专题05 四边形（安徽专用）2026年中考数学一模分类汇编

**基本信息** 安徽各地2026年一模四边形专题试题汇编，覆盖平行四边形及特殊四边形，整合几何直观、推理能力与动态问题，适配中考复习需求。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|18|平行四边形性质、矩形菱形正方形判定|结合尺规作图（第1题）、动态几何（第4题）| |填空题|9|折叠问题、面积计算、黄金矩形应用|跨知识综合（第2题反比例函数）、定义新运算（黄金矩形）| |解答题|18|四边形证明、动态最值、图形变换|多问分层（第7题性质证明与计算）、探究性问题（第10题猜想证明）|

动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题05四边形 ☆2大考点概览 考点01平行四边形 考点02矩形、菱形、正方形 考点01 平行四边形 一、单选题 1.(2026安微合肥一模)如图，在口ABCD中，AB=8,以点D为圆心作弧，交AB于点M、N,分别以 点M、N为圆心，大于)MN为半径作弧，两弧交于点F,作直线DF交AB于点E,若LBCE=LDCE, DE=4,则ABCD的周长是() D E M B F米 A.22 B.24 C.26 D.28 2.(2026安徽六安一模)如图，点A在反比例函数y=的图象上，点C在y轴负半轴上，0C=2,平行 四边形AOCB的面积为6，点B的纵坐标为1，则k=() A.-9 B.-3 C.-12 D.-6 3.(2026安徽合肥一模)如图，在口ABCD中，点E是对角线AC上一点，过点E作FG∥AB分别交 AD,BC于点F,G,连接BE、DE,若S边形FGcD=1,则下列面积一定可以求得结果的是() A.S△EGc B.S.ABC C.S.AED D.S.ECD 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4.(2026安徽池州一模)如图，在平行四边形ABCD中，E,F分别为边AB,CD的中点，BD是对角线， 下列说法错误的是() D E A.当∠A=2∠ABD时，四边形DEBF是菱形 B.当∠ADB=90°时，四边形DEBF是菱形 C.当AD=BD时，四边形DEBF是矩形 D.当DE平分∠ADB时，四边形DEBF是矩形 5.(2026安微阜阳一模)如图，在口ABCD中，O是AC的中点，E是AD上的动点，连接EO并延长，交 BC于点F,OG∥AD交CD于点G,则下列不是定值的是() B A.0G的长 B.四边形DEFC的面积 C.aC0G的面积 D.四边形DEFC的周长 二、填空题 6.(2026安徽芜湖一模)如图，四边形ABCD中，E为AB边中点，∠BCD=90°，CE‖AD,F在CE上， 且DF‖AE.若BD=I0,AD=4,则FC= E D 三、解答题 7.(2026·安微准南一模)在口ABCD中，AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F. 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D D G E B E 图1 图2 @肉图，者积号采的值 (2)如图2，若AB=AD,连接EF并延长，交AD的延长线于点G. ①求证：CE=CF. ②当∠B=∠AEF时，求证：FG=AG·DG· 8.(2026安微芜湖一模)如图1，平行四边形ABCD中，E,F为边AD,BC上两点，EF经过AC中点 O且EF⊥AC,EC平分LACD. D B 图1 图2 (I)求证：四边形AFCE为菱形； (2)若DE=2,CD=V14,求aCDE周长； 如图2，当AB上BC时，连接DF,交AC于点G,求C)的值 9.(2026安徽安庆.一模)如图①，在四边形ABCD中，∠ABC=LDCB,E为BC上一点，且DE∥AB,过 点B作BF∥AD交DE的延长线于点F,连接CF,CF=BF. F 图① 图② (I)求证：△ADE≌△FCD; (2)如图②，连接DB交AE于点G. ①若AG=DC,求证：BC平分∠DBF; ②若DB∥cF,求CE的值. BD 10.(2026安徽合肥一模)已知口ABCD中，AD=kAB,E、F分别为边CD、AD上的点，且CE=AF, 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 连接AE、CF相交于点P,连接BP. 图1 图2 (1)当k=1时，如图1， ①若∠D=60°，∠DAP=50°，则∠BCP=°； ②若3FP=2PC,AB=6,求CE的长 (2)若k>1,如图2，试猜想∠ABP与∠CBP的数量关系，并给出证明 11.(2026安徽安庆一模)如图，在口ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,AC=2AB,点E在线段 OD上，且OE=DE.连接CE. B M D (I)求证：CE⊥BD; (②)若M,N分别是OA,BC的中点，且AB=20,连接EM,EN. ①求证：EM=EN; ②当EM⊥EN时，求口ABCD的面积， 12.(2026安徽合肥一模)在平行四边形ABCD中，点E在平行四边形ABCD内，连接EC,ED,EB, △ECD是等腰直角三角形，∠ECD=90°，其中EB-EC. y 图1 图2 图3 (I)如图1，求∠DAE的度数； (②)如图2，在BC上取点F使得AB=AF,求证：√2AE+BF=AD; (3)如图3，在2问的条件下，若B、E、D在同一直线上，当AE=√2时，求平行四边形ABCD的面积. 13.(2026安微合肥一模)在平行四边形ABCD中，E,F分别为边BC,CD上两点. 2/6 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1) (3) (I)当E是边BC中点时， ①如图(I),连接EF,如果AE=EF,求证：∠BAE=∠CFE; ②如图(2)，如果CF=DF，连接AE,BF交边AE于点G,求SABEG:SA4EF的值； 1 (2)如图(3)所示，连接AE,AF,如果AD=3,AB=2,CF=、CD,∠AEB=∠AFE=∠EFC,求AF的 2 长 考点02 矩形、菱形、正方形 一、单选题 1.(2026安微准南一模)如图，在ABC中，LACB=90°，AC=BC,P为ABC外一点，过点P分别 作PM⊥AC于点M,PN⊥BC于点N,PM,PN分别交边AB于D,E两点，连接CD,CE.若矩形 PMCN的周长为定值，则下列结论不为定值的是() D M E B A.PD+PE B.△PDE的面积 C.CD+CE D.△DCE的面积 2.(2026安微合肥一模)如图，菱形ABCD中，∠D=60°，点G、H分别在BC、AB上，CG=4, AH=6,LAGH=60°，则菱形ABCD的边长为() H B A.83 B.10W3 C.8 D.2 3.(2026安微合肥一模)如图，在矩形ABCD中，AF,DE分别平分∠BAD和∠ADC,E为BF的中点， 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 DC AF和DE交于点G,则 的值是() DG D G E F C A.1 B.3 C.22 D.45 2 3 4.(2026安徽合肥一模)如图，在矩形ABCD中，动点P从D点出发，以1Cm/s的速度沿着DA向A点运 动，同时动点Q从B点出发以2cm/s的速度沿BC向C点运动，若其中一个动点到达终点，另一动点也同时 停止.将四边形PDCQ以直线PQ为轴进行翻折，得到四边形PD'C'Q,则下列结论错误的是() D' D A.若PQ交对角线BD于点E,则QE=2PE B.若点D'在AD边上时，BQ=2CQ C.若射线QC经过点A,则线段AP、C'D'互相平分 D.若AB=3cm,BC=3V2cm,点A、C两点间距离最小为5-1cm 5.(2026安徽滁州一模)如图，在矩形ABCD中，AD=√2AB,∠BAD的平分线交BC于点E,DH⊥AE, 垂足为H,连接BH并延长，交CD于点F,DE交BF于点O.有下列结论：①aDHE≌aDCE;② ∠DHO=30°：③OE=OD:④BH=HF:其中正确的个数为() D B E A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 6.(2026安微安庆.一模)如图，己知四边形ABCD是矩形，点D在直线EF上，若DA平分∠BDE,则下 列结论不正确的是() 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B D 万 A.DC平分∠BDF B.AC∥EF C.∠COD=2∠ADB D.△COD是等边三角形 7.(2026安微合肥一模)如图，在边长为1的正方形ABCD中，动点F,E分别以相同的速度从D,C两 点同时出发向C和B运动（任何一个点到达即停止），连接AE,BF交于点P,过点P作PM∥CD交BC于 M点，PN∥BC交CD于N点，连接MN,设DF=CE=t(0<1≤1).在运动过程中，下列结论中正确的个 数() DA ABE≌△BCF且AE⊥BF:②线段MN的最小值为1+5，③CF:=PE~BF:④当1=)时， 2 △PMN为等腰直角三角形. D A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 8.(2026安徽毫州一模)如图，点D是ABC的边AB的中点，按下列方法尺规作图：先以点D为角的顶 点，以DA所在射线为角的一边，在DA的右侧作LADM=LABC,然后在射线DM上截取DE=BC,最后 连接CD,CE,AE.根据以上条件和作法，下列判断不正确的是() A.若AC⊥BC,则四边形ADCE是菱形 B.若四边形ADCE是菱形，则ABC是直角三角形 C.若AC=BC,则四边形ADCE是矩形 D.若ABC是直角三角形，则四边形ADCE是正方形 9.(2026安微阜阳一模)如图，在矩形ABCD中，AB=4cm,BC=6cm,BE平分∠ABC交AD于点E, 连接CE,取CE的中点F,连接DF,则DF的长为() 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.2.5cm B.√5cm C.23cm D.√5cm 10.(2026安徽阜阳一模)如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,点E是边AD的中点， 点F在对角线AC上，且AF=AC,连接EF,.若AC=12,则EF的长为() 4 E B A.2 B.3 C.4 D.6 11.(2026安徽.一模)如图，矩形ABCD中，AD=4V5,对角线AC,BD交于点O,∠B0C=120°，E为AC上 一动点.F为DE中点，则下列结论正确的是() B A.DE的最小值为3√5 B.DF的最小值为2√5 C.F0+FC的最小值为2√万 D.△OCF的周长最小值为2+2√万 12.(2026安徽安庆·一模)如图，在矩形ABCD中，∠ADC的平分线与AB交于点E,点F在DE的延长 线上，∠BFE=90°，连接AF,CF,CF与AB交于点G.下列结论错误的是() 人9 A.AE·BE=DE·EF B.AG·BG=FG·CG C.AF·BF=DF.GF D.AF·CF=DF·BF 13.(2026安徽安庆一模)在菱形ABCD中，己知AB=5,BD=8,AC与BD相交于点O,点E为OD上一 2/6 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 点，将ADE沿着AE翻折得到△AFE,使点F落在边BC上，则DE的长为() 4 E D 12 A. B.2.5 C.3 5 D. 二、填空题 14.(2026安徽合肥一模)如图，在矩形纸片ABCD中，AB=2,AD=2√2，E为边AD的中点，点F在边 CD上，连接EF,将aDEF沿EF翻折，点D的对应点为D,连接BD',，若BD=2√2，(I)连接BE,则 ∠EBD'= ;(2)DF= A D D B 15.(2026安微合肥一模)定义：一个矩形较知边与较长边之比是5-1，则这个矩形叫作黄金矩形.如 2 图1，矩形ABCD为黄金矩形(AB<AD),E为BC边上一点，将矩形ABCD沿AE折叠后，点B恰好落在 AD上点F处， D A B H M E E 图1 图2 (1) FD AF (2)如图2，G为AB边上一动点，过G点作GH⊥EF,垂足为H,将矩形ABCD沿EG折叠，点B的对 应点为B,EB交AD于点Q,若矩形6GHE为黄金矩形，则 16.(2026安徽准南一模)如图，在矩形ABCD中，AD=3,AB=2,E为CD的中点，连接AE,过点A 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 作AF⊥AE,与CB延长线交于点F. D B U (1) 架的的为 (2)已知BC边上有一点G,连接AG.若AG平分∠FAE,则AG的长度为 17.(2026安微合肥一模)如图，O为坐标原点，点A,B在坐标轴上，四边形0ACB是矩形，且点C在函数 y-4x>0)的图象上，边AC,BC与函数y=的图象分别交于点M,N. (1)△AOM与△C0N的面积之和为 ； (2)若△MON为直角三角形，则该三角形的直角顶点的横坐标为 B 4 1 My二x A 18.(2026安徽池州一模)如图，矩形ABC0的顶点O为坐标原点，边OA,OC分别在y轴、x轴上，点 B的坐标为3,2)，反比例函数y=k>0)的图象经过矩形ABC0对角线的交点E. E D (1)k= (2)过点B作8D∥AC,交该反比例函数的图象于点R,交x绪于点D,则船的值为 19.(2026安徽六安一模)如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E为AB的中点，点F为CE上的点. E (1)当DF⊥CE时，DF的长为 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)若DF=AD,此时AF的长为 20.(2026安徽阜阳.一模)如图，现有正方形纸片ABCD,点F在AD边上，沿BF折叠△ABF,点A落在 处，然后还原，FA'的延长线交CD于E,沿FE折叠△DEF,点D落在D处，然后还原. (1)若∠ABF=24°，则∠CED'= 0 0者-子 的值为 AF 21.(2026安微阜阳一模)如图，正方形ABCD的边长为2，E,F分别是AB,BC的中点，AF与DE, DB分别交于点M、N. B (1)AN= (2)aMND的面积是 三、解答题 22.（2026安徽宿州一模)已知四边形0ABC是正方形. 图1 图2 (I)如图1，ADE为等腰直角三角形，∠DAE=90°，两个顶点D、E和正方形顶点B三点在一条直线上，连 接OD,求证：△OAD≌△BAE; (2)在第(1)题条件下，如图2，连接CD,求证：CD平分∠ODB; 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 23.(2026安徽淮南一模)如图1，在正方形ABCD中，E为边AD上一点，连接BE,点A和关于BE对 称，连接AA'并延长，交BE于点F,交CD于点G,连接A'E. D G D G D G 图1 图2 图3 (1)求证：A'E=DG. (2)若E为AD的中点，连接AD. )如图2，求4D的值： AB (i)如图3，连接BD,取BD的中点O,连接OA,OF,判断aA'OF的形状，并说明理由 24.(2026安徽蚌埠一模)如图1，四边形ABCD和四边形CEFG均为正方形，点B,C,G在同一直线上， 连接BE,DG,EG. E D 图1 图2 (I)求证：BE=DG; (②)若EF=1,当DG所在直线平分BE时，求AB的值； 6)如图2，连接4B,AG,当4G平分∠BGE时，求4的值以及∠EAG的度数， EF 25.(2026安徽六安·一模)在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BD于点H,交BC于点E,交DC的延长 线于点F,点G是EF的中点，连接DG,BG,BC与DG交于点I. (I)求证：BG=DG; (2)求证：AH2+GF2=HG; 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)若AD=4,AB=2,求EI的长度. 26.(2026安徽合肥一模)如图，在ABC中，AB=AC,P为AC边上一点，连接PB,将△PBC沿PB翻 折，得到△PBD,PD交AB于点E. A B B B 图1 图2 图3 (I)如图1，当PD∥BC时，猜想四边形BCPD的形状，并说明理由： 2)当AP=AC时， ①如图2，若∠A=60°，BC=6,求BE的长， (i)如图3，若PD⊥AB,证明：BE=2AE+DE· 27.(2026安微阜阳·一模)在矩形ABCD中，点E在CD边上，DE<CE,过E作EF⊥AE,EF交BC于 F D E D E G B 图1 图2 (I)如图1，连接BE,若BE平分∠ABC. ①求证：AE=EF; ②求证：AB+BF=2AD; F为BC中点，EG平分∠AEp,EG交4B于G,AB=，,ADE2 28.(2026安徽安庆一模)己知正方形ABCD的边长为8，将其对角线AC绕点A顺时针旋转 0(0°<0<45)后，点C落在点H位置，此时AH与BC的交点为G,连接CH并延长交AB的延长线于点E ,作AF平分∠CAH交BC于点F,连接FH· 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D 图1 图2 (1)如图1，求证：AF⊥CE; (2)如图2，当点H为CE中点，连接BH. ①求BE长； ②求△ACF的面积. 29.(2026安微芜湖一模)如图1，平行四边形ABCD中，E,F为边AD,BC上两点，EF经过AC中点 O且EF⊥AC,EC平分LACD. D B B 图1 图2 (I)求证：四边形AFCE为菱形： (2)若DE=2,CD=14,求aCDE周长； ③如图2，当4BLBC时，连接DF,交AC于点G,求C的值 30.(2026安徽安庆·一模)如图①，在四边形ABCD中，∠ABC=∠DCB,E为BC上一点，且DE∥AB, 过点B作BF∥AD交DE的延长线于点F,连接CF,CF=BF. 图① 图② (I)求证：△ADE≌△FCD; (2)如图②，连接DB交AE于点G. ①若AG=DC,求证：BC平分∠DBF; ②若DB∥CF,求CE的值， BD 31.(2026安微合肥一模)矩形ABCD中，E为BC边上一点，F为矩形内一点，且AB=AF,EB=EF, 2/6 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 延长AF与直线CD交于点Q,与直线BC交于点H,延长EF与直线CD交于G点. 图1 图2 (1)如图1，当E为BC中点时， ①求证：EG=EH; ②若QD=2,DG=3,求AB长； (2)如图2，若CE=2BE,当G恰好为CD中点时，求证：BE=CQ 32.(2026安徽合肥一模)如图1，正方形ABCD中，E、F分别为边BC、CD上的点，且CE=CF,连接 AE、AF交BF,DE于G、H,已知G为BF的中点， 4 D H E 图1 图2 (I)求证：BF=DE; (2)若AB=2,求BE长； (3)如图2，连接BD,O为BD的中点，连接0G、OH、GH,判断aOGH的形状，并说明理由。 33.(2026安徽合肥一模)ISOA系列纸张尺寸是国际通用的标准尺寸，以A0为基础，通过等比例缩放的 方式衍生出A1、A2、A3等规格.日常生活普遍使用的A4规格的打印纸，就是其中一种.A系列纸张形状 为矩形，有如下特点：将其沿垂直于长边的线对折成两个全等的矩形后，得到的矩形与原矩形相似.如图1， 矩形ABCD表示某A系列纸张(AB>AD). 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B D G H 图1 图2 图3 (I)求AB:AD; (2)已知AB=2,点E为边CD的中点. (i)如图2，将△AEC绕点A旋转，使得点E的对应点F在线段AD的延长线上，点C的对应点为点G, 求△ACG的面积； (iⅱ)如图3，△AEH与△AEC关于直线AE对称，求证：DH∥AE. 34.（2026安微毫州一模)按要求完成下列各题： D A E B 图1 图2 图3 (I)如图1，点E是正方形ABCD的边上一点，连接AE,过点D作DF⊥AE于点G,交边AB于点F, ①求证：AF+CE=AD; ②如图2，连接E那，以FD,FE为邻边构造平行四边形DFEH,连接CH.求C的值， AF (②)如图3，矩形ABCD中，AD=12,AB=10,点F是边AB的中点，连接DF,过点A作AE⊥DF于点G, 交边BC于点E,连接EF,以FD,FE为邻边构造平行四边形DFEH,连接CH,求CH的长， 35.(2026安徽一模)如图1，四边形ABCD和四边形CDEF均为正方形，点G为对角线DF上一点，且 DG=DC,连接AG,过点D作DH平分∠CDF,DI⊥AG,分别交AG于点H,I,连接BH. D 图1 图2 (I)若Dl=l,求tan∠DA1; (2)求证：∠DHB=90°； 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)如图2，延长DH交CF于点J,求证：点H为DJ的中点， 36.(2026安徽阜阳.一模)如图，在菱形ABCD中，E为CD的中点，点F在CB的延长线上， ∠EAF=∠BAD,EF交AB于点G,H为GE上一点，且∠AHF=∠D. (I)求证：AE2=HE·EF· (2)若∠D=60°，EF.HE=27. ①求BG的长； ②连接CH,求证：CH⊥EF. 37.(2026安微一模)如图，在菱形ABCD中，点E,F分别在边BC,CD上，∠EAF=∠B=60°. D E (I)求证：BE=CF. (2)G为AF中点，EG交AC于点O,EH⊥AC,垂足为H. ①求证：△AEO∽△GH0; ②求证：EH+2GH=√3AH. 38.(2026安徽阜阳一模)在ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,点P是ABC外一点，PD⊥AC于D, 交AB边于E,PF⊥BC于F,交AB边于G,连接CE,CG, 图1 图2 图3 (I)如图1，若CE=CG,求证：四边形PDCF为正方形； (2)如图2，若PD=a,PF=b,AC=c(b<a<c),求△CEG的面积（用含a,b,C的式子表示）； (3)如图3，若AC为定值，∠ECG=45°，求证：四边形PDCF的面积为定值. 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2/6动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题05四边形 ☆2大考点概览 考点01平行四边形 考点02矩形、菱形、正方形 考点01 平行四边形 一、单选题 1.(2026安微合肥一模)如图，在口ABCD中，AB=8,以点D为圆心作弧，交AB于点M、N,分别以 点M、N为圆心，大于)MN为半径作弧，两弧交于点F,作直线DF交MB于点E,若∠BCE=∠DCE, 2 DE=4,则▣ABCD的周长是() D E AM B F米 A.22 B.24 C.26 D.28 【答案】C 【分析】证明BC=BE,利用勾服定理求得CE的长，作DG1CE于点G,求得CG=EG=CE=25,利 用tan∠DCE=tan/GCB,求得BG=√5，再利用勾股定理求得BC=5,据此求解即可. 【详解】解：由作图得DE上AB, .ABCD, :AB//CD,CD=AB=8,AD=BC, .DE⊥CD,∠DCE=∠BEC, CE=VDE2+CD2=V42+82=4V5, '∠BCE=LDCE, .∠BCE=∠BEC, :BC=BE, 如图，作BG⊥CE于点G, 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D G :.CG-EG-CE-25, E M N F不 :tan∠DCE=tan∠GCB, DE BG 4 BG CD CG 即 25, :.BG=5, BC=BG2+EG2=5, 口ABCD的周长=2(5+8)=26. 2.(2026安徽六安一模)如图，点4在反比例函数y=《的图象上，点C在y轴负半轴上，0C=2,平行 四边形AOCB的面积为6，点B的纵坐标为1，则k=() A.-9 B.-3 C.-12 D.-6 【答案】A 【分析】根据平行四边形的性质，可推出AB‖y轴，结合点B的纵坐标可得点A的纵坐标，然后根据平行 四边形的面积公式，可推出点A的横坐标，最后由反比例函数图象的性质即可求解. 【详解】解：：四边形AOCB是平行四边形，点C在y轴负半轴上，OC=2, AB=0C=2,AB‖OC,即ABy轴， 设点A的坐标为a,b)a<0), :点B的纵坐标为1， .b=1+2=3, :平行四边形AOCB的面积为6， ABa=6,即-2a=6, .a=-3, 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 点A的坐标为(-3,3)， :点A在反比例函数y=《的图象上， X k=3×(-3)=-9 3.(2026安微合肥一模)如图，在和ABCD中，点E是对角线AC上一点，过点E作FG∥AB分别交 AD,BC于点F,G,连接BE、DE,若S四边形rGcD=1,则下列面积一定可以求得结果的是() G A.S△EGC B.S.BC C.S。AED D.S.ECD 【答案】D 【分析】证明四边形FGCD是平行四边形，即可求解. 【详解】解：：四边形ABCD是平行四边形， AD∥BC 又：FG∥AB :.四边形FGCD是平行四边形， :点E在FG上， 1 1 、S,EcD=)Sm边形rGcD= 2 故选：D, 4.(2026安徽池州一模)如图，在平行四边形ABCD中，E,F分别为边AB,CD的中点，BD是对角线， 下列说法错误的是() D E B A.当∠A=2∠ABD时，四边形DEBF是菱形 B.当LADB=90°时，四边形DEBF是菱形 C.当AD=BD时，四边形DEBF是矩形 D.当DE平分∠ADB时，四边形DEBF是矩形 【答案】A 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【分析】根据题意逐一对选项进行分析即可得到本题答案。 【详解】解：：四边形ABCD是平行四边形， .AB=CD,AB∥CD, :E,F分别为边AB,CD的中点， 3B, DE=2CD,BE-】 ∴.DF=BE, 四边形DEBF是平行四边形， 当∠A=2∠ABD时，不能得到DE=BE,故不能判定四边形DEBF是菱形，即A选项符合题意， 当∠ADB=90°时，DE=BE=)AB :四边形DEBF是菱形，即B选项不符合题意， 当AD=BD时，DE⊥AB, .∠DEB=90°， :四边形DEBF是矩形，即C选项不符合题意， 当DE平分∠ADB时，如图，延长DE,CB交于点H, D E :DE平分∠ADB, .∠ADE=∠BDE, AD∥BH, .LH=∠ADE=LBDE, :DB=BH, .·AE=BE,∠AED=∠BEH,∠ADE=∠H, △ADE≌△BHE(AAS), :DE EH, .DE⊥EB, 四边形DEBF是矩形，即D选项不符合题意 5.(2026安徽阜阳一模)如图，在口ABCD中，O是AC的中点，E是AD上的动点，连接EO并延长，交 2/6 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 BC于点F,OG∥AD交CD于点G,则下列不是定值的是() F A.0G的长 B.四边形DEFC的面积 C.aC0G的面积 D.四边形DEFC的周长 【答案】D 【分析】判断0G是三角形中位线，AD的长一定，则OG的长一定；证出△AOE≌△COF得S.Aoe=ScoF, 则四边形DEFC的面积=Sm.面积一定：根据相似三角形的性质可得出。C0G的面积等于△ACD面积的}： 是定值；可证出△AOE≌△COF得CF=AE,得四边形DEFC周长=AD+CD+EF,EF是动线段，则周长 可变化， 【详解】解：：在口ABCD中，O是AC的中点， 0A=0C, :OG∥AD交CD于点G, OA GD OC GC ∴.GD=GC,即点G是CD的中点， :OG是△CAD的中位线， :.OG=AD, 2 :AD是定值， OG的长是定值，故A不符合题意： :四边形ABCD是平行四边形， AD∥BC, ∴LOAE=L0CF, 又0A=0C,∠A0E=LC0F, ∴.△AOE≌△C0F, .S.AOE =S.COF 四边形DEFC的面积=S因边形DEOc+S,coF=S因边形DEoc+S.AOE=S.Acp, 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :S4cD是定值， :四边形DEFC的面积是定值，故B不符合题意； :AD∥BC, △COGn△CAD, S.COG :.S.coG S。AcD' :S。4cp是定值， :△C0G的面积是定值，故C不符合题意； :△A0E≌△C0F, .AE =CF, 又四边形DEFC的周长=DC+DE+EF+CF=DC+DE+AE+EF=AD+DC+EF, :AD,DC固定，EF可以变化， :四边形DEFC的周长可以变化，不是一个定值，故选项D符合题意， 二、填空题 6.(2026安徽芜湖一模)如图，四边形ABCD中，E为AB边中点，∠BCD=90°，CE‖AD,F在CE上， 且DF‖AE.若BD=10,AD=4,则FC= 【答案】3 【分析】记BD交CE于点M,根据题意易得四边形AEFD是平行四边形、△BEM∽△BAD,然后根据平行四 边形的性质和相似三角形对应边成比例可求得EF=AD=4,EM=AD=2,BM=】BD,再由直角三角 形斜边上的中线等于斜边的一半求得CM,最后根据线段的和差即可求解， 【详解】解：如图，记BD交CE于点M, 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E D CEll AD,DFI AE,AD=4, :四边形AEFD是平行四边形， .EF AD=4, :EMI‖AD,E为AB边中点， 1 .BEM BAD,BE-AE-7AB. BM EM BE 1 BD AD AB 2 )AD=2,BM=BD，即点AM是B旺 又：∠BCD=90°，BD=10, .BM=DM=CM=-BD=5, :FC=CM-MF=CM-(EF-EM)=5-(4-2)=3. 三、解答题 7.(2026安徽淮南一模)在口ABCD中，AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F. D D G F B E 图1 图2 米的 0)如图1，若=2， (2)如图2，若AB=AD,连接EF并延长，交AD的延长线于点G. ①求证：CE=CF, ②当∠B=∠AEF时，求证：FG=AG.DG. 【10号 (2)①见解析②见解析 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，掌握平行四 边形的性质是解题的关键， (1)证明△AEB∽△AFD,运用相似三角形的性质可得结论根据平行四边形的面积公式解答即可： (2)①根据平行四边形的性质，利用AAS得到△AEB≌△AFD,然后根据对应边相等证明即可； ②根据推理得到∠AEB=∠AEC=90°，∠G=∠G,即可得到△GAF∽△GFD,然后根据相似三角形的对应边 成比例证明即可 【详解】(1)解：：四边形ABCD是平行四边形， .AB=CD,BC=AD,∠B=∠D, 又AE⊥BC,AF⊥CD, ∠AEB=∠AFD=90°， .△AEB∽△AFD, 片E、AB AF AD 又AD=BC,且AB=2 BC 3' AE2 (2)解：①证明：：四边形ABCD是平行四边形，且AB=AD, :平行四边形ABCD是菱形， .AB=BC=CD=AD,∠B=∠D, 又AE⊥BC,AF⊥CD, ∴∠AEB=∠AFD=90°， 在AAEB和△AFD中， ∠AEB=∠AFD ∠B=∠D AB=AD △AEB≌△AFD(AAS), :BE =DF, .BC-BE =CD -DF, CE=CF; ②证明：：AE⊥BC, .LAEB=LAEC=90°， 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴∠B+LBAE=LAEF+∠CEF=90°； :∠B=∠AEF, ∠BAE=∠CEF: 由①得∠BAE=∠DAF,LCEF=LCFE, :∠CFE=LDFG, .ZDAF ZDFG, ∠G=∠G, △GAFn△GFD, GFGA GD GF .FG2=AG.DG 8.(2026安微芜湖一模)如图1，平行四边形ABCD中，E,F为边AD,BC上两点，EF经过AC中点 O且EF⊥AC,EC平分∠ACD. 图1 图2 (I)求证：四边形AFCE为菱形： (2)若DE=2,CD=√14，求aCDE周长； ③)如图2，当4B1BC时，连接DF,交AC于点G,求EC的值. CD 【答案】(1)见解析 (2)7+V14 3)227 15 【分析】(1)先证明aAOE≌aCOF,可得四边形AFCE为平行四边形，结合EF⊥AC,即可证四边形 AFCE为菱形： (2)证明△ECD∽aCAD,求出AD的长度，易求aCDE周长： (3)作GH1BC,垂足为H,先得出G H 的比值，设GH=√5a,则FH=2a,再得出EG和CD的表达式， 即可得出结果 【详解】(1)证明：四边形ABCD为平行四边形， 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .AE FC, :ZAEF ZCFE. 又：A0=C0,LA0E=LC0F, △AOE≌△COF(AAS), .OE =OF, :四边形AFCE为平行四边形. 又：EF⊥AC, 四边形AFCE为菱形. (2)解：由(1)可知，四边形AFCE为菱形， .EA=EC, .∠EAC=∠ECA, :ZECD ZEAC, △ECD∽△CAD, ED CD ·CDAD 214 4AD AD=7, AE=5, EC=5, :△CDE周长为7+√14 (3)解：如图，作GH⊥BC,垂足为H, B 由题意可知，∠BCA=∠ECA=∠ECD=30°， CD =c05300= CE 2 又：CE=CF, 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 CD CF 2 GHICD, :GH-5 FH 2 设GH=√5a,则FH=2a, :EG=FG=7a,HC=3GH =3a, .FC=5a, CD-CF=xs 5a 2 -x5a= 2 2 GE√7a22 .CD5√3a 15· 2 9.(2026安徽安庆一模)如图①，在四边形ABCD中，LABC=LDCB,E为BC上一点，且DE∥AB,过 点B作BF∥AD交DE的延长线于点F,连接CF,CF=BF, 图① 图② (I)求证：△ADE≌△FCD; (2)如图②，连接DB交AE于点G. ①若AG=DC,求证：BC平分∠DBF; ②若DB∥CF,求CF的值. BD 【答案】(1)见解析 2)①见解析；②CF=5-1 BD 2 【分析】(1)先证DE=CD,再证四边形ABFD是平行四边形，则AD=BF,∠ADE=∠ABF,然后证 ∠ABF=∠DCF,则∠ADE=∠FCD,由SAS即可得出结论； (2)①连接CG,先证四边形AGCD是平行四边形，得CG∥AD,CG=AD,再证四边形BFCG是平行四边 形，然后证平行四边形BFCG是菱形，即可得出结论： ②先证△ABE∽△DEC,得DE=EC CF CE EF 则 DE EF DF BE 进而证△BDE∽△CFE,得 BDBE-DE' 然后 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 求出E-5-1,即可得出结论 DE 2 【详解】(1)证明：DE∥AB, :ZDEC ZABC, :∠ABC=∠DCB, :∠DEC=∠DCB, :DE=CD, DE∥AB,BF∥AD, :四边形ABFD是平行四边形， ,AD=BF,∠ADE=∠ABF, :CF=BF, ∴.∠FBC=∠FCB,AD=CF, .∠ABC+∠FBC=∠DCB+∠FCB, 即∠ABF=∠DCF, ∠ADE=∠FCD, 在ADE和△FCD中， AD=FC ∠ADE=∠FCD, DE=CD ,△ADE≌△FCD(SAS) (2)解：①证明：如图，连接CG, 由(1)得：△ADE≌△FCD, .∠DEA=∠CDF AE∥CD, AG=DC, :.四边形AGCD是平行四边形， 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 CG∥ADCG=AD, AD=BF,AD∥BF, CG∥BF,CG=BF, :四边形BFCG是平行四边形， CF=BF, :平行四边形BFCG是菱形， BC平分∠DBF; ②解：由(1)可知，△ADE≌△FCD, :∠AED=∠FDC, :DE∥AB, ∴.∠BAE=∠AED,∠ABE=∠DEC, .∠BAE=∠EDC, ∴△ABE∽△DEC, DE EC AB BE DE EC DF BE 由(1)可知，四边形BFCG是平行四边形， BD∥FC, △BDEn△CFE, CF CE EF BD BE DE DE EF DF DE .DF=DE EF, DE EF DE+EF DE' 即DE2=DE·EF+EF2, 两边除以DE得：1=EF+EF DEDE 解得： -5-1,或EF-5-1(舍去， DE 2 DE 2 CF EF5-1 BD DE 2 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【点晴】本题是四边形综合题目，考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判 定与性质、相似三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，本题综合 性强，熟练掌握菱形的判定与性质和平行四边形的判定与性质是解题的关键，属于中考常考题型 10.(2026安微合肥一模)己知口ABCD中，AD=kAB,E、F分别为边CD、AD上的点，且CE=AF, 连接AE、CF相交于点P,连接BP. 图1 图2 (1)当k=1时，如图1， ①若∠D=60°，∠DAP=50°，则LBCP=: ②若3FP=2PC,AB=6,求CE的长. (2)若k>1,如图2，试猜想∠ABP与∠CBP的数量关系，并给出证明. 【答案】(1)①70；②CE=2 (2)猜想：∠ABP=∠CBP,见解析 【分析】(1)①根据题意先证△ADE≌aCDF(SAS),得到∠AED=∠CFD,再结合三角形内角和及平行线的 性质求解即可； ②延长AE交BC的延长线于点G,先证aGC∽AGAB,得到C三=4B=?, CG BG 3 进而可求CE的长： (2)解法一：延长BP交CD的延长线于点G,过点E作EM∥AD,再根据平行线分线段成比例可得 CG=AD=BC,进而可得∠ABP=∠CBP;解法二：过点P作GH∥AB,MN∥AD,再证四边形MBHP为 菱形，则BP平分∠ABC,进而可得∠ABP=∠CBP. 【详解】(1)①：k=1, .AD=AB,则四边形ABCD为菱形， :AD CD,CE AF,DE CD-CE,DF=AD-AF, .DE=DF, 在ADE和CDF中， AD=CD ∠D=∠D DE=DF 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 △ADE≌△CDF(SAS), ∠AED=∠CFD, :∠D=60°，∠DAP=50°， ∠AED=180°-∠D-∠DAP=70°，即∠CFD=70°， ADI BC, :∠BCP=∠CFD=70°（两直线平行，内错角相等）： ②解：延长AE交BC的延长线于点G,如图1. 91 D .3FP=2PC, ----G 图1 FP2 PC=3 AD‖BC,AF=CE, CE=AF=FP=2 CG CG PC 3' :EC∥AB, :.△GEC∽△GAB, CE AB 2 CGBG3 :AB=6, :BG=9,CG=BG-BC=BG-AB=3, CE CG 3 1 AB-BG==3 .CE=2. (2)猜想：∠ABP=∠CBP, 证明：【解法一】延长BP交CD的延长线于点G,过点E作EM∥AD,如图2， 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 G D :ADI‖BC,AD∥ME, B 图2 AB AP AF CE CD EG PE ME ME FD :.EG=DF, .CG=AD BC, ∠GBC=∠G=∠ABG,即LABP=∠CBP. 【解法二】过点P作GH∥AB,MN∥AD,如图3， Aa Fc-aG b D e e MA-_c 四边形AMPG、GPND、MBHP、PHCN为平行四边形 b 图3 AF=CE=a,HC GD=b,MP=AG=c, PH =NC=d,AM =GP=c, 由，a=e得be=cd-ad, b= d 由，e=S得be=cd-ac, d-a b :.c=d, :四边形MBHP为菱形， .BP平分∠ABC, 即∠ABP=∠CBP, 11.(2026安徽安庆一模)如图，在口ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,AC=2AB,点E在线段 OD上，且OE=DE.连接CE. M D 2/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (I)求证：CE⊥BD; (2)若M,N分别是OA,BC的中点，且AB=20,连接EM,EN. ①求证：EM=EN; ②当EM⊥EN时，求口ABCD的面积. 【答案】（①）见解析 (2)①见解析；②480 【分析】(1)根据四边形ABCD是平行四边形，得出AB∥CD,AB=CD,AO=CO=二AC.结合 AC=2AB,得出CO=CD,证明△COD是等腰三角形，结合OE=DE,即可证明CE⊥BD; (2)①根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得出EN=号BC,证明EM是△40D的中位线，得出 EM=)AD,即可证明EN=EM. ②根据AD∥BC,EM是△AOD的中位线，得出EM∥BC,结合EM⊥EN,得出EN⊥BC,根据垂直平 分线的性质得出BE=CE,设OE=DE=x,则BO=D0=2DE=2x,BD=OB+OD=4x,得出 BE=CE=3x,在RtACED中，根据勾股定理列方程求出x再根据S。BCD=2S。Dc求解即可. 【详解】(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形， 1 .AB /CD,AB CD,AO=CO=AC. AC =2AB, .CO=CD, ∴.△COD是等腰三角形. 又：OE=DE, CE⊥BD; (2)①证明：：CE⊥D0, ∠BEC=90°. N为BC的中点， 5 ENBC. :四边形ABCD是平行四边形， :AD BC. E,M分别是OD,OA的中点， ∴.EM是△AOD的中位线， 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 EM -74D. ∴EN=EM. ②解：：EM是△AOD的中位线， :EMI‖AD, AD∥BC, :EM∥BC. :EM⊥EN, .EN⊥BC. :N是BC的中点， .BE =CE 设OE=DE=x,则BO=DO=2DE=2x,BD=OB+OD=4x. .BE=CE =0E+0B=3x. 在RtACED中，CD=AB=20, :DE2+CE2 CD2, 即x2+3x)=202, 解得：x=2√10（负值已舍去）， .BD=8V10,CE=6V10, .x61O-80. 12.(2026安徽合肥一模)在平行四边形ABCD中，点E在平行四边形ABCD内，连接EC,ED,EB, △ECD是等腰直角三角形，∠ECD=90°，其中EB=EC. D A F 图1 图2 图3 (I)如图1，求∠DAE的度数； (②)如图2，在BC上取点F使得AB=AF,求证：√2AE+BF=AD; (3)如图3，在2问的条件下，若B、E、D在同一直线上，当AE=√2时，求平行四边形ABCD的面积. 【答案】(1)45° 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)见解析 (3)3+22 【分析】(1)设∠ECB=x,可求出LBCD=90°+x,由平行四边形的性质可得出LADC=90°-x, ∠ABE=90°-2x,由AB=EB得出∠BAE=45°+x,进一步可得出结论； (2)在AD上截取DG=BF,连接EG,CG,证明四边形AFCG是平行四边形，得到AF ICG, AF=CG, ∠GCB=∠AFB,证明△ABE≌aGCE(SAS),再证明△AEG为等腰直角三角形，得AG=√2AE,从而可得出 结论； (3)过点E作PQ⊥AD交于点P,交BC于点Q,过点B作BH⊥AE交AE于点H,AF交BD于点K,分 别求出PQ、BC的长，根据平行四边形的面积公式求解即可. 【详解】(1)解：设∠ECB=x, EB=EC, ∴.∠EBC=LECB=x, :△ECD为等腰直角三角形， ∴.∠ECD=90°，∠CED=∠CDE=45°， .∠BCD=90°+x,EC=CD, .EB=CD=AB, :四边形ABCD是平行四边形， :.∠ADC=∠ABC=180°-∠BCD=180°-(90°+x=90°-x, ∠ABE=90°-x-x=90°-2x, AB=EB, ∠BAE-180-∠ABE_180°-(90°-21=45+， 2 :∠BAD=∠BCD=90°+x, ∠DAE=LBAD-∠BAE=90°+x-(45°+x=45°： (2)证明：如图，在AD上截取DG=BF,连接EG,CG; G D AD=BC, 图2 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AD-DG=BC-BF,即AG=CF. .AD I BC, :四边形AFCG是平行四边形， .AF‖CG,AF=CG, ∠GCB=∠AFB, :AB=AF, AB=GC,∠ABC=∠AFB, ∠GCB=∠ABC, BE=CE, ∠EBC=∠ECB, :∠ABC-LEBC=LGCB-∠ECB,即LABE=∠GCE, ∴△ABE≌△GCE(SAS）, :AE EG, ∠GAE=LAGE=45°， :△AEG是等腰直角三角形， :AG=2AE, AD CF BF =AG BF, .2AE+BF=AD: (3)解：过点E作PQ⊥AD交于点P,交BC于点Q,过点B作BH⊥AE交AE于点H,AF交BD于点K P E 图3 ∠CED=45°， .∠BEC=135°， .∠EBC=∠ECB=22.5°， ∠ABF=∠AFB=67.5°， 即∠BAF=45°， 2/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 '∠ABF=∠ADC,∠CBD=∠ADB, :∠ABK=∠EDC=45°， 即∠AKB=90°设AK=BK=x, AB=BE=√2x, KE=(2-x, 在Rt△AKE中，AK2+KE2=AE2, :AE=√2， +(5-x2=(2解得x=2+5 2 :概=xBH×AB=)×AK×BE, 1 2 BH-AKXBE2 AE √2 2 :BH⊥AE,AB=EB, .∠EBH=∠ABH=22.5°， ∠EBQ=∠EBH, 又EQ⊥BC, ∠BQE=∠BHE=90°， 又：BE=BE, :△BHE≌△BQE(AAS), E0=EH=)4E=5,B0=BH=2+2 2 2 .BC=2B0=2+2, AE=√2， PE=1, PO-PE+OE-1 2 :S,48cD=P0xBC=(2+V2)x1+ 2 =3+22 【点晴】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股 定理，三角形内角和定理等知识，正确作辅助线是解答本题的关键， 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 13.(2026安徽合肥一模)在平行四边形ABCD中，E,F分别为边BC,CD上两点. A G (1) (3) (I)当E是边BC中点时， ①如图(I),连接EF,如果AE=EF,求证：∠BAE=∠CFE; ②如图(2)，如果CF=DF,连接AE,BF交边AE于点G,求S△BEG:S△4EF的值； ②如图(3)所示，连接4,4F,如果4D=3,4B=2,CF=CD,∠AEB=∠4FE=∠EC.求4的 长. 【答案】（①①见解析：② 5 ②4F=2+32 2 【分析】(I)①延长FE,AB交于H,可证明△BEH≌aCEF(AAS),得到EH=EF,∠H=∠CFE,则可证 明AE=EH,得到∠H=∠BAE,则∠BAE=∠CFE: ②如图所示，延长BF,AD交于M,由平行四边形的性质得到AD∥BC,AD=BC,证明BEG∽MAG, ABCFAMDF,得到BE-GE=BC,BC=BF=CF=l,则BF=MF,BC=DM,设CE=BE=m, AM AG GM DM MF DF 4 G MG-AM4,即可得到C=2, 则BC=DM=2m，AM=AD+DM=4m,进而可得GE-BG-BE-, GF3:可证明 S△BGE=S△GE=GE-L，S△4Ba=BG-2 Sa:S2GAG4,SaFG有，设Sao=4n,则SaE=mSao=6n,则Saa=n,据 3 2 此可得答案： (2)延长AD,EF交于M,由平行四边形的性质可得AD∥BC,CD=AB=2,证明△AEF∽△ECF,再 证明△ECF△N0F,将到C需8后，求出CF=DF=1,设CE=N0:,Ef:DM=,期由 相似三角形的性质列出方程，解方程即可得到答案。 【详解】(1)解：①如图所示，延长FE,AB交于H, B E (1) 2/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 “四边形ABCD是平行四边形， AB∥CD, ∴∠EBH=∠ECF,∠EHB=∠EFC, :E是边BC中点， .BE CE, △BEH≌aCEF(AAS), .EH=EF,∠H=∠CFE, AE EF, ∴.AE=EH, ÷∠H=∠BAE, .∠BAE=∠CFE: ②如图所示，延长BF,AD交于M, O ----=-M G E :四边形ABCD是平行四边形， AD∥BC,AD=BC, BEG∽MAG,△BCFAMDF, BE GE BG BC BF CF AM AG GM DM MF DF =1, ∴.BF=MF,BC=DM, :E是边BC中点， .BC 2CE =2BE, 设CE=BE=m,则BC=DM=2m, .AM AD DM 4m, GE BG BE m 1 AG MG AM 4m4' BE =1, MF BG 2 GF3 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 S.NGE=S.GFE=GE=1 SAABG.= BG 2 S.BGA AG4'SAAFG FG3' 设S△HB6=4n,则S△BGE=,SAAFG=6n, 3 SARGE= S△BGE =-I1 2 .S△AEF 3 S△4Gr+SAEGF6n+3n 15: (2)解；如图所示，延长AD,EF交于M, 0 -M E :∠AEB+∠AEF+∠FEC=∠EFC+∠FCE+∠FEC=I80°，∠AEB=LEFC, ∠AEF=∠FCE, ∴△AEF∽△ECF, :四边形ABCD是平行四边形， .AD∥BC,CD=AB=2, .△ECF∽△MDF, CF-4CD-DF-1. .EC=MD,EF=FM, :AD∥BC, ∠AEB=LEAD, :∠AEB=∠AFE=∠EFC, ∴.∠EFA=∠EAD, 又：∠AEF=∠MEA, ∴△AEF∽△MEA; 设CE=MD=x,EF=FM=y, :△AEF∽△ECF, CF CE EF .I x y EF AE,即马 yAEAF .AE=xy,AF=y, 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .AM AD +DM =3+x; :△AEF∽△MEA, EFAEAF AE EMAM 即=少=y xy 2y 3+x ÷Af=y2=2+32 2 【点晴】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，等腰 三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题的关键. 考点02 矩形、菱形、正方形 单选题 1.(2026安微准南一模)如图，在ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,P为ABC外一点，过点P分别 作PM⊥AC于点M,PN⊥BC于点N,PM,PN分别交边AB于D,E两点，连接CD,CE.若矩形 PMCN的周长为定值，则下列结论不为定值的是() A.PD+PE B.△PDE的面积 C.CD+CE D.△DCE的面积 【答案】C 【分析】由等腰直角三角形的性质可得LA=∠B=45°，结合角平分线的性质定理可得DM=AM,BN=EN ,进而可得△PDE为等腰直角三角形，由矩形PMCN的周长为定值，得出CM+CN为定值，由此逐项分析 即可得出结果。 【详解】解：：在ABC中，∠ACB=90°，AC=BC, .∠A=∠B=45°， 又PM⊥AC,PN⊥BC,∠A=∠ADM=45°，∠B=∠BEN=45°， .DM=AM,BN=EN,∠PDE=∠ADM=45°，∠PED=∠BEN=45°， aPDE是等腰直角三角形， :矩形PMCN的周长为定值， 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 CM+CN为定值， PD+PE =2PD=2(CN-DM) =2(CN-AM) =2[CN-(4C-CM)] =2(CM +CN-AC), .PD+PE为定值，故A不符合题意； CM+CN-ACY △PDE的面积为定值，故B不符合题意； CD+CE =CM2+DM2+CN2+EN2 =CM2+(AC-CM)+CN2+(AC-CN)2, :CD+CE不为定值，故C符合题意； S.DCE=S.A8C-S.BCE-S.ACD CE-AC.DM -C-4C.BN-AC.AM 2 -c-1AC-(BC-CN)-AC-(AC-CM) Γ21 21 4C(AC-BC+CN-AC+CM) =LAC-(CM+CN-BC). 2 Sam=号4C(CM+Cv-BC为定值，敌D不行合题意 2.(2026安徽合肥一模)如图，菱形ABCD中，∠D=60°，点G、H分别在BC、AB上，CG=4, AH=6,∠AGH=60°，则菱形ABCD的边长为() 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.85 B.10W5 C.8 D.2 【答案】C 【分析】连接AC,由菱形ABCD中，∠D=60°，得到LD=∠B=60°，ABC是等边三角形，则 ∠BAC=∠BCA=∠B=60°，AB=BC=AC,再根据LAGH=60°结合一线三等角模型证明△BGHCAG, 得到BH=BG 代入解方程即可。 CG AC 【详解】解：连接AC, H G :菱形ABCD中，∠D=60°， .∠D=∠B=60°，∠BCD=∠BAD=120°，AB=BC, ∴.ABC是等边三角形， .∠BAC=LBCA=∠B=60°，AB=BC=AC, 设AB=BC=AC=x, :CG=4,AH=6, .BG =BC-CG x-4,BH=AB-AH=x-6, ∠AGH=60°，∠AGB=LAGH+∠BGH=∠ACB+∠GAC .∠BGH=LGAC, △BGH∽aCAG, BH BG CG AC' ,x-6_x-4 4 整理得x2-10x+16=0, 解得x1=2,x2=8, BH=AB-AH=x-6>0, .AB=BC=AC=x=8, 即菱形ABCD的边长为8. 3.(2026安徽合肥.一模)如图，在矩形ABCD中，AF,DE分别平分∠BAD和∠ADC,E为BF的中点， 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 DC AF和DE交于点G,则 的值是() DG G E F C A.1 B. c.25 D.45 2 3 【答案】C 【分析】根据矩形的性质和角平分线的定义可得到∠BAF=∠AFB,∠CDE=∠DEC，再根据等角对等边 得到BF=AB=CD=CE,CE=CD,则BE=EF=CF,设EF=x,利用勾股定理求得DE=22x,然 后证明。4GD∽&FGE,利用相似三角形的性质推导出DG=2DE=35,进而可得答案， 2 【详解】解：：四边形ABCD是矩形， ∴.AD∥BC,AB=CD,AD=BC,∠C=90°， .∠DAF=∠AFB,LADE=LDEC, :AF,DE分别平分∠BAD和∠ADC, .∠DAF=∠BAF,LADE=∠CDE, ∠BAF=∠AFB,LCDE=∠DEC, ∴BF=AB,CE=CD, BF=CE, :E为BF的中点， ∴BE=EF=CF,设EF=x, .CD =2EF=2x,AD=BC=3x, DE =CD2+CE2 =2v2x, :AD∥BC, ..AAGDAFGE, DG AD ，=3, GE EF 3V2 DG 4 2 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 DC 2x=22 DG 32 3· 2 x 4.(2026安徽合肥一模)如图，在矩形ABCD中，动点P从D点出发，以1cm/s的速度沿着DA向A点运 动，同时动点Q从B点出发以2cm/s的速度沿BC向C点运动，若其中一个动点到达终点，另一动点也同时 停止.将四边形PDCQ以直线PQ为轴进行翻折，得到四边形PD'CQ,则下列结论错误的是() D A.若PQ交对角线BD于点E,则QE=2PE B.若点D'在AD边上时，BQ=2CQ C.若射线QC经过点A,则线段AP、CD'互相平分 D.若AB=3cm,BC=3√2cm,点A、C两点间距离最小为V3-1cm 【答案】D 【分析】根据点P、Q的运动速度可知BQ=2PD,根据矩形的性质可以判断△PDE∽△QBE,根据相似三角 形的性质可得QE=2PE；若D'点在AD边上时，四边形PQCD为矩形，根据点P、Q的运动速度可知 BQ=2CQ;若射线OC'经过点A,可知AP=AQ=AD-t,CQ=CQ=AD-21,AC'=t,可证 △AC'F≌△PD'F,根据全等三角形对应边相等可证AP、CD'互相平分；连接BD交PQ于点E,连接AE, 作AF⊥BD于点F,可得点C在以E为圆心，以√Cm为半径的圆弧上，当AF垂直平分BE时，点A、 C两点间距离最小为AE-CE=3-√6. 【详解】解：如下图所示， D' 由题意可知BQ=2PD, 又，PDI BO, ∴.△PDE∽△QBE, ∴.QE=2PE, 故A选项正确； 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 如下图所示，若D'点在AD边上时，四边形PQCD为矩形， D --,D :PD=CO, C ∴.BQ=2CQ, 故B选项正确： 如下图所示， D' D 若射线QC经过点A, 则∠ACF=∠D'=90°， .AC'll PD', 设PD=t,则BQ=2t, ∠AQP=∠CQP=∠APQ, .AP AO=AD-t, 又CQ=CQ=BC-BQ=AD-2t, :AC'=A0-C'O=(AD-1)-(AD-21)=1, :AC'=PD'=PD, ∴△AC'F≌△PD'F, :AF =PF,C'F=D'F, .AP、CD'互相平分， 故C选项正确； 如下图所示，连接BD交PQ于点E,连接AE,作AF⊥BD于点F, D :AB CD 3cm,BC=32cm, 2/6 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :.BD=33cm,DE=BD=3cm,BE=2cm DEDB=3x33=9=CD2, △CDE∽△BDC, CE⊥BD, .CE=EC'=6cm, ·点C在以E为圆心，以√6cm为半径的圆弧上， :△ABF≌△CDE, :BF=FE =ED, ,AF垂直平分BE, 即AE=AB, :点A、C两点间距离最小为AE-CE=3-√6， 故D选项错误。 5.(2026安徽滁州一模)如图，在矩形ABCD中，AD=√2AB,∠BAD的平分线交BC于点E,DH⊥AE, 垂足为H,连接BH并延长，交CD于点F,DE交BF于点O.有下列结论：①ADHE≌△DCE;② ∠DHO=30°；③OE=OD;④BH=HF;其中正确的个数为() H B E A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C 【分析】根据角平分线的定义可得∠BAE=∠DAE=45°，然后求出△ABE,△AHD是等腰直角三角形，然 后利用角角边证明△ABE和。AHD全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=DH,然后证明出 △DHE≌△DCE(HL),即可判断①；再根据等腰三角形两底角相等求出∠ADE=∠AED=67.5°，根据平角 等于180°求出∠CED=67.5°，从而判断出②；求出∠AHB=67.5°，∠DH0=∠0DH=22.5°，然后根据等角 对等边可得OE=OD=OH,即可判断③；连接CH,利用全等三角形的性质证明BH=CH,再证明 HF=CH,可得结论. 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【详解】解：：四边形ABCD是矩形， ∠BAD=90°， :AE平分∠BAD, ∠BAE=∠DAE=45°， △ABE,△AHD是等腰直角三角形， :AE =2AB, AD=2AB, .AE AD, 在△ABE和△AHD中， ∠BAE=∠DAE ∠ABE=∠AHD, AE=AD △ABE≌△AHD(AAS, :BE DH, :AB=BE AH =HD=CD, 又：DE=DE,∠DHE=∠C=90° :aDHE≌△DCE(HL),，故①正确： AB=AH, :∠4HB=180°-45)=67.5°，∠AED=180°-45)=67.5° ∠0HE=∠AHB=67.5°，∠0HE=67.5°=∠AED, .0E=0H, :LDH0=90°-67.5°=22.5°，故②错误； ∠0DH=67.5°-45°=22.5°， .∠DHO=∠ODH, ..OH=OD, ÷OE=OD=OH,故③正确； 连接CH, 2/6 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :AB=DC,∠BAH=∠CDH=45°，AH=DH, B E △BAH≌△CDH, :BH=CH, ∠HBC=∠HCB, :∠HBC+∠CFH=90°，∠HCB+∠HCF=90°， .∠HCF=∠HFC, :HC=HF, HB=HF,故④正确. 综上可知，正确的为①③④ 6.(2026安微安庆一模)如图，已知四边形ABCD是矩形，点D在直线EF上，若DA平分∠BDE,则下 列结论不正确的是() A.DC平分∠BDF B.AC∥EF C.∠C0D=2∠ADB D.△COD是等边三角形 【答案】D 【分析】由矩形的性质可得∠ADC=90°，OA=OD,再利用角的和差以及等量代换可得 ∠ADO+∠ODC=90°，∠OAD=∠BDA,再结合题意可得∠ADE+∠CDF=90°、∠ADE=∠ADB,易得 ∠CDF=∠ODC,即可判断A选项；先说明∠OAD=∠ADE,再利用平行线的判定定理可判断B选项；由 ∠OAD=∠BDA结合三角形外角的性质即可判定C选项；由于不能说明∠COD=60°，即可判断D选项. 【详解】解：：四边形ABCD是矩形， ∠ADC=90°，OA=OD, ∴.∠ADO+∠ODC=90°，∠OAD=∠BDA, :点D在直线EF上，∠ADC=90°， ∴.∠ADE+∠CDF+∠ADC=180°， 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠ADE+∠CDF=90°， :DA平分∠BDE, ∠ADE=∠ADB, ∠CDF=LODC,即DC平分∠BDF,故A正确，不符合题意； :∠OAD=∠ODA,∠ADE=∠ADB, ∠OAD=LADE, :AC∥EF,即选项B正确，不符合题意； :∠OAD=∠BDA, ∠COD=∠OAD+∠BDA=2∠ADB,故C正确，不符合题意； :只能说明LCOD=2LADB,不能说明∠C0D=60°，故不能说明△COD是等边三角形，即选项D错误， 符合题意。 7.(2026安徽合肥一模)如图，在边长为1的正方形ABCD中，动点F,E分别以相同的速度从D,C两 点同时出发向C和B运动（任何一个点到达即停止），连接AE,BF交于点P,过点P作PM∥CD交BC于 M点，PN∥BC交CD于N点，连接MN.设DF=CE=1(0<1≤1.在运动过程中，下列结论中正确的个 数() ①△ABE≌△BCF且AE1BF;②线段MN的最小值为I+5,③CF:=PE~BF:④当1=)时， 2 2 △PMN为等腰直角三角形. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C 【分析】根据正方形的性质与判定证明、相似三角形的判定与性质综合. 【详解】解：如图， G B 2/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :动点F,E的速度相同， .DF=CE, 又：CD=BC, :CF=BE, 在△ABE和BCF中， AB=BC=1 ∠ABE=∠BCF=90°， BE=CF aABE≌△BCF(SAS), ∠BAE=∠CBF,AE=BF, :∠BAE+∠BEA=90°， .∠CBF+∠BEA=90°， ·∠APB=90°，故①正确； 在△BPE和BCF中， :∠BPE=∠BCF,∠PBE=∠CBF, .△BPE∽△BCF, PE BE CF BF CF·BE=PE·BF, .CF =BE, .CF2=PE·BF,故③正确； :点P在运动中保持∠APB=90°， :点P的路径是一段以AB为直径的弧， 设AB的中点为G,连接CG交弧于点P,此时CP的长度最小， 在u8coc6=N6ce+80-y-今-9 8CP=CG-PG=515-1 222 则线段CP,即MN的最小值为5-」，枚②正确： 2 △PMW是直角三角形，PM≠PN,④错误. 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 综上可知正确的有3个 8.(2026安徽毫州一模)如图，点D是ABC的边AB的中点，按下列方法尺规作图：先以点D为角的顶 点，以DA所在射线为角的一边，在DA的右侧作∠ADM=∠ABC,然后在射线DM上截取DE=BC,最后 连接CD,CE,AE.根据以上条件和作法，下列判断不正确的是() A.若AC⊥BC,则四边形ADCE是菱形 B.若四边形ADCE是菱形，则ABC是直角三角形 C.若AC=BC,则四边形ADCE是矩形 D.若ABC是直角三角形，则四边形ADCE是正方形 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，矩形的判定，正方形的判定，正确掌 握相关性质内容是解题的关键.先根据作图过程，证明四边形BCED是平行四边形，又因为点D是ABC的 边AB的中点，证明四边形ADCE是平行四边形，然后结合每个选项的条件进行分析，即可作答. 【详解】解：：∠ADM=LABC, DE∥BC, DE=BC, .四边形BCED是平行四边形， CE=BD,CEI‖AB, :点D是ABC的边AB的中点， .AD=BD .AD=CE :CE∥AD :四边形ADCE是平行四边形， :AC⊥BC, :四边形ADCE是菱形， 故A选项正确，不符合题意： :四边形ADCE是菱形， 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :AC⊥DE :∠ADM=∠ABC, DE∥BC, AC⊥BC, 则ABC是直角三角形 故B选项正确，不符合题意； DE=BC,AC=BC, ∴AC=DE, :四边形ADCE是平行四边形， :.四边形ADCE是矩形， 故C选项正确，不符合题意； :ABC是直角三角形， 当∠ABC=90°时， :DE∥BC ∠ADE=90° 此时∠ADC>∠ADE=90°， 则四边形ADCE不是正方形， 或当∠CAB=90°时， 此时∠DAE>∠CAB=90°， 则四边形ADCE不是正方形， 或当LBCA=90°时， DE BC .AC⊥DE, 但AC,DE不一定相等， 则四边形ADCE不是正方形， 故D选项不正确，符合题意； 9.(2026安徽阜阳一模)如图，在矩形ABCD中，AB=4cm,BC=6cm,BE平分∠ABC交AD于点E, 连接CE,取CE的中点F,连接DF,则DF的长为() 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.25cm B.5cm C.2√3cm D.√5cm 【答案】B 【分析】由矩形的性质可得，AD∥BC,结合BE平分∠ABC,可以推出AB=AE=4cm,在Rt△CDE中， 先使用勾股定理计算出斜边CE的长，再用直角三角形的性质算出DF的长. 【详解】解：：四边形ABCD是矩形， :AB=DC=4cm,AD=BC=6cm,AD∥BC,∠CDE=90°， :∠AEB=∠EBC, :BE平分∠ABC, .∠EBA=LEBC, .∠AEB=∠EBA, ∴.AB=AE=4cm, .DE AD-AE=6-4=2(cm), 在Rt△CDE中，CE=VDC2+DE2=V42+22=2V5(cm, :点F是CE的中点， DF是Rt△CDE斜边上的中线， :DF=CE=5em. 2 10.(2026安徽阜阳一模)如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,点E是边AD的中点， 点F在对角线AC上，且AF=AC,连接EF,若AC=12,则EF的长为() F B C A.2 B.3 C.4 D.6 【答案】B 2/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1 1 【分析】根据矩形的性质，三角形的中位线定理，得到EF=二OD=二BD，即可得出结果 2 4 【详解】解：：矩形ABCD, 1 ∴BD=AC=12,OA= AC.OD-1BD, :AF=104, :点E是边AD的中点， .EF =OD 2 EF=IBD=3 4 11.(2026安徽一模)如图，矩形ABCD中，AD=45,对角线AC,BD交于点O,∠B0C=120°，E为AC上 一动点，F为DE中点，则下列结论正确的是() A.DE的最小值为3√3 B.DF的最小值为2W5 C.F0+FC的最小值为27 D.△OCF的周长最小值为2+2√7 【答案】C 【分析】先证明△OCD为等边三角形，进而得到∠4CD=60°，根据含30度角的直角三角形的性质求出 CD,AC的长，根据垂线段最短得到当DE⊥AC时，DE最短，进而求出DE的最小值，根据F为DE中点， 得到DF=号DE,进而求出DF的最小值，取AD的中点P,CD的中点Q,连接PF,PQ,三角形的中位线 定理，得到PF∥AE,PQ∥AC,进而得到P,F,Q三点共线，即点F在直线PO上运动，作点C关于直线PQ 的对称点C,连接OC',进而得到当点F在OC'上时，FO+FC的值最小为OC'的长，进而求出F0+FC 的最小值，利用F0+FC的最小值加上OC的长即为△OCF周长的最小值，进行判断即可. 【详解】解：：矩形ABCD, 0A=0B=0C=0D，∠ADC=90°， :∠B0C=120°， .LD0C=60°， 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :△OCD为等边三角形， .∠ACD=60°， ∠DAC=90°-∠ACD=30°， 1 CD=三AC,AD=V3CD=45, 2 CD=4,AC=8, :点E为AC上一动点， :当DE1AC时，DE的值最小， 在Rt△AED中，∠DAE=30°，AD=4V3, DE=25, 故DE的最小值为2√5；故A选项错误； :F为DE的中点， :DF=IDE, 2 :DF的最小值为二×2√3=V3;故B选项错误； 取AD的中点P,CD的中点Q,连接PF,PQ, B 则：PF∥AE,PQ∥AC, ∴P,F,Q三点共线， 点F在直线PO上运动， 作点C关于直线PO的对称点C,连接OC',连接CC'交直线PQ于点G,则：F0+FC=F0+FC'≥OC', FG垂直平分CC', :当点F在OC'上时，F0+FC的值最小为OC的长， :PQ∥AC, :∠GQC=∠ACD=60°， ∠QCG=90°-∠CQG=30°， :QG=C0=2CD=l,CG=30G=V5,∠CC0=∠ACD+∠CCQ=90°， 2/6 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :CC'=2CG=25, :0C=。AC=4, 在Rta0CC'中，0C'=V0C2+CC2=2V7, :.F0+FC的最小值为2√7；故C选项正确： :△OCF的周长=F0+FC+0C, ∴.△OCF的周长最小值为4+2√7；故D选项错误， 故选C 【点晴】本题考查矩形的性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，垂 线段最短，利用轴对称解决线段和，周长最小问题，熟练掌握相关知识点，确定点F的轨迹，是解题的关 键。 12.(2026安徽安庆一模)如图，在矩形ABCD中，∠ADC的平分线与AB交于点E,点F在DE的延长 线上，LBFE=90°，连接AF,CF,CF与AB交于点G.下列结论错误的是() 人9 A.AE·BE=DE·EF B.AG·BG=FG.CG C.AF·BF=DF.GF D.AF.CF=DF·BF 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质及相似三角形 的判定与性质，根据已知条件，利用矩形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性 质及全等三角形的判定与性质逐一分析各选项是否符合题意即可. 【详解】解：A项：∠DAE=∠EFB=90°，∠AED=∠BEF, ∴.△AED∽△FEB, AEDE EF BE 即AE·BE=DE·EF,故A正确，不符合题意； B项：：DE平分∠ADC, ∴.∠ADE=LCDE=45°， 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 又：∠DAB=90°， ∠DEA=45°， :AD AE, :四边形ABCD为矩形， ∴AD=AE=BC, :LEFB=90°， ∠EBF=∠BEF=∠DEA=45°， ∴EF=FB, :∠CBF=∠CBA+∠ABF=135°，∠AEF=180°-∠DEA=135°， ∠CBF=LAEF, 在△AEF和CBF中， AE=BC ∠AEF=∠CBF, EF=BF △AEF≌aCBF(SAS), .∠FAE=∠FCB, :∠AGF=LCGB, △AGF∽aCGB, AG FG CG GB 即AG·BG=FG·CG,故B正确，不符合题意； C项：△AEF≌△CBF, ∠AFD=∠BFC, 又：∠GBF=∠ADE=45°， ∴△ADFAGBF, AF GF ·DFBF 即AF·BF=DF·GF,故C正确，不符合题意； D项：假设AF·CF=DF·BF,则△AFDn△BFC, ∠AFD=∠BFC,∠ADF=∠BCF=45°， :∠BCD=90°， 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 LDCF=45°， :∠CDF=45°， :∠DFC=90°，显然不可能，故D错误，符合题意， 故选：D 13.(2026安微安庆一模)在菱形ABCD中，已知AB=5,BD=8,AC与BD相交于点O,点E为0D上一 点，将ADE沿着AE翻折得到△AFE,使点F落在边BC上，则DE的长为() 12 A. B.2.5 C.3 D. 25 5 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理、折叠的性质、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱 形和折叠的性质是解题关键，先根据菱形的性质可得AD=AB=5,OD=】BD=4,AC⊥BD, ∠ABC=∠ADC=2∠ADB,AD∥BC,利用勾股定理可得OA=3,再设DE=x,则OE=4-x,根据折叠的 性质可得AF=AD=5,∠EAF=∠EAD=】∠DAF,然后证出∠ADB=∠EAD,根据等腰三角形的判定可得 2 AE=DE=x,最后在Rt△AOE中，利用勾股定理求解即可得， 【详解】解：：在菱形ABCD中，AB=5,BD=8, :AD=AB=5,OD=BD=4,AC⊥BD,∠ABC=∠ADC=2∠ADB,AD∥BC, 0A=√AD2-0D2=3, 设DE=x,则OE=OD-DE=4-x, :点E为OD上一点， .0≤x≤4， 由折叠的性质得：AF=AD=5,∠EAF=∠EAD= ∠DAF, 2 .AB=AF, ∠AFB=∠ABC=2LADB, 又：AD∥BC, 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ÷∠DAF=∠AFB=2∠ADB, ∠ADB=∠EAD, :AE DE =x, 在Rt△A0E中，OA2+OE2=AE2,即32+(4-x=x2, 解得x= ，符合题意， .DE= 25 故选：D 二、填空题 14.(2026安徽合肥一模)如图，在矩形纸片ABCD中，AB=2,AD=22,E为边AD的中点，点F在边 CD上，连接EF,将△DEF沿EF翻折，点D的对应点为D,连接BD',若BD=2√2，(I)连接BE,则 ∠EBD'=(2)DF=· B 【答案】 30°30度 √6-2 【分析】连接BE,延长FE交BA的延长线于H,根据折叠的性质及矩形的性质，证明 RtaHAE≌RtAFDE(ASA),进而得到△BED'为直角三角形，即可求∠EBD';设LDEF=a,则 ∠AEH=∠DEF=a,∠DED'=2a,证明△BHE为等腰三角形，求出AH,即可解答. 【详解】解：如图，连接BE,延长FE交BA的延长线于H, H D :矩形ABCD中，AB=2,AD=2√2，E为边AD的中点， 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AE=DE=√2，∠BAE=∠D=90°， :将ADEF沿EF翻折，点D的对应点为D, :ED=ED'=√2，LED'F=∠D=90°，∠DEF=∠D'EF, 则RtAHAE≌RtAFDE(ASA, ∴.DF=AH, BE=AB2+AE2=4+2=6, :BD'=2V2, (2+(6=22, ED'2+BE2=BD'2, :.△BED'为直角三角形， ÷sin∠EBD=ED-2 1 BD2√22' .∠EBD'=30°； 设∠DEF=a,则∠AEH=∠DEF=a,∠DED'=2a, .∠AEB=90°-2a,∠AHE=90°-a, HEB=∠AHE=90°-a, ∴△BHE为等腰三角形， :BH=BE=6, AH BH-AB=6-2, :DF=AH=6-2. 故答案为：30°，√6-2. 15.(2026安徽合肥一模)定义：一个矩形较短边与较长边之比是5-L,则这个矩形叫作黄金矩形.如 2 图I,矩形ABCD为黄金矩形(AB<AD),E为BC边上一点，将矩形ABCD沿AE折叠后，点B恰好落在 AD上点F处. 1/6 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 F D B E E 图1 图2 (1) FD AF (2)如图2，G为AB边上一动点，过G点作GH⊥EF,垂足为H,将矩形ABCD沿EG折叠，点B的对 应点为B, EB交AD于点Q,若矩形BGHE为黄金矩形，则 D 【答案】 V5-1 5 2 【分析】(1)由折叠的性质可得AF=AB,设AF=AB=a,由黄金矩形的定义可得 2a AD=- 5+口，进而得到D-5-,最后求比即可。 5-1 2 2 (2)先说明四边形ABEF是正方形得AF=AB=EF=BE,设AB=a,则AF=AB=EF=BE=a,由黄金矩 形定义D=2a(5+1 2、BG:Gm-(5,04G.B-)e:由折叠的性质可得 5-12 2 =BG5a,设A0=x,则QP=Q-,运用勾股定理列方程可求得A0,进而求的D0,后求 即可 【详解】解：(I):将矩形ABCD沿AE折叠后，点B恰好落在AD上点F处. .AF AB, 设f=48=a,则4D=2如-5+0 V5-12 FD=AD-AF (5+1a(5-la -a= 2 2 √5-1 :FD 2'05-1 AF a 2 (2):将矩形ABCD沿AE折叠后，点B恰好落在AD上点F处， ,四边形ABEF是正方形， .AF AB=EF BE, 设AB=a,则AF=AB=EF=BE=a, 2/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 由黄金矩形定义AD= 2a 5+1a √5-12 :矩形BGHE为黄金矩形， G=5-L,即8G.5-1,解得：BG=5-1a, BE 2 2 2 (5-1a(3-5a AG=AB-BG=a- 2 :将矩形ABCD沿EG折叠，点B的对应点为B, B'G=BG=5-1 , 2 设AQ=x,则QF=（a-x), :.QE=EF2+OF2=a+(a-x)2. ÷QB=Va2+a-x2-a, og-0g6w-(Fo-可-j-j 在0c,60=0r4c=r-5。j (o可-j5jj:= .AO= 30, OD=AD-A0= 5+1a1, 2 2 1 2 0 16.(2026安徽准南一模)如图，在矩形ABCD中，AD=3,AB=2,E为CD的中点，连接AE,过点A 作AF⊥AE,与CB延长线交于点F. 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D E F B G 》品的做为 (2)已知BC边上有一点G,连接AG,若AG平分∠FAE,则AG的长度为 【答案】 3 5 【分析】(1)证明△ADE∽△ABF即可解答； (2)过点G作GH⊥AF于点H,证明△ABF∽△GHF,再推出∠GAE=∠FAG=45°，可得 AF=AH+HF-AH+1AH-4AH=2 2,解得AH即可解答。 3 3 3 【详解】(1)：四边形ABCD为矩形， ∠BAD=∠ADE=∠ABC=90°，DC=AB=2, AF⊥AE, ∠FAE=LBAD=90°， .∠FAE-∠BAE=∠BAD-∠BAE,即∠FAB=∠EAD, :∠ABF=∠ADE=90°， ∴.AAFB∽△AED, .AB AD FB DE “E为CD的中点， :DE=-DC=1, AB AD FB DE =3 (2)如图，过点G作GH⊥AF于点H. D E AB_AD=3, H FB DE F B G FB=写，则AF=VAB+FB-20 2 3 ∠F=∠F,∠ABF=∠GHF=90, △ABF∽△GHF, 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AB GH BFHF =3 :AF⊥AE,AG平分∠FAE, LGAE=∠FAG=45°， ∠HGA=45°， AH=GH.AF-AH+HF-AH+1AH-4AH=20 3 3 解得4H=0 :AG=2AH=5. 【点睛】根据∠FAG=45°，作出辅助线构造等腰直角三角形是解题的关键. 17.(2026安徽合肥一模)如图，O为坐标原点，点AB在坐标轴上，四边形0ACB是矩形，且点C在函数 y-4x>0)的图象上，边AC,BC与函数y=的图象分别交于点M,N. (1)△A0M与aC0N的面积之和为： (2)若△MON为直角三角形，则该三角形的直角顶点的横坐标为 VA B M 1 【答案】 2 或2 2 【分析】(1)根据k的几何意义，即可求解； 2收c则》 进而分类讨论，当N为直角三角形的顶点，当M为 a 直角三角形的顶点，分别画出图形，根据相似三角形的性质，即可求解。 1 1 【详解】解：依题意，S.oaw=S.ov=2S.oc-2 ×4=2 :△A0M与aC0N的面积之和为S。AoM+S.coN=SBON+S.cON=S.Boc=2 ②解：设c则M) aaa 当N为直角三角形的顶点时， 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 如图， 1 A :∠0BC=∠BCA=∠0NM=90° ∴.∠B0N=90°-∠BN0=∠MNC △BON∽aCNM BO BN NCCM 4 a 品 4 解得：a=22 当M为直角三角形的顶点时， 如图， 4 M 0 A 同理可得△NCM△MAO NC CM AM OA 3a3 4=4 :a a 解得：a=√2 2/6 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .M 综上所述，直角三角形的顶点的横坐标为5或2 2 18.(2026安微池州一模)如图，矩形ABC0的顶点O为坐标原点，边OA,0C分别在y轴、x轴上，点 B的坐标为3,2)，反比例函数y=k(k>0的图象经过矩形ABC0对角线的交点E. (1)k= (2》过点B作BD∥4C,交该反比例函数的图象于点K,交x轴于点D,则8需的值为 【答案】 3 5 2 2 【分析】(1)根据矩形的性质和中点坐标公式求出点E的坐标，进而可求出k的值； 2)过点F作BC的垂线，交BC于点G,证明B0=BD,△BGFABCD,得出BF-BG-BE BD BC-OR·设 BG=2x,则GF=3江，GC=2-2x,表示出点F的坐标为3+3x,2-2x,根据点F在反比例函数y= 上 2x 列方程求解即可。 【详解】解：(1)：四边形ABCO是矩形， .∠ABC=90°，AB=OC,AC=OB,E为OB的中点. :点B的坐标为(3,2)， :由中点坐标公式得点E的坐标为 .h=3 3 1 2 (2)过点F作BC的垂线，交BC于点G,如图. B :BD∥AC,FG⊥BC,OE=EC, D :∠BOC=∠ACO=∠BDC,FG∥OD, 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 BO=BD,△BGFABCD. BD-BC-OR'∠BFG=∠BDC=LB0C. BF BG BF tan∠BFG= BG BC 2 =tan∠BOC= FG 0C3 设BG=2x,则GF=3x,GC=2-2x, .点F的坐标为(3+3x,2-2x). :点F在反比例函数y= 3上 2 3+32-2四-即1-- 4 解得：5=5 (舍) 2 2 BF BG 2x BO-BC 2 =t= 2 19.(2026安徽六安一模)如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E为AB的中点，点F为CE上的点. E (I)当DF⊥CE时，DF的长为 (2)若DF=AD,此时AF的长为 【答案】 8V5 410 5 5 【分析】1)如图，连接DE,由正方形的性质以及勾股定理可得CE=2√5，然后再利用等面积法列方程 求解即可； (2)如图，过点D作DM1CE于点M,过点F作FN⊥AB于点N.易得CM=MF,在求得CM-45 5 cF85、r= 2,然后证明△EFN∽AECB,利用相他三角形的性质列比例式可求得N专EN子 4 5 再利用勾股定理以及线段的和差求解即可. 【详解】解：(1)如图，连接DE. 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D B :点E为AB的中点，四边形ABCD是正方形，AB=BC=CD=AD=4, AE=BE=2,∠B=90°. CE=VBE2+BC2=V22+42=2V5. DF⊥CE, :利用等积法可得Sce=)CE-DF=)CD.AD,即25DF=4x4. 1 2 2 :DF=16_8V5 255 (2)如图，过点D作DM⊥CE于点M,过点F作FN⊥AB于点N. D M B EN DF=AD=CD, .CM =MF. 由(I)知DM=85 又：CD=4, .CM=CD2-DM2 =4- 852 4V5 5 CF =2CM= 5 5 EF=CE-CF=25-85_25 5 :FN⊥AB,LB=90°， FN∥BC. .aEFN∽aECB. 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 25 .EF FN EN =5 1 EC BC BE 25 5 FN=BC= 4 ， EN-1BE-2 ÷AN=AE+EN=2+2=12 55 AF=VAN2+FN2 4W10 20.(2026安徽阜阳·一模)如图，现有正方形纸片ABCD,点F在AD边上，沿BF折叠△ABF,点A落在 A处，然后还原，FA'的延长线交CD于E,沿FE折叠aDEF,点D落在D处，然后还原. B (1)若∠ABF=24°，则LCED'=°； @是子则 AF 的值为 【答案】 96 3 【分析】(1)利用折叠的性质结合正方形的性质即可求解； (2)分别延长FE,BC相交于M,作FG⊥BC于G,由折叠的性质结合正方形的性质易证 ∠MBF=∠AFB=∠BFM,得到MF=MB,设CE=2a,DE=3a,CD=5a,CM=x,证明 △CWE0△DFE,求出DF-,GM-2,利用匀我定理求x织。，母可求解 3 【详解】解：(1)∠ABF=24°， .∠AFB=90°-24°=66°， 由折叠的性质得∠AFB=∠EFB=66°， ∠DFE=180°-2×66°=48°， .∠FED=90°-48°=42°， 由折叠的性质得∠FED'=∠FED=42°， ∠CED'=180°-2×42°=96°； (2)分别延长FE,BC相交于M,作FG⊥BC于G, 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B >.M 由折叠的性质得∠AFB=∠BFM, :ADI川BM, .∠MBF=∠AFB, ∴∠MBF=∠AFB=∠BFM, :MF =MB, CE 2 DE 3 CE =2a,DE=3a,CD=5a,CM=x, :AD∥BC, .△CMEn△DFE, CM CE 2 DFDE-3 3 :DF=7x, MF MB=5a +x, CG=DF=3 , 56c=50- t, .GM MB-BG =(5a+x)- 在Rt△FGM中，FG2+GM2=FM2,即(5a)2+ 解得x= 40 279, 340.15 4AF=BG=5a32e7,DF3x40a=20, 2×2i0=7a, DF 4 AF3 21.(2026安徽阜阳，一模)如图，正方形ABCD的边长为2，E,F分别是AB,BC的中点，AF与DE, DB分别交于点M、N. 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D g B (1)AN= (2)△MND的面积是 【答案】 25 8 3 15 【分析】(1)连接DF,如图，先利用勾股定理计算出DE=AF=√5，接下来证明△AND∽△FNB,利用 相似比求出4N=25 (2)证明△ADE≌△BAF得到∠HDE=∠BAF,则可证明AM⊥DE,利用面积法计算出AM=25,接 着根据勾股定理计算出DM=45,则MN=45,则可计算出Swx· 15 【详解】解：(1)连接DF,如图， D E :E,F分别是AB,BC的中点， B .AE BF=1, :四边形ABCD是正方形， AD∥BC,AB=BC=2, DE=AF=V2+22=√5， 又：AD∥BF, △ANDAFNB, AD AN DN =2, BF NF BN ∴AW=2NF=2F=25 3 3 (2)在ADE和△BAF中， 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AD=AB ∠DAB=∠ABF, AE=BF △ADE≌△BAF(SAS, .∠ADE=∠BAF, :∠BAF+∠FAD=90°， :∠FAD+∠ADE=90°， ·.∠AMD=90°， AM⊥DE, AM DE=-4ECAD 2 w培5 5 MN25-5.45 3 15 ∴S.w=)DMMN=x4、 =x45x45=8 25 15 15 三、解答题 22.(2026安徽宿州一模)已知四边形0ABC是正方形. B B D 图1 图2 (I)如图1，ADE为等腰直角三角形，∠DAE=90°，两个顶点D、E和正方形顶点B三点在一条直线上，连 接OD,求证：△OAD≌△BAE; (2)在第(1)题条件下，如图2，连接CD,求证：CD平分∠ODB: 【答案】()见解析 (2)见解析 【分析】(1)由题可得∠BA0O=∠EAD=90°，由此得LOAD=∠BAE,根据SAS证明△OAD≌△BAE: 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)连接BO,先证明∠0DB=90°，然后可得O,C,B,D共圆，则∠BDC=∠B0C=45°，即可证明 【详解】(1)证明：正方形OABC,∠DAE=90 ∠BA0=∠DAE=90°，AB=A0, :LBAD+∠OAB=∠EAD+∠BAD, 即∠OAD=∠BAE, AB=AO,AD=AE, ·.△OAD≌△BAE(SAS): (2)证明：如图，连接BO, B ●】 :等腰直角三角形ADE, .∠ADE=∠AED=45 由(1)得，△OAD≌△BAE, .∠0DA=LBEA=45°， ∠0DE=∠0DA+LADE=45°+45°=90°， .∠0DB=90°， :正方形OABC, ·L0CB=LA0C=90°，∠B0C=5∠A0C=450 .∠0CB+∠0DB=180° ∴.O,C,B,D共圆， ∠BDC=∠BOC=45°， ∠BDC=2ODB ·.CD平分∠ODB 23.(2026安徽淮南一模)如图1，在正方形ABCD中，E为边AD上一点，连接BE,点A和A关于BE对 称，连接AA'并延长，交BE于点F,交CD于点G,连接A'E, 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D G D G D G E B 图1 图2 图3 (I)求证：A'E=DG. (2)若E为AD的中点，连接AD. ()如图2，求4D的值： AB ()如图3，连接BD,取BD的中点O,连接OA',OF,判断△A'OF的形状，并说明理由 【答案】(1)见解析 AB了：(）△40F是等腰直角三角形，见解析 (②()4D-5 【分析】(1)根据轴对称的性质和正方形的性质可推出AE=A'E,AB=AD,∠ADG=∠BAE=90°，然后 根据同角的余角相等得到∠DAG=∠ABE,即可根据ASA证得△ABE≌△DAG,从而证得结论： C2)(①过点E作EH上A'D于点H,先证得DEHEBA,可得DH-DE, 设DE=AE=1,则 AE BE AB=2,BE=√5，从而求得DH,即可解答： ()连接OA,DF,由(i)知∠DA'A=90°，先利用AAS证得△AAD≌△BFA,得到△ADF是等腰直角三 角形，可知∠4FD=45°，DF=DF-万，然后根据两边成比例且夹角相等，证明AD4Fna4OF,得到 A'D AF 0F-OA√2 ,∠AFO=∠DFA,进而证得△A'OF∽△DA'F,即可解答. AF AD 2 【详解】(1)证明：：点A和关于BE对称， AE=A'E,BE⊥AA', 四边形ABCD为正方形， :AB=AD,∠ADG=∠BAE=90°， BE⊥AA', ∠DAG+∠AEF=90°， 又：∠AEB+∠ABE=90°， ∠DAG=∠ABE, △ABE≌△DAG ASA, :AE=DG, 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :A'E=DG; (2)解：(1)由(1)得AE=A'E=DG, :E为AD的中点， :AE=A'E DE, ∴∠EAA'=∠EA'A,∠EDA'=∠EA'D, ∠EAA'+∠EA'A+∠EDA'+∠EA'D=I80°， 2∠EA'A+∠EA'D)=180°，即∠EA'A+∠EA'D=90°， ∠AA'D=90°， 如图1，过点E作EH⊥A'D于点H, D G H为AD的中点， A 图1 :EH⊥A'D, LDHE=∠EAB=90°， :∠AA'D=90°， ∠HDE+∠EAF=90, BE⊥AA', ∠EAF+∠FEA=90°， ∴∠HDE=∠FEA, ∴.△DEH∽△EBA, DH DE AE BE 设DE=AE=1,则AB=2,BE=V22+1P=V5, DH DE 1 AEBE√5' .DH=5 A'D=2DH= 25 5 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A'D.5 AB 5 (i)如图2，连接0A,DF,由(i)知∠DAA=90°， .∠A'DA+∠A'AD=90°。 图2 “四边形ABCD为正方形， ∴AD=AB,∠EAF+∠FAB=90°，∠FAB=∠A'DA, BE⊥AA', .∠BFA=90°， .△AA'D≌△BFA(AAS), :.A'D=AF=A'F, “aADF是等腰直角三角形， ∠AFD=45,DF-DF=V2. A'D AF ∠ADF=45°-∠DAA', :0A=0D, AD=2,∠0AD=45°， OA ∠0AF=45°-∠DAA', .∠OAF=∠ADF, 又D-DF-2, OA AF △DAFn△AOF, OF OA 2 ,∠AFO=∠DFA, AF AD 2 ∠OFA'=∠A'FD, AF√2OFOF2 DF 2A'F AF 2 △A'OF∽△DA'F, ∴△A'OF是等腰直角三角形， 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 24.(2026安微蚌埠一模)如图1，四边形ABCD和四边形CEFG均为正方形，点B,C,G在同一直线上， 连接BE,DG,EG. 图1 图2 (I)求证：BE=DG; (2)若EF=1,当DG所在直线平分BE时，求AB的值： (3)如图2，连接AE,4G,当AG平分∠BGE时，求 的值以及∠EAG的度数， EF 【答案】(1)见解析 (2)AB=V2-1 ③)4BV -ZEAG=45 【分析】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定，垂直平分线的性质，圆周角定理等，正确的作出 辅助线是解题的关键， (1)由题可知BCE≌DCG,即可证明； (2)证明DG垂直平分BE,从而证明BG=EG,即可求得结果： (3)证明AC=EC=GC,根据圆周角定理即可求得结果。 【详解】(1)证明：：四边形ABCD和四边形CEFG均为正方形， ∴.BC=DC,LBCE=LECG=90°，EC=GC, △BCE≌DCG(SAS), .BE=DG E D 图1 (2)延长GD交BE于点H, 由(I)知BCE≌DCG, .∠BEC=LDGC, 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :LBEC+∠EBC=90°， .LDGC+LEBC=90°， :∠BHG=90°，又DG所在直线平分BE, .BG=EG, “BG=EG=VP+12=√2， AB=BC=BG-CG=2-1; (3)连接AC, 图2 由题意∠ACE=∠CEG=45°，AC∥EG, .LCAG=∠EGA, 当AG平分∠BGE时，∠BGA=∠EGA, .LCAG=∠BGA, :AC=GC, “架怨担如45 BFGC AC 2 .AC=EC=GC, 点A,E,G在以点C为圆心，AC为半径的圆上， :∠E1G=2BCG=2x90°=45 25.(2026安徽六安·一模)在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BD于点H,交BC于点E,交DC的延长 线于点F,点G是EF的中点，连接DG,BG,BC与DG交于点I. B (I)求证：BG=DG; 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)求证：AH2+GF2=HG2; (3)若AD=4,AB=2,求EI的长度. 【答案】()见解析 (2)见解析 ©号 【分析】(1)连接CG,根据矩形的性质和角的平分线的定义，易证△ADF和△ECF是等腰直角三角形， 再利用“SAS”可证△BCG≌△DFG,即可求证； (2)设4B=a,4D=b,易得DP=h,CP=b-a,AF=V2b,EF=V2b-a,GF=5b-a,根据 矩形的性质可得AB∥DC,从而△ABHn△PDH,进而识=B,可得A=Y2b FH FD 根据线段之间的数 a+b 量关系，可得fFH=2,G=2(a+ ,通过计算，可证AH+GF2=HG; a+b 2a+b) (3)当a=2,b=4时，可得AF=4V2,GF=EG=√5，AG=3√2，根据矩形的性质可得AD∥BC, 从而GE1”áGAD,进而E以=GE AD GA 代入即可求解。 【详解】(1)证明：连接CG, D 矩形ABCD, ·AD=BC,∠BAD=∠ADF=∠BCD=90°， :AE是∠BAD的平分线， ·∠DAF= ∠BAD=45, :△ADF是等腰直角三角形， ·DF=AD,∠F=45°， :BC=DF,△ECF是等腰直角三角形， :点G是EF的中点， CG=EF=FG,∠BCG=∠BcF=45, 在ABCG和△DFG中， 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 BC=DF ∠BCG=∠F CG=FG ·△BCG≌DFG(SAS), BG=DG; (2)证明：设AB=a,AD=b, :△ADF是等腰直角三角形， ·DF=AD=b,AF=√2AD=√2b,则FH=AF-AH=√2b-AH, :矩形ABCD, :CD=AB=a,AB∥DC, :△ABH∽△FDH, AH AB FH FD V26-h分，解得H=2ab】 AH a+b :FH=V2b-2ab b2 a+b a+b :CF=DF-CD=b-a,△ECF是等腰直角三角形， :EF=√2CF=√2(b-a, :点G是EF的中点， 、GE=EG=二EF=26-a以， 2 2(a2+b2) 、HG=FH-GF三2bb-2(b-a2a+b √2ab b-d (a2+b2 ·AH2+GF2= a+b 2 2a+b)2 2(a+b) 2(a+b2 ·AH2+GF2=HG2: (3)解：：AD=4,AB=2, :AB=a=2,AD=b=4, 则4r=2=4W,Gf=BG=56-a=2×14-2引=5， 2 2 AG=AF-GF=32, :矩形ABCD, 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AD∥BC, :△GEI∽AGAD, EI GE AD GA ,即、V2 432 ·EM=4 26.(2026安微合肥一模)如图，在ABC中，AB=AC,P为AC边上一点，连接PB,将△PBC沿PB翻 折，得到△PBD,PD交AB于点E. B B B 图1 图2 图3 (1)如图1，当PD∥BC时，猜想四边形BCPD的形状，并说明理由； (2)当AP=AC时， 3 ①如图2，若∠A=60°，BC=6,求BE的长. (i)如图3，若PD⊥AB,证明：BE=2AE+DE· 【答案】(I)四边形BCPD是菱形，见解析 21 (2)①BE= 4:②见解析 【分析】(1)根据折叠和平行证明∠DBP=∠DPB=∠CBP,从而可得BD=PD,由四边相等的四边形是菱 形得出结论： (2)①推出ABC是等边三角形，证明△DEB∽△AEP,据此求解即可； ②过点C作CF⊥AB于点F,证明△DEB≌△BFC,可得DE=BF,FC=BE,再由EP∥FC,可得 是-怎是，建面可得任-4F,FC=,此计算即可江明 【详解】(1)解：结论：四边形BCPD是菱形， 证明：由折叠可知：BD=BC,PD=PC,∠DBP=∠CBP, :PD∥BC, .∠DPB=∠CBP, 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠DBP=∠DPB, .BD=PD=BC=PC, :四边形BCPD是菱形： (2)解：①：AB=AC,∠A=60°， :ABC是等边三角形， ∠C=∠A=∠D=60°，AB=AC=BD=BC=6, AP=IAC, 3 .AP=2,DP=PC=2AP=4, :∠A=∠D,∠DEB=∠AEP, ∴△DEB∽△AEP, DE_BE_BD=6-3. AE PE AP 2 :DE =3AE,BE =3EP, :AE=4 :BE=AB-AE= 1 ②证明：过点C作CF⊥AB于点F, ∴∠CFB=90°， F :PD⊥AB,即∠BED=90°， LBED=LCFB=90°， :△PBC沿PB翻折，得到△PBD, ∠D=∠ACB,BD=BC, AB=AC, ∠ABC=∠ACB, ∠D=∠ABC, 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :△DEB≌△BFC(AAS), ∴DE=BF,FC=BE, :∠BFC=90°，∠BED=90°， EP∥FC, △APE∽△ACF, AP-AE EP ·AC-AFFC 3C, 1 AP :AE=3AF,FC=3EP :EF 2AE, BE EF+BF .BE =2AE+DE. 27.(2026安微阜阳·一模)在矩形ABCD中，点E在CD边上，DE<CE,过E作EF⊥AE,EF交BC于 F. D E D E F 子 G 图1 图2 (I)如图1，连接BE,若BE平分∠ABC, ①求证：AE=EF; ②求证：AB+BF=2AD; ②如图2，若F为8C中点，EG平分∠AEF,EG交4B于G,4B=号，4D=2,求EG的长 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)EG=√5 【分析】(1)①根据题意证明∠DAE=∠CEF,以及等腰三角形判定AD=CE,证明△ADE≌△ECF,即可 得到结论； ②根据全等的性质得到DE=CF,再由AB+BF=DE+EC+BC-CF,即可得到结论； 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)作EM1AB于M,GN⊥AE于N,先证明△ADE∽△ECF,求出DE=5 2 GN AD 2 =3 AE=AD2+DE2= 22+ 22210 再证明△AGN∽△EAD，求出ANDE2’,再根据 3 3 3 AN+3AN=AE= 2V10 求出答案即可 3 【详解】(1)①证明：：EF⊥AE, ∠AEF=90°， .∠DEA+∠CEF=90°， :矩形ABCD, ∴∠D=∠C=90°，AD=CB, ∠DAE+∠DEA=90°， ∠DAE=LCEF, :BE平分∠ABC, ∠ABE=∠EBF=45°， ∠CEB=45°， :CE CB, :AD =CE, 在ADE和△ECF, ∠D=∠C AD=EC ∠DAE=∠CEF △ADE≌△ECF(ASA), ∴.AE=EF; ②证明：：△ADE≌△ECF, .DE=CF, :AB+BF DE +EC+BC-CF =EC+BC 2BC =2AD, :AB+BF =2AD (2)解：作EM⊥AB于M,GN⊥AE于N, .EF⊥AE, .∠AEF=90°， 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠DEA+∠CEF=90°， ”矩形ABCD, .∠D=∠C=90°，AD=CB, ∠DAE+∠DEA=90°， ∠DAE=∠CEF, △ADE∽△ECF, AD EC DE CF' CF为BC中点，AB,AD2 :CF=)BC=1,设DE=x,则EC=CD-DE=1- X, 3 11 23 1 解得5子，=3（舍去，故DE-子 3 .22210 4E=AD+DE-2+3 3 :EM⊥AB,GN⊥AE, ∠D=∠ANG=90°， :∠DAE+∠EAG=90°，∠EAG+∠AGN=90°， ∠DAE=LAGN, .△AGN∽△EAD, GN_AD=2-3 AN-DE -2 ·GN=3AN, :EG平分∠AEF, ∠AEG=45°， :EN=GN =3AN, AN+3AN=4E =2110 AN=V10 6 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .EN V10 2 EG=VEN2+GN2=√5. D E D E C A M G 图1 图2 28.(2026安徽安庆一模)己知正方形ABCD的边长为8，将其对角线AC绕点A顺时针旋转 0(0°<0<45)后，点C落在点H位置，此时AH与BC的交点为G,连接CH并延长交AB的延长线于点E ,作AF平分LCAH交BC于点F,连接FH. D D 图1 图2 (1)如图1，求证：AF⊥CE; (2)如图2，当点H为CE中点，连接BH. ①求BE长； ②求△ACF的面积. 【答案】(1)见解析 (2)①8√7-16；②96-32√7 【分析】(1)根据等腰三角形的性质解答即可； (2)①作HM⊥BE于点M,则HM∥CB,可得HM=4,再根据勾股定理求出AM=4V7,进而得 BM=4√万-8，然后说明△HBE是等腰三角形，可得答案； ②延长4交CE于点N,由垂直平分线的性质待FH=FC,CN-号CH=CE,再说明eCNF:CBE, 可得CF.CB,然后根据勾股定理得CE=BC+BB=768-256N万，最后根据S,a=)CFB得出答案。 【详解】(1)证明：：由旋转可知AC=AH,AF平分∠CAH AF⊥CE; 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)①解：过点H作HM⊥BE于点M,则HM∥CB, “点H为CE的中点，BC=8, :.HM=-BC=4. :在正方形ABCD中，AB=BC=8, :AC=82=AH, :在Rt△AMH中，AM=√AH2-HM2=4V万， BM=AM-AB=4V万-8. :在RtACBE中，点H为CE的中点， ÷BH=CE=EH即AHBE是等腰三角形， 2 .BE=2BM=8V7-16: ②延长AF交CE于点N,则由(1)可知，FN垂直且平分CH, FFC CN-CH-CE. :∠CNF=∠CBE=90°，∠NCF=∠BCE, .△CNF∽△CBE, CF CN CECB CE CB 即CF.CB=CE2. 4 :在R1aCBE中，CE2=BC2+BE2=768-256√7， S=)CF·AB 5×768-2567列xd =96-32√7. B M 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 29.(2026安微芜湖一模)如图1，平行四边形ABCD中，E,F为边AD,BC上两点，EF经过AC中点 O且EF⊥AC,EC平分∠ACD. D 图1 图2 (I)求证：四边形AFCE为菱形； (2)若DE=2,CD=√14，求aCDE周长； 3)如图2，当AB1BC时，连接DF,交4C于点G,求EG 的值. CD 【答案】()见解析 (2)7+V14 3)227 15 【分析】(1)先证明△AOE≌aCOF,可得四边形AFCE为平行四边形，结合EF⊥AC,即可证四边形 AFCE为菱形； (2)证明△ECD∽aCAD，求出AD的长度，易求ACDE周长； (3)作GH1BC,垂足为H,先得出GH的比值，设GH=5a,则FH=2a,再得出EG和CD的表达式， FH 即可得出结果 【详解】(1)证明：四边形ABCD为平行四边形， AEI‖FC, ∴.∠AEF=LCFE. 又：A0=C0,∠A0E=∠C0F, .△AOE≌△COF(AAS), 、0E=OF, :四边形AFCE为平行四边形 又：EF⊥AC, :四边形AFCE为菱形. (2)解：由(1)可知，四边形AFCE为菱形， .EA=EC, 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠EAC=LECA, ∠ECD=∠EAC, ∴△ECD∽aCAD, ED CD CD AD 214 14AD AD=7, AE=5, EC=5, :aCDE周长为7+V14 (3)解：如图，作GH⊥BC,垂足为H. F 由题意可知，∠BCA=∠ECA=∠ECD=30°， CD CE =c0s30°=V3 2 又：CE=CF, :CD-5 CF-2 :GH‖CD, GH 3 FH 2 设GH=V3a,则FH=2a, .EG=FG=7a,HC=3GH=3a, .FC=5a, CD= -Cr= 53a -×5a= 2 2 GE√7a2V2I :CD 53a 15. 2 216 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 30.(2026安徽安庆一模)如图①，在四边形ABCD中，∠ABC=∠DCB,E为BC上一点，且DE∥AB, 过点B作BF∥AD交DE的延长线于点F,连接CF,CF=BF, 图① 图② (I)求证：△ADE≌△FCD; (2)如图②，连接DB交AE于点G. ①若AG=DC,求证：BC平分∠DBF; ②若DB∥CF,求CE 的值。 BD 【答案】()见解析 20见解析；②CF=V5-1 BD 2 【分析】(1)先证DE=CD,再证四边形ABFD是平行四边形，则AD=BF,∠ADE=∠ABF,然后证 ∠ABF=∠DCF,则∠ADE=∠FCD,由SAS即可得出结论： (2)①连接CG,先证四边形AGCD是平行四边形，得CG∥AD,CG=AD,再证四边形BFCG是平行四边 形，然后证平行四边形BFCG是菱形，即可得出结论： ②先证△ABEn△DEC,得DE=EC DE BE 速而正&08AcPE,为品-先能期-品 DFDE,然后 求出F-5-↓，即可得出结论， DE 2 【详解】(1)证明：：DE∥AB, :ZDEC ZABC, .∠ABC=∠DCB, ∠DEC=∠DCB, :DE =CD, DE∥AB,BF∥AD, 四边形ABFD是平行四边形， .AD=BF,∠ADE=∠ABF, CF =BF, ∠FBC=∠FCB,AD=CF, 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ·∠ABC+∠FBC=∠DCB+∠FCB, 即∠ABF=LDCF, ∠ADE=∠FCD, 在ADE和△FCD中， (AD=FC ∠ADE=∠FCD, DE=CD ∴.△ADE≌△FCD(SAS) (2)解：①证明：如图，连接CG, 由(1)得：△ADE≌△FCD, .∠DEA=∠CDF AE∥CD, AG=DC, :.四边形AGCD是平行四边形， :.CG∥ADCG=AD, :AD=BF,AD∥BF, CG∥BF,CG=BF, :.四边形BFCG是平行四边形， CF=BF, ·平行四边形BFCG是菱形， :.BC平分∠DBF: ②解：由(1)可知，△ADE≌△FCD, ∠AED=∠FDC, :DE∥AB, ∠BAE=∠AED,∠ABE=∠DEC, 2/6 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠BAE=∠EDC, .△ABE∽△DEC, DE_EC AB BE DE EC DF-BE' 由(1)可知，四边形BFCG是平行四边形， .BD∥FC, △BDE∽△CFE, CF CE EF BD BE DE DE EF DF DE DF DE +EF, DE EF DE+EF DE 即DE2=DE·EF+EF2, 两边除以DE2得：1= EFEF DE'DE 解得： -5-,或EE-5-（舍去 DE 2 DE 2 CF EF 5-1 BD DE 2 【点晴】本题是四边形综合题目，考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判 定与性质、相似三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，本题综合 性强，熟练掌握菱形的判定与性质和平行四边形的判定与性质是解题的关键，属于中考常考题型： 31.(2026安徽合肥一模)矩形ABCD中，E为BC边上一点，F为矩形内一点，且AB=AF,EB=EF, 延长AF与直线CD交于点Q,与直线BC交于点H,延长EF与直线CD交于G点. 图1 图2 (I)如图1，当E为BC中点时， 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ①求证：EG=EH; ②若QD=2,DG=3,求AB长； (2)如图2，若CE=2BE,当G恰好为CD中点时，求证：BE=CQ 【答案】(10见解析：②3+V2] 2 (2)见解析 【分析】(1)①先证明ABE≌AFE SSS,△ECG≌△EFH(ASA),进一步可得结论. ②证明△FG0≌△CH0,以及Cg=H.设C0=x,则F0=x,则AB=2+x,4F=2+x,进一步求解 AB AH 即可. 》由D)可知，BB=EF,证明△EHF△EGC,进一步可得化设CG=20,则DC:扣 AH=5a,进一步求解即可. 【详解】(1)证明：①：E为BC中点， :BE=EC. 又：EF=BE, :EF EC. AB=AF,BE=EF,且AE=AE, :ABE≌AFE SSS, ∠AFE=90°， .∠EFH=∠ECG=90°. 又：∠GEC=LHEF, .△ECG≌△EFH(ASA, .∠G=LH,EG=EH. ②由①可知，EG=EH,EF=EC, :FG=CH, :∠G=∠H,∠GFQ=∠HCQ=90°， △FGQ≌△CHO(ASA), ..OH=OG=DO+DG=5,co=FO. CQ∥AB, 2/6 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 、CHQ∽BHA, .coon AB AH 设CQ=x,则F2=x,则AB=2+x, :AF=2+x, .AQ=x+2+x=2x+2,AH=2r+7, x+22x+7' 解得x=+V2 2 ,(负根舍去) ..AB= 3+V21 2 (2)证明：由(1)可知，BE=EF,∠ABE=∠AFE=90°， 1 1 AB:BE S ABE- 2 AB·BE 2 S AEH B·EH 2 H.EF 2 AB BE AH EH' '∠FEH=∠CEG,∠EFH=∠ECG=90°， .EFH∽ECG, EF FH EC CG EC 2BE FH 1 CG2 设CG=2a,则DC=4a,FH=a, :AH =5a, BH=V√AH2-AB2=3a, 、ABBE AH EH' BE 4a 4 EH=5a3' 4 .BE-3d. :BC=4a, .CH=a, 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 同理可得： ABH∽QCH, BH AB CH CO 30 4a acCg 30, ∴.BE=CQ 32.(2026安徽合肥一模)如图1，正方形ABCD中，E、F分别为边BC、CD上的点，且CE=CF,连接 AE、AF交BF,DE于G、H,己知G为BF的中点， D D H E B E 图1 图2 (I)求证：BF=DE; (2)若AB=2,求BE长； (3)如图2，连接BD,O为BD的中点，连接OG、OH、GH,判断△OGH的形状，并说明理由 【答案】(1)见解析 (2)5-1 ③)等腰直角三角形，见解析 【分析】(I)证明aBCF≌aDCE(SAS),即可得证： (2)先证明△ABG∽△MFG,得到AB=FM=2,设CE=CF=x,则BE=CM=2-x,证明 △ABEn△MCE,得到AB-BE,进行求解即可； CM EC (3)先证明△ADF≌△ABE(SAS)，,得到∠DFA=∠BEA,再证明△DHF≌△BGE(ASA),得到BG=DH,推 出H为DE的中点，利用三角形的中位线定理，进行求证即可. 【详解】(1)解：：正方形ABCD, .BC=CD, .∠BCF=∠DCE,CE=CF, :△BCF≌△OCE(SAS, :BF=DE; 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)解：延长AE交DC的延长线于点M,如图， G B E d :正方形ABCD,AB=2, .AB//CD,AB=BC=CD=AD=2, :G为BF的中点， :BG=FG, :AB∥CD, .△ABGn△MFG, AB BG FM FG =1, .AB=FM=2, 设CE=CF=x,则BE=CM=2-x, :AB∥CD, △ABE△MCE, AB BE CMEC,即 22-x 2-x x 解得x1=3-V5,x,=3+V5(舍去)： BE=2-3-5)=5-1: (3)解：△OGH为等腰直角三角形，理由如下： :AD=AB,∠ADF=∠ABE=9O°，BC-CE=CD-CF,即BE=DF, △ADF≌△4BE(SAS), ∠DFA=∠BEA, 由(1)知△BCF≌△DCE(SAS),BF=DE, .∠HDF=∠GBE, 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 在△BGE和△DHF中， I∠HDF=∠GBE DF=BE ∠DFH=∠BEG △DHF≌△BGE(ASA】 .BG=DH, 又G为BF的中点，BF=DE, “H为DE的中点 O为BD的中点 .0H∥BE,0H=1BE,OG∥DF,OG=DF, 2 :.∠DOH=∠DBE=45°，∠BOG=∠BDC=45°，0H=0G, .∠H0G=180°-2×45°=90°， ∴.△OGH为等腰直角三角形. 33.(2026安徽合肥一模)ISOA系列纸张尺寸是国际通用的标准尺寸，以A0为基础，通过等比例缩放的 方式衍生出A1、A2、A3等规格.日常生活普遍使用的A4规格的打印纸，就是其中一种.A系列纸张形状 为矩形，有如下特点：将其沿垂直于长边的线对折成两个全等的矩形后，得到的矩形与原矩形相似.如图1， 矩形ABCD表示某A系列纸张(AB>AD). B H 图1 图2 图3 (1)求AB:AD; (2)已知AB=2,点E为边CD的中点. (i)如图2，将△AEC绕点A旋转，使得点E的对应点F在线段AD的延长线上，点C的对应点为点G, 求△ACG的面积： (i)如图3，△AEH与△AEC关于直线AE对称，求证：DH∥AE. 【答案】()√2 2/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2(i)√5；(ii)见解析 【分析】本题考查的是矩形的性质，轴对称的性质，勾股定理的应用，旋转的性质，相似图形的性质，锐 角三角函数的应用。 ka (1)设AD=a,AB=kak>1),则对折后纸张长宽分别为a, ，再利用相似矩形的性质建立方程求解即可； (2)(i)过点C作CH1AC,垂足为H.易得AE=√AD2+DE2=√5，AC=√AB2+AD2=√6，再由 DE 1 旋转的性质可得AG=AC=√6，∠CAG=∠EAF,根据sin∠CAG=sin∠EAF= AE3,求出 CH=4AC-s如∠C4G=反，再根据三角形面积公式Sc分4GCH即可解答： (i)由轴对称性质得：∠AEC=∠AEH,EC=EH,进而可得DE=EC=EH,从而得出 ∠EDH=∠EHD,再利用三角形内角和和轴对称性质可得∠AEH=180°-∠AED, ∠DEH=∠AEH-∠AED=180°-2∠AED,进而得出∠EDH=∠AED,由此证明DH∥AE. 【详解】(1)解：设AD=a,AB=ka(k>,则对折后纸张长宽分别为a, ka :对折前后的矩形相似， :.ka:a=a:2 .k2=2, k=√2，（负根舍去） 即AB:AD=V2 (2)(i)解：过点C作CH⊥AG,垂足为H.如图2， B D G 图2 :由(1)得AB:AD=√2，AB=2, AD=√2， 在矩形ABCD中，AB=CD=2,∠ADC=90°， .DE=EC=1. AE=AD2+DE2=()+1=3,AC=4B+AD2=22+()=6. 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 由旋转性质可知AG=AC=6,∠CAG=∠EAF, 在RtADE中，sin∠EAF=DE=L 点sin/DAE=5 1 片CH=AC.sin∠CAG=V6×E=V 1 S.4CGAG.CH=6x2=3 (i)证明：由轴对称性质得：∠AEC=∠AEH,EC=EH, :E是CD中点，即DE=EC, .DE EC=EH, .∠EDH=∠EHD, :∠AEC+∠AED=180°， .∠AEH=180°-∠AED. 又：.∠DEH=∠AEH-∠AED=Q80°-∠AED)-∠AED=180°-2∠AED, .∠EHD+∠EDH+∠DEH=2∠EDH+(I80°-2∠AED)=180°， ∴.∠EDH=∠AED, DH∥AE, 34.(2026安徽毫州一模)按要求完成下列各题： D D E 图1 图2 图3 (I)如图1，点E是正方形ABCD的边上一点，连接AE,过点D作DF⊥AE于点G,交边AB于点F, ①求证：AF+CE=AD; ②如图2，连接ER,以FD,FE为邻边构造平行四边形DFEH,连接CH.求C 的值， (②)如图3，矩形ABCD中，AD=12,AB=10,点F是边AB的中点，连接DF,过点A作AE⊥DF于点G, 交边BC于点E,连接EF,以FD,FE为邻边构造平行四边形DFEH,连接CH,求CH的长， 【答案】①0见解析：②C4=V5 AF 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (256 6 【分析】(1)①结合正方形的性质证明△ADF≌aBAE(ASA),即可解答；②作HM⊥BC交BC的延长线于 M,结合平行四边形的性质可得∠BAE=∠HEM,由(1)得△ADF≌△BAE,再证明△ABE≌△EMH(AAS), 可得到△HCM是等腰直角三角形，即可解答； (2)证明ADFBAE,可得BE=25,AB= 6 6 ,作HN⊥BC交BC的延长线于N,再证明 △ADF≌aNEH(AAS),可得HN=AF=5,EN=AD=BC=12,即可求解. 【详解】(1)解：①：四边形ABCD是正方形， :AD=AB=BC,∠DAF=∠ABE=90°， ∠BAE+∠DAE=90°， :DF⊥AE, :∠ADF+∠DAE=90°， .∠BAE=∠ADF, ∴△ADF≌△BAE(ASA), :AF =BE, :AF +CE BE+CE=BC AD ②如图2，作HM⊥BC交BC的延长线于M, E M 图2 :四边形DFEH是平行四边形， .DF=HE,∠DFE=∠DHE,DF∥EH, :∠AGD=∠AEH=90° ∴.∠AEB+∠HEM=90°， .∠BAE+∠AEB=90°， .∠BAE=∠HEM, 由(1)得△ADF≌△BAE, 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .DF AE=HE, :∠ABE=∠HMC=90°， △ABE≌△EMH(AAS), .HM=EB,AB=EM=BC, :BE CM =HM :∠HMC=90°， ∴.△HCM是等腰直角三角形， CH =2CM =2AF, CH =V2; AF (2)解：：四边形ABCD是矩形， :AD=BC=12,∠DAF=∠ABE=90°， .∠BAE+∠DAE=90°， :DF⊥AE, ∠ADF+∠DAE=90°， ∴∠BAE=∠ADF, ∴.△ADF∽△BAE AD AF DF BA BE AE :AF=BF=5,DF=V52+122=13, .12513 六10BEAE :BE=25,AB=65, 25 6 6 如图3，作HN⊥BC交BC的延长线于N, -FN 图3 :四边形DFEH是平行四边形， DF=HE=13,DF∥EH, 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠AGD=∠AEH=90°， :∠AEB+∠HEN=90°， :∠BAE+∠AEB=90°， ∠BAE=∠HEN=∠ADF, :∠FAD=∠HNE=90°， ∴.△ADF≌ANEH((AAS) .HN=AF=5,EN=AD=BC=12, CN=BE=25 6 25 ∴CH 5v67 6 6 35.(2026安徽一模)如图1，四边形ABCD和四边形CDEF均为正方形，点G为对角线DF上一点，且 DG=DC,连接AG,过点D作DH平分∠CDF，,DI⊥AG,分别交AG于点H,I,连接BH. 图1 图2 (I)若D1=1,求tan∠DAI; (2)求证：∠DHB=90°； (3)如图2，延长DH交CF于点J,求证：点H为DJ的中点， 【答案】(1)V2-1 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】(1)利用正方形的性质与角平分线的定义证明∠CDH=∠GDH=22.5°=∠DGA,进一步可得 D1=H=1,HG=DH=2,A1=G1=V2+1,结合tan∠DAI=Dy可得答案 (2)如图，连接AC,CH,证明△CDH≌△GDH(SAS),可得∠DHC=∠DHG=135°，再证明A,B,C,H在 同一个圆上，可得∠BHC=∠BAC=45°，进一步可得结论 (3)如图，连接CH,G.,证明aCDJ≌△GDJ(SAS,可得∠DJC=LDJG=67.5°，进一步可得 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠HCJ+∠HGJ=360°-90°-135°=135°，证明△HCJ≌△HGJ(SAS),可得HC=HJ=HG,进一步可得结 论 【详解】(1)解：：四边形ABCD和四边形CDEF均为正方形， AD=CD=DE,∠ADC=90°，∠CDF=45°， ∠ADG=90°+45°=135°， DG=DC, .AD=DG, ∠DAG=∠DGA=22.5°， :DH平分LCDF, ∠CDH=∠GDH=22.5°=∠DGA, .HD=HG,∠DHI=22.5°+22.5°=45°， :DI⊥AG, ∠IDH=∠IHD=45°，AI=GI, .DI=IH=1,HG=DH=√2， A1=G1=√2+1， 片an∠DAI-D以-月=2-1 A1V2+1 (2)证明：如图，连接AC,CH, 由(1)得：∠IDH=∠IHD=45°， .∠DHG=135°， :DC=DG,∠CDH=∠GDH,DH=DH, :△CDH≌aGDH(SAS), .∠DHC=∠DHG=135°， ∠CHG=90°=∠CHA, :四边形ABCD为正方形， .∠ABC=90°，∠BAC=45°， 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠ABC+∠AHC=180°， “A,B,C,H在同一个圆上， ∠BHC=∠BAC=45°， .LBHD=135°-45°=90°， BH⊥DH (3)证明：如图，连接CH,GJ, :四边形ABCD和四边形CDEF均为正方形， ∠BCD=∠DCF=90°，∠CFD=45°， 由(1)得：∠CDH=∠GDH=22.5°， .CD=GD,DJ=DJ, △CDJ≌GDJ(SAS), .∠DGJ=∠DCJ=90°，∠DJC=LDJG,CJ=GJ, ∴.∠FGJ=90°， ∠GJF=∠GFJ=45°， .∠DJC=∠DJG=67.5°， :∠CHG=∠AHC=90°， .∠HCJ+∠HGJ=360°-90°-135°=135°， HJ=HJ, △HCJ≌△IGJ(SAS, ∴.∠HCJ=∠HGJ=67.5°，HC=HG, :∠HCJ=∠HJC, .HC=HJ=HG, .HD=HG HD=HJ,即H为DJ的中点 36.(2026安微阜阳一模)如图，在菱形ABCD中，E为CD的中点，点F在CB的延长线上， 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠EAF=∠BAD,EF交AB于点G,H为GE上一点，且∠AHF=∠D· B (I)求证：AE2=HE·EF· (2)若∠D=60,EF.HE=27. ①求BG的长； ②连接CH,求证：CH⊥EF. 【答案】（①）详见解析 20号：@详见解新 【分析】(1)根据菱形的性质得∠D+∠BAD=180°，再说明∠EAF=∠AHE,然后根据“两角相等的两个三 角形相似”得△AHE∽△FAE,最后根据相似三角形的对应边成比例得出答案； (2)①连接AC,根据菱形的性质得△ACD是等边三角形，可得AE⊥CD,∠EAD=30?,再结合已知条 件得出AE=3√5，进而求出DE=CE=3,AD=6,然后说明FB=AB=BC,最后说明△BFG∽aCFE,根 据相似三角形的对应边成比例得出答案：②结合已知条件说明△4H0。FC0,可得O1O ,再根据“两 OH OC 边成比例且夹角相等的两个三角形相似”得aAOF∽△HOC,可得∠CHF=∠OAF,接下来说明∠OAF=90° 可得答案. 【详解】(I)解：：四边形ABCD是菱形， .∠D+∠BAD=180° :∠AHF=∠D,∠EAF=∠BAD, ·∠EAF=∠AHE. :∠AEH=∠FEA, ∴△AHE∽△FAE, HE AE AE FE .AE2=HE EF (2)解：①连接AC, 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B :四边形ABCD是菱形， :AD CD. :∠D=60°，E为CD的中点， :△ACD是等边三角形， AE⊥CD, .∠EAD=300 由(1)得AE2=EFHB=27, AE2=27, .AE=3V5. 在RtADE中，∠EAD=30O, .:AD =2DE, 根据勾股定理，得AD2=DE2+AE2, 即(2DE)2=DE2+(3V5)2, 解得：DE=CE=3,AD=6. :∠ABC=∠D=60°，∠BAF=∠DAE=30°， ∠AFB=30°， .FB=AB=BC. :BG∥CE, .△BFGn△CFE, BGBF 1 CE CF2' BG=3 ②证明：如图，连接AC交EF于点O, 可知∠EAH=∠AFE,∠EAC=∠AFB=30°， .∠HAC=∠CFO. .∠AOH=∠FOC, 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 △AH0∽△FC0, G OA OH OF OC OAOF OH OC :∠AOF=∠C0H, .△AOFn△H0C, LCHF=∠OAF. ∠BAD=120°， ∠CAB=60°， ∠0AF=90°， ∠CHF=90°，即CH⊥EF, 37.(2026安徽一模)如图，在菱形ABCD中，点E,F分别在边BC,CD上，∠EAF=∠B=60°. E C (I)求证：BE=CF. (2)G为AF中点，EG交AC于点O,EH⊥AC,垂足为H. ①求证：△AEO∽△GH0; ②求证：EH+2GH=√3AH. 【答案】()见解析 (2)①见解析；②见解析 【分析】(1)先根据菱形的性质可得AB=BC,AB∥CD,再证出ABC是等边三角形，根据等边三角形 的性质可得AB=AC,∠BAC=60°，然后证出ABE≌ACF,根据全等三角形的性质即可得证； (2)①连接EF,先证出△AEF是等边三角形，根据等边三角形的性质可得EG⊥AF,再证出 OGA∽OHE,表据相仪三角形的性质可待。=O然后根据相似三角形的判定即可符证 ②延长HG,交AD于点M，,先证出AE=2AG,∠AMH=90°，再证出△EAH∽△GAM,根据相似三角形的性 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 质可得EH、AE 2,从而可得GM=H,然后在R△4MH中，解直角三角形可得MH=5AH,最 GM AG 2 后根据GM+GH=MH和等量代换即可得. 【详解】(1)证明：四边形ABCD是菱形， AB=BC,AB∥CD, ∠B=60°， :ABC是等边三角形， .AB=AC,∠BAC=60°， .∠BAE+∠CAE=60°， :∠EAF=60°， :∠CAF+∠CAE=60°， .∠BAE=∠CAF, 又：AB∥CD,∠BAC=60°， ∠ACF=∠BAC=60°， LACF=∠B, 在△ABE和△ACF中， ∠BAE=∠CAF AB=AC ∠B=∠ACF △ABE≌△4CF(ASA), :BE CF. (2)证明：①如图，连接EF, D B E 由(1)已证：ABE≌ACF, AE=AF, :∠EAF=60°， :△AEF是等边三角形， 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :G为AF中点， EG⊥AF, ∠0GA=90°， :EH⊥AC, ∠0HE=90°， 在△OGA和△OHE中， ∠OGA=∠OHE=90° ∠AOG=∠EOH △OGA∞aOHE, OA OG OE OH' OA OE OG OH 在△AEO和△GH0中， OA OE 0G-0H ∠AOE=∠GOH △AE0∽△GH0. ②如图，延长HG,交AD于点M, A M D B :四边形ABCD是菱形，∠B=60°， ∠BAD=180°-∠B=120°， :∠BAC=60°， ∠CAD=∠BAD-∠BAC=60°， 由上已证：EG⊥AF, :LEAF=60°， LAEG=90°-∠EAF=30°， =2, AE=2AG，即GS 由上已证：△AEO∽△GH0, 2/6 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠GH0=∠AE0=30°， .∠AMH=180°-∠CAD-∠GH0=90°， 又：LEAH+∠GAH=∠EAF=60°，LGAM+LGAH=LCAD=60°， .∠EAH=∠GAM, 在△EAH和△GAM中， ∠AHE=∠AMG=90° ∠EAH=∠GAM ∴.△EAH∽△GAM, EHAE =2, GM AG :.GM=1EH, 在Ri△AMH中，MH=AH.cos∠AHM=AH·cos30°=5 AH, GM+GH=MH, ∴)EH+GH-5 AH, 2 EH+2GH=√5AH. 【点晴】本题考查了菱形的性质、三角形全等的判定与性质、等边三角形的判定与性质、含30度角的直角 三角形的性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形等知识，综合性强，较难的是题(2)②，通过作 辅助线，构造直角三角形和相似三角形是解题关键， 38.(2026安徽阜阳一模)在ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,点P是ABC外一点，PD⊥AC于D, 交AB边于E,PF⊥BC于F,交AB边于G,连接CE,CG. D B 图1 图2 图3 (I)如图1，若CE=CG,求证：四边形PDCF为正方形： (2)如图2，若PD=a,PF=b,AC=c(b<a<c),求△CEG的面积（用含a,b,C的式子表示）； (3)如图3，若AC为定值，∠ECG=45°，求证：四边形PDCF的面积为定值. 【答案】(1)见解析 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1 zc(a+b-c) (3)见解析 【分析】(1)证明四边形PDCF为矩形，LAED=∠BGF=45°，得∠CEG=LCGE,可得∠CED=LCGF, 得△CDE≌△CFG,得CD=CF,即得答案： (2)计算△CEG的面积=△ABC的面积-△ACE的面积-△CBG的面积； (3)作EM⊥BC于M,GN⊥AC于N,证明△ACG∽△BEC,可得四边形PDCF的面积为定值.另解： 匪明△AGC∽△CGE,△BCE∽ACGE,得△AGCO△BCE,可得四边形PDCF的面积为C,即为定值 【详解】(1)证明：：△ABC为等腰直角三角形， ∠A=LB=450, :PD⊥AC,PF⊥BC, ∠PDC=∠PFC=LACB=90°， :.四边形PDCF为矩形，∠AED=∠BGF=45°， ∠DEG=∠FGE=135°， CE=CG, ∴.∠CEG=∠CGE, :∠CED=LCGF, :△CDE≌△CFG AAS), :CD=CF, :矩形PDCF为正方形： (2)解：：PD=a,PF=b,AC=c, :aCEG的面积=△ABC的面积-△ACE的面积-△CBG的面积 --c0efc--2te-on-e-o0-e-c4b-c+a-4a+b-o0 1 (3)证明：如图，作EM⊥BC于M,GN⊥AC于N, 则∠ANG=∠BME=90°， 由(1)知，LA=LB=45°， 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E M F B :.△AGN和△BEM均为等腰直角三角形， 设PD=x,PF=y,AC=m, :AG=2x,BE=2y. :∠AGC=LB+LBCG,∠BCE=∠BCG+∠ECG, :∠ECG=45°， .∠AGC=∠BCE=∠BCG+45°， ∠A=∠B, .△ACG∽△BEC, AG BC AC BE ..AG.BE=AC2, √2x√2y=m2, 1 :AC=m为定值， :四边形PDCF的面积为定值， 另解：证明： :∠ACB=90,AC=BC, ∠A=45°. 在△AGC与△CGE中， :∠A=∠ECG,∠AGC=∠EGC, △AGC∽△CGE. 同理，△BCEACGE, .△AGC∽△BCE, AG AC BC BE 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AC2=AG.BE=(AB-BG)(AB-AE). 设AD=m,BF=n,则CD=AC-m,CF=BC-n, :AC2=(2AC-v2n)(2AC-2m)=2(BC-BF)(AC-AD), .AC2 =2CF.CD, 四边形PDCF的面积为4C,即为定值. 2 2/6