题号猜押06 江苏无锡中考数学23～25题（3大考点，解答题）（江苏专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

题号猜押06 江苏无锡中考数学23~25题（解答题） 考点1 统计图与数据分析 1．（2026·锡山区·一模）某校开展了防溺水“六不两会”安全知识竞赛，将成绩划分为四个等级（A．合格，B．良好，C．优秀，D．非常优秀），随机抽查了部分竞赛成绩的数据进行了整理，并绘制成如下不完整的统计图，请根据图中信息，解答下列问题： （1）填空：a＝　　，b＝　　；“优秀”对应扇形的圆心角度数为　　； （2）请补全条形统计图； （3）若全校有2000名学生参加活动，请你估计其中竞赛成绩等级为“优秀”和“非常优秀”的学生共有多少人？ 2．（2026·江阴市·一模）某小区开展便民服务，设置了五种便民服务项目：家电维修（A）、快递代收（B）、文体活动（C）、健康义诊（D）、书籍借阅（E）．为了解小区居民对这五种便民服务项目的喜爱及需求情况，小区工作人员开展问卷调查，形成如下统计图（不完整）： 请根据调查报告，解答下列问题： （1）本次抽样调查的人数共有　　人，m＝　　； （2）根据调查结果补全条形统计图，并在对应条形图上方标记人数； （3）若该小区共800名居民，所有居民都只选择一种便民服务项目，请通过计算估计该小区喜爱“文体活动”项目的居民有多少名？ 3．（2026·宜兴市·一模）2026年中央电视台春节联欢晚会首次启用了AI虚拟主持人和全息投影技术，极大增强了节目的互动性．为了解七年级学生对今年春晚节目类型的喜爱情况，某校随机抽取了部分学生进行问卷调查，要求每位学生从以下四个类型中选择一个最喜爱的（单选）： A．歌舞类 B．语言类（小品、相声） C．魔术杂技类 D．AI互动类 调查结果绘制成如下条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出）： 请你根据以上信息解决下列问题： （1）本次调查的样本容量为　　，A类所对应的扇形圆心角的度数是　　； （2）将条形统计图补充完整（画图后请标注相应的数据）； （3）若该校七年级共有800名学生，请估计该校七年级最喜爱“AI互动类”节目的学生人数． 4．（2026·惠山区·一模）睡眠状况对青少年的成长影响很大．为此，某校学生健康成长中心的工作人员，随机选取部分学生开展了一次问卷调查活动，并根据调查结果制成以下尚不完整的统计图： 调查问卷 你每天的睡眠时长大约（ㅤㅤ） A．少于8h B．8﹣9h（含8h不含9h） C．9～10h（含9h不含10h） D．不少于10h （1）在这次调查中，一共抽取了　　名学生； （2）补全条形统计图，并写出m＝　　； （3）若该校共有2000名学生，估计该校每天睡眠时长少于8h的学生有多少名？ 5．（2026·新吴区·一模）近年来，教育部多次强调将“健康第一”的理念落在实处，聚焦体育锻炼、心理健康、近视防控等领域．为了解九年级学生近视率，某校在九年级随机抽取了部分学生进行了视力调查，并将调查所得数据整理、绘制成两张如图所示的不完整的统计表和统计图，根据信息回答下列问题： 九年级部分学生视力频数分布表 分组 视力x 频数 A 4.0＜x≤4.3 8 B 4.3＜x≤4.6 15 C 4.6＜x≤4.9 40 D 4.9＜x≤5.2 m E 5.2＜x≤5.5 8 （1）本次调查的样本容量是　　，B组视力在扇形统计图中对应的圆心角为　　°； （2）此次抽样调查中，视力的中位数落在　　组； （3）自3月1日起实施的《儿童青少年裸眼视力和屈光状态评价规范》规定：裸眼视力大于4.9为视力正常．已知该校九年级共有1200名学生，请根据样本情况估计全校九年级学生中视力正常的人数． 考点2 尺规组图与几何综合 1．（2026·惠山区·一模）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，∠BAC＝60°． （1）请用无刻度的直尺和圆规在图1中作出点D，使得点D到AB、AC的距离相等，且满足∠ADC＝90°；（不写作法，保留作图痕迹） （2）设直线CD与AB交于E，若AC＝4，则BE的长为　　．（如需草图，请用备用图） 2．（2025·江阴市二模）已知：B是射线AM上一点，四边形ABCD是正方形． （1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作AB中点E；在射线BM上作一点P，使得BP＝BE；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）中所作的图形中，连接PD交BC于点F，FG∥AM交PC于点G．当AB＝4时，直接写出线段FG的长为　　．（如需画草图，请使用图2） 3．（2026·滨湖区·一模）如图1，在▱ABCD中，∠ABC＝60°，AB＜AD． （1）尺规作图：作正方形EFGH，使得点E，G分别在AD，BC上，点F，H在BD上；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若AB＝4，AD＝8，求EG的长．（如需画草图，请使用图2） 4．（2025·无锡·校级二模）如图，在正方形ABCD中，点F是CD上的一点，E是BC边的中点，连接EF． （1）请用无刻度的直尺及圆规，在AD上找一点G，使∠AGE＝2∠CEF（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，若CF＝2DF＝8，则AG的长为　　． 5．（2026·锡山区·一模）如图，已知△ABC内接于⊙O，且AB是⊙O的直径． （1）实践与操作： 尺规作图：作出△ABC的内心I；（不写作法，保留作图痕迹） （2）推理与计算： 连接CI并延长，与⊙O交于另一点D．若AC＝8，BC＝6，则CD的长为　　，DI的长为　　． 考点3 圆综合题 1．（2026·锡山区·一模）如图，CD是△ABC的高，以AB为直径作⊙O交CB的延长线于点E，连接DE，DE＝CD． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若CD＝4，BD＝2，求△ABC的面积． 2．（2026·宜兴市·一模）如图，锐角△ABC为⊙O的内接三角形，BD为△ABC的高，垂足为D，点A为的中点． （1）求证：∠BAC＝2∠DBC； （2）若AB＝10，BD＝8，求⊙O的半径． 3．（2026·滨湖区·一模）如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，CE是⊙O的切线，CE⊥DB交DB的延长线于点E． （1）若∠A＝25°，求∠ACD的度数； （2）若AB＝6，BE＝1，求CD的长． 4．（2026·江阴市·一模）如图，⊙O中，弦CD⊥直径AB于点E，F为CD上一点，连接BF并延长交⊙O于点G，连接CG． （1）求证：∠BCE＝∠G； （2）若BC＝4，F是BG的中点，求BG的长． 5．（2025·无锡·校级二模）如图，AB为圆O的直径，C、D为圆O上不同于A、B的两点，过点C作圆O的切线CF交直线AB于点F，直线DB⊥CF于点E． （1）求证：∠ABD＝2∠CAB； （2）若，且，求BF的长． 1．（2026·滨湖区·一模）马年春节联欢晚会堪称一场“科技春晚”，多家国产企业的机器人集体亮相，展示了从“能演”到“能干”的进化．某校开展了一次“机器人知识”竞赛，满分100分．为了解本次竞赛的情况，从该校随机抽取部分学生的成绩作为样本，目前正在对收集到的数据进行整理，并绘制相应的统计图（尚未完成）． 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查的样本容量为　　，并将条形统计图补充完整；（画图后请标注相应的数据） （2）该校共有1000名学生参加竞赛，估计成绩不低于80分的学生人数； （3）根据上述统计分析情况，请对本次竞赛情况写出一条合理的评价． 2．（2026·锡山区·一模）某校随机对部分学生“整理错题的行为习惯”进行问卷调查．问卷主题是：“作业或考试中做错的题目你及时纠错解疑吗？”，设置的选项有：A：偶尔，B：较少，C：较多，D：一直．将调查结果的数据进行了整理、绘制成部分统计图如图． 请根据图中信息，解答下列问题： （1）本次抽样调查人数是　　，请补全条形统计图； （2）扇形统计图中选项“较少”占的百分比中n＝　　，选项“较多”对应的圆心角是　　度； （3）若该校共有2400名学生，请根据统计结果估计“一直”对错题进行纠错解疑的学生约有多少名？ 3．（2026·锡山区·一模）中国新能源产业异军突起．中国车企在政策引导和支持下，瞄准纯电、混动和氢燃料等多元技术路线，加大研发投入形成了领先的技术优势．2026年，中国新能源汽车产销量均突破1000万辆，连续9年位居全球第一．在某次汽车展览会上，工作人员随机抽取了部分参展人员进行了“我最喜欢的汽车类型”的调查活动（每人限选其中一种类型），并将数据整理后，绘制成下面有待完成的统计表、条形统计图和扇形统计图． 类型 频数 频率 纯电 m 54% 混动 n a% 氢燃料 3 b% 油车 5 c% 请根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查活动随机抽取了　　人；表中a＝　　，b＝　　； （2）请补全条形统计图； （3）若此次汽车展览会的参展人员共有5000人，请你估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有多少人？ 4．（2026·梁溪区·一模）为检查“双减”政策落实情况，学校对九年级学生平均每天完成课后书面作业的时间，开展了一次调查研究．学校从九年级学生中随机抽样调查40人，整理出如下的统计表： 平均每天完成课后书面作业的时间 不超过60分钟 60分钟至90分钟 超过90分钟 划记 正 正正正正正正 a 人数（人） 5 30 b （1）表格中a、b所对应的划记和人数分别应为：　　，　　； （2）画出合适的统计图描述该校九年级学生平均每天完成课后书面作业的时间状况，要求体现这三种时长的人数占总人数的比例情况； （3）学校规定：平均每天完成课后书面作业时间不超过90分钟．根据以上信息，估计该校九年级320名学生中，符合此规定的学生约有多少人？ 5．（2025·新吴区·一模）如图，已知△ABC． （1）尺规作图：求作点P，使PA＝PC，且PC⊥AB．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若AC＝4，AB＝10，∠A为锐角，△ABC的面积为15，则点P到AC的距离为　　． 6．（2026·新吴区·一模）已知：在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＜BC． （1）尺规作图：在△ABC内部求作一点P，使得点P到边AB、AC的距离相等，且CP⊥AB（不写作法，但要保留作图痕迹）． （2）在（1）的条件下，若AC＝2，BC＝4，则点C与点P之间的距离为　　．（若要借用图形计算，请用备用图） 7．（2026·江阴市·一模）如图，在直角△ABC中，∠B＝90°． （1）尺规作图：作∠BAC的角平分线，交BC于点D，在AC上作一点E，使得AE＝DE；（不写作法，保留痕迹） （2）在（1）的条件下，若AB＝4，BC＝3，则DE＝　　．（若需画图，请用备用图） 8．（2026·锡山区·一模）如图，已知在△ABC中，∠A＝90°． （1）请用圆规和直尺作出⊙P，使圆心P在AC边上，且⊙P与AB，BC两边都相切；（保留作图痕迹，不写作法和证明） （2）若AB＝2，BC＝4，⊙P切BC于点D，求劣弧AD的长． 9．（2025·宜兴市·二模）（1）如图，在6×6的正方形网格中，点A、B、C都在格点上．请按要求作图． ①在图1中画一个格点△ADE，使△ADE∽△ABC（相似比不为1）； ②在图2中画一条格点线段BP，交AC于点Q，使CQ＝2AQ； （2）如图3，点A为⊙O上一点． ①请用不带刻度的直尺和圆规，在图3中作出⊙O的内接正方形ABCD；（保留作图痕迹，不写作法） ②根据①中画出的图形，过圆心O作BC边的垂线，分别交BC和劣弧BC于点E、F，若⊙O的半径为8cm，则EF的长为　　cm． 10．（2026·梁溪区·一模）如图，AB是⊙O的弦，AC经过圆心O交⊙O于点D，E是⊙O上一点，∠ACB＝∠BED＝30°． （1）判断BC与⊙O的位置关系并证明； （2）若⊙O的半径为4，求△ABC的面积． 11．（2025·惠山区·一模）如图，△ABC中，AB＝AC，点O在AB上，⊙O过点B，分别与BC、AB交于D、E，DF是⊙O的切线交AC于点F． （1）试判断DF与AC的位置关系，并说明理由； （2）若AC与⊙O相切于点M，⊙O的半径为3，，求AB的长． 12．（2026·锡山区·一模）如图，⊙O为△ABD的外接圆，点C在⊙O上，AB为⊙O的直径，DE是⊙O的切线，且DE⊥CB交CB的延长线于点E． （1）求证：∠ABD＝∠DBE； （2）连接CD，若CE＝7，BE＝3，求DE的长． 13．（2026·锡山区·一模）如图，已知△ABC中，AC＝BC，以BC为直径的⊙O交AB于E，过点E作⊙O的切线交BC的延长线于点F，EG⊥AC于G． （1）求证：AE＝BE； （2）若BC＝6，FE＝4，求AG的长． 14．（2026·新吴区·一模）如图，四边形ABCD是平行四边形．以边BC为直径作⊙O，AD恰好为⊙O的切线，其中点A为切点．点E是BC下方⊙O上的点，连接AE、BE． （1）求∠E的度数； （2）若BE＝8，，求AB的长． 15．（2025·锡山区·校级四模）如图，AB，AC为⊙O的切线，B，C为切点，BC与AO交于点P，CD∥AO交⊙O于点D． （1）求证：∠BCD＝90°； （2）连接AD交BC于点E．若tan∠OAB，⊙O的半径为，求DE的长． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 题号猜押06 江苏无锡中考数学23~25题（解答题） 考点1 统计图与数据分析 1． 【答案】（1）12%，36%，108°；（2）补全的条形统计图详见解析；（3）1320人． 【详解】解：（1）∵总人数为：44÷22%＝200（人）， ∴a100%＝12%，b100%＝36%， “优秀”对应扇形的圆心角度数为：360°×30%＝108°， 故答案为：12%，36%，108°； （2）“优秀”的人数为30%×200＝60（人）， 补全的条形统计图如下： （3）2000×（30%+36%）＝1320（人）， 答：估计其中竞赛成绩等级为“优秀”和“非常优秀”的学生共有1320人． 2． 【答案】（1）100，20；（2）补全的条形统计图详见解析；（3）320名． 【详解】解：（1）调查的总人数为28÷28%＝100（人）， ∴以m%20%，即m＝20， 故答案为：100，20； （2）C选项的人数为100﹣4﹣20﹣28﹣8＝40（人）， 补全条形统计图为： （3）800×40%＝320（名）， 答：估计该小区喜爱“文体活动”项目的居民有320名． 3． 【答案】（1）100，108°；（2）补全的条形统计图详见解析；（3）280人． 【详解】解：（1）本次调查的样本容量为20÷20%＝100， A类所对应的扇形圆心角的度数是360°108°， 故答案为：100，108°； （2）D类的人数为100﹣30﹣20﹣15＝35（人）， 补全条形统计图如图所示： （3）800280（人）， 答：估计该校七年级最喜爱“AI互动类”节目的学生人数为280人． 4． 【答案】（1）40；（2）补全的条形统计图详见解析，35；（3）200名． 【详解】解：（1）16÷40%＝40（名）， 在这次调查中，一共抽取了40名学生， 故答案为：40； （2）B选项的人数为：40﹣4﹣16﹣6＝14（人）， ∴m%100%＝35%， ∴m＝35， 补全的条形图如图所示： 故答案为：35； （3）2000200（名）， 答：估计该校每天睡眠时长少于8h的学生有200名． 5． 【答案】（1）100，54；（2）C；（3）444人． 【详解】解：（1）∵C组频数为40，占比为40%， ∴本次调查的样本容量为：40÷40%＝100， ∵B组频数为15， ∴对应扇形圆心角为：360°54°， 故答案为：100；54； （2）∵样本容量n＝100，中位数为第50、51个数据的平均数， A组累计：8，B组累计：8+15＝23，C组累计：23+40＝63， ∴第50、51个数据均落在4.6＜x≤4.9， ∴视力的中位数落在C组， 故答案为：C； （3）∵样本中视力正常的为D、E组，D组频数m＝100﹣8﹣15﹣40﹣8＝29，E组频数为8， ∴样本中视力正常的人数为：29+8＝37（人）， ∴全校九年级共1200名学生，估计视力正常的人数为：1200444（人）， 答：估计全校九年级学生中视力正常的人数为444人． 考点2 尺规组图与几何综合 1． 【答案】（1）作图详见解析；（2）． 【详解】解：（1）如图，点D即为所求； （2）如图，过点C作CH⊥AB于点H， ∵∠ABC＝45°，∠BAC＝60°，AC＝4， ∴AH，BH＝CH， ∴AB＝AH+BH， 由（1）可得：AG是∠BAC的角平分线， ∴∠CAD＝∠EAD， ∵CE⊥AG， ∴AC＝AE＝4， ∴BE＝AB﹣AE， 故答案为：． 2． 【答案】（1）作图详见解析；（2）． 【详解】解：（1）如图，AB中点E；在射线BM上作一点P，使得BP＝BE； （2）如图，连接PD交BC于点F，FG∥AM交PC于点G． ∵正方形ABCD，AB＝4， ∴AB＝CD＝4，AB∥CD， 由（1）可得：， ∵AB∥CD， ∴△CDF∽△BPF， ∴， ∴DF＝2PF， ∴， ∵FG∥AM， ∴FG∥CD， ∴△PFG∽△PCD， ∴， ∴， 故答案为：． 3． 【答案】（1）作图详见解析；（2）． 【详解】解：（1）如图，四边形EFGH即为所求作的正方形； （2）如图，过B作BH⊥DA交DA的延长线于H， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠BAH＝∠ABC＝60°， ∴∠ABH＝90°﹣60°＝30°， ∴AHAB4＝2， ∴BH＝2， ∵DH＝AH+AD＝2+8＝10， ∴BD4， 由（1）可知：EG垂直平分BD， ∴∠DOE＝90°，ODBD＝2， ∵tan∠BDH， ∴， ∴OE， ∵四边形EFGH是正方形， ∴EG＝2OE． 4． 【答案】（1）作图详见解析；（2）2.5． 【详解】解：（1）点G即为所求； （2）如图，延长EF交AD的延长线于点H，过点G作GM⊥BC于点M， ∵CF＝2DF＝8， ∴CD＝DF+CF＝4+8＝12， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝AD＝CD＝12，AD∥BC， ∵点E是BC的中点， ∴， ∴△DHF∽△CEF， ∴， ∴， 设AG＝x，则DG＝12﹣x， ∴GH＝DG+DH＝12﹣x+3＝15﹣x， ∵AD∥BC， ∴∠GHE＝∠CEF， 由（1）可知，∠GEF＝∠CEF， ∴∠GEF＝∠GHE， ∴GE＝GH＝15﹣x， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A＝∠B＝90°， ∵GM⊥BC， ∴∠GMB＝90°， ∴∠A＝∠B＝∠GMB＝90°， ∴四边形ABMG是矩形， ∴GM＝AB＝12，BM＝AG＝x， ∴ME＝BE﹣BM＝6﹣x， ∴122+（6﹣x）2＝（15﹣x）2，解得：x＝2.5，即AG＝2.5， 故答案为：2.5． 5． 【答案】（1）作图详见解析；（2）7，5． 【详解】解：（1）如图1，点I为所求； （2）如图2，连接AD，BD，BI．过点I作IJ⊥AC于点J，IK⊥BC于点K，IL⊥AB于点L． ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝∠ACB＝90°， ∵AC＝8，BC＝6， ∴AB10， ∵I是△ABC的内心， ∴IJ＝IK＝IL， ∵AC·BC·AC·IJ·BC·IK·AB·IL， ∴IJ＝IK＝IL＝2， ∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°， ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACI＝∠CIJ＝45°， ∴CJ＝IJ＝2， ∴CI＝2， ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD＝∠BCD， ∴AD＝BD， ∵AD2+BD2＝AB2， ∴AD＝DB＝5， ∵∠BID＝∠BCI+∠CBI，∠DBI＝∠ABD+∠ABI， ∵∠ABD＝∠BAD＝∠BCD，∠ABI＝∠CBI， ∴∠BID＝∠DBI， ∴BD＝DI＝5， ∴CD＝CI+ID＝7， 故答案为：7，5． 考点3 圆综合题 1． 【答案】（1）证明详见解析；（2）△ABC的面积为12． 【详解】（1）证明：如图，连接OE，则OE＝OB， ∴∠OEB＝∠OBE， ∵∠OBE＝∠CBD， ∴∠OEB＝∠CBD， ∵DE＝CD， ∴∠DEC＝∠DCE， ∵CD是△ABC的高， ∴CD⊥AB，交AB的延长线于点D， ∴∠ADC＝90°， ∴∠OED＝∠OEB+∠DEC＝∠CBD+∠DCE＝90°，即DE⊥OE， ∵OE是⊙O的半径， ∴DE是⊙O的切线． （2）解：∵∠OED＝90°， ∴OE2+DE2＝OD2， ∵DE＝CD＝4，BD＝2， ∴OD＝OB+2， ∵OE＝OB， ∴OB2+42＝（OB+2）2，解得：OB＝3， ∴AB＝2OB＝6， ∴S△ABCAB·CD6×4＝12， ∴△ABC的面积为12． 2． 【答案】（1）证明详见解析；（2）⊙O的半径长为． 【详解】（1）证明：∵点A为的中点， ∴， ∴∠C＝∠ABC， ∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝180°﹣2∠C， ∵BD为△ABC的高，垂足为D， ∴∠BDC＝90°， ∴∠DBC＝90°﹣∠C， ∴2∠DBC＝180°﹣2∠C， ∴∠BAC＝2∠DBC； （2）解：如图，连接并延长AO交BC于点E，交⊙O于另一点F，连接OB，则OA＝OB， ∵∠ADB＝∠CDB＝90°，AB＝AC＝10，BD＝8， ∴AD6， ∴CD＝AC﹣AD＝10﹣6＝4， ∴BC4， ∵AF是⊙O的直径，且AF平分， ∴AF垂直平分BC， ∴∠AEB＝90°，BE＝CEBC42， ∴AE4， ∵BE2+OE2＝OB2，且OE＝AE﹣OA＝4OB， ∴（2）2+（4OB）2＝OB2，解得：OB， ∴⊙O的半径长为． 3． 【答案】（1）∠ACD＝50°；（2）． 【详解】（1）证明：如图，连接OC， ∵CE是⊙O的切线， ∴OC⊥CE， ∵CE⊥DB， ∴OC∥DE， ∴∠D＝∠DCO， 由条件可知∠A＝∠D， ∴∠A＝∠DCO， ∵OA＝OC， ∴∠A＝∠ACO， ∴∠ACD＝∠DCO+∠ACO＝2∠A＝50°； （2）解：如图，作OF⊥BD于点F， ∴∠OCE＝∠E＝∠OFE＝90°， ∴四边形OCEF是矩形， ∵AB＝6， ∴EF＝OC＝OBAB＝3， ∴BF＝EF﹣BE＝2， ∵OF⊥BD， ∴CE＝OF，BD＝2BF＝4， ∴CD． 4． 【答案】（1）证明详见解析；（2）BG的长是4． 【详解】（1）证明：如图，连接BD， ∵AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，CD⊥AB于点E， ∴， ∴∠BCE＝∠D， ∴∠D＝∠G， ∴∠BCE＝∠G； （2）解：∵F是BG的中点， ∴BFBG， ∴BF·BGBG2， ∵∠BCE＝∠G，且∠BCE即∠BCF， ∴∠BCF＝∠G， ∵∠FBC＝∠CBG， ∴△FBC∽△CBG， ∴， ∵BC＝4， ∴BF·BG＝BC2＝42＝16， ∴BG2＝16， ∴BG＝4或BG（不合题意，舍去）， ∴BG的长是4． 5． 【答案】（1）证明详见解析；（2）2． 【详解】解：（1）如图，连接OC， ∵OA＝OC， ∴∠CAB＝∠1， ∴2∠CAB＝∠2＝∠CAB+∠1， ∵OC是⊙O的半径，CF切⊙O于C， ∴OC⊥CF， ∵DB⊥CF， ∴OC∥DB， ∴∠ABD＝∠2， ∴∠ABD＝2∠CAB； （2）∵∠ACD，∠ABD为所对圆周角， ∴∠ACD＝∠ABD， ∴． 如图，连接AD， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴， ∴， ∴， ∴OB＝OC＝3， ∵， ∴设EF＝4x，BE＝3x，则BF＝5x， ∵BE⊥CF，OC⊥CF， ∴OC∥BE， ∴△BEF～△OCF， ∴， ∴，整理得：﹣6x+15x2＝0， ∴， ∴BF＝5x＝2． 1． 【答案】（1）100，补全的条形统计图详见解析；（2）880人； （3）该校学生整体对机器人知识掌握较好，校内机器人知识的普及效果不错． 【详解】解：（1）36÷36%＝100（人）， 100﹣2﹣10﹣36﹣32＝20（人）， ． 故答案为：100； （2）1000880（人）， 答：成绩不低于80分的学生人数为880人； （3）∵本次竞赛大部分学生成绩不低于80分， ∴该校学生整体对机器人知识掌握较好，校内机器人知识的普及效果不错． 2． 【答案】（1）200，补全的条形统计图详见解析；（2）25，108；（3）840名． 【详解】解：（1）对比两个统计图可知：“偶尔”的人数为20人，占比10%， ∴本次抽查的人数为20÷10%＝200（人）， ∴“较多”的人数为200﹣20﹣50﹣70＝60（人）， 故答案为：200， 补全条形统计图如图所示： （2）“较少”的百分比为50÷200×100%＝25%， ∴n＝25， ∴“较多”对应的圆心角的度数为； （3）若该校共2400名学生，估计“一直”对错题进行纠错解疑的学生为：（人）， 答：“一直”对错题进行纠错解疑的学生约有840名． 3． 【答案】（1）50，30，6；（2）补全的条形统计图详见解析；（3）4500人． 【详解】解：（1）本次调查活动随机抽取的人数为：27÷54%＝50（人）， 喜欢混动的人数：n＝50﹣27﹣3﹣5＝15（人）， ∴a%100%＝30%， ∴a＝30， ∵b%100%＝6%， ∴b＝6， 故答案为：50，30，6； （2）补全条形统计图如下： （3）50004500（人）， 答：估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有4500人． 4． 【答案】（1）正，5；（2）所画的扇形统计图详见解析；（3）280人． 【详解】解：（1）正，40﹣5﹣30﹣5＝5， 故答案为：正，5； （2）样本中九年级学生平均每天完成课后书面作业的时间不超过60分钟的学生所占的百分比为100%＝12.5%，对应的圆心角度数为360°×12.5%＝45°， 九年级学生平均每天完成课后书面作业的时间60分钟至90分钟的学生所占的百分比为100%＝75%，对应的圆心角度数为360°×75%＝270°， 九年级学生平均每天完成课后书面作业的时间超过90分钟的学生所占的百分比为100%＝12.5%，对应的圆心角度数为360°×12.5%＝45°， 所画的扇形统计图如下： （3）320280（人）， 答：符合此规定的学生约有280人． 5． 【答案】（1）作图详见解析；（2）． 【详解】解：（1）如图，点P即为所求； （2）∵CT⊥AB于点T， ∴·AB·CT＝15， ∵AB＝10， ∴CT＝3， ∴AT， 设PA＝PC＝x，则有x2＝（3﹣x）2+7， ∴x， ∵PM垂直平分线段AC， ∴AM＝CM＝2， ∴PM， ∴点P到AC的距离为， 故答案为：． 6． 【答案】（1）作图详见解析；（2）． 【详解】解：（1）如图，先作∠BAC的平分线AM，再过点C作AB的垂线交射线AM于点P， 则点P即为所求； （2）如图，设射线CP交AB于点D，过点P作PE⊥AC于点E， 由（1）可得：DP＝EP，CD⊥AB． ∵∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝4， ∴AB， ∵， ∴CD， 在Rt△ACD中，由勾股定理可得：AD． 设CP＝x，则DP＝EP＝CD﹣CP， ∵， ∴，解得：x， ∴CP， 故答案为：． 7． 【答案】（1）作图详见解析；（2）． 【详解】解：（1）如图，射线AD即为所求， 作线段AD的垂直平分线，交AC于点E，点E即为所求； （2）∵AB＝4，BC＝3，∠B＝90°， ∴AC5． ∵AD为∠BAC的平分线， ∴∠BAD＝∠CAD． ∵AE＝DE， ∴∠EAD＝∠ADE， ∴∠BAD＝∠ADE， ∴DE∥AB， ∴△CDE∽△CBA， ∴． 设DE＝AE＝x，则CE＝AC﹣AE＝5﹣x， ∴，解得：x， ∴DE， 故答案为：． 8． 【答案】（1）作图详见解析；（2）π． 【详解】解：（1）如图，⊙P即为所求； （2）∵∠BAC＝90°，AB＝2，BC＝4， ∴BC＝2AB， ∴∠C＝30°， ∴∠ABC＝60°， ∵⊙P切BC于点D， ∴∠PDB＝∠BAP＝90°， ∴∠APD＝120°， 由（1）可知：BP平分∠ABC， ∴∠ABP＝30°， ∴AP＝AB·tan30°＝2， ∴劣弧的长π． 9． 【答案】（1）①作图详见解析；②作图详见解析；（2）①作图详见解析；②（8﹣4）． 【详解】解：（1）①如图1，△ADE即为所求； ②如图2，线段BP即为所求； （2）①如图，连接AO并延长，交⊙O于C，过点O作AC的垂线，分别交⊙O于B、D， 则四边形ABCD即为所求； ∵AC，BD分别为⊙O的直径， ∴AC，BD相等且互相垂直平分， ∴四边形ABCD是正方形； （2）∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BOC＝90°， ∴BC8（cm）， ∵OF⊥BC， ∴BEBC＝4（cm）， ∴OE4（cm）， ∴EF＝OF﹣OE＝（8﹣4）cm， 故答案为：（8﹣4）． 10． 【答案】（1）BC与⊙O相切，证明详见解析；（2）12． 【详解】解：（1）BC与⊙O相切， 证明：如图，连接OB， ∵， ∴∠A＝∠E， ∴∠C＝∠E＝30°， ∴∠A＝∠C＝30°． ∵OA＝OB， ∴∠BOC＝60°， ∴∠OBC＝90°，即OB⊥BC， ∵OB是⊙O的半径， ∴BC与⊙O相切； （2）如图，作BH⊥AC， ∵OA＝OB＝4，∠BOC＝60°， ∴OH＝2，， ∴AH＝OA+OH＝6， ∵∠A＝∠C， ∴BA＝BC． 又∵BH⊥AC， ∴AC＝2AH＝12， ∴S△ABCAC·BH＝12． 11． 【答案】（1）DF⊥AC，理由详见解析；（2）AB＝8． 【详解】解：（1）DF⊥AC，理由如下： 如图，连接OD， ∵DF是⊙O的切线， ∴OD⊥DF， ∵OB＝OD， ∴∠B＝∠ODB， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∴∠ODB＝∠C， ∴OD∥AC， ∴DF⊥AC； （2）如图，连接OM， ∵AC与⊙O相切于点M， ∴∠OMF＝∠MFD＝∠ODF＝90°， ∴四边形ODFM是矩形， ∵OM＝OD， ∴四边形ODFM是正方形， ∴OM＝FM＝DF＝3， ∵CD， ∴CF1， ∴CM＝4， ∵OA2＝OM2+AM2， ∴（AB﹣3）2＝32+（AB﹣4）2， ∴AB＝8． 12． 【答案】（1）证明详见解析；（2）． 【详解】（1）证明：∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴△ABD是直角三角形， 在Rt△ABD中，∠A+∠ABD＝90°， ∵DE是⊙O的切线， ∴根据弦切角定理可得：∠BDE＝∠A， ∴∠BDE+∠ABD＝90°， ∵DE⊥CB交CB的延长线于点E， ∴∠E＝90°， ∴△BDE是直角三角形， 在Rt△BDE中，∠BDE+∠DBE＝90°， ∴∠ABD＝∠DBE； （2）解：根据弦切角定理可得：∠BED＝∠C， 在△EBD和△EDC中， ∠BED＝∠C，∠E＝∠E， ∴△EBD∽△EDC， ∴， ∴DE2＝CE·BE， ∵CE＝7，BE＝3， ∴DE2＝7×3＝21， ∵DE＞0， ∴DE． 13． 【答案】（1）证明详见解析；（2）． 【详解】（1）证明：如图，连接CE， ∵BC是⊙O的直径， ∴CE⊥AB； 又∵AC＝BC， ∴BE＝AE； （2）解：如图，连接OE， ∵O、E分别是BC、AB的中点， ∴OE是△ABC的中位线， ∴OE∥AC， 又∵EG⊥AC， ∴BC＝2OE＝6， ∴OE＝3， ∵FE＝4， 在Rt△OEF中，由勾股定理可得：OF5， ∴CF＝OF﹣OC＝5﹣3＝2， ∵OE∥AC， ∴△FCG∽△FEO， ∴，即， ∴CG． ∵AC＝BC＝6， ∴AG＝AC﹣CG＝6． 14． 【答案】（1）45°；（2）5． 【详解】解：（1）如图，连接OA， ∵AD切圆于A， ∴半径OA⊥AD， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴OA⊥BC， ∴∠AOB＝90°， ∴∠E∠AOB＝45°； （2）如图，连接CE， ∴∠BCE＝∠BAE， ∵BC圆的直角， ∴∠BEC＝90°， ∴sin∠BCE＝sin∠BAE， ∴， ∵BE＝8， ∴BC＝10， ∴OABC＝5， 由（1）可知：△AOB是等腰直角三角形， ∴ABOA＝5． 15． 【答案】（1）证明详见解析；（2）． 【详解】（1）证明：∵AB，AC为⊙O的切线，B，C为切点， ∴AC＝AB， 如图，连接OC，OB，则OC＝OB， ∴AO是线段BC的垂直平分线， ∴∠APC＝90°， 又∵CD∥AO， ∴∠BCD＝∠APC＝90°； （2）解：如图，连接OD， ∵∠BCD＝90°， ∴BD是直径， ∵tan∠OAB，⊙O的半径为， ∴AB＝2OB＝2BD， ∴ADAB＝2， ∵tan∠OAB， ∴设BP＝x，则AP＝2x， ∴ABx＝2， ∴x＝2，即BP＝2，AP＝4＝BC， ∴CD2， ∵CD∥AP， ∴， ∴DE． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 题号猜押06 江苏无锡中考数学23~25题（解答题） 考点1 统计图与数据分析 1．（2026·锡山区·一模）某校开展了防溺水“六不两会”安全知识竞赛，将成绩划分为四个等级（A．合格，B．良好，C．优秀，D．非常优秀），随机抽查了部分竞赛成绩的数据进行了整理，并绘制成如下不完整的统计图，请根据图中信息，解答下列问题： （1）填空：a＝　　，b＝　　；“优秀”对应扇形的圆心角度数为　　； （2）请补全条形统计图； （3）若全校有2000名学生参加活动，请你估计其中竞赛成绩等级为“优秀”和“非常优秀”的学生共有多少人？ 【答案】（1）12%，36%，108°；（2）补全的条形统计图详见解析；（3）1320人． 【详解】解：（1）∵总人数为：44÷22%＝200（人）， ∴a100%＝12%，b100%＝36%， “优秀”对应扇形的圆心角度数为：360°×30%＝108°， 故答案为：12%，36%，108°； （2）“优秀”的人数为30%×200＝60（人）， 补全的条形统计图如下： （3）2000×（30%+36%）＝1320（人）， 答：估计其中竞赛成绩等级为“优秀”和“非常优秀”的学生共有1320人． 2．（2026·江阴市·一模）某小区开展便民服务，设置了五种便民服务项目：家电维修（A）、快递代收（B）、文体活动（C）、健康义诊（D）、书籍借阅（E）．为了解小区居民对这五种便民服务项目的喜爱及需求情况，小区工作人员开展问卷调查，形成如下统计图（不完整）： 请根据调查报告，解答下列问题： （1）本次抽样调查的人数共有　　人，m＝　　； （2）根据调查结果补全条形统计图，并在对应条形图上方标记人数； （3）若该小区共800名居民，所有居民都只选择一种便民服务项目，请通过计算估计该小区喜爱“文体活动”项目的居民有多少名？ 【答案】（1）100，20；（2）补全的条形统计图详见解析；（3）320名． 【详解】解：（1）调查的总人数为28÷28%＝100（人）， ∴以m%20%，即m＝20， 故答案为：100，20； （2）C选项的人数为100﹣4﹣20﹣28﹣8＝40（人）， 补全条形统计图为： （3）800×40%＝320（名）， 答：估计该小区喜爱“文体活动”项目的居民有320名． 3．（2026·宜兴市·一模）2026年中央电视台春节联欢晚会首次启用了AI虚拟主持人和全息投影技术，极大增强了节目的互动性．为了解七年级学生对今年春晚节目类型的喜爱情况，某校随机抽取了部分学生进行问卷调查，要求每位学生从以下四个类型中选择一个最喜爱的（单选）： A．歌舞类 B．语言类（小品、相声） C．魔术杂技类 D．AI互动类 调查结果绘制成如下条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出）： 请你根据以上信息解决下列问题： （1）本次调查的样本容量为　　，A类所对应的扇形圆心角的度数是　　； （2）将条形统计图补充完整（画图后请标注相应的数据）； （3）若该校七年级共有800名学生，请估计该校七年级最喜爱“AI互动类”节目的学生人数． 【答案】（1）100，108°；（2）补全的条形统计图详见解析；（3）280人． 【详解】解：（1）本次调查的样本容量为20÷20%＝100， A类所对应的扇形圆心角的度数是360°108°， 故答案为：100，108°； （2）D类的人数为100﹣30﹣20﹣15＝35（人）， 补全条形统计图如图所示： （3）800280（人）， 答：估计该校七年级最喜爱“AI互动类”节目的学生人数为280人． 4．（2026·惠山区·一模）睡眠状况对青少年的成长影响很大．为此，某校学生健康成长中心的工作人员，随机选取部分学生开展了一次问卷调查活动，并根据调查结果制成以下尚不完整的统计图： 调查问卷 你每天的睡眠时长大约（ㅤㅤ） A．少于8h B．8﹣9h（含8h不含9h） C．9～10h（含9h不含10h） D．不少于10h （1）在这次调查中，一共抽取了　　名学生； （2）补全条形统计图，并写出m＝　　； （3）若该校共有2000名学生，估计该校每天睡眠时长少于8h的学生有多少名？ 【答案】（1）40；（2）补全的条形统计图详见解析，35；（3）200名． 【详解】解：（1）16÷40%＝40（名）， 在这次调查中，一共抽取了40名学生， 故答案为：40； （2）B选项的人数为：40﹣4﹣16﹣6＝14（人）， ∴m%100%＝35%， ∴m＝35， 补全的条形图如图所示： 故答案为：35； （3）2000200（名）， 答：估计该校每天睡眠时长少于8h的学生有200名． 5．（2026·新吴区·一模）近年来，教育部多次强调将“健康第一”的理念落在实处，聚焦体育锻炼、心理健康、近视防控等领域．为了解九年级学生近视率，某校在九年级随机抽取了部分学生进行了视力调查，并将调查所得数据整理、绘制成两张如图所示的不完整的统计表和统计图，根据信息回答下列问题： 九年级部分学生视力频数分布表 分组 视力x 频数 A 4.0＜x≤4.3 8 B 4.3＜x≤4.6 15 C 4.6＜x≤4.9 40 D 4.9＜x≤5.2 m E 5.2＜x≤5.5 8 （1）本次调查的样本容量是　　，B组视力在扇形统计图中对应的圆心角为　　°； （2）此次抽样调查中，视力的中位数落在　　组； （3）自3月1日起实施的《儿童青少年裸眼视力和屈光状态评价规范》规定：裸眼视力大于4.9为视力正常．已知该校九年级共有1200名学生，请根据样本情况估计全校九年级学生中视力正常的人数． 【答案】（1）100，54；（2）C；（3）444人． 【详解】解：（1）∵C组频数为40，占比为40%， ∴本次调查的样本容量为：40÷40%＝100， ∵B组频数为15， ∴对应扇形圆心角为：360°54°， 故答案为：100；54； （2）∵样本容量n＝100，中位数为第50、51个数据的平均数， A组累计：8，B组累计：8+15＝23，C组累计：23+40＝63， ∴第50、51个数据均落在4.6＜x≤4.9， ∴视力的中位数落在C组， 故答案为：C； （3）∵样本中视力正常的为D、E组，D组频数m＝100﹣8﹣15﹣40﹣8＝29，E组频数为8， ∴样本中视力正常的人数为：29+8＝37（人）， ∴全校九年级共1200名学生，估计视力正常的人数为：1200444（人）， 答：估计全校九年级学生中视力正常的人数为444人． 考点2 尺规组图与几何综合 1．（2026·惠山区·一模）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，∠BAC＝60°． （1）请用无刻度的直尺和圆规在图1中作出点D，使得点D到AB、AC的距离相等，且满足∠ADC＝90°；（不写作法，保留作图痕迹） （2）设直线CD与AB交于E，若AC＝4，则BE的长为　　．（如需草图，请用备用图） 【答案】（1）作图详见解析；（2）． 【详解】解：（1）如图，点D即为所求； （2）如图，过点C作CH⊥AB于点H， ∵∠ABC＝45°，∠BAC＝60°，AC＝4， ∴AH，BH＝CH， ∴AB＝AH+BH， 由（1）可得：AG是∠BAC的角平分线， ∴∠CAD＝∠EAD， ∵CE⊥AG， ∴AC＝AE＝4， ∴BE＝AB﹣AE， 故答案为：． 2．（2025·江阴市二模）已知：B是射线AM上一点，四边形ABCD是正方形． （1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作AB中点E；在射线BM上作一点P，使得BP＝BE；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）中所作的图形中，连接PD交BC于点F，FG∥AM交PC于点G．当AB＝4时，直接写出线段FG的长为　　．（如需画草图，请使用图2） 【答案】（1）作图详见解析；（2）． 【详解】解：（1）如图，AB中点E；在射线BM上作一点P，使得BP＝BE； （2）如图，连接PD交BC于点F，FG∥AM交PC于点G． ∵正方形ABCD，AB＝4， ∴AB＝CD＝4，AB∥CD， 由（1）可得：， ∵AB∥CD， ∴△CDF∽△BPF， ∴， ∴DF＝2PF， ∴， ∵FG∥AM， ∴FG∥CD， ∴△PFG∽△PCD， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（2026·滨湖区·一模）如图1，在▱ABCD中，∠ABC＝60°，AB＜AD． （1）尺规作图：作正方形EFGH，使得点E，G分别在AD，BC上，点F，H在BD上；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若AB＝4，AD＝8，求EG的长．（如需画草图，请使用图2） 【答案】（1）作图详见解析；（2）． 【详解】解：（1）如图，四边形EFGH即为所求作的正方形； （2）如图，过B作BH⊥DA交DA的延长线于H， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠BAH＝∠ABC＝60°， ∴∠ABH＝90°﹣60°＝30°， ∴AHAB4＝2， ∴BH＝2， ∵DH＝AH+AD＝2+8＝10， ∴BD4， 由（1）可知：EG垂直平分BD， ∴∠DOE＝90°，ODBD＝2， ∵tan∠BDH， ∴， ∴OE， ∵四边形EFGH是正方形， ∴EG＝2OE． 4．（2025·无锡·校级二模）如图，在正方形ABCD中，点F是CD上的一点，E是BC边的中点，连接EF． （1）请用无刻度的直尺及圆规，在AD上找一点G，使∠AGE＝2∠CEF（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，若CF＝2DF＝8，则AG的长为　　． 【答案】（1）作图详见解析；（2）2.5． 【详解】解：（1）点G即为所求； （2）如图，延长EF交AD的延长线于点H，过点G作GM⊥BC于点M， ∵CF＝2DF＝8， ∴CD＝DF+CF＝4+8＝12， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝AD＝CD＝12，AD∥BC， ∵点E是BC的中点， ∴， ∴△DHF∽△CEF， ∴， ∴， 设AG＝x，则DG＝12﹣x， ∴GH＝DG+DH＝12﹣x+3＝15﹣x， ∵AD∥BC， ∴∠GHE＝∠CEF， 由（1）可知，∠GEF＝∠CEF， ∴∠GEF＝∠GHE， ∴GE＝GH＝15﹣x， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A＝∠B＝90°， ∵GM⊥BC， ∴∠GMB＝90°， ∴∠A＝∠B＝∠GMB＝90°， ∴四边形ABMG是矩形， ∴GM＝AB＝12，BM＝AG＝x， ∴ME＝BE﹣BM＝6﹣x， ∴122+（6﹣x）2＝（15﹣x）2，解得：x＝2.5，即AG＝2.5， 故答案为：2.5． 5．（2026·锡山区·一模）如图，已知△ABC内接于⊙O，且AB是⊙O的直径． （1）实践与操作： 尺规作图：作出△ABC的内心I；（不写作法，保留作图痕迹） （2）推理与计算： 连接CI并延长，与⊙O交于另一点D．若AC＝8，BC＝6，则CD的长为　　，DI的长为　　． 【答案】（1）作图详见解析；（2）7，5． 【详解】解：（1）如图1，点I为所求； （2）如图2，连接AD，BD，BI．过点I作IJ⊥AC于点J，IK⊥BC于点K，IL⊥AB于点L． ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝∠ACB＝90°， ∵AC＝8，BC＝6， ∴AB10， ∵I是△ABC的内心， ∴IJ＝IK＝IL， ∵AC·BC·AC·IJ·BC·IK·AB·IL， ∴IJ＝IK＝IL＝2， ∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°， ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACI＝∠CIJ＝45°， ∴CJ＝IJ＝2， ∴CI＝2， ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD＝∠BCD， ∴AD＝BD， ∵AD2+BD2＝AB2， ∴AD＝DB＝5， ∵∠BID＝∠BCI+∠CBI，∠DBI＝∠ABD+∠ABI， ∵∠ABD＝∠BAD＝∠BCD，∠ABI＝∠CBI， ∴∠BID＝∠DBI， ∴BD＝DI＝5， ∴CD＝CI+ID＝7， 故答案为：7，5． 考点3 圆综合题 1．（2026·锡山区·一模）如图，CD是△ABC的高，以AB为直径作⊙O交CB的延长线于点E，连接DE，DE＝CD． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若CD＝4，BD＝2，求△ABC的面积． 【答案】（1）证明详见解析；（2）△ABC的面积为12． 【详解】（1）证明：如图，连接OE，则OE＝OB， ∴∠OEB＝∠OBE， ∵∠OBE＝∠CBD， ∴∠OEB＝∠CBD， ∵DE＝CD， ∴∠DEC＝∠DCE， ∵CD是△ABC的高， ∴CD⊥AB，交AB的延长线于点D， ∴∠ADC＝90°， ∴∠OED＝∠OEB+∠DEC＝∠CBD+∠DCE＝90°，即DE⊥OE， ∵OE是⊙O的半径， ∴DE是⊙O的切线． （2）解：∵∠OED＝90°， ∴OE2+DE2＝OD2， ∵DE＝CD＝4，BD＝2， ∴OD＝OB+2， ∵OE＝OB， ∴OB2+42＝（OB+2）2，解得：OB＝3， ∴AB＝2OB＝6， ∴S△ABCAB·CD6×4＝12， ∴△ABC的面积为12． 2．（2026·宜兴市·一模）如图，锐角△ABC为⊙O的内接三角形，BD为△ABC的高，垂足为D，点A为的中点． （1）求证：∠BAC＝2∠DBC； （2）若AB＝10，BD＝8，求⊙O的半径． 【答案】（1）证明详见解析；（2）⊙O的半径长为． 【详解】（1）证明：∵点A为的中点， ∴， ∴∠C＝∠ABC， ∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝180°﹣2∠C， ∵BD为△ABC的高，垂足为D， ∴∠BDC＝90°， ∴∠DBC＝90°﹣∠C， ∴2∠DBC＝180°﹣2∠C， ∴∠BAC＝2∠DBC； （2）解：如图，连接并延长AO交BC于点E，交⊙O于另一点F，连接OB，则OA＝OB， ∵∠ADB＝∠CDB＝90°，AB＝AC＝10，BD＝8， ∴AD6， ∴CD＝AC﹣AD＝10﹣6＝4， ∴BC4， ∵AF是⊙O的直径，且AF平分， ∴AF垂直平分BC， ∴∠AEB＝90°，BE＝CEBC42， ∴AE4， ∵BE2+OE2＝OB2，且OE＝AE﹣OA＝4OB， ∴（2）2+（4OB）2＝OB2，解得：OB， ∴⊙O的半径长为． 3．（2026·滨湖区·一模）如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，CE是⊙O的切线，CE⊥DB交DB的延长线于点E． （1）若∠A＝25°，求∠ACD的度数； （2）若AB＝6，BE＝1，求CD的长． 【答案】（1）∠ACD＝50°；（2）． 【详解】（1）证明：如图，连接OC， ∵CE是⊙O的切线， ∴OC⊥CE， ∵CE⊥DB， ∴OC∥DE， ∴∠D＝∠DCO， 由条件可知∠A＝∠D， ∴∠A＝∠DCO， ∵OA＝OC， ∴∠A＝∠ACO， ∴∠ACD＝∠DCO+∠ACO＝2∠A＝50°； （2）解：如图，作OF⊥BD于点F， ∴∠OCE＝∠E＝∠OFE＝90°， ∴四边形OCEF是矩形， ∵AB＝6， ∴EF＝OC＝OBAB＝3， ∴BF＝EF﹣BE＝2， ∵OF⊥BD， ∴CE＝OF，BD＝2BF＝4， ∴CD． 4．（2026·江阴市·一模）如图，⊙O中，弦CD⊥直径AB于点E，F为CD上一点，连接BF并延长交⊙O于点G，连接CG． （1）求证：∠BCE＝∠G； （2）若BC＝4，F是BG的中点，求BG的长． 【答案】（1）证明详见解析；（2）BG的长是4． 【详解】（1）证明：如图，连接BD， ∵AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，CD⊥AB于点E， ∴， ∴∠BCE＝∠D， ∴∠D＝∠G， ∴∠BCE＝∠G； （2）解：∵F是BG的中点， ∴BFBG， ∴BF·BGBG2， ∵∠BCE＝∠G，且∠BCE即∠BCF， ∴∠BCF＝∠G， ∵∠FBC＝∠CBG， ∴△FBC∽△CBG， ∴， ∵BC＝4， ∴BF·BG＝BC2＝42＝16， ∴BG2＝16， ∴BG＝4或BG（不合题意，舍去）， ∴BG的长是4． 5．（2025·无锡·校级二模）如图，AB为圆O的直径，C、D为圆O上不同于A、B的两点，过点C作圆O的切线CF交直线AB于点F，直线DB⊥CF于点E． （1）求证：∠ABD＝2∠CAB； （2）若，且，求BF的长． 【答案】（1）证明详见解析；（2）2． 【详解】解：（1）如图，连接OC， ∵OA＝OC， ∴∠CAB＝∠1， ∴2∠CAB＝∠2＝∠CAB+∠1， ∵OC是⊙O的半径，CF切⊙O于C， ∴OC⊥CF， ∵DB⊥CF， ∴OC∥DB， ∴∠ABD＝∠2， ∴∠ABD＝2∠CAB； （2）∵∠ACD，∠ABD为所对圆周角， ∴∠ACD＝∠ABD， ∴． 如图，连接AD， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴， ∴， ∴， ∴OB＝OC＝3， ∵， ∴设EF＝4x，BE＝3x，则BF＝5x， ∵BE⊥CF，OC⊥CF， ∴OC∥BE， ∴△BEF～△OCF， ∴， ∴，整理得：﹣6x+15x2＝0， ∴， ∴BF＝5x＝2． 1．（2026·滨湖区·一模）马年春节联欢晚会堪称一场“科技春晚”，多家国产企业的机器人集体亮相，展示了从“能演”到“能干”的进化．某校开展了一次“机器人知识”竞赛，满分100分．为了解本次竞赛的情况，从该校随机抽取部分学生的成绩作为样本，目前正在对收集到的数据进行整理，并绘制相应的统计图（尚未完成）． 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查的样本容量为　　，并将条形统计图补充完整；（画图后请标注相应的数据） （2）该校共有1000名学生参加竞赛，估计成绩不低于80分的学生人数； （3）根据上述统计分析情况，请对本次竞赛情况写出一条合理的评价． 【答案】（1）100，补全的条形统计图详见解析；（2）880人； （3）该校学生整体对机器人知识掌握较好，校内机器人知识的普及效果不错． 【详解】解：（1）36÷36%＝100（人）， 100﹣2﹣10﹣36﹣32＝20（人）， ． 故答案为：100； （2）1000880（人）， 答：成绩不低于80分的学生人数为880人； （3）∵本次竞赛大部分学生成绩不低于80分， ∴该校学生整体对机器人知识掌握较好，校内机器人知识的普及效果不错． 2．（2026·锡山区·一模）某校随机对部分学生“整理错题的行为习惯”进行问卷调查．问卷主题是：“作业或考试中做错的题目你及时纠错解疑吗？”，设置的选项有：A：偶尔，B：较少，C：较多，D：一直．将调查结果的数据进行了整理、绘制成部分统计图如图． 请根据图中信息，解答下列问题： （1）本次抽样调查人数是　　，请补全条形统计图； （2）扇形统计图中选项“较少”占的百分比中n＝　　，选项“较多”对应的圆心角是　　度； （3）若该校共有2400名学生，请根据统计结果估计“一直”对错题进行纠错解疑的学生约有多少名？ 【答案】（1）200，补全的条形统计图详见解析；（2）25，108；（3）840名． 【详解】解：（1）对比两个统计图可知：“偶尔”的人数为20人，占比10%， ∴本次抽查的人数为20÷10%＝200（人）， ∴“较多”的人数为200﹣20﹣50﹣70＝60（人）， 故答案为：200， 补全条形统计图如图所示： （2）“较少”的百分比为50÷200×100%＝25%， ∴n＝25， ∴“较多”对应的圆心角的度数为； （3）若该校共2400名学生，估计“一直”对错题进行纠错解疑的学生为：（人）， 答：“一直”对错题进行纠错解疑的学生约有840名． 3．（2026·锡山区·一模）中国新能源产业异军突起．中国车企在政策引导和支持下，瞄准纯电、混动和氢燃料等多元技术路线，加大研发投入形成了领先的技术优势．2026年，中国新能源汽车产销量均突破1000万辆，连续9年位居全球第一．在某次汽车展览会上，工作人员随机抽取了部分参展人员进行了“我最喜欢的汽车类型”的调查活动（每人限选其中一种类型），并将数据整理后，绘制成下面有待完成的统计表、条形统计图和扇形统计图． 类型 频数 频率 纯电 m 54% 混动 n a% 氢燃料 3 b% 油车 5 c% 请根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查活动随机抽取了　　人；表中a＝　　，b＝　　； （2）请补全条形统计图； （3）若此次汽车展览会的参展人员共有5000人，请你估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有多少人？ 【答案】（1）50，30，6；（2）补全的条形统计图详见解析；（3）4500人． 【详解】解：（1）本次调查活动随机抽取的人数为：27÷54%＝50（人）， 喜欢混动的人数：n＝50﹣27﹣3﹣5＝15（人）， ∴a%100%＝30%， ∴a＝30， ∵b%100%＝6%， ∴b＝6， 故答案为：50，30，6； （2）补全条形统计图如下： （3）50004500（人）， 答：估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有4500人． 4．（2026·梁溪区·一模）为检查“双减”政策落实情况，学校对九年级学生平均每天完成课后书面作业的时间，开展了一次调查研究．学校从九年级学生中随机抽样调查40人，整理出如下的统计表： 平均每天完成课后书面作业的时间 不超过60分钟 60分钟至90分钟 超过90分钟 划记 正 正正正正正正 a 人数（人） 5 30 b （1）表格中a、b所对应的划记和人数分别应为：　　，　　； （2）画出合适的统计图描述该校九年级学生平均每天完成课后书面作业的时间状况，要求体现这三种时长的人数占总人数的比例情况； （3）学校规定：平均每天完成课后书面作业时间不超过90分钟．根据以上信息，估计该校九年级320名学生中，符合此规定的学生约有多少人？ 【答案】（1）正，5；（2）所画的扇形统计图详见解析；（3）280人． 【详解】解：（1）正，40﹣5﹣30﹣5＝5， 故答案为：正，5； （2）样本中九年级学生平均每天完成课后书面作业的时间不超过60分钟的学生所占的百分比为100%＝12.5%，对应的圆心角度数为360°×12.5%＝45°， 九年级学生平均每天完成课后书面作业的时间60分钟至90分钟的学生所占的百分比为100%＝75%，对应的圆心角度数为360°×75%＝270°， 九年级学生平均每天完成课后书面作业的时间超过90分钟的学生所占的百分比为100%＝12.5%，对应的圆心角度数为360°×12.5%＝45°， 所画的扇形统计图如下： （3）320280（人）， 答：符合此规定的学生约有280人． 5．（2025·新吴区·一模）如图，已知△ABC． （1）尺规作图：求作点P，使PA＝PC，且PC⊥AB．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若AC＝4，AB＝10，∠A为锐角，△ABC的面积为15，则点P到AC的距离为　　． 【答案】（1）作图详见解析；（2）． 【详解】解：（1）如图，点P即为所求； （2）∵CT⊥AB于点T， ∴·AB·CT＝15， ∵AB＝10， ∴CT＝3， ∴AT， 设PA＝PC＝x，则有x2＝（3﹣x）2+7， ∴x， ∵PM垂直平分线段AC， ∴AM＝CM＝2， ∴PM， ∴点P到AC的距离为， 故答案为：． 6．（2026·新吴区·一模）已知：在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＜BC． （1）尺规作图：在△ABC内部求作一点P，使得点P到边AB、AC的距离相等，且CP⊥AB（不写作法，但要保留作图痕迹）． （2）在（1）的条件下，若AC＝2，BC＝4，则点C与点P之间的距离为　　．（若要借用图形计算，请用备用图） 【答案】（1）作图详见解析；（2）． 【详解】解：（1）如图，先作∠BAC的平分线AM，再过点C作AB的垂线交射线AM于点P， 则点P即为所求； （2）如图，设射线CP交AB于点D，过点P作PE⊥AC于点E， 由（1）可得：DP＝EP，CD⊥AB． ∵∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝4， ∴AB， ∵， ∴CD， 在Rt△ACD中，由勾股定理可得：AD． 设CP＝x，则DP＝EP＝CD﹣CP， ∵， ∴，解得：x， ∴CP， 故答案为：． 7．（2026·江阴市·一模）如图，在直角△ABC中，∠B＝90°． （1）尺规作图：作∠BAC的角平分线，交BC于点D，在AC上作一点E，使得AE＝DE；（不写作法，保留痕迹） （2）在（1）的条件下，若AB＝4，BC＝3，则DE＝　　．（若需画图，请用备用图） 【答案】（1）作图详见解析；（2）． 【详解】解：（1）如图，射线AD即为所求， 作线段AD的垂直平分线，交AC于点E，点E即为所求； （2）∵AB＝4，BC＝3，∠B＝90°， ∴AC5． ∵AD为∠BAC的平分线， ∴∠BAD＝∠CAD． ∵AE＝DE， ∴∠EAD＝∠ADE， ∴∠BAD＝∠ADE， ∴DE∥AB， ∴△CDE∽△CBA， ∴． 设DE＝AE＝x，则CE＝AC﹣AE＝5﹣x， ∴，解得：x， ∴DE， 故答案为：． 8．（2026·锡山区·一模）如图，已知在△ABC中，∠A＝90°． （1）请用圆规和直尺作出⊙P，使圆心P在AC边上，且⊙P与AB，BC两边都相切；（保留作图痕迹，不写作法和证明） （2）若AB＝2，BC＝4，⊙P切BC于点D，求劣弧AD的长． 【答案】（1）作图详见解析；（2）π． 【详解】解：（1）如图，⊙P即为所求； （2）∵∠BAC＝90°，AB＝2，BC＝4， ∴BC＝2AB， ∴∠C＝30°， ∴∠ABC＝60°， ∵⊙P切BC于点D， ∴∠PDB＝∠BAP＝90°， ∴∠APD＝120°， 由（1）可知：BP平分∠ABC， ∴∠ABP＝30°， ∴AP＝AB·tan30°＝2， ∴劣弧的长π． 9．（2025·宜兴市·二模）（1）如图，在6×6的正方形网格中，点A、B、C都在格点上．请按要求作图． ①在图1中画一个格点△ADE，使△ADE∽△ABC（相似比不为1）； ②在图2中画一条格点线段BP，交AC于点Q，使CQ＝2AQ； （2）如图3，点A为⊙O上一点． ①请用不带刻度的直尺和圆规，在图3中作出⊙O的内接正方形ABCD；（保留作图痕迹，不写作法） ②根据①中画出的图形，过圆心O作BC边的垂线，分别交BC和劣弧BC于点E、F，若⊙O的半径为8cm，则EF的长为　　cm． 【答案】（1）①作图详见解析；②作图详见解析；（2）①作图详见解析；②（8﹣4）． 【详解】解：（1）①如图1，△ADE即为所求； ②如图2，线段BP即为所求； （2）①如图，连接AO并延长，交⊙O于C，过点O作AC的垂线，分别交⊙O于B、D， 则四边形ABCD即为所求； ∵AC，BD分别为⊙O的直径， ∴AC，BD相等且互相垂直平分， ∴四边形ABCD是正方形； （2）∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BOC＝90°， ∴BC8（cm）， ∵OF⊥BC， ∴BEBC＝4（cm）， ∴OE4（cm）， ∴EF＝OF﹣OE＝（8﹣4）cm， 故答案为：（8﹣4）． 10．（2026·梁溪区·一模）如图，AB是⊙O的弦，AC经过圆心O交⊙O于点D，E是⊙O上一点，∠ACB＝∠BED＝30°． （1）判断BC与⊙O的位置关系并证明； （2）若⊙O的半径为4，求△ABC的面积． 【答案】（1）BC与⊙O相切，证明详见解析；（2）12． 【详解】解：（1）BC与⊙O相切， 证明：如图，连接OB， ∵， ∴∠A＝∠E， ∴∠C＝∠E＝30°， ∴∠A＝∠C＝30°． ∵OA＝OB， ∴∠BOC＝60°， ∴∠OBC＝90°，即OB⊥BC， ∵OB是⊙O的半径， ∴BC与⊙O相切； （2）如图，作BH⊥AC， ∵OA＝OB＝4，∠BOC＝60°， ∴OH＝2，， ∴AH＝OA+OH＝6， ∵∠A＝∠C， ∴BA＝BC． 又∵BH⊥AC， ∴AC＝2AH＝12， ∴S△ABCAC·BH＝12． 11．（2025·惠山区·一模）如图，△ABC中，AB＝AC，点O在AB上，⊙O过点B，分别与BC、AB交于D、E，DF是⊙O的切线交AC于点F． （1）试判断DF与AC的位置关系，并说明理由； （2）若AC与⊙O相切于点M，⊙O的半径为3，，求AB的长． 【答案】（1）DF⊥AC，理由详见解析；（2）AB＝8． 【详解】解：（1）DF⊥AC，理由如下： 如图，连接OD， ∵DF是⊙O的切线， ∴OD⊥DF， ∵OB＝OD， ∴∠B＝∠ODB， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∴∠ODB＝∠C， ∴OD∥AC， ∴DF⊥AC； （2）如图，连接OM， ∵AC与⊙O相切于点M， ∴∠OMF＝∠MFD＝∠ODF＝90°， ∴四边形ODFM是矩形， ∵OM＝OD， ∴四边形ODFM是正方形， ∴OM＝FM＝DF＝3， ∵CD， ∴CF1， ∴CM＝4， ∵OA2＝OM2+AM2， ∴（AB﹣3）2＝32+（AB﹣4）2， ∴AB＝8． 12．（2026·锡山区·一模）如图，⊙O为△ABD的外接圆，点C在⊙O上，AB为⊙O的直径，DE是⊙O的切线，且DE⊥CB交CB的延长线于点E． （1）求证：∠ABD＝∠DBE； （2）连接CD，若CE＝7，BE＝3，求DE的长． 【答案】（1）证明详见解析；（2）． 【详解】（1）证明：∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴△ABD是直角三角形， 在Rt△ABD中，∠A+∠ABD＝90°， ∵DE是⊙O的切线， ∴根据弦切角定理可得：∠BDE＝∠A， ∴∠BDE+∠ABD＝90°， ∵DE⊥CB交CB的延长线于点E， ∴∠E＝90°， ∴△BDE是直角三角形， 在Rt△BDE中，∠BDE+∠DBE＝90°， ∴∠ABD＝∠DBE； （2）解：根据弦切角定理可得：∠BED＝∠C， 在△EBD和△EDC中， ∠BED＝∠C，∠E＝∠E， ∴△EBD∽△EDC， ∴， ∴DE2＝CE·BE， ∵CE＝7，BE＝3， ∴DE2＝7×3＝21， ∵DE＞0， ∴DE． 13．（2026·锡山区·一模）如图，已知△ABC中，AC＝BC，以BC为直径的⊙O交AB于E，过点E作⊙O的切线交BC的延长线于点F，EG⊥AC于G． （1）求证：AE＝BE； （2）若BC＝6，FE＝4，求AG的长． 【答案】（1）证明详见解析；（2）． 【详解】（1）证明：如图，连接CE， ∵BC是⊙O的直径， ∴CE⊥AB； 又∵AC＝BC， ∴BE＝AE； （2）解：如图，连接OE， ∵O、E分别是BC、AB的中点， ∴OE是△ABC的中位线， ∴OE∥AC， 又∵EG⊥AC， ∴BC＝2OE＝6， ∴OE＝3， ∵FE＝4， 在Rt△OEF中，由勾股定理可得：OF5， ∴CF＝OF﹣OC＝5﹣3＝2， ∵OE∥AC， ∴△FCG∽△FEO， ∴，即， ∴CG． ∵AC＝BC＝6， ∴AG＝AC﹣CG＝6． 14．（2026·新吴区·一模）如图，四边形ABCD是平行四边形．以边BC为直径作⊙O，AD恰好为⊙O的切线，其中点A为切点．点E是BC下方⊙O上的点，连接AE、BE． （1）求∠E的度数； （2）若BE＝8，，求AB的长． 【答案】（1）45°；（2）5． 【详解】解：（1）如图，连接OA， ∵AD切圆于A， ∴半径OA⊥AD， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴OA⊥BC， ∴∠AOB＝90°， ∴∠E∠AOB＝45°； （2）如图，连接CE， ∴∠BCE＝∠BAE， ∵BC圆的直角， ∴∠BEC＝90°， ∴sin∠BCE＝sin∠BAE， ∴， ∵BE＝8， ∴BC＝10， ∴OABC＝5， 由（1）可知：△AOB是等腰直角三角形， ∴ABOA＝5． 15．（2025·锡山区·校级四模）如图，AB，AC为⊙O的切线，B，C为切点，BC与AO交于点P，CD∥AO交⊙O于点D． （1）求证：∠BCD＝90°； （2）连接AD交BC于点E．若tan∠OAB，⊙O的半径为，求DE的长． 【答案】（1）证明详见解析；（2）． 【详解】（1）证明：∵AB，AC为⊙O的切线，B，C为切点， ∴AC＝AB， 如图，连接OC，OB，则OC＝OB， ∴AO是线段BC的垂直平分线， ∴∠APC＝90°， 又∵CD∥AO， ∴∠BCD＝∠APC＝90°； （2）解：如图，连接OD， ∵∠BCD＝90°， ∴BD是直径， ∵tan∠OAB，⊙O的半径为， ∴AB＝2OB＝2BD， ∴ADAB＝2， ∵tan∠OAB， ∴设BP＝x，则AP＝2x， ∴ABx＝2， ∴x＝2，即BP＝2，AP＝4＝BC， ∴CD2， ∵CD∥AP， ∴， ∴DE． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $