2026年中考数学专题提升训练 二次函数中线段周长存在性问题

二次函数中线段周长存在性问题专题提升训练-2026年中考数 学提分必刷训练 1.如图，直线片=：-3与抛物线⅓=xX2+x+c交于A(3,0)、B两点，抛物线 乃=x2+bx+c与x轴的另一个交点为C. (1)求直线和抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使得PB+PC的值最小，若存在，请求出点P的坐 标；若不存在，请说明理由. 2.如图，已知抛物线L:y=x2+bx+c经过点A(-1,0),B(3,0). (1)确定该抛物线的函数表达式： (2)连接BC,交抛物线L的对称轴于点D. ①求点D的坐标； ②将抛物线L向左平移m(m>0)个单位长度得到抛物线L'.抛物线L的对称轴交抛物线L' 于点E,抛物线L'的对称轴交抛物线L于点F.当DE=2EF时，求m的值. 3.如图，抛物线y=ax2+bx+c经过三点A(-1,0),B(3,0),C(0,3). 试卷第1页，共3页 备用图 (1)求此抛物线的解析式： (2)点P是直线BC上方的抛物线上的一个动点（不与点B、C重合），过点P作x轴的垂线， 垂足为F,交直线BC于点E,作PD⊥BC于点D,当动点P在什么位置时，线段PD的长 最大，求线段PD的最大值，并求此时P点的坐标： 4.如图，已知抛物线y=x2+bx+c过点A1,0)、B(0,-3),点C的坐标为2，m). B (1)求此抛物线对应的函数解析式： (2)直接写出抛物线的对称轴； (3)点P是抛物线对称轴上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标； (4)点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点B、C、M、N为顶点的四边 形是平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由， 5.如图，抛物线C:y=x2-bx过点(3,0)，顶点为M. C (1)求b的值及点M的坐标： 试卷第1页，共3页 (2)点Qxo,yo)在G上，若1<xg<4,直接写出yo的取值范围： 7 (3)抛物线C,:y=-x2+(21-4)x-2+41(t为常数，且二≤t<6),顶点为N.G与C,交于 A,B(A在B的左侧)两点 ①当t=4时，求C在点A,B之间（含边界）的整点（横、纵坐标均为整数的点）个数： ②连接AB,MN,且AB与MN交于点P,直接写出点P的纵坐标， 6.在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+b.x+3与x轴交于A(-3,0),B(1,0)两点，与y轴 交于点C,作直线AC. (1)求抛物线的解析式： (2)点P是x轴上一动点，过点P作PM∥y轴，交直线AC于点M,交抛物线于点N,设点 P的横坐标为m. ①当点P在线段A0(点P不与点A,O重合)上运动时，过点N作NH⊥AC,垂足为H, 线段NH的长度是否存在最大值？若存在，求出NH长度的最大值及此时点N的坐标；若不 存在，请说明理由。 ②当MN>2时，直接写出m的取值范围. 7.如图1，抛物线y=mx2+(m+3)x+3(m≠0)与x轴交于点A4,0),与y轴交于点B,在 x轴上有一动点E(1,0)(0<1<4),过点E作x轴的垂线交直线AB于点N,交抛物线于点P ,过点P作PM⊥AB于点M. M M 图1 图2 试卷第1页，共3页 (I)求m的值和直线AB的函数表达式： C=6 (2设aPMN的周长为G,△AEN的周长为C,若亡5，求的值： (3)如图2，在(2)的条件下，将线段OE绕点0逆时针旋转得到线段OE',旋转角为 a(0°<a<90,连接E'A、E'B,求3E'A+2EB的最小值 8.如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=2,且抛物线经过A(-1,0), C(0,-5两点，与x轴交于点B. 备用图1 备用图2 (1)求抛物线的解析式： (2)设点P为抛物线上的一个动点，连接PB、PC,若△BPC是以BC为直角边的直角三角形， 求此时点P的坐标： (3)在抛物线上有另一个动点Q,点Q在第四象限，当点Q到BC的距离最大时，求出此时点 Q的坐标及这个最大距离. 9.如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边)，点A、B的坐 标分别是-1,0、（3,0)，与y轴交于点C,点C的坐标是(0,3)，点D和点C关于抛物线的 对称轴对称. 备用图1 (1)求抛物线的解析式： (②)如图，直线AD上方的抛物线上有一点F,过点F作FG⊥AD于点G,求线段FG的最大 试卷第1页，共3页 值； (3)点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A,M,P,Q为 顶点的四边形是以AM为边的矩形，求点P的坐标 10.如图1在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4与x轴分别交于A(-2,0)、B(6,0)两 点，与y轴交于点C,顶点为点G,连接AC、BC,点P为直线BC上方抛物线上一动点， 连接AP交BC于点M. G P B 图1 图2 (1)求抛物线的函数表达式； (②当P%的值最大时，求点P的坐标及PM的最大值： AM AM (3)如图2，EF是此抛物线对称轴上长为2的一条动线段（点E在点F上方)，连接CE、 AF,当四边形ACEF周长取最小值时，直接写出点E的坐标. 11.如图，在平面直角坐标系x0y中，抛物线L:y=x2-2x-3的顶点为P,直线1过点 M(0,m)川m≥-3)，且平行于x轴，与抛物线L交于A,B两点（B在A的右侧).将抛物线 L沿直线I翻折得到抛物线L2,抛物线L交y轴于点C,顶点为D. 备用图 (1)当m=1时，求点D的坐标； 试卷第1页，共3页 (2)连接BC,CD,DB,若△BCD为直角三角形，求此时抛物线L2所对应的函数表达式； (3)在(2)的条件下，若△BCD的面积为3，E,F两点分别在边BC,CD上运动，且 EF=CD,以EF为边作正方形EFGH,连接CG,写出CG长度的最小值，并简要说明理 由. 12.如图1，己知二次函数y=-x2+2x+3的图象分别与x轴、y轴交于A、B、C三点. 图1 图2 图3 (0)如图2，若点P为抛物线上位于第一象限的一点，且am∠C8P写求点P的坐标： (②)若抛物线上有两动点F、G,且直线FG与x轴正方向夹角的正切值为2，直线BF、BG 分别与y轴交于D、E两点，证明：C为DE的中点； (3)如图3，若Q为抛物线上一动点，且QD⊥BC,QE∥y轴，点N在x轴上，四边形 CENM为平行四边形，求当DE最大时，CM+CN的最小值. 13.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx-4a≠0)与x轴交于A(-2,0)、 B(4,0两点，与y轴交于点C. VA B B D (1)求抛物线的表达式： (②)连接AC、BC,在直线BC下方的抛物线上有一动点P,过点P作PD∥y轴交BC于点 D,过点P作PE⊥AC于点E,点M为直线AC上一动点，连接MD、MP,当 2PD-√PE取得最大值时，求点P的坐标及△PDM的周长的最小值； 试卷第1页，共3页 (3)在(2)中2PD-√5PE取得最大值的条件下，将抛物线y=ax2+b.x-4a≠0沿射线AC方 向平移√5个单位长度得到抛物线y,直线BC上有一动点N,射线PN与抛物线y交于点Q, 若∠PND=∠AC0,请直接写出所有符合条件的点Q的坐标，并写出求解点Q的坐标的其 中一种情况的过程 试卷第1页，共3页 参考答案 1.(1)解：将点A(3,0)代入片=-3， 得0=3k-3,解得k=1, .直线的解析式为y1=x-3. 令x=0,则y=-3, B(0,-3). 将点A3,0),B(0,-3)代入⅓=x2+bx+c,得 9+3b+c=0 b=-2 c=-3 ，解得 c=-31 抛物线的解析式为y,=x2-2x-3 （2)抛物线的解析式为y,=x2-2x-3, 抛物线的对称轴为直线x=1. :点A与点C关于抛物线的对称轴对称， .PA=PC. PB+PC=PB+PA≥AB. 当P,A,B三点共线时，PB+PC的值最小. 如图，抛物线的对称轴与直线AB的交点即为点P, 当x=1时，片=1-3=-2， 点P(1,-2. 2.(1)y=x2-2x-3 (2)①D1,-2)；②V5+1或-1+5 答案第1页，共2页 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的平移，二次函数的几何应用，掌 握二次函数的图象和性质是解题的关键， (1)利用待定系数法解答即可： (2)由(1)可得二次函数解析式，即得抛物线☐L的对称轴为直线x=1,C(0,-3),利用 待定系数法求出直线BC的解析式，再把代入计算即可求解： (3)根据平移可得的解析式为y=(x-1+m)-4,进而可求出点E,F的坐标，最后根据 DE=2EF列出方程解答即可求解， 【详解】(1)解：已知抛物线L:y=x2+bx+c经过点A-1,0),B(3,0), 将点A、点B的坐标代入得： 1-b+c=0 9+3b+c=0’ b=-2 解得c=3 即b=-2,c=-3, :该抛物线的函数表达式为y=x2-2x-3; (2)①由(1)得：抛物线L的解析式为y=x2-2x-3=(x-1)2-4, ·抛物线L的对称轴为直线x=1, 由图可知，抛物线y=x2-2x-3与y轴相交于点C, 当x=0时，得y=-3, C(0,-3), 设直线BC的解析式为y=kx+n,将点B,点C的坐标代入得： [0=3k+n -3=n k=1 解得 n=-31 :直线BC的解析式为y=x-3, :直线BC:y=x-3交抛物线的对称轴于点D,如图， 答案第1页，共2页 B D 当x=1时，得：y=1-3=-2, D1,-2: ②：y=x2-2x-3=(x-12-4, :将抛物线L向左平移m(m>0)个单位得到抛物线L',L'的解析式为y=(x-1+m-4, ：抛物线L的对称轴为直线x=1-m, 把x=1代入y=(x-1+m)2-4得：y=(1-1+m)2-4=m2-4, .E1,m2-4, 把x=1-m代入y=(x-1)2-4得：y=(1-m-1)2-4=m2-4, .F1-m,m2-4, DE =2EF ∴m2-4-(-2)=2[1-(1-m)]或-2-(m2-4)=2[1-(1-m)], 整理得：m2-2m-2=0或m2+2m-2=0, 解得m1=√3+1，m,=1-√5（舍去），m,=-1+√5，m4=-1-5(舍去)， .m的值为V5+1或-1+√5. 3.(1)y=-x2+2x+3 ②ma-点，P层》 【分析】本题考查的是二次函数的性质、相似三角形的判定和性质. (1)运用待定系数法即可求得答案： (2)利用等腰直角三角形性质可得PD=5PE,即PE越大，PD越大，利用待定系数法可 得直线BC的解析式为y=-x+3,设Pm,-m2+2m+3,则E(m,-m+3),PE=-m2+3m, 证明△PDE∽△BOC,求出PD,再运用二次函数的性质即可求得答案， 答案第1页，共2页 【详解】(1)解：：抛物线过A(-1,0),B(3,0), :设抛物线表达式为y=a(x+1)(x-3), E B 将C(0,3)代入上式，3=a(0+1)0-3), .a=-1, .y=-x2+2x+3; （2)解：设P(m,-m2+2m+3, 设直线BC表达式为y=x+b, 将B(3,0),C(0,3)代入上式，得： [0=3k+b 3=b k=-1 解得6=3' y=-x+3, :PF⊥x轴，交BC于点E, E(m,-m+3), ·PE=yp-ye=（-m2+2m+3-(-m+3)=-m2+3m, PD⊥BC,PF⊥OB, LPDE=LBOC=∠BFE=90°， :∠PED=∠BEF, :∠DPE=∠OBC, aPDE∽△BOC, 8瓷 B(3,0,C(0,3, 答案第1页，共2页 :0B=0C=3, :BC=32, PD-m+3m 332 、`、PD=-2m2+32 2m, <0, 2 3V2 b 2 3 :当m=- 2a 2x_v2 2时，PD有最大值， 2 228 此时P》 4.(1)y=x2+2x-3 (2)x=-1 (3)-1,0 (4)存在，(1,0)或(-3,0) 【分析】(1)利用待定系数法解可得该抛物线的函数解析式： (2)将抛物线解析式转化为顶点式，即可确定该抛物线的对称轴； （3)可知该抛物线的对称轴为x=-1,并确定该抛物线与x轴的另一个交点E的坐标；结 合点C是直线x=2上一点，并根据抛物线轴对称的性质可得PA=PE,易得 PA+PC=PE+PC,故当点P、C均在x轴上时，即EC⊥I时，PE+PC的值最小，即 PA+PC的值最小，即可确定答案； (4)根据题意，设Ma,a2+2a-3),N(-1,n),分BN是平行四边形的一边和BN是平行 四边形的对角线两种情况，分别求解即可 【详解】(1)解：将点A1,0),B(0,-3代入抛物线y=x2+bx+c, b=2 可得3=c 01+b+C,解得 c=-31 此抛物线的函数解析式为y=x2+2x-3, 答案第1页，共2页 (2)解：：y=x2+2x-3=(x+12-4, .该抛物线的对称轴为直线x=-1: (3)解：：抛物线y=x2+2x-3=(x+1)2-4, .该抛物线的对称轴为x=-1, 设该抛物线与x轴的另一个交点为E, 令y=0,可得x2+2x-3=0, 解得x1=-3,x2=1, .E(-3,0), 如下图， :点P是抛物线对称轴上的一个动点， B X=- :PA=PE, .PA+PC=PE+PC, :点C的坐标为2，m) 点C在直线x=2上， 当点P、C均在x轴上时，即EC⊥I时，PE+PC的值最小，即PA+PC的值最小， 如下图， 此时C(2,0), B ..PA+PC=PE+PC=CE =2-(-3)=5, 答案第1页，共2页 点P的坐标为-1,0)； (4)解：：点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上， 可设Ma,a2+2a-3,N(-l,n, ①如下图， E 0 当BN是平行四边形的一边时， B x=-1 则有xg-w=xc-xM, .0-（-1=2-a,解得a=1, .M(1,0）; ②如下图， (M)E 当BN是平行四边形的对角线时， B x=-1 则有十xx=+u, 2 2 :0+--2+0,解得a=-3, 2 2 M-3,0. 综上所述，存在以点B、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形，符合条件的点M的坐标 为1,0或(-3,0). 【点晴】本题主要考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式、二次函数的图象与性质、 平行四边形的性质、轴对称的性质等知识，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析 答案第1页，共2页 问题. 5.(1)b=3, 39Y 4 -4 804个，② 【分析】(1)把点3,0)代入抛物线C:y=x2-bx,即可求出b的值，将抛物线解析式化 为顶点式，即可得到点M的坐标； (2)根据二次函数的性质求解即可； (3)①当t=4时，抛物线C,为y=-x2+4x,解方程组 y=x2-3x 得到点 y=-x2+4x A,B的坐标，即可求出G在点A,B之间（含边界）的整点个数； ②设抛物线G与C,的交点A的坐标为(x4,y),B的坐标为(xa,ya),联立C与C,的解析式， y=x2-3x 组成的方程组 y=-x2+21-4到x-42+4'可得2x+1-2)r+-41,根据一元二次方程 2t-1 2,4+a=年因此线段AB的中点坐标为 2t-17 根与系数的关系可推出x4+xg= 48 2t-17) ·求出抛物线C,的顶点N的坐标为t-2,4),可得线段MN的中点坐标为 4’8 ,因此 线段AB与线段MN的中点重合，即为点P,即可解答. 【详解】(1)解：：抛物线C:y=x2-bx过点(3,0)， .9-3b=0,解得b=3, .抛物线C为y=x2-3x. :顶点M的坐标为[侵引 2)解：抛物线G:y=-3x的开口向上，顶点为M号： :当x=时，函数值y有最小值，当x<时，y随x的增大而减小，当x>3时，y随x的 2 2 增大而增大. 答案第1页，共2页 当x=1时，y=1-2=-2, 当x=4时，y=42-3×4=4, :当1<，<4，儿的取值定用为-}≤0<4 (3)解：①当t=4时，抛物线C,为y=-x2+(2×4-4)x-42+4×4,即y=-x2+4x, 7 y=x2-3x x=0 x= 解方程组 y=-2+4x’得 0或/ 7 y= 4 77 ·A(0,0),B24 把x=1代入抛物线C:y=x2-3x,得y=12-3x1=-2, 把x=2代入抛物线C:y=x2-3x,得y=22-3×2=-2, 把x=3代入抛物线C:y=x2-3x,得y=32-3×3=0, G在点A,B之间（含边界）的整点有(0,0)，1，-2)，(2，-2)，(3,0)，共有4个. ②设抛物线C与C,的交点A的坐标为x,y4),B的坐标为xB,yB), y=x2-3x 由抛物线C与C,的解析式组成的方程组 y=-x2+(21-4x-2+4’得 x2-3x=-x2+(21-4x-12+41, 整理，得2x2+1-21x+2-41, 2t-1 t2-4t ..x+xB= 2，Xxg= 2 y=XA2-3xA,y8=x82-3x8, y+ya=x-3x+xg2-3xg =(x4+B)-2xxg-3x4+xa) -" 2 7 4 答案第1页，共2页 酸B的中点的横华际为兰.于，级华标为兰-名博列于引 （2t-17 2 :抛物线C:y=-x2+(21-4)x-2+41=-[x-(t-2)]+4, .顶点N的坐标为t-2,4), :抛物线G:y=2-3x的顶点为M3,-9） 2-4 3 9 :线段MN的中点的横坐标为-2+2_21-1，纵坐标为 4 4+ 7,即为 2t-17 4’8 2 4 8 .线段AB与线段MN的中点重合， :AB与MN交于点P, :点P为线段B与线段MN的中点，其级坐标为 【点晴】本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数的图象及性质，二次函数与一元二次 方程的关系，一元二次方程的根与系数关系，掌握二次函数的图象及性质是解题的关键， 6.(1)y=-x2-2x+3 (②)0NH长度的最大值为9V ,此时点N的坐标为 315 8 24 ②m的取值范围为 m<37或m>-3+匝或-2<m<-1 2 2 【分析】(1)利用待定系数法计算即可得出结果； (2)①求出C(0,3),再利用待定系数法得出直线AC的解析式为yx3,由题意可得 P(m,0),M(m,m+3,N(m,-m2-2m+3,∠APM=90°，则MN=-m2-3m,证明 △APM为等腰直角三角形，结合对顶角相等得出∠NMH=∠AMP=45°，从而可得△MNH为 等腰直角三角形，求出NM=巨 w=-g2m+3+95 2m+ 2+三，再由三次函数的性质即可得出 结果； ②由①可得M(m,m+3),Nm,-m2-2m+3,则MN=m2+3m,结合题意可得 m2+3m>2,从而得出m2+3m>2或m2+3m<-2,分别求解即可得出结果. 【详解】(1)解：：抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A(-3,0),B(1,0)两点， 9a-3b+3=0 a+b+3=0’ 答案第1页，共2页 a=-1 解得： b=-21 .抛物线的解析式为y=-x2-2x+3: (2)解：①在y=-x2-2x+3中，当x=0时，y=3,即C(0,3), 设直线AC的解析式为y=kx+b,(k≠0， 「-3k+b=0 将A-3,0),C(0,3代入直线AC的解析式可得 b=3 [k=1 解得： b=3’ 直线AC的解析式为yx3, :点P是x轴上一动点，过点P作PM∥y轴，交直线AC于点M,交抛物线于点N,设点 P的横坐标为m P(m,0),Mm,m+3,Nm,-m2-2m+3,∠APM=90°， .MN=-m2-2m+3-m+3=-m2-3m, A-3,0,C(0,3, .0A=0C=3, .∠0AC=∠0CA=45°， .△APM为等腰直角三角形， .∠AMP=∠MAP=45°， .∠NMH=∠AMP=45°， :NH⊥AC, .△MNH为等腰直角三角形， 8 :- <0, 2 当m=- 时，NH的长度最大为 2 8 答案第1页，共2页 时-m-2+3-(-2}3- :H长度的最大值为正，此时点N的坐标为(） 8 ②由①可得：M(m,m+3,N(m,-m2-2m+3, MN=m+3-(-m2-2m+3=m2+3m, :MW>2, m2+3m>2, .m2+3m>2或m2+3m<-2, 解㎡+3m>2可得：m3而或m>-3+ 2 2 解m2+3m<-2可得：-2<m<-1, 综上所述，m的取值范围为m<-3-匝或m>-3+7或-2<m<-1. 2 2 【点晴】本题考查了求二次函数的解析式，二次函数综合一线段问题，等腰三角形的判定与 性质，求一次函数的解析式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键， 7,()m=子：直线48解析式为y=-子+3 41 (2)1=2 (3)最小值为410 【分析】(1)令y=0,求出抛物线与x轴交点，列出方程即可求出m,根据待定系数法可 以确定直线AB解析式. (2)由△PNM∽△ANE,推出PN-,列出方程即可解决问题. AN 5 (3)在y轴上取一点M使得OW=号构造相似三角形，可以证明AM'就是E4+号EB的 最小值，从而求得3E'A+2E'B的最小值。 【详解】(1)解：令y=0,则mx2+(m+3)x+3=0, (x+1)(mx+3)=0, 3 x=-1或x=-2, m :抛物线y=mx2+(m+3)x+3(m≠0)与x轴交于点A(4,0), 答案第1页，共2页 -3=4, m=4 3 A(4,0),B(0,3), b=3 设直线AB解析式为y=+b,则 4k+b=01 3 解得=-4， b=3 ·直线AB解析式为y=-3 x+3. 4 (2)解：如图1中， M :PM⊥AB,PE⊥OA, 4 图1 ∴LPMN=LAEN, :∠PNM=∠ANE, :aPNM∽△ANE, PNC6 NE∥OB, AN AE AB OA' 由(1)得：OA=4,OB=3, AB=5, 4N=4-0, :抛物线解析式为y=-3x+ x+3, 44 w+3-(+=+, 4 4 4 答案第1页，共2页 -3+30 4 6 原4- 解得t=2或4， 经检验t=4是分式方程的增根， .t=2. (3)解：如图2中，在y轴上取一点M使得OM-号，连接4M,在AM上取一点E使 得OE'=OE. Y B M 4 0E'=2,OM'.OB= ×3=4, 3 图2 ..OE =OM'.OB, :OE'OB OM'OE'' :∠BOE'=∠M'OE', :△MOE'∽△E'OB, :ME_0E=2 BE'OB3' ME'-2BE', 3 :EA+2BE=EA+ME=AM,此时EA+BE最小（两点间线段最短，A、M'、E共 3 线时)， 4+BE的最小值=4ME+ :3EA+2BE'的最小值=3×40=4V0 3 【点晴】本题考查相似三角形的判定和性质、待定系数法、最小值问题等知识，解题的关键 是构造相似三角形，找到线段M'就是EA+EB的最小值，从而求得3EA+2BE'的最小 值. 答案第1页，共2页 8.(1)y=x2-4x-5 (2)点P的坐标为-2,7或(3，-8) (3)点0到BC的最大距离为25 2,此时Q 535 8 2-4 【分析】(1)利用待定系数法求解即可： (2)设P(P,p2-4p-5),表示出BC2、PB2、PC2,再由勾股定理得出BC2+PB2=PC2或 BC2+PC2=PB2,分情况计算即可得出答案； (3)如图，过Q作QH⊥BC于H,QN∥y轴交直线BC于N,先证明 0=∠0CB=45P,可得0=N0sin45°=0，故当N0最大时，H0最大，设为 求得直线BC的解析式为y=x-5;设Q(t,2-41-5),则N(t,1-5),0<t<5,利用坐标与 5)2 图形得到N=-t- 25 2 利用二次函数约性质可求得1=时，NQ有最大值，最大值 为空进而可求解 【详解】(1)解：：对称轴为直线x=2,且抛物线经过A(-1,0),C(0,-5)两点， (b=2 2a {a-b+c=0, c=-5 a=1 解得： b=4, c=-5 抛物线解析式为y=x2-4x-5; (2)解：设Pp,p2-4p-5, :对称轴为直线x=2,且抛物线经过A-1,0, .B(5,0),又C(0,-5), BC2=(0-5)2+(-5-0)2=50,PB2=(p-5)2+p2-4p-5}2, pC2=p2+[p2-4p-5-(-5)]°=p2+p2-4p°， 答案第1页，共2页 :△BPC是以BC为直角边的直角三角形， :BC2+PB2 PC2 BC2+PC2=PB2, 50+(p-52+(p2-4p-5)}2=p2+(p2-4p2或 50+p2+(p2-4p=(p-52+(p2-4p-5)2, 解得：P1=5,P2=-2或B=0,P4=3, P(5,0)(不符合题意，舍去)，P(-2,7或P(0,-5)(不符合题意，舍去)，P(3,-8); 综上所述，点P的坐标为-2,7)或(3，-8)； (3)解：如图，过Q作QH⊥BC于H,QN∥y轴交直线BC于N, B(5,0,C0,-5, .0C=0B=5,又∠B0C=90°， ∠0CB=45°，则∠HNQ=∠OCB=45°， H0=N0:sin45°=2NO,故当N0最大时，H0最大， 2 设直线BC的函数解析式为y=mx+n, 5m+n=0 将B(5,0),C(0,-5)代入，得 n=-5’ m=1 解得： n=-5' .直线BC的解析式为y=x-5; 设t,2-4t-5),则N(t,t-5),0<t<5, 0-列---列f+=(空， :-1<0,0<t<5, 答案第1页，共2页 :当1-时，0有绿大值，最大值为三， ·0的最大值为2x2525V ,2-41-5= 5 5 35 -4× -5= 24 8 即点Q到8C的能大距离为25y5,此时Q[药 8 【点晴】本题考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的图象与性质，勾股定理、等腰直 角三角形的性质、解直角三角形等知识，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键. 9.(1)y=-x2+2x+3 292 8 【分析】(1)利用待定系数法求解即可； (2)记AD与y轴的交点为E,证明△OAE为等腰直角三角形，过F作FN∥y轴交AD于 N,aFGN为等腰直角三角形，则FG=5FN,设F(x-r+2x+3引，则Nx,+,再 建立二次函数，利用二次函数的性质解题即可； (3)如图，当P在AM的右边，记直线AM交y轴于R,y=-x2+2x+3=-(x-1)+4,则 M(1,4),求解直线AM的解析式为y=2x+2,可得R(0,2),设P(0,y),而四边形 APQM为矩形，可得∠RAP=90°， 再利用勾股定理建立方程求解P0,》: 如图，当P在 AM的左边，同理可得： 9 【详解】(1)解：把A-1,0),(3,0,(0,3)分别代入y=ax2+bx+c a-b+c=0 a=-1 秘 9a+3b+c=0,解得 b=2, c=3 C=3 :抛物线的解析式为y=-x2+2x+3; (2)解：由(1)知y=-x2+2x+3=-(x-1)+4, :抛物线对称轴为直线x=1, :点D和点C关于抛物线的对称轴对称， .D(2,3, 答案第1页，共2页 设直线AD的解析式为y=x+t, -k+t=0 把A(-1,0),D(2,3)分别代入得 2k+t=3' k=1 解得 :直线AD的解析式为y=x+1 记AD与y轴的交点为E, 当x=0时，y=0+1=1,则E(0,1, 0A=0E, △0AE为等腰直角三角形， :LEA0=LAE0=45°， 过F作FN∥y轴交AD于N, LFNG=45°， :aFGN为等腰直角三角形， .FG-FN. 设F(x,-x2+2x+3),则N(x,x+1, 129 ∴FN=-x2+2x+3-x-1=-r+x+2=-气x-2+4 当x时，N有最大在}， :FG的最大值为： 9√29√2 428 (3)解：如图，当P在AM的右边， 记直线AM交y轴于R,y=-x2+2x+3=-(x-1+4,则M(1,4), 答案第1页，共2页 M A B 设直线AM的解析式为y=mx+n, -m+n=0 (m+n=4，解得 m=2 把A(-1,0)、M(1,4)分别代入得 n=2 :直线AM的解析式为y=2x+2, 当x=0时，y=2x+2=2,则R(0,2), 设P(O,y),而四边形APQM为矩形， ∠RAP=90°， .AP2+AR2=RP2, (2-y)2=12+y2+12+22, 解将：y=之即P0月 如图，当P在AM的左边， R B 同理可得：(y-2)2=1-0)2+(4-2)2+(0-1)2+(y-4), 解得：y= 9 【点晴】本题考查的是待定系数法求二次函数解析式，二次函数与坐标轴的交点，二次函数 答案第1页，共2页 的性质，勾股定理的应用，等腰直角三角形的判定与性质，矩形的性质，熟练地建立二次函 数模型再利用二次函数的性质解决问题是解本题的关键. 10.(1)y=- x+4 3 3 2②PM的最大值为 AM 的6，点P坐标为3,5) a29) 【分析】(1)将A(-2,0),B(6,0)代入函数表达式，求出a和b的值； (2)分别过点A、P作x轴的垂线，交直线BC于点D、H,设点P坐标为 +子+4 根据二次函数的表达式求出点C坐标为(0,4)，进而求出直线BC的函数 表达式为y=2x+4,根据点A和点P的坐标，计算出点D坐标为-2，6P 点H坐标为 子+4，因此D-,m=-青2+2.由4D∥PH可得△Go△P,则 3 P4=PH-+3,使用配方法求出P的最大值，并求出此时点P的坐标： 3 AM AD 16 8 AM (3)过点F作EC的平行线，交y轴于点I,连接BF,BI,四边形ACEF中，AC和EF为 固定长度，因此当CE+FA最小时，四边形ACEF周长最小.通过轴对称的性质和平行四边 形的性质可得，CE+FA=IF+FB≥IB,当I、F、B三点共线时，CE+FA取到最小值， 计算出此时点E的坐标即可. 【详解】（1)解：将A(-2,0),B(6,0)代入y=ax2+bx+4,得， [0=4a-2b+4 0=36a+6b+4 1 a=- 3 解得， b= 3 抛物线的函数表达式为y3+x+4 (2)解：分别过点A、P作x轴的垂线，交直线BC于点D、H,设点P坐标为 ++4 答案第1页，共2页 D H 将x=0,代入y=- +3+4,得y=4, 点C坐标为(0,4)， 设直线BC的函数表达式为y=kx+m, 将B(6,0),C(0,4)代入y=kx+m,得， 0=6k+m 4=m k、2 解得， 3, m=4 :直线BC的函数表达式为y=- 3+4, :AD⊥x轴， X4=xD=2, 将x=-2代入y=-子+4，得y=名x-2列+4=16， 2 2 3 3 点D坐标为-29》， AD- :PH⊥x轴， .Xp XH =t 2, :点H坐标为， 21+4, PH=-2+4+4- 4 2 1 3 (3 t+4=- 2+21, 3 :AD⊥x轴，PH⊥x轴， .AD∥PH, .∠ADM=∠PHM,∠DAM=∠HPM, 答案第1页，共2页 .△ADM∽△PHM, 12+2t PM PH3 AMAD=16— -+3=--3+6 16816 3 :(t-3)2≥0， 6-+88 1616' 当1=3时，店-3+名取最大伯 16 161 此时点P坐标为3,5)，在直线BC上方，符合题意. :心的最大值为名，点P坐标为35引， 9 ”AM (3)解：如图，过点F作EC的平行线，交y轴于点I,连接BF,BI, iG P A-2,0),C(0,4),B(6,0, .0A=2,0C=4,0B=6, 在直角a0AC中，AC=V0A2+0C2=V22+42=2V5, 四边形ACEF周长为AC+CE+EF+FA=25+2+CE+FA, 当CE+FA最小时，四边形ACEF周长最小， :点A和点B关于EF对称， :FA=FB, :CI∥EF,EC∥FI, 四边形CEFI是平行四边形， ..CI EF =2,CE IF, .0I=0C-CI=4-2=2, .点1的坐标为(0,2)， 答案第1页，共2页 在直角△0B1中，IB=V0I2+0B2=V22+62=210, :CE+FA=IF+FB≥IB, .当I、F、B三点共线时，CE+FA取到最小值2√10，此时四边形ACEF周长最小， 设直线BI的函数表达式为y=k+b', 将B(6,0),I(0,2)代入y=k+b',得， [0=6k'+b 2=b 1 解得， k'= 3, b=2 。直线1的函数表达式为y三女+2 4 由游物线对称轴公式可海，y三一3式+x+4的对称轴为直线工二 3 2a 2 3x+2,得y=- 将x=2,代入y= 2+2=4 3 .点F的坐标为 :线段EF在抛物线对称轴上，长度为2，且点E在点F上方， 点E的坐标为 29 :当四边形ACEF周长取最小值时，点E的坐标为 【点晴】本题是二次函数的综合题，考查待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质， 平行四边形的性质，轴对称的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握二次函数的图象与 性质并运用数形结合思想是解题关键 11.(1)D(1,6 (2)抛物线L2所对应的函数表达式为y=-x2+2x+3或y=-x2+2x-3 ③0-巨，见解析 2 【分析】本题考查二次函数的对称的相关知识，直角三角形的三个角为直角的情况分析，不 同情况下的最值问题.解题的关键是理解对称的关键，直角三角形的不同情况分析. 答案第1页，共2页 (1)先求出抛物线L的顶点P的坐标，再根据点P和点D关于直线y=1对称，即可求出点 D的坐标； (2)先求出抛物线L的顶点P的坐标，再根据点P和点D关于直线y=m对称，即可求出 点D的坐标；由△BCD为直角三角形，分三种情况讨论：①当∠BCD=90°时，②当 ∠BDC=90°时，③当∠DBC=90°时，分别求解即可： (3)由(2)知，当∠BCD=90°时，m=0,此时△BCD的面积为3，取EF的中点Q,连 接C2,易知当？，C,G三点共线时，CG取最小值，由此求解即可. 【详解】(1)解：y=x2-2x-3=(x-1)2-4, 抛物线L的顶点P的坐标为1，-4. :m=1,点P和点D关于直线y=1对称， D1,6. (2)解：由题意，得抛物线L的顶点P(1,-4)与抛物线L2的顶点D关于直线y=m对称， D1,2m+4, ∴.抛物线L2:y=-(x-1)+(2m+4)=-x2+2x+2m+3. 当x=0时，可得C(0,2m+3). ①当∠BCD=90°时，如答图①，过点D作DN⊥y轴，垂足为N. O0XB:D(1,2m+4), 答图① .N(0,2m+4. :C(0,2m+3, :DN NC=1. 答案第1页，共2页 ∠DCN=45°. :∠BCD=90°， .∠BCM=45° :直线1∥x轴， .∠BMC=90°. :∠CBM=∠BCM=45°. :BM =CM. m≥-3， ·BM=CM=2m+3-m=m+3. :B(m+3,m). 又：点B在抛物线L:y=x2-2x-3上， m=(m+3-2(m+3)-3, 解得m=0或m=-3. 当m=-3时，可得B(0,-3),C(0,-3),此时B,C重合，舍去. 当m=0时，符合题意. 将m=0代入抛物线L,:y=-x2+2x+2m+3, 得L2:y=-x2+2x+3. ②当∠BDC=90°时，如答图②，过点D作DN⊥y轴于点N,过点B作BT⊥ND,交ND的 延长线于点T. ND D(1,2m+4, C(M) B L2 答图② .N(0,2m+4. 答案第1页，共2页 :C(0,2m+3, :DN =NC=1. ∠DCN=45°. :∠BDC=90°， ∠BDT=45°. ∠BDT=∠TBD=45°. :BT=DT. .DT=BT=(2m+4-m=m+4. :NT=DN+DT=1+m+4)=m+5. B(m+5,m. 又：点B在抛物线L:y=x2-2x-3上， ∴m=(m+5)-2(m+5)-3, 解得m=-3或m=-4. :m≥-3，m=-3. 此时B(2,-3),C(0,-3)符合题意. 将m=-3代入抛物线L2:y=-x2+2x+2m+3, 得L2:y=-x2+2x-3. ③易知，当∠DBC=90°时，此情况不存在. 综上，抛物线L2所对应的函数表达式为y=-x2+2x+3或y=-x2+2x-3. (3)解：CG长度的最小值为0-V2 2 理由：由(2)知，当∠BDC=90°时，m=-3,此时△BCD的面积为1，不合题意，舍去. 当∠BCD=90°时，m=0,此时△BCD的面积为3，符合题意. 由题意可求得EF=FG=CD=√2. 如答图③，取EF的中点Q,连接CQ. 答案第1页，共2页 O(0 答图③ 在R△CEF中可求得CQ=Er-2 2 2 在RtFG0中可求得G0-0 2 易知当，C,G三点共线时，cG取最小值，最小值为0-2 2 2ω6 (2)见解析 3)3vi0 2 【分析】(1)根据y=-x2+2x+3=-x+1)(x-3)得出A(-1,0),B(3,0),C(0,3.延长 BP并过C作CH⊥BC交BP于点H,过H作HH⊥y轴，根据an∠CBP=得出 HC=3 ,HH"=CH”=5HC=,进而可得H的坐标为，18 39 5 2 5 5'5 求得ya=2x+2 联立抛物线解析式，进而得出P),1 (24 （2)根据直线FG与x轴正方向夹角的正切值为2，设yG=2x+t,y6=kx+b,(k,≠0)， yar=kx+b,(k3≠O),F(xr,yF),G(xG,yG),B(xg,yB)联立直线与抛物线解析式得出 E(0,b,),D(0,b),EC=b,-3=xB·x6,DC=3-b=-xBxF,根据 xgxG+xgxF=xg(xp+xG=0得出xBxG=-xBxF则线段EC=DC,故C为DE的中点. (3)设Q(m,-m2+2m+3),E(m,-m+3),表示出QD,ED,根据二次函数的性质求得当 时，DE的取值设大，此时E应坐标为传引作E关于X蝶对称点E,连接EE、 2 答案第1页，共2页 E、cE,则E[尽引 NE=NE',根据四边形CENM为平行四边形，得出 (CM+CN)=CE'-3/0 2 【详解】(1)由题意可得y=-x2+2x+3=-x+1(x-3), 当x=0时，y=3, 当y=0时，-(x+1)(x-3)=0, 解得，x1=-1,x2=3 A(-1,0,B(3,0),C0,3. .0B=0C :△OBC是等腰直角三角形， .∠0CB=45 如图1所示，延长BP并过C作CH⊥BC交BP于点H,过H作HH'⊥y轴， VA 图1 .∠CH=45° 由题意知BC=3反，又m∠CBp=写 HC=32 :.nw-cH-nc= 5 :H的坐标为55 318) 设直线BH的解析式为y=x+b,代入H 318 55 B(3,0 [18_3k+b 55 0=3k+b 答案第1页，共2页 k=2 3 解得： 9 b= 2 3.9 ∴y阳= 2x+2 联立= 39 2r+2 ① y=-x2+2x+3,② 1 解得x=3,名= 2》 或(3,0)（舍）， ·综上所述，P点坐标为24) 115 (2)由题意可知kc=2,如图2所示. E G A D 图2 设yFG=2x+t,yBG=kx+b(k1≠0)，yr=kx+b2(k3≠0)， F(xr,yr),G(xc,yG),B(x8,y8) 联立o=2r+i =+2x+3解得2+1-3=0 女+。=0 xr·x6=t-3 联立ao=x+么 +243解得r+6-2引+6-3=0 ÷。+6=2-6 xB'xG=b-3 答案第1页，共2页 联立 F+243解得2+6-2引x+6-3=0 yoF =k2x+b x8+xp=2-k2 xB·xp=b2-3 令x=0,解得yBG=b,yBr=b, E(0,b),D(0,b2) 又C(0,3), :EC=b-3=xgxG,DC=3-b2=-x8XF, 又：xBxG+xgxF=xBxF+xG=0, .XB'XG =-XB'XF, :线段EC=DC,故C为DE的中点. (3)因为B(3,0),C(0,3)且QE∥y轴， .∠BCO=∠DEQ=45°， ÷DE= OE, 2 由题意可知yc=-x+3. :设Q(m,-m2+2m+3,E(m,-m+3), 0E=-m+2m+3-(-m+3)=-m2+3m=-m 329 2 4 DE= 2392 2(m-2 8 :当m= 时，DE的取值最大，此时E点坐标为22 3 33】 如图3，作E关于x轴对称点E,连接EE'、NE'、CE', 答案第1页，共2页 图3 则引 NE NE', :四边形CENM为平行四边形， .CM +CNCN +NE CN NE' :.(CM+CN)mi=CE'= 2 【点晴】本题考查了二次函数综合应用，解直角三角形，一次函数与二次函数图象交点问题， 二次函数的性质，轴对称的性质求最短线段的和，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键. 13.(1)y=5x -X-4 ②点P的坐标为，-昌)： △PDM的周长的最小值为3+3 210 3 18 或5+，+3 【分析】(1)利用待定系数法求解； (2)延长DP交AC于点F,求出直线BC表达式为y=x-4,直线AC表达式为y=-2x-4 ，设Pmm2-m-4, D(m,m-4),F(m,-2m-4),表示出PD,PF,解直角三角形得 到PF=√5PE,然后代入2PD-√5PE利用二次函数的性质求出当2PD-5PE取得最大值 时点P的坐标，求出PD= (》-,0F3-61=3.作点D关于4C的对有. 3 连接DD交AC于K,判断出当点D,M,P三点共线时，△PDM的周长最小，即三+PD 721 的值，连接DF,求出D 55 然后利用勾股定理求解即可； 3》首先求出抛物线y广=x-2-号，如图，过点P作PR1BC于点R,求出 ∠PDR=10CB=45,得到PR=pPD3,设Ni-4,解直角三角形得到1=子或 4 答案第1页，共2页 =4,然后分两种情况讨论，分别求出直线P的表达式，然后和抛物线y联立求解即可. 4a-2b-4=0 【详解】(1)解：将A(-2,0),B(4,0)代入y=ax2+bx-4得， 16a+4b-4=0 1 a=- 解得2 b=-1 :抛物线的表达式为y式-x-4: (2)解：如图，延长DP交AC于点F B :抛物线的表达式为y=2”-X-4 当x=0时，y=-4 .C(0,-4 B(4,0),A-2,0) 直线BC表达式为y=x-4,直线AC表达式为y=-2x-4, 设P-m-Dan-4.Pa-2-利 PD=m-4行m2-m-4=m2+2m,PF=m2-m-4-2m-到=2+m 2 :A-2,0,C(0,-4) .0A=2,0C=4 ∴AC=√0A2+0C2=2V5 :sin∠Aco=O4-2_V5 AC 255 :DP∥y轴 答案第1页，共2页 .LAOC=∠EFP .sin ZA0C=sin∠EFp 5PE 5 PF :PF =5PE :2PD-5PE =2PD-PF 1 =-m2+4m-m2-m 2 m2+3m 2 3 <0 .当m=1时，2PD-√5PE取得最大值， 此时点P的坐标为-》， 点D的坐标为1，-3)，点F的坐标为1，-6)， 如图，作点D关于AC的对称点D,连接DD'交AC于K, 0 B P .MD MD' △PDM的周长≡PD+MD+MP+MD+MP≥3 :如图，当点D,M,P三点共线时，△PDM的周长最小，即+PD'的值，连接DF, 答案第1页，共2页 设D'(xD,yD 根据题意得，AC垂直平分DD' 点K是DD'的中点，FD'=FD :K+1,-3 (2,2 代入y=-2x-4得，D,-3-2D+1-4 2 2 整理得，yD=-2x-7 .FD'=FD FD2=FD2 .(1-x)2+(-6-yn)=32 将yD=-2xD-7代入得，(1-x)+(-6+xp+7=32 解得1（舍去）或0 剖 .PD'= 10 :△PDM的周长的最小值为3+3V6⑤ 210 （3)解：抛物发y方-4=方x--号 将地物线y一x-4沿射线4C方向平移、5个单位长度得到抛物线 即将抛物线y=-x-4向右平移1个单位，向下平移2个单位， 答案第1页，共2页 :类物线y--号-2x-2-号.如图，过点P作R上BC于点R 2 B :0B=0C=4 .∠0CB=45 PD∥y轴 .LPDR=∠0CB=45 :PR⊥BC PR=PD=x33 X一= 224 设N(,t-4 点P的坐标为 ∠PND=∠ACO .sin∠PND=sin∠ACO= 5 PR5 32 4 5 9)2 -+-4 整理得，16t2-8t-35=0 解得1=-5或=习 7 4 4 当时， 4 :可得直线PY的表达式为y=写-9 6 答案第1页，共2页 解得x=7-V压或x=7+V雨 3 (舍去) 18 当时，经 可得直线PN的表达式为y=3x-, 联立抛物线了女-2-号料，3-吕-2号 解得x=5+V9或x=5-√19（舍去） 05+i,+3i可： 7-V43-73-2√43 综上所述，点Q的坐标为 3’ 18 或5+，+3i 答案第1页，共2页