甘肃渭源县第四高级中学2025-2026学年第二学期期中试题高一数学

**基本信息** 高一数学期中卷聚焦复数、向量、解三角形核心内容，通过测量塔高（文化传承情境）、函数定点证明等问题，考查数学眼光观察现实世界、数学思维逻辑推理及数学语言表达能力，层次分明。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数虚部、向量共线、三角函数求值|基础巩固，如复数基本概念| |多选题|3/18|向量运算、解三角形综合、复数方程|能力提升，如向量平行与投影| |填空题|3/15|向量模、复数模、三角函数最值|核心公式应用，如向量夹角求模| |解答题|5/77|向量与解三角形综合、几何与函数定点、面积最值|创新应用，如测量塔高（情境真实）、角平分线与面积最值（综合推理）|

参考答案 题号 1 2 4 5 6 8 9 10 答案 B C C 0 B B BCD ABD 题号 11 答案ABC 12.3 13.±1 15.(1)因为=MC,所以--(aC-),可得-+C, 因为AB=2,AC=4,∠B4C=60, 由平面向量数量积的定义可得.4C-丽ACc0s60=2×4×号4， 所以.w-8+d-3+4c可-96+6ac+aC 0x46x4+- 2 (2)因为点P在线段NC上的一点，设NP=2NC,其中0≤1≤1， 则P-N=(AC-N）,所以，P=1-刘+4C=1-2B+元AC, 2 又因为P=4C+B,且丽、C不共线， [1-2- 所以2 1 ,解得入=方此时点P为线段C的中点 2 16.(1)平行四边形ABCD中，AD=BC,AB=DC 因为DE=5EC,所以DE=DC 6 AE-AD+DE-AD+5DC-4D+54B-34D+54B-34F, 6 3 又AE与AF有公共点A,所以A,E,F三点共线 (2)令x-7=0,则x=7,所以f7)=a°-8=-7， 故函数f(x)=a-7-8(a>0且a≠1)恒过定点(7，-7) 因为AE=3AF,所以AE=3AF,则EF=2AF 答案第1页，共2页 G· B 平行四边形ABCD中，AB//DC,AB=DC, 则4GFE-4BFA,所以EG-EE=2,即EG=24B=2DC, AB AF 则DG+DE=2DC,即DG+DC=2DC,所以DG=2DC, 6 6 又向量DG与DC方向相反，所以DG=-ZDC 6 又DG=DC,则A=名此时点为，-刃 故函数f(x)=a-1-8(a>0且a≠1)恒过定点(-62,62) 17)解：f=m+5oms-n2x+5+s2刘=s2x+}5. 因为正弦函数V三smu的减区同为+22江+2ak∈Z L2 令u=2x+ ，则+2a≤2x+s+2,keZ 2 3-2 解得5+红≤x 7π 2 +km(k∈Z 所以f(x)的单调减区间为 +k12 12 元，7r+kkeZ 对称轴：正弦函数y=siw的对称轴为u=T+km(k∈Z), 令2x+π=π 士匹，军悬x一12十2（K∈之） 所以小的对称维为=骨经e2 2解：令=2x+因为x[引所以u=2x+[ 所以，}+号}即-92r到s 所以0s如2+引1 3 tfa引普ap-9sy l8.(1)(i)己知ccos B=(2a-b)cosC,由正弦定理得sin Ccos B=(2sinA-sinB)cosC 答案第1页，共2页 整理得sinC cosB+sin B cosC=2 sin AcosC即sin(B+C)=2 sin AcosC 左边sin(B+C)=sin(π-A)=sinA,因此sinA=2 sin AcosC 因为4∈(0，，sin4≠0，所以cosC=又C∈(0，)，故C- 1 3 (i)设4C=b,在aADC中，已知AD=3,CD=2,C= 3 由余弦定理得AD2=AC2+CD2-2·AC.CD.cosC代入得9=b2+4-2b, 整理得b2-2b-5=0,解得b=1+√6（负根舍去） sm-4Cc0smc-:同25-54s 2 2 (2)设∠BAC=20,AD是角平分线，S4Bc=S4BD+S4D,代入面积公式： 写besin294D:sm8±号b:4D:sim9,代入A0=3,sin29=2sin0cos0得 2bccos0=3(b+c)cos0=3(b+c) 2bc 由余弦定理a2=b2+c2-2 bc cos20,a=V5,且cos20=2cos20-1, 代入化简得5=(b+c)2-2bc-2bc(2cos20-1)=(b+c)2-4 bc cos20 整理得5=(b+c}_9b+c bc 令s=b+c,p=bc,得p= 92 2-5 由基本不等式， p=bc≤2) -号且>w-50,代入号写2写12面当 4 且仅当b=c=④时等号成立，故b+c的最小值为V④ 2 l9.(1)因为a-V3 bsinC-bcosC=0,由正弦定理可得sinA-√3 sinBsinC-sinBcosC=0, 又A=π-B+C),则sinA=sinB+C), 所以sinBcosC+cosBsinC-√3 sinBsinC-sinBcosC=0, 即sinC(cosB-V3sinB=0,又0<C<元，则sinC≠0， 所以cosB-√3sinB=0, 答案第1页，共2页 所以a8=5,由0<8<，得B-名 3 (2)由b=2R=2,得6=1， sinB 由分=0+c-2aco8,得1=02+12w-2a25,可得公-行 2 所acsinB=，2W5 a'sin-31⑤ 2 2714 (3)因为B-g∠4D- 6 所以∠acD=∠4C8-∠4CD=-4-&号号4， 在△BCD中，由正弦定理得 BDCD Sin∠BCDsing,所以BD=2CDs 又在△ACD中，AD=CD sinA 所以8D AD 2sin4sm-A-2sin4 2 -n1-4-9m24rm24 2 2m24+) ） 因为∠8CD>0,所以4C03 当24名即4=爱时，80的设大值为 6 答案第1页，共2页 甘肃省渭源县第四高级中学2025-2026学年第二学期期中试题学校 班级 姓名 学号 ------------密------------封------------线------------内------------不-----------准------- --答------------题---------- ------- 高一 数学 考生注意：本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．所有试题均在答题卡上作答，否则无效． 一、单选题（本部分共8个小题，每题5分共40分） 1．已知复数满足，其中为虚数单位，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 2．在中，，是上一点，若，则实数的值为（  ） A． B． C． D． 3．已知，则（   ） A． B． C． D． 4．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D． 5．已知，则的值是（   ） A． B． C． D． 6．在中，，那么此三角形（    ） A．解的个数不确定 B．无解 C．有一解 D．有两解 7．已知向量与的夹角为，，，则的值为（    ） A． B． C． D．6 8．枣庄青檀寺历史悠久、风景秀丽，寺内有塔，相传民族英雄岳飞曾因得眼疾来此养病，所以也有岳飞养眼楼之称，如图1.某数学兴趣小组成员为测量该塔的高度，在塔底O的同一水平面上的A，B两点处进行测量，如图2.已知在A处测得塔顶P的仰角为，在B处测得塔顶P的仰角为，米，，则该塔的高度（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 二、多选题（本部分共3个小题，每题6分共18分） 9．已知向量，，，则下列说法正确的有（   ） A． B．若，则 C．若，则 D．在上的投影向量坐标为 10．中，角的对边分别是，向量，且，则下列说法正确的是（   ） A．C= B．若，则 C．若，则周长为16 D．若，则面积的最大值为 11．已知复数，是关于的方程的两根，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题（本部分共3个小题，每题5分共15分） 12．若向量满足，且与的夹角为，则___________． 13．已知复数的模等于2，则实数的值为______. 14．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，则tanA的最大值为___________. 四、解答题（本部分共5个小题，共77分） 15（13分）．已知在中，为中点，. (1)若，求； (2)若线段上一动点满足，试确定点的位置. 16（15分）．如图，在平行四边形中，，且． (1)证明：三点共线； (2)连接并延长，交于点．若，证明：函数（且）恒过定点． 17（15分）．已知函数. (1)求的单调减区间及对称轴； (2)当时，求函数的值域. 18（17分）．记的内角，，的对边分别为，，，已知点为线段上的一点，为的平分线，. (1)若，， （i）求角的大小： （ii）求的面积： (2)当时，求的最小值. 19（17分）．在中，角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，且的外接圆半径为1，求的面积； (3)若为边上一点，且，求的最大值 第1页共4页 第2页共4页 学科网（北京）股份有限公司 $普通高等学校招生全国统一考试 数学答题卡 ▲准考证号( 姓 00 0 0 0可 0 考场号 座位号 ■ 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 条形码粘贴处 《正面朝上，切勿贴出虚线边板 5 5 5 5 5 5 5 5 6 6 6 6 6 6 6 6 考：禁填：候专考定山玖考1场可领名 8 8 8 8 8 8 8 8 8 缺考标记 条形间，然将缺考标 9 9 9 9 9 9 选择题 (请使用2B组笔填途，正确填涂示侧： 12345678 9 1011 AIAAAI IA口A AAA (B][BB [BBI [B (B (B B(BI[B 【Ic CMC▣【C DDDID刀DJD DD]D 选择题请按题号用2B铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不留痕迹 非选择题（请使0.5毫米黛色墨水签字笔书写 填空题 12. 13 4 15 请在各题指定区域内答题，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 Column. 请在各题指定区域内答题，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 (续15题) 16. 请在各题指定区域内答题，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 Column. K3-25A1-B 请在各题指定区域内答题，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 17. 请勿折叠答题卡 保持字迹清晰卡面清洁 请在各题指定区域内答题，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 a Column 3 ■ 请在各题指定区域内答题，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 18. 请在各愿指定区域内答愿，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 Column. 4 请在各题指定区域内答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 (续18题) 19. 请在各题指定区域内答题，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 K3-25A1-B 请在各题指定区域内答题，超出黑色矩形边框限定区城的答案无效 (续19题) 请勿折叠答题卡 保特字迹清晰卡面清洁 请在各题指定区域内答题，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效， a Column.