安徽省合肥市包河区2025-2026学年九年级中考一模数学模拟练习卷

安徽省合肥市包河区2025-2026学年九年级中考一模数学模拟练习卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．9的相反数是（    ） A． B．9 C． D． 2．2025年上映的国产动画电影《哪吒2》在全球范围内取得巨大成功，打破了好莱坞电影的垄断地位，展示了中华传统文化的魅力。影片截至2025年12月31日21时，2025年年度票房达到亿元，数据亿用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 3．如图所示的几何体的左视图为（ ）    A．   B．   C．   D．   4．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 5．若关于的方程没有实数根，则的值可以为（） A． B． C．0 D．2 6．如图，已知，点分别在上，且，点P为上的动点，则的最小值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 7．如图，是的外接圆，，于点，，则的长为（    ） A． B． C． D．2 8．某同学从《朝花夕拾》、《红岩》、《骆驼祥子》、《西游记》四本书中选择两本进行阅读，这四本书分别用相同的卡片、、、标记，先随机抽取一张卡片后不放回，再随机抽取一张卡片，则该同学恰好抽到《朝花夕拾》和《西游记》两本书的概率是（    ） A． B． C． D． 9．已知二次函数，若，，满足，，则（    ） A．， B．， C．， D．， 10．在菱形中，已知与相交于点，点为上一点，将沿着翻折得到，使点落在边上，则的长为（　　） A． B．2.5 C．3 D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 11．计算： ． 12．如图，A、B、C为⊙O上三点，且∠OAB=64°，则∠ACB的度数是 度． 第12题图 第13题图 13．如图，在双曲线上，交轴于点，，轴于，若，则 ． 14．已知抛物线． （1）当时，抛物线的顶点坐标为 ； （2）点，为抛物线上两点，若，总有，则的取值范围是 ． 三.（本题共16分） 15． 解不等式：． 16．某水果店梨的标价16元/千克，橙子的标价18元/千克． (1)小轩陪妈妈在这家商店按标价买了梨和橙子共3千克，合计付款52元．这两种水果各买了多少千克？ (2)妈妈让小轩再到这家店买这两种水果，要求梨比橙子多买2千克，小轩到这家店后，发现这两种水果正在进行优惠活动：梨打七五折；一次购买橙子不超过1千克不优惠，超过1千克后，超过1千克的部分打五折．若小轩买的橙子超过1千克，合计付款75元，则他买了多少千克梨？ 四.（本题共16分） 17．如图，在边长为1个单位长度的正方形网格中，的顶点均在格点（网格线的交点）上．（要求使用无刻度的直尺画图） (1)在图1中，将以点C为位似中心放大2倍得到，请画出； (2)在图2中，在线段上画一个点P，使． 18．小明周末去公园测量一棵银杏树的高度，从处测得银杏树顶处的仰角为，接着小明向银杏树方向前进了米后到达点，处有一高为米的高台，小明在高台处测得树顶的仰角为，已知点在同一水平直线上，且，均垂直于，求这棵银杏树的高．（精确到米，参考数据：，，） 五.（本题共20分） 19．观察下列等式： 第①个等式：， 第②个等式：， 第③个等式：， 第④个等式：， … 根据上述规律解决下列问题： (1)写出第⑤个等式； (2)写出你猜想的第ⓝ个等式（用含n的式子表示），并证明． 20．如图，直线l与相离，于点A，与相交于点P，．C是直线l上一点，连接并延长，交于点B，且是的切线． (1)求证：； (2)若，求线段和的长． 六.（本题共12分） 21．国家卫生健康委员会宣布将2025年定为“体重管理年”，并实施为期三年的体重管理行动、某校响应号召，计划组织全校学生开展系列体育活动，筹备足球、排球、篮球、羽毛球四个球类运动的体育社团，倡导学生全员参加，为了解学生对这四项球类运动的喜爱情况，随机抽取部分学生，对其进行了“我最喜爱的球类运动项目”问卷调查（每名学生在这四项球类运动项目中选择且只能选择一项），将这部分学生的问卷进行整理，依据样本数据绘制了如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：_________； (2)请补全条形统计图； (3)扇形统计图中，“排球”对应扇形的圆心角为_________度； (4)若该校有2000名学生，请你估计该校最喜爱篮球运动的学生有多少人？ 七.（本题共12分） 22．在正方形中，点是对角线上一点，连接BE，过点分别作，的垂线，分别交直线， 于点F．G． (1)如图1，求证：； (2)若将“正方形”改为“矩形”， ，，其他条件不变． （i）如图2，求 的值； （ii）如图3，当点 E为的中点时，求的面积． 八.（本题共14分） 23．已知抛物线（a，b是常数，）．该抛物线经过，对称轴是直线． (1)求抛物线的函数解析式； (2)证明：图象上任一点的纵坐标为非负数； (3)抛物线的图象上有点，直线上有点，且，求t的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《安徽省合肥市包河区2025-2026学年九年级中考一模数学模拟练习卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B C A D B B B D D 1．C 【分析】本题主要考查了求一个数的相反数，只有符号不同的两个数互为相反数，据此可得答案． 【详解】解：9的相反数是， 故选：C． 2．B 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：亿， 故选：B． 3．C 【分析】它的左视图首先应该是一个凸六边形，中间的线条应该是垂直的，并逐一对照四个答案中的视图形状，即可得到答案． 【详解】由已知中几何体的直观图， 我们可得左视图首先应该是凸六边形，故A，B不正确； 中间的线条应是垂直的，故D不正确； 故选：C． 【点睛】本题考查的知识点是简单空间图象的三视图，其中熟练掌握简单几何体的三视图的形状是解答此类问题的关键． 4．A 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，完全平方公式，熟记运算法则是解题的关键． 根据能用同底数幂的乘法、幂的乘方，积的乘方，完全平方公式计算即可． 【详解】解：A、，故该选项正确，符合题意； B、，故该选项不正确，不符合题意； C、与不是同类项，不能合并，故该选项不正确，不符合题意； D、，故该选项不正确，不符合题意． 故选：A． 5．D 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握利用判别式判断方程根的情况是解题的关键． 先求出一元二次方程的判别式，根据方程无实数根的条件得到关于的不等式，解不等式后再结合选项判断符合条件的值． 【详解】解：∵方程没有实数根， ∴， ∴， 选项中只有，满足条件， 故选：D． 6．B 【分析】本题考查利用轴对称解决线段和最小的问题，等边三角形的判定和性质，作点M关于直线的对称点，连接，得到，证明为等边三角形，得到，即可得出结果． 【详解】解：作点M关于直线的对称点，连接， 则， ∴，， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴； 即的最小值为6； 故选：B． 7．B 【分析】本题考查了圆的内接四边形，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．在优弧上任取一点，连接和，根据圆的内接四边形对角互补，可知，再根据圆周角定理求得，接着利用垂径定理，得到，然后在中利用勾股定理即可求得答案． 【详解】解：在优弧上任取一点，连接和，如图所示： ， ， ， 于点， ，， ， ， ， ， ， 故选：B． 8．B 【分析】本题主要考查了列表法与树状图法以及概率公式，画树状图得出所有等可能的结果数和恰好抽到《朝花夕拾》和《西游记》的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：由题意，《朝花夕拾》《红岩》《骆驼祥子》《西游记》四本书分别用相同的卡片、、、标记， 画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中《朝花夕拾》和《西游记》共同被选中的结果有2种， ∴该同学恰好抽到《朝花夕拾》和《西游记》的概率为， 故选：B 9．D 【分析】根据等式性质得到，进而利用不等式的性质可判断；再根据二次函数的性质可判断其图象与x轴有交点，利用判断求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵ ∴，则； ∵当时，， ∴二次函数的图象与x轴有交点， ∴，则， 故选：D． 【点睛】本题考查等式的性质、不等式的性质、二次函数的图象与x轴的交点问题，熟练掌握二次函数的图象与x轴的交点问题是解答的关键． 10．D 【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理、折叠的性质、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形和折叠的性质是解题关键．先根据菱形的性质可得，，利用勾股定理可得，再设，则，根据折叠的性质可得，然后证出，根据等腰三角形的判定可得，最后在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：∵在菱形中，， ∴，， ∴， 设，则， ∵点为上一点， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在中，，即， 解得，符合题意， ∴， 故选：D． 11． 【分析】本题考查了求一个数的立方根，根据，则，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 12．26 【分析】先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出∠AOB，然后根据圆周角定理求解． 【详解】解：∵OA=OB， ∴∠OAB=∠OBA=64°， ∴∠AOB=180°-64°-64°=52°， ∴∠ACB=∠AOB=26°． 故答案为26． 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 13． 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，连接，由题意可得，进而得到，即得，再结合反比例函数图象的位置解答即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， ∵轴， ∴轴， ∴， ∴， 解得， ∵反比例函数图象分布在二、四象限， ∴， ∴ 故答案为：． 14． 或 【分析】（1）配方成顶点式求解即可； （2）首先求出对称轴为直线，然后分两种情况讨论：当时，当时，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）当时， ∴抛物线的顶点坐标为 故答案为：； （2）∵抛物线 ∴对称轴为直线 当时，抛物线开口向上 ∴时，y随x的增大而增大 ∵点，为抛物线上两点，若，总有， ∴ ∴； 当时，抛物线开口向下 ∴时，y随x的增大而增大；时，y随x的增大而减小； ∵点，为抛物线上两点，若，总有， ∴ ∴ 综上所述，的取值范围是或． 【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质，将一般式配方成顶点式，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质． 15． 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 通过去分母、去括号、移项、合并同类项求解不等式即可． 【详解】解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得 合并同类项，得． 16．(1)梨买了1千克，橙子买了2千克 (2)他买了4千克梨 【分析】本题考查一元一次方程、二元一次方程组解应用题，读懂题意，准确列出方程是解决问题的关键． （1）设买了梨千克，买了橙子千克，列二元一次方程组求解即可得到答案； （2）设买了橙子千克，则买了梨千克，由题中等量关系列一元一次方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：设买了梨千克，买了橙子千克，则 ，解得， 答：梨买了1千克，橙子买了2千克； （2）解：设买了橙子千克，则买了梨千克，则 ， 解得， 梨买了千克， 答：他买了4千克梨． 17．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查位似及相似三角形的性质，熟练掌握位似图形及相似三角形的性质是解题的关键； （1）延长至，使得，同理作出，连接得到，即为所求； （2）取格点使得，由得，连接，交于点，即可求解． 【详解】（1）解：所作如图所示： （2）解：所作点P如图所示： 18．约为米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，过点作于点，可得四边形为矩形，即得米，，设米，则米，由可得米，即得米，进而得米，再解求出即可求解，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于点， 则四边形为矩形， 米，， 设米，则米， 在中，， 米， 米， 米， 米， 在中，， ， ， ， 经检验是原方程的解，符合题意， 米， 答：这棵树的高约为米． 19．(1) (2)，见解析 【分析】（1）根据前4个等式的计算规律，写出第⑤个等式即可； （2）根据前5个等式的计算规律猜想写出第n个等式，再运用平方差公式计算证明． 【详解】（1）第⑤个等式为：； （2）第n个等式（用含n的式子表示）为：， 证明：左边， 右边， ∵左边=右边， ∴． 【点睛】本题主要考查了数字规律的探究，熟练掌握平方差公式的应用是解答本题的关键． 20．(1)见解析 (2)， 【分析】（1）连接，可知，，根据等边对等角得到，进而得到，根据等角对等边即可证明； （2）过点O作于D，根据正切的定义可设，，通过勾股定理求出x，进而求出相关线段长度，再证明，根据对应边成比例可求出，再根据等腰三角形三线合一可得． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵是的切线，于点A， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，过点O作于D， ∵， ∴设，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，（舍去）， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆的有关概念，等腰三角形的判定和性质，三角函数，勾股定理，解一元二次方程，相似三角形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 21．(1)24 (2)见解析 (3) (4)640人 【分析】本题考查统计图的分析和样本估计总体，提取条形统计图和扇形统计图的信息是解题关键． （1）根据统计图信息，先求出样本总量，再求出足球占总体的百分比即可； （2）根据（1）中的计算结果，算出篮球对应的人数，补全条形统计图即可； （3）根据排球对应扇形占总体的百分比计算圆心角即可； （4）根据篮球占总体的百分比，计算2000名学生中的对应人数即可． 【详解】（1）解：由选择排球的人数有18人，占总体的可知，（人）， 故， ∴； （2）解：由（1），可知共抽取了50名学生， （人）， 故选择篮球的学生有16人，画图如下： （3）解：， 故答案为：； （4）解：（人）， 答：估计该校最喜爱篮球运动的学生有640人． 22．(1)见解析 (2)（i）；（ii） 【分析】（1）由正方形的性质得出，，证出，由可证，由全等三角形的性质得出； （2）（i）证明，由相似三角形的性质得出，求出，则可得出答案； （ii）过点作于，于点，证出，，由（2）知，由相似三角形的性质证出，由锐角三角函数的定义得出，求出的长，根据三角形面积公式可得出答案． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：（i）四边形是矩形， ， ， ， ， ，， ， 又， ， ， ， ， 在中，， ， ， ； （ii）过点作于，于点， 为的中点， ， ，， ∴， ， ， 同理可得， 由（2）知， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是相似形综合题，考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质及相似三角形的判定与性质． 23．(1)； (2)见解析； (3)或． 【分析】本题考查了把化成顶点式，待定系数法求二次函数解析式，根据交点确定不等式的解集等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）根据抛物线经过点，对称轴是直线，得到关于待定字母的方程组求解，从而可得抛物线的解析式； （2）将抛物线的解析式写成顶点式，从而可得出结论成立； （3）分、、三种情况讨论，分别求得t的范围． 【详解】（1）解：抛物线经过点，对称轴是直线， ∴， 解得： 故抛物线的解析式是； （2）解：由 所以图象上任一点的纵坐标为非负数； （3）解：由已知，，，且轴． ①若时， 方程， 解得：或， ∴或时， ， 解得：或． ∴当时，的取值范围是或； ②若时，则， 不符合； ③若时，， 得， 因为， 故无解， 综上所述，的取值范围是或． 答案第1页，共2页 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