专题01 条件概率（含三门问题、马尔科夫链）6种题型归类（压轴题专项训练）数学苏教版选择性必修第二册

专题01 条件概率 目录 类型一、条件概率的综合计算 类型二、条件概率性质的运用 类型三、利用乘法公式与全概率公式求概率 类型四、利用贝叶斯公式求概率 类型五、三门问题-------蒙提霍尔问题 类型六、击鼓传花------马尔科夫链问题 压轴专练 类型一、条件概率的综合计算 解题技巧： 1、条件概率的计算方法 （1）定义法（通用方法）：先分别计算“事件A发生的概率P(A)”，以及“事件A与B同时发生的概率P(AB)”，再通过公式(P(B|A)=P(AB)P(A)（要求P(A)>0）得到“在A发生的前提下B发生的概率”。 （2）古典概型专属法（缩小样本空间法）：若问题属于古典概型（所有基本事件等可能发生），可先确定“事件A包含的基本事件数量n(A)”，再统计“在A发生的前提下，事件B包含的基本事件数量n(AB)”，最后通过P(B|A)=n(AB)n(A)计算——本质是将“事件A发生”作为新的样本空间，直接在这个限定范围内计算B的概率。 2、条件概率的三种求法 定义法 先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝求P(B|A) 基本事件法 借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件AB所包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A)＝ 缩样法 缩小样本空间的方法，就是去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解，它能化繁为简 例1-1．一个箱子里有5个相同的球，分别标有数字，从中有放回地随机取3次，每次取出1个球，并记录其号码．设这三次的号码之和为，若为偶数，则三次号码都是偶数的概率为 ． 【答案】 【分析】记事件A：三次的号码之和为偶数，事件B：三次号码都是偶数，将A作为样本空间，根据古典概型求解；或根据条件概率公式求解. 【详解】数字中有2个偶数，3个奇数， 记事件A：三次的号码之和为偶数，事件B：三次号码都是偶数， 则事件B就是积事件，事件A即三次号码都为偶数或2奇1偶: 当三次号码都为偶数时，每次都有2种取法，所以共有种取法； 当三次号码为2奇1偶时，从三次取球中选一次取偶数，有种选法， 这一次取到偶数有2种取法，另外两次取奇数，每次都有3种取法， 根据分步乘法计数原理，这种情况共有种取法. 方法一：所以. 所以, 故答案为：. 方法二：所以， 由条件概率公式知， 故答案为：. 例1-2．已知随机事件互相独立，且满足，则 . 【答案】 【分析】利用独立事件的性质和条件概率公式建立方程，先求出与，再计算. 【详解】因为互相独立，所以. 又因为， 把代入可得：， 故. 由相互独立，得. 故答案为： 变式1-1．已知离散型随机事件A，B发生的概率，，若，事件，，分别表示A，B不发生和至少有一个发生，则 ， . 【答案】 0.8/ 0.6/ 【分析】空1，空2：利用条件概率公式结合韦恩图计算即可. 【详解】由题意得， ， ， ， 故答案为：0.8；0.6.    变式1-2．在平面直角坐标系中，设集合，从U中随机选取2个不同的元素，其对应的点记为A，B，记事件M为“A，O，B三点能构成三角形”，事件N为“的面积恰为整数”，则 ； ． 【答案】 【分析】首先确定全集中有9个点，点对的选法数，确定能构成三角形的种数，利用古典概型概率公式求得，利用条件概率公式可求得. 【详解】由题意可得的选法有3种，的选法有3种，所以全集中有9个点. 首先，计算所有可能的点对的种数为， 下面考虑不能构成三角形的情况：①A，B中含原点，此时有8种； ②A，B中不含原点，则O，A，B三点共线，有，，，共3种， 因此，A，O，B三点能构成三角形的种数为，所以； 方法1：①考虑A，B中含点，且使得的面积为整数的点对的情况， 有，，，共3对； ②考虑A，B中含点，且使得的面积为整数的点对的情况， 有，，，，，，共6对； ③考虑A，B中含点，且使得的面积为整数的点对的情况（去除重复的点对）， 有，，共2对； ④考虑A，B中含点，且使得的面积为整数的点对的情况（去除重复的点对）， 有，，，，共4对； ⑤考虑A，B中含点，且使得的面积为整数的点对的情况（去除重复的点对）， 有，，共2对； 所以， 所以． 方法2：不妨设，，易知的面积为， 则为整数，等价于“为偶数”， 将非原点的8个点按坐标的奇偶性分类如下：（偶，偶）：，，，有3个； （偶，奇）：，，有2个；（奇，偶）：，，有2个；（奇，奇）：，有1个， 令，则d为奇数当且仅当，中恰为一奇一偶， 点对类型为：{（偶，奇），（奇，偶）}，{（偶，奇），（奇，奇）}，{（奇，偶），（奇，奇）}， 有种， 注意到在A，O，B三点能构成三角形的前提下，d为偶数的种数为， 所以， 所以． 变式1-3．设是一个随机试验中的两个事件，且，则 . 【答案】 【分析】根据对立事件的概率与互斥事件的概率计算公式求解即可. 【详解】因为，故， 因为互斥，所以， 所以 ， 解得，所以. 故答案为：. 变式1-4.（多选）已知随机事件满足，，，则下列说法正确的有（   ） A． B． C．事件相互独立 D．若，则 【答案】ABD 【分析】根据和事件的概率公式求解判断A；根据求解判断B；根据求解判断C；列方程求得，再计算对应概率判断D. 【详解】对于A，由题，故，故A正确； 对于B，由表示随机事件恰有一个发生的概率，则， 由A项，，代入可得，解得，故B正确； 对于C，因，且， 由， 可得，因，则，即事件不相互独立，故C错误； 对于D，由，解得或， 因为，故，所以， 而，显然，故D正确. 故选：ABD 类型二、条件概率性质的运用 解题技巧： 条件概率可理解为“限定在‘A发生’这个新样本空间内的概率”，因此具备与普通概率一致的核心性质（需满足P(A)>0）： （1）必然事件的条件概率为1：在A发生的前提下，整个样本空间对应的事件一定发生 （2）互斥事件的条件概率可加：若B、C是不能同时发生的互斥事件，则“B或C在A前提下发生”的概率，等于“B在A前提下发生的概率”加“C在A前提下发生的概率”,P(B∪C∣A)=P(B∣A)+P(C∣A) （3）对立事件的条件概率互补：若是B的对立事件（B与必发生其一且不同时发生），则“B不发生”的条件概率，等于1减去“B发生”的条件概率，即P(|A)=1-P(B|A)。 （4）判断事件，相互独立的常见方法有： （1）若，则，相互独立； （2）若，或，则，相互独立. 例2-1．设是一个随机试验中的两个事件，且，，，则 ． 【答案】/0.5 【分析】先由条件求得和，再代入条件概率公式计算即得. 【详解】因，，则， ， 则. 故答案为：. 例2-2．（多选）已知分别为随机事件的对立事件，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．若，则事件与事件相互独立 D．若，，则 【答案】BCD 【分析】根据条件概率的计算公式进行计算，可判断各选项的正确与否. 【详解】由条件概率的性质可知：，故A错误，B正确； 对C：由，又，所以， 又，所以. 所以，所以，相互独立，故C正确； 对D：由，即，所以，相互独立，所以，故D正确. 故选：BCD 变式2-1．若事件，满足，且，，则 . 【答案】 【分析】根据条件概率公式求解即可. 【详解】因为，所以， 因为，，， 所以， 所以， 故答案为：. 变式2-2．甲、乙、丙三人玩掷硬币游戏，依次连续抛掷一枚质地均匀的硬币1次，每次结果要么正面向上，要么反面向上，两种结果等可能，而且各次抛掷相互独立.记事件表示“3次结果中有正面向上，也有反面向上”，事件表示“3次结果中最多一次正面向上”，事件表示“3次结果中没有正面向上”，则（   ） A．事件与事件互斥 B． C．记的对立事件为，则 D．事件与事件相互独立 【答案】D 【分析】利用列举法将三人抛掷硬币的结果一一列举，再结合古典概型、独立事件、互斥事件、对立事件及条件概率公式一一判定选项即可. 【详解】由题意可知三人抛掷硬币可能的结果有（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正），（正，反，反），（反，正，反），（反，反，正），（反，反，反）. 则事件的可能结果有（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正），（正，反，反），（反，正，反），（反，反，正），共6种情况. 事件的可能结果有（正，反，反），（反，正，反），（反，反，正），（反，反，反），共4种情况. 事件的可能结果有（反，反，反），共1种情况. 对于A，事件与事件都有（反，反，反）这种情况，故事件与事件不互斥，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，，所以，故C错误； 对于D，，，所以，故事件与事件相互独立，故D正确. 故选：D. 变式2-3．（多选）设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用和事件的概率公式和条件概率公式可得. 【详解】对于A：，， 所以，故A错误； 对于B：，，∴， ，故B正确； 对于C：，，∴，故C正确. 对于D：， ，∴，∴， ∴，所以D正确. 故选：BCD. 变式2-4．（多选）设A，B是一个随机试验中的两个事件，，，则（   ） A．事件A，B相互独立 B．若，则 C． D．若，则必有 【答案】BCD 【分析】根据条件概率的计算公式以及并事件的概率公式，可得方程组，进而可得，则，所以，根据相互独立满足的公式即可判断A，结合基本不等式即可求解C,根据条件概率即可求解D. 【详解】由可得, 又, , 则, 不妨设，则， 所以，化简得， 设，则，所以， 对于A，要使A，B相互独立，则需要， 即，即，不恒成立，故A错误， 对于B，由，得，， 故，B正确， 对于C, , 当且仅当时取到等号，而,故，C正确， 对于D,由，得,又, 所以，化简可得, 由于，则,将其代入上式得 ,化简得①， 结合②, 联立①②可得,故， 解得，则，故，故D正确. 故选：BCD 类型三、利用乘法公式与全概率公式求概率 解题技巧： 1.概率的乘法公式 由条件概率的定义，对于任意两个事件与，若，则．我们称上式为概率的乘法公式． 2.全概率公式 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，BΩ＝B(A1＋A2＋…＋An)＝BA1＋BA2＋…＋BAn，有P(B)＝ ，此公式为全概率公式. 易错提醒：（1）全概率公式是用来计算一个复杂事件的概率，它需要将复杂事件分解成若干简单事件的概率计算，即运用了“化整为零”的思想处理问题． （2）什么样的问题适用于这个公式？所研究的事件试验前提或前一步骤试验有多种可能，在这多种可能中均有所研究的事件发生，这时要求所研究事件的概率就可用全概率公式． 例3-1．已知甲盒中有三个红球和两个白球，乙盒中有两个红球和两个白球，所有小球除颜色外，其他都相同．某人先从乙盒中任取两个球，放入甲盒中，再从甲盒中任取两个球，则此人从甲盒中取到的两个球颜色相同的概率为 ． 【答案】 【分析】划分从乙盒取球的三种情况，分别计算每种情况的概率及对应从甲盒取两同色球的概率，再通过全概率公式求和得最终概率. 【详解】乙盒取2球有三种情形： 取2红：概率为，此时甲盒有5红2白，从甲盒取2同色球的概率为； 取2白：概率为，此时甲盒有3红4白，从甲盒取2同色球的概率为； 取1红1白：概率为，此时甲盒有4红3白，从甲盒取2同色球的概率为. 所求概率为： . 故答案为： 例3-2．某学校组织数学竞赛活动，准备了两组题目分别放在A，B两个箱子中．A箱中有4道代数题和2道几何题，B箱中有3道代数题和3道几何题．参赛选手先在两个箱子中任选一个箱子，然后从选中的箱子中依次抽取2道题（不放回）作答．若乙同学选择A箱，答题结束后工作人员失误将乙抽取的题目放回了B箱，接着丙同学选择从B箱抽取题目，则丙抽取的2道题中至少有一道代数题的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先设出事件，依题分别求出和，和，利用全概率公式计算即可. 【详解】设事件为“丙从箱中抽取的2道题中至少有一道代数题”， 事件为“乙从箱中取出2道代数题”，则， 事件为“乙从箱中取出1道代数题和1道几何题”，则， 事件为“乙从箱中取出2道几何题”，则， 当发生时，箱中有5道代数题和3道几何题，则； 当发生时，箱中有4道代数题和4道几何题，则； 当发生时，箱中有3道代数题和5道几何题，则. 由全概率公式可得 . 故选：D. 变式3-1．盒子中有4个红球，6个白球，从盒中每次取1个球，取出后将原球放回，再加入2个同色球，所有的球除颜色外其它均相同，则第2次取到红球的概率为 ；在第2次取到红球的前提下，第3次取到白球的概率为 . 【答案】 / / 【分析】根据条件概率及全概率公式即可求解. 【详解】记事件“第次取到红球”， 则， ， 所以， 即第2次取到红球的概率为； ， 所以， 即在第2次取到红球的前提下，第3次取到白球的概率为. 故答案为：；. 变式3-2．某小学五年级有两个班，其中甲班科技课外兴趣小组有6人（4男2女），乙班科技课外兴趣小组有6人（3男3女），学校准备从五年级科技课外兴趣小组中随机挑选2个学生参加全市科技竞赛．已知其中一个是男生的条件下，则另一个也是男生的概率 ；若通过平时训练发现，如果两个参赛选手来自同一个班，默契程度会高一些，学校决定，先等可能地从两个班中随机选择一个班，再从该班中随机挑选两个同学参赛，则两个都是男生的概率 ． 【答案】 / / 【分析】第一空给出具体事件，根据条件概率公式求解即可；第二空根据全概率公式求解. 【详解】从五年级科技课外兴趣小组的12人中随机挑选2个学生，记“其中一个是男生”为事件，“另一个也是男生”为事件， 由题意知12人中有7男5女， 则. 先等可能地从两个班中随机选择一个班，再从该班中随机挑选两名同学参赛，记“从甲班中选两个同学”为事件，“从乙班中选两个同学”为事件，“两个都是男生”为事件， 因为等可能地从两个班中随机选择一个班，所以， 又， 所以 . 故答案为：；. 变式3-3．某机器人挑战任务规则如下：挑战按阶段依次进行，若连续两个阶段任务都执行失败，则挑战结束；每一个阶段系统随机分配一个简单任务或复杂任务，分配到简单任务的概率为，分配到复杂任务的概率为．已知该机器人成功完成简单任务与复杂任务的概率分别为，且各阶段任务完成情况相互独立． (1)求该机器人在一个阶段中成功完成任务的概率． (2)记为该机器人在完成第n个阶段任务后，整个挑战还未结束的概率．求的值， 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】（1）根据条件概率公式，以及全概率公式，即可求解； 【详解】（1）令S表示“在一个阶段中成功完成任务”，表示“分配到简单任务”，表示“分配到复杂任务”． ．，． 根据全概率公式：． 令，则失败的概率． （2）计算（前一阶段不可能结束）．完成第2阶段后未结束，意味着没有出现“连续两次失败”． 即第阶段不能都是失败．（第阶段都失败）． 变式3-4．现有6个除颜色外大小和形状完全相同的小球，其中3个红球，3个白球．甲同学将这6个小球全部分配到一号和二号盒子中，分配完成后，乙先随机选一个盒子，再从选中的盒子中随机摸1个球，试验结束． (1)若甲在一号盒子中放置了2个红球和1个白球，求乙摸到红球的概率； (2)甲应该如何分配这些球，才能使乙摸到红球的概率最大，说明理由并求出此时概率的最大值． 【答案】(1) (2)答案见解析， 【分析】（1）利用全概率公式计算可得； （2）妨设在一号盒子中放k个红球和m个白球，则在二号盒子中有个红球，个白球，其中，1，2，3且，1，2，3，由对称性，再考虑和两种情况求解即可． 【详解】（1）记事件A为“乙摸到红球”， 若乙选择的是1号盒子，则乙摸到红球的概率，        若乙选择的是2号盒子，则乙摸到红球的概率，         由全概率公式得，， （2）由（1）知，， 不妨设在一号盒子中放k个红球和m个白球， 则在二号盒子中有个红球，个白球， 其中，1，2，3且，1，2，3，由对称性，只需考虑和两种情况，           当时，， ， 当，时， 时取最大，即在一号盒子中只放一个红球，则， 此时．          当时， 列举可得，，均小于．         故甲应该在其中一个盒子中只放1个红球，在另一个盒子中放入剩余5个球， 此时乙最终摸到红球的概率最大为． 类型四、利用贝叶斯公式求概率 解题技巧： 1、贝叶斯公式 （1）一般地，当且时，有 （2）若样本空间中的事件满足： ①任意两个事件均互斥，即，，； ②； ③，． 则对中的任意概率非零的事件，都有， 且 易错提醒：（1）在理论研究和实际中还会遇到一类问题，这就是需要根据试验发生的结果寻找原因，看看导致这一试验结果的各种可能的原因中哪个起主要作用，解决这类问题的方法就是使用贝叶斯公式．贝叶斯公式的意义是导致事件发生的各种原因可能性的大小，称之为后验概率． （2）贝叶斯公式充分体现了，，，，，之间的转关系，即，，之间的内在联系． 2、利用贝叶斯公式求概率的步骤 第一步：利用全概率公式计算，即； 第二步：计算，可利用求解； 第三步：代入求解． 3、贝叶斯概率公式反映了条件概率，全概率公式及乘法公之间的关系，即 例4-1．l8世纪英国数学数理统计学家托马斯·贝叶斯在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：，这个公式被称为贝叶斯公式（贝叶斯定理），其中是一组两两互斥的事件，，且，是中任意事件， ，称为事件B的全概率．现有一种医学检验方法，对患有X疾病的人化验结果呈阳性，对未患有X疾病的人化验呈阴性，我们称检测为阴性的人中患病的概率为漏诊率．现已知某地区X疾病的患病率为0.04，利用贝叶斯公式，则这种医学检验方法在该地区的漏诊率大约为（   ） A．0.001 B．0.002 C．0.003 D．0.004 【答案】D 【分析】设事件“患病”， “不患病”， “显阴性”，求得，且，结合贝叶斯公式，即可求解. 【详解】设事件“患病”， “不患病”， “显阴性”， 根据题意，可得，且， 由贝叶斯公式， 可得 . 故选：D. 例4-2．某社区有“驿站取件”和“上门配送”两种快递服务方式，居民首次选择服务方式时，选择两种服务方式的概率均为0.5.已知：若首次选了“驿站取件”，第二次继续选择“驿站取件”的概率为0.7.若首次选了“上门配送”，第二次换选择“驿站取件”的概率为0.2.则居民第二次选择“驿站取件”的概率为 ，若已知某居民第二次选择“驿站取件”，则他首次选择是“上门配送”的概率为 . 【答案】 【分析】根据全概率公式以及贝叶斯公式即可求解. 【详解】设表示首次选“驿站取件”，则， 表示首次选“上门配送”，则， 表示第二次选“驿站取件”则， 根据全概率公式可得， 第二空根据贝叶斯公式可得. 故答案为：， 变式4-1．为减少早高峰学生上学迟到现象的发生，某学校对所有学生上学的出行方式进行了调查，结果显示有的学生乘坐公共交通工具，有的学生乘坐私家车，有的学生选择骑行或步行.在乘坐公共交通工具出行的学生中有的人迟到，在乘坐私家车出行的学生中有的人迟到，在骑行或步行出行的学生中有的人迟到.以频率估计概率，从该校随机选择一名学生，若他迟到了，则这名学生是乘坐私家车出行的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用全概率公式和贝叶斯公式即可求出结果. 【详解】由题知市民乘坐公共交通工具出行迟到的概率为， 市民开私家车出行迟到的概率为， 市民骑行或步行出行迟到的概率为， 则这名市民迟到的概率为， 故所求的概率为. 故选：C. 变式4-2．假设甲、乙、丙三个实验室分别制备了同一种化学试剂，它们制备的试剂依次占总数的，，，已知甲实验室制备的试剂的纯度不合格率为0.05，乙实验室制备的试剂的纯度不合格率为0.15，丙实验室制备的试剂的纯度不合格率为0.1，制备出来的试剂混放在一起，现从中任取一个试剂，其纯度不合格，则该纯度不合格的试剂来自丙实验室的概率为 . 【答案】0.5/ 【分析】根据全概率公式求出事件“任取一个试剂，其纯度不合格”的概率，再利用贝叶斯概率公式即可求解. 【详解】记甲、乙、丙分别为第1，2，3个实验室，为事件“化学试剂为第个实验室制备”，则，，， 记为事件“任取一个试剂，其纯度不合格”，故由全概率公式得 ， 由贝叶斯概率公式得. 故答案为：0.5. 变式4-3．人工智能领域让贝叶斯公式：站在了世界中心位置，AI换脸是一项深度伪造技术，某视频网站利用该技术掺入了一些“AI”视频，“AI”视频占有率为0.001．某团队决定用AI对抗“AI”，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假．该鉴伪技术的准确率是0.96，即在该视频是伪造的情况下，它有的可能鉴定为“AI”；该鉴伪技术的误报率是0.02，即在该视频是真实的情况下，它有的可能鉴定为“AI”．已知某个视频被鉴定为“AI”，则该视频是“AI”合成的可能性约为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由贝叶斯公式代入计算，即可得到结果. 【详解】设A=“视频是“AI”合成”，设B=“鉴定结果为“AI””， 则， 由贝叶斯公式得： ， 故选：B． 变式4-4．托马斯·贝叶斯（Thomas Bayes）在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：，这个公式被称为贝叶斯公式（贝叶斯定理），其中称为B的全概率，假设甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有3个白球和2个红球，现从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球，已知从乙袋中取出的是2个白球，则从甲袋中取出的是2个红球的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助全概率公式及贝叶斯公式计算即可得. 【详解】设从甲袋中取出2个球，其中红球的个数为i个的事件为， 从乙袋中取出2个球，其中白球的个数为2个的事件为B， 由题意：①，； ②，； ③，. 根据贝叶斯公式可得，从乙袋中取出的是2个白球， 则从甲袋中取出的是2个红球的概率为： . 故选：A. 类型五、三门问题-------蒙提霍尔问题 解题技巧： 1.核心判定：仅当主持人知情并主动排错时，适用概率转移规则；随机排错则为普通条件概率，换与不换胜率相等。 2.概率守恒：初始选择胜率固定为，剩余概率全部转移至未被排除的备选选项。 3.通用公式:总选项数N，主持人排除错误选项数M： ①不换胜率： ②换门胜率： 例5．（多选）1990年9月，美国《Parade》杂志首次公开讨论了源自美国电视节目《Let’s Make a Deal》的蒙提霍尔问题（Monty Hall Problem）：主持人事先在编号为1，2，3的三个外观相同的三扇门后随机选择一个放入豪车，其余两扇门后放入山羊，再将三个门关闭．当游戏参与者在三扇门中选择一个门后，在门打开之前主持人先打开了另外两个门中的一个门，按游戏规定，主持人只打开游戏参与者的选择之外的门后是山羊的门，当两个都是山羊时，他随机选择其中一个打开，并问参与者是否愿意更改选择以便更大概率获得豪车．用表示号门后有豪车，用表示主持人打开号门，已知甲选择了1号门，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．主持人打开的是2号门，要使获得豪车概率更大，甲应该坚持选择1号门 D．主持人打开的是2号门，要使获得豪车概率更大，甲应该改选3号门 【答案】ABD 【分析】根据给定条件，利用古典概率公式，全概率公式及贝叶斯公式逐个判断即可. 【详解】A选项，由题意，故A正确， B选项，甲选择1号箱，奖品在3号箱里，主持人打开2号箱的概率为1， 即，故B正确， CD选项，在选择了1号门的前提下，主持人打开2号门有以下几种可能的情况： 豪车在1号门里，主持人打开2号门，故， 豪车在2号门里，主持人打开2号门，故， 豪车在3号门里，主持人只能打开2号门，故， 由全概率公式， 由贝叶斯公式，在2号门打开的条件下，1号门和3号门里有豪车的条件概率为 ， 故选3号门会使获得豪车的概率更大，即错误，正确. 故选：ABD 变式5-1．“三门问题”（MontyHallproblem）亦称为蒙提霍尔问题､蒙特霍问题或蒙提霍尔悖论，大致出自八九十年代美国的电视游戏节目Let'sMakeaDeal.问题名字来自该节目的主持人蒙提･霍尔（MontyHall）.参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇的后面有一辆跑车，选中后面有车的那扇门可赢得该跑车，另外两扇门后面则各藏有一只山羊.当参赛者选定了一扇门，但未去开启它的时候，节目主持人开启剩下两扇门的其中一扇，露出其中一只山羊.主持人其后会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门.问题是：换另一扇门是否会增加参赛者赢得跑车的概率.如果严格按照上述的条件，那么答案是 （填“会”或者“不会”）.换门的话，赢得跑车的概率是 . 【答案】 会 【分析】设三扇门为，根据题意可得假设我们已经选了门，主持人打开了门，若车在，则打开的概率是，若车在，则打开的概率为1，再结合条件概率及全概率公式即可得解. 【详解】设三扇门为，假设我们已经选了门，主持人打开了门， 若车在，则打开的概率是， 若车在，则打开的概率为1， 被打开可能是在以车在的前提下以概率随机选择的（情况1）， 也可能是以车在为前提以1的概率打开的（情况2）， 虽然我不知道究竟是哪种情况，但是情况2使被打开的可能性更大， 所以以被打开作为已知信息，可以推出已发生情况2的概率更大， 所以换另一扇门会增加参赛者赢得跑车的概率， 用概率论公式来分析，我们得到： 车在门的概率为：， 车在门的概率为：. 故答案为：会；. 变式5-2．（多选）1990年9月，Craig F·Whitaker给《Parade》杂志“Ask Marilyn”专栏提了一个问题（著名的蒙提霍尔问题），在蒙提霍尔游戏节目中，事先在三扇关着的门背后放置好奖品，然后让游戏参与者在三扇关着的门中选择一扇门并赢得所选门后的奖品，游戏参与者知道其中一扇门背后是豪车，其余两扇门背后是山羊，作为游戏参与者当然希望选中并赢得豪车.当参赛者选定了一扇门但未去开启它的时候，节目主持人会开启剩下两扇门的其中一扇，露出一只山羊.主持人随后会问参赛者要不要换另一扇仍然关闭的门.假定你初次选择的是1号门，接着主持人会从2，3号门中打开一道后面是山羊的门.则以下说法正确的是（    ） A．如果坚持第一次选择，你获得豪车的概率为 B．主持人打开3号门的概率为 C．在主持人打开3号门的条件下，2号门有豪车的概率为 D．在主持人打开3号门的条件下，改选2号门比保持原选择获得豪车的概率更大 【答案】ABD 【分析】设分别表示号门里有豪车，用分别表示主持人打开号门，然后用全概率公式和条件概率公式对选项进行分析即可. 【详解】设分别表示号门里有豪车，用分别表示主持人打开号门， 对于A，游戏参与者初次选择了1号门，在做选择的时不知道豪车在哪扇门后， 因此事件发生的概率均为，正确； 对于B，在选择了1号门的前提下，主持人打开1号门外的一个门有以下几种可能的情况： 豪车在1号门里，主持人打开2，3号门，， 豪车在2号门里，主持人只能打开3号门，， 豪车在3号门里，主持人只能打开2号门，， 由全概率公式，正确； 对于CD，在3号门打开的条件下，1号门和2号门里有豪车的条件概率为： ， 因此选2号门会使获得豪车的概率更大，是正确的决策，即错误，正确. 故选：ABD 变式5-3．“三门问题”亦称为蒙提霍尔问题，问题名字来自1970年美国的一个电视游戏节目主持人蒙提•霍尔•游戏中，参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇门后面有一辆跑车，另外两扇门后面则各藏有一只山羊，选中后面有车的那扇门可获奖赢得该跑车，主持人知道跑车在哪一扇门.当参赛者选定了一扇门但未去开启它的时候，节目主持人会开启剩下两扇门的其中一扇，露出一只山羊.主持人随后会问参赛者要不要换另一扇仍然关闭的门.当时大部分的观众和参与者都支持不换门，认为换不换门获奖概率是一样的.然而当时智商最高的玛丽莲•沃斯•莎凡特给出了正确答案：应该换门. (1)请用所学概率知识解释玛丽莲•沃斯•莎凡特给出的答案； (2)当跑车门数不变，山羊门数增加，即总共门数是，其中只有一扇门后面有一辆跑车，证明：游戏中的参与者在主持人打开一扇山羊门后，换门都比不换门中奖概率更高； (3)如果有扇门，其中一扇门后有10万奖金，其他门后什么都没有，主持人知道哪一扇门后面有奖金.当参与者选中一扇门后（未打开），主持人问参与者是否愿意投入5000元，帮他在剩余的门中打开一扇没有奖金的门，并允许参与者换门.问当门数满足什么条件时，参与者投入5000元是值得的？ 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）分别求出换门和不换门中奖的概率，进行比较即可. （2）分别求出换门和不换门中奖的概率，进行比较即可. （3）求出换门和不换门所得奖金的均值，列不等式，解出即可. 【详解】（1）如果不换门，则中奖的概率为. 如果换门，则中奖的概率为：. 所以换门中奖的概率大，所以，应该换门. （2）因为总共门数是，则山羊门数为， 如果不换门，则中奖的概率为：. 如果换门，中奖的概率为：. 因为， 所以换门都比不换门中奖概率更高. （3）由（2）知不换门中奖的概率为，换门中奖的概率为：. 要想投入5000元是值得的，须有：， 整理得：， 结合，，可得. 即当时，参与者投入5000元是值得的. 类型六、击鼓传花------马尔科夫链问题 解题技巧： 1、性质：对于随机变量序列Xn，已知第n小时的状态Xn，如果Xn＋1的随机变化规律与前面的各项X1，X2，…，Xn－1的取值都没有关系，那么称随机变量序列Xn具有马尔科夫性.称具有马尔科夫性的随机变量序列{Xn}为马尔科夫链. 2、原理：利用全概率公式，我们既可以构造某些递推关系求解概率，还可以推导经典的一维随机游走模 型，即设数轴上一个点，它的位置只能位于整点处，在时刻t＝0时，位于点X＝i(i∈N*)一个时刻，它将以概率α或者β(α∈0，1)，α＋β＝1)向左或者向右平移一个单位.若记状态Xt＝i表示在时刻t该点位于位置X＝i(i∈N*)，那么由全概率公式可得 P(Xt＋1＝i)＝P(Xt＝i－1)·P(Xt＋1＝i|Xt＝i－1)＋P(Xt＝i＋1)·P(Xt＋1＝i|Xt＝i＋1) 另一方面，由于P(Xt＋1＝i|Xt＝i－1)＝β，P(Xt＋1＝i|Xt＝i＋1)＝α， 代入上式可得Pi＝αPi＋1＋βPi－1. 例6-1．（多选）现有甲、乙、丙、丁四人组队传球，其中甲、乙为队，丙、丁为队．已知甲、乙传给队友的概率为，丙、丁传给队友的概率为，且任一传球者会等可能地传球给非队友成员．现从甲开始传球，设传球次数为（且），则（    ） A．传球次后，球在甲手中的概率和球在乙手中的概率始终相等 B．时，球在乙手中的概率为 C．传球次后，球在队成员手中的概率恒为一个常数 D．设球在乙手中的概率为，则 【答案】BCD 【分析】对B，列出各种可能传球路线，概率求和；对C，设球在A队成员手中的概率为，在B队成员手中的概率为，分别列出与之间的关系式，整理得到；对D，列出的关系式，构造等比数列求出；对A，由时概率值可判断. 【详解】对于B：由已知，甲传给乙、丙、丁的概率分别为；乙传给甲、丙、丁的概率分别为； 丙传给甲、乙、丁的概率分别为；丁传给甲、乙、丙的概率分别为； 传球的路线可能是①甲-乙-丙-乙；②甲-乙-甲-乙；③甲-乙-丁-乙；④甲-丙-甲-乙；⑤甲-丙-丁-乙；⑥甲-丁-甲-乙；⑦甲-丁-丙-乙. 其概率为，B正确； 对于C：设传球次后，球在A队成员手中的概率为，在B队成员手中的概率为， 则，所以，所以，所以是常数列，C正确； 对于D：当传球3次时，球在甲手中，传球的可能路线①甲-乙-丙-甲；②甲-乙-丁-甲；③甲-丙-丁-甲；④甲-丙-乙-甲；⑤甲-丁-丙-甲；⑥甲-丁-乙-甲. 其概率为， 所以球在A队成员手中的概率为. 由C可知，传球次后，球在A队成员手中的概率为，在B队成员手中的概率为， 所以，整理得， 所以是公比为的等比数列. 当时，，整理得，D正确； 对于A：由时，球在乙手中的概率为，结合C可知球在甲手中的概率为，故两个概率不相等，A错误. 故选：BCD. 例6-2．“布朗运动”是指微小颗粒永不停息的无规则随机运动，在如图所示的试验容器中，容器由三个仓组成，某粒子作布朗运动时每次会从所在仓的通道口中随机选择一个到达相邻仓或者容器外，一旦粒子到达容器外就会被外部捕获装置所捕获，此时试验结束．已知该粒子初始位置在1号仓，则试验结束时该粒子是从1号仓到达容器外的概率为 ．    【答案】 【分析】定义从出发最终从1号口出的概率为，结合独立乘法、互斥加法列出方程组即可求解. 法一：【详解】设从出发最终从1号口出的概率为，所以，解得. 故答案为：. 法二： 变式6-1．马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用．其数学定义为：假设我们的序列状态是…，，，，，…，那么时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态，即． 现实生活中也存在着许多马尔科夫链，例如著名的赌徒模型． 假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率为，且每局赌赢可以赢得1元，每一局赌徒赌输的概率为，且赌输就要输掉1元．赌徒会一直玩下去，直到遇到如下两种情况才会结束赌博游戏：一种是手中赌金为0元，即赌徒输光；一种是赌金达到预期的B元，赌徒停止赌博．记赌徒的本金为，赌博过程如下图的数轴所示． 当赌徒手中有n元（，）时，最终输光的概率为，请回答下列问题： (1)请直接写出与的数值． (2)证明是一个等差数列，并写出公差d． (3)当时，分别计算，时，的数值，并结合实际，解释当时，的统计含义． 【答案】(1)， (2)证明见解析； (3)时，，当时，，统计含义见解析 【分析】（1）明确和的含义，即可得答案； （2）由全概率公式可得，整理为，即可证明结论； （3）由（2）结论可得，即可求得，时，的数值，结合概率的变化趋势，即可得统计含义. 【详解】（1）当时，赌徒已经输光了，因此. 当时，赌徒到了终止赌博的条件，不再赌了，因此输光的概率. （2）记M：赌徒有n元最后输光的事件，N：赌徒有n元且下一场赢的事件, , 即， 所以， 所以是一个等差数列， 设，则， 累加得，故，得， （3），由得,即, 当时，， 当时，， 当时，，因此可知久赌无赢家， 即便是一个这样看似公平的游戏， 只要赌徒一直玩下去就会的概率输光． 变式6-2．在平面直角坐标系中，设.其中为“区”点，为“区”点.现有一质点从点出发，在这四点之间跳动.若质点在“区”时，下一次跳动至同区域的另一个点的概率为，在“区”时，下一次跳动至同区域的另一个点的概率为，且质点会等可能地跳动至另一区域的两个点. (1)证明：跳动次后，该质点落在“区”的概率为定值； (2)跳动次后，求该质点落在点的概率. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由全概率公式得到递推公式即可求解； （2）由全概率公式得到递推公式，构造等比数列即可求解. 【详解】（1）（1）证明：设跳动次后，该质点落在“区”的概率为， 则 所以跳动次后，该质点落在“区”的概率为，为定值 （2）时， 时， 所以 所以数列是以为首项，以为公比的等比数列.. 所以 所以 当时，，也满足上式 所以跳动次后，该质点落在点的概率 变式6-3．某人玩硬币走跳棋的游戏．已知硬币出现正反面的概率都是，棋盘上标有第0站、第1站、第2站、……、第100站．一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次硬币，棋子向前跳动一次，若掷出正面，棋子向前跳一站（从到）；若掷出反面，棋子向前跳两站（从到），且各次抛掷硬币的结果相互独立，直到棋子跳到99站（胜利大本营）或跳到第100站（失败集中营）时，该游戏结束．设棋子跳到第站的概率为． (1)求、、的值； (2)求证：，其中，； (3)求玩该游戏获胜的概率． 【答案】(1)，，； (2)证明见解析； (3) 【分析】（1）根据题意，分析可得棋子在 0 站是一个必然事件，即可得 的值，进而分析棋子跳到1站以及棋子跳到2站的情况，据此求出 的值； （2）根据题意，分析可得 ，变形可得： ，即可得结论； （3）根据题意，由（2）的结论分析可得列 是以 为首项，公比为 的等比数列，则有 ，进而可得 ，计算可得游戏获胜的概率． 【详解】（1）棋子开始在第0站为必然事件，，第一次掷出正面，棋子跳到第1站，其概率为，； 到第2站分两种情况：①前两次都掷出正面；②第一次掷出反面 . （2）棋子跳到第站分两种情况：①棋子先到站，又掷出反面，其概率为 ②棋子先到第站，又掷出正面，其概率为． 整理得：． （3）由（2）知：当时，数列是首项为，公比为的等比数列， ，，……，， 累加可得：， ∴获胜的概率为. 变式6-4．某答题挑战赛规则如下：比赛按轮依次进行，只有答完一轮才能进入下一轮，若连续两轮均答错，则挑战终止；每一轮系统随机地派出一道通识题或专识题，派出通识题的概率为，派出专识题的概率为.已知某选手答对通识题与专识题的概率分别为，且各轮答题正确与否相互独立. (1)求该选手在一轮答题中答对题目的概率； (2)记该选手在第轮答题结束时挑战依然未终止的概率为， （i）求； （ii）是否存在实数，使得数列为等比数列？若存在，求出的值，若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）存在，或 【分析】（1）根据给定条件，利用全概率公式计算得解； （2）（i）将第3轮答题结束时挑战未终止的事件进行分拆，再利用互斥事件的加法公式及相互独立事件的乘法公式求出，同理求出；（ii）利用概率的加法公式及乘法公式列出递推公式，再利用构造法求解得证. 【详解】（1）设事件“一轮答题中系统派出通识题”，事件“该选手在一轮答题中答对”， 依题意，，， 因此， 所以该选手在一轮答题中答对题目的概率为. （2）（i）设事件“该选手在第轮答对题目”，各轮答题正确与否相互独立， 由（1）知，， 当时，挑战显然不会终止，即， 当时，则第1、2轮至少答对一轮，， 由概率加法公式得 ； 同理. （ii）设事件“第轮答题结束时挑战未终止”， 当时，第轮答题结束时挑战未终止的情况有两种： ①第1轮答对，且第2轮到轮结束时挑战未终止； ②第1轮答错，且第2轮答对，第3轮到轮结束时挑战未终止， 因此第轮答题结束时挑战未终止的事件可表示为， 而各轮答题正确与否相互独立， 因此， 所以时，， 设存在实数，使得数列为等比数列， 当时，，整理得， 而，则，解得或， 当时，， 因此当时，数列是首项为，公比为的等比数列； 当时，数列是首项为，公比为的等比数列， 所以存在实数或，使得数列为等比数列. 压轴专练 1.已知事件A，B，C满足A，B是互斥事件，且，，，则的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，，由，是互斥事件知，， 所以， 故选：A． 2.已知编号为1，2，3的箱中各装有除颜色外完全相同的若干个红球和蓝球，且各箱中的小球总个数之比为5：6：9，红球在1，2，3号箱中分别占．从3个箱中的所有球中随机取出一个球，若每个球被取出的概率相等，在取出的球为红球的条件下，该球取自3号箱中的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意，根据古典概型的概率计算以及条件概率的计算公式，结合全概率公式，可得答案. 【详解】设事件为“取出的红球在i号箱中”，事件B为“取出的球为红球”， 则组成了完整的样本空间，且两两互斥． 由题意有 ，． 则由全概率公式，， 则在取出的球为红球的条件下， 其取自3号箱的概率为． 故选：A． 3.马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用.马尔科夫链因俄国数学家安德烈·马尔科夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第次的状态有关，与第，，，⋯次状态无关.现有，两个盒子，各装有1个黑球和1个红球，现从，两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子，重复进行次这样的操作后，记盒子中红球的个数为，恰有1个红球的概率为.则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用古典概型，根据组合数算出第一次操作后盒恰有个红球的概率和恰有个红球的概率. 用全概率公式得到与的递推关系. 对递推式变形，得出数列是等比数列，并确定其首项与公比.依据等比数列通项公式求出的表达式. 把代入表达式，算出的值. 【详解】设第次操作后盒子中恰有2个红球的概率为，则没有红球的概率为. 由题意知，，， 因为，所以. 又因为，所以是以为首项，为公比的等比数列. 所以，. 故选：A. 4.已知贝叶斯公式：．某视频网站利用AI换脸掺入了一些“AI”视频，“AI”视频占有率为0.001．某团队决定用AI对抗AI，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假．该鉴伪技术的准确率是0.98，即在该视频是伪造的情况下，它有的可能鉴定为“AI”；它的误报率是0.03，即在该视频是真实的情况下，它有的可能鉴定为“AI”．已知某个视频被鉴定为“AI”，则该视频是“AI”合成的可能性约为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，由贝叶斯公式代入计算，即可得到结果． 【详解】记“视频是AI合成”为事件，记“鉴定结果为AI”为事件B， 则， 由贝叶斯公式得：． 故选：B. 5.根据曲靖一中食堂人脸识别支付系统后台数据分析发现，高三年级小孔同学一周只去食堂一楼和二楼吃饭．周一去食堂一楼和二楼的概率分别为和，若他周一去了食堂一楼，那么周二去食堂二楼的概率为，若他周一去了食堂二楼，那么周二去食堂一楼的概率为，现已知小孔同学周二去了食堂二楼，则周一去食堂一楼的概率为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用贝叶斯概率公式求解即可. 【详解】记小孔同学周一去食堂一楼为事件A，周二去食堂一楼为事件B， 则本题所求． 故选：A． 6.为保证华为尊界S800的预订活动顺利进行，现开通华为汽车APP、华为官网、华为商城3个预定通道，消费者选择其中一个通道进行预订．由AI对预订情况进行统计．实施更新预订数据．据统计，在有意向预订的消费者中，选择华为汽车APP、华为官网、华为商城预订的概率分别为、、，且对应预订成功的概率分别为、、，则在消费者预订成功的条件下，选择华为汽车APP预订的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设相应事件，利用全概率公式求，再根据条件概率公式运算求解. 【详解】记选择华为汽车APP、华为官网、华为商城预订分别为事件，预订成功为事件， 由题意可得：，， 则， 所以. 故选：C. 7.（多选）1990年9月，Craig F·Whitaker给《Parade》杂志“Ask Marilyn”专栏提了一个问题（著名的蒙提霍尔问题，也称三门问题），在蒙提霍尔游戏节目中，事先在三扇关着的门背后放置好奖品，然后让游戏参与者在三扇关着的门中选择一扇门并赢得所选门后的奖品，游戏参与者知道其中一扇门背后是豪车，其余两扇门背后是山羊，作为游戏参与者当然希望选中并赢得豪车，主持人知道豪车在哪扇门后面.假定你初次选择的是1号门，接着主持人会从号门中打开一道后面是山羊的门.则以下说法正确的是（    ） A．你获得豪车的概率为 B．主持人打开3号门的概率为 C．在主持人打开3号门的条件下，2号门有豪车的概率为 D．在主持人打开3号门的条件下，若主持人询问你是否改选号码，则改选2号门比保持原选择获得豪车的概率更大 【答案】ABD 【分析】设分别表示号门里有豪车，用分别表示主持人打开号门，然后用全概率公式和贝叶斯公式对选项进行分析即可 【详解】设分别表示号门里有豪车，用分别表示主持人打开号门. 对于A，如题意所述，游戏参与者初次选择了1号门，因为在做选择的时候不知道豪车在哪个门里，故不影响豪车在三个门中的概率分配，所以事件发生的概率仍然为，即正确； 对于B，在选择了1号门的前提下，主持人打开1号门外的一个门有以下几种可能的情况： 豪车在1号门里，主持人打开2，3号门，故， 豪车在2号门里，主持人只能打开3号门，故， 豪车在3号门里，主持人只能打开2号门，故， 由全概率公式，即正确； 对于C，由贝叶斯公式，在3号门打开的条件下，1号门和2号门里有豪车的条件概率为， 故选2号门会使获得豪车的概率更大，是正确的决策，即错误，正确. 故选：ABD 8.（多选）设M，N为随机事件，且，则下列说法正确的是（ ） A．若，则M，N可能不相互独立； B．若，则； C．若条件概率存在且不为0，，则； D．若，则． 【答案】BC 【分析】A选项，由条件概率公式及题目条件得到，故M，N相互独立；B选项，由A及条件概率公式可得；C选项，由条件概率公式化简得到C正确；D选项，先得到，从而 【详解】A选项，，又，故， 即，故M，N相互独立，A错误； B选项，由A知，，则，B正确； C选项，， ， 故，C正确； D选项，， ，故， ，故， 则，即， 则，D错误. 故选：BC 9.（多选）某商场为了吸引顾客前来消费，开展抽奖活动，规定消费每满100元即可获得一次抽奖机会．已知顾客第一次抽奖的中奖概率为，从第二次抽奖开始，若前一次没有中奖，则这次抽奖的中奖概率为，若前一次中奖，则这次抽奖的中奖概率为．记顾客第次抽奖的中奖概率为，则（    ） A． B．某顾客消费200元，则其中奖概率为 C．的最大值为 D．当时，越大，越小 【答案】AC 【分析】对A，根据抽奖规则建立递推公式，代入算出验证选项；对B，用对立事件概率公式计算两次抽奖至少中奖一次的概率进行判断；对C，将递推公式变形构造等比数列，求出通项后分奇偶讨论验证选项；对D，根据通项公式分析奇偶项的单调性，进行判断. 【详解】对于A：由题意可得， 所以，A正确； 对于B：第一次未中奖的概率为，在第一次未中奖的条件下，第二次也未中奖的概率为， 因此，两次均未中奖的概率为，由对立事件的概率可得其中奖概率为：，B错误； 对于C：由得，所以是等比数列， 首项为，公比为， 所以. 当为奇数时，； 当为偶数时，随增大而减小，当时取得最大值， 综上，的最大值为，C正确； 对于D：当为奇数时，，随的增大而增大； 当为偶数时，随增大而减小，D错误； 故选：AC. 10.记为事件的对立事件，且，则 . 【答案】/0.75 【详解】因为， ∴， ∴. 故答案为：. 11.已知有A，B两个盒子，其中A盒装有2个黑球和1个白球，B盒装有1个黑球和2个白球，这些球除颜色外完全相同.甲从A盒、乙从B盒各随机取出一个球，若2个球同色，则甲胜，并将取出的2个球全部放入A盒中；若2个球异色，则乙胜，并将取出的2个球全部放入B盒中.按上述方法重复操作两次后，A盒，B盒中球的个数保持不变的概率是 . 【答案】 【分析】根据题意可知：要保证重复操作两次后，A盒，B盒中球的个数保持不变，须甲、乙各胜出一次.依次分析各种取球情况，即可得到正确答案. 【详解】根据题意可知：要保证重复操作两次后，A盒，B盒中球的个数保持不变，须甲、乙各胜出一次. 记为甲第次胜出，；记为乙第次胜出，； 第一次取球，甲、乙均取到黑球，甲胜出的概率为.此时，B盒只余两个白球，A盒中有3个黑球1个白球，所以第二次乙只能取到白球，而甲取到黑球的概率为. 第一次取球，甲、乙均取到白球，甲胜出的概率为.此时，B盒中有1个白球1个黑球，A盒中有2个黑球2个白球，所以第二次乙取到白球、甲取到黑球的概率为，第二次乙取到黑球、甲取到白球的概率为，即该情况下，第二次乙胜出的概率为. .第一次取球，甲取到白球、乙取到黑球，乙胜出的概率为.此时，A盒只余两个黑球，B盒中有1个黑球3个白球，所以第二次甲只能取到黑球，而乙取到黑球的概率为. 第一次取球，甲取到黑球、乙取到白球，乙胜出的概率为.此时，A盒中有1个白球1个黑球，B盒中有2个黑球2个白球，所以第二次甲、乙均取到黑球的概率为，第二次甲、乙均取到白球的概率为，即该情况下，第二次甲胜出的概率为. 因此，. 故重复操作两次后，A盒，B盒中球的个数保持不变的概率是. 故答案为：. 12.近年来，我国外卖业发展迅猛，外卖小哥穿梭在城市的大街小巷成为一道道亮丽的风景线．他们根据外卖平台提供的信息到外卖店取单．某外卖小哥每天来往于r个外卖店（外卖店的编号分别为1，2，……，r，其中），约定：每天他首先从1号外卖店取单，叫做第1次取单，之后，他等可能的前往其余个外卖店中的任何一个店取单叫做第2次取单，依此类推．假设从第2次取单开始，他每次都是从上次取单的店之外的个外卖店取单．设事件{第k次取单恰好是从1号店取单}，是事件发生的概率，显然则，与的关系式为 ． 【答案】． 【分析】根据题意，结合条件概率的计算公式，即可求解. 【详解】根据题意，事件{第2次取单恰好是从1号店取单}， 由于每天第1次取单都是从1号店开始， 所以，第2次不可能从1号店取单， 所以 又因为{第3次取单恰好是从1号店取单}， 由条件概率公式可得： ， 所以由全概率公式可得： ． 故答案为：． 13.假设未来的你是一个不算太差的一般人，crush喜欢你的概率是25%；如果ta喜欢你，第一次能约出来的概率是70%；如果ta不喜欢你，第一次能约出来的概率是20%. (1)如果第一次能约出来，ta有多大可能喜欢你呢？ (2)如果第一次约会后crush喜欢你，则第二次能约出来的概率为85%；如果ta不喜欢你，则第二次能约出来的概率为5%.如果crush连着两次都能约出来，ta有多大可能喜欢你呢？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据全概率公式以及贝叶斯公式即可求得结果. （2）根据全概率公式以及贝叶斯公式即可求得结果. 【详解】（1）设事件A为“ta喜欢你”，事件B为“第一次能约出来”，则 又因为ta喜欢你，第一次能约出来的概率是70%；如果ta不喜欢你，第一次能约出来的概率是20%，故, 根据全概率公式可得, 则根据贝叶斯公式：, （2）设事件C为“第二次能约出来”,设事件D为“crush连着两次都能约出来”， 因为第一次约会后crush喜欢你，则第二次能约出来的概率为85%；如果ta不喜欢你，则第二次能约出来的概率为5%.故, 根据全概率事件, 而事件,则,, 根据全概率公式：, 根据贝叶斯公式：. 14.春季是万物复苏的季节，也是流感病毒活跃的高发期．已知在甲，乙，丙三个地区暴发了流感，这三个地区分别有的人患了流感．假设这三个地区的人口数的比为，现从这三个地区中任意选取一个人． (1)求这个人患流感的概率； (2)设是一组两两互斥的事件，，且，对任意的事件，证明：； (3)若此人患流感，则他来自于哪个地区的可能性最小． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)此人来自甲地区的可能性最小 【分析】（1）应用全概率公式计算求解； （2）应用条件概率公式计算证明； （3）应用贝叶斯公式计算求解. 【详解】（1）设“选取的人患流感”，用，分别表示选取的人来自甲，乙，丙地区， 则， 所以 由全概率公式得 （2）根据乘法公式 条件概率得 所以； （3）由（2）知： ， ， ， 所以， 答：此人来自甲地区的可能性最小 15.在坐标平面内，点的初始位置为若某一时刻点位于，则经过秒，点将做出以下四种运动之一： ①以的概率，点移动到点关于轴的对称点处； ②以的概率，点移动到点关于轴的对称点处； ③以的概率，点移动到点关于直线的对称点处； ④以的概率，点移动到点关于直线的对称点处 (1)直接写出在运动过程中，点可能经过的所有点的坐标； (2)设（）为正整数，记事件为“秒后点移动到点”，事件为“秒后点移动到点” （i）证明：； （ii）求（用表示）. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析（ii）答案见解析 【分析】（1）根据对称性写出点的坐标； （2）记分别表示秒后点移动到的概率， （i）由全概率公式，有：，即可得证； （ii）结合全概率公式，可得，进而，又，结合可求解. 【详解】（1）点所有可能经过的点有： ； （2）记分别表示秒后点移动到相应点的概率， 即对应对应对应对应， 对应对应对应对应 则 （i）由全概率公式，有： ， 故，即，证毕； （ii）由（2）同理可得：，故结合全概率公式，有： ， 一方面，（1）+（3），（2）+（4），有：， 即：， 又，故， 即当为奇数时，， 另一方面，（1）-（3），（2）-（4），有：， 故， 又， 故当为偶数时，， 此时，， 综上所述：. 16.材料一：英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，创立了贝叶斯统计理论，对于统计决策函数､统计推断等做出了重要贡献.贝叶斯公式就是他的重大发现，它用来描述两个条件概率之间的关系.该公式为：设是一组两两互斥的事件，，且，，则对任意的事件，有，. 材料二：马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习､自然语言处理､金融领域､天气预测等方面都有着极其广泛的应用.其数学定义为：假设我们的序列状态是，，那么时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态，即. 请根据以上材料，回答下列问题. (1)已知德国电车市场中，有的车电池性能很好.公司出口的电动汽车，在德国汽车市场中占比，其中有的汽车电池性能很好.现有一名顾客在德国购买一辆电动汽车，已知他购买的汽车不是公司的，求该汽车电池性能很好的概率；（结果精确到0.001 (2)为迅速抢占市场，公司计划进行电动汽车推广活动.活动规则如下：有11个排成一行的格子，编号从左至右为，有一个小球在格子中运动，每次小球有的概率向左移动一格；有的概率向右移动一格，规定小球移动到编号为0或者10的格子时，小球不再移动，一轮游戏结束.若小球最终停在10号格子，则赢得6百欧元的购车代金券；若小球最终停留在0号格子，则客户获得一个纪念品.记为以下事件发生的概率：小球开始位于第个格子，且最终停留在第10个格子.一名顾客在一次游戏中，小球开始位于第5个格子，求他获得代金券的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）记事件为一辆德国市场的电车性能很好，事件为一辆德国市场的车来自公司.根据全概率公式和条件概率公式求解即可； （2）记事件表示小球开始位于第个格子，且最终停留在第10个格子，事件表示小球向右走一格.小球始于，当小球向左移动，即可理解为小球始于，即.证明是以为首项，3为公比的等比数列求解即可. 【详解】（1）记事件为一辆德国市场的电车性能很好，事件为一辆德国市场的车来自公司.由全概率公式知： 故：. （2）记事件表示小球开始位于第个格子，且最终停留在第10个格子， 此时的概率为，则下一步小球向左或向右移动， 此时当小球向右移动，即可理解为小球始于，当小球向左移动，即可理解为小球始于， 即.由题知， 又，故， 所以是以为首项，3为公比的等比数列， 即：， 即：， ， ， 故， ， 则， 故这名顾客获得代金券的概率为. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 条件概率 目录 类型一、条件概率的综合计算 类型二、条件概率性质的运用 类型三、利用乘法公式与全概率公式求概率 类型四、利用贝叶斯公式求概率 类型五、三门问题-------蒙提霍尔问题 类型六、击鼓传花------马尔科夫链问题 压轴专练 类型一、条件概率的综合计算 解题技巧： 1、条件概率的计算方法 （1）定义法（通用方法）：先分别计算“事件A发生的概率P(A)”，以及“事件A与B同时发生的概率P(AB)”，再通过公式(P(B|A)=P(AB)P(A)（要求P(A)>0）得到“在A发生的前提下B发生的概率”。 （2）古典概型专属法（缩小样本空间法）：若问题属于古典概型（所有基本事件等可能发生），可先确定“事件A包含的基本事件数量n(A)”，再统计“在A发生的前提下，事件B包含的基本事件数量n(AB)”，最后通过P(B|A)=n(AB)n(A)计算——本质是将“事件A发生”作为新的样本空间，直接在这个限定范围内计算B的概率。 2、条件概率的三种求法 定义法 先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝求P(B|A) 基本事件法 借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件AB所包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A)＝ 缩样法 缩小样本空间的方法，就是去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解，它能化繁为简 例1-1．一个箱子里有5个相同的球，分别标有数字，从中有放回地随机取3次，每次取出1个球，并记录其号码．设这三次的号码之和为，若为偶数，则三次号码都是偶数的概率为 ． 例1-2．已知随机事件互相独立，且满足，则 . 变式1-1．已知离散型随机事件A，B发生的概率，，若，事件，，分别表示A，B不发生和至少有一个发生，则 ， . 变式1-2．在平面直角坐标系中，设集合，从U中随机选取2个不同的元素，其对应的点记为A，B，记事件M为“A，O，B三点能构成三角形”，事件N为“的面积恰为整数”，则 ； ． 变式1-3．设是一个随机试验中的两个事件，且，则 . 变式1-4.（多选）已知随机事件满足，，，则下列说法正确的有（   ） A． B． C．事件相互独立 D．若，则 类型二、条件概率性质的运用 解题技巧： 条件概率可理解为“限定在‘A发生’这个新样本空间内的概率”，因此具备与普通概率一致的核心性质（需满足P(A)>0）： （1）必然事件的条件概率为1：在A发生的前提下，整个样本空间对应的事件一定发生 （2）互斥事件的条件概率可加：若B、C是不能同时发生的互斥事件，则“B或C在A前提下发生”的概率，等于“B在A前提下发生的概率”加“C在A前提下发生的概率”,P(B∪C∣A)=P(B∣A)+P(C∣A) （3）对立事件的条件概率互补：若是B的对立事件（B与必发生其一且不同时发生），则“B不发生”的条件概率，等于1减去“B发生”的条件概率，即P(|A)=1-P(B|A)。 （4）判断事件，相互独立的常见方法有： （1）若，则，相互独立； （2）若，或，则，相互独立. 例2-1．设是一个随机试验中的两个事件，且，，，则 ． 例2-2．（多选）已知分别为随机事件的对立事件，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．若，则事件与事件相互独立 D．若，，则 变式2-1．若事件，满足，且，，则 . 变式2-2．甲、乙、丙三人玩掷硬币游戏，依次连续抛掷一枚质地均匀的硬币1次，每次结果要么正面向上，要么反面向上，两种结果等可能，而且各次抛掷相互独立.记事件表示“3次结果中有正面向上，也有反面向上”，事件表示“3次结果中最多一次正面向上”，事件表示“3次结果中没有正面向上”，则（   ） A．事件与事件互斥 B． C．记的对立事件为，则 D．事件与事件相互独立 变式2-3．（多选）设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（    ） A． B． C． D． 变式2-4．（多选）设A，B是一个随机试验中的两个事件，，，则（   ） A．事件A，B相互独立 B．若，则 C． D．若，则必有 类型三、利用乘法公式与全概率公式求概率 解题技巧： 1.概率的乘法公式 由条件概率的定义，对于任意两个事件与，若，则．我们称上式为概率的乘法公式． 2.全概率公式 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，BΩ＝B(A1＋A2＋…＋An)＝BA1＋BA2＋…＋BAn，有P(B)＝ ，此公式为全概率公式. 易错提醒：（1）全概率公式是用来计算一个复杂事件的概率，它需要将复杂事件分解成若干简单事件的概率计算，即运用了“化整为零”的思想处理问题． （2）什么样的问题适用于这个公式？所研究的事件试验前提或前一步骤试验有多种可能，在这多种可能中均有所研究的事件发生，这时要求所研究事件的概率就可用全概率公式． 例3-1．已知甲盒中有三个红球和两个白球，乙盒中有两个红球和两个白球，所有小球除颜色外，其他都相同．某人先从乙盒中任取两个球，放入甲盒中，再从甲盒中任取两个球，则此人从甲盒中取到的两个球颜色相同的概率为 ． 例3-2．某学校组织数学竞赛活动，准备了两组题目分别放在A，B两个箱子中．A箱中有4道代数题和2道几何题，B箱中有3道代数题和3道几何题．参赛选手先在两个箱子中任选一个箱子，然后从选中的箱子中依次抽取2道题（不放回）作答．若乙同学选择A箱，答题结束后工作人员失误将乙抽取的题目放回了B箱，接着丙同学选择从B箱抽取题目，则丙抽取的2道题中至少有一道代数题的概率为（ ） A． B． C． D． 变式3-1．盒子中有4个红球，6个白球，从盒中每次取1个球，取出后将原球放回，再加入2个同色球，所有的球除颜色外其它均相同，则第2次取到红球的概率为 ；在第2次取到红球的前提下，第3次取到白球的概率为 . 变式3-2．某小学五年级有两个班，其中甲班科技课外兴趣小组有6人（4男2女），乙班科技课外兴趣小组有6人（3男3女），学校准备从五年级科技课外兴趣小组中随机挑选2个学生参加全市科技竞赛．已知其中一个是男生的条件下，则另一个也是男生的概率 ；若通过平时训练发现，如果两个参赛选手来自同一个班，默契程度会高一些，学校决定，先等可能地从两个班中随机选择一个班，再从该班中随机挑选两个同学参赛，则两个都是男生的概率 ． 变式3-3．某机器人挑战任务规则如下：挑战按阶段依次进行，若连续两个阶段任务都执行失败，则挑战结束；每一个阶段系统随机分配一个简单任务或复杂任务，分配到简单任务的概率为，分配到复杂任务的概率为．已知该机器人成功完成简单任务与复杂任务的概率分别为，且各阶段任务完成情况相互独立． (1)求该机器人在一个阶段中成功完成任务的概率． (2)记为该机器人在完成第n个阶段任务后，整个挑战还未结束的概率．求的值， 变式3-4．现有6个除颜色外大小和形状完全相同的小球，其中3个红球，3个白球．甲同学将这6个小球全部分配到一号和二号盒子中，分配完成后，乙先随机选一个盒子，再从选中的盒子中随机摸1个球，试验结束． (1)若甲在一号盒子中放置了2个红球和1个白球，求乙摸到红球的概率； (2)甲应该如何分配这些球，才能使乙摸到红球的概率最大，说明理由并求出此时概率的最大值． 类型四、利用贝叶斯公式求概率 解题技巧： 1、贝叶斯公式 （1）一般地，当且时，有 （2）若样本空间中的事件满足： ①任意两个事件均互斥，即，，； ②； ③，． 则对中的任意概率非零的事件，都有， 且 易错提醒：（1）在理论研究和实际中还会遇到一类问题，这就是需要根据试验发生的结果寻找原因，看看导致这一试验结果的各种可能的原因中哪个起主要作用，解决这类问题的方法就是使用贝叶斯公式．贝叶斯公式的意义是导致事件发生的各种原因可能性的大小，称之为后验概率． （2）贝叶斯公式充分体现了，，，，，之间的转关系，即，，之间的内在联系． 2、利用贝叶斯公式求概率的步骤 第一步：利用全概率公式计算，即； 第二步：计算，可利用求解； 第三步：代入求解． 3、贝叶斯概率公式反映了条件概率，全概率公式及乘法公之间的关系，即 例4-1．l8世纪英国数学数理统计学家托马斯·贝叶斯在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：，这个公式被称为贝叶斯公式（贝叶斯定理），其中是一组两两互斥的事件，，且，是中任意事件， ，称为事件B的全概率．现有一种医学检验方法，对患有X疾病的人化验结果呈阳性，对未患有X疾病的人化验呈阴性，我们称检测为阴性的人中患病的概率为漏诊率．现已知某地区X疾病的患病率为0.04，利用贝叶斯公式，则这种医学检验方法在该地区的漏诊率大约为（   ） A．0.001 B．0.002 C．0.003 D．0.004 例4-2．某社区有“驿站取件”和“上门配送”两种快递服务方式，居民首次选择服务方式时，选择两种服务方式的概率均为0.5.已知：若首次选了“驿站取件”，第二次继续选择“驿站取件”的概率为0.7.若首次选了“上门配送”，第二次换选择“驿站取件”的概率为0.2.则居民第二次选择“驿站取件”的概率为 ，若已知某居民第二次选择“驿站取件”，则他首次选择是“上门配送”的概率为 . 变式4-1．为减少早高峰学生上学迟到现象的发生，某学校对所有学生上学的出行方式进行了调查，结果显示有的学生乘坐公共交通工具，有的学生乘坐私家车，有的学生选择骑行或步行.在乘坐公共交通工具出行的学生中有的人迟到，在乘坐私家车出行的学生中有的人迟到，在骑行或步行出行的学生中有的人迟到.以频率估计概率，从该校随机选择一名学生，若他迟到了，则这名学生是乘坐私家车出行的概率为（    ） A． B． C． D． 变式4-2．假设甲、乙、丙三个实验室分别制备了同一种化学试剂，它们制备的试剂依次占总数的，，，已知甲实验室制备的试剂的纯度不合格率为0.05，乙实验室制备的试剂的纯度不合格率为0.15，丙实验室制备的试剂的纯度不合格率为0.1，制备出来的试剂混放在一起，现从中任取一个试剂，其纯度不合格，则该纯度不合格的试剂来自丙实验室的概率为 . 变式4-3．人工智能领域让贝叶斯公式：站在了世界中心位置，AI换脸是一项深度伪造技术，某视频网站利用该技术掺入了一些“AI”视频，“AI”视频占有率为0.001．某团队决定用AI对抗“AI”，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假．该鉴伪技术的准确率是0.96，即在该视频是伪造的情况下，它有的可能鉴定为“AI”；该鉴伪技术的误报率是0.02，即在该视频是真实的情况下，它有的可能鉴定为“AI”．已知某个视频被鉴定为“AI”，则该视频是“AI”合成的可能性约为（     ） A． B． C． D． 变式4-4．托马斯·贝叶斯（Thomas Bayes）在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：，这个公式被称为贝叶斯公式（贝叶斯定理），其中称为B的全概率，假设甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有3个白球和2个红球，现从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球，已知从乙袋中取出的是2个白球，则从甲袋中取出的是2个红球的概率为（   ） A． B． C． D． 类型五、三门问题-------蒙提霍尔问题 解题技巧： 1.核心判定：仅当主持人知情并主动排错时，适用概率转移规则；随机排错则为普通条件概率，换与不换胜率相等。 2.概率守恒：初始选择胜率固定为，剩余概率全部转移至未被排除的备选选项。 3.通用公式:总选项数N，主持人排除错误选项数M： ①不换胜率： ②换门胜率： 例5．（多选）1990年9月，美国《Parade》杂志首次公开讨论了源自美国电视节目《Let’s Make a Deal》的蒙提霍尔问题（Monty Hall Problem）：主持人事先在编号为1，2，3的三个外观相同的三扇门后随机选择一个放入豪车，其余两扇门后放入山羊，再将三个门关闭．当游戏参与者在三扇门中选择一个门后，在门打开之前主持人先打开了另外两个门中的一个门，按游戏规定，主持人只打开游戏参与者的选择之外的门后是山羊的门，当两个都是山羊时，他随机选择其中一个打开，并问参与者是否愿意更改选择以便更大概率获得豪车．用表示号门后有豪车，用表示主持人打开号门，已知甲选择了1号门，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．主持人打开的是2号门，要使获得豪车概率更大，甲应该坚持选择1号门 D．主持人打开的是2号门，要使获得豪车概率更大，甲应该改选3号门 变式5-1．“三门问题”（MontyHallproblem）亦称为蒙提霍尔问题､蒙特霍问题或蒙提霍尔悖论，大致出自八九十年代美国的电视游戏节目Let'sMakeaDeal.问题名字来自该节目的主持人蒙提･霍尔（MontyHall）.参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇的后面有一辆跑车，选中后面有车的那扇门可赢得该跑车，另外两扇门后面则各藏有一只山羊.当参赛者选定了一扇门，但未去开启它的时候，节目主持人开启剩下两扇门的其中一扇，露出其中一只山羊.主持人其后会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门.问题是：换另一扇门是否会增加参赛者赢得跑车的概率.如果严格按照上述的条件，那么答案是 （填“会”或者“不会”）.换门的话，赢得跑车的概率是 . 变式5-2．（多选）1990年9月，Craig F·Whitaker给《Parade》杂志“Ask Marilyn”专栏提了一个问题（著名的蒙提霍尔问题），在蒙提霍尔游戏节目中，事先在三扇关着的门背后放置好奖品，然后让游戏参与者在三扇关着的门中选择一扇门并赢得所选门后的奖品，游戏参与者知道其中一扇门背后是豪车，其余两扇门背后是山羊，作为游戏参与者当然希望选中并赢得豪车.当参赛者选定了一扇门但未去开启它的时候，节目主持人会开启剩下两扇门的其中一扇，露出一只山羊.主持人随后会问参赛者要不要换另一扇仍然关闭的门.假定你初次选择的是1号门，接着主持人会从2，3号门中打开一道后面是山羊的门.则以下说法正确的是（    ） A．如果坚持第一次选择，你获得豪车的概率为 B．主持人打开3号门的概率为 C．在主持人打开3号门的条件下，2号门有豪车的概率为 D．在主持人打开3号门的条件下，改选2号门比保持原选择获得豪车的概率更大 变式5-3．“三门问题”亦称为蒙提霍尔问题，问题名字来自1970年美国的一个电视游戏节目主持人蒙提•霍尔•游戏中，参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇门后面有一辆跑车，另外两扇门后面则各藏有一只山羊，选中后面有车的那扇门可获奖赢得该跑车，主持人知道跑车在哪一扇门.当参赛者选定了一扇门但未去开启它的时候，节目主持人会开启剩下两扇门的其中一扇，露出一只山羊.主持人随后会问参赛者要不要换另一扇仍然关闭的门.当时大部分的观众和参与者都支持不换门，认为换不换门获奖概率是一样的.然而当时智商最高的玛丽莲•沃斯•莎凡特给出了正确答案：应该换门. (1)请用所学概率知识解释玛丽莲•沃斯•莎凡特给出的答案； (2)当跑车门数不变，山羊门数增加，即总共门数是，其中只有一扇门后面有一辆跑车，证明：游戏中的参与者在主持人打开一扇山羊门后，换门都比不换门中奖概率更高； (3)如果有扇门，其中一扇门后有10万奖金，其他门后什么都没有，主持人知道哪一扇门后面有奖金.当参与者选中一扇门后（未打开），主持人问参与者是否愿意投入5000元，帮他在剩余的门中打开一扇没有奖金的门，并允许参与者换门.问当门数满足什么条件时，参与者投入5000元是值得的？ 类型六、击鼓传花------马尔科夫链问题 解题技巧： 1、性质：对于随机变量序列Xn，已知第n小时的状态Xn，如果Xn＋1的随机变化规律与前面的各项X1，X2，…，Xn－1的取值都没有关系，那么称随机变量序列Xn具有马尔科夫性.称具有马尔科夫性的随机变量序列{Xn}为马尔科夫链. 2、原理：利用全概率公式，我们既可以构造某些递推关系求解概率，还可以推导经典的一维随机游走模 型，即设数轴上一个点，它的位置只能位于整点处，在时刻t＝0时，位于点X＝i(i∈N*)一个时刻，它将以概率α或者β(α∈0，1)，α＋β＝1)向左或者向右平移一个单位.若记状态Xt＝i表示在时刻t该点位于位置X＝i(i∈N*)，那么由全概率公式可得 P(Xt＋1＝i)＝P(Xt＝i－1)·P(Xt＋1＝i|Xt＝i－1)＋P(Xt＝i＋1)·P(Xt＋1＝i|Xt＝i＋1) 另一方面，由于P(Xt＋1＝i|Xt＝i－1)＝β，P(Xt＋1＝i|Xt＝i＋1)＝α， 代入上式可得Pi＝αPi＋1＋βPi－1. 例6-1．（多选）现有甲、乙、丙、丁四人组队传球，其中甲、乙为队，丙、丁为队．已知甲、乙传给队友的概率为，丙、丁传给队友的概率为，且任一传球者会等可能地传球给非队友成员．现从甲开始传球，设传球次数为（且），则（    ） A．传球次后，球在甲手中的概率和球在乙手中的概率始终相等 B．时，球在乙手中的概率为 C．传球次后，球在队成员手中的概率恒为一个常数 D．设球在乙手中的概率为，则 例6-2．“布朗运动”是指微小颗粒永不停息的无规则随机运动，在如图所示的试验容器中，容器由三个仓组成，某粒子作布朗运动时每次会从所在仓的通道口中随机选择一个到达相邻仓或者容器外，一旦粒子到达容器外就会被外部捕获装置所捕获，此时试验结束．已知该粒子初始位置在1号仓，则试验结束时该粒子是从1号仓到达容器外的概率为 ．    变式6-1．马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用．其数学定义为：假设我们的序列状态是…，，，，，…，那么时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态，即． 现实生活中也存在着许多马尔科夫链，例如著名的赌徒模型． 假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率为，且每局赌赢可以赢得1元，每一局赌徒赌输的概率为，且赌输就要输掉1元．赌徒会一直玩下去，直到遇到如下两种情况才会结束赌博游戏：一种是手中赌金为0元，即赌徒输光；一种是赌金达到预期的B元，赌徒停止赌博．记赌徒的本金为，赌博过程如下图的数轴所示． 当赌徒手中有n元（，）时，最终输光的概率为，请回答下列问题： (1)请直接写出与的数值． (2)证明是一个等差数列，并写出公差d． (3)当时，分别计算，时，的数值，并结合实际，解释当时，的统计含义． 变式6-2．在平面直角坐标系中，设.其中为“区”点，为“区”点.现有一质点从点出发，在这四点之间跳动.若质点在“区”时，下一次跳动至同区域的另一个点的概率为，在“区”时，下一次跳动至同区域的另一个点的概率为，且质点会等可能地跳动至另一区域的两个点. (1)证明：跳动次后，该质点落在“区”的概率为定值； (2)跳动次后，求该质点落在点的概率. 变式6-3．某人玩硬币走跳棋的游戏．已知硬币出现正反面的概率都是，棋盘上标有第0站、第1站、第2站、……、第100站．一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次硬币，棋子向前跳动一次，若掷出正面，棋子向前跳一站（从到）；若掷出反面，棋子向前跳两站（从到），且各次抛掷硬币的结果相互独立，直到棋子跳到99站（胜利大本营）或跳到第100站（失败集中营）时，该游戏结束．设棋子跳到第站的概率为． (1)求、、的值； (2)求证：，其中，； (3)求玩该游戏获胜的概率． 变式6-4．某答题挑战赛规则如下：比赛按轮依次进行，只有答完一轮才能进入下一轮，若连续两轮均答错，则挑战终止；每一轮系统随机地派出一道通识题或专识题，派出通识题的概率为，派出专识题的概率为.已知某选手答对通识题与专识题的概率分别为，且各轮答题正确与否相互独立. (1)求该选手在一轮答题中答对题目的概率； (2)记该选手在第轮答题结束时挑战依然未终止的概率为， （i）求； （ii）是否存在实数，使得数列为等比数列？若存在，求出的值，若不存在，说明理由. 压轴专练 1.已知事件A，B，C满足A，B是互斥事件，且，，，则的值等于（    ） A． B． C． D． 2.已知编号为1，2，3的箱中各装有除颜色外完全相同的若干个红球和蓝球，且各箱中的小球总个数之比为5：6：9，红球在1，2，3号箱中分别占．从3个箱中的所有球中随机取出一个球，若每个球被取出的概率相等，在取出的球为红球的条件下，该球取自3号箱中的概率为（   ） A． B． C． D． 3.马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用.马尔科夫链因俄国数学家安德烈·马尔科夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第次的状态有关，与第，，，⋯次状态无关.现有，两个盒子，各装有1个黑球和1个红球，现从，两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子，重复进行次这样的操作后，记盒子中红球的个数为，恰有1个红球的概率为.则的值为（    ） A． B． C． D． 4.已知贝叶斯公式：．某视频网站利用AI换脸掺入了一些“AI”视频，“AI”视频占有率为0.001．某团队决定用AI对抗AI，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假．该鉴伪技术的准确率是0.98，即在该视频是伪造的情况下，它有的可能鉴定为“AI”；它的误报率是0.03，即在该视频是真实的情况下，它有的可能鉴定为“AI”．已知某个视频被鉴定为“AI”，则该视频是“AI”合成的可能性约为（    ） A． B． C． D． 5.根据曲靖一中食堂人脸识别支付系统后台数据分析发现，高三年级小孔同学一周只去食堂一楼和二楼吃饭．周一去食堂一楼和二楼的概率分别为和，若他周一去了食堂一楼，那么周二去食堂二楼的概率为，若他周一去了食堂二楼，那么周二去食堂一楼的概率为，现已知小孔同学周二去了食堂二楼，则周一去食堂一楼的概率为（    ）． A． B． C． D． 6.为保证华为尊界S800的预订活动顺利进行，现开通华为汽车APP、华为官网、华为商城3个预定通道，消费者选择其中一个通道进行预订．由AI对预订情况进行统计．实施更新预订数据．据统计，在有意向预订的消费者中，选择华为汽车APP、华为官网、华为商城预订的概率分别为、、，且对应预订成功的概率分别为、、，则在消费者预订成功的条件下，选择华为汽车APP预订的概率为（   ） A． B． C． D． 7.（多选）1990年9月，Craig F·Whitaker给《Parade》杂志“Ask Marilyn”专栏提了一个问题（著名的蒙提霍尔问题，也称三门问题），在蒙提霍尔游戏节目中，事先在三扇关着的门背后放置好奖品，然后让游戏参与者在三扇关着的门中选择一扇门并赢得所选门后的奖品，游戏参与者知道其中一扇门背后是豪车，其余两扇门背后是山羊，作为游戏参与者当然希望选中并赢得豪车，主持人知道豪车在哪扇门后面.假定你初次选择的是1号门，接着主持人会从号门中打开一道后面是山羊的门.则以下说法正确的是（    ） A．你获得豪车的概率为 B．主持人打开3号门的概率为 C．在主持人打开3号门的条件下，2号门有豪车的概率为 D．在主持人打开3号门的条件下，若主持人询问你是否改选号码，则改选2号门比保持原选择获得豪车的概率更大 8.（多选）设M，N为随机事件，且，则下列说法正确的是（ ） A．若，则M，N可能不相互独立； B．若，则； C．若条件概率存在且不为0，，则； D．若，则． 9.（多选）某商场为了吸引顾客前来消费，开展抽奖活动，规定消费每满100元即可获得一次抽奖机会．已知顾客第一次抽奖的中奖概率为，从第二次抽奖开始，若前一次没有中奖，则这次抽奖的中奖概率为，若前一次中奖，则这次抽奖的中奖概率为．记顾客第次抽奖的中奖概率为，则（    ） A． B．某顾客消费200元，则其中奖概率为 C．的最大值为 D．当时，越大，越小 10.记为事件的对立事件，且，则 . 11.已知有A，B两个盒子，其中A盒装有2个黑球和1个白球，B盒装有1个黑球和2个白球，这些球除颜色外完全相同.甲从A盒、乙从B盒各随机取出一个球，若2个球同色，则甲胜，并将取出的2个球全部放入A盒中；若2个球异色，则乙胜，并将取出的2个球全部放入B盒中.按上述方法重复操作两次后，A盒，B盒中球的个数保持不变的概率是 . 12.近年来，我国外卖业发展迅猛，外卖小哥穿梭在城市的大街小巷成为一道道亮丽的风景线．他们根据外卖平台提供的信息到外卖店取单．某外卖小哥每天来往于r个外卖店（外卖店的编号分别为1，2，……，r，其中），约定：每天他首先从1号外卖店取单，叫做第1次取单，之后，他等可能的前往其余个外卖店中的任何一个店取单叫做第2次取单，依此类推．假设从第2次取单开始，他每次都是从上次取单的店之外的个外卖店取单．设事件{第k次取单恰好是从1号店取单}，是事件发生的概率，显然则，与的关系式为 ． 13.假设未来的你是一个不算太差的一般人，crush喜欢你的概率是25%；如果ta喜欢你，第一次能约出来的概率是70%；如果ta不喜欢你，第一次能约出来的概率是20%. (1)如果第一次能约出来，ta有多大可能喜欢你呢？ (2)如果第一次约会后crush喜欢你，则第二次能约出来的概率为85%；如果ta不喜欢你，则第二次能约出来的概率为5%.如果crush连着两次都能约出来，ta有多大可能喜欢你呢？ 14.春季是万物复苏的季节，也是流感病毒活跃的高发期．已知在甲，乙，丙三个地区暴发了流感，这三个地区分别有的人患了流感．假设这三个地区的人口数的比为，现从这三个地区中任意选取一个人． (1)求这个人患流感的概率； (2)设是一组两两互斥的事件，，且，对任意的事件，证明：； (3)若此人患流感，则他来自于哪个地区的可能性最小． 15.在坐标平面内，点的初始位置为若某一时刻点位于，则经过秒，点将做出以下四种运动之一： ①以的概率，点移动到点关于轴的对称点处； ②以的概率，点移动到点关于轴的对称点处； ③以的概率，点移动到点关于直线的对称点处； ④以的概率，点移动到点关于直线的对称点处 (1)直接写出在运动过程中，点可能经过的所有点的坐标； (2)设（）为正整数，记事件为“秒后点移动到点”，事件为“秒后点移动到点” （i）证明：； （ii）求（用表示）. 16.材料一：英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，创立了贝叶斯统计理论，对于统计决策函数､统计推断等做出了重要贡献.贝叶斯公式就是他的重大发现，它用来描述两个条件概率之间的关系.该公式为：设是一组两两互斥的事件，，且，，则对任意的事件，有，. 材料二：马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习､自然语言处理､金融领域､天气预测等方面都有着极其广泛的应用.其数学定义为：假设我们的序列状态是，，那么时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态，即. 请根据以上材料，回答下列问题. (1)已知德国电车市场中，有的车电池性能很好.公司出口的电动汽车，在德国汽车市场中占比，其中有的汽车电池性能很好.现有一名顾客在德国购买一辆电动汽车，已知他购买的汽车不是公司的，求该汽车电池性能很好的概率；（结果精确到0.001 (2)为迅速抢占市场，公司计划进行电动汽车推广活动.活动规则如下：有11个排成一行的格子，编号从左至右为，有一个小球在格子中运动，每次小球有的概率向左移动一格；有的概率向右移动一格，规定小球移动到编号为0或者10的格子时，小球不再移动，一轮游戏结束.若小球最终停在10号格子，则赢得6百欧元的购车代金券；若小球最终停留在0号格子，则客户获得一个纪念品.记为以下事件发生的概率：小球开始位于第个格子，且最终停留在第10个格子.一名顾客在一次游戏中，小球开始位于第5个格子，求他获得代金券的概率. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $