊥DE, 又：0D是⊙0的半径 DE是OO的切线. (2)解：：ED=3EA, 设EA=a,则ED=3a, 由勾股定理得AD=VAE2+DE2=Va2+(3a2=√10a :AC是O0的直径， .∠ADC=90°， .∠ADC=LAED 又：∠CAD=∠DAE, △CAD∽△DAE, EA AD AD AC a 10a . V10a6 解得a= 5 4D=10a=3 5 (3)解：如图所示，延长AB至点F,使得BF=AD,连接CF,BD 0 BC CD, B F ∠CBD=∠CDB. :∠CBD=∠CAD,∠CDB=∠CAB,AD平分LEAC, LCAB=LCAD=LDAE=60°. 9/47 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠ADC+∠ABC=180°，∠FBC+∠ABC=180°. ∠ADC=∠FBC. 在△ADC和△FBC中， AD=FB ∠ADC=∠FBC. BC=DC ∴△ADC≌△FBC(SAS. :.CA=CF, :∠CAF=60 又.△CAF是等边三角形. :AF=AC. :m AB+AD AB BF AF AC 2r=6. .m的最大值为6. 2.(2026云南文山一模)如图，AB是⊙0的直径，AC是⊙0的弦，点D是BC的中点.过点D作 DE⊥AC交AC的延长线于点E.四边形ACFG内接于OO,CF是⊙O的直径，连接AF,CG. (I)若AC=BC,求∠BAC的度数； (2)求证：DE是O0的切线； (3)若∠FCG=30°，试探究线段AC,AF,AG之间的数量关系. 【答案】(1)45 (2)见解析 )CA+2GA=3FA 【分析】(1)证明ABC是等腰直角三角形，即可求解； (2)利用垂径定理求得OD⊥BC,推出OD∥AC,即可得到OD⊥DE,据此即可证明DE是OO的切线； (3)构造∠FGH=∠CGA,证明aGFH∽aGCA,得到GF·CA=GC·FH①，再证明aGFC∽aGHA,得到 10/47 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 GA.FC=GC·HA②，再结合直角三角形的性质即可求解. 【详解】(1)解：如图，连接BC. 0 :AB是O0的直径， ∠ACB=90°. AC=BC, .AC=BC, 则ABC是等腰直角三角形， .∠BAC=45°： (2)证明：如图，连接AD,BC, ○ :点D是BC的中点， 0D⊥BC, :∠ACB=90°， 0D∥AC, DE L AC, OD⊥DE, :0D是⊙0的半径， DE是OO的切线： (3)解：如图，过点G作GH交AF于点H,使LFGH=∠CGA. 11/47 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :∠GFH=∠GCA, △GFH∽△GCA, GF FH GC CA' 则GF.CA=GC·FH①. :∠FGH=∠CGA, :∠FGC=∠HGA. :∠FCG=∠HAG, .△GFC△GHA, GC FC GA HA 则GA·FC=GC·HA②. ①与②等号左右两边分别相加得，GF·CA+GA·FC=GC·FH+GC·HA. 则GF·CA+GAFC=GCFH+HA)=GC·FA. CF是⊙0的直径， .LCGF=90°. :在Rt△CGF中，∠FCG=30°， .CF=2FG, 则CG=V3FG. 代入GF.CA+GA·FC=GC·FA得，CA+2GA=√5FA. 3.(2025云南昆明·二模)如图，AB是O0的直径，ABC内接于O0,点D是CB的中点，连接AD交 CB于点E,连接OD交CB于点F,过点B作BG⊥AB交OD延长线于点G,连接CG, 12/47 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 G C (1)求证：AC∥OD; (2)求证：CG是00的切线； (3)若F是OD的中点，请探究AB、AC与AD之间的数量关系，并说明理由. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)AB+AC=V3AD或AC2+AD=AB2,理由见解析 【分析】(1)利用D是CB的中点，求得LCAD=LBAD,利用半径相等，求得∠BAD=∠ODA,推出 LCAD=∠ODA,即可证明AC∥OD; (2)连接OC,利用SAS证明△0BG≌△0CG,推出OC⊥CG,即可证明CG是⊙0的切线： (3)连接BD,先证明BC是OD的垂直平分线，推出△OBD和AOCA是等边三角形，在Rt△ABD中，解直 角三角形得到B=254D,BD=54D,据此求解即可：也可以证明4D=BC,利用匀股定率即可求解 3 【详解】(1)证明：D是CB的中点， .'CD=BD, ∠CAD=LBAD, .0A=0D, ∠BAD=∠ODA, ∠CAD=∠ODA, AC∥OD; (2)证明：连接0C, :BG⊥AB, ∠0BG=90°， BD=CD. ∠BOD=LCOD, 13/47 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 OB=OC 在△0BG和a0CG中， ∠BOD=∠COD, OG=0G :△OBG≌AOCG(SAS), ∠0CG=∠0BG=90°， .OC LCG, 又：0C是00的半径， .CG是O0的切线； (3)解：AB+AC=V3AD或AC2+AD2=AB2,理由如下： 连接BD, :AB是O0直径，点C在O0上， G .∠ACB=90°， AC∥OD, ∴.L0FB=∠ACB=90°， BC⊥OD, 又：F是OD中点， ∴BC是OD的垂直平分线， 又：点B在BC上， .:BD=BO, 又：0D=0B, .OD =0B=BD, :△OBD是等边三角形， ∠0BD=∠B0D=60°， :0D∥AC, 14/47 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠0AC=∠B0D=60°， 又：0A=0C, :aOCA是等边三角形， .0A=0C=AC, 又：0A=0D, .AC=BD, :在Rt△ABD中， sin∠ABD=AD AB .AB= AD 2 -AD, sin60° 3 AD :tan∠ABD= BD' ·BD=AD =V AD tan60°3 ·AB+BD=25 D+ -AD=3AD: 3 :△OBD和aOCA都是等边三角形， ∠B0D=∠A0C=LC0D=60°， .AC=CD=BD, :AD=BC, .AD =BC, :∠ACB=90°， .AC2+BC2=AB2, .AC2+AD2=AB2; 综上，AB、AC与AD之间的数量关系为AB+AC=V3AD或AC2+AD2=AB2. 考点3圆与锐角三角函数综合应用 1.(2026云南大理一模)如图所示，⊙0是ABC的外接圆，延长AB至点D,使得BC'=BD·AB,P是 半圆AC上一动点（点P在左上半圆，且不与点A,C重合），连接PA,PB,PC,CD. 15/47 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D B D (1)若LPAB=65°，求∠PCB的度数： (2)求证：CD是⊙0的切线： (3)看一看，想一想，证一证：若AB=2BC,以下与线段PA,PB,PC有关的三个结论： PA>V5PB-2PC,PA=V5PB-2PC,PA<V5PB-2PC,你认为哪个正确？请说明理由. 【答案】(1)115° (2)见解析 (3)PA=√5PB-2PC正确，见解析 【分析】(1)根据圆内接四边形的性质，进行求解即可； (2)根据直径所对的圆周角为直角得出∠ABC=90°，证明△ABC∽△CBD,得出∠CAB=∠DCB,证明 OC⊥CD,即可得出答案， (3)过点C作CH⊥PB于点H,设BC=x,则AB=2x,根据LCPH=∠CAB,得出 PH AB 2 cos∠CPH=cos∠CAB,从而得出pCAC店，根据∠CBH=∠P1C,得出cos∠CBH=os∠P1C,即 BH PA BC AC 我版路-：即-肾治4，年可将多 【详解】(1)解：：四边形ABCP是圆内接四边形， ∴∠PAB+∠PCB=180°， :∠PAB=65°， .∠PCB=115°： (2)证明：：AC是00的直径， ∠ABC=90°， ∠CBD=∠ABC=90°， :BC2=BD·AB, BD BC BCAB △ABC∽△CBD, 16/47 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∠CAB=∠DCB, :∠ACD=∠ACB+∠BCD=∠ACB+∠CAB=90°， 0C⊥CD, :0C是00的半径， CD是OO的切线. (3)解：PA=√5PB-2PC正确.理由如下： 过点C作CH⊥PB于点H,如图所示： D :AC是直径， .∠ABC=∠APC=90°， AB=2BC, .设BC=x,则AB=2x, 由勾股定理得AC=V5x, :∠CPH=∠CAB, .cos /CPH cos CAB, PH AB 2 PC-AC5' 2 PH= PC, :∠CBH=∠PAC, .cos /CBH cos /PAC, BH PA BC AC .BH=PA-BC PA AC .PB=PH+BH= 2PC PA 2PC+PA 5+55, .PA=5PB-2PC. 17/47 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2.(2025云南昆明·二模)如图，四边形ABCD内接于O0,AC=AD,AD>AB,AC1BD,垂足为点 E,AF是OO的直径，点P是AD弧上异于点A、D的一点，点Q在FP的延长线上，且AQ=FQ·PQ, F与BD交于点AM,设m=BM,n AD2-AB2 BD’n= BD·BC B M 0 (I)若LCAD=70°，直接写出∠ABC的度数： (2)求证：直线AQ是⊙0的切线： (3)若tan∠4CD 4,ma=号以下三个结论：DM<8C,DM=BC,DM>BC,你认为哪个正确？请说 2 tan∠ACB 明理由。 【答案】(1)125 (2)见解析 (3)DM=BC正确，理由见解析 【分析】(1)根据等边对等角的性质，得到∠ACD=∠ADC=55°，再根据圆内接四边形对角互补求解即可； (2)连接AP,根据直径可得∠APF=90°，证明aAQP∽aFQA,得到AF⊥AQ,即可证明结论： (3)连接DF,根据圆周角定理，证明△ABE≌△AME(ASA),得到BE=ME,利用角的正切值，得到 2 3BE 2 DE=4BE,从而得出DM=3BE,BD=5BE,进而求得m=三，n= 8C,再根据mn=5,求出8C=38E, 即可求解， 【详解】(1)解：：AC=AD,∠CAD=70° :∠ACD=∠ADC=180°-∠C4D=55°， 2 :四边形ABCD内接于OO, :∠ABC+∠ADC=180°， LABC=125°； (2)证明：如图，连接AP, 18/47 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 0 D:AF是O0的直径， EM ∠APF=90°， AQ=FQ·PQ, A0PO FO AO' 又：LAQP=LFQA, △A0 PAFQA, .∠APQ=FAQ=90°， :AF⊥AQ, 又AF是⊙0的直径， :直线AQ是⊙0的切线： (3)解：如图，连接DF, O D D:AF是O0的直径， EM .∠ADF=90°， .∠ADC+∠CDF=90°， :AC⊥BD, .∠CED=90°， ∠ACD+∠CDE=90°， :∠ACD=∠ADC, ∠CDF=∠CDE, 19/47 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :∠BAC=∠BDC,∠CAF=∠CDF, ∠BAC=∠CAF, 在△ABE和△AME中， ∠BAE=∠MAE AE=AE ∠AEB=∠AEM=90° ∴△ABE≌△AME(ASA, :BE ME, 在Rt△CED中， tan∠ACD=DE CE 在RtCEB中，tan∠ACB= BE CE :tan∠AcD =4 tan∠ACB DE=4, BE :DE=4BE, .DM =3BE BD=5BE :m=BM_28E-2 BD 5BE 5' ..AD2=AE2+DE2,AB2=AE2+BE2, .AD2-AB'=DE-BE2=15BE2, .n=4D:-4B 15BE2 3BE BD·BC 5BE.BCBC 2 mn 23BE2 5BC5' :BC 3BE, :DM BC. 【点晴】本题考查了等腰三角形的判定和性质，圆内接四边形的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和 性质，圆的切线的判定，全等三角形的判定和性质，解直角三角形的应用等知识，利用数形结合的思想解 决问题是关键。 20/47 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ◆考点4四边形综合应用 1.(2026安徽池州二模)如图，在等腰ABC中LABC=LACB,△ABC≌△ADE,连接AF、BD、 CE 图1 图2 图3 (I)如图1，求证：∠BFD=∠BAD: (2)如图2，若∠ACB=∠BAD,求证：四边形ABFE是菱形； ③图.若S多且CB,求mE4C8的位 BD 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)tan∠ACB=√2 【分析】(1)根据全等三角形的性质得出LBAC=∠DAE,∠ABC=LADE=∠AED,然后进行角的等量代 换，即可作答 (2)先证明AB∥DE,AE∥BF,得出四边形ABFE是平行四边形，根据AB=AE,即可得证， (3)作AG⊥CE于点G,作AH⊥BC于点H,作LACG的平分线CT,交AG于点T,延长BA交CT于点 s证明45：4C,4sT:6C7,得出瓷名，则瓷行根据已红将出号=，设CG=1,则 Gt 4C=3,则18=一于=2，注有将出G=,根据正切的定义，年可求解。 【详解】(1)证明：：△ABC≌△ADE,∠ABC=∠ACB, :∠ABC=∠ACB=∠ADE=∠AED,AB=AC=AD=AE, :在BDF中，∠DBF+∠BDA+∠ADF+∠BFD=180°， 在△ABD中，∠DBF+∠ABF+∠BAD+∠BDA=180°， ∠BFD=∠BAD. (2)证明：由(1)知，∠ABC=∠ACB=∠ADE=∠AED, ∠ACB=∠ADE,AB=AC=AD=AE. 21/47 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 又：∠ACB=∠BAD, ∠BAD=∠ADE, .ABI DE. :∠BFD=∠BAD,∠BAD=∠AED, .∠BFD=∠AED, .AE∥BF :四边形ABFE是平行四边形， 又：AB=AE, 四边形ABFE是菱形. (3)解：如图，作AG⊥CE于点G,作AH⊥BC于点H,作∠ACG的平分线CT,交AG于点T,延长 BA交CT于点S, E20c7=∠4cT4cc, B F D 图3 :AB∥CE, ∠GCT=∠S, .∠S=∠ACT, .AS=AC, :AS∥CG, △AST∽aGCT, 8品 AC AT CG GT AB=AC, ∠CAH=∠BAH= ∠BAC. 2 CE‖AB, ∠ACE=∠BAC, 22/47 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 5LACE=∠BAC 2 ∠BAH=∠GCT. :∠AHB=∠AGC=90°， ∠ABC=∠CTG. :△ABC≌△ADE, ,AB=AD,AC=AE,∠BAC=∠DAE, ·∠BAD=∠CAE, :△ABD≌△ACE(SAS, .CE BD, AC AB 3 CE BD2 :AC=AE, .CGCE .AC =3, CG AT=3 GT 设CG=1,则AC=3,则AG=V32-12=2√5， G7=4G= 4 2 .tan∠CTG= CG 1 G7= =√ 2 .tan∠ACB=√2. 2.(21-22九年级下.浙江衢州·月考)在四边形ABCD中，AC与BD互相垂直且平分. D D B 图1 图2 图3 备用图 (I)【推理探究】如图1，已知AC=BD,点E是线段OA上任意一点，CF⊥BE交OB于点G,垂足为点F ,求证：OE=0G. (2)【类比应用】如图2，己知AC=BD,点E在OA的延长线上，且OA:AE=2:1,CF⊥BE交OB的延长 23/47 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 线于点G,AB=8,求tan∠ABE的值. (3)【拓展延伸】如图3，己知∠BAD=60°，点E是OA的三等分点，CF⊥BE交直线OB于点G,垂足为点 ,AB=8,求CE的值 【答案】(1)见解析 a时 (6)或 5 【分析】(1)利用“ASA”证明△C0G≌△B0E即可； (2)先证明四边形ABCD为正方形，算出AC、OA、AE、OE、BE的长，证明△EOB≌△GOC,得出 OE=OG,BE=CG,推导出BG=AE=2√2，根据SSS”证明△AEB≌△BGC,得出LABE=∠BCG,证明 △BOE∽△BFG,根据相似三角形的性质，得出BF的长，利用勾股定理算出CF的长，计算∠ABE的正切值 即可； (3)分两种情况讨论，分别画出图形，算出0G、C℉的值，然后求OC的值即可 CF 【详解】(1)证明：：四边形ABCD中，AC与BD互相垂直且平分， 又：AC=BD, .0A=0B=0C=0D,∠C0B=∠A0B=90°， ∴.∠OBE+∠OEB=90°， .CF⊥BE, ∠CFE=90°， ∠0EB+∠ECF=90°， LOBE=∠ECF, ∠OCG=∠OBE :在aCOG和△B0E中 OC=OB ∠COG=∠BOE △COG≌△BOE(ASA, .0E=0G. (2)解：：在四边形ABCD中，AC与BD互相垂直且平分， ·四边形ABCD为菱形， 又，AC=BD, 24/47 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :四边形ABCD为正方形， 0A=0B=0C=0D,∠C0B=∠A0B=90°，AB=BC=8,∠ABC=90°， AC=√AB2+BC2=8V2, 0A=0C=0B=14C=4N2, 0A:AE=2:1, 六01=2v. 0E=0A+AE=45+2W2=6W2,BE=V0B2+0E=V42'+(62=226, :CF⊥BE, .∠CFE=∠BFG=90°， .∠E+∠ECF=90°， ∠ECF+LG=90°， ∠E=LG, △EOB≌△GOC(AAS), :.OE=0G,BE=CG, 0E-0A=0G-0B, 即BG=AE=22, △AEB≌△BGC(SSS, .∠ABE=∠BCG, :∠OBE=∠GBF,∠E=∠G, △BOEn△BFG, BF BG OB EB 即BF2V5 4√22√26 BF=426 13 :.CF=BC2-BF2= 82 4√26 20V26 13 13 25/47 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4V26 tan∠ABE=tan∠BCF=BF =13 F 202651 13 (3)解：①当E点为靠近O点的三等分点时，如图所示： E B(F、G) :四边形ABCD中，AC与BD互相垂直且平分， ·四边形ABCD为菱形， :DA=AB=BC=CD, :∠BAD=60°， AABD为等边三角形， :BD AB=8, :.B0=D0=BD=4, A0=√AB2-B02=V82-42=4V5, OE=43 3 4V5 .tan∠OBE= 0E-3 OB 43 ∠0BE=30°， BD=BC=CD, .△BCD为等边三角形， .∠DBC=60°， ∴.∠EBC=∠EBO+∠DBC=90°， EB⊥CB, :此时点F、G与点B重合， ..0G=0B=4,CF=CB=8, 0G4_1 C℉82 ②当E点为靠近A点的三等分点时，如图所示： 26/47 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D U 此时OB=20A 8V3 3 3 :BE=OB2+OE 42 3 :0C=0A=4V5, ∴.EC=E0+OC= 3+4V5=205 8v 3 ·CF⊥BE, ∠CFE=90°， ∠EOB=LCFE=90°， :∠OEB=∠CEF, ∴△OEB∽△FEC, 20W5 CF CE 3 OB BE 即C 44V21 3 CF= 0W7 7 :∠BGF+∠GBF=90°，∠0BE+∠0EB=90°， 又：∠GBF=∠OBE, .∠OEB=∠BGF, :∠E0B=∠C0G=90°， .△EOBAGOC, 0G4V3 OEOB,即8V3=4, OG OC 3 0G=8, OG 82w7 CF 207 5； 7 27/47 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 OG 综上分析可知， CF 的值为；或2 5 通关特训 1.(2026云南保山一模)如图，ABC是00的内接等腰三角形，AB=AC,点E是劣弧AC上的动点 (与点A,点C均不重合)，连接BE,CE,连接AE并延长交BC的延长线于点D,过点A作直线 AM∥BC. M B (1)若LABC=52°，求∠AEC的度数； (2)求证：AM是O0的切线； (3)探究、发现与证明：是否存在常数m和n,使等式DC.DB=m·AD+n·AC2成立？若存在，请直接写出 m和n的值，并证明DC,DB=m·AD2+n·AC2成立；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)128° (2)见解析 (3)存在；m=1,n=-1；证明见解析 【分析】(1)由圆内接四边形的性质即可求解； (2)连接OA、OB、OC,由线段垂直平分线的性质得OA⊥BC,再由AM∥BC即可求证； (3)存在；m=1,n=-1;延长AO交BC于点F,分别在RtAACF、RtAADF中，利用勾股定理即可证明. 【详解】(1)解：：四边形ABCE是圆的内接四边形， .∠ABC+∠AEC=180°， ∠AEC=180°-∠ABC=128°： (2)证明：如图，连接0A、0B、OC, .AB=AC,OB=0C, :点O、A在线段BC的垂直平分线上， .OA L BC, :AM∥BC, 0A⊥AM, :OA是00的半径， 28/47 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :AM是O0的切线： M D (3)解：存在；m=1,n=-1,此时DCDB=AD2-AC2; 证明如下： 如图，延长AO交BC于点F, :AB=AC,AO⊥BC, .CF-BC 在RtAACF、RtAADF中，由勾股定理得：AC2-CF2=AF2=AD2-(CF+DC, 即ac-gcj=40-{}ac+Dcj 整理得：AC2=AD2-DC(DC+BC), 即AC2=AD2-DC·DB, .DC·DB=AD2-AC2, .当m=1,n=-1,DC.DB=m·AD2+n·AC2成立 M 2.(2026云南楚雄一模)如图，C是以AB为直径的O0上一点，CD1AB于点D,过点B作O0的切线， 与AC的延长线相交于点E,F是CD的中点，连接AF并延长与BE相交于点G,连接CG并延长与AB的延 长线相交于点H,⊙0的半径为3. B B 备用图 (1)若AC=5,求点C和点B间的距离； 29/47 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)求证：CH是⊙0的切线： (3)当BD=2时，请判断下列结论哪个成立？①FG>CG=BG,②FG=CG=BG,③FG<CG=BG,并说 明理由。 【答案】(I)BC=√T (2)见解析 (3)②FG=CG=BG成立，见解析 【分析】(1)结合勾股定理求出BC=√AB2-AC2=√厅，即可作答。 (2)先根据CD⊥AB,过点B作OO的切线，与AC的延长线相交于点E,得出CD∥BE,再分别证明 G3n:PD4,:654,C4,故品名，结合F是CD的中点，号出G8=EG,再运用等边对奇角 以及L0BC+LGBC=90°，得L0CB+LGCB=90°，故L0CG=90°，即CH是O0的切线； (3)过点G作GK⊥CD于点K,则∠GKD=90°，根据切线的性质得到BE⊥AB,证明四边形DBGK为矩形， 得到GK=BD,BG=DK,KD∥GB,KG∥DB,证明△ADFn△ABG,∠ADF=∠GKF, ∠FAD=∠FGK,进而证明&GKF4BG,得到G体=C,可知DF=2KF,证明GK为线段CF的垂直 AB BG 平分线，得到FG=CG,由(2)可知BG=CG,即FG=CG=BG. 【详解】(1)解：：⊙0的半径为3， AB=2×3=6, 连接CB,如图所示： :AB是O0的直径， ∠ACB=90°， :.BC=AB2-AC2=62-52=1 即点C和点B间的距离为BC的长度，即为√I; (2)解：连接CO,如图所示： 30/47 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 E O D :过点B作OO的切线，与AC的延长线相交于点E, AB⊥EB, CD⊥AB, CD∥BE, :GBA=LCDA,∠BGA=∠DFA, △GBA∽△FDA, AF FD AG GB CD∥BE, .ZE Z FCA,ZEGA=ZCFA, △GEAAFCA, CF AF EG AG 则 FD CF GB EG' F是CD的中点， .CF =DF, .GB=EG, CG是△BCE的中线， :AB是OO的直径， ∠ACB=∠ECB=90°， :CG是△BCE的中线 .CG-EB-FG-BG, :ZGCB =ZGBC :0C=0B, ∠0CB=∠0BC, :AB⊥EB, 31/47 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠0BC+∠GBC=90°， 即∠0CB+∠GCB=90°， 故∠0CG=90°， :0C是半径， CH是OO的切线； (3)解：②FG=CG=BG成立. 理由如下： 如图，过点G作GK⊥CD于点K,则∠GKD=90°. E G B :BE是OO的切线， BE⊥AB, ∠GBD=90°. :CD⊥AB, ∠KDB=90°， ∴四边形DBGK为矩形， .GK=BD,BG=DK,KD∥GB,KG∥DB, FD∥GB,KG∥AD, △ADFO△ABG,LADF=∠GKF,LFAD=∠FGK, △ADFAGKF, .aGKF∽△ABG, GK KF AB BG :00的半径为3， AB=6, BD=2,GK BD, .GK=2, GK 2 1 AB 63' 32/47 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 KF 1 BG3 .BG=3KF, BG=DK, .DK 3KF :DF =2KF, :F是CD的中点， .CD 2DF =4KF, .CK CD-DK =4KF-3KF=KF 点K为CF中点. :GK⊥CD于点K, :GK为线段CF的垂直平分线， .FG=CG. 由(2)可知BG=CG, .FG=CG=BG成立. 3.（2025·云南大理.一模)如图，⊙0是四边形ABCD的外接圆，AC、BD是四边形ABCD的对角线，AC 恰为OO的直径，∠ADB=30°，点E在劣弧AD上，过点D作DF⊥AE,交AE的延长线于点F,AD平 分LFAC. (1)求∠BAC的度数； (2)求证：DF是O0的切线； (3)若∠CAD=30°，P是劣弧CD上的一个动点，不与C,D重合，连接AP,CP,DP,DGLAP于点G, 求AP-5CP的值， DP 【答案】(1)60° (2)证明见解析 (3)2,证明见解析 33/47 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【分析】(1)由圆周角定理可得∠ACB=30°，∠ABC=90°，再利用三角形的内角和定理可得答案； (2)如图，连接OD,证明∠FAD=∠ODA,可得AF∥OD,结合AF⊥DF,可得OD⊥DF,从而可得 结论 (3)先证明CD:AD:AC=I:5:2,可得D-5,如图，过D作DH1CP交CP的延长线于H,证明 CD △4DG∽ACDH,可得1G-DC=D=V5,可得4G=V5CH,DG=N5DH,证明GP=DH, CH DH CD DG=PH,证明AP-√5CP=4DH,在RtADHP中，证明DP=2DH,从而可得结论 【详解】(1)解：：∠ADB=30°， ∠ACB=30°， :AC为O0的直径， ∠ABC=90°， ∠BAC=60°； (2)解：如图，连接0D, 0A=0D, .∠0AD=∠0DA, :AD平分∠FAC, :∠FAD=∠DAC, .LFAD=∠ODA, AF∥OD, AF⊥DF, .OD L DF, :0D为⊙0的半径， :DF为O0的切线； (3)解：：AC为00的直径， 34/47 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠ADC=∠APC=90°， :∠CAD=30°， :CD:AD:AC=1:3:2, AD=5, CD 如图，过D作DH⊥CP交CP的延长线于H, :DP=DP, ∴.∠DAG=∠DCH, :∠AGD=∠CHD=90°， .△ADG∽△CDH, AG_DG=AD=3, CH DH CD AG=3CH,DG=3DH ∠DGP=∠GPH=∠PHD=90°， :.四边形DGPH为矩形， .GP=DH,DG=PH, .AP=AG+GP=3CH+DH=3(CP+PH)+DH =3(CP+3DH+DH=3CP+4DH, .AP-3CP =4DH 在RtADHP中， DP=DH2+PH2=DH2+DG2=DH2+(3DH=J4DH:=2DH, AP-3CP 4DH=2 DP 2DH 【点晴】本题考查的是矩形的判定与性质，平行线的判定与性质，圆周角定理的应用，勾股定理的应用， 35/47 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 相似三角形的判定与性质，切线的判定，本题难度较大，是中考压轴题，作出合适的辅助线是解本题的关 键 4.(2025云南楚雄二模)如图，在ABC中，∠C=90°，0为边AB上的一点，以0为圆心，OB为半径 的圆与AC切于点E,与AB交于另一点D. (I)求证：BE平分∠ABC; (2)若B0=4,BE=6,求CE的长； (3)在(2)的条件下，直接写出cosA的值. 【答案】(1)见解析 (2)CE=3V5 2 3)36 8 【分析】(1)连接OE,切线的性质推出OE∥BC,得到∠OEB=∠CBE,等边对等角得到LOBE=∠OEB, 进而得到LOBE=∠CBE,即可； (2)连接DE,过点E作EF⊥BD,勾股定理求出DE的长，等积法求出EF的长，角平分线的性质，得到 CE=EF,即可得出结果： 37 (3)0E力3C,得到能9·北C生_之3，我据余弦的定义得到04=46-35，即可， AO OB 4 A0 8 8 【详解】(1)证明：连接OE,则：OE=0B, .∠OBE=∠OEB, ,以O为圆心，OB为半径的圆与AC切于点E, 36/47 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :OE⊥AC, ∠0EA=90°=∠C, OE∥BC, .ZOEB ZCBE, ∴∠OBE=LCBE, BE平分∠ABC: (2)解：连接DE,过点E作EF⊥BD, :BD为直径， .∠BED=90°， 0B=4, BD=8, DE=√BD2-BE2=2√万， EF⊥BD,∠BED=90°， DEaE=号D-BP,即：2万6=8EF, EF=3 2 :BE平分∠ABC,EF⊥BD,∠C=90°， CE=EF= 3w7 2 (3)0E∥BC, 誓0 37 .AE CE 237, A0 OB 4 8 :OE⊥AC, ∠AE0=90°， 37/47 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ·c0sA=AE_3V万 A08 【点晴】本题考查切线的性质，圆周角定理，勾股定理，平行线分线段成比例，求角的余弦值，熟练掌握 知识点，并灵活运用，是解题的关键 5.(2025云南昆明·二模)如图，⊙0是ABC的外接圆，AF是∠BAC的平分线，分别交BC于点G,交 ⊙O于点D,BD平分∠CBF,延长DO交OO于点E,过点E作EM⊥AB,垂足为点M· G (I)若LCBD=32°，求LCAD的度数； (2)求证：BF是O0的切线： (6)看一看，想一想，证一证：以下与线段AB、线段AC、线段AM有关的三个结论：4B_4C<2, AM 4B-AC=2,4B-4C>2,你认为哪个正确？请说明理由. AM AM 【答案】(1)∠CAD=32°， (2)见解析： (③)48-AC=2结论正确，理由见解析。 AM 【分析】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，切线的判定，全等三角形的性质与判定等等，正确作出 辅助线是解题的关键， (1)根据同弧所对的圆周角相等即可得到答案： (2)连接BO,CO,如图所示，根据角平分线的定义和同弧所对的圆周角相等可推出 ∠BAD=∠CAD=∠DBC=∠FBD,设LBAD=∠CAD=∠DBC=∠FBD=0,则由圆周角定理可推出 ∠B0C=2LBAC=40,再由等边对等角和三角形内角和定理可得∠0BC=90°-20，则可求出∠0BF=90° 据此可证明结论； (3)连接BE,CE,AE,在BM上截取QM=AM,连接EQ,设ED与BC交于H,证明EM是AQ的垂直平 分线，得到AE=QE,则∠AQE=∠QAE,由角平分线的定义得到∠BAD=∠CAD,则BD=CD,据此可得 38/47 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 OD⊥BC,则可推出BE=CE,证明∠EAB=∠EBC=∠ECB=∠EQA,进而可证明∠BEQ=∠CEA,进 步证明△BEQ≌aCEA(SAS)得到BQ=AC,再由线段的和差关系可得结论. 【详解】(1)解：：CD=CD,LCBD=32°， :∠CAD=∠CBD=32°； (2)证明：连接BO,CO,如图所示， :AF是∠BAC的平分线，BD平分∠CBF, ∴∠CBD=∠FBD,∠BAD=∠CAD, CD=CD, ∠CAD=∠CBD, ∴∠BAD=∠CAD=∠DBC=∠FBD, 设LBAD=∠CAD=∠DBC=∠FBD=0, ∠BAC=2∠BAD=20, ∠B0C=2∠BAC=40, :0B=0C, ∠0BC=∠0CB=180°-49)=90°-28， 》 :∠0BF=∠0BC+∠DBC+∠FBD=90°-20+0+0=90°， OB⊥BF, OB是O0的半径， .BF是OO的切线； (3)解：4B-4C=2结论正确，理由如下 AM 连接BE,CE,AE,在BM上截取QM=AM,连接EO,设ED与BC交于H,如图所示： 39/47 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :EM⊥AB,OM=AM, .EM是AQ的垂直平分线， ∴.AE=QE, .∠AQE=∠QAE, :AF是∠BAC的平分线， ∠BAD=∠CAD, ·BD=CD, .0D⊥BC, :BH=CH, :BE CE, :ZECB=ZEBC, :∠EAB=LECB, ∴∠EAB=∠EBC=∠ECB=∠EQA, ·∠AEQ=180°-∠EQA-∠EAQ,∠BEC=180°-∠EBC-∠ECB, .∠BEC=∠AEQ, ∴.∠BEC-∠CEQ=∠AEQ-∠CEQ,即∠BEQ=∠CEA, 在△BEQ和△CEA中， BE=CE ∠BEQ=∠CEA, QE=AE ∴.△BEQ≌ACEA(SAS, ..BO=AC, BO=AB-A0=AB-2AM, 40/47 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :AC=AB-2AM, :AB-AC=2AM AB-AC =2 AM 6。(2526八年级下江苏宿证期中)如图，在平面直角坐标系中，直线=方x+8交轴于点4，交y轴 于点B,点C为OB的中点，点D在线段OA上，OD=3AD,点E为线段AB上一动点，连接CD、CE、DE VA B 0 D A 备用图 (1)求直线CD的表达式： (2)若△CDE的面积为20，求E点坐标； (3)在(2)的条件下，点P在y轴上，点Q在直线CD上，是否存在以D、E、P、Q为顶点的四边形为平 行四边形.若存在，直接写出点Q坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（①y=3x+4: (2)点E坐标为(4,6)； 坐标为16））(89 【分析】(1)根据一次函数解析式，分别令x=0,y=0可以得A、B两点的坐标，根据A、B两点的坐标， 求出OB与OA的长度，再根据OD=3AD和点C为OB的中点来确定C与D的坐标，然后根据待定系数法可 以计算出直线CD的解析式； (2)根据△CDE的面积=△ABO的面积-△OCD的面积-△CBE的面积-△ADE的面积，求解即可； (3)设点P(0,m,点m,3n+4 分情况讨论：①以DE,PQ为对角线，②以DP,EQ为对角线，③ 以DQ,PE为对角线分别列二元一次方程组，求解即可. 【详解】(1)解：直线y=一2+8交x轴于点4，交y轴于点B, :x=0时，y=8, :点B(0,8), 41/47 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 0B=8, :点C为OB的中点， 0C=4, .C(0,4), 1 当y=0时，-2x+8=0, .x=16, .A16,0), 0A=16, :0D=3AD, ∴.0D=12, D(12,0), 设直线CD的解析式：y=kx+b(k≠O), 将点C(0,4),点D12,0)代入直线解析式 b=4 得12k+b=0‘ 1 解得 k3 b=4 1 :直线CD的解析式为y=-3x+4, 1 2)解：设点E+8: 0B=8,0A=16, 4B0的面积×16x8=64, :BC=4,AD=4, △8CE的面积=2×4=21， a0CD的面积-2×4×12=24， DE的面积-4+8 1, 51+8=-1+16 :△CDE的面积=△ABO的面积-△BCE的面积-△OCD的面积-△ADE的面积， 42/47 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 64-21-24-（-1+16)=20, 解得t=4, 1 2 ×4+8=6, .点E坐标为4,6)； (3)解：存在以D、E、P、Q为顶点的四边形为平行四边形， :设点P(0,m,点Cm,3n+4 ①当四边形以DE,P9为对角线时， :点D12,0),E(4,6), [12+4=n 1 6=m-5n+41 3 解得n=16, 1 、、二n+4三3F4令、 3 点6 ②当四边形以DP,EQ为对角线， :点D(12,0),E(4,6), 12=n+4 1 m=-5n+4+6 3 解得n=8, 1 8+4=4 1 3 ， 点引 43/47 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ③当四边形以DQ,PE为对角线， 12+n=4 3”+4=6+m 1 解得n=-8, +4=-x-8+4=20 1 3 3 VA 综上，满足条件的点Q坐标为6)我8)或(89】 7.。(吉林省名校调研系列卷2025206学年八年级数学下学期期中试题)已知直线y=方+3与x轴、) 轴分别交于点A、B,点P是线段AB上的动点，点C是x轴上的动点，作直线PC. B 图① 图② (I)求A,B两点的坐标； (2)如图①，连结BC,若△BCP是以BP为斜边的等腰直角三角形，求直线PC的函数关系式： (3)如图②，作PM⊥x轴于点M,以PM为边向右作正方形PMNR,边NR交直线AB于点Q,若 AQ=PC,AN=OC,直接写出点P的坐标. 【答案】(1)A6,0),B(0,3) 44/47 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 11 (②)y= 3 ⑧点P的生标为号)号》 612 【分析】(1)由题意可得：当x=0时，y=3,当y=0时，x=6,可得A(6,0),B(0,3; (2)如图，过P作PQ⊥AO于0，设Cm,0),证明aBCO≌aCPQ(AAS),可得P(m+3,m),求解m=1, 得到点P的坐标，再运用待定系数法求解即可； (3)设P-n+3则0M=a,N=PR=MN=PM=+3,ON=OM+Mw=+3,可得 3n+3,-131 一n 4 +2,进而得出点Q是Rv的中点，从而证明sPRQ≌△ANQ(AAS),得到PQ=A0=PC.分 两种情况讨论：①当点C在点M的左侧；②当点C在点M的右侧，分别表示出OC,AN,根据AN=OC 列出方程，求解即可. 【详解】0)解：对于直线少=之+3，令x=0,则=3 令=0，则-+3=0，解得x=6, A6,0,B0,3). (2)解：如图，过P作P2⊥AO于Q,设Cm,0), B ∴.∠BOC=∠PQC=90°， :△BCP是以BP为斜边的等腰直角三角形， .BC=CP,∠BCP=90°， 、∠BCO=90°-∠PCQ=∠CPQ, △BCO≌△CPQ(AAS), ∴OC=PQ=m>0,OB=CQ=3, P(m+3,m, 1 :P在直线y=-2x+3上， 45/47 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 m+3)+3=m, 1 解得：m=1, C1,0),P(4,1, 设直线PC的解析为y=kc+b, :直线PC过点C(1,0,P(4,1, [k+b=0 k= 1 3 (4秋+b=1'解得 b= 3 11 “直线PC的函数关系式为y=x- 3 2+3 1 (3)解：设Pn, P在线段AB上， 1 OM=n,PM=-。n+3, 2 :四边形PMNR是正方形， :RN=PR=MN=PM=-n+3,∠R=∠PMN=∠RNM=90°， 2 (11 .ON=OM+MW=n+-。n+3=。n+3, 2 2 点0的横坐标为三n+3, 1 3 把xn+3代入函数y=x+3,得yn+ 4 n*3+ 4”2 ON= 1.3 4”+2' :RN=-2m+3, QN=RN,即点Q是RY的中点， .RO=NO, :在正方形PMNR中，PR∥x轴， ∠RPQ=∠NAQ,∠R=∠ANQ, △PRQ≌△ANQ(AAS), .P0=A0, 46/47 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A0=PC, .PO=PC. ①当点C在点M的左侧时，如图所示： B :∠R=∠PMC=90°，PQ=PC,PR=PM .RtAPRO≌RtAPMC(HL), .CM =Re-NO--+3 4 2 .OC =OM-CM =n- 1.3)53 -n+ =n 4 24”2 :△PRQ≌△ANQ, 1 :AN=PR=-。n+3, 2 .AN=OC, 5n--n+3,解得n=18 六4”22 》 ②当点C在点M右侧时，如图所示： B R OMC N 1333 同理可得：OC=OM+CM=n+ +2)4 41 ,N=PR=- + n+3, AN=OC, 331 6 一n+= n+3,解得n= 422 51 p612 5'5 综上所达，点P的单标为》）(9》 47/47 题号猜押09 云南中考数学27题（解答题） 考点1 圆与相似三角形综合应用 1．（2026·云南昆明·一模）如图，为的外接圆，且为的直径，为的中点，连接交于点，连接，，过点作交其延长线于点． (1)若，求的度数； (2)求证：为的切线； (3)想一想，证一证，以下三个结论：，，，你认为哪个正确？请说明理由． 2．（2026·云南玉溪·一模）如图，四边形内接于，是的直径，连接，点是外一点，且，过点作，垂足为点． (1)若，直接写出的长； (2)求证：直线是的切线； (3)探究，发现与证明：已知，，是否存在常数，使等式成立？若存在，请直接写出的值，并证明你写出的的值，使等式成立；若不存在，请说明理由． 3．（2026·云南大理·一模）如图，是的直径，点是上异于、的点，点是延长线上一点，于点，且平分，点是弧上一动点（不与、重合），连接交于点，设的半径为． (1)当，求； (2)求证：是的切线； (3)在点的移动过程中，是否存在常数，，使等式成立？若存在，请直接写出一个，的值，并证明你写出的，的值，使成立；若不存在，请说明理由． 考点2 圆与勾股定理、三角形全等综合应用-割补法 1．（2026·云南红河·一模）自然界是几何的宝库，几何之美是生活中最无声却又最动人的旋律，让我们的世界充满了惊喜与奇迹，圆是几何中最美的图形之一．如图，是四边形的外接圆，半径为，过点作交的延长线于点平分． (1)在图1中，若是的直径．求证：是的切线； (2)在（1）的条件下，若，求线段的长； (3)在图2中，若、，求的最大值． 2．（2026·云南文山·一模）如图，是的直径，是的弦，点D是的中点．过点D作交的延长线于点E．四边形内接于，是的直径，连接． (1)若，求的度数； (2)求证：是的切线； (3)若，试探究线段之间的数量关系． 3．（2025·云南昆明·二模）如图，是的直径，内接于，点D是的中点，连接交于点E，连接交于点F，过点B作交延长线于点G，连接． (1)求证：； (2)求证：是的切线； (3)若F是的中点，请探究、与之间的数量关系，并说明理由． 考点3 圆与锐角三角函数综合应用 1．（2026·云南大理·一模）如图所示，是的外接圆，延长至点D，使得，P是半圆上一动点（点P在左上半圆，且不与点A，C重合），连接，，，． (1)若，求的度数； (2)求证：是的切线； (3)看一看，想一想，证一证：若，以下与线段，，有关的三个结论：，，，你认为哪个正确？请说明理由． 2．（2025·云南昆明·二模）如图，四边形内接于，，，，垂足为点E，是的直径，点P是弧上异于点A、D的一点，点Q在的延长线上，且，与交于点M，设，． (1)若，直接写出的度数； (2)求证：直线是的切线； (3)若，，以下三个结论：，，，你认为哪个正确？请说明理由． 考点4 四边形综合应用 1．（2026·安徽池州·二模）如图，在等腰中，，连接、、． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，求证：四边形是菱形； (3)如图3，若，且，求的值． 2．（21-22九年级下·浙江衢州·月考）在四边形中，与互相垂直且平分． (1)【推理探究】如图1，已知，点是线段上任意一点，交于点，垂足为点，求证：． (2)【类比应用】如图2，已知，点在的延长线上，且，交的延长线于点，，求的值． (3)【拓展延伸】如图3，已知，点是的三等分点，交直线于点，垂足为点，，求的值． 1．（2026·云南保山·一模）如图，是的内接等腰三角形，，点E是劣弧上的动点（与点A，点C均不重合），连接，连接并延长交的延长线于点D，过点A作直线． (1)若，求的度数； (2)求证：是的切线； (3)探究、发现与证明：是否存在常数m和n，使等式成立？若存在，请直接写出m和n的值，并证明成立；若不存在，请说明理由． 2．（2026·云南楚雄·一模）如图，C是以为直径的上一点，于点D，过点B作的切线，与的延长线相交于点E，F是的中点，连接并延长与相交于点G，连接并延长与的延长线相交于点H，的半径为3． (1)若，求点C和点B间的距离； (2)求证：是的切线； (3)当时，请判断下列结论哪个成立？①，②，③，并说明理由． 3．（2025·云南大理·一模）如图，是四边形的外接圆，是四边形的对角线，恰为的直径，，点在劣弧上，过点作，交的延长线于点，平分．    (1)求的度数； (2)求证：是的切线； (3)若，P是劣弧CD上的一个动点，不与C，D重合，连接AP，CP，DP，DG⊥AP于点G，求的值． 4．（2025·云南楚雄·二模）如图，在中，，为边上的一点，以为圆心，为半径的圆与切于点，与交于另一点． (1)求证：平分； (2)若，，求的长； (3)在（2）的条件下，直接写出的值． 5．（2025·云南昆明·二模）如图，是的外接圆，是的平分线，分别交于点，交于点，平分，延长交于点，过点作，垂足为点． (1)若，求的度数； (2)求证：是的切线； (3)看一看，想一想，证一证：以下与线段、线段、线段有关的三个结论：，，，你认为哪个正确？请说明理由． 6．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点．点为的中点，点在线段上，，点为线段上一动点，连接、． (1)求直线的表达式； (2)若的面积为20，求点坐标； (3)在（2）的条件下，点在轴上，点在直线上，是否存在以、、、为顶点的四边形为平行四边形．若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 7．（吉林省名校调研系列卷2025-2026学年八年级数学下学期期中试题）已知直线与轴、轴分别交于点、，点是线段上的动点，点是轴上的动点，作直线． (1)求A，B两点的坐标； (2)如图①，连结，若是以为斜边的等腰直角三角形，求直线的函数关系式； (3)如图②，作轴于点，以为边向右作正方形，边交直线于点．若，直接写出点的坐标． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $