精品解析：福建三明市三元区2025-2026学年八年级下学期 校本作业 七 数学（期中）

校本作业 七 数学 一、选择题（共10小题，每小题4分） 1. 世界上几乎所有的生物都是由细胞组成的，科学家发现，一个细胞的平均质量约为毫克．用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式能用平方差公式计算的是（   ） A. B. C. D. 4. 如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．小丽觉得行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是（ ） A. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B. 垂线段最短 C. 两点之间，线段最短 D. 两点确定一条直线 5. 如图，的边上的高是（ ） A. 线段 B. 线段 C. 线段 D. 线段 6. 如图，用尺规作出了，其作图依据是（ ） A. B. C. D. 7. 下列事件为随机事件的是（ ） A. 明天太阳从东方升起 B. 从仅装有白球的箱子里取出1个红球 C. 掷一次骰子，向上一面的数字是5 D. 任意画一个三角形，其内角和为 8. 如图，在和中，点，，，在同一直线上，，，只添加一个条件，能判定的是（ ） A. B. C. D. 9. 已知，，则代数式的值为（ ） A. 8 B. 18 C. 19 D. 25 10. 有若干个形状大小完全相同的小长方形，现将其中个如图摆放，构造一个正方形；其中个如图摆放，构造一个新的长方形（各小长方形之间不重叠且不留空隙）若图和图中阴影部分的面积分别为和，则每个小长方形的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每小题4分） 11. 计算：_________． 12. 若，，则的值是_______． 13. 一个等腰三角形的两边长分别是和，则它的周长是__________． 14. 一个不透明口袋中装有12个白球和若干个黑球，这些球除颜色外均相同，在不允许将球倒出来的前提下，为估计口袋中黑球的个数，采用了如下的方法：从口袋中随机摸出1个球记下颜色后放回摇匀，不断重复上述过程多次，发现摸到白球的频率稳定在0.3，根据上述数据，可估计口袋中大约有_______个黑球． 15. 如图，在中，若点D，E分别是，的中点，且的面积为12，则阴影部分的面积是__________． 16. 如图，，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，点Q在线段上由点B向点D运动，两个动点同时出发，设运动时间为，则当点Q的运动速度为______时，与有可能全等． 三、解答题（共9小题，合计86分） 17. 计算： （1） （2） 18. 先化简，再求值：，其中，． 19. 如图．在中，，，求证：． 证明：（已知），（_______），又， _______（ ）．_______（_______） （_______）． 20. 某段河流的两岸是平行的，某数学兴趣小组在老师的带领下不用涉水过河就能测得河的宽度．他们是这样做的： ①在河流的岸边点B处，选对岸正对的一棵树A； ②沿河岸直行处有一棵树C，继续前行到达点D处； ③从点D处沿河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的点E处时，停止行走； ④测得的长为． 根据测量数据求河的宽度． 21. 已知：如图，点O在直线上，在直线外取一点D，画射线，平分．射线在直线上方，且，垂足为O．若点C在直线上方． （1）依题意，用尺规作图作出射线（只保留作图痕迹，无需文字说明）； （2）若，求的度数． 22. 某学校班级为表彰一周量化考核评价为优秀的同学，设置如图1的电子刮刮卡抽奖活动，评为优秀的同学获得抽奖机会一次．其中张刮刮卡奖励内容分别为“①免作业券张；②与好朋友同桌一天；③薯片一包；④牛奶瓶”．抽完奖后系统自动更新出张上述内容的刮刮卡，并把顺序打乱． （1）小明同学在某周考核中评为优秀，他在刮刮卡抽奖活动中抽中“①”的概率是 ． （2）通过调查发现，该班同学对“①”最感兴趣，对“③”和“④”喜好程度一样．于是，老师将抽奖方式改为转盘，并设定：①的概率是，②的概率是，③的概率为．请在图2转盘中的扇形写上“①②③④”，使得自由转动这个转盘，当它停止时，指针分别落在“①②③④”上的概率满足上述设定．（备注：转盘中扇形的圆心角均相等） 23. 如图，在中，D为上一点，E为中点，连接并延长至点F，使得，连． （1）求证： （2）若，求的度数． 24. 【实践探究】如图①，在边长为的大正方形中剪去一个边长为的小正方形（），把图①中形的纸片按图②分成Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个部分，并剪拼成如图③的一个大长方形； （1）请写出从图①到图③验证的乘法公式为：______，并说明理由． 【应用探究】（2）利用（1）中验证的公式简便计算：； 【知识迁移】（3）类似地，我们还可以通过对立体图形进行变换得到代数恒等式．如图④，在一个棱长为的正方体中去掉一个棱长为的正方体，再把剩余立体图形切割分成如图⑤的三部分，利用立体图形的体积，可得恒等式为：______．（结果不需要化简） 25. 【知识初探】王芳同学在探究“过直线外一点画已知直线的平行线”的活动中，通过如下的折纸方式找到了符合要求的直线． ①如图1，在正方形纸上画出一条直线，在外取一点过点折叠纸片，使得点的对应点落在直线上（如图），记折痕与的交点为，将纸片展开铺平； ②再过点将纸片进行折叠，使得点的对应点落在直线上（如图3），再将纸片展开铺平（如图4）． （1）通过上述的折纸过程，图2的折痕与直线的位置关系是________； 如图4，________，则与的位置关系为________； 【深入探究】 （2）李明同学在王芳同学折纸（图4）中量得，请你求出的大小（用含的代数式表示）； 【拓展延伸】 （3）王伟同学改变直线和点的位置，按照王芳同学的方法折叠得到后（点，，，分别在线段，，，上），再画出和的角平分线、，、所在的直线交于点，请求出的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 校本作业 七 数学 一、选择题（共10小题，每小题4分） 1. 世界上几乎所有的生物都是由细胞组成的，科学家发现，一个细胞的平均质量约为毫克．用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的定义，关键是理解运用科学记数法．利用科学记数法的定义解决．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数． 【详解】解：． 故选：B． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：对选项A，，∴ A错误； 对选项B，，∴ B错误； 对选项C，，∴ C错误； 对选项D，，运算符合幂的乘方法则，∴ D正确． 3. 下列各式能用平方差公式计算的是（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 根据平方差公式逐项判断即可． 【详解】A、，故不能用平方差公式计算，故本选项错误； B、，故不能用平方差公式计算，故本选项错误； C、，能用平方差公式计算，故本选项正确； D、中不存在相同的项与互为相反数的项，故不能用平方差公式计算，故本选项错误； 故选∶C． 4. 如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．小丽觉得行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是（ ） A. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B. 垂线段最短 C. 两点之间，线段最短 D. 两点确定一条直线 【答案】B 【解析】 【分析】由垂线的性质，可选择． 【详解】解：、该选项是垂线的一条性质，根据理解不符合题意，故A不符合题意； B、直线外一点到这条直线上各点的连线中，垂线段最短，故B符合题意； C、连接两点的所有线中，线段最短，故C不符合题意； D、两点确定一条直线，是直线的性质，故D不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查垂线的性质，关键是掌握垂线的两条性质，明白垂线段最短． 5. 如图，的边上的高是（ ） A. 线段 B. 线段 C. 线段 D. 线段 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形高的定义，理解并能准确区分三角形的高是解题的关键； 根据三角形高的定义解答即可． 【详解】解：∵过三角形的一个顶点引对边的垂线，这个点与垂足的连线段叫三角形的高， ∴中的边上的高是线段， 故选：B． 6. 如图，用尺规作出了，其作图依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了作图—基本作图，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． 直接利用基本作图方法结合全等三角形的判定方法即可得出答案． 【详解】解：由作法可知：，， ， ． 故选：A． 7. 下列事件为随机事件的是（ ） A. 明天太阳从东方升起 B. 从仅装有白球的箱子里取出1个红球 C. 掷一次骰子，向上一面的数字是5 D. 任意画一个三角形，其内角和为 【答案】C 【解析】 【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的定义，逐一判断各选项即可得到答案． 【详解】解：A、明天太阳从东方升起，是一定发生的事件，属于必然事件，不符合题意； B、从仅装有白球的箱子里取出1个红球，是一定不会发生的事件，属于不可能事件，不符合题意； C、掷一次骰子，向上一面的数字可能是1到6中的任意一个，数字是5可能发生也可能不发生，属于随机事件，符合题意； D、任意三角形内角和为，内角和为是一定不发生的事件，属于不可能事件，不符合题意． 8. 如图，在和中，点，，，在同一直线上，，，只添加一个条件，能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法逐项判断即可，熟练掌握全等三角形的判定方法是解此题的关键． 【详解】解：， ∴， ， ∵， ， 当时，且，，由“”可证，故A符合题意； 当时，不能判定，故B不符合题意； 当时，不能判定，故C不符合题意； 当时，不能判定，故D不符合题意； 故选：A． 9. 已知，，则代数式的值为（ ） A. 8 B. 18 C. 19 D. 25 【答案】C 【解析】 【分析】原式利用完全平方公式变形后，将已知等式代入计算即可求出值． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：C． 【点睛】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 10. 有若干个形状大小完全相同的小长方形，现将其中个如图摆放，构造一个正方形；其中个如图摆放，构造一个新的长方形（各小长方形之间不重叠且不留空隙）若图和图中阴影部分的面积分别为和，则每个小长方形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设小长方形的长和宽分别为和，根据阴影部分的面积分别为和，列方程，再整体求解． 【详解】解：设小长方形的宽为，长为， 由图得：， ， 由图得：， 则， 即， 则， 解得：， 故每个小长方形的面积为：． 故选：B． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，表示阴影部分的面积是解题的关键． 二、填空题（共6小题，每小题4分） 11. 计算：_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查积的乘方．根据积的乘方运算法则进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 若，，则的值是_______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法计算，逆用同底数幂的乘法法则计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：10． 13. 一个等腰三角形的两边长分别是和，则它的周长是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的定义和三角形三边关系．需要分类讨论腰长可能的情况，并验证是否满足三角形三边关系． 【详解】若腰长为，则底边为，此时三边分别为、、．由于，不满足三角形三边关系（任意两边之和大于第三边），故该情况不成立． 若腰长为，则底边为，此时三边分别为、、．由于，，，满足三角形三边关系，故周长为． 故答案为17． 14. 一个不透明口袋中装有12个白球和若干个黑球，这些球除颜色外均相同，在不允许将球倒出来的前提下，为估计口袋中黑球的个数，采用了如下的方法：从口袋中随机摸出1个球记下颜色后放回摇匀，不断重复上述过程多次，发现摸到白球的频率稳定在0.3，根据上述数据，可估计口袋中大约有_______个黑球． 【答案】28 【解析】 【详解】解：设口袋中黑球有个， 口袋中共有白球12个，黑球个， 球的总数为个， 大量重复试验后，摸到白球的频率稳定在0.3， 摸到白球的概率约为0.3， ， ， ， ， ， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 口袋中大约有28个黑球． 15. 如图，在中，若点D，E分别是，的中点，且的面积为12，则阴影部分的面积是__________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了与三角形中线有关的面积的计算，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解题的关键． 先由点是的中点得出，再由点是的中点计算即可得解． 【详解】解：∵点是的中点， ∴， ∵点是的中点， ∴， 故答案为：． 16. 如图，，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，点Q在线段上由点B向点D运动，两个动点同时出发，设运动时间为，则当点Q的运动速度为______时，与有可能全等． 【答案】1或 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角的判定．分两种情况讨论：当，时；当，时，即可求解． 【详解】解：当，时，， 、Q运动的路程和时间相同， 和P的运动速度相同是； 当，时，， ， 运动的时间是， ， 运动的速度是， 当点Q的运动速度为1或时，与全等． 故答案为：1或 三、解答题（共9小题，合计86分） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先计算零指数幂，乘方和负整数指数幂，再计算加减法即可； （2）先根据多项式乘以多项式和单项式乘以多项式的运算法则去括号，然后合并同类项即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】，5 【解析】 【分析】先化简中括号里，再算除法，然后把，代入计算即可． 【详解】 ， 当，时， 原式 【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算顺序及乘法公式是解答本题的关键． 19. 如图．在中，，，求证：． 证明：（已知），（_______），又， _______（ ）．_______（_______） （_______）． 【答案】 证明：∵（已知）， （两直线平行，同位角相等）， 又， （等量代换）． （内错角相等，两直线平行）． （两直线平行，同旁内角互补）． 【解析】 【详解】略． 20. 某段河流的两岸是平行的，某数学兴趣小组在老师的带领下不用涉水过河就能测得河的宽度．他们是这样做的： ①在河流的岸边点B处，选对岸正对的一棵树A； ②沿河岸直行处有一棵树C，继续前行到达点D处； ③从点D处沿河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的点E处时，停止行走； ④测得的长为． 根据测量数据求河的宽度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的应用，在实际生活中，对于难以实地测量的线段，常常通过两个全等三角形，转化需要测量的线段到易测量的边上或者已知边上来，从而求解．利用“角边角”证明和全等，再根据全等三角形对应边相等可得． 【详解】解：由题意知，， 在和中， ， ∴， ， ∵， ∴， 答：河宽为． 21. 已知：如图，点O在直线上，在直线外取一点D，画射线，平分．射线在直线上方，且，垂足为O．若点C在直线上方． （1）依题意，用尺规作图作出射线（只保留作图痕迹，无需文字说明）； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 如图，射线即为所求作的射线； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作一个角等于已知角，角平分线定义，垂线定义理解，解题的关键是数形结合，熟练掌握相关定义． （1）在以点O为角的顶点，为角的一条边，在上方作即可； （2）先根据角平分线定义求出，再根据垂线定义得出，最后根据平角定义求出结果即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 22. 某学校班级为表彰一周量化考核评价为优秀的同学，设置如图1的电子刮刮卡抽奖活动，评为优秀的同学获得抽奖机会一次．其中张刮刮卡奖励内容分别为“①免作业券张；②与好朋友同桌一天；③薯片一包；④牛奶瓶”．抽完奖后系统自动更新出张上述内容的刮刮卡，并把顺序打乱． （1）小明同学在某周考核中评为优秀，他在刮刮卡抽奖活动中抽中“①”的概率是 ． （2）通过调查发现，该班同学对“①”最感兴趣，对“③”和“④”喜好程度一样．于是，老师将抽奖方式改为转盘，并设定：①的概率是，②的概率是，③的概率为．请在图2转盘中的扇形写上“①②③④”，使得自由转动这个转盘，当它停止时，指针分别落在“①②③④”上的概率满足上述设定．（备注：转盘中扇形的圆心角均相等） 【答案】（1） （2） 如图： 【解析】 【分析】本题考查概率公式，应用与设计作图， （1）直接根据概率公式求解即可； （2）用扇形的个数乘对应的概率求出扇形的个数，从而得出答案； 解题的关键是掌握概率公式∶（表示事件发生的概率，是事件发生的情况数，是总情况数 ）． 【小问1详解】 解：∵共有张刮刮卡，且每张刮刮卡被抽取的可能性相同， ∴总情况数 ， 又∵ “①”是其中张刮刮卡，即抽中“①”的情况数， ∴抽中“①”的概率． 故答案为：； 【小问2详解】 ∵转盘被等分为若干个圆心角相等的扇形（设总份数为份，取、、的最小公倍数)， 又∵①的概率是，则①对应的份数：份 ； ②的概率是，则②对应的份数：份； ③的概率是；则③对应的份数：份； ∴④的概率：， 则④对应的份数也是份（与③概率相同，份数相同 ）， 分配扇形内容如下： 按照计算出的份数，在转盘中标记：①占份，②占份，③占份，④占份 23. 如图，在中，D为上一点，E为中点，连接并延长至点F，使得，连． （1）求证： （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：为中点， ， 在和中， ， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）求出，根据全等三角形的性质得出，根据平行线的判定得出即可； （2）根据（1）求出，根据三角形内角和定理求出即可． 本题考查了全等三角形的性质和判定、平行线的性质和判定、三角形内角和定理等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ， ， ， ． 24. 【实践探究】如图①，在边长为的大正方形中剪去一个边长为的小正方形（），把图①中形的纸片按图②分成Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个部分，并剪拼成如图③的一个大长方形； （1）请写出从图①到图③验证的乘法公式为：______，并说明理由． 【应用探究】（2）利用（1）中验证的公式简便计算：； 【知识迁移】（3）类似地，我们还可以通过对立体图形进行变换得到代数恒等式．如图④，在一个棱长为的正方体中去掉一个棱长为的正方体，再把剩余立体图形切割分成如图⑤的三部分，利用立体图形的体积，可得恒等式为：______．（结果不需要化简） 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题考查了“数形结合”中的乘法公式及其灵活运用，解题的关键是善于发现规律并总结规律． （1）图③中大长方形的面积等于图①的阴影部分面积，分别计算即可得出：； （2）观察（1）的乘法公式的特点是两数之和乘以两数之差，故将拆成，将拆成即可； （3）将立体图形分割成三部分，分别为：、、，其和为，恰等于． 【详解】解：（1）图③整个大长方形的面积等于图①阴影部分的面积： ∴； 故答案为：； （2）原式 ； （3）将立体图形分割成三部分，分别为：、、，其和为； 故答案为： 25. 【知识初探】王芳同学在探究“过直线外一点画已知直线的平行线”的活动中，通过如下的折纸方式找到了符合要求的直线． ①如图1，在正方形纸上画出一条直线，在外取一点过点折叠纸片，使得点的对应点落在直线上（如图），记折痕与的交点为，将纸片展开铺平； ②再过点将纸片进行折叠，使得点的对应点落在直线上（如图3），再将纸片展开铺平（如图4）． （1）通过上述的折纸过程，图2的折痕与直线的位置关系是________； 如图4，________，则与的位置关系为________； 【深入探究】 （2）李明同学在王芳同学折纸（图4）中量得，请你求出的大小（用含的代数式表示）； 【拓展延伸】 （3）王伟同学改变直线和点的位置，按照王芳同学的方法折叠得到后（点，，，分别在线段，，，上），再画出和的角平分线、，、所在的直线交于点，请求出的度数． 【答案】（1），， （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）折叠推出，，进而得到，即可得出结论； （2）作，得到，推出，即可得出结果； （3）分交点在的上方和下方，两种情况进行求解即可． 【小问1详解】 证明：由折叠可知：， 又∵， ∴， ∴； 如图4，由折叠可知：， 则与的位置关系为； 【小问2详解】 解：作，则：， ∴，， ∴， ∵，（正方形的一个内角为90度）， ∴； 【小问3详解】 解：当点在直线的下方时，如图：过点作，则：， ∴， ∴， ∵分别平分和， ∴， 由（2）可知：， ∴； 当点在上方时，如图，作，则：， 则：， ∴， ∵分别平分和， ∴， 由（2）知：， ∴ ； 综上：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $