精品解析：福建莆田第五中学2025-2026学年下学期第一次阶段质量监测 九年级数学

莆田第五中学2025-2026学年下学期第一次阶段质量监测 九年级数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分，每小题均有A、B、C、D四个选项，有且只有一个选项是正确的，请在答题卡的相应位置填涂．） 1. 2026的倒数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】乘积为的两个数互为倒数. 【详解】解：， 的倒数是. 2. 中国科学院国家天文台阿里观测基地位于素有“世界屋脊”之称的西藏阿里地区，天文台的观测部分主体是一个圆柱体底座与可开合的半球形穹顶组成，其示意图的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意看得到的棱画实线，看不到的棱画虚线． 【详解】解：如图所示即为其俯视图， ∴选项A符合题意． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】运用积的乘方、幂的乘方运算法则和完全平方公式，逐个计算即可判断正确选项． 【详解】解：A、据积的乘方法则，可得，故A错误； B、据积的乘方与幂的乘方法则，可得，故B正确； C、据完全平方公式，可得，故C错误； D、据完全平方公式，可得，故D错误． 4. 如图，一束太阳光线照射直角三角板后投射在地面上得到线段，若，则（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．设中间光线交底面于点，由平行线的性质得，再求出，最后由即可得出结论． 【详解】解：如图，设中间光线交底面于点， ，， ， ， ， 一束太阳光线照射直角三角板， ， 故选：B． 5. 若关于x的一元二次方程有实数解，则m的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义和利用根的判别式判断方程根的情况． 根据一元二次方程的定义和根的判别式，得二次项系数不为零且判别式非负，联立求解即可． 【详解】解：∵方程为一元二次方程， ∴二次项系数 ，即 ， 又∵方程有实数解， ∴， 解得 ， 综上所述：关于x的一元二次方程有实数解，则m的取值范围是 且 ． 故选C． 6. 《孙子算经》中有一道题，原文是：今有四人共车，一车空；三人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每4人共乘一车，最终剩余1辆车；若每3人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有x人，可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据等量关系列出方程，是解题的关键．设共有x人，根据两种情况下车辆数相同，列出方程即可． 【详解】解：设共有x人，根据题意得： ， 故选：A． 7. 图1是阿基米德的滑动曲尺模型，图2是其抽象成的几何图形．为的直径，其延长线与弦的延长线交于点，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆的基本概念、等边对等角，熟练掌握圆的基本概念是解题的关键．利用等边对等角得到，由得到，利用三角形的外角的性质得到，结合即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ，即． 故选：B． 8. 如图，在扇形中，，点是的中点．过点作交于点，过点作，垂足为点．在扇形内随机选取一点，则点落在阴影部分的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是求不规则图形的面积，几何概率，根据阴影部分面积等于扇形的面积，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴四边形是矩形， ∴ ∴ ∵点是的中点 ∴ ∴ ∴ ∴，， 点落在阴影部分的概率是 故选：B． 9. 桔槔俗称“吊杆”、“称杆”（如图1），是我国古代农用工具，始见于《墨子·备城门》，是一种利用杠杆原理的取水机械．桔槔示意图如图2所示，是垂直于水平地面的支撑杆，米，是杠杆，米，，当点位于最高点时，，此时，点到地面的距离为（ ） A. 米 B. 5米 C. 米 D. 米 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，由题意可得米，过点作交的延长线于点，求出，再解直角三角形得出米，即可得出结果，理解题意，添加适当的辅助线是解此题的关键． 【详解】解：∵米，， ∴米， 如图：过点作交的延长线于点， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴米， ∵米， ∴点到地面的距离为米， 故选：C． 10. 已知二次函数（a、b、c是常数，）的图象过点，，，则下列判断正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据题意和二次函数的性质，可以判断各个选项中的结论是否正确，然后即可判断哪个选项符合题意． 【详解】解：∵当时，；二次函数（a、b、c是常数，）的图象过点， ∴该函数图象的对称轴为直线， 当时，该函数图象开口向上，，故选项A正确，选项B错误； 当时，该函数图象开口向下，，故选项C错误； 当时，，，则，故选项D错误； 故选：A． 二、填空题（本题共6个小题，每小题4分，共24分，请填在答题卡的相应位置上．） 11. 微信钱包零钱明细收入100元记作元，那么支出65元记作________元． 【答案】 【解析】 【详解】解：由题意可知，收入用正数表示，支出用负数表示， 因此支出元记作元． 12. 据报道，截至2026年2月17日8时，2026年央视春晚境内新媒体端点播触达总数约16200000000次，将16200000000写成科学记数法为___________． 【答案】 【解析】 【详解】解：. 13. 一个反比例函数图象经过点，那么的值等于______． 【答案】 【解析】 【详解】解：将点代入反比例函数， 得， 解得． 14. 如图，菱形的对角线和相交于点，过点的直线分别交和于点、，，，则图中阴影部分的面积和为______． 【答案】6 【解析】 【分析】首先根据菱形的性质和平行线的性质得出，则，从而阴影部分的面积转化为的面积，再根据菱形的面积公式求解即可． 【详解】∵菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查菱形的性质，全等三角形的判定，掌握菱形的性质，全等三角形的判定及性质是解题的关键． 15. 面试时， 小王的基本知识、表达能力、工作态度的得分分别是90分，70分，80分，若依次按的比例确定成绩，则小王的面试成绩是_____分． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数，根据加权平均数的公式进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵小王的基本知识、表达能力、工作态度的得分分别是90分，70分，80分，且依次按的比例确定成绩， ∴（分）， 故答案为：． 16. 如图，点是反比例函数图象位于第一象限内的一支上的点，过点作轴于点，过点作交双曲线于点，连接并延长，交轴于点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】首先利用两直线平行对应的一次函数的值相等，求出直线的解析式，将点坐标用含有点横坐标的形式表示出来求出A、C两点横坐标间的关系；再利用相似三角形的性质将转化为A、C两点横坐标的比值关系即可求解. 【详解】解：∵点、点在上， ∴设点坐标为，点坐标为 ∵轴于点， ∴点的坐标为 ∵直线经过原点， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为 ∵ ∴ 将及代入，解得 ∴直线的解析式为 联立与解得 或 ∵C点在第一象限 ∴C点横坐标为 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 故答案为 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质和反比例函数的性质，利用相似三角形的性质将转化为即可求解，属于中等难度题型. 三、解答题（本大题共9小题，共86分，请解答在答题卡的相应位置上，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算：． 【答案】2 【解析】 【详解】解： ． 18. 如图，点是的边延长线上一点，，，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 先根据平行得到，再证明即可． 【详解】略 19. 先化简，再求值：（＋1）÷，其中a＝﹣4． 【答案】a＋1，﹣3 【解析】 【分析】根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后将a的值代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】解：（＋1）÷ ＝ ＝ ＝a＋1， 当a＝﹣4时，原式＝﹣4＋1＝﹣3． 【点睛】本题考查了分式化简求值，解题关键是熟练运用分式运算法则进行化简，代入数值后准确进行计算． 20. 如图，为的内接三角形，为的直径，请用无刻度直尺和圆规作图并解答问题． （1）过点作的切线，交的延长线于点（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，求证：． 【答案】（1） 如图，直线即为所求作的切线． （2） 证明：是的直径， ， ． 是的切线， ，即， ． ， ， ． 又， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）过点作即可：作射线，以点为圆心，任意长为半径画弧，与射线交于两点，以该两交点为圆心，大于两交点线段长的一半为半径画弧，两弧相交于一点，过点与该交点作射线交的延长线于点即可； （2）证明即可，已知公共角，由直径所对的圆周角为直角得到，是的切线得到，根据同角的余角相等，再结合，等边对等角得到，等量代换证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 如图，将绕点顺时针旋转90°得，连接后发现、、三点共线． （1）求证． （2）当时，求的长度． 【答案】（1） 证明：如图，设，交于F， ∵将绕点C顺时针旋转得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （2） 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． （1）如图，设，交于F，根据旋转的性质得到，，，根据等腰直角三角形的性质得到，根据三角形内角和定理即可得到结论． （2）由（1）知，求得∠EAD=90°，根据旋转的性质得到，根据勾股定理得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知， ∴， ∵将绕点C顺时针旋转得， ∴， ∵， ∴． 22. 某校对九年级学生参与“力学”“热学”“光学”“电学”四个类别的物理实验情况进行了抽样调查，每位同学仅选其中一个类别，根据调查结果绘制了如图所示的不完整的频数分布表和扇形统计图（图1），请根据图表提供的信息，解答下列问题： 类别 频数（人数） 频率 力学 0.5 热学 8 光学 20 0.25 电学 12 （1）求m的值，完成频数分布表（图1）； （2）求表示参与“热学”实验的扇形圆心角的度数； （3）参与“电学”实验的同学在做“灯泡亮了”的实验时，提出如下问题：如图2，电路图上有四个开关A，B，C，D和一个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A，B，C都可使小灯泡发光，若随机闭合其中的两个开关，用画树状图或列表的方法求小灯泡发光的概率． 【答案】（1）， 完成频数分布表如下： 类别 频数（人数） 频率 力学 40 0.5 热学 8 光学 20 0.25 电学 12 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据光学的人数和频率即可得出总人数，再用总人数乘以0.5即可求出m的值，然后用参与“热学”实验的人数和参与“电学”实验的人数除以总人数即可求出频率，进而完成频数分布表即可； （2）用乘以参与“热学”实验的人数所占的百分比即可得出答案； （3）依据题意先画树状图得出所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率． 【小问1详解】 （人）， ， ∴参与“热学”实验的频率为， 参与“电学”实验的频率为， 填表略； 【小问2详解】 参与“热学”实验的扇形圆心角的度数是：； 【小问3详解】 画树状图如图： 共有12种等可能的情况数，能使小灯泡发光的有：共6种情况，则使小灯泡发光的概率是． 【点睛】此题考查了频数与频率，画树状图或列表的方法求概率，求扇形统计图中扇形的圆心角等知识，熟练掌握这些知识是解题的关键． 23. 配方法是数学中重要的一种思想方法．所谓配方法是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法经常被用到代数式的变形中，帮助解决一些与非负数有关或求代数式的最大值、最小值等问题． 【材料一】我们定义：一个整数能表示成，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为，再如，，（x，y是整数），所以M也是“完美数”． 【材料二】例如，把二次三项式进行配方，可求其最值． 解： 当时，的最小值为2． 请通过阅读以上材料，解决以下问题： 【解决问题】（1）下列各数中，“完美数”有 （只填序号）；①11；②34；③39；④60． 【探究问题】（2）若可配方成，为正整数），则的值为 ； （3）已知，是整数，是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由； 【拓展应用】（4）已知实数x，y均满足，求代数式的最小值． 【答案】（1）②； （2）9； （3），理由如下： ， 要使为“完美数”， 则需为完全平方式， 故， 此时，符合“完美数”定义， ； （4）2025 【解析】 【分析】本题主要考查了偶次方的非负数的性质、完全平方式、新定义等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）依据“完美数”的定义求解即可； （2）将配方成的形式，即可得解； （3），要使为“完美数”，则需为完全平方式，故，据此求解即可； （4），据此求解即可． 【详解】解：（1）由于②， 所以②是完美数， 故答案为：②； （2）由， 可配方成， ，， ， 故答案为：9； （3）略 （4）， ， ， ， 当时，的最小值为2025． 24. 在平面直角坐标系中，函数（m为常数）的图象与y轴交于点A． （1）当时，函数值y随x的增大而增大，求m的取值范围； （2）当时，若函数（m为常数）的图象的最低点到直线的距离为2，求m的值； （3）已知，三个顶点的坐标分别为，，．当函数（m为常数）的图象与的直角边有交点时，交点记为点P．过点P作y轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为（与P不重合），过点A作y轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为．若，求m的值． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）先把函数解析式转化为顶点式，可得出当时函数值y随x的增大而增大，然后结合题干条件，即可得出m的不等式； （2）分，讨论， 依次建立含m的方程分别进行求解即可； （3）根据题意分当点在边上时以及当点在边上时两种情况，进而求得并利用，建立含m的方程分别进行求解即可． 【小问1详解】 解：， ∴对称轴为，开口向上， ∴当时函数值y随x的增大而增大 又∵时，函数值y随x的增大而增大， ∴； 【小问2详解】 解：， ①当时，对称轴在轴左侧， ∵ ∴当时，y有最小值为， 又∵函数（m为常数）的图象的最低点到直线的距离为2， ∴ 解得或（舍去）； ②当时，对称轴在轴右侧， ∵当时函数值y随x的增大而减小， 又∵， ∴当时，y有最小值为， 又∵函数（m为常数）的图象的最低点到直线的距离为2， ∴ 解得或（舍去）； 综上，的值为或； 【小问3详解】 解：当时，， ∴， 又抛物线的对称轴为， ∴， ①当点在边上时，， ∵， ∴点在对称轴的左侧，所以， 由，得， 解得， ②当点在边上时，， 解方程，得， ∴， 由，得， 解得，或（舍去）． 综上，，或． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查二次函数图象与性质、待定系数法求解析式、直角三角形的性质、解一元二次方程、分类讨论等知识；熟练掌握二次函数图象与性质是解题的关键． 25. 如图1，已知为的两条直径，连接，于点E，点F是半径的中点，连接． （1）设的半径为1，若，求线段的长； （2）如图2，连接，设与交于点P． ①求证：P为中点； ②若，试求之间的关系． 【答案】（1） （2） ①证明：过点F作于G，交于H，连接． ∵， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴P为中点； ②，， 【解析】 【分析】（1）先求出，，由垂径定理得，证明是等边三角形，可证，然后利用直角三角形斜边中线的性质即可解决问题； （2）①过点F作于G，交于H，连接．想办法证明四边形是平行四边形可得结论； ②由平行线分线段成比例定理得，从而，求出可证，等量代换可得，设,，可得，进一步利用勾股定理的逆定理证明即可． 【小问1详解】 解：如图，连接， ∵， ∴，． ， ∵是直径， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 ①略 ②，理由： ∵， ∴＝＝1， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴设,， ∵， ∴， ∵，， ∴，， 而， ∴, ∴，即， ∵， ∴，即； 综上：，. 【点睛】本题考查了垂径定理、圆周角定理、等边三角形的判定及性质、直角三角形斜边中线的性质、平行四边形的判定及性质、相似三角形的判定及性质，题目的综合性较强，添加辅助线较多，解题的关键是熟记并且灵活运用有关的性质定理． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 莆田第五中学2025-2026学年下学期第一次阶段质量监测 九年级数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分，每小题均有A、B、C、D四个选项，有且只有一个选项是正确的，请在答题卡的相应位置填涂．） 1. 2026的倒数是（ ） A. B. C. D. 2. 中国科学院国家天文台阿里观测基地位于素有“世界屋脊”之称的西藏阿里地区，天文台的观测部分主体是一个圆柱体底座与可开合的半球形穹顶组成，其示意图的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，一束太阳光线照射直角三角板后投射在地面上得到线段，若，则（    ） A. B. C. D. 5. 若关于x的一元二次方程有实数解，则m的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 6. 《孙子算经》中有一道题，原文是：今有四人共车，一车空；三人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每4人共乘一车，最终剩余1辆车；若每3人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有x人，可列方程（ ） A. B. C. D. 7. 图1是阿基米德的滑动曲尺模型，图2是其抽象成的几何图形．为的直径，其延长线与弦的延长线交于点，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在扇形中，，点是的中点．过点作交于点，过点作，垂足为点．在扇形内随机选取一点，则点落在阴影部分的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 桔槔俗称“吊杆”、“称杆”（如图1），是我国古代农用工具，始见于《墨子·备城门》，是一种利用杠杆原理的取水机械．桔槔示意图如图2所示，是垂直于水平地面的支撑杆，米，是杠杆，米，，当点位于最高点时，，此时，点到地面的距离为（ ） A. 米 B. 5米 C. 米 D. 米 10. 已知二次函数（a、b、c是常数，）的图象过点，，，则下列判断正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 二、填空题（本题共6个小题，每小题4分，共24分，请填在答题卡的相应位置上．） 11. 微信钱包零钱明细收入100元记作元，那么支出65元记作________元． 12. 据报道，截至2026年2月17日8时，2026年央视春晚境内新媒体端点播触达总数约16200000000次，将16200000000写成科学记数法为___________． 13. 一个反比例函数图象经过点，那么的值等于______． 14. 如图，菱形的对角线和相交于点，过点的直线分别交和于点、，，，则图中阴影部分的面积和为______． 15. 面试时， 小王的基本知识、表达能力、工作态度的得分分别是90分，70分，80分，若依次按的比例确定成绩，则小王的面试成绩是_____分． 16. 如图，点是反比例函数图象位于第一象限内的一支上的点，过点作轴于点，过点作交双曲线于点，连接并延长，交轴于点，则______． 三、解答题（本大题共9小题，共86分，请解答在答题卡的相应位置上，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算：． 18. 如图，点是的边延长线上一点，，，．求证：． 19. 先化简，再求值：（＋1）÷，其中a＝﹣4． 20. 如图，为的内接三角形，为的直径，请用无刻度直尺和圆规作图并解答问题． （1）过点作的切线，交的延长线于点（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，求证：． 21. 如图，将绕点顺时针旋转90°得，连接后发现、、三点共线． （1）求证． （2）当时，求的长度． 22. 某校对九年级学生参与“力学”“热学”“光学”“电学”四个类别的物理实验情况进行了抽样调查，每位同学仅选其中一个类别，根据调查结果绘制了如图所示的不完整的频数分布表和扇形统计图（图1），请根据图表提供的信息，解答下列问题： 类别 频数（人数） 频率 力学 0.5 热学 8 光学 20 0.25 电学 12 （1）求m的值，完成频数分布表（图1）； （2）求表示参与“热学”实验的扇形圆心角的度数； （3）参与“电学”实验的同学在做“灯泡亮了”的实验时，提出如下问题：如图2，电路图上有四个开关A，B，C，D和一个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A，B，C都可使小灯泡发光，若随机闭合其中的两个开关，用画树状图或列表的方法求小灯泡发光的概率． 23. 配方法是数学中重要的一种思想方法．所谓配方法是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法经常被用到代数式的变形中，帮助解决一些与非负数有关或求代数式的最大值、最小值等问题． 【材料一】我们定义：一个整数能表示成，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为，再如，，（x，y是整数），所以M也是“完美数”． 【材料二】例如，把二次三项式进行配方，可求其最值． 解： 当时，的最小值为2． 请通过阅读以上材料，解决以下问题： 【解决问题】（1）下列各数中，“完美数”有 （只填序号）；①11；②34；③39；④60． 【探究问题】（2）若可配方成，为正整数），则的值为 ； （3）已知，是整数，是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由； 【拓展应用】（4）已知实数x，y均满足，求代数式的最小值． 24. 在平面直角坐标系中，函数（m为常数）的图象与y轴交于点A． （1）当时，函数值y随x的增大而增大，求m的取值范围； （2）当时，若函数（m为常数）的图象的最低点到直线的距离为2，求m的值； （3）已知，三个顶点的坐标分别为，，．当函数（m为常数）的图象与的直角边有交点时，交点记为点P．过点P作y轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为（与P不重合），过点A作y轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为．若，求m的值． 25. 如图1，已知为的两条直径，连接，于点E，点F是半径的中点，连接． （1）设的半径为1，若，求线段的长； （2）如图2，连接，设与交于点P． ①求证：P为中点； ②若，试求之间的关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $