2026年中考数学提分必刷训练二次函数中线段周长的存在性问题专题提升训练

**基本信息** 聚焦二次函数与几何综合，以线段周长存在性为核心，通过典例系统提炼轴对称、面积转化等解题模型，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础求解|4题|待定系数法求解析式、顶点坐标公式|从二次函数表达式到图象性质，构建代数与几何的关联| |几何性质应用|3题|勾股定理逆定理、角度转化证明|结合坐标系分析图形特征，发展空间观念| |动态最值问题|5题|轴对称最短路径、二次函数最值法、平行线距离转化|以动点问题为载体，渗透模型观念，提升综合应用能力|

2026年中考数学提分必刷训练二次函数中线段周长的存在性问题专题提升训练 1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴相交于点． （1）求抛物线的解析式和顶点的坐标； （2）找出图中与相等的一个角，并证明； （3）若点是第二象限内抛物线上的一点，当点到直线的距离最大时，求点的坐标． 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，交轴于点，直线交抛物线对称轴于点，为轴下方抛物线上一点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)直线，分别交对称轴于点，，当点，均在点的下方时，求证：为定值． 3．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）．    (1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标； (2)判断△ABC的形状，证明你的结论； (3)点M是对称轴上的一个动点，当△ACM的周长最小时，求点M的坐标及△ACM的周长． 4．如图，抛物线与x轴交于、两点，与轴交于点，且． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)判断的形状，证明你的结论； (3)点是抛物线对称轴上的一个动点，当周长最小时，求点的坐标及的最小周长； (4)在该抛物线位于第四象限内的部分上是否存在点，使得的面积最大？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 5．如图，已知抛物线与x轴相交于、两点，并与直线交于、两点，其中点是直线与轴的交点，连接．    (1)求、两点坐标以及抛物线的解析式； (2)证明：为直角三角形； (3)求抛物线的顶点的坐标，并求出四边形的面积； (4)在抛物线的对称轴上有一点，当周长的最小时，直接写出点的坐标． 6．如图，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于点A，B两点，OA＝1，与y轴交于点C，连接AC，tan∠OAC＝3，抛物线的对称轴与x轴交于点D． (1)求点A，C的坐标； (2)若点P在抛物线上，且满足∠PAB＝2∠ACO，求直线PA与y轴交点的坐标； (3)点Q在抛物线上，且在x轴下方，直线AQ，BQ分别交抛物线的对称轴于点M、N．求证：DM+DN为定值，并求出这个定值． 7．已知，如图，抛物线与轴正半轴交于、两点，与轴交于点，直线经过、两点． (1)求抛物线的解析式； (2)为抛物线上一点，若点关于直线对称点落在轴上，直接写出点坐标； (3)现将抛物线平移，保持顶点在直线上，若平移后的抛物线与直线交于、两点，求证：的长度为定值． 8．如图，已知抛物线是常数的顶点为，直线：．    (1)求证：点在直线上； (2)若，直线与抛物线的另一个交点为，与轴交点为，恰好是线段的中点，求的值； (3)如图，当时，抛物线交轴于A、两点，、在抛物线上，满足，判断是否恒过一定点，如果过定点，求出定点坐标；如果不过定点，说明理由． 9．如图1，二次函数的图象交轴于，两点（点在点左侧），交轴于点，且，直线：交图象于，两点（点在点左侧）．    (1)求该二次函数的解析式； (2)已知点，当，且时，求的值，并求出点、的坐标； (3)如图2，设图象的顶点为，线段的中点为，连接，求证：不论取何值，的值不变． 10．如图1，抛物线M1：y＝﹣x2+4x交x正半轴于点A，将抛物线M1先向右平移3个单位，再向上平移3个单位得到抛物线M2，M1与M2交于点B，直线OB交M2于点C． （1）求抛物线M2的解析式； （2）点P是抛物线M1上AB间的一点，作PQ⊥x轴交抛物线M2于点Q，连接CP，CQ．设点P的横坐标为m，当m为何值时，使△CPQ的面积最大，并求出最大值； （3）如图2，将直线OB向下平移，交抛物线M1于点E，F，交抛物线M2于点G，H，则的值是否为定值，证明你的结论． 11．将抛物线向下平移6个单位长度得到抛物线，再将抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线．        （1）直接写出抛物线，的解析式； （2）如图（1），点在抛物线对称轴右侧上，点在对称轴上，是以为斜边的等腰直角三角形，求点的坐标； （3）如图（2），直线（，为常数）与抛物线交于，两点，为线段的中点；直线与抛物线交于，两点，为线段的中点．求证：直线经过一个定点． 12．已知抛物线y ＝kx2－4kx＋3k（k＞0），与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），在与y轴交于点C，顶点为D． （1）如图1，当△ABD为等边三角形时，求k的值； （2）点E为x轴下方抛物线y ＝kx2－4kx＋3k（k＞0）上一动点． ①如图2，抛物线的对称轴DH交x轴于点H，直线AE交y轴于点M，直线交对称轴DH于点N，求的值； ②如图3，若k ＝1，点F在x轴上方的抛物线上，EF交x轴于G，且∠FBA＝∠EBA，FM⊥x轴于M，求证：FM ＝2MG． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．解：（1）把和代入中， 得， 解得， 抛物线的解析式是：， 顶点坐标； （2）图中与相等的一个角是， 令，则，，， . ， ， 在中，， ，，， ，； ， ∴是直角三角形,， ， 又和都是锐角， ， ， 即； （3）设点的坐标为， ∵一定，当点到直线的距离最大时，的面积最大， 过作轴，垂足为，交于.易求直线的表达式为， 所以点坐标为， ∴PE=， ， ∵，抛物线开口向下，对称轴， 当时，最大，点到直线的距离最大， ∴， 点的坐标是． 2．（1）解：抛物线经过点，， ， 解得，                                   抛物线的函数表达式为； （2）证明：，当时，， ， ∴设直线的解析式为， 把点代入，得：， ∴直线的函数表达式为， 抛物线对称轴交直线于点，对称轴为直线， 当时，， ， 如图，设点， ， 设直线的函数表达式为， 将点的坐标代入，得，则， 直线的函数表达式为， 当时，， ， ． 同理可得，直线的函数表达式为，                      当时，， ， ， ． 为定值． 3．(1)，D（，﹣）； (2)△ABC是直角三角形，证明见解析； (3)M（，﹣），3 【分析】（1）直接将（﹣1，0）代入解析式进而得出答案，再利用配方法求出顶点坐标； （2）先求出点C、B的坐标，然后分别求出＝25，，，进而利用勾股定理的逆定理得出结论； （3）利用轴对称最短路线求法得出M点位置，求出直线BC的解析式，可得点M的坐标，然后根据△ACM的最小周长为AC＋AM＋MC＝AC＋BC计算即可． 【详解】（1）解：∵点A（﹣1，0）在抛物线上， ∴×＋b×（﹣1）﹣2＝0， 解得：b＝﹣， ∴抛物线的解析式为， ∵， ∴顶点D的坐标为：（，﹣）； （2）当x＝0时y＝﹣2， ∴C（0，﹣2），OC＝2， 当y＝0时，即， 解得：＝﹣1，＝4， ∴B（4，0）， ∴OA＝1，OB＝4， ∴AB＝5， ∵＝25，，， ∴， ∴△ABC是直角三角形； （3）如图，连接AM， 点A关于对称轴的对称点为点B，BC交对称轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC＋MA的值最小，最小值为BC的长，即此时△ACM周长最小， 设直线BC解析式为：y＝kx＋d， 代入C（0，﹣2），B（4，0）得：， 解得：， 故直线BC的解析式为：y＝x﹣2， 当x＝时，y＝﹣， ∴M（，﹣）， ∴△ACM最小周长是：AC＋AM＋MC＝AC＋BC＝＋2＝3．    【点睛】此题主要考查了待定系数法，二次根式的图象和性质，一次函数的图象和性质，利用轴对称求最短路线，勾股定理及其逆定理的应用等知识，根据轴对称的性质得出M点位置是解题关键． 4．(1)抛物线的解析式为：； (2)是直角三角形 (3)，的最小周长为： (4)存在， 【分析】（1）根据点在抛物线上，解出，得到抛物线的解析式，根据顶点坐标公式，即可求出点的坐标； （2）根据（1）得抛物线的解析式，求出点的坐标，根据勾股定理的逆定理即可； （3）当点在与对称轴的交点上，根据点，点是对称点，连接，则且，，三点在一条直线上，距离最短，设的解析式为：，求出的解析式，则得到点的坐标，即可； （4）以为底，则，当点到的距离最远时，的面积最大如图所示，作直线,当直线与抛物线仅有一个交点时，最大，交点即为点． 【详解】（1）∵点在抛物线上， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为：； ∵顶点坐标公式为：， ∴点． ∴抛物线的解析式为：；． （2）∵抛物线与轴交于点， ∴，， ∴， ∵抛物线与轴交于点，点， ∴， ∴，， ∴点， ∴，，， ∵；；， ∴， ∴是直角三角形． （3）∵点，点是对称点，点在与对称轴的交点上， ∴ 此时，，三点在一条直线上，距离最短， ； 设的解析式为：， ∴， 解得：， ∴ 当时，， ∴点； ∴点的坐标为，的最小周长为：． （4）存在，理由如下： ∵以为底， ∴， 当点到的距离最远时，的面积最大，作直线，且与仅有一个交点， 设直线的解析式为， ∵， ∴，即， ∵直线与仅有一个交点， ∴仅有一个实数根， ∴，解得， ∴直线的解析式为：， 由，解得， ∴点． 【点睛】本题考查二次函数与几何的综合，解题的关键是掌握待定系数法求解析式，勾股定理的逆定理，线段的距离． 5．(1)，， (2)证明见解析 (3)， (4) 【分析】（1）先由直线与x轴、y轴分别交于点B、点C求得B，C的坐标，再将其代入列方程组求出a、c的值，即可求解； （2）先求得A的坐标，根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形； （3）连接，根据进行求解即可； （4）因为的长为定值，所以当的值最小时，则的周长最小，当点P与点E重合时，的值最小，求出点E的坐标即可． 【详解】（1）解：在直线中，当时，，当时，， ∴，， ∵抛物线经过点和点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）证明：在中，当时，则， 解得，， ∴． ∵，， ∴，，， ∴，即． ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （3）解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线的顶点的坐标是； 如图1，连接，    ∴， ∴四边形的面积是． （4）解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线的对称轴为． 如图，设抛物线的对称轴：与直线交于点E，    点P是直线上的点，连接． ∵垂直平分， ∴，， ∴． ∵为定值， ∴当的值最小时，的周长最小． ∵， ∴当点P与点E重合时，， ∴此时最小． ∵直线， 当时，， ∴， ∴当的周长最小时，点P的坐标为． 【点睛】此题重点考查一次函数的图象与性质、二次函数的图象与性质、用待定系数法求函数关系式、勾股定理及其逆定理的应用、轴对称的性质、两点之间线段最短等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题． 6．(1)点A、C的坐标分别为（1，0）、（0，﹣3） (2)直线PA在与y轴交点的坐标为（0，）或（0，） (3)证明见解析，DM+DN＝8 【分析】（1）根据OA＝1，tan∠OAC＝3，，解直角三角形可得，进而即可求得的坐标 （2）根据待定系数求得二次函数解析式，分两种情形讨论，①若点P在x轴下方，延长AP到H，使AH＝AB，过点B作BI⊥x轴，连接BH，作BH中点G，连接并延长AG交BI于点F，过点H作HI⊥BI于点I，令求得点    的坐标，进而在Rt△AOC中，sin∠ACO，Rt△ABG中，∠AGB＝90°，sin∠BAG，进而求得的长，在Rt△BHI中，∠BIH＝90°，求得HI，进而求得的坐标，直线AH的表达式，即可求得直线PA在与y轴交点的坐标；②若点P在x轴上方，在AP上截取AH'＝AH，则H'与H关于x轴对称，同理可得，直线AH'：yx，继而求得直线PA在与y轴交点的坐标； （3）设Q（t，t2+2t﹣3）（﹣3＜t＜1），由点A、Q的坐标得，直线AQ：y＝（t+3）x﹣t﹣3，同理可得，直线BQ：y＝（t﹣1）x+3t﹣3，进而求得，计算DM+DN＝8，为定值． 【详解】（1）∵OA＝1，tan∠OAC＝3， 则OC＝OAtan∠OAC＝3， 故点A、C的坐标分别为（1，0）、（0，﹣3）， （2）抛物线y＝x2+bx+c经过点A（1，0），C（0，﹣3）， ∴，解得， ∴抛物线的函数表达式为y＝x2+2x﹣3； ①若点P在x轴下方，如图1， 延长AP到H，使AH＝AB，过点B作BI⊥x轴，连接BH，作BH中点G，连接并延长AG交BI于点F，过点H作HI⊥BI于点I， ∵当x2+2x﹣3＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝1， ∴B（﹣3，0）， ∵A（1，0），C（0，﹣3）， ∴OA＝1，OC＝3，AC，AB＝4， ∴Rt△AOC中，sin∠ACO，cos∠ACO， ∵AB＝AH，G为BH中点， ∴AG⊥BH，BG＝GH， ∴∠BAG＝∠HAG，即∠PAB＝2∠BAG， ∵∠PAB＝2∠ACO， ∴∠BAG＝∠ACO， ∴Rt△ABG中，∠AGB＝90°，sin∠BAG， ∴BGAB，   ∴BH＝2BG， ∵∠HBI+∠ABG＝∠ABG+∠BAG＝90°， ∴∠HBI＝∠BAG＝∠ACO， ∴Rt△BHI中，∠BIH＝90°，sin∠HBI，cos∠HBI， ∴HIBH，BIBH， ∴xH＝﹣3，yH，即H（，）， 由点A、H的坐标的，直线AH的表达式为：yx， 故直线PA在与y轴交点的坐标为（0，）； ②若点P在x轴上方，如图2， 在AP上截取AH'＝AH，则H'与H关于x轴对称， ∴H'（，）， 同理可得，直线AH'：yx， 故直线PA在与y轴交点的坐标（0，）； 综上，直线PA在与y轴交点的坐标为（0，）或（0，）； （3）DM+DN为定值， ∵抛物线y＝x2+2x﹣3的对称轴为：直线x＝﹣1， ∴D（﹣1，0），xM＝xN＝﹣1， 设Q（t，t2+2t﹣3）（﹣3＜t＜1）， 由点A、Q的坐标得，直线AQ：y＝（t+3）x﹣t﹣3， 当x＝﹣1时，yM＝﹣t﹣3﹣t﹣3＝﹣2t﹣6， ∴DM＝0﹣（﹣2t﹣6）＝2t+6， 同理可得，直线BQ：y＝（t﹣1）x+3t﹣3， 当x＝﹣1时，yN＝﹣t+1+3t﹣3＝2t﹣2， ∴DN＝0﹣（2t﹣2）＝﹣2t+2， ∴DM+DN＝2t+6+（﹣2t+2）＝8，为定值． 【点睛】本题考查了二次函数综合，待定系数法求解析式，轴对称的性质，解直角三角形，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 7．(1) (2) (3)见解析 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质. （1）求出A，C点的坐标，再将点坐标代入，即可得解； （2）先求出，再由对称性可知轴，即可求出点P的纵坐标，最后利用二次函数的解析式求出结果； （3）先求出平移后的抛物线，再利用，得，，最后利用两点间的距离公式求解即可. 【详解】（1）解：在中，令，得，令，得， ∴，； ∵抛物线与x轴正半轴交于A、B两点，与y轴交于点C， ∴将点，坐标代入得： ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图， ∵， ∴， ∵点P关于的对称点Q在y轴上， ∴， ∴,即轴， ∴点P的纵坐标为， 令， 解得或（舍去）， ∴； （3）解：设平移后的抛物线的顶点为， ∴平移后的抛物线的解析式为， 令， 整理得， 设，， ∴，， ∴， ∴的长度为． 8．(1)证明见解析 (2) (3)经过定点，直线经过定点 【分析】（1）求出，判断点在直线上即可； （2）联立，则，由韦达定理可得，可知点横坐标为，再由中点坐标公式可得，即可求； （3）设直线的解析式为，联立，得到，由韦达定理可得，，过点作轴交于点，过点作轴交于点，可证明，则，即，可求与的关系为：，则直线的解析式为，当时，，由此可知直线经过定点． 【详解】（1）解：， ， 将代入，得， 点在直线上； （2）对于直线， 当时，， ， 联立， ， ， 点横坐标为， 恰好是线段的中点， ， ； （3）存在，理由如下： 当时，， 令，则， ， 设，， 设直线的解析式为， 联立， ， ，， 过点作轴交于点，过点作轴交于点，则，    ， ，， ， ∴， ， ，，，， ，即， ∴，. 即， 把，代入得， ， ∴ ， 当时，， 直线经过定点． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数与一次函数的图象及性质、相似三角形的判定和性质、求函数交点坐标、一元二次方程根与系数关系等知识，灵活应用一元二次方程根与系数关系是解题的关键． 9．(1) (2)；， (3)不论k取何值，的值不变，都是 【分析】（1）令，得，得出，根据求出，把代入，求出的值即可； （2）连接证明，得到，根据中点坐标公式求出点的坐标，代入，求出的值，进而联立直线解析式与抛物线解析式，求得的坐标； （3）设，联立方程，得到，根据两点间距离公式可求出，再根据顶点坐标公式以及中点坐标公式分别求出，求出，从而求出． 【详解】（1）令，则， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴， 把代入， 得：， 解得，， ∴二次函数的解析式为：； （2）连接设与交于点，如图，        ∵ ∴ 在和中， ， ∴， ∴ ∵ ∴即 把代入，得：， 解得，； ∴直线为：， 联立， 解得：或， ∵点在点左侧， ∴，； （3）设， ∵点，是直线 与抛物线的交点， ∴联立方程得，， 整理得， ∴ 又 ∴， ∴ ∵ ∴抛物线的顶点坐标为 又线段的中点为， ∴，即， ∴， ∴， 故，不论取何值，的值不变，都是． 【点睛】本题主要考查了运用待定系数法求二次函数解析式，二次函数性质的综合运用，两点间距离公式，全等三角形的判定与性质以及中间坐标公式等知识，综合运用所学知识是解答本题的关键． 10．（1）y＝﹣x2+10x﹣18；（2）4，6；（3）定值1，见解析 【分析】（1）先将抛物线M1：y=-x2+4x化为顶点式，由平移规律“上加下减，左加右减”可直接写出抛物线M2的解析式； （2）分别求出点A，点B，点C的坐标，求出m的取值范围，再用含m的代数式表示出△CPQ的面积，可用函数的思想求出其最大值； （3）设将直线OB向下平移k个单位长度得到直线EH，分别求出点E，F，G，H的横坐标，分别过G，H作y轴的平行线，过E，F作x轴的平行线，构造相似三角形△GEM与△HFN，可通过相似三角形的性质求出的值为1． 【详解】解：（1）∵y＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4， ∴将其先向右平移3个单位，再向上平移3个单位的解析式为：y＝﹣（x﹣5）2+7＝﹣x2+10x﹣18； （2）∵抛物线M1与M2交于点B， ∴﹣x2+4x＝﹣x2+10x﹣18， 解得，x＝3， ∴B（3，3）， 将点B（3，3）代入y＝kx， 得，k＝1， ∴yOB＝x， ∵抛物线M2与直线OB交于点C， ∴x＝﹣x2+10x﹣18， 解得，x1＝3，x2＝6， ∴C（6，6）， ∵点P的横坐标为m， ∴点P（m，﹣m2+4m）， 则Q（m，﹣m2+10m﹣18）， ∴QP＝﹣m2+10m﹣18﹣（﹣m2+4m）＝6m﹣18， ∴S△PQC＝（6m﹣18）（6﹣m） ＝﹣3m2+27m﹣54， ＝﹣3（m﹣）2+， 在y＝﹣m2+4m中，当y＝0时， x1＝0，x2＝4， ∴A（4，0）， ∵B（3，3）， ∴3≤m≤4， ∴在S＝﹣3（m﹣）2+中，根据二次函数的图象及性质可知，当m＝4时，△PCQ有最大值，最大值为6； （3）的值是定值1，理由如下： 设将直线OB向下平移k个单位长度得到直线EH， 则yEH＝x﹣k， ∴令x﹣k＝﹣x2+4x， 解得，x1＝，x2＝， ∴xF＝，xE＝， 令x﹣k＝﹣x2+10x﹣18， 解得，x1＝，x2＝， ∴xH＝，xG＝， ∴ME＝xG﹣xE＝﹣＝3， FN＝xH﹣xF＝＝3， 分别过G，H作y轴的平行线，过E，F作x轴的平行线，交点分别为M，N，Q， 则∠HFN＝∠GEM，∠HNF＝∠GME＝90°， ∴△GEM∽△HFN， ∴＝＝＝1， ∴的值是定值1． 【点睛】本题考查了二次函数的图象平移规律，二次函数的图象及性质，相似三角形的判定与性质等，解题关键是掌握用函数的思想求极值等． 11．（1）抛物线的解析式为： y=x2-4x-2；抛物线的解析式为：y=x2-6；（2）点的坐标为（5，3）或（4，-2）；（3）直线经过定点（0，2） 【分析】（1）根据函数图象上下平移：函数值上加下减；左右平移：自变量左加右减写出函数解析式并化简即可； （2）先判断出点A、B、O、D四点共圆，再根据同弧所对的圆周角相等得到∠BDA=∠BOA=45°，从而证出是等腰直角三角形．设点A的坐标为（x，x2-4x-2），把DC和AC用含x的代数式表示出来，利用DC=AC列方程求解即可，注意有两种情况； （3）根据直线（，为常数）与抛物线交于，两点，联立两个解析式，得到关于x的一元二次方程，根据根与系数的关系求出点M的横坐标，进而求出纵坐标，同理求出点N的坐标，再用待定系数法求出直线MN的解析式，从而判断直线MN经过的定点即可． 【详解】解：（1）∵抛物线向下平移6个单位长度得到抛物线，再将抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线， ∴抛物线的解析式为：y=(x-2)2-6，即y=x2-4x-2， 抛物线的解析式为：y=(x-2+2)2-6，即y=x2-6． （2）如下图，过点A作AC⊥x轴于点C，连接AD，    ∵是等腰直角三角形， ∴∠BOA =45°， 又∵∠BDO=∠BAO=90°， ∴点A、B、O、D四点共圆， ∴∠BDA=∠BOA=45°， ∴∠ADC=90°-∠BDA=45°， ∴是等腰直角三角形， ∴DC=AC． ∵点在抛物线对称轴右侧上，点在对称轴上， ∴抛物线的对称轴为x=2， 设点A的坐标为（x，x2-4x-2）， ∴DC=x-2，AC= x2-4x-2， ∴x-2= x2-4x-2， 解得：x=5或x=0（舍去）， ∴点A的坐标为（5，3）； 同理，当点B、点A在x轴的下方时， x-2= -(x2-4x-2)， x=4或x=-1（舍去）， ∴点的坐标为（4，-2）， 综上，点的坐标为（5，3）或（4，-2）． （3）∵直线（，为常数）与抛物线交于，两点， ∴， ∴x2-kx-6=0， 设点E的横坐标为xE，点F的横坐标为xF， ∴xE+xF=k， ∴中点M的横坐标xM==， 中点M的纵坐标yM=kx=， ∴点M的坐标为（，）； 同理可得：点N的坐标为（，）， 设直线MN的解析式为y=ax+b（a≠0）， 将M（，）、N（，）代入得： ， 解得：， ∴直线MN的解析式为y= ·x+2（）， 不论k取何值时（），当x=0时，y=2， ∴直线经过定点（0，2）． 【点睛】本题考查二次函数综合应用，熟练掌握图象平移的规律、判断点A、B、O、D四点共圆的方法、用待定系数法求函数解析式的步骤是解题的关键． 12．（1）；（2）①2；②见解析 【分析】（1）令y=0，则x=1或3，求出A，B点的坐标，过点D作DP⊥x轴，求出点D坐标，根据顶点坐标公式可得解； （2）①设E（p，kp2-4kp+3k），分别求出AE、BE的解析式，进一步用含k的代数式表示MO，NH，DH，即可得出结论；②设点F（xF，yF），E（xE，yE），根据三角函数列出比例关系，求出相关线段之间的数量关系，得出tan∠FGO的值，从而可得结论． 【详解】解：（1）令y=0，则x=1或3， ∴A（1，0）、B（3，0）， ∴AB=2， ∵△ABD为等边三角形， ∴AB=BD=AD=2 过点D作DP⊥x轴，则有： AP= DP= ∴OP=OA+AP=1+1=2 ∴D（2，）， ∴，解得：k=； （2）①设E（p，kp2-4kp+3k），AE解析式为：y=mx+n，BE解析式为y=sx+t 由（1）知A（1，0），B（3，0），把A，E代入y=mx+n得： ， 解得，， ∴AE解析式为y=k（p-3）x-k（p-3）， ∵当x=0时，y=k（p-3）， ∴MO=k（3-p）， 同理：BE解析式为y=k（p-1）x-3k（p-1）， ∵D（2，-k）， 当x=2时，y=-k（p-1）， ∴HN=k（p-1）， 又HD=k， ∴； ②过点E作EL⊥x轴于L，设F（xF，yF），E（xE，yE）， 设直线EF解析式为y=ax+b， ∵k=1， ∴y=x2-4x+3， ∴联立方程组， ∴x2-（4+a）x+3-b=0， ∴xE+xF=4+a，xE•xF=3-b ∵∠FBA=∠EBA，∠FMB=∠ELB=90°， ∴tan∠FBA=tan∠EBA， ∴ ， 又B（3，0）， ∴， ∴yF（3-xE）=-yE（3-xF）， ∴（axF+b）（3-xE）=-（axE+b）（3-xF）， ∴3a（xE+xF）-2axE•xF+6b-b（xE+xF）=0， ∴3a2+6a+2b+ab=0， ∴a（3a+b）+2（3a+b）=0， ∴（a+2）（3a+b）=0， ∴a=-2或3a+b=0， 当3a+b=0时直线EF经过点B，不合题意， ∴a=-2， ∴y=-2x+b， ∴G（，0）， ∴, ∴． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、等边三角形的性质、一元二次方程根与系数的关系的运用等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $