第3章 概率（单元自测·基础卷）数学湘教版选择性必修第二册

高二数学单元自测 第3章 概率·基础通关 建议用时：100分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知随机变量，若，则（   ） A．0.8 B．0.7 C．0.3 D．0.2 【答案】D 【分析】根据题意结合正态分布的对称性运算求解即可. 【详解】因为，，所以.故选：D. 2．从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，记事件：取到的2个数之和为偶数，事件取到的2个数均为偶数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件概率的计算公式即可求解. 【详解】事件包含的基本事件有事件包含的基本事件有， 故概率为，故选：B 3．已知甲盒子有6个相同的小球，编号分别为1，2，3，4，5，6，从甲盒子中取出一个小球，记随机变量是取出小球的编号，则数学期望（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据离散型随机变量的数学期望公式计算即可． 【详解】由题可得， ．故选：C． 4．根据以往经验，某工程施工期间的降水量（单位：mm）对工期的影响如表所示． 降水量 工期延误天数 0 2 6 10 若历史气象资料表明，该工程施工期间降水量小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9，则工期延误天数的方差为（    ） A．6.8 B．8.8 C．9.8 D．10.8 【答案】C 【分析】由离散型随机变量的期望与方差公式求解即可. 【详解】由题意知，，， ， ．故； ， 另解：也可由， 所以．故工期延误天数的方差为9.8．故选：C. 5．甲、乙进行射击训练．已知甲、乙射中10环的概率分别为0.5和0.4，且两人是否射中10环互不影响．甲、乙各射击1次，若10环被射中，则只被甲射中的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】计算条件概率 【分析】利用条件概率公式进行求解即可. 【详解】设事件：甲射中10环，事件：乙射中10环，事件：10环被射中， 则，， 所以， 因为， 所以． 故选：C． 6．若事件 、 满足 ，则 与 的关系是（    ） A．互斥 B．互为对立 C．相互独立 D．互斥且相互独立 【答案】C 【分析】利用独立事件，互斥事件和对立事件的定义判断即可 【详解】因为，.又因为 ，所以有 ， 所以事件 与 相互独立，不互斥也不对立.故选：B. 7．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的.记X为该毕业生得到面试的公司个数.若，则随机变量X的均值（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意结合独立事件概率乘法公式可得，分析可知X的可能取值为，进而求分布列和期望. 【详解】因为，且，解得， 由题意可知：X的可能取值为， 则， ，， 则X的分布列为： X 0 1 2 3 所以.故选：A. 8．随机变量的分布列为，若，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】根据已知条件求得，然后由来求得正确答案. 【详解】首先，根据随机变量的概率分布性质，， 即，所以. 已知期望. 将代入期望公式可得： . 因为，所以. 然后求： . 同样将代入可得： . 已知，且，即. 用减去可得： . ，即. 又因为，两式相减得： ，即. 所以，则， 把变形为， 将和代入得：，则， 所以. 根据方差公式. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法中，正确的有（    ） A．若随机变量的数学期望，则 B．若随机变量的方差，则 C．将一枚正方体骰子抛掷5次，记1点向上的次数为，则服从两点分布 D．从7男3女共10名学生中随机选取5名学生，记选出女生的人数为，则服从超几何分布 【答案】ABD 【分析】根据离散型随机变量的均值与方差的性质公式，以及二项分布与超几何分布的概念，可得答案. 【详解】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，因为，所以，故B正确； 对于C，根据二项分布的概念可知随机变量服从，故C错误； 对于D，根据超几何分布的概念可知随机变量服从超几何分布，故D正确． 故选：ABD． 10．从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，现从甲、乙两袋中各摸出一个球，且相互独立，则（    ） A．2个球都是红球的概率为 B．2个球都不是红球的概率为 C．至少有1个红球的概率为 D．2个球中恰有1个红球的概率 【答案】ABD 【分析】根据独立事件乘法公式计算，逐一判断即可. 【详解】对A，2个球都是红球的概率是，正确； 对B，2个球都不是红球的概率是，正确； 对C，至少有1个红球的概率是，错误； 对D，2个球中恰有1个红球的概率是，正确.故选：ABD 11．下列命题中，是真命题的是（    ） A．一组数据：2，1，4，3，5，3的平均数、众数、中位数相同 B．有A，B，C三种个体按的比例做分层抽样调查，如果抽取的A个体数为9，则样本容量为30 C．若随机变量，则其数学期望 D．若随机变量，，则 【答案】ACD 【分析】A选项，计算出平均数，众数和中位数，得到A正确；B选项，计算出样本容量为18；C选项，根据二项分布的数学期望公式求出答案；D选项，利用正态分布的对称性得到概率. 【详解】A选项：平均数为：，3出现了两次，出现次数最多，众数为3，将数据从小到大排列为：1，2，3，3，4，5.所以中位数为，故A正确； B选项：样本的容量为，故B错误；C选项：由，故C正确； D选项：，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知随机变量，且，则 ． 【答案】 【分析】利用正态分布对称性求解. 【详解】因为，且，所以， 故，故．故答案为：. 13．已知，，，则 ． 【答案】 【分析】由条件求出，再由条件概率公式求解． 【详解】因为，，，所以． 因为，所以．故答案为：． 14．一个袋中装有形状大小完全相同的6个球，其中2个红球，4个白球.从袋中有放回地取球，每次随机取1个记下颜色后放回，直到取出3次红球即停止，记为4次之内（含4次）取到红球的次数，则的数学期望 . 【答案】 【分析】由题知每次取到红球的概率都是，可取0，1，2，3，求出对应随机变量 的概率，再利用离散型随机变量的数学期望公式即可得出结果. 【详解】由题意可知，每次取出红球的概率都是 ，则 ， 则 ， 所以 .故答案为： ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）2025年，某社区举行“迎新春”足球赛，现从6名大学生中（男生4人，女生2人），任选3人作为幸运首发球员． (1)设“女生甲被选中”为事件，“男生乙被选中”为事件，求； (2)设所选3人中男生人数为，求随机变量的分布列和数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析，2 【分析】（1）根据条件概率公式，先求，，进而可得； （2）根据超几何分布求其分布列和期望即可. 【详解】（1）依题意，2分   4分 所以. 6分 （2）依题意，的所有可能取值为1，2，3，7分 所以， ，，10分 所以的分布列为 1 2 3 所以．13分 16．（15分）甲、乙、丙三人进行投篮比赛，共比赛10场，规定每场比赛分数最高者获胜，三人得分（单位：分）情况统计如下： 场次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲 8 10 10 7 12 8 8 10 10 13 乙 9 13 8 12 14 11 7 9 12 10 丙 12 11 9 11 11 9 9 8 9 11 (1)从上述10场比赛中随机选择一场，求甲获胜的概率； (2)在上述10场比赛中，从甲得分不低于10分的场次中随机选择两场，设表示乙得分大于丙得分的场数，求的分布列和数学期望； (3)假设每场比赛获胜者唯一，且各场相互独立，用上述10场比赛中每人获胜的频率估计其获胜的概率．甲、乙、丙三人接下来又将进行6场投篮比赛，设为甲获胜的场数，为乙获胜的场数，为丙获胜的场数，写出方差，，的大小关系． 【答案】(1) (2)分布列见解析，数学期望 (3) 【分析】（1）根据表中数据，可得甲获胜的场数，代入古典概型公式，即可得答案. （2）根据表中数据，可得甲得分不低于10分的场数，在其中选出乙得分大于丙得分的场次，可得X的取值，分别求出每个概率，可得分布列，代入期望公式，即可得答案. （3）根据题意，可得，根据二项分布方差公式，代入计算，即可得答案. 【详解】（1）根据表中数据，在10场比赛中，甲获胜的是第3场，第8场，第10场，共有3场，所以从上述10场比赛中随机选择一场，求甲获胜的概率. 3分 （2）根据表中数据，在10场比赛中，甲得分不低于10分的是第2场，第3场，第5场， 第8场，第9场，第10场，共有6场， 其中乙得分大于丙得分的场次是第2场，第5场，第8场，第9场，共有4场，6分 则X可取0,1,2，，，，8分 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 数学期望 10分 （3）10场比赛中，甲胜3场，乙胜5场，丙胜2场，获胜频率分别为，，，11分 由题意，所以，，，所以. 15分 17．（15分）某市为了解本市1万名小学生的普通话水平，在全市范围内进行了普通话测试，测试后对每个小学生的普通话测试成绩进行统计，发现服从正态分布． (1)从这1万名小学生中任意抽取1名小学生，求这名小学生的普通话测试成绩在内的概率； (2)现在从总体中随机抽取12名小学生的普通话测试成绩，对应的数据如下：50，52，56，62，63，68，65，64，72，80，67，90．从这12个数据中随机选取4个，记表示大于总体平均分的个数，求的方差． （参考数据：若，则，，．） 【答案】(1)0.84 (2) 【分析】（1）应用正态分布的概率性质计算； （2）应用超几何分布求概率进而求出数学期望及方差. 【详解】（1）因为每个小学生的普通话测试成绩服从正态分布，所以，， 所以．5分 （2）因为总体平均分为，6分 所以这12个数据中大于总体平均分的有3个，所以的可能取值为0，1，2，3，7分 则，，，，11分 所以，13分 ．15分 18．（17分）为普及人工智能相关知识，发展青少年科技创新能力，并为中学生生涯规划提供方向，某知名高校联合当地十所中学举办了“科技改变生活”人工智能知识竞赛，并将最终从每所中学中各选拔一人进入高校进行为期一周的体验式活动.结合平时训练的成绩，红星中学的甲､乙两名学生进入校内最终选拔，组委会为此设计了如下选拔方案：设计6道题进行测试，若这6道题中，甲能正确解答其中4道，乙能正确解答每个题目的概率均为，假设甲､乙两人解答每道题目相互独立，现甲､乙从这6道题目中分别随机抽取3题进行解答： (1)求甲､乙共答对2道题目的概率； (2)设甲答对的题目个数为，求的分布列及数学期望； (3)从期望和方差的角度进行分析，红星中学应选拔哪个学生代表学校参加体验活动？ 【答案】(1) (2)分布列见解析，2 (3)甲代表学校参加体验训练. 【分析】（1）根据独立事件概率和公式及互斥事件概率和公式计算； （2）应用超几何求出概率再写出分布列最后求出数学期望即得； （3）先根据二项分布得出数学期望和方差，再应用已知做出判断即可. 【详解】（1）甲､乙两人共答对2道题目的情况分为：甲2乙0，甲1乙1， 所以甲､乙共答对2道题目的概率为.5分 （2）依题意，的可能取值为1，2，3. 6分 则，，9分 X的分布列为 1 2 3 所以. 12分 （3） 13分 设乙答对的题目个数为，则.所以. 15分 因为，可知甲乙答对题目的均值是一样的，而甲的方差小于乙的方差， 所以甲的发挥较稳定，所以可以选拔甲代表学校参加体验训练. 17分 19．（17分）有一个摸奖游戏，在一个口袋中装有3个红球和3个白球，这些球除颜色外完全相同，游戏规定：每位参与者进行次摸球，每次从袋中一次性摸出两个球，如果每次摸出的两个球颜色相同即为中奖，颜色不同即为不中奖，有两种摸球方式：一是每次摸球后将球均不放回袋中，直接进行下一次摸球，中奖次数记为；二是每次摸球后将球均放回袋中，再进行下一次摸球，中奖次数记为. (1)求第一次摸球就中奖的概率； (2)若，求的分布列和数学期望； (3)若，函数随机变量，求的数学期望. 【答案】(1) (2)，分布列见解析 (3) 【分析】（1）根据组合公式结合概率公式求解； （2）组合公式结合概率公式分别求出对应概率，再由分布列求出期望； （3）由，再结合函数解析式，得出的数学期望. 【详解】（1）解:记“第一次摸球就中奖”为事件，则 即第一次摸球就中奖的概率为. 3分 （2）若，且第一次摸球后将球均不放回袋中，直接进行第二次摸球， 则的可能取值为. 4分 则 6分 则的分布列为 所以的数学期望为 8分 （3）若，且每次摸球后均将球放回袋中，再进行下一次摸球， 则每次中奖相互独立,且由(1)知每次中奖的概率均为，所以. 9分 此时的可能取值为. 10分 的可能取值为 11分 当时，； 当时，，当时，. 13分 因为， 所以 又， 所以 . 所以 . 即的数学期望为    .17分 学科网（北京）股份有限公司4 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学单元自测 第3章 概率·基础通关 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 D B C C C C A D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ABD ABD ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（本小题满分13分） 【详解】（1）依题意，2分   4分 所以. 6分 （2）依题意，的所有可能取值为1，2，3，7分 所以， ，，10分 所以的分布列为 1 2 3 所以．13分 16．（本小题满分15分） 【详解】（1）根据表中数据，在10场比赛中，甲获胜的是第3场，第8场，第10场，共有3场，所以从上述10场比赛中随机选择一场，求甲获胜的概率. 3分 （2）根据表中数据，在10场比赛中，甲得分不低于10分的是第2场，第3场，第5场， 第8场，第9场，第10场，共有6场， 其中乙得分大于丙得分的场次是第2场，第5场，第8场，第9场，共有4场，6分 则X可取0,1,2，，，，8分 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 数学期望 10分 （3）10场比赛中，甲胜3场，乙胜5场，丙胜2场，获胜频率分别为，，，11分 由题意，所以，，，所以. 15分 17．（本小题满分15分） 【详解】（1）因为每个小学生的普通话测试成绩服从正态分布，所以，， 所以．5分 （2）因为总体平均分为，6分 所以这12个数据中大于总体平均分的有3个，所以的可能取值为0，1，2，3，7分 则，，，，11分 所以，13分 ．15分 18．（本小题满分17分） 【详解】（1）甲､乙两人共答对2道题目的情况分为：甲2乙0，甲1乙1， 所以甲､乙共答对2道题目的概率为.5分 （2）依题意，的可能取值为1，2，3. 6分 则，，9分 X的分布列为 1 2 3 所以. 12分 （3） 13分 设乙答对的题目个数为，则.所以. 15分 因为，可知甲乙答对题目的均值是一样的，而甲的方差小于乙的方差， 所以甲的发挥较稳定，所以可以选拔甲代表学校参加体验训练. 17分 19．（本小题满分17分） 【详解】（1）解:记“第一次摸球就中奖”为事件，则 即第一次摸球就中奖的概率为. 3分 （2）若，且第一次摸球后将球均不放回袋中，直接进行第二次摸球， 则的可能取值为. 4分 则 6分 则的分布列为 所以的数学期望为 8分 （3）若，且每次摸球后均将球放回袋中，再进行下一次摸球， 则每次中奖相互独立,且由(1)知每次中奖的概率均为，所以. 9分 此时的可能取值为. 10分 的可能取值为 11分 当时，； 当时，，当时，. 13分 因为， 所以 又， 所以 . 所以 . 即的数学期望为    .17分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 第3章 概率·基础通关 建议用时：100分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知随机变量，若，则（   ） A．0.8 B．0.7 C．0.3 D．0.2 2．从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，记事件：取到的2个数之和为偶数，事件取到的2个数均为偶数，则（   ） A． B． C． D． 3．已知甲盒子有6个相同的小球，编号分别为1，2，3，4，5，6，从甲盒子中取出一个小球，记随机变量是取出小球的编号，则数学期望（    ） A． B． C． D． 4．根据以往经验，某工程施工期间的降水量（单位：mm）对工期的影响如表所示． 降水量 工期延误天数 0 2 6 10 若历史气象资料表明，该工程施工期间降水量小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9，则工期延误天数的方差为（    ） A．6.8 B．8.8 C．9.8 D．10.8 5．甲、乙进行射击训练．已知甲、乙射中10环的概率分别为0.5和0.4，且两人是否射中10环互不影响．甲、乙各射击1次，若10环被射中，则只被甲射中的概率为（    ） A． B． C． D． 6．若事件 、 满足 ，则 与 的关系是（    ） A．互斥 B．互为对立 C．相互独立 D．互斥且相互独立 7．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的.记X为该毕业生得到面试的公司个数.若，则随机变量X的均值（    ） A． B． C． D． 8．随机变量的分布列为，若，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法中，正确的有（    ） A．若随机变量的数学期望，则 B．若随机变量的方差，则 C．将一枚正方体骰子抛掷5次，记1点向上的次数为，则服从两点分布 D．从7男3女共10名学生中随机选取5名学生，记选出女生的人数为，则服从超几何分布 10．从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，现从甲、乙两袋中各摸出一个球，且相互独立，则（    ） A．2个球都是红球的概率为 B．2个球都不是红球的概率为 C．至少有1个红球的概率为 D．2个球中恰有1个红球的概率 11．下列命题中，是真命题的是（    ） A．一组数据：2，1，4，3，5，3的平均数、众数、中位数相同 B．有A，B，C三种个体按的比例做分层抽样调查，如果抽取的A个体数为9，则样本容量为30 C．若随机变量，则其数学期望 D．若随机变量，，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知随机变量，且，则 ． 13．已知，，，则 ． 14．一个袋中装有形状大小完全相同的6个球，其中2个红球，4个白球.从袋中有放回地取球，每次随机取1个记下颜色后放回，直到取出3次红球即停止，记为4次之内（含4次）取到红球的次数，则的数学期望 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）2025年，某社区举行“迎新春”足球赛，现从6名大学生中（男生4人，女生2人），任选3人作为幸运首发球员． (1)设“女生甲被选中”为事件，“男生乙被选中”为事件，求； (2)设所选3人中男生人数为，求随机变量的分布列和数学期望． 16．（15分）甲、乙、丙三人进行投篮比赛，共比赛10场，规定每场比赛分数最高者获胜，三人得分（单位：分）情况统计如下： 场次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲 8 10 10 7 12 8 8 10 10 13 乙 9 13 8 12 14 11 7 9 12 10 丙 12 11 9 11 11 9 9 8 9 11 (1)从上述10场比赛中随机选择一场，求甲获胜的概率； (2)在上述10场比赛中，从甲得分不低于10分的场次中随机选择两场，设表示乙得分大于丙得分的场数，求的分布列和数学期望； (3)假设每场比赛获胜者唯一，且各场相互独立，用上述10场比赛中每人获胜的频率估计其获胜的概率．甲、乙、丙三人接下来又将进行6场投篮比赛，设为甲获胜的场数，为乙获胜的场数，为丙获胜的场数，写出方差，，的大小关系． 17．（15分）某市为了解本市1万名小学生的普通话水平，在全市范围内进行了普通话测试，测试后对每个小学生的普通话测试成绩进行统计，发现服从正态分布． (1)从这1万名小学生中任意抽取1名小学生，求这名小学生的普通话测试成绩在内的概率； (2)现在从总体中随机抽取12名小学生的普通话测试成绩，对应的数据如下：50，52，56，62，63，68，65，64，72，80，67，90．从这12个数据中随机选取4个，记表示大于总体平均分的个数，求的方差． （参考数据：若，则，，．） 18．（17分）为普及人工智能相关知识，发展青少年科技创新能力，并为中学生生涯规划提供方向，某知名高校联合当地十所中学举办了“科技改变生活”人工智能知识竞赛，并将最终从每所中学中各选拔一人进入高校进行为期一周的体验式活动.结合平时训练的成绩，红星中学的甲､乙两名学生进入校内最终选拔，组委会为此设计了如下选拔方案：设计6道题进行测试，若这6道题中，甲能正确解答其中4道，乙能正确解答每个题目的概率均为，假设甲､乙两人解答每道题目相互独立，现甲､乙从这6道题目中分别随机抽取3题进行解答： (1)求甲､乙共答对2道题目的概率； (2)设甲答对的题目个数为，求的分布列及数学期望； (3)从期望和方差的角度进行分析，红星中学应选拔哪个学生代表学校参加体验活动？ 19．（17分）有一个摸奖游戏，在一个口袋中装有3个红球和3个白球，这些球除颜色外完全相同，游戏规定：每位参与者进行次摸球，每次从袋中一次性摸出两个球，如果每次摸出的两个球颜色相同即为中奖，颜色不同即为不中奖，有两种摸球方式：一是每次摸球后将球均不放回袋中，直接进行下一次摸球，中奖次数记为；二是每次摸球后将球均放回袋中，再进行下一次摸球，中奖次数记为. (1)求第一次摸球就中奖的概率； (2)若，求的分布列和数学期望； (3)若，函数随机变量，求的数学期望. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学单元自测 第3章 概率·基础通关 建议用时：100分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知随机变量，若，则（   ） A．0.8 B．0.7 C．0.3 D．0.2 2．从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，记事件：取到的2个数之和为偶数，事件取到的2个数均为偶数，则（   ） A． B． C． D． 3．已知甲盒子有6个相同的小球，编号分别为1，2，3，4，5，6，从甲盒子中取出一个小球，记随机变量是取出小球的编号，则数学期望（    ） A． B． C． D． 4．根据以往经验，某工程施工期间的降水量（单位：mm）对工期的影响如表所示． 降水量 工期延误天数 0 2 6 10 若历史气象资料表明，该工程施工期间降水量小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9，则工期延误天数的方差为（    ） A．6.8 B．8.8 C．9.8 D．10.8 5．甲、乙进行射击训练．已知甲、乙射中10环的概率分别为0.5和0.4，且两人是否射中10环互不影响．甲、乙各射击1次，若10环被射中，则只被甲射中的概率为（    ） A． B． C． D． 6．若事件 、 满足 ，则 与 的关系是（    ） A．互斥 B．互为对立 C．相互独立 D．互斥且相互独立 7．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的.记X为该毕业生得到面试的公司个数.若，则随机变量X的均值（    ） A． B． C． D． 8．随机变量的分布列为，若，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法中，正确的有（    ） A．若随机变量的数学期望，则 B．若随机变量的方差，则 C．将一枚正方体骰子抛掷5次，记1点向上的次数为，则服从两点分布 D．从7男3女共10名学生中随机选取5名学生，记选出女生的人数为，则服从超几何分布 10．从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，现从甲、乙两袋中各摸出一个球，且相互独立，则（    ） A．2个球都是红球的概率为 B．2个球都不是红球的概率为 C．至少有1个红球的概率为 D．2个球中恰有1个红球的概率 11．下列命题中，是真命题的是（    ） A．一组数据：2，1，4，3，5，3的平均数、众数、中位数相同 B．有A，B，C三种个体按的比例做分层抽样调查，如果抽取的A个体数为9，则样本容量为30 C．若随机变量，则其数学期望 D．若随机变量，，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知随机变量，且，则 ． 13．已知，，，则 ． 14．一个袋中装有形状大小完全相同的6个球，其中2个红球，4个白球.从袋中有放回地取球，每次随机取1个记下颜色后放回，直到取出3次红球即停止，记为4次之内（含4次）取到红球的次数，则的数学期望 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）2025年，某社区举行“迎新春”足球赛，现从6名大学生中（男生4人，女生2人），任选3人作为幸运首发球员． (1)设“女生甲被选中”为事件，“男生乙被选中”为事件，求； (2)设所选3人中男生人数为，求随机变量的分布列和数学期望． 16．（15分）甲、乙、丙三人进行投篮比赛，共比赛10场，规定每场比赛分数最高者获胜，三人得分（单位：分）情况统计如下： 场次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲 8 10 10 7 12 8 8 10 10 13 乙 9 13 8 12 14 11 7 9 12 10 丙 12 11 9 11 11 9 9 8 9 11 (1)从上述10场比赛中随机选择一场，求甲获胜的概率； (2)在上述10场比赛中，从甲得分不低于10分的场次中随机选择两场，设表示乙得分大于丙得分的场数，求的分布列和数学期望； (3)假设每场比赛获胜者唯一，且各场相互独立，用上述10场比赛中每人获胜的频率估计其获胜的概率．甲、乙、丙三人接下来又将进行6场投篮比赛，设为甲获胜的场数，为乙获胜的场数，为丙获胜的场数，写出方差，，的大小关系． 17．（15分）某市为了解本市1万名小学生的普通话水平，在全市范围内进行了普通话测试，测试后对每个小学生的普通话测试成绩进行统计，发现服从正态分布． (1)从这1万名小学生中任意抽取1名小学生，求这名小学生的普通话测试成绩在内的概率； (2)现在从总体中随机抽取12名小学生的普通话测试成绩，对应的数据如下：50，52，56，62，63，68，65，64，72，80，67，90．从这12个数据中随机选取4个，记表示大于总体平均分的个数，求的方差． （参考数据：若，则，，．） 18．（17分）为普及人工智能相关知识，发展青少年科技创新能力，并为中学生生涯规划提供方向，某知名高校联合当地十所中学举办了“科技改变生活”人工智能知识竞赛，并将最终从每所中学中各选拔一人进入高校进行为期一周的体验式活动.结合平时训练的成绩，红星中学的甲､乙两名学生进入校内最终选拔，组委会为此设计了如下选拔方案：设计6道题进行测试，若这6道题中，甲能正确解答其中4道，乙能正确解答每个题目的概率均为，假设甲､乙两人解答每道题目相互独立，现甲､乙从这6道题目中分别随机抽取3题进行解答： (1)求甲､乙共答对2道题目的概率； (2)设甲答对的题目个数为，求的分布列及数学期望； (3)从期望和方差的角度进行分析，红星中学应选拔哪个学生代表学校参加体验活动？ 19．（17分）有一个摸奖游戏，在一个口袋中装有3个红球和3个白球，这些球除颜色外完全相同，游戏规定：每位参与者进行次摸球，每次从袋中一次性摸出两个球，如果每次摸出的两个球颜色相同即为中奖，颜色不同即为不中奖，有两种摸球方式：一是每次摸球后将球均不放回袋中，直接进行下一次摸球，中奖次数记为；二是每次摸球后将球均放回袋中，再进行下一次摸球，中奖次数记为. (1)求第一次摸球就中奖的概率； (2)若，求的分布列和数学期望； (3)若，函数随机变量，求的数学期望. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $