第8章 概率（单元测试·提升卷）数学苏教版选择性必修第二册

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高二第二学期数学单元检测卷 第8章 概率·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．某次测试共设置两道必答题，考生至少答对其中一道题即可通过测试．已知考生甲答对每一题的概率均为，甲通过测试的概率为（   ） A． B． C． D． 2．已知随机变量服从正态分布，且，则的值为（    ） A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8 3．对于事件A和B，，，，则（    ）. A．0.3 B．0.48 C．0.5 D．0.6 4．设，随机变量的分布列如表所示，则下列说法正确的是（   ） -1 1 A．当增大时，减小，增大 B．当增大时，减小，减小 C．当增大时，减小，先增大后减小 D．当增大时，减小，先减小后增大 5．目前，多地大力实施“冰雪惠民计划”，推行“冰雪+”战略，构建冰雪经济体系，促进冰雪运动产业转型，从而有效带动赛事经济以及冰雪体育产业实现高质量发展．某地因此举行滑冰运动，有8人进入决赛，其中男生5人，女生3人，随机抽取2人，则抽取到的男生人数的期望为（    ） A． B． C． D． 6．一个盒子里装有6张卡片，上面分别写着如下6个定义域为的函数：，，，，，，现从盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后不放回，若取到一张记有偶函数的卡片，则停止抽取，否则继续进行，则抽取次数的数学期望为（   ） A． B． C． D． 7．某模型在验证集中有4个样本:1个“正确分类”，1个“错误分类”，2个“不确定样本”， 系统随机打乱顺序后不放回地逐个测试，直到遇到第一个正确分类样本时停止，设在此过程中测试到的 “不确定样本” 个数为，则（    ） A． B．1 C． D．2 8．已知随机变量所有可能的取值为，若，则（   ） A．存在 B．任意 C．存在 D．任意 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．对于随机事件A，B，若，，，则（   ） A． B． C． D． 10．已知某学校的两个不同班级学生的数学成绩X，Y均服从正态分布，其中，，则（    ） A． B． C． D． 11．小明和小红进行某项比赛（比赛结果没有平局），小明每局获胜的概率均为，每局比赛胜者获得1个积分，负者获得0个积分，记小明和小红两人积分之差的绝对值为，当时，比赛结束且总积分多者获胜.下列说法正确的是（    ） A．若，则比赛结束时总局数可能是5 B．若，，则恰好4局结束比赛且小明获胜的概率为 C．若，，则在不超过5局比赛结束的条件下，小明以4:1获胜的概率为 D．若，，比赛进行一段时间后，则继续比赛小明最终获胜的概率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．有一批产品，其中有2件正品和3件次品，从中任取3件，至少有2件次品的概率为_______． 13．有3个编号分别为1，2，3的盒子，1号盒子中有2个白球和1个黑球，其余盒子中均有1个白球和1个黑球.现从1号盒子任取一球放入2号盒子；再从2号盒子任取一球放入3号盒子.记“从号盒子取出的球是白球”为事件，则_______. 14．小华进行3次投篮，每次投篮得1分或2分.第一次投篮得1分的概率为，得2分的概率为.若某次投篮得1分，则下一次投篮得1分的概率为，得2分的概率为；若某次投篮得2分，则下一次投篮得1分的概率为，得2分的概率为.记小华3次投篮的累计得分为，则的数学期望_________. 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）某省举办了一次高三年级化学模拟考试，其中甲市有10000名学生参加考试.根据经验，该省及各市本次模拟考试成绩（满分100分）都近似服从正态分布． (1)已知本次模拟考试甲市平均成绩为65分，87分以上共有228人．甲市学生A的成绩为76分，试估计学生A在甲市的大致名次； (2)在该省本次模拟考试的参考学生中随机抽取40人，记Y表示在本次考试中化学成绩在之外的人数，求的概率． 参考数据： 参考公式：若，有，， 16．（15分）某工厂生产的无人投递车需经过性能测试才能投入使用．若首次测试（A）通过，即合格．若测试A未通过，则需进行第二次测试（B），测试B通过，即合格；否则为不合格，不能投入使用．已知测试A通过率为0.8，测试B通过率为0.5． (1)若某批次生产了n辆无人投递车，合格的数量为X．计算随机变量X的期望与方差； (2)已知某辆无人投递车测试合格，计算其通过测试A的概率； (3)该工厂声称其随机抽取的1000辆无人投递车合格率为95%，请结合材料1和材料2说明该工厂提供的合格率是否可信? 材料1：设随机变量X的期望为，方差为，则对任意正数a，均有． 材料2：当随机事件发生的概率小于0.05时，可称该事件为小概率事件． 17．（15分）某零部件代加工基地为某科技公司生产了一批精密零件，其质量指标（单位：μm）服从正态分布，已知当时，．规定质量指标在内的零件为优质品，且每个零件的检测结果相互独立． (1)现从该批零件中随机抽取2个，求这2个零件中恰好有1个为优质品的概率； (2)从该批零件中随机抽取6个进行检测，记这6个零件中有个优质品的概率最大，当这6个零件中恰好有个优质品时把这6个零件视为一个样本，从这6个零件中不放回地任取3个进行二次检测，记取出的3个零件中优质品的个数为，求的分布列与期望； 18．（17分）在学校举行的科学教育知识竞赛中，甲、乙两位同学进入了决赛，决赛以抢答的形式回答问题，一共回答3道题，每道题均从题库中随机抽取，若每道题甲、乙抢到的概率均为，每道题甲回答正确的概率均为，每道题乙回答正确的概率均为.比赛规定每道题由先抢到的同学回答，回答正确，该同学得1分，回答错误，对方得1分，得分高的同学获胜.甲、乙两人回答每道题正确与否均相互独立. (1)若，，设比赛结束甲的得分为，求； (2)为增加比赛的趣味性，拟由3道题增加到5道题，试判断增加两题后，甲获胜的概率是否增大？请说明理由. 19．（17分）某校举办了一场以“新质生产力·青春创未来”为主题的知识与能力挑战赛.比赛题库中有选择题和填空题两种题型，且数目相同，每次答题从中随机抽取1题进行作答，每次答题（无论对错）后，该题都会被移除，系统会补充1道同题型的新题，使比赛题库中的选择题和填空题的数目始终保持相同.答对1道选择题可获得1分，答对1道填空题可获得2分，若答对，继续从补充题目后的比赛题库中随机抽取1题进行作答；若答错，立即停止答题，比赛结束.已知甲同学答对每道选择题的概率均为，答对每道填空题的概率均为，且每道题答对与否互不影响． (1)记甲同学进行1次答题后的得分为，求的分布列及数学期望； (2)比赛结束前，记甲同学累计得分达到的概率为． （i）求； （ii）求．（用含的式子表达） 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二第二学期数学单元检测卷 第8章 概率·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．某次测试共设置两道必答题，考生至少答对其中一道题即可通过测试．已知考生甲答对每一题的概率均为，甲通过测试的概率为（   ） A． B． C． D． 2．已知随机变量服从正态分布，且，则的值为（    ） A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8 3．对于事件A和B，，，，则（    ）. A．0.3 B．0.48 C．0.5 D．0.6 4．设，随机变量的分布列如表所示，则下列说法正确的是（   ） -1 1 A．当增大时，减小，增大 B．当增大时，减小，减小 C．当增大时，减小，先增大后减小 D．当增大时，减小，先减小后增大 5．目前，多地大力实施“冰雪惠民计划”，推行“冰雪+”战略，构建冰雪经济体系，促进冰雪运动产业转型，从而有效带动赛事经济以及冰雪体育产业实现高质量发展．某地因此举行滑冰运动，有8人进入决赛，其中男生5人，女生3人，随机抽取2人，则抽取到的男生人数的期望为（    ） A． B． C． D． 6．一个盒子里装有6张卡片，上面分别写着如下6个定义域为的函数：，，，，，，现从盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后不放回，若取到一张记有偶函数的卡片，则停止抽取，否则继续进行，则抽取次数的数学期望为（   ） A． B． C． D． 7．某模型在验证集中有4个样本:1个“正确分类”，1个“错误分类”，2个“不确定样本”， 系统随机打乱顺序后不放回地逐个测试，直到遇到第一个正确分类样本时停止，设在此过程中测试到的 “不确定样本” 个数为，则（    ） A． B．1 C． D．2 8．已知随机变量所有可能的取值为，若，则（   ） A．存在 B．任意 C．存在 D．任意 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．对于随机事件A，B，若，，，则（   ） A． B． C． D． 10．已知某学校的两个不同班级学生的数学成绩X，Y均服从正态分布，其中，，则（    ） A． B． C． D． 11．小明和小红进行某项比赛（比赛结果没有平局），小明每局获胜的概率均为，每局比赛胜者获得1个积分，负者获得0个积分，记小明和小红两人积分之差的绝对值为，当时，比赛结束且总积分多者获胜.下列说法正确的是（    ） A．若，则比赛结束时总局数可能是5 B．若，，则恰好4局结束比赛且小明获胜的概率为 C．若，，则在不超过5局比赛结束的条件下，小明以4:1获胜的概率为 D．若，，比赛进行一段时间后，则继续比赛小明最终获胜的概率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．有一批产品，其中有2件正品和3件次品，从中任取3件，至少有2件次品的概率为_______． 13．有3个编号分别为1，2，3的盒子，1号盒子中有2个白球和1个黑球，其余盒子中均有1个白球和1个黑球.现从1号盒子任取一球放入2号盒子；再从2号盒子任取一球放入3号盒子.记“从号盒子取出的球是白球”为事件，则_______. 14．小华进行3次投篮，每次投篮得1分或2分.第一次投篮得1分的概率为，得2分的概率为.若某次投篮得1分，则下一次投篮得1分的概率为，得2分的概率为；若某次投篮得2分，则下一次投篮得1分的概率为，得2分的概率为.记小华3次投篮的累计得分为，则的数学期望_________. 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）某省举办了一次高三年级化学模拟考试，其中甲市有10000名学生参加考试.根据经验，该省及各市本次模拟考试成绩（满分100分）都近似服从正态分布． (1)已知本次模拟考试甲市平均成绩为65分，87分以上共有228人．甲市学生A的成绩为76分，试估计学生A在甲市的大致名次； (2)在该省本次模拟考试的参考学生中随机抽取40人，记Y表示在本次考试中化学成绩在之外的人数，求的概率． 参考数据： 参考公式：若，有，， 16．（15分）某工厂生产的无人投递车需经过性能测试才能投入使用．若首次测试（A）通过，即合格．若测试A未通过，则需进行第二次测试（B），测试B通过，即合格；否则为不合格，不能投入使用．已知测试A通过率为0.8，测试B通过率为0.5． (1)若某批次生产了n辆无人投递车，合格的数量为X．计算随机变量X的期望与方差； (2)已知某辆无人投递车测试合格，计算其通过测试A的概率； (3)该工厂声称其随机抽取的1000辆无人投递车合格率为95%，请结合材料1和材料2说明该工厂提供的合格率是否可信? 材料1：设随机变量X的期望为，方差为，则对任意正数a，均有． 材料2：当随机事件发生的概率小于0.05时，可称该事件为小概率事件． 17．（15分）某零部件代加工基地为某科技公司生产了一批精密零件，其质量指标（单位：μm）服从正态分布，已知当时，．规定质量指标在内的零件为优质品，且每个零件的检测结果相互独立． (1)现从该批零件中随机抽取2个，求这2个零件中恰好有1个为优质品的概率； (2)从该批零件中随机抽取6个进行检测，记这6个零件中有个优质品的概率最大，当这6个零件中恰好有个优质品时把这6个零件视为一个样本，从这6个零件中不放回地任取3个进行二次检测，记取出的3个零件中优质品的个数为，求的分布列与期望； 18．（17分）在学校举行的科学教育知识竞赛中，甲、乙两位同学进入了决赛，决赛以抢答的形式回答问题，一共回答3道题，每道题均从题库中随机抽取，若每道题甲、乙抢到的概率均为，每道题甲回答正确的概率均为，每道题乙回答正确的概率均为.比赛规定每道题由先抢到的同学回答，回答正确，该同学得1分，回答错误，对方得1分，得分高的同学获胜.甲、乙两人回答每道题正确与否均相互独立. (1)若，，设比赛结束甲的得分为，求； (2)为增加比赛的趣味性，拟由3道题增加到5道题，试判断增加两题后，甲获胜的概率是否增大？请说明理由. 19．（17分）某校举办了一场以“新质生产力·青春创未来”为主题的知识与能力挑战赛.比赛题库中有选择题和填空题两种题型，且数目相同，每次答题从中随机抽取1题进行作答，每次答题（无论对错）后，该题都会被移除，系统会补充1道同题型的新题，使比赛题库中的选择题和填空题的数目始终保持相同.答对1道选择题可获得1分，答对1道填空题可获得2分，若答对，继续从补充题目后的比赛题库中随机抽取1题进行作答；若答错，立即停止答题，比赛结束.已知甲同学答对每道选择题的概率均为，答对每道填空题的概率均为，且每道题答对与否互不影响． (1)记甲同学进行1次答题后的得分为，求的分布列及数学期望； (2)比赛结束前，记甲同学累计得分达到的概率为． （i）求； （ii）求．（用含的式子表达） 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二第二学期数学单元检测卷 第8章 概率·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．某次测试共设置两道必答题，考生至少答对其中一道题即可通过测试．已知考生甲答对每一题的概率均为，甲通过测试的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设考生至少答对其中一道题为事件，则，. 2．已知随机变量服从正态分布，且，则的值为（    ） A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8 【答案】A 【详解】根据正态分布曲线可知图象关于对称，则． 3．对于事件A和B，，，，则（    ）. A．0.3 B．0.48 C．0.5 D．0.6 【答案】D 【详解】因为，， 所以，解得. 又，所以. 4．设，随机变量的分布列如表所示，则下列说法正确的是（   ） -1 1 A．当增大时，减小，增大 B．当增大时，减小，减小 C．当增大时，减小，先增大后减小 D．当增大时，减小，先减小后增大 【答案】C 【分析】 【详解】由题意可得，所以． ， 故随着的值增大而减小； ， 因为，所以当时，单调递增，当时，单调递减，故选C． 5．目前，多地大力实施“冰雪惠民计划”，推行“冰雪+”战略，构建冰雪经济体系，促进冰雪运动产业转型，从而有效带动赛事经济以及冰雪体育产业实现高质量发展．某地因此举行滑冰运动，有8人进入决赛，其中男生5人，女生3人，随机抽取2人，则抽取到的男生人数的期望为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 【详解】解法1： 设抽取到的男生人数为，则的所有可能取值为0，1，2，，，，则， 解法2： 从8人中抽取2人，男生有5人，所以服从超几何分布， 则． 故选：C. 6．一个盒子里装有6张卡片，上面分别写着如下6个定义域为的函数：，，，，，，现从盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后不放回，若取到一张记有偶函数的卡片，则停止抽取，否则继续进行，则抽取次数的数学期望为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，函数为偶函数，为奇函数， 所以随机变量可能取值为， 则，， ，， 所以的分布列为 1 2 3 4 所以期望为． 故选：A. 7．某模型在验证集中有4个样本:1个“正确分类”，1个“错误分类”，2个“不确定样本”， 系统随机打乱顺序后不放回地逐个测试，直到遇到第一个正确分类样本时停止，设在此过程中测试到的 “不确定样本” 个数为，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【详解】记1个“正确分类”为，1个“错误分类”为，2个“不确定样本”为， 已知测试到就停止，为测试到的的个数，则的可能取值为：， 时有两种情况：①第一个是；②第一个是，第二个是，即 ； 时有三种情况：①第一个是或，第二个是； ②第一个是或，第二个是，第三个是； ③第一个是，第二个是或，第三个是； ； 时有三种情况：①前两个是和，第三个是； ②前两个是或和，第三个是或，第四个是； ③第一个是，第二个和第三个是和，第四个是； ； ． 8．已知随机变量所有可能的取值为，若，则（   ） A．存在 B．任意 C．存在 D．任意 【答案】D 【详解】由题意知，，，即，，，所以. 由知，， 因为，，所以，故A错误. 当时，，故B错误. 将代入得， 又，由二次函数的性质可知， 由上知， (或) 所以，即，故C错误. 令， 则的值域等价于函数的值域， 由二次函数的性质知的值域为，故D正确. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．对于随机事件A，B，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】对于A，因为，，， 所以，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误． 10．已知某学校的两个不同班级学生的数学成绩X，Y均服从正态分布，其中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】A选项，，则，A正确； B选项，由正态分布的原则知，B错误； C选项，，则，C正确； D选项，，，D错误. 故选：AC 11．小明和小红进行某项比赛（比赛结果没有平局），小明每局获胜的概率均为，每局比赛胜者获得1个积分，负者获得0个积分，记小明和小红两人积分之差的绝对值为，当时，比赛结束且总积分多者获胜.下列说法正确的是（    ） A．若，则比赛结束时总局数可能是5 B．若，，则恰好4局结束比赛且小明获胜的概率为 C．若，，则在不超过5局比赛结束的条件下，小明以4:1获胜的概率为 D．若，，比赛进行一段时间后，则继续比赛小明最终获胜的概率为 【答案】BCD 【详解】选项A：若，则比赛结束时积分差的绝对值为2， 设总局数为，小明胜局，小红胜局， 则，即，所以总局数为偶数，故A错误. 选项B：若，，则恰好4局结束比赛且小明获胜的概率为： ，故B正确. 选项C：若，，则在不超过5局比赛结束，有两种情况，第一种小明或小红连胜3局，概率为. 第二种小明或小红以获胜，概率为. 其中小明以获胜的概率为. 所以在不超过5局比赛结束的条件下，小明以4:1获胜的概率为，故C正确. 选项D：设小明在净胜局（小明胜的局数比输的局数多）前提下，继续比赛最终获胜的概率为，. 当净胜局时，继续比赛一局，若小明胜，则小明的状态变为净胜局，继续比赛获胜的概率为；若小明输，则小明的状态变为净胜局，比赛结束，小明失败. 根据全概率公式可得，. 当净胜局时，继续比赛一局，若小明胜，则小明的状态变为净胜0局，继续比赛获胜的概率为；若小明输，则小明的状态变为净胜局，继续比赛获胜的概率为. 根据全概率公式可得，. 同理可得，当净胜0局时，.当净胜1局时，. 当净胜2局时，继续比赛一局，若小明胜，则小明以获胜，若小明输，则小明的状态变为净胜1局，继续比赛获胜的概率为. 根据全概率公式可得，. 联立，即，整理得，解得. 因为表示小明和小红积分相同，即净胜0局，所以继续比赛小明最终获胜的概率为，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．有一批产品，其中有2件正品和3件次品，从中任取3件，至少有2件次品的概率为_______． 【答案】/0.7 【详解】总的取法数有种， 当取两件次品时，取法有种；当取三件次品时，只有1种取法， 故从中任取3件，至少有2件次品的概率为 故答案为： 13．有3个编号分别为1，2，3的盒子，1号盒子中有2个白球和1个黑球，其余盒子中均有1个白球和1个黑球.现从1号盒子任取一球放入2号盒子；再从2号盒子任取一球放入3号盒子.记“从号盒子取出的球是白球”为事件，则_______. 【答案】/0.8 【详解】由题意得， 所以， ， 所以. 14．小华进行3次投篮，每次投篮得1分或2分.第一次投篮得1分的概率为，得2分的概率为.若某次投篮得1分，则下一次投篮得1分的概率为，得2分的概率为；若某次投篮得2分，则下一次投篮得1分的概率为，得2分的概率为.记小华3次投篮的累计得分为，则的数学期望_________. 【答案】 【详解】由题意可知的所有可能取值分别为3，4，5，6，记表示“第次投篮得1分”的事件， 表示“第次投篮得2分”的事件. ， ， ， 所以分布列为 X 3 4 5 6 P 0.18 0.32 0.32 0.18 故. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）某省举办了一次高三年级化学模拟考试，其中甲市有10000名学生参加考试.根据经验，该省及各市本次模拟考试成绩（满分100分）都近似服从正态分布． (1)已知本次模拟考试甲市平均成绩为65分，87分以上共有228人．甲市学生A的成绩为76分，试估计学生A在甲市的大致名次； (2)在该省本次模拟考试的参考学生中随机抽取40人，记Y表示在本次考试中化学成绩在之外的人数，求的概率． 参考数据： 参考公式：若，有，， 【详解】（1）已知本次模拟考试成绩都近似服从正态分布． 由题意得. 1分 因为，又. 即，所以，解得. 4分 因为甲市学生A的成绩为分，且. 又，即. 所以学生在甲市的大致名次为名. 6分 （2）在本次模拟考试的学生中，抽取名化学成绩在之内的概率为. 所以抽取名化学成绩在之外的概率为. 8分 所以随机变量Y服从二项分布，即， 10分 所以. 13分 16．（15分）某工厂生产的无人投递车需经过性能测试才能投入使用．若首次测试（A）通过，即合格．若测试A未通过，则需进行第二次测试（B），测试B通过，即合格；否则为不合格，不能投入使用．已知测试A通过率为0.8，测试B通过率为0.5． (1)若某批次生产了n辆无人投递车，合格的数量为X．计算随机变量X的期望与方差； (2)已知某辆无人投递车测试合格，计算其通过测试A的概率； (3)该工厂声称其随机抽取的1000辆无人投递车合格率为95%，请结合材料1和材料2说明该工厂提供的合格率是否可信? 材料1：设随机变量X的期望为，方差为，则对任意正数a，均有． 材料2：当随机事件发生的概率小于0.05时，可称该事件为小概率事件． 【详解】（1）设事件“通过测试”， 事件“通过测试” ，事件“测试合格”， 2分 由题意每辆车通过测试的概率为， 5分 ，即， 即随机变量X的期望为，方差为. 8分 （2）由题，则测试合格的无人投递车，其通过测试的概率为. 11分 （3）设随机抽取辆无人投递车中合格数为，由（1）可知， 假设该工厂关于产品合格率为95%的说法成立，则应有辆车合格， 由材料1可得，， 即在假设下辆车中合格数达到或超过的概率不超过， 由材料2可知，该事件为小概率事件，据此我们有理由推断该工厂提供的合格率不可信. 15分 17．（15分）某零部件代加工基地为某科技公司生产了一批精密零件，其质量指标（单位：μm）服从正态分布，已知当时，．规定质量指标在内的零件为优质品，且每个零件的检测结果相互独立． (1)现从该批零件中随机抽取2个，求这2个零件中恰好有1个为优质品的概率； (2)从该批零件中随机抽取6个进行检测，记这6个零件中有个优质品的概率最大，当这6个零件中恰好有个优质品时把这6个零件视为一个样本，从这6个零件中不放回地任取3个进行二次检测，记取出的3个零件中优质品的个数为，求的分布列与期望； 【详解】（1）因为，所以，， 所以从该批零件中随机抽取1个为优质品的概率， 2分 所以从该批零件中随机抽取个， 恰好有个为优质品的概率为. 5分 （2）设随机抽取的个零件中，优质品的个数为. 由题意得，， 所以， 8分 因为， 当时，， 当时，， 所以. 11分 由题意可得的所有可能取值为1，2，3， ，，， 13分 所以的分布列为 1 2 3 . 15分 18．（17分）在学校举行的科学教育知识竞赛中，甲、乙两位同学进入了决赛，决赛以抢答的形式回答问题，一共回答3道题，每道题均从题库中随机抽取，若每道题甲、乙抢到的概率均为，每道题甲回答正确的概率均为，每道题乙回答正确的概率均为.比赛规定每道题由先抢到的同学回答，回答正确，该同学得1分，回答错误，对方得1分，得分高的同学获胜.甲、乙两人回答每道题正确与否均相互独立. (1)若，，设比赛结束甲的得分为，求； (2)为增加比赛的趣味性，拟由3道题增加到5道题，试判断增加两题后，甲获胜的概率是否增大？请说明理由. 【详解】（1）每一道题甲抢到并回答正确的概率为， 每一道题乙抢到并回答错误的概率为， 所以每一题甲得一分的概率均为； 3分 若，，可得, 又甲、乙两人回答每道题正确与否均相互独立，所以， 可得. 6分 （2）设回答3道题时甲获胜的概率为，回答5道题时甲获胜的概率为， 则可知； 8分 回答5道题时甲获胜的情况有三种：前3题甲均得分；前3题甲有2题得分，增加的两道题中甲至少有1题得分；前3题甲有1题得分，增加的两道题甲2题都得分； 则有, 10分 所以； 13分 易知， 于是当时，，即，甲获胜的概率增大， 当时，，即，甲、乙获胜的概率相同， 当时，，即，甲获胜的概率减小， 综上，增加两题后，甲获胜的概率未必增大，而是答题能力强的同学获胜的概率增大. 17分 19．（17分）某校举办了一场以“新质生产力·青春创未来”为主题的知识与能力挑战赛.比赛题库中有选择题和填空题两种题型，且数目相同，每次答题从中随机抽取1题进行作答，每次答题（无论对错）后，该题都会被移除，系统会补充1道同题型的新题，使比赛题库中的选择题和填空题的数目始终保持相同.答对1道选择题可获得1分，答对1道填空题可获得2分，若答对，继续从补充题目后的比赛题库中随机抽取1题进行作答；若答错，立即停止答题，比赛结束.已知甲同学答对每道选择题的概率均为，答对每道填空题的概率均为，且每道题答对与否互不影响． (1)记甲同学进行1次答题后的得分为，求的分布列及数学期望； (2)比赛结束前，记甲同学累计得分达到的概率为． （i）求； （ii）求．（用含的式子表达） 【详解】（1）每次抽到选择题和填空题的概率均为.若答错，则得分为0，所以. 2分 若答对选择题，则得1分，所以；若答对填空题，则得2分，所以. 4分 因此的分布列为 0 1 2 所以. 6分 （2）记为从开始答题到比赛停止前，累计得分曾经达到的概率． 先求初始两项．要累计得分达到，第一次答题必须抽到并答对选择题，所以． 要累计得分达到，有两种互斥情况：第一次抽到并答对填空题， 或前两次均抽到并答对选择题，第一种情况的概率为，第二种情况的概率为，所以． 8分 当时，若最后一次由分达到分，则最后一次需抽到并答对选择题，这一步发生的概率为； 若最后一次由分达到分，则最后一次需抽到并答对填空题，这一步发生的概率为． 因此． 10分 由递推式得．再由递推式得． 下面用构造法求．由，得． 12分 设，则． 又，所以，即． 设，则．又，所以. 用等比数列求和得，所以． 15分nn 而也满足此式，因此． 17分 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二第二学期数学单元检测卷 第8章 概率·能力提升（参考答案） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 2 3 4 5 6 7 8 A A D C C A B D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9 10 11 AC AC BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12． 13．/0.8 14． 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．【详解】（1）已知本次模拟考试成绩都近似服从正态分布． 由题意得. 1分 因为，又. 即，所以，解得. 4分 因为甲市学生A的成绩为分，且. 又，即. 所以学生在甲市的大致名次为名. 6分 （2）在本次模拟考试的学生中，抽取名化学成绩在之内的概率为. 所以抽取名化学成绩在之外的概率为. 8分 所以随机变量Y服从二项分布，即， 10分 所以. 13分 16．【详解】（1）设事件“通过测试”， 事件“通过测试” ，事件“测试合格”， 2分 由题意每辆车通过测试的概率为， 5分 ，即， 即随机变量X的期望为，方差为. 8分 （2）由题，则测试合格的无人投递车，其通过测试的概率为. 11分 （3）设随机抽取辆无人投递车中合格数为，由（1）可知， 假设该工厂关于产品合格率为95%的说法成立，则应有辆车合格， 由材料1可得，， 即在假设下辆车中合格数达到或超过的概率不超过， 由材料2可知，该事件为小概率事件，据此我们有理由推断该工厂提供的合格率不可信. 15分 17．【详解】（1）因为，所以，， 所以从该批零件中随机抽取1个为优质品的概率， 2分 所以从该批零件中随机抽取个， 恰好有个为优质品的概率为. 5分 （2）设随机抽取的个零件中，优质品的个数为. 由题意得，， 所以， 8分 因为， 当时，， 当时，， 所以. 11分 由题意可得的所有可能取值为1，2，3， ，，， 13分 所以的分布列为 1 2 3 . 15分 18．【详解】（1）每一道题甲抢到并回答正确的概率为， 每一道题乙抢到并回答错误的概率为， 所以每一题甲得一分的概率均为； 3分 若，，可得, 又甲、乙两人回答每道题正确与否均相互独立，所以， 可得. 6分 （2）设回答3道题时甲获胜的概率为，回答5道题时甲获胜的概率为， 则可知； 8分 回答5道题时甲获胜的情况有三种：前3题甲均得分；前3题甲有2题得分，增加的两道题中甲至少有1题得分；前3题甲有1题得分，增加的两道题甲2题都得分； 则有, 10分 所以； 13分 易知， 于是当时，，即，甲获胜的概率增大， 当时，，即，甲、乙获胜的概率相同， 当时，，即，甲获胜的概率减小， 综上，增加两题后，甲获胜的概率未必增大，而是答题能力强的同学获胜的概率增大. 17分 19．【详解】（1）每次抽到选择题和填空题的概率均为.若答错，则得分为0，所以. 2分 若答对选择题，则得1分，所以；若答对填空题，则得2分，所以. 4分 因此的分布列为 0 1 2 所以. 6分 （2）记为从开始答题到比赛停止前，累计得分曾经达到的概率． 先求初始两项．要累计得分达到，第一次答题必须抽到并答对选择题，所以． 要累计得分达到，有两种互斥情况：第一次抽到并答对填空题， 或前两次均抽到并答对选择题，第一种情况的概率为，第二种情况的概率为，所以． 8分 当时，若最后一次由分达到分，则最后一次需抽到并答对选择题，这一步发生的概率为； 若最后一次由分达到分，则最后一次需抽到并答对填空题，这一步发生的概率为． 因此． 10分 由递推式得．再由递推式得． 下面用构造法求．由，得． 12分 设，则． 又，所以，即． 设，则．又，所以. 用等比数列求和得，所以． 15分nn 而也满足此式，因此． 17分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $