第二十一章四边形单元提升测试卷 2025-2026学年人教版八年级下册数学

**基本信息** 人教版八年级下册数学第二十一章四边形单元提升测试卷，120分钟120分，覆盖平行四边形、菱形、矩形、正方形等核心知识，通过选择、填空、解答题梯度设计，考查几何直观、推理能力与空间观念，适配单元复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|平行四边形判定、菱形性质、矩形折叠|结合网格、坐标系考查抽象能力| |填空题|6/18|菱形边长计算、正方形折叠、动点最值|融入面积法、勾股定理应用| |解答题|8/72|四边形证明、梯形动点、坐标系综合|设计动态探究（如第22题）与跨知识综合题（如第24题），发展推理意识与创新应用|

2025-2026学年人教版八年级下册数学第二十一章四边形单元提升测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）四边形中，对角线相交于点O，下列不能判定四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．（本题3分）如图，菱形的周长是16，，则对角线的长是（   ） A．16 B．10 C．8 D．4 3．（本题3分）如图，将一个邻边长分别为4，8的矩形纸片折叠，使点C与点A重合，则的长度为 （    ） A．4 B．5 C．3 D．8 4．（本题3分）如图，平行四边形的对角线交于点O，若，，，则的周长为（   ） A．26 B．35 C．40 D．52 5．（本题3分）如图，在中，，，是的中线，是的中点，连接，．若，垂足为，则的长为（） A． B． C． D． 6．（本题3分）如图，正六边形的两个顶点恰好落在直尺的相对的边上（其中直尺的对边相互平行），若，则等于（   ） A． B． C． D． 7．（本题3分）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C均在网格的格点上，连接，．D，E分别为，的中点，则的长为（   ） A．2 B．3 C． D． 8．（本题3分）如图，的对角线与相交于点O，，垂足为E．，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 9．（本题3分）如图，将菱形放置在平面直角坐标系中，对角线轴，且与对角线相交于点，则菱形的面积为（  ） A． B．30 C． D．15 10．（本题3分）如图，在正方形中，E、F分别是的中点，交于点G，连接．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（　　） A．①② B．①③ C．①②④ D．①②③ 二、填空题（共18分） 11．（本题3分）如图，在菱形中，顶点到，的距离分别为，且都为，，那么菱形的边长为__________． 12．（本题3分）平行四边形中，对角线、相交于点O，过点O的直线分别交、于点E、F，若平行四边形面积为3，则图中阴影部分的面积是________． 13．（本题3分）如图，将正方形放在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴，y轴上，点C，D在第一象限内．若点A的坐标为，正方形的面积为5，则点C的坐标________． 14．（本题3分）如图，将正方形分别沿，折叠，使边，在处重合，折痕为，．若正方形的边长为6，是边的中点，则的长是______． 15．（本题3分）如图，在平行四边形中，，，，于点，点为中点，连接，．若，则的长为________． 16．（本题3分）如图，为菱形的对角线上的一个定点，为边上的一个动点，的垂直平分线分别交于点．若的长的最小值为6，则的长为__________． 三、解答题（共72分） 17．（本题8分）如图，已知四边形是平行四边形，分别延长，至点，，使得，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，求的度数． 18．（本题8分）如图，在四边形中，对角线和相交于点O，，，平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)过点D作交的延长线于点H，若，，求的长． 19．（本题8分）如图，在中，，分别是，的中点，是延长线上的点，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当与满足什么关系时，四边形是矩形？请说明理由． 20．（本题8分）已知菱形，于点E，且E为的中点，已知．求： (1)的度数； (2)的长． 21．（本题9分）如图，已知正方形，，为的中点，连接，把沿折叠得到，连结交于点． (1)求证：； (2)求，的长． 22．（本题9分）如图，在梯形中，，，，，，点Q从点A出发以的速度向点D运动，点P从点B出发以的速度在线段间往返运动，P、Q两点同时出发，当点Q到达点D时，两点同时停止运动．          (1)当______时，四边形的面积为； (2)若以P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求t的值． 23．（本题10分）如图1，为等腰三角形，，P点是底边上的一个动点．，． (1)四边形的周长为________． (2)点P运动到什么位置时，四边形是菱形，请说明理由； (3)如果不是等腰三角形（图2）其他条件不变，点P运动到什么位置时，四边形是菱形，并说明理由． 24．（本题12分）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为．现将线段向上平移4个单位，再向右平移2个单位，得到线段，点A，B的对应点分别为点D，C．连接、． (1)【初步感知】如图①，求点C，D的坐标及四边形的面积； (2)【深入探究】点在轴上，当的面积与四边形的面积相等时，求出点的坐标； (3)【拓展应用】如图②，点是直线上的一个动点，连接，，当点在直线上移动时（不与B，C重合），直接写出之间满足的数量关系． 第8页，共8页 第7页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D B B A B C D B C 1．C 【分析】根据平行四边形的判定方法，结合平行线的性质和三角形全等的判定，逐一判断各选项即可． 【详解】解：A选项： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，本选项不合题意； B选项： ∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形，又，， ∴四边形是平行四边形，本选项不合题意. C选项： 当，时，四边形可能是等腰梯形，不一定是平行四边形，不能判定四边形是平行四边形，本选项符合题意. D选项： ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 由对角线互相平分的四边形是平行四边形，得四边形是平行四边形，本选项不合题意． 2．D 【详解】解：由菱形各边都相等，当菱形的周长是16时， 菱形边长为4， ∵，， ∴为等边三角形， 则． 3．B 【分析】由折叠的性质可得，设，则，再利用勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：由折叠的性质可得：， 设，则， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴． 4．B 【分析】根据平行四边形的对边相等，对角线互相平分的性质即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， 的周长为． 5．A 【分析】先利用直角三角形斜边中线性质求出，再结合中点定义求出，最后在中利用勾股定理计算的长． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的中线， ∴为的中点， ∴在中，， ∵是的中点， ∴， ∵为的中点， ∴， 在中，由勾股定理得． 6．B 【分析】本题考查了正多边形的内角问题，平行线的性质，三角形内角和定理等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 先求出正六边形的内角，然后由三角形内角和定理求出，即可求出，再由平行线的性质求解． 【详解】解：如图： 由题意得：， ∵， ∴， ∴， 由题意得：， ∴， 故选：B． 7．C 【分析】先利用勾股定理求出的长，再利用三角形中位线定理即可求出的长． 【详解】解：如图，连接 根据勾股定理得：， ∵D，E分别是，的中点， ． 8．D 【分析】先根据平行四边形的性质求得，再由勾股定理的逆定理判定出，然后由勾股定理求得，然后利用平行四边形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵在中，， ， ， ， ， ，即， ， ， ， ． 9．B 【分析】根据菱形的性质可知对角线互相垂直平分，结合轴及点、分别在轴、轴上的位置，求出对角线和的长度，利用菱形面积公式计算即可． 【详解】解：四边形是菱形 ，， 轴 轴 点的坐标为，点在轴上，点在轴上 点的坐标为，点的坐标为 ， ， 菱形的面积． 10．C 【分析】证明，得到，故①正确；延长，二线交于点H， 证明，正方形的性质，直角三角形的性质可判定②正确；无法判定③，等量代换继续求解即可； 【详解】解：∵四边形是正方形，E、F分别是的中点， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， 故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 延长，二线交于点H， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故②正确； 无法得出； 故③错误； ， ， ∴， ∵， ∴； 故④正确． 11． 【分析】连接，交于点，通过全等三角形得出线段的垂直平分线，然后通过等面积，勾股定理以及完全平方公式等求出，假设，利用勾股定理列出方程求解． 【详解】解：如图所示，连接，交于点， ∵，且， ∴， ∴， ∴垂直平分线段， ∴，， 由勾股定理得，， 由等面积得， 即， 解得， ∴， ∵四边形是菱形， ∴假设， ∴， 由勾股定理得， 即， 解得， ∴菱形的边长为． 12． 【分析】先证明与全等，由此可得两个三角形面积相等，再根据平行四边形的面积求解即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ． 又， 在与中， ， ， ， ． 13． 【分析】先根据正方形面积求出边长，再利用勾股定理求出相关线段的长度，最后确定点的坐标． 【详解】解：如图，过点作轴于点， ∵点A的坐标为， ∴， ∵正方形的面积为5， ∴，， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴则点C的坐标为． 14．2 【分析】根据正方形的性质得出边长和角度，利用中点定义求出和的长，根据折叠性质得出，，，，从而证得三点共线，设，在中利用勾股定理列方程求解． 【详解】解： 四边形为正方形，边长为6， ，， 是边的中点， 由折叠的性质可知：，， ，，，， ， 三点共线， ， 设，则，，， 在中，由勾股定理得： 即， 整理得：， 解得：， ． 15． 【分析】延长交的延长线于点，连接，设，首先证明，得到 ，，再利用线段垂直平分线的性质得到 ，最后在和中利用勾股定理构建方程即可解决问题． 【详解】解：如图，延长交的延长线于点，连接，设， 四边形是平行四边形， ， ， 是的中点， ， 在 和 中， ， ， ，， ， 即 ， 垂直平分， ， ， ， ，， ， ， 在和中，由勾股定理得， ， 整理得， 解得或（舍去）， ， ． 16．12 【分析】由菱形的性质以及垂线段最短，先得，，如图：连接，过点P作，则，，则，再根据含30度直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵为菱形的对角线上的一个定点，，的长的最小值为6， ∴，， 如图：连接，过点P作，则，， ∴， ∴， ∴． 17．(1)见解析 (2) 【分析】（1）由四边形是平行四边形，得到，，根据得到，即可得证； （2）由四边形是平行四边形，得到，，推出，，根据得到，即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ，即， ， 四边形是平行四边形； （2）解：四边形是平行四边形， ，， ，， ， ， ． 18．(1)见解析 (2) 【分析】（1）由平行线的性质和角平分线的定义推出，得到；再证明四边形是平行四边形，即可证明四边形是菱形； （2）利用菱形的性质得到，则可求出的长，进而可求出的长，再利用等面积法求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， ∴． 19．(1)见解析 (2)当时，四边形是矩形．理由见解析 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，推出，，再求得，，即可证明四边形是平行四边形； （2）根据对角线相等的平行四边形是矩形即可求解． 【详解】（1）证明：∵点是的中点， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵点是的中点， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形； （2）解：当时，四边形是矩形．理由如下： ∵点是的中点，且， ∴， ∴， ∴是矩形． 20．(1) (2) 【分析】（1）利用菱形的性质证明是等边三角形，的度数可求； （2）由菱形性质，再由是等边三角形，求出，进而求的长． 【详解】（1）于点E，且E为的中点， ． 四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ； （2）四边形是菱形， ， ． ，是等边三角形， ，． ， ． 21．(1)见解析 (2)， 【分析】（1）根据正方形的性质和折叠的性质找到条件，利用证明即可； （2）根据全等三角形的性质和勾股定理进行解答即可． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ，， ∵把沿折叠得到， ，， ，， 在和中， ， ∴； （2）解：四边形是正方形， ， ∵， ， 设，则 为中点， ， 则， 在中， ， ， 解得， ∴，． 22．(1)2 (2)2或6 【分析】（1）用t表示出，，再根据梯形面积求解即可； （2）分点P未到达点C时，点P到达点C返回时两种情况，用t表示出、，然后根据平行四边形对边相等列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，，且点Q的速度为，点P的速度为， ∴，， ∴，， ∴四边形的面积为， 解得， ∴当时，四边形的面积为； （2）解：∵点Q的速度为，到达点D时，两点同时停止运动． ∴， 当点P未到达点C时，则， 若以P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形， 则有，则， 解得，满足； 当点P到达点C返回时，则， ∴，， 若以P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形， 则有，则， 解得，满足； 综上，以P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形，t的值为2或6． 23．(1)12 (2)当点P运动到中点时，四边形是菱形．理由见解析 (3)点P运动到的平分线上时，四边形是菱形．理由见解析 【分析】（1）由题意可得四边形为平行四边形，由平行线的性质和等腰三角形的性质可得，即可求四边形的周长； （2）当P为中点时，四边形是菱形，由等腰三角形的性质和平行线的性质可得，则平行四边形是菱形； （3）P运动到的平分线上时，四边形是菱形，首先证明四边形是平行四边形，再根据平行线的性质可得，从而可证出，进而可得，然后可得四边形是菱形． 【详解】（1）解：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形的周长； （2）解：当点P运动到中点时，四边形是菱形．理由如下： 连结，如图， ，， 四边形是平行四边形． ，P为的中点， ． ， ， ， ， 四边形是菱形； （3）解：点P运动到的平分线上时，四边形ADPE是菱形，理由如下： 连结． ，， 四边形是平行四边形， 平分， ． ， ， ， ， 平行四边形是菱形． 24．(1)，；32 (2)或 (3)①当点在线段上移动时，；②当点在的延长线上时，；③当点在的延长线上时， 【分析】（1）利用平移性质，进而证明四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质求解即可； （2）设坐标为，利用三角形的面积公式和坐标与图形求解即可； （3）分为①当点在线段上移动时；②当点在的延长线上时；③当点在的延长线上时三种情况，添加平行线，利用平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴由平移性质得， ∴， ∴四边形是平行四边形， ； （2）解：设坐标为． ， ， 解得， 或； （3）解：①当点在线段上移动时，， 理由如下：如图，过点作， 由平移得到，则， ， ， ； ②当点在的延长线上时，如图，过点作， 同①的方法得，； ③当点在的延长线上时，如图，过点作， 同①的方法得，． 答案第2页，共18页 答案第1页，共18页 学科网（北京）股份有限公司 $