新疆和田地区皮山县2025-2026学年第二学期期中考试高一数学试卷

皮山县2025-2026学年第二学期普通高中期中考试 高一年级 数学 试卷 满分：150分 考试时间：120分钟 一、选择题。（每小题5分，共40分） 1．下列说法正确的是(    ) A. 方向相同的向量叫相等向量 B. 零向量是没有方向的向量 C. 共线向量不一定相等 D. 平行向量方向相同 2．复数 是实数，则实数 （    ） A．0 B．1 C． D．0或1 3．下列各式中，化简后结果不是零向量的是（    ） A． B． C． D． 4．如图所示的组合体的结构特征是(    ) A. 一个棱柱中截去一个棱柱 B. 一个棱柱中截去一个圆柱 C. 一个棱柱中截去一个棱锥 D. 一个棱柱中截去一个棱台 5．已知复数 ，则 （    ） A． B． C． D． 7．钝角 的面积是 ， , ， 则 (    ) A. 5 B. C. 2 D. 1 8．已知向量 ， ，则（   ） A．“ ”的必要条件是“ ” B．“ ”的必要条件是“ ” C．“ ”的充分条件是“ ” D．“ ”的充分条件是“ ” 二、多选题（每小题6分，共18分） 9．对于非零向量 ，下列命题正确的是（    ） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 10.已知 为虚数单位，在复平面内，复数 ，以下说法正确的是( ) A. 复数 的虚部是 B. C. 复数 的共轭复数是 D. 复数 的共轭复数对应的点位于第四象限 11．如图，四边形 的斜二测画法直观图为等腰梯形 ．已知 ， ，则下列说法正确的是（ ） 四边形 的周长为 四边形 的面积为 三、填空题（每小题5分，共15分） 12． _____. 13．正四棱锥P-ABCD的各条棱长均为2，则该四棱锥的表面积为______________． 14．在中，，面积，则等于 _______________________． 四、解答题（总77分） 15．（13分） （1）若复数 ，求 ； （2）在复数范围内，求方程 的解． 16．（15分） 已知向量 ， . （1）求 的值； （2）若向量 满足 ， ，求向量 的坐标. 17．（15分） 已知锐角 三个内角 、 、 的对边分别是 ，且 ． （1）求A的大小； （2）若 ，求 的面积． 18．（17分） 如图，已知圆锥的顶点为P，O是底面圆心，AB是底面圆的直径， ， ． 求圆锥的表面积； （2）经过圆锥的高PO的中点 作平行于圆锥底面的截面，求截得的圆台的体积． 19．（17分） 已知a，b，c分别是 三个内角A，B，C的对边，且 (1)求角B的大小； (2)若 ，求 面积的最大值； (3)若 ，且外接圆半径为2，圆心为O，P为⊙O上的一动点，试求 的取值范围． 学校： 班级： 姓名： 学号： $皮山县2025-2026学年第二学期普通高中期中考试 高一年级 数学 答案 《皮山县2025-2026学年第二学期普通高中期中考试》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B D C B D B C BD CD 题号 11 答案 BCD 1.C 2．B 【详解】由题意可得 ，解得 . 3．D 【详解】对于A， ，故A错误． 对于B， ，故B错误． 对于C， ，故C错误． 对于D， ，故D正确． 4．C 5．B 【分析】由复数的除法运算化简，再由复数的模长公式代入计算，即可得到结果. 【详解】 ， 则 . D 本题考查平面向量的数量积，向量垂直的充要条件，属于基础题． 由，逐一验证选项即可． 【解答】 解： 选项：  选项：  选项： 选项：  得，故选D． B 本题考查三角形面积公式和余弦定理，属较易题． 由三角形面积公式求或，分两种情况用余弦定理求边长． 解：由题意，得， 又，， 所以，所以或． 当时，由余弦定理，得， 此时，，易得， 与已知条件“钝角三角形”矛盾，舍去．所以． 由余弦定理可得． 故选B． 8．C 【分析】根据向量平行、垂直的判定，以及充分条件、必要条件的定义得到正确答案. 【详解】 ， ，若 ，则 ，解得 或 ， 故“ ”的充分条件是“ ”，故A错误，C正确； 若 ，则 ，解得 ，故B、D错误． 故选：C． 9．BD 【分析】利用向量数量积的运算律以及有关概念对各个选项进行判断即可. 【详解】A. 若 ，则 ,故错误； B. 若 ，则 ，所以 成立，故正确； C. 当 为零向量时，满足 ，但是推不出 ，故错误； D. 若 ，则 ，可得 ， 整理即可得到 ，故正确； 故选：BD 10.本题主要考查复数的四则运算与复数的相关概念，属于基础题． 根据已知条件，结合复数的四则运算，对化简，再结合复数的相关概念，即可判断． 【解答】 解：复数， 复数的虚部为，故A错误； ，故B错误； ，故C正确；复数的共轭复数对应的点，位于第四象限，故D正确． 故选CD． 11．BCD 【分析】斜二测画法对应的平行关系、长度关系还原平面图，然后逐一验算各个选项即可得解. 【详解】对于AB：还原平面图如下图， 则 ， ， ，故A错误，B正确； 对于C：过 作 交 于点 ，则 ， ， 由勾股定理得， ， 故四边形 的周长为： ，即C正确； 对于D：四边形 的面积为： ，即D正确. 故选：BCD． 12． 【详解】依题意， 所以 . 13． 【分析】分别求出底面积和侧面积，即可求出表面积. 【详解】因为正四棱锥P-ABCD的各条棱长均为2， 所以正四棱锥的底面积为 ，侧面积为 ， 所以该四棱锥的表面积为 ． 故答案为： 本题主要考查正余弦定理和三角形的面积公式的应用，属于基础题． 先利用三角形的面积公式求出，然后利用余弦定理和正弦定理即可． 【解答】 解：由题意及三角形面积公式可得， 可得， 由余弦定理可得， 所以， 所以． 故答案为． 15．（1） （2） 【分析】（1）求得复数 ，进而计算可求 ； （2）利用配方法可求解. 【详解】（1）由 ，可得 ，所以 ， 所以 ； （2）由 ，可得 ，所以 ， 所以 . 16．【答案】（1）7；（2） . 【分析】(1)先计算 ,再求模即可； （2）设 ，进而计算 ， ，再根据垂直与共线的坐标关系求解即可. 【详解】解：（1）因为向量 ， ，所以 ，所以 （2）设 ， ， 因为 ， ， 所以 ， 解得 所以 17．（1） （2） 【分析】（1）根据正弦定理把边化为对角的正弦求解；（2）根据余弦定理 和已知求出 ，再根据面积公式 求解. 【详解】解：（1）由正弦定理得 ∵ ， ∴ ， 又∵ ∴ （2）由余弦定理 得 所以 即 ∴ ∴ 的面积为 【点睛】本题考查解三角形.常用方法有正弦定理，余弦定理，三角形面积公式；注意增根的排除. 18．【答案】（1） ；（2） ． 【分析】（1）由题意可知，该圆锥的底面半径 ，母线 ，从而可求出锥的表面积， （2）先求出大圆锥的高，从而可求出小圆锥的高，进而可得圆台的体积等于大圆锥的体积减去小圆锥的体积 【详解】解：（1）由题意可知，该圆锥的底面半径 ，母线 ． ∴该圆锥的表面积 ． （2）在 中， ， ∵ 是PO的中点，∴ ． ∴小圆锥的高 ，小圆锥的底面半径 ， ∴截得的圆台的体积 ． 19．(1) (2) (3) 【分析】（1）由正弦定理和 化简得到 ，从而得到角B的大小； （2）由余弦定理和基本不等式得到 ，从而利用三角形面积公式求出面积最大值； （3）由正弦定理，余弦定理及 ，求出 ，利用极化恒等式求出 的取值范围. 【详解】（1）由 及正弦定理可得： 又∵ ， ∴ ， 整理可得： ， 可得 ， 可得： ， ∵ ，∴ ， ∵ ，∴ ． （2）若 ，根据余弦定理得： ，化简 ， 又∵ ， ∴ ，即：当且仅当 时， 有最大值6， ∵ 的面积 ． ∴当且仅当 时， 面积有最大值，最大值等于 （3）由正弦定理 ，则 ，则 ， 由 ，可得 ，则 ， 则三角形ABC为等边三角形，取AB中点M，如图所示： 则 由OP=2，OM=1，则 ，则 ． 【点睛】平面向量解决几何最值问题，通常有两种思路： ①形化，即用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行求解； ②数化，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等式的解集，方程有解等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解. 学校： 班级： 姓名： 学号： $