专题06 圆（安徽专用）2026年中考数学一模分类汇编

**基本信息** 安徽2026年各地一模圆专题汇编，覆盖圆的基本性质、切线判定与性质等四大考点，整合41道解答题及选择填空，注重几何直观与推理能力考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|14题|圆的基本性质（直径、圆周角）、弧长计算（如银杏叶扇形）|结合安徽一模真题，基础巩固题占比60%| |填空题|29题|切线性质、圆内接四边形、正多边形弧长|融入网格、旋转情境，考查空间观念| |解答题|41题|切线判定（2026合肥一模）、圆与三角形综合证明|分层设计，30%题目需多步推理，适配一模难度|

命学科网 www.zxxk.com 专题06圆 ☆4大考点概览 考点01圆的基本性质 考点02切线判定与性质 考点03孤长与扇形面积 考点04圆与多边形 考点01 圆的基本性质 “、 单选题 1.（2026安徽宣城一模)如图，AD是半圆O的直径，点B、C在 上，若∠PBA=95°，则∠PCB的大小为() A.135° B.125° C.115 2.(2026安徽合肥一模)如图，AB是⊙0的直径，弦CD交AB于 ∠AED的度数为() B D A.110° B.115° C.120° 3.(2026安徽合肥.一模)如图，⊙0是ABC外接圆，BC=2AC 心距为2，则弦AB的长是() O. A.10 B.82 C.12 1/6 让教与学更高效 半圆上，且AB=BC=CD,点P在CD D.105 点E,∠ACD=60°，∠ADC=40°则 D.105° 若BC=2√35，AC=25,弦AB的弦 D.15 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4.(2026安徽阜阳一模)如图，点A,B,C,D在O0上，连接AB,CD,且AB∥CD,AB=12, CD=6,点F是CD上一点，连接OF并交AB于点E,若OE=EF,则OO的半径为() B E A.3V5 B.43 C.8 D.62 5,(2026安徽合肥一模)如图，在00中，AB=AC,LA=50°，则∠B等于() A.65° B.75° C.85 D.130° 6.(2026安徽宿州一模)如图，已知O0的半径为10，弦AB=16,点C是AB上一点，且AC=4,则 0C的长为() A.8 B.2W13 C.215 D.4V5 7.(2026安徽阜阳一模)如图，以AB为直径的O0上有一点D,∠ADB的平分线交⊙0于另一点C,连 接0C,若∠ABD=40°，则L0CD的度数为() 2/6 扇学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D ⊙ C A.5° B.10° C.15° D.20° 二、填空题 8.(2026安微六安.一模)如图，已知O0是ABC的外接圆，AD是⊙0的直径，若∠C=75°，则∠BAD 的度数是 A C D 9.(2026安徽淮南一模)如图，ABC内接于00，CD1AB于点D,连接0C,若LA=45°，∠B=60°， 则∠0CD的大小为 D 10.(2026安徽合肥一模)如图，C,D是00上直径AB两侧的点，若LABC=26°，则LD=° B D 11.(2026安徽合肥一模)如图，△ABC内接于⊙0，AB=2BC,若AB=6,BC=V3,则⊙0的半径是 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 0● 12.(2026安徽淮南一模)如图，在O0中，半径r=6,弦AB平行于直径CD,且AB到直径CD的距离 为3√5.点E是⊙0上不与A、B重合的一点，则∠AEB的度数为· 13.(2026安微合肥一模)如图，点A,B,C在O0上，若∠BAC=3L0CB,则∠BAC的度数为 A 14.(2026安徽安庆一模)如图，AB是O0的直径，点C,D在AB的异侧，连接BC,0D,0C,若 LB0C=80°，且BC∥OD,则∠BOD的度数为 C B D 15.(2026安微合肥.一模)如图，AB是oO的直径，点C,D在圆上，∠ACD=55°，则∠BAD的度数为 2/6 扇学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B D 16.(2026安徽毫州一模)如图，点A,B,C都在⊙0上，若∠BAC=32°，则∠0BC的度数是 17.(2026安徽芜湖一模)如图，ABC为00的内接三角形，BD为⊙0的直径，连接0C,若∠A=40°， 连接CD,则OCD的度数为°. 18.(2026安徽蚌埠.一模)如图，在直角三角形0BC中，以O为圆心，OB为半径画圆，交0C于D点， 在圆上任取一点A,连接AB,AD,若∠OCB=30°，则∠BAD的度数为 B 19.(2026安徽阜阳一模)如图，A,B,C是00上不同的三个点.若0BA=72°，则∠C的度数为 B 20.(2026安徽铜陵一模)如图，PA是⊙0的切线，A为切点，直线P0交⊙0于C,D两点，点B为弧 AC上一点，连接AB,BC,若LABC=115°，则∠P=度. 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A B δ 三、解答题 21.(2023·湖南中考真题)如图，AB是O0的直径，AC是一条弦，D是AC的中点，DE1AB于点E, 交AC于点F,交OO于点H,DB交AC于点G. A B H (I)求证：AF=DF. (2)若AF= 2,sin∠ABD=V ,求00的半径。 5 22.(2026安徽合肥.一模)如图，四边形ABCD内接于⊙0，点E在CD的延长线上，AD垂直平分BE, 连接AC. E (1)求证：AB=AC. (2)连接AE,若AE∥BC,AB=3,BC=2,求CE的长. 23.(2026安徽淮南一模)如图，ABC内接于O0,AB=AC,BO的延长线交O0于点D,交AC于点 F,AE⊥BD于点E. 2/6 扇学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A D B (I)求证：BC=2AE; 2若AE=4,BD=10,求仁的值， OF 24.(2026安徽宣城一模)如图1，AB是半圆0的直径，AB=4,C,D为半圆上的两点，且BD=CD.连 结AC并延长，与BD的延长线相交于点E, E M 图1 图2 (I)求证：CD=DE; (2)如图2，过点D作DF1AC,垂足为点F.AD与OC,BC分别交于点M,H. ①若BD=I,求△DEF的面积； ②若C是半圆上一动点（不与A,B重合），当△CMH是等腰三角形时，求EF的值. 25.(2026安徽合肥一模)如图，在O0中，AB、AC为弦，CD为直径，AB⊥CD于点E,BF⊥AC于 点F,BF与CD相交于点G. C G B D (I)求证：ED=EG; (2)若AB=2N5,0G=1,求00的半径. 26.(2026安徽蚌埠.一模)如图，四边形ABCD内接于⊙0，BC为⊙0的直径，BA、CD的延长线交于点E ,连接BD. 1/6 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ○ (1I)若点A为BE的中点，∠C=50°，求∠BDA的度数； (2)若点A是BD的中点，BC=10,BA=4,求CD的长. 27.(2026安徽滁州一模)如图，点C为圆O内一点，CA=CB,BC延长线交圆O于点D,连接AD, AC. 0 (I)求证：∠ACB=2∠BAD; (2)若AC=√5，AB=4,求BD的值. 28,(2026安徽六安一模)如图，在O0中，直径AB与弦CD相交于点E,EF⊥BD于点F,连接0D与 EF相交于点G. C E B F D (1)求证：0G=0E; (2)若CD=BD,求证：DE2=0G·BE. 29.(2026安徽阜阳一模)如图ABC内接于O0,AB=AC,点D在BC上，点E在弦AD上， LBED=LBAC,连接BD,CD, 2/6 扇学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D (1)求证： AE CD BE BD ②连接CE,若∠BED=2LDEC,求E的值， BE 30.(2026·安徽芜湖一模)如图，ABC为圆O的内接三角形，AD为圆O直径，D为弧BF中点，AD交 BF于点G,BF与AC延长线交于点E,且AB=BE. B G E D (I)求证：∠ABC=∠E; (2)若BG=5,EF=3，,求CE的值 31.(2026·安徽安庆一模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以点C为圆心，AC的长为半径的圆与 AB交于点D,与BC交于点E,连接DE,AD=DE. D B (1)求∠BDE的度数 (2)若AC=4,BD=3√5，求BE的长. 32.(2026安徽滁州一模)如图，四边形ABCD的边AB为半圆0的直径，C,D两点均在半圆O上，连 接AC,BD,己知BC=CD,BE平分∠ABD交AC于点E. D (I)求证：CD=CE; 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)若AB=10,BD=8,求BE的长. 33.(2026安徽合肥一模)如图，AB是⊙0的直径，C是⊙0上一点，CD⊥AB于点D,连接BC, LBCD的平分线交AB于点E,交OO于另一点F. B (I)连接FB,求证：FB=FE; (2)若AB=12,DE=DO,求BE的长. 34.(2026安徽合肥一模)如图，ABC为O0的内接三角形，BD为ABC的高，垂足为D,且AB=AC D (I)求证：LBAC=2LDBC; (2)若AB=10,BD=6,求⊙0的半径. 35.(2026安微合肥一模)如图，已知AB为⊙0直径，CD是弦，且AB⊥CD,连接AC、BC. A D B (I)求证：LCAB=∠BCD; (2)若BE=3,CD=8,求O0的半径. 36.(2026安徽合肥一模)如图，⊙0是ABC的外接圆，∠BAC=45,过点0作AB的垂线交AC于点D ,垂足为E,连接OB. 2/6 扇学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D E (I)求证：BC=√20B; (2)若AB=8,⊙0的半径为5，求CD的长. 37.(2026安徽蚌埠一模)如图，ABC内接于O0,2L0BC=90°+∠0AB. B (I)求证：LACB=2LBAC; (2)若CE⊥OB交OB于E点，求证：AB=2CE. 38.(2026安徽马鞍山一模)如图，AB为O0的直径，CD为弦，CD⊥AB于点E,连接D0并延长交 OO于点F,连接AF交CD于点G,连接AC,CF,且CG=AG. D (I)求证：AC=CF; (2)若CF=6√5，求GD的长. 39.(2026安徽宣城一模)如图1，AB是半圆O的直径，C,D是半圆O上的两点，AC平分∠DAB,与 BD交于点E,连接OC,交BD于点F. D E D E 0 0 图1 图2 (1)求证：0C∥AD. (2)如图2，若0C=18,E为AC的中点，求0F的长. 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 40.(2026安徽阜阳一模)如图1，半圆0的直径AB=6.点C在半圆O上，连接AC,BC,点D在BC上， 连接OD,交BC于点E,连接AD,交BC于点F,连接OF,且∠ADO=∠DAC. D C 0 0 B 图1 图2 (1I)求证：D是BC的中点 2如图2，将0P绕点F版旋转0°，点0恰好路在线段AC上的点G处，若}求加∠1B0的 值. 41.(2026·安微宿州一模)已知，AB是⊙0的直径，点C,D分别是⊙0上的点且AD=CD D E C 图1 图2 (I)如图1，若∠ADC=40°，求∠BCD的度数； (2)如图2，CB的延长线与O0的切线DE交于点E,已知⊙0的半径为3√5，AD=5√6，求DE的长. 42.(2026·安微阜阳一模)如图，AB为半圆O的直径，BC为半圆O的一条弦，0D1BC于点E,交 OO于点D,DF⊥AB于点F,交BC于点G C D G (1I)若AB=10,BC=8,求DE的长； (2)连接AD,OG,求证：0G∥AD. 考点02 切线判定与性质 一、填空题 1.(2026安徽蚌埠一模)如图，已知直线AB是⊙O的切线，A为切点，OB交⊙O于点C,点D在⊙O上， 且∠OBA=40°，则∠ADC= 2/6 扇学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D 2.(2026安徽阜阳一模)如图，口ABCD的AB边为⊙0的一条弦，CD边与00相切于点D,已知O0的 半径为√2，AB=2,则口ABCD的面积为· D .0 3.（2026安微马鞍山一模)如图，已知直线AB是⊙0的切线，A为切点，OB交⊙0于点C,点D在⊙0 上，且∠OBA=40°，则∠ADC= 4.(2026安徽阜阳一模)如图，PA是⊙0的切线，点C是00上一点，连接0C,0C∥PA,连接PC并 延长PC交⊙0于点B,A0的延长线交PB于点D,若∠P=30°，OD=1,则BD= A ◇ 5.(2026安徽铜陵一模)如图，PA是⊙0的切线，A为切点，直线PO交⊙0于C,D两点，点B为弧AC 上一点，连接AB,BC,若∠ABC=115°，则∠P=度. A B 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 二、解答题 6.(2026安徽六安一模)如图，四边形ABCD内接于⊙0，AB为⊙0的直径，∠ABC=2∠ACD,过点D 作⊙O的切线，交BC的延长线于点E. D (I)求证：AD=CD: (2)若BC:DE=5:6,求tan∠DCE的值. 7.(2026安徽一模)如图，⊙0的半径为25，AB是⊙0的直径，F是O0上一点，连接F0、FB.C为 劣弧BF的中点，过点C作CD⊥AB,垂足为D,CD交FB于点E,CG∥FB,交AB的延长线于点G. 0 D B G (I)求证：CG是00的切线： (②)连接BC,若BC∥OF,求CE的长； 8.(2026安徽宿州一模)如图，AB是⊙0的直径，AM,BN分别切O0于点A、B,CD分别交AM, BN于点D、C,DO平分∠ADC. A DM B C N (I)求证：CD是O0的切线； (2)若AD=4,BC=9求⊙0的半径. 9.(2026安徽宣城一模)如图1，AB是半圆0的直径，AB=4,C,D为半圆上的两点，且BD=CD.连 结AC并延长，与BD的延长线相交于点E. 2/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 0 B 图1 图2 (I)求证：CD=DE; (2)如图2，过点D作DF⊥AC,垂足为点F,AD与OC,BC分别交于点M,H ①若BD=1,求△DEF的面积； ②若C是半圆上一动点（不与A,B重合），当△CMH是等腰三角形时，求EF的值. 10.(2026安徽合肥一模)如图，AB是⊙0的直径，点C是劣弧BD的中点，AC与BD相交于点E.连接 BC,CF是OO的切线，CF与AB的延长线相交于点F. (I)求证：BCF=∠BAC; (2)若AB=10,BC=6,求AD的长. 11.（2026安微安庆一模)如图，在ABC中，AB=AC,点O在边AB上，以点O为圆心，OB长为半径 画圆，与边AB的另一个交点为F,交边BC于点D,且与AC相切于点E,连接OD、OE. B D (1)求证：OD⊥0E; (2)若圆O的半径OB为2，CE长为3，求边AB的长. 12.(2026安徽准南一模)如图，AB为O0的直径，C为圆弧上一点，D为BC的中点，过D点作O0的 切线交射线AC于点E,连接AD,BD. 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D (I)求证：AE⊥DE; (2)若DE=4,BD=5,求AC长. 13.(2026安微阜阳一模)如图，在O0中，AB是直径，延长AB至点F,FC切O0于点C,且点C是 BE的中点，连接OC,E为AC上一点，连接AE,延长AE,FC交于点D. D (I)求∠D的度数； (2)若DE=1,0F=4,求⊙0的半径， 14.(2026安徽安庆一模)如图，点E是ABC的内心，AE的延长线和ABC的外接圆O0相交于点D, 过点D作直线DG∥BC. D G (1)求证：DG是⊙0的切线； (2)若DE=6,BC=6V3,求优弧BAC的长 15.(2026安徽合肥一模)如图，AB为O0的直径，C为00上一点，切线CD交BA的延长线于点D,过 A点作AE⊥DB交CD于点E,连接AC. D 2/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (I)求证：LECA=LB; (2若D42 A0 3' EC=3,求直径AB长 16.(2026安微合肥一模)如图，AB为O0的直径，弦CD交AB于点E,连接AC、AD,过点D作OO 的切线交CB的延长线于点F,已知AD=CD, D (I)求证：DF⊥CF; (2)若AD=4V5,DF=4,求直径AB的长， 17.(2026安徽安庆一模)如图，AB为⊙0的直径，OC⊥AB交⊙0于点C,D为OA上一点，连接CD并延 长CD交OO于点M,点N是OA延长线上一点，连接MN,MN=DN, M D (I)求证：MN为O0的切线： (2)若OD=2且AD=AN,求O0的半径 18.(2026安微合肥一模)如图，O是Rt△ABC斜边上的一点，⊙0与直角边AB,AC分别相切于点D,E, 射线A0交⊙0于点F,G. D (I)求证：AG平分∠BAC; (2)若BD.CE=12,求O0半径. 19.(2026安微合肥一模)如图，⊙0是ABC的外接圆，LBAC=45°.过点O作DF⊥AB，,垂足为E, 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 交AC于点D,交OO于点F,过点F作OO的切线，交CA的延长线于点G, D E G F (I)求证：FD=FG: (2)若AB=12,FG=10,求00的半径 20.(2026安微池州一模)如图，AB,CD是⊙0的直径，切线DE与CA延长线相交于点E. B (I)求证：∠E=∠B; (2)若BC=12,DE=15,求⊙0的半径. 21.(2026安徽六安一模)如图，已知ABC内接于O0,AB是O0的直径，点D为BC的中点，过点D作 DE⊥AC,交AC的延长线于点E,连接BD. (I)求证：DE是O0的切线； (2)若AB=10，BD=6,求AC的长 22.(2026安徽马鞍山一模)如图，AB为⊙0的直径，点C在⊙0上，∠ACB的平分线交O0于点D.过 点D作DE∥AB,交CB的延长线于点E. D (I)求证：DE是O0的切线： 2/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)若AC=15,BC=8,求CD的长 23.(2026·安微芜湖一模)如图，△ADC内接于O0,过点A作AB平行于CO交CD的延长线于点B, ∠OCA=∠ADC. B (I)求证：AB是O0的切线； (2)若AB=AC=4,求AD的长， 24.(2025江苏盐城中考真题)如图，AB是O0的弦，过点B作直线EF,以0为顶点作∠A0C=90°，分 别交EF、AB于点C、D,若CB=CD. E C B F (1)试判断直线EF与⊙0的位置关系，并说明理由； ②若00的半径为3.m∠01D=写求BC的长. 25.(2026·安徽阜阳·一模)如图，ABC的顶点在以AB为直径的半圆0上，过点C的切线交AB的延长线 于点D,AE⊥CD于点E. B B (I)求证：AC平分∠EAD (2)若CD=4,BD=2,求BC的长. 26.(2026安徽芜湖一模)如图1，点P为圆O外一点，PA经过圆心O,且与圆交于另一点B,PC与圆 O相切. 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D 图1 图2 (I)求证：PC2=PB.PA; (2)如图2，点D在AC上，且BC=CD,连接AD,若PB=1,PC=√5，求AD长. 27.(2026安徽芜湖一模)如图，已知AB是⊙0的直径，点C为⊙0上一点，过点C的切线交BA延长线 于点P,且PC=BC. D (I)求证：AP=AC; (2)过点C作CD∥AB交OO于点D，,若AB=8,求CD的长. 28.(2026安徽芜湖·一模)如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点O作ODLAB,交BC的延长 线于D,交AC于点E,F是DE的中点，连接CF. D B (1)求证：CF是⊙O的切线 (2)若∠A=22.5°，求证：AC=DC. 29.(2026安徽宿州一模)已知，AB是O0的直径，点C,D分别是O0上的点且AD=CD. 2/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D D E 0 A 图1 图2 (I)如图1，若∠ADC=40°，求∠BCD的度数； (2)如图2，CB的延长线与O0的切线DE交于点E,已知O0的半径为3√5，AD=5√6，求DE的长. 30.(2026安徽合肥一模)如图，AB是⊙0的直径，M为00上一点，N为⊙0外一点，ON∥AM, ∠0BN=90°，连接NM. (1)求证：NM与O0相切； (2)若0A=4,0N=6,求AM的长. 31.(2026安徽芜湖一模)如图，在ABC中，∠ABC=90°，⊙0经过点A,与边AB,AC分别交于点E ,D,且BC与⊙0相切，切点为点F. B (1)求证：AF平分∠BAC; (②)若BE=1,AE=CD=2,求AD的长， 32.(2026安徽阜阳一模)如图，AB为⊙0的直径，点C在⊙0上，AD与过点C的切线垂直，垂足为D, 过点C的切线与AB的延长线交于点E,过点C作CF⊥AB交AB于点F. 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (I)求证：CD=CF; (2)若点F为OB的中点，AB=4,求BE的长 33.(2026安微蚌埠.一模)如图，在ABC中，AB=BC,⊙0与AB相切于点A,且经过AC边的中点D, 连接OD并延长交BC于点E. B (I)求证：DE⊥BC. (2)若sin∠BAC= DE=1,求⊙0的半径 34.(2026安徽阜阳一模)如图，AB是⊙0的直径，C是BA延长线上一点，CE切O0于点E,G是BE上 点且OG⊥AB,OG的延长线交CE的延长线于点D,交OO于点F. D E G (I)求证：DE=DG; (②)若G是0F的中点，DF=2,求O0的半径长. 35.(2026安徽一模)如图，AB为O0直径，C,D为⊙0上的两点，且CE是⊙0的切线，CE1DB交 DB的延长线于点E. A B (1)求证：∠ACD=2LA; 2/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (②)若AB=5,BE=1,求BD的长. 36.(2026安微阜阳一模)如图，⊙0是ABC的外接圆，AB为⊙0的直径，点E为⊙0上一点， EF∥AC交AB的延长线于点R、CE与AB交于点D,选接BE,若∠BCE=ABC. E B (1)求证：EF是O0的切线； (2)若∠BCE=∠BEC,AB=8,求BE的长. 37.(2026安徽阜阳一模)如图，AC是0的直径，BC是0的切线，E为0上一点，AE的延长线 交CB于点B,F为EC的中点，OF的延长线交CB于点D,连接EC交OD于点G. D B (I)求证：CD=BD. (2)若AC=12,CD=8,求GF的长 38.(2026安微一模)如图，在ABC中，AB=AC,以AB为直径作O0,交BC于点D,DE是O0的 切线且交AC于点E,延长CA交⊙O于点F. (I)求证：DELAC; (②)若sinc=5 DE=3,求EF的长. 考点03 弧长与扇形面积 一、单选题 1.(2026安徽蚌埠.一模)如图，AB为⊙O的直径，AB=4,弦CD=2√2，则劣弧CD的长为() 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B D A. π B C.π D.2π 2.(2026安徽合肥一模)如图，点A,B,C均在00上，若∠ABC=110°，OA=3cm,则AC的长是() B A.2πcm B.3πcm c1号m D. 3.(2026安徽合肥一模)每年的十月中下旬都是银杏落黄的时候，银杏林中就像金黄的蝴蝶满天飞，如图 1所示，非常漂亮，佳佳发现银杏叶片的形状近似于扇形，如图2是他画的银杏叶片的几何示意图，通过测 量得到∠A0B=150°，OA=6cm,则AB的长为() 图1 图2 A.10πcm B.5πcm C.2πcm D.3πcm 4.(2026安徽毫州一模)如图，在等腰RtAABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2V2,以点C为圆心，适当 的长为半径画弧，与AB相切于点F,交AC于点D,交BC于点E,若一个小球在等腰Rt△ABC内自由滚 动，则小球停在图中阴影部分的概率是() B D 2/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.4 B牙 C.4-元 4 D.8 5.（2026安徽马鞍山一模)如图，等边三角形ABC的边长为a,分别以A,B,C为圆心，以AB长为半 径作弧，得到三段相等的弧AB,BC,AC,将AB,BC,AC组成的图形称为“洛尔三角形.设ABC的 中心为O.下列说法中： ①洛尔三角形”上任意一点到O的距离相等； ②将“洛尔三角形”绕点O按逆时针方向旋转120°后与原“洛尔三角形”重合； ③“洛尔三角形”的周长等于以A为圆心，AB长为半径的半圆的周长； ④若P是“洛尔三角形”上一个定点，Q是“洛尔三角形”上一个动点，则P9的最大值是α. 所有正确说法的序号是() B A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①②③④ 6.（2026安徽阜阳一模)如图，在半径为2，圆心角为90°的扇形内，以BC为直径作半圆，交弦AB于点 D,则图中阴影部分的面积是() A D B A.π-1 B.π-2 C.π+1 D.元+2 7.(2026安徽阜阳一模)如图，⊙0的半径为3，在⊙0的内接四边形ABCD中，∠B=52°，∠ACD=32° ,则CD的长为() D 6 B 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4 B. 3π C.2π D.4元 二、填空题 8.(2026安微合肥一模)“莱洛三角形”（图1）是一种特殊的三角形，它是分别以等边三角形的三个顶点为 圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段弧组成的曲边三角形.如图2是小明画出的一个“莱洛三角形”.若 该等边ABC的边长为4，则这个“莱洛三角形的面积是 ·(结果保留根号和刀) 图1 图2 9.(2026安徽宿州一模)如图，ABC内接于00，⊙0的半径为4，若∠C=45°，则劣弧AB的长为 (结果保留) B 10.(2026安徽滁州一模)现将一块含60的直角三角板按如图放置，顶点C落在以AB为直径的半圆上， 斜边恰好经过点B,一条直角边与半圆交于点D,若AB=6,则AD的长为 D 11.(2026安徽六安一模)如图，正五边形ABCDE内接于半径为2的圆，则劣弧AC的长度为 .（结 果保留刀) B 12.(2026安微安庆.一模)如图，四边形ABCD内接于00，己知圆的半径为2，AB=BC,若 2/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠ABC=70°，则劣弧BC的长为 A D 13.(2026安徽合肥一模)如图，以含30°三角板的边AB为直径作O0,若AB=12,则BC的长为 C 14.(2026安徽池州一模)如图，四边形ABCD是⊙0的内接四边形，AD与BC的延长线交于点E,BA与 CD的延长线交于点F,∠DCE=80°，∠F=32°，则∠E的度数为 E D O· 15.(2026安徽芜湖一模)如图，点C在以AB为直径的半圆0上，∠ABC=40°，若AB=12,则AC的弧 长是 O B 16.(2026安徽芜湖一模)如图，AB是00的直径，C是00上一点，AB=6,弧BC的长为n,则AC= 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 17.(2026安徽蚌埠.一模)新考法结合网格考查如图，在由小正方形组成的网格中，每个小正方形的边长 均为1，点A,B,C均为格点（即小正方形的顶点），AC经过点B,D.若LBAD=25°，则BD的长为 18.(2026安徽一模)如图，四边形ABCD是半径为3的O0的内接四边形，CD∥AB,连接AC, 4B=4C,若∠4CB-D,则aD的长为一 D B 三、解答题 19.(2026安徽合肥一模)如图，AB为⊙0的直径，过点A作⊙0的切线AM,点C是半圆AB上一点（不 与点A,B重合)，连接AC,过点C作CD⊥AB于点E,连接BD并延长交AM于点F, E D M (I)求证：LCAB=∠AFB (2)若⊙0的半径为5，AC=8,弦BD,BD组成的弓形阴影部分面积记为S,剩余阴影部分面积记为S2, 求S2-S的值. 20.(2026安徽一模)如图，在Rt△ABC中，LB=90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D,点E在AC上， 以AE为直径的OO经过点D. 2/6 扇学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B D A (I)求证：BC是⊙0的切线； (2)若点F是劣弧AD的中点，且CE=5,求阴影部分的面积. 考点04 圆与多边形 一、填空题 1.(2026安徽阜阳一模)如图，六边形ABCDEF和五边形ABGHS都是正多边形，⊙0是正六边形 ABCDEF的外接圆，连接AH并延长交O0于点T,已知O0的半径为15，则劣弧CT的长为·（结 果保留π) D S 0 G B 2.(2026安徽一模)如图，四边形ABCD内接于O0,过A、C分别作⊙0的切线，交于点E,若 ∠4BC=125°，则∠E的度数为一· D 0 1/6动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题06圆 ☆4大考点概览 考点01圆的基本性质 考点02切线判定与性质 考点03孤长与扇形面积 考点04圆与多边形 考点01 圆的基本性质 单选题 1.(2026安徽宣城一模)如图，AD是半圆O的直径，点B、C在半圆上，且AB=BC=CD,点P在CD 上，若LPBA=95°，则∠PCB的大小为() B A.135 B.125° C.1150 D.105 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定和性质及三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是 关键.连接OB,OC,证明AOB和△BOC都是等边三角形，求得∠BPC=30°，再求得 ∠PBC=60°+60°-95°=25°，最后利用三角形内角和定理求解即可. 【详解】解：连接OB,OC, 点B、C在半圆上，且AB=BC=CD, ∠AOB=∠BOC=∠COD=60°， :AOB和△BOC都是等边三角形， :L0BC=∠0BA=60°， 由条件可知∠BPC= 1 ∠BOC=30°， :∠PBA=95°， ∠PBC=60°+60°-95°=25°， 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠PCB=180°-30°-25°=125°， 故选：B 2.(2026安徽合肥一模)如图，AB是⊙0的直径，弦CD交AB于点E,∠ACD=60°，∠ADC=40°则 ∠AED的度数为() E ⊙ D A.110° B.115° C.120 D.105° 【答案】A 【分析】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，三角形外角的性质，连接BD ,先由直径所对的圆周角是直角得到∠ADB=90°，进而得到∠BDC=50°，再根据同弧所对的圆周角相等 得到LABD=∠ACD=60°，即可利用三角形外角的性质得到∠AED=∠ABD+∠BDC=110°. 【详解】解：如图所示，连接BD, ○ :AB是OO的直径， ∠ADB=90°， .∠ADC=40°， ∠BDC=50°， 又：∠ABD=∠ACD=60°， .∠AED=∠ABD+∠BDC=1I0°， 故选：A. 3.(2026安微合肥一模)如图，O0是ABC外接圆，BC=2AC,若BC=2V35,AC=2V5,弦AB的弦 心距为2，则弦AB的长是() 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.10 B.8√2 C.12 D.15 【答案】B 【分析】过点O作OG⊥BC,交⊙0于点D,连接OA,OC,CD,过点O作OH⊥AB于点H,首先结合垂径 定理证明AC=CD,易得CD=AC=2V5,在Rt△CDG中，由勾股定理解得DG的长度，设OO半径为r, 即OA=OC=0D=r,则0G=r-5,在RtaC0G中，由勾股定理解得r的值，然后在RtaC0G中，由勾股定 理解得AH的长度，根据垂径定理即可获得答案， 【详解】解：如下图，过点O作0G⊥BC,交O0于点D,连接OA,OC,CD,过点O作0H⊥AB于点H, G 0G L BCBC=235,AC=215, BD=CD=1BC,BG-CG=I BC=35. Bc=2ac,即ac=8c, 2 AC=CD, CD=AC=215, 在R△CDG中，由勾股定理可得DG=VCD2-CG2=25-(V35'=5, 设⊙0半径为r,即0A=0C=0D=r,则0G=0D-DG=r-5, 在RtaC0G中，由勾股定理可得OG2+CG2=OC2, 即(r-5)+(35=r2,解得r=6, 0A=0C=0D=6, :弦AB的弦心距为2，即OH=2, :在RtaA0H中，由勾股定理可得AH=V0A2-0H?=V62-22=4√2， 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 OH⊥AB, :AB=2AH=2×4V2=8V2. 4.(2026安微阜阳一模)如图，点A,B,C,D在O0上，连接AB,CD,且AB∥CD,AB=12, CD=6,点F是CD上一点，连接OF并交AB于点E.若OE=EF,则⊙O的半径为() D A.35 B.4V5 C.8 D.62 【答案】A 【分析】过点O作OG⊥AB于点G,并延长OG交CD于点H,证明△0EGn△0FH,推出OG=二OH,运 2 用垂径定理、勾股定理列出方程，即可求解. 【详解】解：如图，过点O作OG⊥AB于点G,并延长0G交CD于点H,连接OA,OC, E O AB∥CD, ∴.a0EGma0FH, OF OH OE OG :OE=EF,即OE=OF, 2 :0G=0H,即20G=0H, :AB∥CD,OG⊥AB, 0H⊥CD, :AB=12,CD=6, AG=6,CH=3, 设⊙0的半径为x,则0A=0C=x, :0A2-AG2=0G2,0C2-CH2=0H2,20G=0H, 2/6 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 0A2-AG2=0G2,0C2-CH2=40G2, .4OA-4AG2=0C2-CH2, .4x2-4×62=x2-32,即3x2-135=0, 解得x=3V5(负值舍去)， 则00的半径为3√5 5.(2026安微合肥一模)如图，在00中，AB=AC,LA=50°，则∠B等于() 0 B A.65 B.75° C.85° D.130° 【答案】A 【分析】由AB=AC，得LB=∠C,进而利用等边对等角及三角形的内角和定理即可得解 【详解】解：：AB=AC, ∠B=∠C, ☑B=∠C=180-∠A=80-509)=65 6.(2026安徽宿州一模)如图，已知⊙0的半径为10，弦AB=16,点C是AB上一点，且AC=4,则 0C的长为() A.8 B.2W13 C.215 D.45 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理求线段长度，熟练掌握垂径定理是解题关键.过点O作OD⊥AB于 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 点D,连接OA.根据垂径定理可知AD=二AB,从而在Rt△OAD中，运用勾股定理求出线段OD的长，再 在Rt△OCD中，运用勾股定理求出线段OC的长. 【详解】解：如图，过点O作OD⊥AB于点D,连接OA. B AB=16, 1 六D=21B=8. :AC=4, .CD=AD-AC=8-4=4. 在Rt△OAD中，OA=10, 0D=V0A2-AD2=V102-82=6. 在Rt△0CD中，OC=√OD2+CD2=V6+4=213. 故选：B. 7.(2026安徽阜阳一模)如图，以AB为直径的⊙0上有一点D,∠ADB的平分线交⊙0于另一点C,连 接0C,若LABD=40°，则∠0CD的度数为() D A.5° B.10° C.15° D.20° 【答案】A 【分析】先根据直径所对圆周角为90°，结合角平分线的定义得到∠ADC=45°，再根据已知利用直角三角 形的性质求出∠BAD=50°，进而求出∠AED=85°，得到∠CE0=85°，由圆周角定理得到∠COA=90°，最 后利用三角形内角和定理即可求解， 【详解】解：如图，设AB,DC交点为E, 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D A B C :AB是⊙O的直径， ∠ADB=90°， :DC平分∠ADB, ∠ADC=45°， :∠ABD=40°， ∠BAD=50°， ∠AED=180°-∠BAD-∠ADC=85°， .∠CE0=85°， ∠C0A=2∠ADC=90°， ∴.∠0CD=180°-∠C0A-∠CE0=5°. 二、填空题 8.(2026安徽六安一模)如图，已知⊙0是ABC的外接圆，AD是⊙0的直径，若∠C=75°，则∠BAD 的度数是 0 A 【答案】15 【分析】连接BD,由直径所对的圆周角是直角和同弧所对的圆周角相等可得∠ABD,∠ADB的度数，据此可 求出∠BAD的度数. 【详解】解：如图所示，连接BD, 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B :AD是⊙0的直径， ∠ABD=90°， :AB=AB, ∠ADB=∠C=75°， ∠BAD=90°-∠ADB=15°. 9.(2026安微淮南一模)如图，ABC内接于00，CD1AB于点D,连接0C,若∠A=45°，∠B=60°， 则∠OCD的大小为 【答案】15°/15度 【分析】延长CO交O0于点E,连接AE,由直径所对圆周角为直角得到∠CAE=90°，由同弧或等弧所对 圆周角相等得到∠E=∠B=60°，根据直角三角形两锐角互余得到∠ACE=∠BCD=30°，由角的和差列式计 算即可。 【详解】解：如图，延长CO交⊙O于点E,连接AE, B D E :CE是直径，AC=AC, ∠CAE=90°，∠E=∠B=60°， ∠ACE=90°-60°=30°， 2/6 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :∠A=45,∠B=60°， ∠ACB=180°-45°-60°=75°， CD⊥AB,∠B=60°， .∠BCD=90°-60°=30°， ∠0CD=75°-30°-30°=15°. 10.(2026安徽合肥一模)如图，C,D是00上直径AB两侧的点，若LABC=26°，则LD=° B 【答案】64 【分析】连接AD,由题意得LADB=90°，LADC=LABC=26°，根据LBDC=LADB-∠ADC计算即可 【详解】解：连接AD, B D :AB是⊙0的直径，∠ABC=26°， ∠ADB=90°，∠ADC=∠ABC=26°， .∠BDC=∠ADB-∠ADC=64°. 11.(2026安微合肥一模)如图，△ABC内接于⊙0，B=2BC,若AB=6,BC=3,则⊙0的半径是 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 O● B 【答案】13 【分析】过点O作OE⊥AB交⊙O于点E,交AB于点F,连接OA,AE,由垂径定理可得AF的长， B=2E,结合已知可得E=BC,从而可得AE的长，在RI&AEF中，由勾股定理可得EF的长，设⊙O 的半径为x,在R1△AOF中，由勾股定理列方程求解即可得解 【详解】解：如图，过点O作OE⊥AB交⊙O于点E,交AB于点F,连接OA,AE, 公 E .E=4B,AF 2 2B=3, .AB=2AE' AB=2BC, 、AE=BC, .AE BC=3, :在R1aAEF中，EF=VAE2-AF2=V丽-32=2， 设⊙O的半径为x,则0A=OE=x, :OF=0E-EF=x-2, 在R1aA0F中，OF2+AF2=OA2, (x-22+32=x2, 解符x早 2/6 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 即⊙0的半径为4 12.(2026安徽准南一模)如图，在O0中，半径r=6,弦AB平行于直径CD,且AB到直径CD的距离 为3√5.点E是⊙0上不与A、B重合的一点，则∠AEB的度数为 A B 【答案】30°或150 【分析】过点0作0F1AB于点R,连接0A,0B,利用cos∠AOF=OE_35-日 0A62 确定LBOF=∠A0F=30°，确定弧所对的圆心角，利用圆周角定理解答即可. 本题考查了平行线间的距离，圆周角定理，圆的性质，余弦函数，熟练掌握定理和三角函数是解题的关键 【详解】解：过点O作OF⊥AB于点F,连接OA,OB, :半径r=6,弦AB平行于直径CD,且AB到直径CD的距离为3√3. A B E ..0A =OB =6,OF=33,ZAOF=ZBOF, cos∠40F=0F=35_V5 0A=6=2 ∠A0F=30°， ∠B0F=∠A0F=30°， ∠A0B=∠B0F+∠A0F=60°， 当点E在优孤B上时，乙AB=号40B=30, 1 当点E在劣弧aB上时，∠4EB=2×(360-60)=150°， 故答案为：30°或150°， 13.(2026安微合肥一模)如图，点A,B,C在O0上，若LBAC=3L0CB,则∠BAC的度数为 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】67.5° 【分析】根据圆周角定理得到LBOC=2LBAC,再根据等边对等角和三角形的内角和定理求解即可. 【详解】解：：BC=BC,∠BAC=3LOCB, ∠B0C=2LBAC=6L0CB 0B=0C, ∠0BC=LOCB, :∠0BC+∠0CB+∠B0C=180°， ∴∠0CB+∠OCB+6∠0BC=8∠0BC=180°， 解得∠0BC=22.5°， .∠BAC=3×22.5=67.5°. 14.(2026安徽安庆一模)如图，AB是⊙0的直径，点C,D在AB的异侧，连接BC,0D,0C,若 ∠BOC=80°，且BC∥OD,则∠BOD的度数为 B D 【答案】50°/50度 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理得∠OBC的度数，再根据平行线的性质即可得出 ∠BOD. 【详解】解：：OB=OC, .ZOBC ZOCB, .∠OBC+∠0CB+∠B0C=180°，∠BOC=80°， :∠0BC=180°-80 =50°， 2 :BC∥OD, 2/6 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠B0D=∠0BC=50°. 15.(2026安微合肥.一模)如图，AB是⊙O的直径，点C,D在圆上，∠ACD=55°，则∠BAD的度数为 C D 【答案】359 【分析】连接BD,然后由同弧所对的圆周角相等可得∠ABD=∠ACD=55以及直径所对的圆周角为90°可得 ∠ADB=90°，最后根据三角形内角和即可解答. 【详解】解：如图：连接BD, :∠ACD=55, ∴.∠ABD=∠ACD=55°， :AB是⊙O的直径， .∠ADB=90°， :∠BAD+∠ABD+∠ADB=18O°， ∠BAD=180°∠ABD-∠ADB=180°55°.9035°. 故答案为：35. B D 【点晴】本题主要考查了圆周角的定理，掌握同弧所对的圆周角相等、直径所对的圆周角为90°成为解答本 题的关键 16.(2026安徽毫州一模)如图，点A,B,C都在⊙0上，若∠BAC=32°，则∠0BC的度数是 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 C 【答案】58°/58度 【分析】由圆周角定理得到∠BOC的度数，再由等边对等角和三角形内角和定理可得∠OBC的度数， 【详解】解：：点A,B,C都在⊙0上，且∠BAC=32°， ∠B0C=2LBAC=64°， 0B=0C, :∠0BC=180°-∠B0C-58. 17.(2026安徽芜湖一模)如图，ABC为00的内接三角形，BD为⊙0的直径，连接0C,若∠A=40°， 连接CD,则∠OCD的度数为°. B 【答案】40 【分析】根据同圆中，同弧所对的圆周角相等，可得∠BDC=∠A=40°，即可求解. 【详解】解：：LA=40°，BC=BC, ∠BDC=∠A=40°， .OD=OC, ∠0CD=∠BDC=40°. 18.(2026安徽蚌埠一模)如图，在直角三角形0BC中，以O为圆心，OB为半径画圆，交OC于D点， 在圆上任取一点A,连接AB,AD,若LOCB=30°，则∠BAD的度数为， A B 2/6 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】30°/30度 【分析】先根据直角三角形的性质求出∠BOC=60°，再根据圆周角定理即可求解. 【详解】解：直角三角形OBC中，∠OCB=30°， 则∠B0C=60°， BD=BD' ∴∠BAD= ∠BOC=30° 2 19.(2026安微阜阳一模)如图，A,B,C是⊙0上不同的三个点.若∠0BA=72°，则∠C的度数为 【答案】18°/18度 【分析】先由三角形内角和定理求出∠AOB,再根据圆周角定理求∠C的度数即可. 【详解】解：：∠0BA=72°，0A=0B, .∠0BA=L0AB=72°， .LA0B=180°-∠0AB-∠0BA=36°， ÷∠C=2∠A0B=18° 20.(2026安徽铜陵一模)如图，PA是⊙0的切线，A为切点，直线PO交⊙0于C,D两点，点B为弧 AC上一点，连接AB,BC,若∠ABC=115°，则∠P=度. A B 【答案】40 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，切线的性质， 先根据圆内接四边形的性质求出LADC=65°，进而求出∠A0D=50°，再根据切线的性质得∠PA0=90°， 然后根据直角三角形的两个锐角互余得出答案， 【详解】解：如图，连接AO,AD, 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B :∠ABC=115°， .∠ADC=180°-∠ABC=65°. :A0=D0, ∠DA0=∠AD0=65°， ∠A0D=180°-65°-65°=50°. :PA是⊙0的切线， ∠PA0=90°， .∠P=90°-50°=40°. 故答案为：40. 三、解答题 21.(2023湖南中考真题)如图，AB是O0的直径，AC是一条弦，D是AC的中点，DE⊥AB于点E, 交AC于点F,交OO于点H,DB交AC于点G. B H (I)求证：AF=DF. 5 ②诺Af=3sin∠A8D= 5 求⊙0的半径 5 【答案】()见解析 (2)5 2/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【分析】(I)根据D是AC的中点，DE⊥AB于点E,得到CD=DA=AH,得到LADH=LDAC即可得证. (2)根据sin∠A8D-5_4D, 设AD=V5x,AB=5x,运用勾股定理，得到BD=5x2-（5x=25x ,结合sin∠HBD=5-DE,得到DE=2x,运用勾股定理，得到BE= 25x-(2x2=4x,从而得到 5 BD AE3EFED-DF-DE-AF2) 在RtAEF中，利用勾股定理计算x即可. 【详解】(1)：D是Ac的中点， CD=DA, :DE⊥AB,AB是OO的直径， ·DA=AH, :CD=DA=AH, ∠ADH=∠DAC, :AF DF. (2):DE⊥AB,AB是O0的直径， .∠ADB=90°， :sin∠ABD= 5 AD 5 AB 设AD=V5x,AB=5x, BD=5x刘-(V5=25x, Fsin∠ABD=5DE 5 BD :DE =2x, BE=25x-2x=4x, AE-x.6F-ED-DF-DE-AF-2-) 在RtAEF中，AF2=AE2+EF2, =r+ 解得x=2或x=0(舍去)， AB=5x=10, 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :00的半径为5. 【点晴】本题考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，正弦函数，熟练掌握垂径定理，勾股定理，圆周 角定理，正弦函数是解题的关键 22.(2026安徽合肥一模)如图，四边形ABCD内接于OO,点E在CD的延长线上，AD垂直平分BE, 连接AC, (1)求证：AB=AC. (2)连接AE,若AE∥BC,AB=3,BC=2,求CE的长. 【答案】(1)见解析 (225 【分析】本题考查圆周角定理，线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造 特殊四边形解决问题，属于中考常考题型 (1)欲证明AB=AC,只要证明∠ABC=∠ACB即可. (2)连接AE,作AF⊥BC点F,CH⊥AE点H,求出EH,CH,利用勾股定理求出EC即可. 【详解】(1)证明：连接BD. :四边形ABCD内接于⊙O, .∠ABC+∠ADC=180°， .:∠ADE+∠ADC=180°， ∠ADE=∠ABC, :AD垂直平分BE, 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :BD DE, .∠ADB=∠ADE, :∠ADB=∠ACB, .∠ABC=∠ACB, .AB=AC. (2)解：连接AE,作AF⊥BC点F,CH⊥AE点H, A H E B ∠AFC=∠AHC=90°， :AE∥BC, ∠FAE=90°， :四边形AFCH为矩形， .AH=CF,CH=AF, :AB=AC=3,AF⊥BC, cF-c. :BC=2, .AH CF=1, :CH=AF=AC2-CF2=32-12=22, :AD垂直平分BE, .AE AB=3, .HE=AE-AH =3-1=2, CE=V2+2=25. 23.(2026安徽准南一模)如图，ABC内接于⊙0，AB=AC,BO的延长线交00于点D,交AC于点 F,AE⊥BD于点E. 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A (I)求证：BC=2AE: (2)若4E=4,BD=10,求 OF 的值. 【答案】()见解析 ②4F.45 0F=5 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、勾股 定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键。 (1)延长A0交BC于点M,证明△ABE≌△BAM(AAS得出AE=BM,即可得证； (2)先求出AB=4√5，再证明△OAF∽△ABF,由相似三角形的性质计算即可得出结果. 【详解】(1)证明：如图，延长A0交BC于点M, A D E .AB=AC, M AM垂直平分BC, ∠AMB=∠AEB=90°，BC=2BM=2CM, :0A=0B, ·∠MAB=∠ABE. 又AB=AB, △ABE≌△BAM(AAS, AE=BM,即BC=2AE. (2)解：AE=4,BD=10, 0B=5,BM=4, 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 0M=√0B2-BM2=3, AM=5+3=8. 在RtAABM中，AB=V42+82=4√5. 由(1)知AM垂直平分BC, :ZBAM =ZMAC. 又：∠0AB=∠OBA, ∠0BA=∠0AF. 又：∠OFA=∠BFA, .△OAF∽△ABF, AF AB 45 24.(2026安微宣城一模)如图1，AB是半圆0的直径，AB=4,C,，D为半圆上的两点，且BD=CD.连 结AC并延长，与BD的延长线相交于点E, 图1 图2 (I)求证：CD=DE; (2)如图2，过点D作DF⊥AC,垂足为点F,AD与OC,BC分别交于点M,H ①若BD=1,求△DEF的面积； ②若C是半圆上一动点（不与A,B重合），当△CMH是等腰三角形时，求EF的值， 【答案】(1)见解析 20 ；②2-2或3-5 32 2 【分析】(1)由AB是直径得到∠ADB=90°，由等弧所对的圆周角相等可得∠DAE=∠BAD,从而得到 ∠B=∠E,又由∠B=∠ECD得到∠DCE=∠CED,从而即可得证： (2)①通过证明△EFD∽△EDA,得到 EF_ED ,从而求出EF的长，再通过勾股定理求出DF的值，最 ED AE 后通过面积公式即可求得答案；②分三种情况：当CM=CH时，当CM=MH时，当HC=HM时，分别进 行讨论即可得到答案。 【详解】(1)证明：如图1，连结AD, 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D :AB是直径， 0 B 图1 LADB=90°. BD CD, ∠DAE=∠BAD, ∠B=∠E, 又：LB=LECD, .∠DCE=∠CED, :CD=ED (2)解：①如图，由(1)知AD⊥EB,DE=BD=1,AE=AB=4, D M 又：DF⊥AE, LEDF+LDEF=90°， :∠DEF+∠EAD=90°， ∴∠EDF=∠EAD, :∠DFE=∠ADE=90°， .△EFD∽△EDA, EF ED ED AE EF 1 14' .EF= 4 DF =DE-EF= 日 216 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 S.mu-EF.DFx 24432 ②I.如图3，当CM=CH时，则∠CMH=∠CHM, .CAD=∠BAD, 0 图3 :∠CAD+LCHM=∠BAD+∠CMH=∠BAD+∠CM0=90°， ∠A0M=90°， AC=BC=√20B=2V2, :DF⊥AC,CD=DE, :EF FC, 由①知AE=AB=4, :EF=FC=4E=Ec-4-25-2-2, 2 2 IⅡ.当CM=MH时，不合题意； L.如图4，当HC=HM时， 图4 设∠HCM=∠HMC=x, :.∠CHM=∠HAB+∠HBA=∠CBD+∠HBA=∠ABD=18-2x, 又0C=0B, .L0CB=∠0BC=x, ∠EAD=∠DAB=∠CBE=180-3x, :∠ADB=90°， 180-3x+180-2x=90°， .x=54°， ∠BAE=90°-∠0BC=90°-54°=36°， 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 过B作∠ABE的平分线BN交AE于点N, ∠ABN=∠NBE=36°， ∠E=∠E, ∴△NBE∽△BAE, BE EN AE BE BE 4-BE 4 BE· BE=2V5-2, DE=BE=5-1, :DF⊥AE, ∠EDF=∠EAD, :∠DFE=∠ADE=90°， ∴.△DEF∽△AED, EF ED ED AE' EF 5-1 5-14 3-V5 ..EF= 2 综上所述，EF为2-2或3-5 2 【点晴】本题主要考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的 性质，勾股定理等知识，熟练掌握圆周角定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，角 平分线的性质，添加适当的辅助线，是解题的关键 25.(2026安徽合肥一模)如图，在O0中，AB、AC为弦，CD为直径，AB⊥CD于点E,BF⊥AC于 点F,BF与CD相交于点G. G 0, 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (I)求证：ED=EG; (2)若AB=2√5,0G=1,求00的半径. 【答案】(1)见解析 吲 【分析】(1)连接BD,根据垂径定理得到BD=AD,则LACD=LABD,再根据垂直得到LFGC=∠D, 结合对顶角相等得到LDGB=∠D,则BD=BG,最后根据等腰三角形三线合一的性质得到ED=EG; (2)连接OA,设O0的半径为r,即0A=OD=r,由0G=1,ED=EG,得到 2二DE=r二+=”二，再根据垂径定理得到AE=5AB=V5,最后在Rt△AOB OE2+AE2=OA列方程求解即可. 【详解】(1)证明：连接BD, F G D :CD为直径，AB⊥CD, BD=AD, LACD=∠ABD, .BF⊥AC,AB⊥CD, ∴.∠ACD+∠FGC=90°，∠ABD+∠D=90°， .∠FGC=∠D, .∠FGC=∠DGB, ∠DGB=∠D, .BD BG, :AB⊥CD, .ED EG; (2)解：连接OA, 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 C F G B D 设⊙0的半径为r,即0A=OD=r, .0G=1,ED=EG, DE=EG=OG+OD_r+1 2 2 OE=OD-DE=r_r+1_r-1 221 :CD为直径，AB⊥CD,AB=2V5, 4E-0-5, :Rt△A0E中OE2+AE2=OA2, 5=, 解得r或r-3(舍去 :00的半径为 > 26.(2026安微蚌埠.一模)如图，四边形ABCD内接于O0,BC为⊙0的直径，BA、CD的延长线交于点E ,连接BD (I)若点A为BE的中点，∠C=50°，求∠BDA的度数： (2)若点A是BD的中点，BC=10,BA=4,求CD的长 【答案】(1)25° (2)6.8 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【分析】(1)利用圆周角定理得到∠BDC=90°，由点A为BE的中点，得到AD=二BE=AB,推出 、2 ∠ADB=∠BDA,再根据圆的内接四边形的性质求出∠EAD=∠C=50°，利用三角形外角的性质即可求解； (2)连接OA交BD于点F,易证AB=AD=4,OA⊥BD,推出OA∥CE,证明△ABO∽△EBC,得到 AB OA OB gCg。C求出E,CE,进而求出B,再证明△AD”△CEB,得到A ，,求出DE,即可 CE BE 解答。 【详解】(1)解：由题意得BC是⊙0的直径， ∴∠BDC=90°， ∠BDE=90°， :点A为BE的中点， D三BE=AB ∠ABD=∠BDA, :四边形ABCD内接于OO, ∠BAD+∠C=180°， .∠BAD+∠EAD=180°， .∠EAD=∠C=50°， ∠EAD=∠ABD+∠BDA, .∠ABD=∠BDA= ∠EAD=25°， 2 (2)解：如图，连接OA交BD于点F, :点A是BD的中点，BC=10,BA=4, .AB=AD=4,OA L BD,OB=OC=0A=5, .∠BF0=90°， :∠BDC=90°， .∠BF0=∠BDC=90°， .OA∥CE, 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 △ABOn△EBC, AB OA OB BE CE BC' 即4=5.5 BE CE10 BE=8,CE=10, AE=4, :∠E=∠E,由(1)知∠EAD=∠C ∴△AED∽△CEB, 能E,即4E CE BE 108 DE=3.2, CD=CE-DE=10-3.2=6.8. 27.(2026安徽滁州一模)如图，点C为圆O内一点，CA=CB,BC延长线交圆O于点D,连接AD, AC. D (I)求证：∠ACB=2∠BAD; (2)若AC=V5,AB=4,求BD的值. 【答案】(1)见解析 2②)BD=85 5 【分析】(1)连接0C,结合圆的性质得到∠BC0=∠AC0和OC⊥AB,则∠OCB+∠B=90°，根据直径所 对的圆周角得到∠B+∠BAD=90°，即有∠BCO=∠BAD,即可证明∠ACB=2∠BAD; (2)根据勾股定理求得0C=1,0A=2,进一步证明a0AC∽△DBA,有 OA BD AC AB ,代入求解即可。 【详解】(1)证明：如图，连接0C, D 2/6 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 CA=CB,OA=OB, ∠BC0=∠AC0,OC⊥AB, ∠0CB+∠B=90°， :AB为直径， ∴.∠D=90°，∠B+∠BAD=90°， .∠BCO=∠BAD, ∠ACB=2LBC0=2∠BAD: (2)解：：AC=√5，AB=4, .0A=2,0C= 5-2=1, CA=CB, ·∠CBA=LCA0, :∠A0C=∠ADB=90°， .△OAC∽△DBA, OA BD AC AB 2 BD 即54， 解得BD=8V5 5 28.(2026安徽六安.一模)如图，在O0中，直径AB与弦CD相交于点E,EF⊥BD于点F,连接0D与 EF相交于点G. D (1)求证：0G=0E; (2)若CD=BD,求证：DE2=0G·BE· 【答案】()见解析 (2)见解析 【分析】(1)利用等边对等角得出∠ODB=∠OBD,再利用直角三角形两锐角互余得出LDGF=∠BEF,可 得∠EG0=∠BEF,再利用等角对等边即可得证： 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)连接OC,利用CD=BD,证明∠D0C=∠DOB,再利用OC=OD=OB,证明∠ODC=∠OBD,即 可证明△DE0∽△BED,得出 DE OE BE DE ,结合0G=OE,即可得证. 【详解】(1)证明：OD=OB, ∠ODB=∠0BD, EF⊥BD, ∠EFD=∠EFB=90°， 在Rt△DFG中，∠DGF=90°-∠ODB, 在Rt△EFB中，∠BEF=90°-∠OBD, .ZDGF LBEF, :∠DGF=LEG0, .∠EGO=∠BEF, 0G=0E: (2)证明：连接0C, C E B G CD=BD, ∠DOC=∠DOB, :0C=0D=0B, ÷∠0CD=∠0DC-180°-D0C,∠0BD=∠0DB=180°-D0B 2 ∠ODC=LOBD, :∠DEO=∠BED, .△DEO∽△BED, DE OE BE DE 即DE2=BE·OE, 0G=0E, 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 DE2=0GBE· 29.(2026安徽阜阳一模)如图ABC内接于O0,AB=AC,点D在BC上，点E在弦AD上， LBED=∠BAC,连接BD,CD D (1)求证： AE CD BE BD (2)连接CE, 若∠BED=2∠DEC,求4E的值. BE 【答案】(1)见解析 ②E、1 BE=2 【分析】(1)证明LBEA=∠BDC,结合LBAE=∠BCD可证明ABE∽CBD,进而得出结论； ②作F1BD交BD于点人证明铝S,可得EB=5D,再证明DCEDFE得DC:DF, 【详解】(1)证明：：∠BAC+∠BDC=180°，∠BED+∠BEA=180°，∠BED=∠BAC, LBEA=∠BDC, ∠BAE=∠BCD, .ABE CBD, AE CD BEBD (2)解：如图，作EF⊥BD交BD于点F, :∠BED=∠BAC,∠BDE=LBCA △ABC∽△EBD, AB AC ·EBED 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AB=AC, .EB ED, ∴∠BEF=∠DEF,BD=2DF. :∠BED=2∠DEC, ∴.∠DEC=∠DEF, .AB=AC, ·LCDE=∠EDF, DE=DE, :.△DCE≌ADFE ASA), :DC=DF, CD 1 BD2 AE 1 BE-2 30.(2026安徽芜湖一模)如图，ABC为圆O的内接三角形，AD为圆O直径，D为弧BF中点，AD交 BF于点G,BF与AC延长线交于点E,且AB=BE. D (I)求证：LABC=∠E; (2)若BG=5,EF=3,求CE的值. 【答案】(1)见解析 23 4 【分析】(1)连接CD,根据垂径定理和直径所对圆周角是直角可推出∠E+∠EAD=90°， ∠ADC+∠DAC=90°，然后结合圆周角定理可知∠ABC=∠ADC,从而证得结论； (2)由垂径定理可得BG=GF=5,从而求得BE、GE,然后根据勾股定理求得AG、AE,接着利用两组 角对应相等可证△ABC∽△AEB,进而根据相似三角形对应边成比例可求得AC,从而求得答案. 【详解】(1)证明：如图，连接CD, 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D为弧BF中点，AD为直径， B G D .AD⊥BF,∠ACD=90°， ∠E+∠EAD=90°，∠ADC+∠DAC=90°， 又：∠ABC=∠ADC, ∠ABC+∠DAC=90°， .∠E=∠ABC. (2)解：AD为直径，AD⊥BF,BG=5,EF=3, :BG=GF=5, :BE=BG+GF+EF=13,GE=GF+EF=5+3=8, :AB BE =13, AG=√AB2-BG2=V132-52=12, AE=VAG2+GE2=V122+82=43, 由(1)知，∠E=∠ABC, 又：∠BAC=LEAB, △ABC∽△AEB, ..ABAC 13 AC AEAB'即 313’ 解得4C=13V3 4 CE=43-133_33 4 4 31.(2026安徽安庆一模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以点C为圆心，AC的长为半径的圆与 AB交于点D,与BC交于点E,连接DE,AD=DE. D E (I)求∠BDE的度数. 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)若AC=4,BD=3√5，求BE的长. 【答案】(I)∠BDE=45 (2)BE的长为5. 【分析】(1)如图，连接CD,根据题意得到AD=DE,LECD=∠ACD=45°，根据等腰三角形的定义得到 ∠ADC=∠EDC=67.5°，则∠BDE=180°-∠ADC-∠EDC=45°，即可求解； 2)根据题意可证ABDE∽△BCD，得到B)-BC,即35 35 BE+4 由此解方程即可求解。 【详解】(1)解：如图，连接CD, B AD=DE, :AD DE, 又：∠ACB=90°， ∠ECD=∠ACD=45°， CA=CD=CE, ∠M0C=∠EDc=*180r-459=675, :∠BDE=180°-∠ADC-∠EDC=45°. (2)解：∠BDE=∠BCD=45°，∠B=∠B, ∴△BDE∽aBCD, BEBD BD BC BE 35 3W5BE+4' 整理得BE2+4BE-45=0, 解得BE=5或BE=-9(舍去)， .BE的长为5. 32.(2026安徽滁州一模)如图，四边形ABCD的边AB为半圆O的直径，C,D两点均在半圆O上，连 接AC,BD,己知BC=CD,BE平分∠ABD交AC于点E. 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D E A δ B (I)求证：CD=CE; (2)若AB=10,BD=8,求BE的长 【答案】()证明见解析 (2)210 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的性质，角平分线的定义，三角形外角定理，勾 股定理等知识点. (1)根据等腰三角形的性质得到∠CBD=∠CDB,根据角平分线的定义得到∠ABE=∠DBE,根据圆周角定 理得到∠BAC=∠CDB,以及根据三角形外角定理，得证∠CBE=∠BEC,得证BC=CE,继而证明 CD=CE. (2)连接OC交BD于点F，,根据垂径定理得到OC垂直平分BD,进而得到BF和OB的长度，进而根据勾 股定理得到OF以及CF的长度，再根据勾股定理得到BC的长度，进而得到BE的长度. 【详解】(1)证明：：BC=CD, :ZCBD ZCDB, BE平分∠ABD, ∠ABE=∠DBE, :∠BAC=∠CDB, :∠BAC=LCBD, :∠BEC=∠BAC+∠ABE,∠CBE=∠CBD+∠DBE, .∠CBE=∠BEC, .BC=CE, :BC CD, :CD=CE (2)解：如图，连接OC交BD于点F, 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D BC=CD, A 0 B OC垂直平分BD, :BD=8, 5BF-D-4 AB=10, :0C=0B=AB=5, 2 :在Rt△OBF中，OF=VOB2-BF2=3, .CF=0C-0F=2, :在Rt△CBF中，BC=VCF2+BF2=2V5, BC=CE=2√5， :∠ACB=90°， :在Rt△CBE中，BE=VBC2+CE2=210 33.(2026安徽合肥一模)如图，AB是O0的直径，C是⊙0上一点，CD⊥AB于点D,连接BC, ∠BCD的平分线交AB于点E,交OO于另一点F. A ED O (I)连接FB,求证：FB=FE; (2)若AB=12,DE=DO,求BE的长. 【答案】()见解析 (2)9-3W5 【分析】(1)连接AC,根据圆周角定理可知∠CAB+∠CBA=90°，进而得到∠CBA=∠DCA,根据角平分 线的定义得到LBCE=∠DCE,进而求出∠CBA+∠BCE=∠DCA+∠DCE,即∠CEA=∠ACE,根据圆周角 定理得到LACE=LABF,根据对顶角相等得到LCEA=∠BEF,可知∠BEF=∠ABF,根据等角对等边即 2/6 00学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 可证明 FB=FE (2)设 DE=DO=x， ，则 AE=6+2x，AD=6+x， ，根据等角对等边得到 AE=AC=6+2x， ，证明 BCA∼CDA， ，得到 $$\frac { A B } { A C } = \frac { A C } { A D }$$ 进而得到 $$x ^ { 2 } + 3 x - 9 = 0 ，$$ ，解一元二次方程即可. 【详解】(1)证明：如图，连接 AC， C B A ED F AB是 ⊙O 的直径， $$\therefore \angle A C B = 9 0 ^ { \circ }$$ $$\therefore \angle C A B + \angle C B A = 9 0 ^ { \circ } ，$$ CD⊥AB， $$\therefore \angle C A B + \angle D C A = 9 0 ^ { \circ }$$ ∴∠CBA=∠DCA， ：CF平分 ∠BCD， ∴ ∠BCE=∠DCE， ∴∠CBA+∠BCE=∠DCA+∠DCE ∵ ∠CBA+∠BCE=∠CEA，∠DCA+∠DCE=∠ACE ^{∘} ∴∠CEA=∠ACE， ∵ $$\overrightarrow { A } F = \overrightarrow { A } F$$ ∴ ∠ACE=∠ABF ∵∠CEA=∠BEF， ∴∠BEF=∠ABF， ∴ FB=FE； (2)解：设 DE=DO=x， ∵ AB=12， .A0=B0=6， ∴ AE=AO+DE+DO=6+2x，AD=AO+DO=6+x， ∵∠CEA=∠ACE 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .AE=AC=6+2x, :∠CBA=∠DCA,∠BCA=∠CDA=90°， BCA∽CDA, AB AC AC AD 即，12-6+2x 6+2x6+x :(6+2x)2=12(6+x 解得：x=-3+3 55=3-5 (舍去) 2 2 :AE=6+2x=6+2x-3+35-3+35, :BE=AB-AE=12-3+35=9-35. 34.(2026安徽合肥一模)如图，ABC为O0的内接三角形，BD为ABC的高，垂足为D,且AB=AC D (I)求证：LBAC=2LDBC; (2)若AB=10,BD=6,求⊙0的半径. 【答案】(1)见解析； 2i0 3 【分析】(1)先根据等边对等角和三角形的内角和定理得出LBAC+2LACB=180°，再根据直角三角形的性 质得到LDBC+∠ACB=90°，最后等量代换即可求证： (2)先连接OA、OB、OC,过点0作OM⊥AB,垂足为M,再运用勾股定理分别求出AD、BC,根据弧 相等圆心角相等推出∠A0B=∠A0C,推出∠OAM=)∠BAC,然后结合根据(1)中∠BAC=2∠DBC推出 ∠OAM=∠DBC,即cos∠OAM=cos∠DBC,代入线段长度即可求解. 【详解】(1)证明：：AB=AC, .∠ABC=∠ACB,即∠BAC+2∠ACB=180° 2/6 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 BD⊥AC, ∠BDC=90°，即∠DBC+∠ACB=90°， 2∠DBC+2∠ACB=180°， .∠BAC=2LDBC. (2)解：如图，连接0A、OB、OC,过点O作OM⊥AB,垂足为M. ME 在Rt△ABD中，AB=10,BD=6, 根据勾股定理，AD=√AB2-BD2=V02-62=8, .DC=2. 在RtaBDC中，根据勾股定理，BC=VDC2+BD2=V22+62=2V10, :OM⊥AB,0A=0B, :AM=24B=5,∠0AM=∠0BM. .AB=AC, :AB=AC, LA0B=∠A0C, :0A=0C ∠0AC=∠OCA, :2∠0AM+∠A0B=180°，2∠0AC+∠A0C=180°， :∠0AM=∠OAC=∠BAC, 2 :由(1)得∠BAC=2∠DBC, .∠OAM=∠DBC, cos /OAM=cos∠DBC, .AM BD OABc,即 6 A2V10,解得0A=50 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 00的半径为510 3 35.(2026安徽合肥一模)如图，已知AB为⊙0直径，CD是弦，且AB1CD,连接AC、BC. B (I)求证：∠CAB=∠BCD; (2)若BE=3,CD=8,求O0的半径. 【答案】(1)见解析 g 【分析】本题考查了垂径定理、圆周角定理以及勾股定理的应用，熟记相关定理内容是解题关键， (1)由垂径定理可知CB=DB,据此即可求证 (2)设⊙0的半径为r,则0C=0B=r,可得0E=r-3;根据OE2+CE2=OC2即可求解： 【详解】(1)证明：：AB为OO直径，CD是弦，且AB⊥CD, CB=DB, ∠CAB=∠BCD (2)解：设⊙0的半径为r,则0C=0B=r, BE=3, 0E=r-3 :AB为OO直径，CD是弦，且AB⊥CD, :.CE=1CD=4 2 OE2+CE2=0C2, .(r-32+42=r2, 解得：r=6 25 36.(2026安微合肥一模)如图，⊙0是ABC的外接圆，∠BAC=45°，过点O作AB的垂线交AC于点D ,垂足为E,连接OB. 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D E B (1)求证：BC=√20B; (2)若AB=8,O0的半径为5，求CD的长. 【答案】(1)见解析 (2)3V2 【分析】本题主要考查圆周角定理、垂径定理、解直角三角形等： (1)连接0C,容易证得∠B0C=90°，∠0CB=45°，结合锐角三角函数，即可证明结论； (2)过点O作AC的垂线，交AC于点N,容易求得AE=DE=4,依次可求得OD=1, 0s∠ADE2，结合AW三CN,进一步计算即可亟 【详解】(1)证明：如图所示，连接0C, D ○ E B 因为∠BAC=45°， 所以∠B0C=90°. 因为0C=0B, 所以L0CB=45°. 因为sin∠OCB=O BC 所以BC=snL0CB OB V20B (2)解：如图所示，过点O作AC的垂线，交AC于点N. 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D E 因为OE⊥AB, 所以LAED=90,AE=BE)AB4 因为LBAC=45°， 所以LADE=180°-∠BAC-∠AED=45°. 所以LADE=LBAC, 所以AE=DE=4. 所以AD=√AE2+DE2=4√2,0E=V0B2-BE2=3· 因为DE=4,OE=3, 所以0D=1. 因为ON⊥AC, 所以∠OND=90°，AN=CN. 因为LADE=45°， 所以DN=OD.cos∠ADE= 2 所以AN=AD-DN=72 2 所以Cw= 2 所以CD=CN-DN=3√2. 37.(2026安徽蚌埠.一模)如图，ABC内接于00,2L0BC=90°+L0AB. 7 B (I)求证：∠ACB=2LBAC; (2)若CE⊥OB交OB于E点，求证：AB=2CE. 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】(1)根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得LB0C=90°-∠OAB, LA0B=180°-2L0AB,因此LA0B=2LB0C,结合圆周角定理可得∠ACB=2LBAC: (2)作0D上4B于点D,由等腰三角形的性质可∠80D-40B,BD-4B,结合1)中的结论可 知∠B0D=LBOC,进而可证明A0CE≌△0 BD(AAS),则CE=BD=)AB 【详解】(1)证明：：0B=0C, ·∠0BC=∠0CB, ∠B0C=180°-∠0BC-∠0CB=180°-2∠0BC, :2∠0BC=90°+∠0AB, :∠B0C=180°-(90°+∠0AB=90°-∠0AB, :0A=0B, ∠A0B=180°-2∠0AB, ∠A0B=2∠B0C, :∠A0B=2LACB,∠B0C=2LBAC, .ZACB 22BAC; (2)证明：如图，作OD⊥AB于点D, A B .OA=OB,OD⊥AB, ZBOD-7240B.BD=4B.Z0DB=90 由(1)可知，∠A0B=2∠B0C, ∴.∠B0D=LB0C, :CE⊥OB, ∠0EC=90°=∠0DB, 在△OCE和aOBD中， 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠BOC=∠BOD ∠OEC=∠ODB, OC=OB △OCE≌△0 BD(AAS), ÷CE=BD= 2AB,即AB=2CE. 38.(2026安徽马鞍山一模)如图，AB为O0的直径，CD为弦，CD⊥AB于点E,连接D0并延长交 OO于点F,连接AF交CD于点G,连接AC,CF,且CG=AG. E D (I)求证：AC=CF: (2)若CF=6√5，求GD的长. 【答案】(1)见解析 (2)12 【分析】本题考查了垂径定理、圆周角定理，和等量代换的思想，正确应用定理是解题的关键 (1)连接AD,利用垂径定理及其推论，圆周角定理，等量代换思想即可证明； (2)根据题意，得∠ACD=∠AFD=∠CAF=∠CDF=∠CFA,结合DF为OO的直径，得到LDCF=90°， 继而得到LCAF=∠CDF=∠CFA=30°，利用三角函数计算GF=GD即可得解. 【详解】(1)证明连接AD, :AB为OO的直径，CD为弦，CD⊥AB于点E, :CE DE,AC=AD,AC AD, CG=AG, :∠ACD=∠CAF, :∠ACD=∠AFD,∠CAF=∠CDF, .LAFD=∠CDF, ·AD=CF, :AC=CF (2)解根据题意，得AC=CF, 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠CAF=∠CFA, :.∠ACD=∠AFD=∠CAF=∠CDF=∠CFA, :.GD=GF, :DF为O0的直径， .∠DCF=90°， :∠CAF=∠CDF=LCFA=30°， ·在Rt△GCF中，FG=2CG, 2 1GF+(6N52=GF2, 2 解得：GF=12, :.GD=GF=12. D 39.(2026安徽宣城一模)如图1，AB是半圆O的直径，C,D是半圆O上的两点，AC平分∠DAB,与 BD交于点E,连接OC,交BD于点F. O E D 图1 图2 (I)求证：0C∥AD. (2)如图2，若0C=18,E为AC的中点，求0F的长. 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】(1)先由直径所对的圆周角是直角得到∠D=90°，再根据角平分线的定义得到∠CAB=∠DAC, 则BC=CD,利用垂径定理的推论得到LEFC=∠D=90°，进而利用平行线的判定可得结论： (2)先根据垂径定理得到FD=FB,再根据三角形的中位线定理得到OF=AD,证明 △CEF≌△4ED(AAS)得到CF=AD即可求解 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【详解】(1)证明：AB是半圆O的直径， ∠D=90°， :AC平分∠DAB, .∠CAB=∠DAC, .BC=CD, :OC垂直平分BD, .∠EFC=∠D=90°， .OC∥AD; (2)解：由(1)得0C垂直平分BD,∠EFC=∠D=90°， 六FD=FB, .0A=0B, OF是△ABD的中位线， :.OF=TAD, :E为AC的中点， :CE=AE, ∠CEF=∠AED 在△CEF和△AED中， ∠EFC=∠D, CE=AE △CEF≌AAED(AAS, .CF AD, :.OF=CF. .CF=20F, :0C=CF+0F=20F+0F=30F=18, 0F=6. 40.(2026安微阜阳一模)如图1，半圆0的直径AB=6,点C在半圆0上，连接AC,BC,点D在BC上， 连接OD,交BC于点E,连接AD,交BC于点F,连接OF,且LADO=LDAC. 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D D B 图1 图2 (I)求证：D是BC的中点. O如图2，将0P绕点P时针旋转90，点0拾好落在线段4C上的点G处，若器月求nL8C的 值. 【答案】()见解析 a 【分析】(1)先由∠AD0=∠DAC得出OD∥AC,根据圆周角定理得出∠C=90°，由平行线的性质得出 OD⊥BC,根据垂径定理即可证明结论； (2)根据旋转的性质得出FG=F0,∠OFG=90°，证明△CFG≌2△EOF(AAS)得出OE=CF,根据中位线的 性质得出4C20B,根据4C/0D证明△4 CFDEF,得出仁-C-设0E=CFx,则 AC=2x,DE=3-x,列分式方程求出x的值，根据正弦的定义即可得答案 【详解】(1)证明：：∠AD0=∠DAC, OD∥AC, :AB是半圆O的直径， ∠C=90°， ∴∠0EB=∠C=90°，即0D⊥BC, BD=CD. :D是BC的中点. (2)解：：将0F绕点F顺时针旋转90°，点O恰好落在线段AC上的点G处， FG=F0,∠0FG=90°， ∴.∠CFG+∠EF0=90°， :∠FCG=∠0EF=90°， .:∠CGF+∠CFG=90°， ∴.∠EFO=∠CGF, 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠FCG=∠OEF=90° 在△CFG和aEOF中， ∠EFO=∠CGF FG=FO :.△CFG≌△EOF(AAS), ..OE=CF, :OD⊥BC, .BE=CE, :0A=0B, :OE是△ABC的中位线， .AC=20E, :AC∥0D, △ACFADEF, EF DE 1 CF=403 设0E=CF=x,则AC=2x,DE=3-x, 2x=3, 解得x=9 (经检验，是分式方程的解)， sin∠ABC=OE_3 OB 5 41.(2026安徽宿州一模)已知，AB是00的直径，点C,D分别是⊙0上的点且AD=CD D D 图1 图2 (I)如图1，若∠ADC=40°，求∠BCD的度数： (2)如图2，CB的延长线与O0的切线DE交于点E,已知O0的半径为3V5,AD=5√6，求DE的长. 【答案】()20 (2)5 【分析】(1)先根据圆周角定理求出AC=80°，即得AD=140°，再根据BD=180°-AD可求出BD=40°， 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 即可求得答案； (2)连接DO并延长交AC于点F,连接OC,先证明DF是线段AC的垂直平分线，然后证明四边形DECF 是矩形，可得DE=CF=AF,再根据勾股定理列方程，求出OF=2√5，即可进一步求得AF=5,即得答 案。 【详解】(1)解：：∠ADC=40°， .AC=80°， .AD+CD=360°-80°=280°， AD=CD. .AD=140°， :AB是⊙0的直径， .ADB=180°， .BD=180°-AD=40°， .∠BCD=20°； (2)解：如图，连接D0并延长交AC于点F,连接0C, .AD=CD, ∴AD=CD, :点D在线段AC的垂直平分线上， :0A=0C, ·点O在线段AC的垂直平分线上， DF是线段AC的垂直平分线， DF⊥AC,AF=CF, DE是OO的切线， .∠0DE=90°， :AB是OO的直径， ∠ACB=90°， 四边形DECF是矩形， :DE=CF, 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :DE=CF=AF, 在RtAAOF与Rt△ADF中，AF2=OA2-OF2=AD2-DF2, 0A=0D=3V5,AD=56, .DF=0D+0F=3V5+0F, (3V5)2-0F2=(5V6)2-(35+0F)2, 解得0F=25, .AF=V0A2-0F2=V(35)2-(25)2=5, :DE=AF =5. D 【点睛】在圆中出现由弦组成的等腰三角形，往往可以用垂径定理的思路连接圆心与顶角顶点来解题 42.(2026·安徽阜阳一模)如图，AB为半圆O的直径，BC为半圆O的一条弦，OD1BC于点E,交 OO于点D,DF⊥AB于点F,交BC于点G. D 0 B (1)若AB=10,BC=8,求DE的长； (2)连接AD,OG,求证：0G∥AD. 【答案】(1)2 (②)见解析 【分析】1)先由垂径定理求得BE=BC=4,再在R408E中，由勾股定理求解即可： (2)连接BD,先由直径所对圆周角是直角得出LADB=90°，再由直角三角形两锐角互余和余角的性质得 出∠BDF=∠BAD·然后由同弧所对圆周角相等得出∠DBC=∠BAD,从而得到∠BDF=∠DBC,进而可得 到DG=BG,最后证明△BOG≌aDOG(SSS),得到∠BOG=∠D0G,即∠B0D=2LB0G,又 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠BOD=∠BAD+∠ODA=2LBAD,从而可证得∠BOG=∠BAD,即可由平行线的判定定理得出结论 【详解】(1)解：：AB=10, 0B=0D=5, :OD⊥BC, :BE=2BC=4, 在RtAOBE中，由勾股定理得OE=VOB2-BE2=3, DE=0D-0E=2: (2)证明：如图，连接BD, :AB是直径， .∠ADB=90°， ∠BAD+∠ABD=90°， :DF⊥AB, ∠BDF+∠ABD=90°， ∠BDF=∠BAD 又：0D⊥BC, :BD=CD. .∠DBC=∠BAD, ∠BDF=∠DBC, .DG=BG 在△ODG与△OBG中， OD=OB DG=BG. OG=OG :.△BOG≌△DOG(SSS), .∠B0G=∠D0G, 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠B0D=2LB0G, :0A=0D ∠BAD=∠ODA 又：∠BOD=LBAD+∠ODA, .∠BOD=2∠BAD LBOG=∠BAD, 0G∥AD. 【点晴】熟练掌握垂径定理和圆周角定理及其推论是解题的关键， 考点02 切线判定与性质 一、 填空题 1.(2026安徽蚌埠.一模)如图，已知直线AB是⊙O的切线，A为切点，OB交⊙O于点C,点D在⊙O上， 且∠OBA=40°，则∠ADC= D 【答案】25 【分析】先根据切线的性质判断出OALAB,进而求出∠O的度数，然后根据圆心角和圆周角的关系求出∠ ADC的度数. 【详解】解：直线AB是⊙O的切线，A为切点， OA⊥AB, .∠OBA=40°， ∠0=90°.40°=50°， 又：点D在⊙O上， ∠ADC3∠03x50r=-250. 【点晴】本题考查了圆的切线性质、圆心角和圆周的关系及解直角三角形的知识， 2.(2026安徽阜阳一模)如图，口ABCD的AB边为O0的一条弦，CD边与O0相切于点D,已知⊙0的 半径为√2，AB=2,则口ABCD的面积为 2/6 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D B 【答案】22+2/2+2√2 【分析】连接DO并延长交AB于E,连接OA,由切线的性质得OD⊥CD,由平行四边形的性质得 AB∥CD,可证DE⊥AB,由垂径定理得DE=√2+I,再由平行四边形面积公式可得结论， 【详解】解：如图，连接DO并延长交AB于E,连接OA, D :CD与O0相切于D, .OD⊥CD, :四边形ABCD是平行四边形， .AB∥CD, ∴DE⊥AB, 在直角△OAE中，OA=√2，AB=2, .AE=1, ∴OE=1, DE=√2+1， :口ABCD的面积为=2V2+1=2V2+2. 3.(2026安徽马鞍山一模)如图，已知直线AB是⊙0的切线，A为切点，OB交O0于点C,点D在O0 上，且∠OBA=40°，则∠ADC= D 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】25 【分析】先根据切线的性质判断出OALAB,进而求出∠AOC的度数，然后根据圆心角和圆周角的关系求 出∠ADC的度数 【详解】解：：直线AB是oO的切线，A为切点， .OA⊥AB, :∠OBA=40°， :∠A0C=90°.40°=50°， 又：点D在⊙O上， :∠ADC-=}∠A0C=X50=25. 2 2 故答案为25° 【点晴】本题考查了圆周角定理和切线的性质，掌握基础知识是解题关键 4.(2026安徽阜阳一模)如图，PA是00的切线，点C是00上一点，连接0C,0C∥PA,连接PC并 延长PC交O0于点B,AO的延长线交PB于点D,若∠P=30°，OD=1,则BD= 【答案】1 【分析】利用切线和平行线可证OC⊥AD,结合∠P=30°推得∠CD0=60°，再由OC=OB得∠0BD=30°， 根据三角形外角的性质推出∠DOB=30°，最后由等角对等边求出BD. 【详解】解：：PA是O0的切线， ·DA⊥PA, ∠P=30°， ·∠CD0=60°， :OC∥PA, :∠0CD=30°， :0C=0B, .∠OBD=∠OCD=30°， :∠CD0=∠OBD+∠D0B, 60°=30°+∠D0B, 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠D0B=30°=∠0BD, ·BD=OD=1. 5.(2026安徽铜陵一模)如图，PA是⊙0的切线，A为切点，直线PO交O0于C,D两点，点B为弧AC 上一点，连接AB,BC,若ABC=115°，则∠P=度. B 【答案】40 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，切线的性质， 先根据圆内接四边形的性质求出∠ADC=65°，进而求出∠AOD=50°，再根据切线的性质得∠PA0=90°， 然后根据直角三角形的两个锐角互余得出答案， 【详解】解：如图，连接AO,AD, ∠ABC=115°， .∠ADC=180°-∠ABC=65°. :A0=D0, ∴.∠DA0=∠AD0=65°， ∠A0D=180°-65°-65°=50°. :PA是⊙0的切线， .∠PA0=90°， ∠P=90°-50°=40°. 故答案为：40. 二、解答题 6.(2026安微六安.一模)如图，四边形ABCD内接于⊙0，AB为⊙0的直径，LABC=2LACD,过点D 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 作⊙O的切线，交BC的延长线于点E. (I)求证：AD=CD； (②)若BC:DE=5:6,求tanZDCE的值. 【答案】（①）见解析 @ 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质、等腰三角形的判定与性质、解直角三角形、垂径定理等知识点， 熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键 (1)由圆内接四边形的性质可得∠ABC+∠ADC=180°，再结合三角形内角和定理得出 ∠ABC=∠DAC+∠DCA,结合题意可得∠ACD=∠CAD,即可得证； (2)连接OD交AC于点F,证明四边形DFCE是矩形，得出DE=CF,由垂径定理可得AF=CF,设 BC=10a,则DE=12a,AF=CF=DE=12a,AC=24a,证明OF为△ACB的中位线，得出 0F=BC=5a,由勾最定理可得4B=26a,从面可得0D-号4B=13a,即可得出结果。 【详解】(1)证明：：四边形ABCD是圆内接四边形， ∴.∠ABC+∠ADC=180°， :∠ADC+∠CAD+∠ACD=180°， .∠ABC=∠DAC+∠DCA, :∠ABC=2∠ACD, ·2∠ACD=∠CAD+∠ACD, ∴.∠ACD=∠CAD, :AD =CD; (2)解：如图：连接0D交AC于点F, 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D AD=CD, :AD CD, .OD⊥AC, :DE是OO的切线， OD⊥DE, :AB为⊙O的直径， ∠ACB=90°， ·四边形DFCE是矩形， :DE CF, :OD⊥AC, :AF=CF, 由BC:DE=5:6,可设BC=10a,则DE=12a, .AF CF DE =12a, .AC=24a, :0A=0B, OF为△ACB的中位线， :0F=BC=5a, 2 AB=AC2+BC2=26a, 0D=4B=13a, 2 .CE=DF=OD-OF=8a, tan∠DcE=DE_l2a、3 CE 8a 2 7.(2026安微一模)如图，⊙0的半径为2√5，AB是⊙0的直径，F是⊙0上一点，连接F0、FB.C为 劣弧BF的中点，过点C作CD⊥AB,垂足为D,CD交FB于点E,CG∥FB,交AB的延长线于点G. 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 O D (1)求证：CG是⊙0的切线： (2)连接BC,若BC∥OF,求CE的长； 【答案】(1)证明见解析； (2)2 【分析】(1)连接OC,由垂径定理得到OC⊥BF,则可得到OC⊥CG,据此可证明结论； (2)由平行线的性质得到LFOC=LOCB,由C为劣弧BF的中点，得到CF=BC,OC⊥BF,进而证明 ∠C0F=∠B0C=∠0CB=∠0BC=60.推出△08C是等边三角形.则OD=BD=0B=5,进而得到 CD=√5BD=3,DE=1,据此可得答案. 【详解】(1)证明：如图所示，连接0C, G D :C为劣弧BF的中点， .OC⊥BF, :CG∥FB, .0C⊥CG, 又：0C是00的半径， .CG是⊙0的切线： (2)解：如图， 1 D B :BC∥OF, 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴LFOC=∠OCB, C为劣弧BF的中点， CF=BC,OC⊥BF, ∠COF=∠C0B, 0C=0B, .∠OCB=∠OBC, ∴.∠C0F=∠B0C=∠0CB=∠0BC, :△OBC是等边三角形， .∠C0F=∠B0C=∠0CB=∠0BC=60°，0B=BC=OC=2V3, .∠F0B=120°， 0F=0B, ∴.∠OBF=∠OFB=30°， CD⊥OB, :OD=BD=1OB=3, CD=V0C2-0D2=3, 在Rt△BDE中，∠DBE=30°， .BE =2DE BD=VBE2-DE2=V5DE=√， .DE=1 .CE CD-DE =2. 8.(2026安微宿州一模)如图，AB是⊙0的直径，AM,BN分别切OO于点A、B,CD分别交AM, BN于点D、C,DO平分∠ADC. A D M B C (I)求证：CD是O0的切线： (2)若AD=4,BC=9求O0的半径. 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】(1)见解析： (2)00的半径是6. 【分析】本题考查了切线的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，解题关键是在证切线的问题中， 般先连接切点和圆心，再证明垂直；同时熟记切线垂直于经过切点的半径 (1)过O点作OE⊥CD于点E,先根据切线的性质得到OA⊥AD,再根据角平分线的性质可得OE=OA, 由OE是OO的半径，且OE⊥DC,即可作出判断； (2)过点D作DF⊥BC于点F,先根据切线的性质得到AB⊥AD,AB⊥BC从而可证得四边形ABFD是矩 形，根据矩形的性质可得AD=BF,AB=DF从而可得FC的长，再根据切线的性质求得DC的长，在 Rt△DFC中，根据勾股定理即可求得DF的长，进而即可得解 【详解】(1)解：证明：过O点作OE⊥CD于点E, :AM切O0于点A, C .OA⊥AD, 又：D0平分∠ADC, 0E=0A, :0A为00的半径， OE是O0的半径，且OE⊥DC, CD是⊙O的切线； (2)解：过点D作DF⊥BC于点F, A D M :AM,BN分别切OO于点A,B, F N .AB⊥AD,AB⊥BC, :四边形ABFD是矩形， AD=BF,AB=DF, 2/6 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 又AD=4,BC=9, FC=9-4=5, :AM,BN,DC分别切OO于点A,B,E, .AD=DE,BC=CE, .DC=AD+BC=4+9=13, 在Rt△DFC中， DF=VDC2-FC2=V132-52=12, .AB=DF=12, 0A= AB=6, 即00的半径是6. 9.(2026安徽宣城一模)如图1，AB是半圆0的直径，AB=4,C,D为半圆上的两点，且BD=CD.连 结AC并延长，与BD的延长线相交于点E, 0 图1 图2 (I)求证：CD=DE; (2)如图2，过点D作DF⊥AC,垂足为点F,AD与OC,BC分别交于点M,H. ①若BD=1,求△DEF的面积； ②若C是半圆上一动点（不与A,B重合），当△CMH是等腰三角形时，求EF的值 【答案】()见解析 2)0V15 32 ②2-V2或3-5 2 【分析】(1)由AB是直径得到LADB=90°，由等弧所对的圆周角相等可得∠DAE=∠BAD,从而得到 ∠B=∠E,又由∠B=∠ECD得到∠DCE=∠CED,从而即可得证； (2)①通过证明△EFD∽△EDA,得到旷-ED,从而求出EF的长，再通过勾股定理求出DF的值，最 ED AE 后通过面积公式即可求得答案；②分三种情况：当CM=CH时，当CM=MH时，当HC=HM时，分别进 行讨论即可得到答案。 【详解】(1)证明：如图1，连结AD, 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D :AB是直径， 0 B 图1 LADB=90°. BD CD, ∠DAE=∠BAD, ∠B=∠E, 又：LB=LECD, .∠DCE=∠CED, :CD=ED (2)解：①如图，由(1)知AD⊥EB,DE=BD=1,AE=AB=4, D M 又：DF⊥AE, LEDF+LDEF=90°， :∠DEF+∠EAD=90°， ∴∠EDF=∠EAD, :∠DFE=∠ADE=90°， .△EFD∽△EDA, EF ED ED AE EF 1 14' .EF= 4 DF =DE-EF= 日 216 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 S.mu-EF.DFx 24432 ②I.如图3，当CM=CH时，则∠CMH=∠CHM, .CAD=∠BAD, 0 图3 :∠CAD+LCHM=∠BAD+∠CMH=∠BAD+∠CM0=90°， ∠A0M=90°， AC=BC=√20B=2V2, :DF⊥AC,CD=DE, :EF FC, 由①知AE=AB=4, :EF=FC=4E=Ec-4-25-2-2, 2 2 IⅡ.当CM=MH时，不合题意； L.如图4，当HC=HM时， 图4 设∠HCM=∠HMC=x, :.∠CHM=∠HAB+∠HBA=∠CBD+∠HBA=∠ABD=18-2x, 又0C=0B, .L0CB=∠0BC=x, ∠EAD=∠DAB=∠CBE=180-3x, :∠ADB=90°， 180-3x+180-2x=90°， .x=54°， ∠BAE=90°-∠0BC=90°-54°=36°， 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 过B作∠ABE的平分线BN交AE于点N, ∠ABN=∠NBE=36°， ∠E=∠E, ∴△NBE∽△BAE, BE EN AE BE BE 4-BE 4 BE· BE=2V5-2, DE=BE=5-1, 2 :DF⊥AE, ∠EDF=∠EAD, :∠DFE=∠ADE=90°， ∴.△DEF∽△AED, EF ED ED AE' EF 5-1 5-14 3-V5 ..EF= 2 综上所述，EF为2-2或3-5 2 【点晴】本题主要考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的 性质，勾股定理等知识，熟练掌握圆周角定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，角 平分线的性质，添加适当的辅助线，是解题的关键， 10.(2026安徽合肥一模)如图，AB是⊙0的直径，点C是劣弧BD的中点，AC与BD相交于点E.连接 BC,CF是⊙O的切线，CF与AB的延长线相交于点F. (I)求证：BCF=∠BAC; (2)若AB=10,BC=6,求AD的长. 【答案】()见解析 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (②)AD=14 【分析】(1)连接0C,求得∠ACB=90°，∠BAC=∠AC0即可解答： (2)连接OC交BD于H,求得OC⊥BD,且BH=DH,设OH为x,则CH为(5-x),根据勾股定理列方 程求解x,即可解答。 【详解】(1)解：连接0C, B :AB是直径， ∠ACB=90°， .∠AC0+∠0CB=90°， :0A=0C, ∠BAC=LAC0, :CF是⊙O的切线， .∠BCF+∠0CB=90°， ZBCF=ZACO, .∠BCF=LBAC; (2)解：如图：连接OC交BD于H, :点C是劣弧BD的中点， .OC⊥BD,且BH=DH, 设OH为x,则CH为5-x),根据勾股定理，62-(5-x2=52-x2, 7 解得：x= 7 :.OH= , :OH是中位线， 8AD=20H= 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 11.(2026安徽安庆一模)如图，在ABC中，AB=AC,点O在边AB上，以点0为圆心，OB长为半径 画圆，与边AB的另一个交点为F,交边BC于点D,且与AC相切于点E,连接OD、OE. B D (1)求证：0D⊥0E; (2)若圆0的半径OB为2，CE长为3，求边AB的长. 【答案】(1)见解析 回e号 【分析】(1)根据等边对等角求得∠ODB=∠C,得到OD∥AC,再根据切线的性质即可得证： (2)设AF=x,在Rt△AE0中，由勾股定理列式计算即可求解. 【详解】(1)证明：：AB=AC, ∠B=∠C, :0B=0D, .∠B=∠ODB, ∠0DB=∠C, 0D∥AC, :AC与O0相切于点E, OE⊥AC, OE⊥OD; (2)解：设AF=x, 由圆的半径为2可知AB=AC=x+4,AE=AC-CE=1+x, 在Rt△AEO中，由勾股定理可知： AE2+OE2=AO2, 即1+x)2+22=(2+x)2, 解得：x=2 1 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 9 AB=4+x= 2 12.(2026安微淮南一模)如图，AB为O0的直径，C为圆弧上一点，D为BC的中点，过D点作O0的 切线交射线AC于点E,连接AD,BD. (I)求证：AE⊥DE; (2)若DE=4,BD=5,求AC长. 【答案】(1)证明见解析； ©好 【分析】(1)连接OD,得到OD⊥DE,再结合弧中点所对圆周角相等及等腰三角形底角相等的性质推导 出内错角相等，进而证明OD与AE平行，最终由垂直的传递性得到AE⊥DE; (2)连接CD,利用弧中点的性质得到CD=BD,结合(1)的结论用勾股定理求出CE的长度，再通过圆 内接四边形的外角等于内对角及同角的余角相等证明△ECD与△DEA相似，借助相似三角形的比例关系求出 AE的长度，最后通过线段的差计算出AC的长度. 【详解】(1)证明：如图，连接0D, :DE是⊙O的切线，D为切点， OD1DE,即∠0DE=90°， :D为BC的中点， :BD=DC, ∠BAD=∠CAD, 又，0A=0D, 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠BAD=∠ODA, ∠CAD=∠ODA, OD‖AE, ∠E=∠ODE=90°，即AE⊥DE. (2)解：如图，连接CD, :D为BC的中点， :CD BD=5. 由(1)知∠E=90°， 在RtaCDE中，由勾股定理得CE=√CD2-DE2=V52-42=3. :AB为⊙O的直径， .∠ADB=90°， ∠DAB+∠B=90°. :四边形ACDB内接于⊙O, .∠ECD=∠B. 又：∠E=90°， ∴∠EDC+∠ECD=90°， ∠EDC=∠DAB. :∠DAB=∠EAD, ∠EDC=∠EAD, △ECD∽△EDA. EAED,即4=3 ED EC 解得EA=16 EA 4 7 AC=AE-C6-16-1 13.(2026安徽阜阳一模)如图，在O0中，AB是直径，延长AB至点F,FC切O0于点C,且点C是 BE的中点，连接OC,E为AC上一点，连接AE,延长AE,FC交于点D. 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D (I)求∠D的度数： (2)若DE=1,0F=4,求O0的半径 【答案】(1)90° (2)2 【分析】(1)如图，连接BE交OC于点M,根据FC切OO于点C,得出OC⊥DF,根据点C是BE的中点， 利用垂径定理得出OC⊥BE,则BE∥DF,根据AB是OO的直径，得出LAEB=90°，即可得 ∠D=∠AEB=90°. (2)设半径为r,则OM=r-1,证明四边形DCME是矩形，得出CM=DE=1,垂径定理得出EM=BM, 结合AO=B0,得出OM是△ABE的中位线，即可得AE=2OM=2r-2,则AD=2r-1,证明 F0C∽FAD,得出OC=OF 即可求解 【详解】(1)解：如图，分别连接E0、BE交0C于点M, :FC切O0于点C, .OC⊥DF, :点C是BE的中点， :CE=CB, :0E=0B .OC⊥BE, BE∥DF, :AB是OO的直径， .∠AEB=90°， ∠D=∠AEB=90°. D B 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)解：设半径为r,则0M=r-1, :∠D=∠DEM=∠DCM=90°， :四边形DCME是矩形， .CM=DE=1, :OC⊥BE, .EM =BM, EM=BM,AO=BO, OM是△ABE的中位线， AE=20M=2r-2, .AD AE+DE =2r-1. ∠AEB=∠0MB=90°， .0C∥AD, :FOC FAD, OC OF AD AF 4 2r-1r+4’ 解得：r=2. 14.(2026安徽安庆，一模)如图，点E是ABC的内心，AE的延长线和ABC的外接圆⊙0相交于点D, 过点D作直线DG∥BC. D G (1)求证：DG是⊙0的切线： (2)若DE=6,BC=6V3,求优弧BAC的长. 【答案】1)见解析 (2)8π 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三 角形顶点的连线平分这个内角.也考查了切线的判定，垂径定理，圆周角定理，弧长公式，锐角三角函数 的应用等 2/6 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)连接OD交BC于H,如图，利用三角形内心的性质得到∠BAD=LCAD，则BD=CD,利用垂径定理 得到OD⊥BC,BH=CH,从而得到OD⊥DG,然后根据切线的判定定理得到结论； (2)连接BD,OB,OC,如图，先证明∠DEB=∠DBE得到DB=DE=6,再利用正弦定义求出 ∠BDH=60°，则可判断△OBD为等边三角形，所以∠BOD=60°，OB=BD=6,则∠B0C=120°，然后根 据弧长公式计算优弧BAC的长即可. 【详解】(1)证明：连接OD交BC于H,如图， O E H δ :点E是ABC的内心， .AD平分∠BAC, 即LBAD=∠CAD, :BD=CD, .OD⊥BC,BH=CH, :DG∥BC, .OD DG :0D是⊙0的半径， DG是OO的切线： (2)解：连接BD,OB,OC,如图， D G :点E是ABC的内心， ∠ABE=∠CBE, BD=CD ∠DBC=∠BAD, 1/6 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴∠DEB=LBAD+LABE=LDBC+∠CBE=∠DBE, .DB=DE=6, :BH=BC=35, 在RiA BDH中，sin∠BDH= BH 3V33 BD 62 .LBDH=60°， 又：0B=OD, ∴△OBD为等边三角形， ∠B0D=60°，0B=BD=6, .∠B0C=120°， 优弧B4C的长是360-120)πx6 8π 180 15.(2026安徽合肥一模)如图，AB为00的直径，C为⊙0上一点，切线CD交BA的延长线于点D,过 A点作AE⊥DB交CD于点E,连接AC, E (I)求证：LECA=LB; 2)若D42 03, EC=3,求直径AB长 【答案】(1)证明见解析 (2)12 【分析】(1)利用圆的切线性质得到直角，再结合圆周角定理和直角三角形的性质来证明角相等； (2)根据已知条件，利用相似三角形和勾股定理设未知数列出方程即可求得结果. 【详解】(1)证明：如图，连接0C, E D :CD为O0的切线， 2/6 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ·0C1CD, ∠ECA+∠AC0=90°， :AB为OO的直径 ∠ACB=90°， ∠B+∠CA0=90°， 又：C0=A0, :∠0CA=∠0AC, ∠ECA=∠B. @0 :设DA=2x,A0=C0=3x, 在Rt△DC0中，CD=√D02-C02=4x, :EC=3, DE=4x-3, :∠DAE=∠DC0=90°，∠CD0=∠ADE, .△DEA△DCO, DE=4,即4灯3-2 DO DC 5x 4x 解得：x=2, AB=2A0=2×3×2=12. 16.(2026安徽合肥一模)如图，AB为O0的直径，弦CD交AB于点E,连接AC、AD,过点D作O0 的切线交CB的延长线于点F,己知AD=CD. D (I)求证：DF⊥CF; (2)若AD=45,DF=4,求直径AB的长. 【答案】(1)见解析 (2)10 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【分析】(1)连接D0并延长交AC于点G,交OO于点H.由垂径定理的推论得OH⊥AC,进而即可得 到结论： (2)由勾股定理求出GD=CF=8,设AO=D0=x,利用勾股定理列出方程，即可求解 【详解】(1)证明：连接D0并延长交AC于点G,交⊙0于点H. H B :DF为oO的切线， .∠0DF=90°. :AB为OO的直径， LACB=90°. :AD=CD, :AD CD, :AH CH, 0H⊥AC, :四边形GDFC为矩形， .DF⊥CF. (2)解：：CD=AD=4V5,DF=CG=AG=4, CF=CD2-DF2=8, .GD=CF =8. 设A0=D0=x,则0G=8-x, 在Rt△A0G中，42+(8-x=x2,解得x=5, .AB=2A0=10. 17.(2026安徽安庆一模)如图，AB为⊙0的直径，0C1AB交O0于点C,D为OA上一点，连接CD并延 长CD交⊙O于点M,点N是OA延长线上一点，连接MN,MN=DN. 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 M D B (I)求证：MN为⊙0的切线： (2)若0D=2且AD=AN,求O0的半径. 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】(1)连接OM,易得LOMC=∠OCM,∠DMN=∠MDN,推出∠MDN=∠CDO, ∠CD0+∠OCM=90°，∠DMN+∠CM0=90°，即可证明； (2)设00的半径0M=0A=r,则AD=AN=r-2,MN=2AD=2(r-2),由勾股定理得， MN2+OM2=OW2,求解即可. 【详解】(1)证明：如图，连接OM, M B :0M=0C, .∠0MC=LOCM. MN DN, .∠DMN=∠MDN. ∴.∠MDN=∠CD0,∠CD0+∠0CM=90°， ∴∠DMN+∠CM0=90°， 即∠0MN=90°， .OM⊥MN. :OM是00的半径， MN为OO的切线： (2)解：设⊙0的半径OM=OA=r,则AD=AN=r-2, 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 MN=2AD=2(r-2). .0N=DN+0D=(2r-2 在Rt△OMN中，由勾股定理得，MN2+OM2=ON2, (2r-4)2+r2=(2r-2)2, 解得r=6或r=2(舍去)， :00的半径为6. 18.(2026安徽合肥一模)如图，O是Rt△ABC斜边上的一点，⊙0与直角边AB,AC分别相切于点D,E, 射线A0交00于点F,G. D (I)求证：AG平分∠BAC; (2)若BD·CE=12,求00半径. 【答案】(1)证明见解析 (22V5 【分析】(1)连接OD、OE,先证明Rt△ADO≌RtAAEO(HL),得到∠DA0=∠EA0,即可证明AG平分 ∠BAC: (2)设O0的半径为r,则0D=0E=r,先得到LB0D=∠C,∠C0E=∠B,即可证明a0BD∽aC0E, 得到BD、OD 得出BD.CE=ODOE=r2,根据BD.CE=12,即可求出O0半径. OE CE 【详解】(1)解：连接OD、OE, :⊙0与直角边AB,AC分别相切于点D,E, 2/6 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ·OD⊥AB,OE⊥AC, ·∠AD0=∠AE0=90°， A0=A0,OD=0E, Rt△ADO≌RtAAEO(HL), :∠DAO=∠EAO, :AG平分∠BAC; (2)解：设⊙0的半径为r,则0D=0E=r, :∠BAC=90°， :LB+∠C=90°， :OD⊥AB, ∠0DB=90°， :∠B+∠B0D=90°， :ZBOD ZC, 同理可得∠COE=∠B, AOBDACOE, BD OD OE CE ·BD.CE=ODOE=r2, :BD·CE=12, r2=12, ·r=23, 则00半径为23 19.(2026安徽合肥一模)如图，⊙0是ABC的外接圆，∠BAC=45°.过点0作DF⊥AB,垂足为E, 交AC于点D,交O0于点F,过点F作⊙O的切线，交CA的延长线于点G. G (I)求证：FD=FG; 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)若AB=12,FG=10,求00的半径. 【答案】()证明过程见详解 ②90的半径号 【分析】(1)根据垂直，切线的性质得到AB‖GF,可得△DFG是等腰直角三角形，由此即可求解： (2)根据垂径定理得到AE=BE=6,ADE是等腰直角三角形，由(1)得到FD=10,则EF=4,如图 所示，连接OA,设OE=x,则OF=OE+EF=x+4=OA,由此勾股定理即可求解. 【详解】(1)解：：DF⊥AB,GF是OO的切线，即DF⊥GF, .ABGF, LBAC=LG=45°， :∠FDG=90°-45°=45°，即△DFG是等腰直角三角形， :FD=FG; (2)解：DF⊥AB, :.AE=BE=1AB=6, 2 :∠BAC=45°， ∴∠ADE=90°-45°=45°，即ADE是等腰直角三角形， ∴EA=ED=6, 由(1)得FD=FG=10, EF=DF-DE=10-6=4, 如图所示，连接OA,设OE=x,则0F=OE+EF=x+4=OA, D 在RtaA0E中，OA2=AE2+OE2, (x+4)2=62+x2, 解得，x=2 5 *413 0A=x+4=5 2 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ÷00的半径 13 【点晴】本题主要考查圆内接三角形的综合，掌握垂径定理，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，切线 的性质等知识，数形结合分析是关键 20.(2026安微池州一模)如图，AB,CD是O0的直径，切线DE与CA延长线相交于点E. A B (I)求证：∠E=∠B; (2)若BC=12,DE=15,求00的半径. 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】(1)先由切线的性质得∠E+∠ECD=90°，再结合AB是⊙0的直径，得∠ACB=90°，再结合等边 对等角，即可作答 (2)连接AD,由圆周角定理得AD=BC=12,∠CAD=90°，利用勾股定理求出AE,然后解直角三角形 求解即可 【详解】(1)解：：DE是⊙0的切线， .∠CDE=90°， ∠E+LECD=90°， :AB是⊙O的直径， ∴.∠ACB=90°， .∠CAB+∠B=90°， :0A=0C, .∠0CA=∠0AC. ∠E=∠B. (2)解：连接AD, 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A 0 B:∠AOD=LBOC, D .AD=BC=12. :CD是直径， ∠DAE=∠CAD=90°， :AE=DE2-AD2=9, .∠CDE=90° “tan∠E=AD-CD AE DE 号g .CD=20 .0C=0D=10 ⊙0的半径为10. 21.(2026安微六安.一模)如图，已知ABC内接于⊙0，AB是O0的直径，点D为BC的中点，过点D作 DE⊥AC,交AC的延长线于点E,连接BD. (1)求证：DE是O0的切线： (2)若AB=10,BD=6,求AC的长. 【答案】(1)见解析； (②AC=14 【分析】(I)连接OD,根据点D为BC的中点，推出∠DAE=∠BAD,结合圆的性质，推出OD∥AE,再 根据DE⊥AE,推出LODE=∠AED=90°，即可证明； (2)设OD与BC相交于点F,根据AB是OO的直径，推出四边形CFDE是矩形，结合直角三角形的性质 可容snBD生光}推出sn☑DB花专，即可求出DP、OF,再明OP为中位线可求解 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【详解】(1)证明：如图，连接0D, :点D为BC的中点， CD=DB, ∠DAE=∠BAD. 0A=0D, ∠0AD=∠ODA. ∠ODA=∠DAE. .OD∥AE. :DE⊥AE, ∠0DE=∠AED=90°. :0D为00的半径， DE是OO的切线. (2)如图，设OD与BC相交于点F, :AB是O0的直径， ∠ACB=∠ADB=90°. 又：∠0DE=∠AED=90°， :四边形CFDE是矩形. OD⊥BC. :AB=10,BD=6, 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 “sin∠BAD=BD=3 :点D为BC的中点， .CD=DB, ∠BAD=∠DAE=∠DBF, sin∠DBF= DF 3 BD 5 BD=6, DF-3BD-3 5 .OF=OD-DF 248-DF1 10 187 5 :OD∥AE,点O为AB的中点， :OF是ABC的中位线： 714 .AC=2OF=2×= 55 22.(2026安徽马鞍山一模)如图，AB为⊙0的直径，点C在00上，∠ACB的平分线交00于点D.过 点D作DE∥AB,交CB的延长线于点E. E D (I)求证：DE是O0的切线； (2)若AC=15,BC=8,求CD的长. 【答案】()见解析 223v2 2 【分析】(1)连接0D,根据直径得出直角，根据角平分线以及圆周角定理得出相等的角，最后根据平行线 的性质得出直角即可得出结论； (2)连接AD,BD,过点B作BF⊥CD于点F,根据直径得出直角，然后利用勾股定理进行求解。 【详解】(1)证明：如图，连接OD, 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 OF B E D :CD是∠ACB的平分线， LACD=∠BCD, ∠AOD=∠B0D, :AB为OO的直径， 1 .∠AOD=∠BOD=×180°=90°， 2 :OD⊥AB, :DE∥AB, OD⊥DE, :OD为00的半径， .DE是OO的切线： (2)解：如图，连接AD,BD, D :AB为OO的直径， .∠ACB=90°，LADB=90°， AC=15,BC=8, AB=AC2+BC2=17, :CD是∠ACB的平分线， :∠ACD=∠BCD, ∴.AD=BD, :AD=BD=24B-172 2 过点B作BF⊥CD于点F, 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2ACB=45, :∠BCD BF-CF-BC4 DF=DB-BF7-152 2 CD=CP+DF=4V2+152-232 2 2 23.(2026安徽芜湖一模)如图，△ADC内接于O0,过点A作AB平行于CO交CD的延长线于点B, ∠OCA=∠ADC. D B (1)求证：AB是O0的切线： (2)若AB=AC=4,求AD的长. 【答案】(1)见解析 2v2π 2 【分析】(1)连接0A,利用圆周角定理得到∠04C=∠0CA=∠40C,再利用三角形的内角和定理得到 ∠A0C=90°，进而得到∠0AB=∠A0C=90°，从而得出结论； (2)根据勾股定理得到AC=√0A?+OC?=√20A=4,进而求出OA的长，再利用圆周角定理求出 ∠A0D=2∠ACB=45°，最后利用弧长公式计算即可. 【详解】(1)证明：如图，连接OA,则0A=0C, :∠0AC=∠0CA, D B 1 .∠OCA=∠ADC=三∠AOC, 2 .∴.∠OAC=∠OCA= 1∠A0C, 2/6 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :∠0AC+∠0CA+∠A0C=180°， A0C+2A0C+∠A0c=1803 2 ∠A0C=90°， :AB∥CO, ∠0AB=∠A0C=90°， :0A是⊙0的半径，且AB1OA, AB是⊙0的切线； (2)解：如图，连接0D, :AB=AC=4,0A=0C,∠A0B=90°， D -B ∠B=∠ACB,∠0CA=0AC=45°， .AC=V0A2+0C2=V20A=4, ∴0A=22, AB∥CO, ∠B=∠0CB, ·∠4CB=∠0CB=1∠0cA=22.5°， ∠A0D=2∠ACB=45°， :AD的长是45π×22-V2 1802 24.(2025江苏盐城中考真题)如图，AB是⊙0的弦，过点B作直线EF,以0为顶点作∠A0C=90°，分 别交EF、AB于点C、D,若CB=CD. E C (①)试判断直线EF与⊙0的位置关系，并说明理由： ②若00的半径为3.m∠01D背求BC的长。 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】(1)EF与⊙0相切，理由见解析 (2)BC=4 【分析】本题考查了切线的判定，等边对等角，正切的定义，勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用 是解题的关键 (1)连接OB,根据等边对等角可得∠CDB=∠CBD,∠0AD=∠OBD,进而根据∠A0C=90°，得出 ∠CBD+∠OBD=∠CBO=90°，即可得出结论： (2)根据已知可得0D=1,进而设BC=CD=x,C0=CD+D0=x+1,在RtaB0C中，CO=CB2+OB2 根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解 【详解】(1)解：EF与O0相切： 理由如下：如图，连接OB, .CB=CD, ∴.∠CDB=∠CBD, :∠A0C=90°， .∠AD0+∠0AD=90°， 又：∠AD0=∠CDB, .∠ADO=∠CDB=∠CBD, .∠CBD+∠0AD=90°， 0A=0B, .∠OAD=∠OBD, ∴∠CBD+∠OBD=∠CB0=90°，即OB⊥BC, :OB为半径， ∴EF与OO相切； (2)解：如(1)图，∠CB0=90°， :00的半径为3， 0A=0B=3 .∠A0C=90°，tan∠OAD= 3 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 DO 1 tan∠OAD= 403' 0D=1, BC=CD=x,CO=CD+DO=x+1, 在RtaB0C中，CO2=CB2+OB2, (x+1)2=32+x2 解得：x=4 BC=4. 25.(2026安徽阜阳·一模)如图，ABC的顶点在以AB为直径的半圆0上，过点C的切线交AB的延长线 于点D,AE⊥CD于点E. E B (I)求证：AC平分∠EAD (2)若CD=4,BD=2,求BC的长. 【答案】(1)见解析 26 5 【分析】(1)连接0C,证AE∥OC,得∠EAC=∠AC0,由OA=OC,得∠0AC=∠AC0,继而 LEAC=∠0AC,即得结论； (2)过点C作CF⊥AB于点F,设⊙O的半径为r,根据勾股定理列方程求出r,再由 Scn=)OC-CD=)OD-CF求出CF,再运用勾股定理求出OP,BC. 2 2 【详解】(1)证明：如图，连接0C, :CD与00相切， B :OC⊥CD AE⊥CD, 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AE∥OC, ∠EAC=∠AC0. :0A=0C, .∠OAC=∠ACO, ∴.∠EAC=∠OAC, AC平分∠EAD. (2)解：如图，过点C作CF⊥AB于点F, E B :CD=4,BD=2, 设00的半径为r,则0C=r,AB=2r,0D=r+2. 在Rt△0CD中，OC2+CD2=0D2, 即r2+42=(r+22, 解得r=3, 0C=3,0D=5. 0C-CD-OD-CF CF=0CCD_3×412 OD 5 5 :.0F=VOC2-CF2=, BF=OB-OF=3-9 6 5 :BC=CF2+BF2 65 26.(2026安徽芜湖一模)如图1，点P为圆O外一点，PA经过圆心O,且与圆交于另一点B,PC与圆 O相切. 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D 图1 图2 (I)求证：PC2=PB·PA; (2)如图2，点D在AC上，且BC=CD,连接AD,若PB=1,PC=V5,求AD长. 【答案】()见解析 a 【分析】(1)证明△PCB∽△PAC,列出比例式即可得出结论； (2)连接OC交BD于点E,设圆O半径为R,根据PC2=PB.PA,求出R的值，证明BD∥PC,得到 P,求出OE的长，三角形的中位线求出AD的长即可. OE OB OC 【详解】(1)证明：如图1，连接OC,OB,则∠ACB=90°， B P 图1 :PC与圆O相切， 0C⊥CP, :∠PCB+∠0CB=90°，∠AC0+∠0CB=90°， .∠AC0=∠PCB, ∴PCBAPAC, PC PB PA-PC' .PC2=PB·PA. (2)解：如图2，连接0C交BD于点E,设圆O半径为R,则OC=R,AB=2R, 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D E 0 图2 .AP BP+AB=1+2R, 由(1)可知PC2=PB.PA :(5)=11+2R), .R=2 :点C为BD中点， .0C1BD,又0C⊥CP, BD∥PC,BE=DE, 05=0B,即0E=2 “OCOP 23 :0E=3 4 又：O为AB中点，BE=DE, D=20E= 3 27.(2026安徽芜湖一模)如图，已知AB是⊙0的直径，点C为⊙0上一点，过点C的切线交BA延长线 于点P,且PC=BC, C D B (1)求证：AP=AC; (2)过点C作CD∥AB交OO于点D,若AB=8,求CD的长. 【答案】1)证明见解析 (2)4 【分析】(1)连接OC,证明∠P=∠B,∠ACB=90°，∠BC0=∠PCA,进一步可得LB=LBC0=∠P,可 得∠P=∠PCA,可证明AP=AC (2)如图，连接OD,证明△ACO与△COD是等边三角形，即可得到答案 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【详解】(1)证明：连接0C, D B 0 :点C为OO上一点，过点C的切线交BA延长线于点P, :∠0CP=90°=L0CA+LPCA, :PC=BC,AB是OO的直径， ∠P=∠B,LACB=90°， ∠AC0+∠BC0=90°， ∠BC0=∠PCA, 0B=0C, .LB=LBCO=∠P, .∠P=∠PCA, .AP=AC (2)解：如图，连接0D, 0 :∠P=∠PCA,∠0CP=90°， .∠P+LP0C=90°=∠PCA+∠0CA, .∠P0C=∠AC0, .AC=AO=CO, “△ACO是等边三角形， .∠A0C=60°， :CD∥AB, ∴∠0CD=∠A0C=60°， :0C=0D=14B=4, 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :△COD是等边三角形， .CD=C0=4 28.(2026安徽芜湖一模)如图，AB是oO的直径，C是⊙O上一点，过点O作ODLAB,交BC的延长 线于D,交AC于点E,F是DE的中点，连接CF, (1)求证：C℉是⊙O的切线 (2)若∠A=22.5°，求证：AC=DC. 【答案】(1)证明见解析： (2)证明见解析 【分析】(1)先根据圆周角定理得出∠ACB=∠ACD=9O°，再根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的 一半得出CF=EF=DF,再根据对顶角相等和等腰三角形两底角相等得出∠AEO=∠FCE,再由∠OCA十∠ FCE=∠OAC+∠AEO=90°，即可知CF是oO的切线： (2)连接AD,由OD⊥AB且AO=BO可知OD是垂直平分线，即可得到DO是角平分线，∠BAC+∠B= ∠ODB+∠B-90°，可得∠ODB=∠BAC=22.5°，可得∠ADB=45°，求得△ACD是等腰直角三角形，所以 AC=DC 【详解】(1)证明：：AB是⊙O的直径， .∠ACB=∠ACD=90°， :点F是ED的中点， “CF=EF=DF ∠AEO=∠FEC=∠FCE, .OA=OC, ∴.∠OCA=∠OAC, OD LAB, ∴.∠OAC+∠AEO=90°， ∴.∠OCA+∠FCE=90°，即OCLFC, 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :CF与oO相切； (2)证明：连接AD D B OD⊥AB,ACBD, :∠AOE=∠ACD=90°， :∠AEO=∠DEC, .∠OAE=∠CDE=22.5°， .AO=BO, .AD=BD, ∠AD0=∠BD0=22.5°， ∴.∠ADB=45°， ·.∠CAD=∠ADC=45°， ..AC=CD 【点晴】本题主要考查圆周角定理、直角三角形斜边中线定理、对顶角和等腰三角形性质、切线的判定、 垂直平分线的判定和性质第(2)部分连接AD,通过角度计算证明△ACD是直角等腰三角形是关键 29.(2026安徽宿州一模)已知，AB是00的直径，点C,D分别是⊙0上的点且AD=CD. D 0 图1 图2 (1)如图1，若∠ADC=40°，求∠BCD的度数； (②)如图2，CB的延长线与O0的切线DE交于点E,己知⊙0的半径为3V5,AD=5√6，求DE的长 【答案】(1)20° 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)5 【分析】(1)先根据圆周角定理求出AC=80°，即得AD=140°，再根据BD=180°-AD可求出BD=40°， 即可求得答案； (2)连接DO并延长交AC于点F,连接OC,先证明DF是线段AC的垂直平分线，然后证明四边形DECF 是矩形，可得DE=CF=AF,再根据勾股定理列方程，求出OF=2√5，即可进一步求得AF=5,即得答 案。 【详解】(1)解：：LADC=40, .AC=80°， .AD+CD=360°-80°=280°， AD=CD, .AD=140°， :AB是O0的直径， ,ADB=180°， .BD=180°-AD=40°， ∠BCD=20°； (2)解：如图，连接DO并延长交AC于点F,连接OC, AD=CD, :AD =CD, :点D在线段AC的垂直平分线上， :0A=0C, ·点O在线段AC的垂直平分线上， :DF是线段AC的垂直平分线， DF⊥AC,AF=CF, :DE是OO的切线， ∠0DE=90°， :AB是OO的直径， ∠ACB=90°， 2/6 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :四边形DECF是矩形， :DE=CF, :DE CF=AF, 在Rt△A0F与Rt△ADF中，AF2=OA2-OF2=AD2-DF2, 0A=0D=3V5,AD=5V6, ..DF=OD+0F=35+0F, :(3V5)2-0F2=(5V6)2-(35+0F)2, 解得0F=2√5， AF=V0A2-0F2=V(3V5)2-(25)2=5, :DE=AF=5. D B 【点睛】在圆中出现由弦组成的等腰三角形，往往可以用垂径定理的思路连接圆心与顶角顶点来解题. 30.(2026安徽合肥一模)如图，AB是00的直径，M为⊙0上一点，N为00外一点，ON∥AM, ∠OBN=90°，连接NM. M (1)求证：NM与O0相切： (2)若0A=4,0N=6,求AM的长. 【答案】(1)见解析 m4w号 【分析】(1)连接0M,利用平行线的性质及等边对等角，通过等量代换可得∠MON=∠BON,进而证明 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 △MOW2△BON(SAS,推出OM⊥NM,即可证明NM与O0相切； (2)由：MON≌sB0N可推出oN垂直平分BM,利用等面积法求出BD=45 ,进而求出AM即可. 3 【详解】(1)证明：如图，连接OM. OM=0A, .∠OAM=∠OMA. :ON∥AM, :∠OAM=∠BON,∠0MA=∠M0N, .∠MON=∠BON, ON =ON,OM =0B, aMON≌aBON(SAS), .∠0MN=∠0BN=90°， :OM⊥NM, 0M为00的半径， ·NM与O0相切， (2)解：如图，连接BM交ON于点D. 由(1)知△MON≌△B0N,0M=0B, ∴.NM=NB, ∴ON垂直平分BM, :0A=0B=4,0N=6,∠0BN=90°， .BN=V0N2-0B2=V62-42=2V5. 50w-OB BN-ON BD BD=OB.BN-4×254V5 ON 6 3 85 .BM =2BD= 3 :AB是O0的直径， 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .AB=20A=8,∠AMB=90°， .AM=√AB2-BM 82 8V5 =16 、3 31.(2026安徽芜湖一模)如图，在ABC中，∠ABC=90°，⊙0经过点A,与边AB,AC分别交于点E ,D,且BC与O0相切，切点为点F. B (I)求证：AF平分∠BAC; (2)若BE=1,AE=CD=2,求AD的长. 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】(1)连接0F,根据切线的性质可得∠OFC=∠ABC=90°，从而得到OF∥AB,进而得到 ∠OFA=∠BAF,再结合等腰三角形的性质可得∠BAF=∠OAF,即可求证： (2)设OA=OD=OF=x,则OC=CD+OD=2+x,根据△CF0∽△CBA,可求出x的值，即可求解. 【详解】(1)证明：如图，连接0F, B :BC与⊙0相切， y .OF⊥BC, ∠0FC=∠ABC=90°， 0F∥AB, ∠OFA=∠BAF, :0F=0A, ∠0FA=∠OAF, ∠BAF=∠OAF, 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AF平分∠BAC; (2)解：设0A=0D=0F=x,则0C=CD+0D=2+x, :BE=1,AE=2, .AB=BE +AE=3, OF∥AB, .△CFO∽△CBA, OF CO 即=2+x AB CA 32+2x 3 解得x=一2 (舍去)，x2=2, AD=2x=4. 32.(2026安徽阜阳一模)如图，AB为00的直径，点C在⊙0上，AD与过点C的切线垂直，垂足为D, 过点C的切线与AB的延长线交于点E,过点C作CF⊥AB交AB于点F. D (I)求证：CD=CF; (②)若点F为OB的中点，AB=4,求BE的长 【答案】（①）证明见解析 (2)BE=2 【分析】(1)连接OC,利用切线性质得OC⊥DC,结合AD⊥DC,推出AD∥OC,得到LDAC=∠OCA 由OA=OC得∠OAC=∠OCA,故∠DAC=∠OAC,即AC平分∠DAB.结合CD⊥AD、CF⊥AB及公 共边AC,用AAS证明△ADC≌△AFC,得结论： (2)由AB=4得半径0C=OB=2,F是OB中点，故OF=1,AF=3,由全等得AD=3.由AD∥OC, 服60E0DEA,建Q0-设E代入0E=2+、A花4+1，解万程任 x=2,即BE=2. 【详解】(1)证明：如图，连接0C, 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E:直线DC为00的切线， :.OC I DC, :AD与切线DC垂直， AD⊥DC, ∠ADC=∠0CE=90°， :AD∥0C, .∠DAC=LOCA, :0A=0C, :∠0AC=∠0CA, :ZDAC=20AC, :CF⊥AB, .∠CFA=90°， LADC=∠AFC=90°， 在△ADC和△AFC中， ∠ADC=∠AFC ∠DAC=∠FAC, AC=AC △ADC≌△AFC(AAS :CD=CF; (2)AB=4, A0=0B=C0=2, F为OB的中点， :0r-0B=l .AF=A0+0F=2+1=3, :△ADC≌△AFC, AD=AF=3, 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ADOC, ∴△CEO∽△DEA, E0_C0_2 EA DA3 设BE=x,则OE=OB+BE=2+x,AE=AB+BE=4+x, 2+x2 4+x3, 解得x=2, 即BE=2. 33.(2026安徽蚌埠.一模)如图，在ABC中，AB=BC,⊙O与AB相切于点A,且经过AC边的中点D, 连接OD并延长交BC于点E. B (I)求证：DE⊥BC. 2若sin∠B4C=,DE=1,求00的半径. 【答案】(1)见解析 崇 【分析】(1)连接OA,由⊙O与AB相切得∠OAB=90°，结合AB=BC得∠C=∠DAB,由OA=OD得 LOAD=∠ODA,推得∠CDE+∠C=90°，故DE⊥BC; 2由∠C=∠B4C得nC-号结合DE=1、<CE0=90斜cD-故AD作0F1D待F-名 6 由sin∠D0F=3可得OD的长度。 5 【详解】(1)证明：如图，连接OA. OO与AB相切于点A, B .∠0AB=90°， 2/6