专题04 条件概率、全概率公式、贝叶斯公式（6大题型专项训练）数学苏教版选择性必修第二册

专题04 条件概率、全概率公式、贝叶斯公式 目录 A题型建模・专项突破 题型一、条件概率的计算（重点） 1 题型二、条件概率的性质 2 题型三、乘法公式 3 题型四、全概率公式的应用（重点） 3 题型五、贝叶斯公式的应用（难点） 4 题型六、全概率公式与递推数列（难点） 5 B 综合攻坚・能力跃升 7 题型一、条件概率的计算 1．在某校新高考物理方向的学生中，有60%的同学选了化学学科，40%同学选了生物学科，80%的同学选了化学学科或生物学科．现从该校新高考物理方向的学生中，随机调查一名同学，已知该同学选了化学学科，则该同学选科组合为“物理、化学、生物”的概率为（    ） A． B． C． D． 2．现有台州某高中组织高二年级学生研学，全年级学生需从东湖、台州府城墙、神仙居、天台山、大陈岛、温岭石塘、长屿硐天这7个景点中随机选择1个作为目的地.现从全年级中随机抽取两个班级进行调查，记事件“这两个班级选择的目的地中至少有一个选择神仙居”，事件“这两个班级选择的目的地不同”，则（   ） A． B． C． D． 3．在集合中随机取一个数，在集合中随机取一个数，复数，则在为虚数的条件下为纯虚数的概率为（    ） A． B． C． D． 4．设，点是从这些点构成的集合中随机选取一点定义以下事件；事件A：“点M在第二象限”；事件B：“点M的横坐标小于0”；___________ 5．为增强趣味性，在体能达标的跳绳测试项目中，同学们可以向体育特长班的强手发起挑战．每场挑战赛都采取七局四胜制．积分规则如下：以或获胜队员积4分，落败队员积0分；以或获胜队员积3分，落败队员积1分．假设体育生王强每局比赛获胜的概率均为，求王强在这轮比赛中所得积分为3分的条件下，他前3局比赛都获胜的概率． 6．随着2025年世界羽毛球锦标赛在法国巴黎举行，国内掀起了新一波的羽毛球热，激起了民众参加羽毛球运动的热情.某大学羽毛球协会组织了羽毛球双人比赛，已知有甲、乙、丙等8支球队参赛，现将这8支球队随机分为A，B两组，每组4支球队. (1)求甲、乙、丙恰好分在同一组的概率； (2)在甲、乙、丙中至少有2支球队分在A组的条件下，求甲、乙、丙均分在A组的概率. 题型二、条件概率的性质 7．已知随机事件、，满足，，，则（    ） A． B． C． D． 8．已知，且若，，则__________． 9．已知随机事件，，若，，，则_________. 10．记为事件的对立事件，且，则___________. 11．已知随机事件满足，，． (1)求； (2)求； (3)证明． 12．若事件满足，则（   ） A． B． C． D． 题型三、乘法公式 13．一个不透明的箱子装有若干个除颜色外完全相同的红球和黄球．若第一次摸出红球的概率为，在第一次摸出红球的条件下，第二次摸出黄球的概率为，则第一次摸出红球且第二次摸出黄球的概率为（　　） A． B． C． D． 14．某地区气象台统计，该地区下雨的概率为，已知下雨的条件下，刮风的概率为，则既刮风又下雨的概率为__________． 15．从这个连续正整数中不放回地任取2个数，设“第一次取到的是质数”为事件A，又设“第二次取到的不是质数”为事件，且，则的所有可能值的和为__________. 16．某项射击游戏规定：选手先后对两个目标进行射击，只有两个目标都射中才能过关．某选手射中第一个目标的概率为0.8，继续射击，射中第二个目标的概率为0.5，则这个选手过关的概率为________． 题型四、全概率公式的应用 17．现有除颜色外都相同的3个红球和3个白球，随机取3个球放入一个不透明的袋中，记袋中红球的个数为．从袋中随机摸出一个球，并换入一个另一种颜色的球，经过1次摸换，袋中的红球个数记为．则（    ） A． B． C． D． 18．某校开展教师歌手大赛．已知男、女教师人数比例为，有的男教师和的女教师擅长民谣歌曲．现随机选取一位教师，则这位教师恰好擅长民谣歌曲的概率为__________． 19．盒中有3个红球，6个白球，这些球除颜色外完全相同，从盒中随机取1个球，取出后将原球放回，再加入2个同色球，记事件A为“第1次取到白球”，事件为“第2次取到白球”，则____ 20．（多选）在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列，由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1;发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05.假设发送信号0和1是等可能的.则接收的信号为0记为事件A，接收的信号为1记为事件B.则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 21．某学校只有三个学院：理学院、工学院和商学院．各学院今年毕业的学生人数分别为180人、180人和240人，考上硕士研究生的概率分别为，，．现从该校毕业的学生中随意抽查一人，则该学生考上硕士研究生的概率为________． 22．某地区教育主管部门为调查当地中小学教师的年龄结构，从当地所有中小学教师中随机抽取100名，整理数据得到下表：       年龄（岁）学段 小学 12 20 5 3 初中 12 10 8 5 高中 8 8 7 2 (1)试估计该地区教师年龄的第80百分位数； (2)已知小学、初中、高中教师中骨干教师分别占各学段的，，．若从这100名教师中，任意抽取一位，求这位教师为骨干教师的概率． 题型五、贝叶斯公式的应用 23．（多选）甲箱中有2个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和2个白球（两箱中的球除颜色外没有其他区别），先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用事件和表示从甲箱中取出的球是红球和白球；再从乙箱中随机取出两球，用事件B表示从乙箱中取出的两球都是红球，则（    ） A． B． C． D． 24．（多选）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球（球除颜色外，大小质地均相同）、先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐中取出的球是红球的事件.下列结论正确的是（   ） A．事件与相互独立 B． C． D． 25．某地区有两种天气类型：晴天和雨天.气象台对第二天的天气进行预报，但预报有误差：如果实际是晴天，预报为雨天的概率是0.2，如果实际是雨天，预报为雨天的概率是0.9.已知该地区预报为雨天的总概率是0.76，现在某天气象台预报为雨天，则实际为雨天的概率是______. 26．某商场在清明节假期期间举办有奖消费活动，抽奖方法如下：，袋中各有5张奖券，其中袋中有2张一等奖和3张二等奖，袋中有3张一等奖和2张二等奖，先从装着标有数字1，2，3，4，5，6的号签筒中任抽1签，若是1，2，3，4 号签，则从袋中随机抽取1张奖券，若是5，6号签，则从袋中随机抽取1张奖券．已知某顾客抽到了一等奖奖券，则该一等奖奖券来自袋的概率 ______． 27．假定具有症状的疾病有三种，现从20000份患有疾病，，的病历卡中统计得到下列数字： 疾病 人数 出现症状人数 7750 7500 5250 4200 7000 3500 试问当一个具有S中症状的病人前来要求诊断时，他患有疾病的可能性是多少？在没有别的资料可依据的诊断手段情况下，诊断该病人患有这三种疾病中哪一种较合适？ 题型六、全概率公式与递推数列 28．（多选）某智能系统在进行数据分类时，其准确性受前一次分类结果的影响.记表示事件“第n次分类正确”，表示第n次分类正确的概率.已知，且满足以下条件：若第n次分类正确，则第次分类正确的概率为；若第n次分类错误，则第次分类正确的概率为.记，则下列结论正确的是（   ） A． B．若第n次分类正确，则第次分类正确的概率为 C．数列是等比数列 D．数列的前n项和为 29．马尔可夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程.该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲乙两个口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为，恰有1个黑球的概率为，求 (1)的值； (2)求的式子. 30．某商场拟在周末进行促销活动，为吸引消费者，特别推出“玩游戏，送礼券”的活动，游戏规则如下：该游戏进行10轮，若在10轮游戏中，参与者获胜5次就送2000元礼券，并且游戏结束：否则继续游戏，直至10轮结束．已知该游戏第一次获胜的概率是，若上一次获胜则下一次获胜的概率也是，若上一次失败则下一次成功的概率是．记消费者甲第次获胜的概率为，数列的前项和，且的实际意义为前次游戏中平均获胜的次数． (1)求消费者甲第2次获胜的概率； (2)证明：为等比数列；并估计要获得礼券，平均至少要玩几轮游戏才可能获奖． 31．为了践行健康第一的教育理念，学校在课外活动时间安排各种体育运动项目．甲､乙､丙三位同学选择互相传球训练活动，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者将球传给另外两个人中的任何一人，如此不停传下去，且假定每次传出的球都能被接到．已知甲传给乙的概率为，甲传给丙的概率为；乙传给甲的概率为，乙传给丙的概率为；丙传给甲的概率为，丙传给乙的概率为．记第次是甲､乙､丙传球的概率分别为． (1)求的值； (2)用表示，并求的通项公式； (3)在第5次球从甲传出的条件下，求第3次球从丙传出的概率． 32．在篮球训练场上，教练甲指导三名学员进行传球训练，训练开始时，篮球在教练甲手中．由甲开始传球，他每次等可能地将篮球传给学员其中一人，学员接球后，将篮球传出，传给教练甲的概率为，传给另外两学员的概率相等，篮球在四人之间传递． (1)若四人进行了4次传球，求教练甲接球次数的分布列、数学期望； (2)设表示经过次传球后篮球在手中的概率，求． 一、单选题 1．（2025·26高一上·江西景德镇·期末）一个袋中有6个大小和质地相同的球，其中红球2个，白球4个，现从中不放回地依次随机摸取2次，每次摸出1个球，则第二次摸出的球是红球的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·26高三上·广东东莞·期末）已知随机变量X，Y均服从两点分布，且，若，则（   ） A． B． C． D． 3．（2024·25高二下·湖北襄阳·期末）连续掷一颗质地均匀的骰子两次，在两次骰子点数之积为偶数的条件下，两次骰子点数均为偶数的概率为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·26高三上·湖南湘西·期末）设是两个随机事件，已知，，，记，则（    ） A． B． C． D． 5．（2025·26高二上·山东·期末）设为样本空间上的三个随机事件，满足：；事件与相互独立，事件与互斥；已知，则的值为（    ） A．0.87 B．0.85 C．0.89 D．0.90 6．（2024·25高二下·广东深圳·期末）某学校一名学生参加体育和AI两个兴趣小组，该同学每周只能选择其中一个兴趣小组学习，第一周选择体育兴趣小组的概率是，如果第一周选择AI兴趣小组，那么第二周去AI兴趣小组的概率为；如果第一周去体育兴趣小组，那么第二周去AI兴趣小组的概率为．已知该同学第二周去AI兴趣小组，则第一周去AI兴趣小组的概率为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（2025·26高二上·江西宜春·期末）甲口袋中有3个红球、2个白球和5个黑球、乙口袋中有3个红球、3个白球和4个黑球先从甲口袋中随机取出一球放入乙口袋，分别以、和表示由甲口袋取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙口袋中随机取出一球，以表示由乙口袋取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C．事件与事件相互独立 D．，，是两两互斥的事件 8．（2023·24高二下·安徽合肥·期末）设A，B是两个随机事件，且，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若A，B为互斥事件，且，则 D．若A，B相互独立，且，则 三、填空题 9．（2025·26高三上·山东聊城·期末）一个盒子里装有质地、大小、形状都相同的7个球，其中白球2个，黑球2个，红球3个，现从盒子里依次取出2个球，已知取出的球有红球，则第二次取出的球是红球的概率_________． 10．（2025·26高三上·浙江宁波·期末）甲、乙两人进行乒乓球练习，设甲每局获胜的概率为，乙每局获胜的概率为，且各局练习的胜负相互独立.现进行局练习，规定胜局多者获胜，记“局练习甲获胜”的概率为，则_____.（用数字作答） 四、解答题 11．（2025·26高二上·内蒙古呼和浩特·期末）一个不透明的盒子中装有个红球和个白球，共个球，它们除了颜色外完全相同.从中随机地连续取两个球，每次取一个球且不放回. (1)求第一次摸出红球的概率； (2)求第一次和第二次都摸出红球的概率； (3)已知第二次摸出的是红球，求第一次摸出白球的概率. 12．（2025·26高三上·吉林延边·期末）甲、乙、丙三人向同一目标各射击一次，已知甲命中目标的概率为0.8，乙、丙命中目标的概率都为0.5.每个人射击的结果互不影响. (1)求三人中恰有两人命中目标的概率； (2)在目标至少被击中一次的条件下，求甲命中目标的概率. 13．（2023·24高三上·福建泉州·期末）一个袋子中有10个大小相同的球，其中红球7个，黑球3个．每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回． (1)求第2次摸到红球的概率； (2)设第1，2，3次都摸到红球的概率为，第1次摸到红球的概率为，在第1次摸到红球的条件下，第2次摸到红球的概率为，在第1，2次都摸到红球的条件下，第3次摸到红球的概率为，求，，，； (3)对于事件，试根据（2）写出，，，的等量关系式，并加以证明． 14．（2025高三上·新疆省直辖县级单位·专题练习）某无人机操作员进行定点精准降落训练.据以往训练经验，第一次降落成功的概率为.若第次降落成功，则第次降落成功的概率为；若第次降落未成功，则第次降落成功的概率为，其中. (1)求该操作员第二次降落成功的概率； (2)设第i次降落成功的概率为，求证：. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 条件概率、全概率公式、贝叶斯公式 目录 A题型建模・专项突破 题型一、条件概率的计算（重点） 1 题型二、条件概率的性质 4 题型三、乘法公式 6 题型四、全概率公式的应用（重点） 7 题型五、贝叶斯公式的应用（难点） 10 题型六、全概率公式与递推数列（难点） 13 B 综合攻坚・能力跃升 17 题型一、条件概率的计算 1．在某校新高考物理方向的学生中，有60%的同学选了化学学科，40%同学选了生物学科，80%的同学选了化学学科或生物学科．现从该校新高考物理方向的学生中，随机调查一名同学，已知该同学选了化学学科，则该同学选科组合为“物理、化学、生物”的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设事件表示“选化学”，事件表示“选生物”， 题目给出，，， 则， 已知选了化学，所求为条件概率：. 2．现有台州某高中组织高二年级学生研学，全年级学生需从东湖、台州府城墙、神仙居、天台山、大陈岛、温岭石塘、长屿硐天这7个景点中随机选择1个作为目的地.现从全年级中随机抽取两个班级进行调查，记事件“这两个班级选择的目的地中至少有一个选择神仙居”，事件“这两个班级选择的目的地不同”，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得，，， 则. 3．在集合中随机取一个数，在集合中随机取一个数，复数，则在为虚数的条件下为纯虚数的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设事件为虚数为，事件为纯虚数为， 由题知，满足为虚数的的可能情况有共种，即， 满足为纯虚数的的可能情况有共种，故， 所以， 所以在为虚数的条件下为纯虚数的概率为. 4．设，点是从这些点构成的集合中随机选取一点定义以下事件；事件A：“点M在第二象限”；事件B：“点M的横坐标小于0”；___________ 【答案】 【详解】在中是第一象限角， 是第二象限角，是第三象限角，是第四象限角， 因此对应点的横坐标小于0的是第二象限角和第三象限角，共有3个， 点在第二象限的只有第二象限角，有2个， ，， 所以． 5．为增强趣味性，在体能达标的跳绳测试项目中，同学们可以向体育特长班的强手发起挑战．每场挑战赛都采取七局四胜制．积分规则如下：以或获胜队员积4分，落败队员积0分；以或获胜队员积3分，落败队员积1分．假设体育生王强每局比赛获胜的概率均为，求王强在这轮比赛中所得积分为3分的条件下，他前3局比赛都获胜的概率． 【答案】 【详解】设王强在这轮比赛得3分为事件A，王强前3局比赛获胜的事件为B， ， ， . 故王强在这轮比赛中所得积分为3分的条件下，他前3局比赛都获胜的概率为 6．随着2025年世界羽毛球锦标赛在法国巴黎举行，国内掀起了新一波的羽毛球热，激起了民众参加羽毛球运动的热情.某大学羽毛球协会组织了羽毛球双人比赛，已知有甲、乙、丙等8支球队参赛，现将这8支球队随机分为A，B两组，每组4支球队. (1)求甲、乙、丙恰好分在同一组的概率； (2)在甲、乙、丙中至少有2支球队分在A组的条件下，求甲、乙、丙均分在A组的概率. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）从参赛的8支球队随机选4支进入A组，其余4支进入B组，共有种分组情况， 甲、乙、丙恰好分在同一组的情况种数为. 设事件E为“甲、乙、丙恰好分在同一组”，则， 即甲、乙、丙恰好分在同一组的概率为. （2）解法一：记事件M为“甲、乙、丙中至少有2支球队分在A组”，事件N为“甲、乙、丙均分在A组”， 则，， 所以， 故在甲、乙、丙中至少有2支球队分在A组的条件下，甲、乙、丙均分在A组的概率为. 解法二：记事件M为“甲、乙、丙中有2支球队分在A组”，事件N为“甲、乙、丙均分在A组”， 则， 故在甲、乙、丙中至少有2支球队分在A组的条件下，甲、乙、丙均分在A组的概率为. 题型二、条件概率的性质 7．已知随机事件、，满足，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由条件概率公式可得，所以， 因为，且与互斥，所以， 所以， 由条件概率公式可得. 8．已知，且若，，则__________． 【答案】/ 【详解】由可得相互独立， 又，， 又因为，所以， 所以 故答案为：． 9．已知随机事件，，若，，，则_________. 【答案】 【详解】由题意可得，，且，则， 又因为，则， 且，所以. 故答案为:. 10．记为事件的对立事件，且，则___________. 【答案】/0.75 【详解】因为， ∴， ∴. 故答案为：. 11．已知随机事件满足，，． (1)求； (2)求； (3)证明． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】 【详解】（1）因为，，，所以，，． （2）因为，所以， 所以． （3）因为，所以， 所以，， 所以，， 所以． 12．若事件满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得， 又， 所以， 由，得， 所以. 题型三、乘法公式 13．一个不透明的箱子装有若干个除颜色外完全相同的红球和黄球．若第一次摸出红球的概率为，在第一次摸出红球的条件下，第二次摸出黄球的概率为，则第一次摸出红球且第二次摸出黄球的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】记事件“第一次摸出红球”，事件“第二次黄球”，则，， 由条件概率公式得，则, 故选：B． 14．某地区气象台统计，该地区下雨的概率为，已知下雨的条件下，刮风的概率为，则既刮风又下雨的概率为__________． 【答案】 【详解】设事件为下雨，事件为刮风， 由题意得，，，又， 所以． 故答案为：． 15．从这个连续正整数中不放回地任取2个数，设“第一次取到的是质数”为事件A，又设“第二次取到的不是质数”为事件，且，则的所有可能值的和为__________. 【答案】15 【详解】由知在中质数比不是质数的数多一个，因此只可能为3，5，7共3个，而． 故答案为：15. 16．某项射击游戏规定：选手先后对两个目标进行射击，只有两个目标都射中才能过关．某选手射中第一个目标的概率为0.8，继续射击，射中第二个目标的概率为0.5，则这个选手过关的概率为________． 【答案】0.4 【详解】记“射中第一个目标”为事件A，“射中第二个目标”为事件B， 则P(A)＝0.8，P(B|A)＝0.5． 所以P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝0.8×0.5＝0.4，即这个选手过关的概率为0.4． 故答案为：0.4 题型四、全概率公式的应用 17．现有除颜色外都相同的3个红球和3个白球，随机取3个球放入一个不透明的袋中，记袋中红球的个数为．从袋中随机摸出一个球，并换入一个另一种颜色的球，经过1次摸换，袋中的红球个数记为．则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意，事件发生是的事件发生或的事件发生， ，， 所以 . 18．某校开展教师歌手大赛．已知男、女教师人数比例为，有的男教师和的女教师擅长民谣歌曲．现随机选取一位教师，则这位教师恰好擅长民谣歌曲的概率为__________． 【答案】/ 【详解】由男、女教师人数比为，可得随机选一位教师， 选到男教师的概率为，选到女教师的概率为. 已知男教师中擅长民谣的概率为，女教师中擅长民谣的概率为. 根据全概率公式，随机选一位教师恰好擅长民谣的概率为： . 即随机选一位教师，则这位教师恰好擅长民谣歌曲的概率为. 19．盒中有3个红球，6个白球，这些球除颜色外完全相同，从盒中随机取1个球，取出后将原球放回，再加入2个同色球，记事件A为“第1次取到白球”，事件为“第2次取到白球”，则____ 【答案】 【详解】由题意可知：，，则，， 由全概率公式可得， 所以. 20．（多选）在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列，由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1;发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05.假设发送信号0和1是等可能的.则接收的信号为0记为事件A，接收的信号为1记为事件B.则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】定义事件发送信号为0，发送信号为1，接收信号为0，接收信号为1 由题意可知：， 发送0时，接收0的概率为：，接收1的概率为： 发送1时，接收0的概率为：，接收1的概率为： 根据全概率公式可得： ， 所以A选项错误，B选项正确； 同理， 所以C选项错误，D选项正确. 21．某学校只有三个学院：理学院、工学院和商学院．各学院今年毕业的学生人数分别为180人、180人和240人，考上硕士研究生的概率分别为，，．现从该校毕业的学生中随意抽查一人，则该学生考上硕士研究生的概率为________． 【答案】0.285 【详解】设该学生考上硕士研究生，该学生来自理学院，该学生来自工学院，该学生来自商学院}， 则两两互不相容， 故由全概率公式知所求概率为 ． 故答案为：0.285. 22．某地区教育主管部门为调查当地中小学教师的年龄结构，从当地所有中小学教师中随机抽取100名，整理数据得到下表：       年龄（岁）学段 小学 12 20 5 3 初中 12 10 8 5 高中 8 8 7 2 (1)试估计该地区教师年龄的第80百分位数； (2)已知小学、初中、高中教师中骨干教师分别占各学段的，，．若从这100名教师中，任意抽取一位，求这位教师为骨干教师的概率． 【答案】(1)45 (2)0.21 【分析】 【详解】（1）．因为中的人数为32，中的人数为38，中的人数为20， 所以，， 所以教师年龄的第80百分位数应在区间内． 区间中的人数的频率为， 区间中的人数的频率为， 所以估计该地区教师年龄的第80百分位数约为． （2）设事件“抽取的教师为骨干教师”，“抽取的教师来自小学”，“抽取的教师来自初中”，“抽取的教师来自高中”． 而小学、初中、高中教师数分别为40，35，25， 所占比例分别为，，， 所以，，． 又，，， 所以 ． 题型五、贝叶斯公式的应用 23．（多选）甲箱中有2个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和2个白球（两箱中的球除颜色外没有其他区别），先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用事件和表示从甲箱中取出的球是红球和白球；再从乙箱中随机取出两球，用事件B表示从乙箱中取出的两球都是红球，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】由条件可知，，，故AC正确；， ，故B正确； ，故D错误. 24．（多选）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球（球除颜色外，大小质地均相同）、先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐中取出的球是红球的事件.下列结论正确的是（   ） A．事件与相互独立 B． C． D． 【答案】BC 【详解】对于A：因为，，而， 所以事件与不相互独立，故A错误； 对于B：因为，，所以，故B正确； 对于C：因为，，， 所以 ，故C正确； 对于D：，故D错误． 25．某地区有两种天气类型：晴天和雨天.气象台对第二天的天气进行预报，但预报有误差：如果实际是晴天，预报为雨天的概率是0.2，如果实际是雨天，预报为雨天的概率是0.9.已知该地区预报为雨天的总概率是0.76，现在某天气象台预报为雨天，则实际为雨天的概率是______. 【答案】 【详解】设事件表示预报为雨天，事件表示实际为雨天， 则由题意可得，， ， 则， 解得，则，故， 故. 26．某商场在清明节假期期间举办有奖消费活动，抽奖方法如下：，袋中各有5张奖券，其中袋中有2张一等奖和3张二等奖，袋中有3张一等奖和2张二等奖，先从装着标有数字1，2，3，4，5，6的号签筒中任抽1签，若是1，2，3，4 号签，则从袋中随机抽取1张奖券，若是5，6号签，则从袋中随机抽取1张奖券．已知某顾客抽到了一等奖奖券，则该一等奖奖券来自袋的概率 ______． 【答案】 【详解】解：设事件：抽到1，2，3，4号签，事件：抽到5，6号签，事件B：抽到一等奖奖券， 则，，，， ∴， ∴． 27．假定具有症状的疾病有三种，现从20000份患有疾病，，的病历卡中统计得到下列数字： 疾病 人数 出现症状人数 7750 7500 5250 4200 7000 3500 试问当一个具有S中症状的病人前来要求诊断时，他患有疾病的可能性是多少？在没有别的资料可依据的诊断手段情况下，诊断该病人患有这三种疾病中哪一种较合适？ 【答案】当一个具有S中症状的病人前来要求诊断时，他患有疾病的可能性是；病人患有疾病较为合理． 【详解】以表示事件“具有中的某些症状”， 表示事件“患者患有疾病”，由于该问题观察的个数很多，用事件的频率作为概率的近似是合适的，由统计数字可知 ， ， ． 从而 ． 当一个具有S中症状的病人前来要求诊断时，他患有疾病的可能性是； 由贝叶斯公式得 ， ， ， 从而推测病人患有疾病较为合理． 题型六、全概率公式与递推数列 28．（多选）某智能系统在进行数据分类时，其准确性受前一次分类结果的影响.记表示事件“第n次分类正确”，表示第n次分类正确的概率.已知，且满足以下条件：若第n次分类正确，则第次分类正确的概率为；若第n次分类错误，则第次分类正确的概率为.记，则下列结论正确的是（   ） A． B．若第n次分类正确，则第次分类正确的概率为 C．数列是等比数列 D．数列的前n项和为 【答案】ABD 【详解】由题意可知， 故为等比数列，且公比为首项为，故， 即，则，A正确，C错误， 若第n次分类正确，则第次分类正确的概率为，B正确， 由于，故，D正确. 29．马尔可夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程.该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲乙两个口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为，恰有1个黑球的概率为，求 (1)的值； (2)求的式子. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由题意，； （2）当时， ， 整理得，， 是以为首项，以为公比的等比数列， 所以， 所以. 30．某商场拟在周末进行促销活动，为吸引消费者，特别推出“玩游戏，送礼券”的活动，游戏规则如下：该游戏进行10轮，若在10轮游戏中，参与者获胜5次就送2000元礼券，并且游戏结束：否则继续游戏，直至10轮结束．已知该游戏第一次获胜的概率是，若上一次获胜则下一次获胜的概率也是，若上一次失败则下一次成功的概率是．记消费者甲第次获胜的概率为，数列的前项和，且的实际意义为前次游戏中平均获胜的次数． (1)求消费者甲第2次获胜的概率； (2)证明：为等比数列；并估计要获得礼券，平均至少要玩几轮游戏才可能获奖． 【答案】(1) (2)详见解析 【分析】 【详解】（1） （2） , , , 为等比数列, 且公比为；. , 因为单调递增， 当n为奇数时， ，所以得获奖至少要玩9轮. 当n为偶数时，，得奖至少要玩10轮， 所以平均至少要玩9轮才可能获奖. 31．为了践行健康第一的教育理念，学校在课外活动时间安排各种体育运动项目．甲､乙､丙三位同学选择互相传球训练活动，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者将球传给另外两个人中的任何一人，如此不停传下去，且假定每次传出的球都能被接到．已知甲传给乙的概率为，甲传给丙的概率为；乙传给甲的概率为，乙传给丙的概率为；丙传给甲的概率为，丙传给乙的概率为．记第次是甲､乙､丙传球的概率分别为． (1)求的值； (2)用表示，并求的通项公式； (3)在第5次球从甲传出的条件下，求第3次球从丙传出的概率． 【答案】(1)； (2)；； (3). 【分析】 【详解】（1）依题意，；，所以. （2）依题意，当时，，， 则，即，而， 因此数列是首项为，公比为的等比数列，， 所以的通项公式是. （3）设事件：第5次球从甲传出；事件：第3次球从丙传出， 则事件表示：第5次球从甲传出且第3次球从丙传出，其路径为：丙→乙→甲， ， 所以. 32．在篮球训练场上，教练甲指导三名学员进行传球训练，训练开始时，篮球在教练甲手中．由甲开始传球，他每次等可能地将篮球传给学员其中一人，学员接球后，将篮球传出，传给教练甲的概率为，传给另外两学员的概率相等，篮球在四人之间传递． (1)若四人进行了4次传球，求教练甲接球次数的分布列、数学期望； (2)设表示经过次传球后篮球在手中的概率，求． 【答案】(1)分布列见解析， (2) 【分析】 【详解】（1）设教练甲接球次数为，可取， 球在学员手中，传给教练甲的概率为，传给其他学员的概率为， ， ， 分布列为： 0 1 2 数学期望； （2）设表示经过次传球后篮球在教练甲手中的概率， ， 且， 即， 则数列是首项为，公比为的等比数列， ，即， 又传给学员的概率相等， ． 一、单选题 1．（2025·26高一上·江西景德镇·期末）一个袋中有6个大小和质地相同的球，其中红球2个，白球4个，现从中不放回地依次随机摸取2次，每次摸出1个球，则第二次摸出的球是红球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】第二次摸出的球是红球的事件有两种情况： 第一次摸到白球，第二次摸到红球的概率为 第一次摸到红球，第二次摸到红球的概率为 则第二次摸出的球是红球的概率为. 故选： 2．（2025·26高三上·广东东莞·期末）已知随机变量X，Y均服从两点分布，且，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 ， 所以. 故选：B 3．（2024·25高二下·湖北襄阳·期末）连续掷一颗质地均匀的骰子两次，在两次骰子点数之积为偶数的条件下，两次骰子点数均为偶数的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】将一枚质地均匀的骰子连续拋掷2次， 样本空间 ，共有36个样本点， 记“两次骰子点数之积为偶数”为事件， 则事件 ，有27个样本点， 故事件的概率为， 记“两次骰子点数均为偶数”为事件， 则事件，有9个样本点， 故事件的概率为， 所以， 故选：C 4．（2025·26高三上·湖南湘西·期末）设是两个随机事件，已知，，，记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由已知得， 注意到，所以相互独立， 故， ， 又因为，故， 所以. 故选：C. 5．（2025·26高二上·山东·期末）设为样本空间上的三个随机事件，满足：；事件与相互独立，事件与互斥；已知，则的值为（    ） A．0.87 B．0.85 C．0.89 D．0.90 【答案】B 【详解】因为与相互独立，所以， 因为事件与互斥，所以，则， 因为，所以， 则， 故 故选：B 6．（2024·25高二下·广东深圳·期末）某学校一名学生参加体育和AI两个兴趣小组，该同学每周只能选择其中一个兴趣小组学习，第一周选择体育兴趣小组的概率是，如果第一周选择AI兴趣小组，那么第二周去AI兴趣小组的概率为；如果第一周去体育兴趣小组，那么第二周去AI兴趣小组的概率为．已知该同学第二周去AI兴趣小组，则第一周去AI兴趣小组的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设第一周去AI兴趣小组为事件，第二周去AI兴趣小组为事件， 则，， 所以， ， . 故选：A． 二、多选题 7．（2025·26高二上·江西宜春·期末）甲口袋中有3个红球、2个白球和5个黑球、乙口袋中有3个红球、3个白球和4个黑球先从甲口袋中随机取出一球放入乙口袋，分别以、和表示由甲口袋取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙口袋中随机取出一球，以表示由乙口袋取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C．事件与事件相互独立 D．，，是两两互斥的事件 【答案】ABD 【详解】A：乙口袋取出的球是红球的事件有两种情况： 一种情况从甲口袋中随机取出一球放入乙口袋的不是红球， 另一种情况从甲口袋中随机取出一球放入乙口袋的是红球， 所以，因此本选项说法正确； B：，因此本选项说法正确； C：因为，， 所以，所以事件与事件不相互独立，因此本选项说法不正确； D：因为，，是两两事件不能同时发生， 所以，，是两两互斥的事件，因此本选项说法正确. 故选：ABD 8．（2023·24高二下·安徽合肥·期末）设A，B是两个随机事件，且，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若A，B为互斥事件，且，则 D．若A，B相互独立，且，则 【答案】ABD 【详解】对于选项A，， 于是，故选项A正确. 对于选项 ，故选项B正确. 对于选项C，由，得 为互斥事件，，又，故选项C错误. 对于选项D，由A，B相互独立，则，故选项D正确. 故选：ABD 三、填空题 9．（2025·26高三上·山东聊城·期末）一个盒子里装有质地、大小、形状都相同的7个球，其中白球2个，黑球2个，红球3个，现从盒子里依次取出2个球，已知取出的球有红球，则第二次取出的球是红球的概率_________． 【答案】/0.6 【详解】从7个球中依次取出2个球，共有种， 取出的球没有红球，即取的是白球或黑球，则有种， 所以从盒子里依次取出2个球，取出的球有红球的概率为：， 取出的球有红球，则第二次取出的球是红球，分两种情况， 第一次取非红球，第二次取红球有种， 第一次取红球，第二次取红球有种， 第二次取红球有种， 所以取出的球有红球，则第二次取出的球是红球的概率为， 所以， 故答案为： 10．（2025·26高三上·浙江宁波·期末）甲、乙两人进行乒乓球练习，设甲每局获胜的概率为，乙每局获胜的概率为，且各局练习的胜负相互独立.现进行局练习，规定胜局多者获胜，记“局练习甲获胜”的概率为，则_____.（用数字作答） 【答案】 【详解】记“局练习中甲获胜场”的概率为，，故. 由全概率公式， 所以 . 故答案为： 四、解答题 11．（2025·26高二上·内蒙古呼和浩特·期末）一个不透明的盒子中装有个红球和个白球，共个球，它们除了颜色外完全相同.从中随机地连续取两个球，每次取一个球且不放回. (1)求第一次摸出红球的概率； (2)求第一次和第二次都摸出红球的概率； (3)已知第二次摸出的是红球，求第一次摸出白球的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）设事件表示“第次取球时，取到红球”， 则. （2）由题意知，同时发生的概率. （3）设事件表示“第次取球时，取到白球”， 则，, 所以. 12．（2025·26高三上·吉林延边·期末）甲、乙、丙三人向同一目标各射击一次，已知甲命中目标的概率为0.8，乙、丙命中目标的概率都为0.5.每个人射击的结果互不影响. (1)求三人中恰有两人命中目标的概率； (2)在目标至少被击中一次的条件下，求甲命中目标的概率. 【答案】(1)0.45； (2). 【分析】 【详解】（1）根据题意，设“甲命中目标”，“乙命中目标”，“丙命中目标”，“三人中恰有两人命中目标”， 则，，，， 故 ； （2）设目标至少被击中一次为事件，则，故， ， 因为事件（甲命中目标）发生，则事件（目标至少被击中一次）必然发生，所以， 故，所以， 所以. 13．（2023·24高三上·福建泉州·期末）一个袋子中有10个大小相同的球，其中红球7个，黑球3个．每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回． (1)求第2次摸到红球的概率； (2)设第1，2，3次都摸到红球的概率为，第1次摸到红球的概率为，在第1次摸到红球的条件下，第2次摸到红球的概率为，在第1，2次都摸到红球的条件下，第3次摸到红球的概率为，求，，，； (3)对于事件，试根据（2）写出，，，的等量关系式，并加以证明． 【答案】(1) (2)，，， (3)，证明见解析 【分析】 【详解】（1）记事件“第次摸到红球”为，则第2次摸到红球的事件为， ，，，， 由全概率公式，得． （2）由已知得，， ，， ． （3）由（2）可得，即， 可猜想： 证明如下：由条件概率及，， 得，， 所以． 14．（2025高三上·新疆省直辖县级单位·专题练习）某无人机操作员进行定点精准降落训练.据以往训练经验，第一次降落成功的概率为.若第次降落成功，则第次降落成功的概率为；若第次降落未成功，则第次降落成功的概率为，其中. (1)求该操作员第二次降落成功的概率； (2)设第i次降落成功的概率为，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）设事件“第次降落成功”，则“第次降落未成功”，， 由全概率公式得， 该操作员第二次降落成功的概率为. （2）由题意得， 当时， 即， 整理得， 又， 所以数列是以为首项，以为公比的等比数列， 故， 即， 易知单调递增 所以. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $