江西萍乡市2025-2026学年第二学期高一期中考试数学试卷

**基本信息** 高一数学期中试卷覆盖三角函数、向量、解三角形等核心内容，通过基础题与创新题（如“相伴函数”新定义）结合，考查数学抽象、推理及应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择题|8/40|三角函数周期、向量运算、扇形面积|基础概念辨析，如最小正周期计算| |多项选择题|3/18|解三角形性质、向量几何意义|性质判断，如正八边形中向量关系分析| |填空题|3/15|三角恒等变换、向量分解|运算能力，如平行四边形中向量系数求解| |解答题|5/77|三角函数图像、解三角形综合、新定义应用|创新情境，如“相伴函数”结合图像变换与解三角形求最值|

准考证号　　　　　　姓名　　　　　　 绝密★启用前　　　　　　　　　　（在此卷上答题无效） 萍乡市2025—2026学年度第二学期期中考试 高 一 数 学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人的准考证号、姓名是否一致． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，用0.5毫米的黑色墨水签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，监考员将试题卷、答题卡一并收回． 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．函数的最小正周期为 A． B． C． D． 2．已知为平面内不共线的三点，则 A． B． C． D． 3．已知向量，，则 A． B． C． D． 4．已知是锐角三角形的一个内角，若，则= A． B． C． D． 5．已知扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的面积为 A． B． C． D． 6．在中，内角所对的边分别为，若，则 A． B． C． D． 7．为了得到函数的图象，可以将函数的图象上各点 A．向右平移个单位得到 B．向右平移个单位得到 C．向右平移个单位得到 D．向左平移个单位得到 8．函数在区间恰有三条对称轴与三个对称中心，则的取值范围为 A． B． C． D． 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．在中，内角所对的边分别为，下列说法正确的是 A． B．若，则 C．若，则是等边三角形 D． 10．如图，点是正八边形的中心，，下列说法正确的是 A． B． C． D． 11．已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是 A．的图象关于点对称 B．的图象关于直线对称 C．的单调递增区间为 D．为偶函数 萍乡市2025—2026学年度第二学期期中考试 高 一 数 学 第Ⅱ卷 注意事项： 第Ⅱ卷共2页，须用0.5毫米的黑色墨水签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3、 填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知，则__________． 13．已知，则__________． 14．已知在平行四边形ABCD中，点E是对角线AC上靠近点C的四等分点，点F在线段BE上，若，则__________． 4、 解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 已知函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为． (1)求的值； (2)求等式的解集． 16．（本小题满分15分） 已知平面直角坐标系中不同的三点，，． (1)若，求实数的值； (2)若三点共线，求实数的值． 17．（本小题满分15分） 已知中，内角所对的边分别为，且． (1)求； (2)若，且，求的周长． 18．（本小题满分17分） 在边长为的等边三角形中，为线段上的动点（不含端点），于点，且交于点． (1)求的值； (2)求的最小值． 19．（本小题满分17分） 在平面直角坐标系中，已知为坐标原点，定义非零向量的“相伴函数”为，向量称为该函数的“相伴向量”． (1)设函数，写出的“相伴向量”； (2)已知锐角的内角所对的边分别为，记向量的“相伴函数”为，若，，求的最大值； (3)已知，，将（2）中的函数图象上所有的点向左平移个单位长度，再把横坐标伸长为原来的倍，纵坐标伸长为原来的倍，得到函数的图象，试问的图象上是否存在一点，使得?若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 参考公式：． 萍乡市2025—2026学年度第二学期期中考试 高一数学试题参考答案及评分标准 一、单项选择题（8×5=40分）：BAADB；DAC． 二、多项选择题（3×6=18分）：ABD；AC；BCD． 【说明：第10题全部选对得6分，选对1个得3分，有选错的得0分；第9，11题全部选对得6分，选对1个得2分，选对2个得4分，有选错的得0分．】 三、填空题（3×5=15分）：12．；13．；14．． 四、解答题（共77分） 15．（1）由题知，， （2分） ，故； （5分） （2）由题知，， （7分） 则或，， （9分） 解得或，， （12分） 故的解集为． （13分） 16．（1）由题知，， （2分） 因为，所以，即， （4分） 解得； （6分） （2）由题知，存在唯一的实数，使得， （8分） 即， （10分） 解得或， （12分） 当时，与重合，舍去，故． （15分） 17．（1）因为，由正弦定理得， （2分） 所以， （4分） 因为，所以； （6分） (2)由余弦定理得，即， （8分） 又因为，所以， （10分） 解得或（舍去），则， （13分） 所以的周长为． （15分） 18．（1）取的中点，的中点，连接，则， （3分） 所以， （5分） 则； （7分） （2）如图，以为坐标原点，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，因为，所以， （8分） 已知，，得， （10分） 设，则，， （12分） 则 （15分） 当且仅当时，取得最小值为． （17分） 19．（1）函数， （2分） 所以的“相伴向量”为； （3分） （2）由题知，， （4分） 因为，且，故，即， （6分） 又，由余弦定理得，即， （7分） 故，即， （9分） 解得，当且仅当时等号成立，故的最大值为； （10分） （3）由（2）知，，则， （12分） 设，则， （14分） 若，则，即， （15分） 由，得， （16分） 而，因此当且仅当时，，故在的图象上存在点使得． （17分） 学科网（北京）股份有限公司 $ 准考证号　　　　　　姓名　　　　　　 绝密★启用前　　　　　　　　　　（在此卷上答题无效） 萍乡市2025—2026学年度第二学期期中考试 高 一 数 学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人的准考证号、姓名是否一致． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，用0.5毫米的黑色墨水签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，监考员将试题卷、答题卡一并收回． 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．函数的最小正周期为 A． B． C． D． 2．已知为平面内不共线的三点，则 A． B． C． D． 3．已知向量，，则 A． B． C． D． 4．已知是锐角三角形的一个内角，若，则= A． B． C． D． 5．已知扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的面积为 A． B． C． D． 6．在中，内角所对的边分别为，若，则 A． B． C． D． 7．为了得到函数的图象，可以将函数的图象上各点 A．向右平移个单位得到 B．向右平移个单位得到 C．向右平移个单位得到 D．向左平移个单位得到 8．函数在区间恰有三条对称轴与三个对称中心，则的取值范围为 A． B． C． D． 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．在中，内角所对的边分别为，下列说法正确的是 A． B．若，则 C．若，则是等边三角形 D． 10．如图，点是正八边形的中心，，下列说法正确的是 A． B． C． D． 11．已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是 A．的图象关于点对称 B．的图象关于直线对称 C．的单调递增区间为 D．为偶函数 萍乡市2025—2026学年度第二学期期中考试 高 一 数 学 第Ⅱ卷 注意事项： 第Ⅱ卷共2页，须用0.5毫米的黑色墨水签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3、 填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知，则__________． 13．已知，则__________． 14．已知在平行四边形ABCD中，点E是对角线AC上靠近点C的四等分点，点F在线段BE上，若，则__________． 4、 解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 已知函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为． (1)求的值； (2)求等式的解集． 16．（本小题满分15分） 已知平面直角坐标系中不同的三点，，． (1)若，求实数的值； (2)若三点共线，求实数的值． 17．（本小题满分15分） 已知中，内角所对的边分别为，且． (1)求； (2)若，且，求的周长． 18．（本小题满分17分） 在边长为的等边三角形中，为线段上的动点（不含端点），于点，且交于点． (1)求的值； (2)求的最小值． 19．（本小题满分17分） 在平面直角坐标系中，已知为坐标原点，定义非零向量的“相伴函数”为，向量称为该函数的“相伴向量”． (1)设函数，写出的“相伴向量”； (2)已知锐角的内角所对的边分别为，记向量的“相伴函数”为，若，，求的最大值； (3)已知，，将（2）中的函数图象上所有的点向左平移个单位长度，再把横坐标伸长为原来的倍，纵坐标伸长为原来的倍，得到函数的图象，试问的图象上是否存在一点，使得?若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 参考公式：． 学科网（北京）股份有限公司 $