专题08 综合探究与数学思想专题（安徽专用）2026年中考数学一模分类汇编

**基本信息** 聚焦综合探究与数学思想，涵盖动点函数、最值、规律探究等5大考点，精选2026年安徽各地一模真题，突出数形结合与逻辑推理能力考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|50题|动点函数图像分析（如等腰三角形动点面积）、几何折叠（矩形折叠落点）|结合动态过程考查函数建模，强调分类讨论| |填空题|20题|规律探究（数列、图形计数）、新定义（自反点函数）|以数表、图形为载体，渗透归纳思想| |解答题|50题|几何旋转证明（等边三角形旋转）、综合实践（格点多边形面积）|跨知识点融合，注重数学表达与问题解决|

动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题08综合探究与数学思想专题 ☆5大考点概聪 考点01动点与动线函数问题 考点02最值问题 考点03规律探究 考点04阅读理解/新定义 考点05几何折叠与旋转 考点01 动点与动线函数问题 一、单选题 1.(2026安微合肥一模)如图1，在ABC中，∠ACB=90°，BC=2,AC=4,点D在AB上， AD=4BD,点E,F分别在边BC,AC上（不与端点重合），且DE⊥DF,设EC=x(0<x<2),△ECF的面 积为y,y关于x的函数图象如图2所示，最高点为G(p,9,且经过M(m,0.84)和N(n,0.84)两点，下列选 项正确的是() D 9 0.84 m p n 图1 图2 A.p=1.2 B.n=1.4 C.△ECF的面积的最大值为0.96 D.点(0.3,0.52)在该函数图象上 2.(2026安徽宣城一模)如图①，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,P,Q两点同时从O点出 发，以1厘米秒的速度在菱形的对角线及边上运动.点P的运动路线为0-A-D-0,点Q的运动路线为 0-C-B-0,设运动的时间为x秒，P,Q间的距离为y厘米，y与x的函数关系的图象大致如图②所示， 当点P在A-D段上运动且P,Q两点间的距离最短时，P,Q两点的运动路程之和为()厘米. 厘米 D 2V3 B x/秒 ① ② 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.2W3+3 B.6+V5 C.8 D.2√5+1 3.(2026安徽合肥一模)如图，口ABCD中，AB=3,AD=4,P,Q两点同时从点A出发，均以1个单位 每秒的速度分别沿着A-B-C,A-D-C运动，则△APQ的面积y与运动时间x之间的函数图象是() B D B 34 9 34 C 34 Oǐ 34 4.(2026安徽滁州一模)如图，在菱形ABCD中，AB=4,∠B=60°，点E从点B匀速运动到点C, EF⊥BC,交AB于点F,将菱形ABCD沿EF折叠，记折叠的部分与原菱形重叠部分面积为y,BE=x, 则y关于x的图像大致是() D B 33 33 33 2W3 23 23 A. B D 0 234主 0 3 4 234 A 33 23 0 34 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 5.(2026安徽合肥一模)如图1，在等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°，动点D从点A开始沿AB边以每秒1 个单位长度的速度运动到点B,同时，动点E从点B开始沿BC边以相同速度运动到点C,连接DE,点F 为DE中点.设时间为(s,DE2为y,y关于t的函数图象如图2所示，下列结论不正确的是() VA 10 t/s 图1 图2 A.AB=4 B.连接BF,BF有最小值为√2 C.若点M是边AC的中点，则MF的最小值为1 D.连接AF,CF,则AF+CF的最小值为21O 6.(2026安徽阜阳一模)如图，在平行四边形ABCD中，∠C=60°，CD=3,BC=6,等边三角形EFG 边长为3，它们的边EG,AB重合，现将△EFG沿直线BC向右移动，直到点F与点C重合时停止移动，移 动的距离是x,△EFG与平行四边形ABCD重叠部分的面积是y,则y随x变化的函数图象大致是() E(A) G(B) A.93 B.93 C. 93 D 4 4 0369主 o369 369 93 o369 7.(2026安徽安庆一模)如图，边长为2的等边ABC和边长为1的等边aA'B'C',它们的边BC,B'C'位 于同一条直线I上，开始时，点C与点B重合，ABC固定不动，然后把△A'B'C'自左向右沿直线I平移，移 出ABC外（点B与点C重合）停止，设aA'B'C'平移的距离为x,两个三角形重合部分的面积为y,则y关 于x的函数图象是() 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B B(C B A. B. 4 123元 23 3 C D 2 23 O123 8.(2026安微滁州一模)如右图，直线1的解析式为y=-x+4,它与x轴和y轴分别相交于A、B两点， 点C为线段OA上一动点，过点C作直线1的平行线m,交y轴于点D.点C从原点O出发，沿OA以每秒 1个单位长度的速度向终点A运动，运动时间为t秒，以CD为斜边作等腰直角三角形CDE(E,O两点分 别在CD两侧).若△CDE和△O4B的重合部分的面积为S,则S与t之间的函数关系图象大致是() B C m 9.(2026安微合肥一模)如图，在ABC中，∠B=30°，AB=AC=2V5,点D,E,F分别在边BC, 边AB和边AC上，且DE⊥AB,DF⊥AC.设BD=x,记CDF与BDE的面积差为y,则y关于x的函数 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 图象为() AF 3V3 3V3 2 A B 4 x 21 4 3V3 3V3 2 yA yA 3V3 3V3 2 C D 4 2 3V3 33 2 2 10.(2026安徽合肥.一模)如图1，在ABC中，∠ABC>90°，点P从点A开始沿AC向点C运动，在运 动过程中，设线段AP的长为x,线段BP的长为y,y关于x的函数图象如图2所示，点Q是函数图象上的 最低点，则此时BP的长为() 7 B 图1 图2 A.2 B.25 C.7 D.25 11.(2026安徽合肥一模)如图，在边长为1的正方形ABCD中，动点F,E分别以相同的速度从D,C两 点同时出发向C和B运动（任何一个点到达即停止），连接AE,BF交于点P,过点P作PM∥CD交BC于 M点，PN∥BC交CD于N点，连接MN.设DF=CE=t(O<t≤1.在运动过程中，下列结论中正确的个 数() ①△ABE≌△BCF且AE⊥BF:②线段MN的最小值为-I+5,③CP:=PE~BF;④当1=)时， 2 △PMN为等腰直角三角形. 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 12.(2026安微池州一模)如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，点D是AC上一定点，点P从点A出发，沿 边AB→BC运动到点C.连接PA,PD,设点P运动的路程为x,PA+PD=y,其中y关于x的函数图象 如图2所示，则图2中函数图象最低点的纵坐标m的值为(). y 32 B m 3 > 图1 图2 A.24 5 B. C.4 n 13.(2026安徽毫州一模)如图1，在等边三角形ABC中，点D为边AC的中点.动点P从点A出发，沿 边AB→BC方向匀速运动，运动到点C时停止.设点P的运动路程为x,△APD的面积为y,y与x的函 数图象如图2所示，当点P运动到BC的三等分点时，PD的长为() 18√5 图1 图2 A.27 B.213 C.2W7或2W13 D.√7或√3 14.(2026安徽马鞍山一模)如图，在矩形ABCD中，AB=8cm,AD=12cm,AC与BD交于点O,M是 BC的中点.P,Q两点沿着B→C→D方向分别从点B,点M同时出发，并都以1cm/s的速度运动，当点 Q到达D点时，两点同时停止运动.在P,Q两点运动的过程中，与△OPQ的面积S随时间t变化的图象 最接近的是() 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D BPMQ→C S 18 18 A. 12 B 12 10.5 06712147 0681214 SA S 18 18 D. 12 10.5 10 06712147 06812147 15.(2026安徽芜湖一模)如图1所示，将一个等腰直角三角板ABC摆放在平面直角坐标系中，其中直角 边AC在x轴上，点B在第二象限，将直线：y=x-3沿x轴负方向以每秒1个单位长度的速度平移.设平 移过程中该直线被ABC的边截得的线段长度为m,平移时间为t,m与t的函数图像如图2所示，下列结 论错误的是() mA 6 107 图1 图2 A.点A的坐标为1,0) B.ABC的面积为8 C.边AB所在直线的表达式为y=-x+1D.D点坐标为6,4) 16.(2026安徽马鞍山一模)如图，正方形ABCD中，AB=1,连接AC,∠ACD的平分线交AD于点E, 在AB上截取AF=DE,连接DF,分别交CE,CA于点G,H,点P是线段GC上的动点，PQ⊥AC于点 D,连接PH.下列结论：①CE⊥DF;②DE+DC=AC;③EA=V5AH:④PH+PO的最小值是 2 其中所有正确结论的序号是() 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D P G B A.①②③④ B.①②③ C.①②④ D.①③ 17.(2026安微宿州一模)如图，点M,N是矩形ABCD的边上两个同时运动的动点，点M的运动路线： D→A;点N的运动路线：A→B→C→D，已知点N的运动速度是点M运动速度的2倍，设DM=x, △AMN的面积为S.若AD=4,AB=2,则与x的函数图象大致是() DM 4 SA S B 4 D 3 4 18.(2026安徽合肥.一模)如图1，在平行四边形ABCD中，动点E从点A出发，在平行四边形的边上沿 路径A一B一C作匀速运动，运动到点C时停止.设点E的运动路程为x,线段AE的长度为y,y与x的函 数图象如图2所示.则点C到线段AB的距离为() 42 E B 图1 12 图2 A.45 B.4.4 c.s② D.5.6 3 2 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 19.(2026安微蚌埠一模)如图，正方形ABCD的边长为3cm,点E在AD边上，且DE=2cm.动点P从 点A出发以3cm/秒的速度沿A-B-C-D运动，当点P出发2秒后，点E以2cm/秒的速度沿ED向点D运 动，当点P到达点D时，P,E两点同时停止运动.设点P运动的时间为x秒，△DPE的面积为ycm,则y 关于x的函数图象大致为() D B VA B C D 01 23 01 23 20.(2026安徽阜阳·一模)如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠ABC=120°，动点P从点A出发，沿边 AB→BC匀速运动，运动到点C时停止，过点P作AB的垂线交菱形的边于另一点Q,在点P运动的过程 中，记△APQ的面积为y,点P运动的路程为x,则y与x之间的函数图象大致是() D 以 43 45 45 A. 25 25 25 024 2 2 1/6 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 珠 45 25 024 8衣 21.(2026安徽阜阳一模)如图，C是以AB为直径的半圆O的中点，P是直径AB上的动点，连接BC, PC,将射线PC绕点P顺时针旋转45°，交BC于点D,设AP=x,CD=y,则y与x之间的函数关系图 象大致是() y VA 22.(2026安微一模)如图，矩形ABCD中，AD=4V5,对角线AC,BD交于点O,∠B0C=120°，E为AC上 一动点.F为DE中点，则下列结论正确的是() A.DE的最小值为3√5 B.DF的最小值为2W3 C.F0+FC的最小值为2√7 D.△OCF的周长最小值为2+2√万 23.(2026安微·一模)如图，AC是菱形ABCD的对角线，把菱形ABCD沿着对角线AC方向平移，得到菱 形A'B'CD',AB',A'D'分别交BC,CD于点G,H,连接GH,若AA'=x(O<x<AC),GH=y,则y 与x之间的关系大致可以用函数图象表示为() 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B C D 0 考点02 最值问题 一、单选题 1.(2026安徽池州一模)如图，在平面直角坐标系中，A在x轴上，C在y轴上，四边形0ABC为矩形，D 、E分别在AB、BC上，若反比例函数y=《过E、D两点，交OB于点F,则下列说法正确的是() E A.k越小，DE的长越小 B.当k=1时，SoDE为定值 C.若矩形面积为16,0F=3BF时，k=9 D.当OABC为边长1的正方形时，DE最小为√2 2.(2026安徽准南一模)如图，在ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1,点D在边AB上，点E 在AB的延长线上，且AD=BE,M为AC的中点，则下列结论错误的是() B 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.CD+DE的最小值为5+2 B.CE-DE的最大值为万-2 2 C.CD+CE的最小值为 2 D,CD+DW的最小值为) 3.(2026安徽合肥一模)己知两个实数a、b,满足2a+b=1,且a≥0、b≥0，则3a-b的最小值是() A.-1 B.0 C. D.1 4.(2026安徽蚌埠.一模)如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=3,E,F分别为AB,CD边的中点，动点P从 点E出发沿EA向点A运动，同时，动点Q从点F出发沿FC向点C运动，连接PQ,过点B作BH⊥PQ于点 H,连接DH.若点P的速度是点Q的速度的2倍，在点P从点E运动至点A的过程中，下列说法错误的是 () D AP B A.线段PC+PD最小值为213 B.DH的最小值√3-√2 C.四边形APQD面积的最小值为6 D.线段PQ长度的最大值为3v2 5.(2026安徽合肥一模)已知抛物线y=ax2-5a+a2+1(a≠0)图象上有两点A(x,,)、B(x2,y2),当 x<x,<2时，有y<2;当-1≤x≤3时，y最小值是8.则a的值为() A.-7 B.-1 C.1或-7 D.-1或-7 6.(2026安徽六安一模)如图，已知矩形ABCD中，AD=2AB=8,点P是对角线BD上一个动点（不与 B,D重合)，PE⊥AB于点E,PF⊥AD于点F,连接CP,EF,点M是PD的中点，连接CM,给出 下列结论中，其中正确的是() F D M A.四边形PEAF的周长是定值 B.EF的最小值为5 4 C.当BE=5时，△BEPn△EPF D.当F1Cw时，BP-5 7.(2026安徽阜阳.一模)如图，在ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,P为ABC外一点、且P、C在直 线AB的异侧，PA=2,PB=6,将CP绕点C逆时针旋转90°得到CP',连接BP'、PP',当线段PP取最 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 大值时，下列结论错误的是() D A.PC平分∠APB B.△BCP的面积等于12 C.△BCP'的周长等于20 D.△BPP'的周长等于24 8.(2026安微安庆一模)已知如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=2,BC=4,点P为边AC上 点，连接BP,将△ABP沿BP翻折，得到△EBP,其中点O为边AB中点，点D为边BE中点，连接OD、 OP、CE,下列说法错误的是() A.BP最小值为45 B.CE最小值为2 C.OD的最大值为3 D.OP+BP最小值为i85 5 9.(2026安徽合肥一模)已知实数m、n满足m2-mn+n2=2,若s=2m-2n+mn,则s的值最大为() A.1 B.2 C.3 D.4 10.(2026安徽合肥一模)如图，在ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4,点P是AB边上一动点，以 PC为直角边作等腰直角△PCD,∠PCD=90°，连接BD,直线PD与BC相交于E点.设AP=x,则下列 结论正确的是（) A.PD的最小值为2√2-1 B.BD⊥AB 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 C.当BD=2时，AP=22 D.aCDE的面积S随x增大先减小后增大 11.(2026安徽合肥一模)如图，在矩形ABCD中，AB=3,BC=4.点E在边AD上，且ED=3,M、 N分别是边AB、BC上的动点，且BM=BN,P是线段CE上的动点，连接PM,PN,MN.则下列结 论错误的是（) D M B N A.△PMN面积的最大值为2 B.点P到直线MN的最短距离是互 C.若BM=1,则PM+PN的最小值为25 D.若PW+PN=4,则线段PC的长为5 12.(2026安徽准南·一模)如图，等边ABC的边长为6，点D,E分别在AB,BC上，BD=CE=2,P 为BC上的动点，将DP绕点D逆时针旋转60得到DQ,连接AQ,EO,CQ.下列结论不正确的是() A.AQ的最小值为√ B.EQ的最大值为2√7 C.CQ-EQ的最大值为5 D.EQ+CQ的最小值为2√万 13.(2026·安徽芜湖一模)如图，在等腰直角ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=4.点D为BC的中点， ∠EDF=90°，其两边分别与AC,AB交于点E,F(不与A,B,C重合).取EF的中点M,连接AM 并延长交BC于点G,连接EG,FG.则下列结论中正确的是() 2/6 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 G D A.EF的最小值为4 B.MB+MC的最小值为2√10 C.△DEF周长的最小值为4+3√2 D.四边形AEGF面积的最小值为4 14.(2026安微阜阳一模)己知三个实数a,b,c满足a+b+c=0,abc=2,且b>0,则b-a-c的最小 值为() A月 B.2 D.4 15.(2026安徽一模)如图，矩形ABCD中，AD=45,对角线AC,BD交于点O,∠B0C=120°，E为AC上 一动点.F为DE中点，则下列结论正确的是（) D A.DE的最小值为3√5 B.DF的最小值为2W3 C.F0+FC的最小值为27 D.△OCF的周长最小值为2+2√7 二、填空题 16.(2026安徽阜阳.一模)已知二次函数：y=ax2-4ax+3a. (1)若该二次函数的图象开口向下，当1≤x≤4时，y的最小值是-6，则a的值为 (2)若对于该抛物线上的两点P(x,y),Qx2,y2),当t≤x≤t+1,x2≥5时，均满足≥y2,则t的取值范围 是 17.（2026安徽一模)如图，矩形0ABC的边0A=1,0C=2,点E是边AB上的一个动点（不与点A,B重 合)，过点E的反比例函数y=《(x>0)的图象与边BC交于点F,当四边形AOFE的面积最大时，FC的长 度为 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 VA B 三、解答题 18.(2026安徽芜湖一模)设函数片-冬，片-出k>0,当1≤r≤3时，函数y的最小值是a,函数5 的最大值是6a. (1)求k的值； (2)若点P(m,川在函数y=←的图象上，且点P到y轴的距离大于3，求n的取值范围。 考点03 规律探究 一、 填空题 1.（2026安微阜阳一模)数学兴起小组在研究连续正整数的和时发现结论：1+2+3++n-”n+ 2 (n≥1，且n为整数).后来他们又发现一些完全平方奇数（若一个奇数能表示成某个整数的平方的形式， 则称这个奇数为完全平方奇数，如1,9,25,49，均为完全平方奇数)可以写成几个连续正整数的和， 如：12=1,32=2+3+4,52=3+4+5+6+7,72=4+5+6+7+8+9+10，… (1)将92写成几个连续正整数的和：； (2)若将20272写成几个连续正整数的和，其中最大的正整数与最小的正整数的差为 2.(2026安徽芜湖.一模)己知一个由非负整数组成的数列{an},从43开始满足a;=a1-2a2,a4=a2-2a, a5=a3-2a4,…,02026=a2024-2a2025 (1)当a1=2,a2=4时，a4=; (2)当41=m,a2=1(m≥3，m为整数)时，a226= 3.(2026安微芜湖一模)对于整数n,根据整数的符号，分以下三种情况得到另一个整数m:若n为正 数，则m=-n+1;若n为负数，则m=n+2;若n为0，则m=n-1.这种得到m的过程称为对进行一次 变换.对所得的数m再进行一次变换称为对进行二次变换，依此类推.例如，n=4为正数，则-4+1=-3 ,对4进行一次变换得到的数为-3；-3为负数，则-3+2=-1，对4进行二次变换得到的数为-1；-1为负数， 则-1+2=1，对4进行三次变换得到的数为1. 2/6 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)对整数2进行三次变换，得到的数为 (2)若对整数进行二次变换得到的数为0，则所有满足条件的的值之和为· 二、解答题 4.(2026安徽六安一模)观察下面三行数组： 第一行：1491625. 第二行：0381524. 第三行：26122030 根据规律，解答以下问题： (1)第一行第7个数是 (②)第二行第n个数是 (用含的式子表示)： (3)第三行第m个数与第二行第m个数的差为2027，求m的值. 5.(2026安徽池州一模)如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为1,0)、点A的坐标为(2,0)、点A的 坐标为3,0)，…，过点A、4、4、,分别作x轴垂线，交直线y=x于点B、B、B、,△OA,B,覆 盖的整点（横、纵坐标均为整数的点）的个数记为P,面积的值记为S,；△OA,B,覆盖的整点的个数记为 ,面积的值记为S2;△OAB覆盖的整点的个数记为P,面积的值记为S 【参考公式：连续x个正整数和的计算公式：1+2+3++(x-1+x=x+】 2 1V= B B3 B2 0油烟意可：月=3、S=分：月=6、品=2：月=10、3=号：则B=一、S=— (2)P,-S,=: (3)P-Sn的值是否会等于2026？若能，请求出的值，若不能，请说明理由. 6.(2026安微合肥一模)如图，将形状、大小完全相同的“·”和线段按照一定的规律摆成下列图形，第1 个图案中，”的个数为3，第2个图案中的，”的个数为8，第三个图案中的“”的个数为15，.，以此类推。 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 第一个图案 第二个图案第三个图案 第四个图案 (1)第5个图案中“·”的个数是 (2)请用含n的代数式(n为正整数)表示第n个图案中“·”的个数 判断是否存在图案中的“·”的个 数为120，并说明理由， 7.(2026安微一模)观察算式： x2111 1 22 1+L=1- 1,112 1x2+2x31-2+233 334 (1)按规律填空： ①，1+11 1 1×22x33×4+4x5- 11 1 + 99x100=- ++ 1×22×33×44×5 11,1,1 1 ③如果n为正整数，那么1×2+2x33x44×5 +…+ nx(n+1)- (2)计算（由此拓展写出具体过程） 0,1+11 1 1x3+3x5+5x7 …十 99×101 ②1-111 1 2612 9900 820s安做宿州一发)观黎下列备式，2号-2层5+-得+后-4层 0)根据以上规律猫想，5+三=5 a为正整数，则a= a (②)你从以上各式发现什么规律？请用含有n的式子将规律表示出来.并注明n的取值范围. (3)证明你在(2)中写出的等式是正确的 9.(2026安微淮南·一模)综合与实践 【项目主题】 班级劳动实践小组拟用正方形和圆形代表两种花卉为某单位设计花卉展览图案. 【项月准备】 2/6 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 正方形和圆形分别代表盆景和花卉，同学们已经知道数学公式：1+2+3+…+n n(n+(n为正整数). 2 第1个图案 第2个图案 第3个图案 第4个图案 【项目分析】 第1个图案中盆景的盆数为6，花卉的盆数为2： 第2个图案中盆景的盆数为10，花卉的盆数为7； 第3个图案中盆景的盆数为14，花卉的盆数为14： 第4个图案中盆景的盆数为18，花卉的盆数为23； 【项目实施】 按照以上规律，解答下列问题： (1)第5个图案中盆景的盆数为 花卉的盆数为 (2)第n(n为正整数)个图案中盆景的盆数为 花卉的盆数为 (3)已知该单位实施的花卉展览图案中花卉比盆景多77盆，求该单位购买盆景和花卉的盆数。 10.(2026安徽宣城一模)利用图形来表示数量或数量关系，也可以利用数量或数量关系来描述图形特征 或图形之间的关系，这种思想方法称为数形结合.你能利用数形结合的思想解决下列问题吗？ 23 S2= S=1-S2X号 1-S1 1 4 ×号 16 5s1-5i-52-59x3 图① 图② 图③ 1 )如图①，一个边长为1的正方形，依次取正方形面积的，各，。，，，根据图示我们可以知道鱼 11,1,1, 1 1111 1 十…十 那么 -十…+ 24816 64 24816 2分 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2.2,2 2 如图②，一个边长为1的正方形，依次取剩余部分的，根据图示：计算：士 +…+ 3927 3” (3)如图③是一个边长为1的正方形，根据图示：计算：}+2+4+8+…+2 十…+ （用含的式 392781 3” 子表示) 11.(2026安徽蚌埠一模)设5是一个两位数，其中a是十位上的数字(1≤a≤9)，例如：当a=4时， 5表示的两位数是45. (1)尝试： ①当a=1时，152=225=1×2×100+25； ②当a=2时，252=625=2×3×100+25； ③当a=3时，352=1225=3×4×100+25； ④当a=4时，452=2025=—· (2)归纳：a5与100aa+1+25有怎样的大小关系？试说明理由. (3)运用：若a5与100a的和为6325，求a的值. 12.（2026安徽滁州一模)数学兴趣小组开展探究活动，研究了“一组有规律的数据和相关问题”的问题 (1)【规律特殊化】给出一列数据：2,5,8,11,14，…依次把这列数据记为a,a2,a,…,则a,=2,a2=5,a=8… ,则ag= ，a1+ag a4+a5（填“>“<”或“=”)； (2)【规律一般化】这列数据的第m,n,p,9(m,,p,q均大于1)个数据分别为am,an,ap,a。,且 m+n=p+g,探究am+an与a。+a。之间的关系. 思路探究：：am=2+3m-1)=3m-1,an=2+3(n-1=3n-1, 同理ap= ，0。= .0m十an= ，a。+ag m +n p q, ∴.am+an ap+agi (3)【思想一般化】已知nn≥8)个正实数a1=2,a2,a,…,an满足an=a9-,其中q>0,9≠1.则 a,as a4+a5(填>”“<”或“=”). 13.（2026安徽六安.一模)“拿”与“口”按如图所示的规律进行排列： 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 0 女 卒☆章 安 中☆中 章☆☆章 安 女☆女 女☆☆安 年☆☆☆卒 年☆年 年☆年☆安 卒☆安☆章☆安 卒☆安☆安☆卒☆守 第1个图案 第2个图案 第3个图案 第4个图案 (1)第6个图案中“口”的个数是 ;第n个图案中“口”的个数为 (2)若第(n+)个图案与第(n-3)个图案中“口”的个数之差比第n个图案中“章”的个数多70，求正整数n. 14.(2026安徽合肥一模)综合与实践 【项目主题】 如果一个多边形的所有顶点都位于正方形网格的交点上，那么这样的多边形被称为格点多边形.教师展示 系列基础的格点多边形（图1），学生尝试计算它们的面积，随后教师提出问题：格点多边形的面积与哪 些因素有关？ -t- S3.5 0,2 S4.5 第二组 第三组 图1 备用图 【项目分析】学生交流讨论，教师收集意见，形成4个子问题，具体如表1. 表1 格点多边形的面积与 子问题A 它的边数（或顶点个数》 有关 格点多边形的面积与 子问题B 它的周长有关 格点多边形的面积与 子问题C 它内部的格点数有关 子问题D 格点多边形的面积与 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 它的边上格点数有关 【项目探究】 当存在多个变量时，如何确定某一变量对结果有无影响，学生提出用控制变量法，即保证其它量不变，看 该量变化是否使结果改变.结合图1，用控制变量法进一步探究. 任务一：问题筛选 (1)图1中第一组，其顶点个数、内部格点数、边上格点数相同，周长不同但面积相同，说明子问题①不 成立 (2)图1中第二组，其内部格点数、边上格点数相同，顶点个数不同但面积相同，说明子问题②不成立. 任务二：探究论证 (3)控制内部格点数为1，改变边上格点数，学生通过操作、计算、思考，并制得表2.可发现规律：内部 格点数为1时，边上格点数每增加1，格点多边形面积增加0.5. 表2 边上格点数 3 4 5 6 多边形面积 1.5 2 2.5 3 表3 内部格点数 1 2 3 4 多边形面积 2 旦 ④ (4)控制边上格点数为4，改变内部格点数，学生通过操作、计算、思考，并制得表3.完成表格填空， 可发现规律：⑤ 任务三：公式归纳 不妨设格点多边形的面积为S,边上格点数为L,内部格点数为N,尝试建立三者之间的数量关系.有了之 前活动的经验，在教师的引导下，学生可想到采用控制变量的方法，以“分步归纳”的方式进行推理。 (1)当N=1时，根据表2的实验数据，可归纳出S=L; (ⅱ)当N=2时，动手实验，记录新的数据，整理如表4，由表4可归纳出S=L+1 2 表4N=2时，S与L的关系 3 6 216 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 S 2.5 3 3.5 表5N=3时，S与L的关系 3 4 5 6 3.5 4.5 5 (i)当N=3时，动手实验，记录新的数据， 整理如表5，由表5可归纳出S=L+2; 2 以此类推，可以发现S、L、N之间的数量关系式为⑥，这就是著名的皮克公式. 【项目应用】 将地图上公园（部分）轮廓抽象为格点多边形，通过几何画板调整网格使其顶点落于格点（个别不在格点 上的顶点，用附近格点代替)，利用皮克公式计算面积，结合比例尺换算出公园实际面积. 请将上述材料中横线上所缺内容补充完整： ⑦ ②】 ③ ④ ⑤ ⑥ 15.(2026安徽安庆·一模)用长度相等的木棍按一定规律拼成的图案，其中第1个图案用了12根木棍拼成 1个正六边形和2个正方形，第2个图案用了20根木棍拼成2个正六边形和3个正方形： 第1个图案 第2个图案 第3个图案 (1)第3个图案中用了28根木棍拼成了 个正六边形和 个正方形： (2)第n个图案中用的木棍根数为 个（用含的代数式表示）： (3)如果现有木棍根数为212个，求拼成的图案中正六边形的个数和正方形的个数. 16.(2026安徽合肥一模)项目式学习 【任务一阅读学习】我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方 (a+b)”展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式：(a+b)4=a+4a3b+6ab2+4ab3+b4. 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 左右 积隅 ￥除O⊙ 方⊙O⊙ 方⊙自自O 乘 O@因四O 团⊕①国O 五O⊙团国困园 (1)【任务二应用体验】根据图表直接写出(a+b)= (②)【任务三拓展提升】 ①若(x-1)=a,x6+a2x3+ax4+a4x3+ax2+a6x+a,其中a1,a2,a3,a4,a5,a6,a,为各项系数，则a2+a5= ②若(x+1)2025=a,x2025+a2x2024+…+a2023x3+a2042+a2025x+1,其中a,a2,…a2023,42024,a2025为各项系数，则求 a1+a2+a3+…+a2023+a2024+02025= 17.(2026安徽准南一模)把8个棱长为1cm的小正方体木块在地面上堆成如图所示的立体图形. 正前方 从正面看 从左面看 从上面看 图1 图2 ()请利用图2中的网格画出这个几何体从正面看、从左面看和从上面看到的形状图， (②)如果再添加一些相同的小正方体木块，并保持这个几何体从正面看和从上面看到的形状图不变，那么最 多可以再添加 个小正方体木块： (3)若向露出的表面部分喷漆，若1cm2需要漆3g,那么需要用漆多少g? 18.(2026安微芜湖一模)下面对每一列数，通过观察归纳，给出每个序列中的后继项： (1)1×4,2×5,3×6,4×7,5×8, (2)2,5,9,14,20,- 2/6 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)小明把从0开始的自然数按照以下规则排序，按照从左到右的顺序，第行最后一个数是 (用 含的式子表示)，并求出2026是第几行从左到右数的第几个数. 第1行 0 第2行 1,2 第3行 3,4,5 第4行 6,7,8,9 第5行 10,11,12,13,14 … 19.(2026安微阜阳一模)【问题背景】小林和小明在探究“5、8、13、20、29、.”这列数字的第个数字 是什么时，他们之间有不同的方法。 (1)【小林】他发现这组数据中后一个数字减去前一个数字的差分别是3、5、7、9、.，后一个数字也恰好 等于前一个数字加上他们的差，如： 8=5+3、13=5+3+5、20=5+3+5+7、29=5+3+5+7+9, 按此规律，我们发现第n个数字就是：5+3+5+7+9+11+…+ 的和；这一列数据求和又该如何计 算？ 小林翻阅资料发现：在计算1+2+3+4+…+100时，是按照下列方法计算： 1+100+2+99+3+98+…+50+51=1+10)×100 2 按此规律，1+2+3+4+…+n= ；请你按此规律计算出第n个数字是 (2)【小明】小明联想到在“完全平方公式”的证明时，采用数形结合的方式进行证明.于是小明发现“5、8、13、 20、29”这列数字可对应下列图案： ⊙ 回 回▣ 回回回 回 回回⊙ 回回 回回回 回 每个图案的外围有 个点，而中间点的数量是按照“1、4、9、16、25.… ”(填第n个图案中 间点的数量)延续下去，于是我们可以知道第个图案的点数由两部分组成，从而求出第个数字， (3)【规律应用】结合上述两种方法，请你运用“数形结合”思想，通过画图来探究“4、10、18、28、40、” 第个数字是什么？请画出对应图案 20.(2026安徽安庆一模)围棋起源于中国，至今己有4000多年的历史，围棋使用圆形黑白两色棋子在方 形格状的棋盘上博弈.现用黑白棋子围成下列图案： 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ONOoo ●●】 ● ●● ●●● ●●●● 第1个图案第2个图案第3个图案第4个图案 (1)第n个图案中黑色棋子的个数为 二，白色棋子的个数为 (2)结合图案中两色棋子的排列方式及上述规律，当第n个图案中黑色棋子比白色棋子多21个时，求n的值. 21.(2026安徽合肥.一模)能构成直角三角形三边长的三个正整数a,b,c称为勾股数，a,b,c满足 a2+b2=c2,世界上第一次给出勾股数公式的是我国古代数学著作《九章算术》.观察下列勾股数： 第一类：(3,4,5)，(5,12,13)，(7,24,25)，(9,40,41. 第二类：4,3,5，(6,8,10)，(8,15,17)，(10,24,26). (1)任写一组勾股数满足第一类形式为 ； (②)假设第二类每组勾股数第一个数记为m,用含有m式子表示这组勾股数 ,并证明你的猜想， 22.（2026安徽合肥.一模)【项目主题】 某校数学社团开展“幻方与生活”实践活动，探究幻方的数式规律，并尝试将幻方思想应用于校园艺术节的灯 箱阵列布置中. 【项目准备】 (1)幻方定义：在一个由若干个连续自然数排成的正方形方格中，如果每行、每列及两条对角线上的数的 和都相等，那么这个方格表就叫做幻方，相等的和叫做幻和. (2)如图1是由1一9这9个数构造的一个三阶幻方. 2 6 1 15 14 4 7 9 12 6 8 10 11 5 4 3 8 13 3 2 16 图1 图2 【规律探究】 (I)观察图1，中心数是5，该三阶幻方的幻和S=15(即幻和等于中心数的3倍).若将图1中每个数都加上 同一个正整数k,得到一个新的三阶幻方，则新幻方的幻和S”=一（用含k的代数式表示） (2)若用m,m+1,m+2,.,m+8这9个连续正整数构造一个三阶幻方，则幻和S=-(用含m的代数 式表示). (3)如图2是一个由1一16这16个数构造的经典四阶幻方，幻和S=34.若将每个数都加上同一个整数k,得 2/6 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 到一个新的四阶幻方，则新幻方的幻和S”=一（用含k的代数式表示). 【项目分析】 校园艺术节期间，数学社团负责在广场上布置一个“幻方灯箱阵列”.具体要求如下： 灯箱阵列为4×4的方形阵列，共16个灯箱.每个灯箱上贴一个数，要求整个阵列构成一个四阶幻方.灯箱 中的数必须是从某一起始数开始的连续自然数. (4)现有两种备选方案： 方案一：用1一16这16个连续自然数构造幻方（如图2所示）. 方案二：用5-20这16个连续自然数构造幻方.则方案二的幻和：S=-· 每个灯箱的制作成本为20元，数字贴纸费用为每个数字1元（即每个数按数字的个数收费，如贴纸8收费 1元，贴纸37收费2元).计算方案一总成本：-元. 【项目实施】 (⑤)根据以上分析，若社团要求灯箱上幻和为62，且数为连续自然数，此时总成本为_元， 23.(2026安徽滁州·一模)某数学兴趣小组为探究剪切多边形纸片所得三角形纸片张数问题，先从三角形 纸片开始探究.如图，先在三角形纸片内依次添加1个点、2个点、3个点.，包含三角形顶点在内的所 有点中每三个点均不共线，然后用剪刀沿两点的连线（图中虚线，不交叉）剪开，得到若干张三角形小纸片， 列出小纸片的张数与点的个数（含三角形三个顶点）的关系如下表： 点的个数 5 6 1 小纸片的张数 5 7 9 类比剪切三角形纸片的方法，依次探究四边形和五边形纸片的剪切问题. 在四边形纸片上剪切，列出三角形小纸片的张数与点的个数的关系如下表： 点的个数 5 6 7 8 小纸片的张数 4 6 8 10 在五边形纸片上剪切，列出三角形小纸片的张数与点的个数的关系如下表： 点的个数 6 7 8 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 小纸片的张数 5 9 11 依据以上信息，完成下列问题： (1)a的值是 (2)直接写出m与的关系式，并求当四边形纸片上共有100个点（含顶点，每三个点不共线）时，可以剪 切成多少张三角形小纸片； (3)若四边形纸片上点的个数比五边形纸片上点的个数少1（含顶点，每三个点不共线），且两张纸片共剪切 成2025张三角形小纸片，求四边形纸片上点的个数， 24.(2026安徽合肥.一模)【观察思考】 ◎ ◎ 回*O ◎ ⊙回 回回 ◎ 回回 @回 回☆女回 回*回 回*回*回回*回*⊙*回 回@*@*回*回 第1个图案 第2个图案 第3个图案 第4个图案 【规律发现】 (1)第5个图案中“回的个数为： ②第个图案中太的个数可表示为号，第2个图案中“太”的个数知表示为，第3个图案中“太的 爱可表示为4，第4个图案中“★”的个数可表示为4…，第个图案中“★”的个数可表 【规律应用】 (3)结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数n,使得连续的正整数之和1+2+3+…+n等于第n个 图案中“回”的个数的3倍。 25.(2026安徽合肥.一模)综合与实践 阅读下列材料，完成相关任务： 如图，有一种类型的装饰图案是在边长为1的小正方形组成的网格中裁剪而成，数学兴趣小组成员在计算 这些图案的面积时，积极采用数学课上同学们总结出来的方法.小明采用了如图甲的“割法”，小亮采取了如 图乙的“补法”，但都分别求出图1的面积S,=5,图2的面积S2=8,图3的面积S,=13,图4的面积 S4=20, 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 中品西 图1 图2 图3 图4 图甲 图乙 (①)从小明和小亮的方法中任选一种，写出图5的面积S,= (2)若用小明的方法求图的面积，Sn=，用小亮的方法求图的面积S=: (3)在研究这些装饰图案的面积时，小明还发现前面三个图案的面积符合S,+S2=S,,于是猜想其他连续的 三个图案面积也满足上述关系，请你判断小明的猜想是否正确，并说明理由。 26.(2026安徽合肥一模)数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为x2-y2(x,y均为自 然数)的问题。 (①)指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如表格所示（为正整数）.按表中规律，完成下列问题： N 奇数 4的倍数 1=12-02 4=22-02 3=22-12 8=32-12 表示结 5=32-22 12=42-22 果 7=42-32 16=52-32 9=52-42 20=62-42 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 般结 2n-1=n2-(n-12 4n= 论 ①24=(-)2-()2： ②4n=-（用含n的代数式表示) (2)兴趣小组还猜测：像2,6,10,14，这些形如4n-2(n为正整数)的正整数N不能表示为xGy[(x ,y均为自然数).师生一起研讨，分析过程如下，请你补全过程 假设4n-2=x2-y2,其中x,y均为自然数，分下列三种情形分析： ①若x,y均为偶数，设x=2k,y=2m,其中k,m均为自然数， 则x2-y2=(2k)2-(2m2=4k2-m2）为4的倍数，而4n-2不是4的倍数，矛盾. 故x,y不可能均为偶数. ②若x,y均为奇数，设x=2k+1,y=2m+1,其中k,m均为自然数，则x2-y2=_为4的倍数. ③若x,y一个是奇数一个是偶数，则x2-y2是奇数，4n-2是偶数，所以x,y不可能一个是奇数一个是 偶数 (3)由①②③可知，猜测_·（填“正确”或“错误”） 27.(2026安微合肥一模)[观察思考] 图1是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以下各层均比上一层多 一个圆圈，一共堆了层， 第1层 第2层 第n层 28%-8 图1 图2 第1层 1 (23 第2层 (2)(3) 22② (4(⑤(6 2091⑧ …… 第n层 )…○○○○…○ 图3 图4 【规律总结】 2/6 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 将图1倒置后与原图1拼成图2的形状，这样我们可以算出图1中所有圆圈的个数为 n(n+1 1+2+3+…+n= 2 (1)当有18层时，图中共有 个圆圈： (②)如果图1中的圆圈共有11层，我们从上往下，在每个圆圈中都按图3的方式填上一串连续的正整数 1,2,3,4,,则最底层最左边这个圆圈中的数是 [问题解决] (3)如果图1中的圆圈共有12层，我们从上往下，在每个圆圈中都按图4的方式填上一串连续的整数 -23,-22,-21,求图4中所有圆圈中各数的绝对值之和。 28.(2026安徽合肥一模)[观察发现]通过下面简单的运算，我们发现：√6+3=3，√6+√6+3=3， V6+√6+√6+3=3，…， /6+V6+V6+V6+..+√6+3=3 n个根号 [抽象概括]一般地，对于正整数a,b,如果满足√b+a=a时，称(a,b)为一组完美方根数对. [模仿运用判断数对(4,12)与9,91)是否是完美方根数对？为什么？ [拓展解决]若(a,56)是一组完美方根数对，求a的值. 29.（2026安徽毫州一模)综合与实践 【项目主题】数学兴趣小组研究某款自行车所用链条的节数 【项月准备】 (1)如图，1节链条由2个直径为0.8cm的圆圈和1个连接两个圆圈之间的部分组成，其长度为2.5cm; (2)2节链条由3个直径为0.8cm的圆圈和2个连接两个圆圈之间的部分组成，其长度为4.2cm; (3)3节链条由4个直径为0.8cm的圆圈和3个连接两个圆圈之间的部分组成，其长度为5.9cm; 2.5cm 0.8cm 4.2cm 5.9cm ⊙⊙ ⊙@@⊙…回⊙回…回⊙回 1节链条 2节链条 3节链条 n节链条 【问题解决】 (1)请直接写出4节链条的长度为 cm; (②)根据上述规律，猜想n节链条的长度为 (用含的式子表示)cm; 【实际应用】 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)已知主动轮⊙O2的直径为60cm,从动轮⊙O,的直径为30cm,连接主动轮与从动轮的链条与⊙0，相切于 点A,C,与⊙O相切于点B,D,如图，若∠BOO,=80°，求这辆自行车所用链条的节数.（参考数据： sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，tan80°≈5.67，π≈3.14) B 30.(2026安徽六安.一模)我们知道形状相同的三角形或四边形均可以进行镶嵌，如图，用正三角形、正 四边形和正六边形按图中所示的规律拼图案， 第1个 第2个 第3个 (1)按图中所示的规律拼接，完成平面镶嵌；（填“能”或“不能”） (②)第1个图案有6个正方形，第2个图案有11个正方形，第3个图案有16个正方形，，按此规律摆下去， 则第n个图案有个正方形；（用含的代数式表示) (3)若正多边形的边长为10©m,在上面的一组图案中是否存在这样的图案：所有正方形的边长之和比所有正 六边形的边长之和大1200cm?若存在，求出是第几个图案；若不存在，请说明理由. 31.（2026安徽马鞍山一模)观察以下等式： ①9×9=81=(9-1)×10+(10-9)： ②9×8=72=(8-1×10+(10-8)： ③9×7=63=7-1×10+(10-7)； … 按照以上规律，解决下列问题： ()请再写出一个等式； (②)数学活动课上，王老师给学生变了一个魔术：他让学生任意想一个两位数，然后用这个两位数减去十位 数字和个位数字，再将所得差的个位数字与十位数字相加，王老师便能猜中最后的结果. ①王老师猜的结果是： ②若设最初想的两位数的十位数字是α，个位数字是b,请你利用上面的规律解释这个魔术的原理. 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 32.(2026安微芜湖一模)如图1，用相同的小木棒按如图方式拼成图形. 图形1 图形2 图形3 图1 0°0 03 O 图2 (①)按图形规律完成下表： 图形 1 2 3 4 5 所用木棒根 6 14 22 数 (2)按这种方式拼下去，则图形n需要_根小木棒（用n的代数式表示）； (3)如图2，将图形n放在直角坐标系中，设一根小木棒长度为2，图形1的中心为O,图形2的中心为O, 以此类推，则0226的坐标是_ 33.(2026安徽马鞍山一模)观察下列图形与等式的关系： 第1个图 →22-12=2+1=3 第2个图 →32-22=3+2=5 第3个图 →42-32=4+3=7 第4个图 →52-42=5+4=9 … 根据图形及等式的关系，解决下列问题： (1)第5个图中空白部分小正方形的个数是 ,第6个图中空白部分小正方形的个数满足的算式：； 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (②)用含的等式表示第n个图中空白部分小正方形的个数反映的规律： ； (3)运用上述规律计算：（20242-20232+20222-20212+20202-20192+…+22-12）× 1 1012 34.(2026安徽蚌埠.一模)观察以下等式： 第1个等式：(5+(5-+1=3： 第2个等式：（5+5)(5-5+2=4： 第3个等式：（万+5）V7-5)+3=5: 第4个等式：(3+V7)(3-7)+4=6; 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式： (2)写出你猜想的第n个等式（用含的式子表示），并证明. 35.(2026安徽马鞍山一模)综合与实践 【提出问题】如何利用正边形纸片制作有盖的正n棱柱形收纳盒. 【理解题意】正棱柱是上下底面为正边形的直棱柱， 【拟定计划】为了解决问题，可以运用归纳策略寻找规律，先从简单的情形入手，再逐次递进，最后得出 一般性结论 【实施计划】将一个正边形硬纸片沿虚线剪开，折成一个有盖的收纳盒，其中收纳盒的上底面盖子由纸片 中的阴影部分拼接得到. 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 边数 3 5 n 正n边数 正n棱柱 根据上表信息，完成下列填空： (1)∠1= °；∠3= ；∠4= (2)a= b与℃之间满足的等量关系为 【回顾反思】 (3)按照上述方式，若想折出一个底面边长为10©m的正八棱柱形有盖收纳盒，需要使用边长为多少的正八 边形硬纸片？ 36.(2026安徽阜阳.一模)综合与实践 【项目主题】 某工程队拟用正三角形和正方形地砖铺设某广场的中央地面. 【项目准备】观察下列算式，并完成填空： 1=12: 1+3=4=22; 1+3+5=9=32; 1+3+5+7=16=42: 1+3+5+…+(2n-1=① .(n是正整数) 【项目分析】 如图，这是该工程队铺设的广场规划图案，图案中央是一块正六边形地砖，周围是正方形和正三角形的地 板砖.从里向外，第1层包括6块正方形和6块正三角形地板砖；第2层包括6块正方形和18块正三角形 地板砖：以此递推。 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)第3层中分别含有② 块正方形和③ 块正三角形地板砖. (2)第n层中分别含有④ 块正方形和⑤ 块正三角形地板砖.（用含的代数式表示） 【项目实施】 若1块正六边形地砖的成本为20元，1块正方形地砖的成本为8元，1块正三角形地砖的成本为5元，通 过估算需要90块正方形地板砖，则铺设完广场总的成本大约为⑥ 元 请将上述材料中横线上所缺的内容补充完整： ① ；②；③ ；④；⑤ ；⑥ 37.（2026安微芜湖.一模)项目式学习： 【研究背景】你知道古埃及人怎样表示分数吗？他们用分子是1、分母是某一自然数(0和1除外)的分数 3 作为分数单位，并用它们的和表示其他分数除外).例如，他们想表示。 10 而是用上+二”来表示，我们把这种分子为1的真分数叫作“埃及分数”， 5+10 ①任务一【理解题意】三个不同的埃及分数的和表示)可以是 2年务二【类比进阶】对于分数3，如何用两个“埃及分数”表示呢？兴趣小组提出两种解法如▣ 方法4品 3-3×4-12-1+11-1+11=1+1 方法二：=1×44444=444444 任选一种思路：将。用两个“埃及分数”表示为 0 (3)任务三【探究方法】兴趣小组进一步研究发现，对于任意分子为2的真分数，当分母为奇数时，可用两 个“埃及分数”表示如下： 2-1+1 ① 3261 21+1 5315.② 产站…国 21,1 … 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 则根据上述规律，写出第⑥个等式为 ,猜想第n个等式为 ,并证明你的猜想： 2 (④)任务四【拓展应用】根据猜想结果，直接将 (其中k>2且k为奇数)写成两个分母不同的“埃及分数” 的和的形式为 38.(2026安徽淮南一模)综合与实践月饼的制作和包装问题 【项目背景】中秋的月饼寓意着团圆和美满.某校九年级学生在老师的带领下到某食品厂参加社会实践.实 践中，发现包装车间包装月饼有两种方案（如图）：方案1：“长长久久”系列，用圆柱体盒子包装1大8小共 9个月饼；方案2：“八方来福”系列，用长方体盒子包装2大6小共8个月饼. 方案1 方案2 【项目分析】 (1)若要包装10盒月饼，则需要从制作车间领取的月饼数见下表： “长长久久”盒数 1 2 3 “八方来福”盒数 9 8 7 大月饼/个 19 18 17 16 小月饼/个 62 64 66 68 表格中a= ,b= 若“长长久久”系列的月饼有n(n≤10)盒，则需要从制作车间领 取大月饼20-n)个，小月饼 个（用含的式子表示）. (②)小明从地上捡到一张污损的领货单，如图： 领货单 我车间计划包装月饼50盒， 需从你车间领取大月饼二共 计领取月饼453个. 领取人：××× 2026×× 小明看完这张领货单，对周围的同学说：“这张领货单上的数据有误”.你认为小明的说法正确吗？请说明理 由. 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【项目决策】 (3)生产车间共有10名月饼制作师，每人每天能制作大月饼20个或小月饼150个（每人每天只制作一种月 饼).现要求一天内制作出的月饼只组装成“长长久久”系列礼盒（允许月饼有剩余）且不少于80盒，请你给 出所有的用工方案， 39.(2026安徽芜湖.一模)观察图形，解答以下问题： A M MM MMM MMM ① ② (1)填空： 第①个图中°黑点的个数与白点的个数之差为1： 第②个图中“黑点的个数与白点的个数之差为3； 第③个图中“°黑点的个数与白点的个数之差为 以此类推…， 第n个图形中黑点的个数与白点的个数之差为 (用含有n的式子表示) (2)若第n个图形中“”黑点的个数与白点的个数之差为28，试求n的值. 40.(2026安徽宿州一模)综合与实践 【项目主题】n个四边形最多可以把平面分成多少个区域？ 【项目探究】为了探究规律，先从最简单的情形入手，从中找到解决问题的方法，最后得出一般性的结论。 【预备知识】设s=1+2+3+…+n=n+n-1+n-2+n-3+…+1,则 2s=(1+n)+(2+n-1)+…+(n+1)=n(n+1).s=n(n+1). 2 【探究一】条直线最多可以把平面分成几个区域？ 的数量 思考方式 结果与算式 如图1-1,1条直线把 1条直线 2个区域 平面分成2个区域； 如图1-2，要使分成的 2条直线 2+2=4(个)区域 区域尽可能的最多，则 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 第2条直线要与第1条 直线相交可以将平面 分成4个区域： 如图1-3，将第3条直 线与前面2条直线尽 可能两两相交，这样就 会得到2个交点，这2 个交点将第3条直线 3条直线 2+2+3=7(个)区域 分为了2条射线和1条 线段，这样就多了 2+1=3(个)区域， 所以3条直线最多将 平面分成7个区域： 如图1-4，平面中有4 条直线时，将第4条直 线与前面3条相交直 线尽可能两两相交，这 样就会得到3个交点， 这3个交点将第4条直 2+2+3+4=11(个) 4条直线 线分为了2条射线和 区域 4-2=2(条)线段， 这样就多了2+2=4 (个)区域，所以4条 直线最多将平面分成 11个区域； 最多有① 5条直线 如图1-5，… 个区域 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 一A 图1-1 图1-2 图1-3 图1-4 图1-5 (1)最多有① 个区域 【结论归纳】 (②)n条直线最多可以把平面分成② (个)区域；（用含的代数式表示并化简） 【探究二】n个圆最多可以把平面分成几个区域？ 的数量 思考方式 结果与算式 如图2-1,1个圆将平 1个圆 2个区域 面分成2个区域： 如图2-2，为了使分成 的区域最多，应使新增 加的圆与前1个圆有2 个交点，将新增加的圆 2个圆 2+2x1=4(个)区域 分成2个区域，从而增 加2个区域，所以用2 个圆最多能把平面分 成4个区域： 如图2-3，为了使分成 的区域最多，应使新增 加的圆与前2个圆分 别有2个交点，将新增 2+2×1+2×2=8(个 3个圆 加的圆分成2×2=4 )区域 (个)区域，从而增加 4个区域，所以用3个 圆最多能把平面分成8 个区域； 216 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 最多共有③ 4个圆 如图2-4，… 个区域 图2-1 图2-2 图2-3 图2-4 图3-1 图3-2 图3-3 (3)最多共有③ 个区域 【结论归纳】 (4)n个圆最多可以把平面分成④ (个)区域；（用含的代数式表示并化简） 【探究三】个三角形最多可以把平面分成几个区域？ 的数量 思考方式 结果与算式 如图3-1,1个三角形将 1个三角形 2个区域 平面分成2个区域： 如图3-2,1条直线最多 与三角形的两条边相 交，故第2个三角形的 每条边最多与前面1个 2个三角形 2+6x1=8(个)区域 三角形的各两条边相 交，共可产生 3×1×2)=6(个)交点， 即能新增加6个区域； 如图3-3,1条直线最多 与三角形的两条边相 交，故第3个三角形的 2+6×1+6×2=20(个) 3个三角形 每条边最多与前面2个 区域 三角形的各两条边相 交，共可产生 3×2×2)=12(个)交 1/6 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 点，即能新增加12个 区域； … 第个三角形的每条边 最多与前面已画的 (n-1)个三角形的各两 2+6x[1+2+…+(n-1]= 条边相交，共可产生交 ⑤ (个)区域. n(n≥2) 点： (用含的代数式表示并 3×[n-1)×2]=6n-1 化简) (个)，即能新增加 6(n-1)个区域. (⑤)2+6×1+2+…+(n-1)]=⑤ (个)区域.（用含的代数式表示并化简） 【规律拓展】 (⑥n个四边形最多可以把平面分成⑥ (个)区域.（用含的代数式表示并化简） 41.(2026安徽芜湖一模)【综合实践】 观察下列式子和对应图形中小黑点的个数之和 如图，斜线左边的三角形图案是由上到下每层依次为1,2,3，，n个 的，斜线右边的倒三角形图案是由上到下每层依次为n-1,”-2,,3 点排列组成的，而组成整个图形的小黑点个数恰为式子 1+2+3+…n-1+n+n-1+…+3+2+1的值，如图组成的整个图形恰 探究1 则1+2+3+4+…+n-1+n+(n-1)+(n-2)+…+1=①(n为正整数)： ●八●●● ●、●● ●●、●● ●●八● 1+2+1 1+2+3+2+11+2+3+4+3+2+1 探究2 如图，斜线左边的图案是由左到右每列依次为2,3，，n个小黑点排 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 右边的图案是由左到右每列依次为n-1,n-2,,3,2个小黑点排列纟 整个图形的小黑点个数恰为式子2+3+n-1+n+n-1)++3+2的值 加入两个小圆圈，可将整个图案补成“菱形”，则 2+3+4+…+(n-1+n+n-1+(n-2)+…+2=②(n为正整数) ●●●●0 、●●o ●●八●●● ●● ●●八●● ●●●入●● ●●八● ●●●、● ●●●●八、● 0 ● 0●● 0●●● 0●●●● 2 2+3+2 2+3+4+3+2 2+3+4+5+4+3+2 【规律发现】 根据探究1和探究2中的规律，完成下列问题： (1)填空： ① ；② ；③3+4+…+n-1）+n+(n-1)+n-2+…+3= (n为正整数). 【规律总结】 (2)猜想： m+(m+1)+(m+2++(n-刂+n+(n-+(n-2)++m=,(m,均为正整数，且m<n),并证 明你的猜想 42.（2026安徽阜阳.一模)综合与实践 【项目主题】某数学实践小组在研究教材《问题出在哪里》这部分内容的时候，对于斐波那契数列和图形 拼接产生了兴趣. 【项目准备】 图1 图2 图3 图4 (1)斐波那契数列知识学习：数列从0和1开始，之后的每一项都是前两项之和.前几项为：0,1,1,2 ,3,5,8,13,21,34,①，89,144，… 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)教材《问题出在哪里》内容大致如下：图1是一个8×8的正方形，将它剪成四部分后，再拼成图2中 13×5的矩形， 图1面积S,=8×8=64,图2面积S2=13×5=65,65>64,说明图2的四个图形之间有缝隙. (3)构造一个新的图形拼接：图3是一个5×5的正方形，将它剪成四部分后，再拼成图4中3×8的矩形. 图3面积S=5×5=25,图4面积S4=3×8=24,24<25,说明图4的四个图形之间有重叠. (4)依据斐波那契数列进行图形拼接的规律探究： 设斐波那契数列的第1项为F=0,第2项为F2=1,,第n项为Fn,第n+1项为Fm+1. 则当为偶数时，图形拼接之后四个图形之间有②（填“缝隙”或“重叠”）： 【项目分析】依据斐波那契数列进行图形拼接可能会出现有缝隙或者重叠的现象，那么有没有可能采用另 一种拼法，拼出既没有缝隙也没有重叠的矩形？ (i)方案一：将图5中3×3的正方形拼接成图6中2×5的矩形，请画出分割线： ()方案二：将边长分别为斐波那契数列E,E,E,F,F的一组正方形拼接成一个没有缝隙及重叠 的矩形，请在图7中给定网格中画出拼接后的矩形及正方形之间的分割线； 图5 图6 图7 正方形的面积和为：F2+F2+F2+F+F;=③ ； 矩形的面积=正方形的面积和=宽×长=F,×④ (填数字)； ()方案二规律总结：将边长分别为斐波那契数列F,F,耳，F,F,,的一组正方形拼接成 一个没有缝隙及重叠的矩形时，矩形的面积为F×⑤ 【项目实施】请将上述材料中横线上所缺内容补充完整，并将图形按照要求进行拼接： ① ；② ；③ ；④ ⑤ 43.(2026安微蚌埠一模)新考法项目式学习探究在数学活动课上，某兴趣小组将轴对称与有理数乘法结 合起来，得到如下等式： 12×231=132×21, 2/6 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 16×671=176×61, 25×572=275×52, 54×495=594×45, 63×396=693×36, 请你根据上述等式的规律，完成下列任务： (1)填空： (i)27×-=-×72; (ii)_×352=253×_ (2)有同学利用代数知识证明上述等式中的规律，在证明的过程中，发现等式两边的结果为11的倍数，这名 同学的证明过程如下： 设等式左边两位数的十位数字为a,个位数字为b,且2≤a+b≤9， 则等式左边的式子可表示为10a+b)×100b+10(a+b)+a,等式右边的式子可表示为 100a+10(a+b)+b×(10b+a 左边=(10a+b)110b+11a, 右边=(110a+11b)(10b+a, 左边=右边=11[☐，为11的倍数 阅读以上内容，并写出证明过程中横线上所缺的内容 44.(2026安徽阜阳一模)新方向·项目式学习综合与实践：某数学兴趣小组研究正方形网格中的“网格正 方形”数量与规律. 【项目主题】在小正方形组成的网格中，由格点为顶点组成的正方形称为“网格正方形”.如图1，我们将边 长与网格线平行的正方形称为“正网格正方形”，如正方形ABCD;像边长与网格线不平行的正方形称为“斜 网格正方形”，如正方形A,B,C,D. B 图1 【探究活动一】探究“正网格正方形”的数量规律： 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 在1×1网格中，“正网格正方形”有1×1个； 在2×2网格中，如图2，边长为2的“正网格正方形”有1个，边长为1的“正网格正方形”有2×2（个），故“正 网格正方形”有1×1+2×2=12+22=5（个）： 边长为2边长为1 边长为3 边长为2 边长为2边长为2 边长为2 边长为1 图2 图3 在3×3网格中，如图3，边长为3的“正网格正方形”有1个，边长为2的“正网格正方形”有2×2（个)，边 长为1的“正网格正方形”有3×3（个），故“正网格正方形”有1x1+2×2+3×3=12+22+32=14（个)： (1)在4×4网格中，边长为2的“正网格正方形”的个数为①； 2)在5×5网格中，“正网格正方形的个数共有②个. 【探究活动二】探究“斜网格正方形”的数量规律： 在1x1网格中，“斜网格正方形”有0个； 在2×2网格中，如图4，“斜网格正方形有1个： 图4 图5 图6 在3×3网格中，如图5，“斜网格正方形”有4+2=6（个）； 在4×4网格中，如图6，“斜网格正方形”有9+4+4+2+1=20（个)… 【探究活动三】将前面的研究结果制作成表格如下： 1x1 2×2 3×3 4×4 5×5 6×6 “正网格正方形”的个 1 5 14 91 数和 “斜网格正方形”的个 0 6 20 50 数和 “网格正方形”的总数 1 20 50 【归纳总结】从表格中数据看出，“斜网格正方形”的个数和与“网格正方形”的总数有着非常紧密的联系，总 结表格数据规律完成下列问题. 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【项目应用】 (3)在6×6网格中，“斜网格正方形”的个数和是③ (4)在7×7网格中，“网格正方形”的总数是④ 【项目延伸】在n×n的正方形网格中，己知网格正方形的总数和为 3.-1x2x3+23x5+3x4x7++nn+12n+l,那么(Sw4+5n-S0s+5a】 6 =S2026-S2025-(S2024-S2023）= 2026×2027×40532024×2025×4049 .设x=2026,则 6 6 (S2026+S202s)-(S02s+Som4） x(x+1(2x+-⑤ =2x2-2x+1=x2+(⑥)2=20262+20252. 6 (⑤)请将上述材料中横线上所缺内容补充完整： ⑤ ⑥ 考点04 阅读理解/新定义 一、 单选题 1.(2026安徽合肥一模)问题背景：对于一个函数，如果存在自变量x。=m时，其对应的函数值y。=m, 那么我们称该函数为“自反点函数”，点(m,m)为该函数图象上的一个“自反点”.以下结论： ①y=-x是“自反点函数”，且只有一个“自反点”； ②y=-2是“自反点函数”，且有两个“自反点”， ③y=x2为“自反点函数”，点(0,0为该函数图象上的一个“自反点”； 9 ④若y=x2-2x+c为“自反点函数”，则c< 4 其中正确的有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题 2.(2026安徽一模)新定义：我们把二次函数y=ax2+bx+c(其中abc≠0)与y=ax2+cx+b称为“相关函 数”.例如：二次函数y=x2+2x+3的相关函数”为y=x2+3x+2.已知二次函数 C:y=ax2+(4a+1)x+4aa(4a+1)≠0的“相关函数°为C,. (1)二次函数C,的对称轴为直线； (2)己知二次函数C的图象与x轴交于点M,N,二次函数C,的图象与x轴交于点P,Q,若MN=P9, 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 则二次函数G与C,对称轴之间的距离为 3.(2026安徽六安·一模)对于任意一个三位正整数m,如果m满足百位上的数字小于个位上的数字，且百 位上的数字与个位上的数字之和等于十位上的数字，那么称这个数m为两头和数” (1)最小的“两头和数”是 (2)用“两头和数”m的十位数字的平方减去个位数字的平方再减去百位数字的平方，得到的结果记为 F(m).若t是“两头和数”，且t的4倍与t的十位数字的2倍之和是5的倍数，则F(t)的最大值为. 4.(2026安微一模)现给出以下两个定义： 定义①：任意一个正整数n都可以进行这样的因数分解：n=p×9（p,q是正整数，且p≤g),在n的所 有这样分解中，如果p,9这两个因数之差的绝对值最小，我们就称P×9是n的最佳分解，记为：F(m)=P .例如：12可以分解成1×12,2×6或3×4，因为12-1>6-2>4-3，所以3×4是12的最佳分解，所以 2=,定义②：如果一个两位正整数，1=10x+y(1≤x5y≤9，出，y为自然数)，交换其个位 数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36，那么我们称这个数t为“吉祥数”.根据以 上两个新定义，可求得F15)= ；在所有的“吉祥数”中，F(t的最大值为 5.(2026安徽铜陵一模)对于任意一个四位正整数，若的各位数字都不为0且均不相等，那么称这个 数为“相异数”.将一个“相异数”的任意一个数位上的数字去掉后得到四个新三位数，把这四个新三位数的 和与3的商记为F().例如，“相异数”n=1234,去掉其中任意一位数后得到的四个新三位数分别为：234、134、 124、123,这四个三位数之和为234+134+124+123=615,615÷3=205，所以F1234)=205.(1)F1236) 的值为 ；(2)若“相异数”m的千位上的数字是7，百位上的数字是8，且F(m)能被15整除， 则m的最大值是 6.(2026安微宿州一模)一个四位自然数N=abcd满足各个数位上的数字均不为0，若a+d=2(b+c), 则称这个四位数为“内部关联数” (1)若a438为“内部关联数”，则这个数为 (2)对于“内部关联数”N,任意去掉一个数位上的数字，得到四个三位数，这四个三位数的和记为G().若 内部关联数”N千位上的数字与个位上的数字之和为8，且G(N)能被4整除，则所有满足条件的“内部关联 数”N的最大值与最小值的和为 7.(2026安微阜阳一模)在平面直角坐标系中，点A的坐标为1,0)，P是第一象限内任意一点，连接PO 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ,PA.若∠P0A=m°，∠PA0=n°，则把P(m,n）叫做点P的“角坐标”. (1)若点P的坐标为1，V3),则点P的“角坐标”为 (2)若点P到x轴的距离为；，则m+”的最小值为 8.(2026安徽宣城一模)我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n=p×9(,9是正整数， 且p≤9).在n的所有这种分解中，如果p,q两因数之差的绝对值最小，我们就称P×g是n的最佳分解， 并规定：F(n)=2.例如：12可以分解成1x12或2×6或3×4，因为12-1>6-2>4-3，所以3×4是12的 最佳分解，所以F12)-4 3 (1)F(48)= (2)如果一个两位正整数1=10x+y1≤x<y≤9，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的 两位正整数所得的差为54，那么我们称这个数t为“吉祥数”，则所有“吉祥数”中，F(t)的最大值为 9.(2026安徽马鞍山一模)一个四位自然数m,如果m满足各个数位上的数字互不相同且均不为0，将m 的千位数字和百位数字顺次组成的两位数记为P,将的十位数字与个位数字顺次组成的两位数记为9，记 F(m=P+9,若F(m为整数，则称数m为行知数，例如：m=1375,可得p=13,g=75,则 11 Fm=13+75=8,故1375是一个“行知数.按照这个规定，最小的行知数是一；若行知数°n能 11 被8整除，则满足条件的最大值是· 10.(2026安徽毫州一模)设二次函数y,的图象的顶点坐标分别为a,b),(c,d),若a+c=b+d,且 二次项系数同号，则称y是的“和等顶二次函数”。 (1)请写出二次函数y=X2-2x-1的一个“和等顶二次函数”； (2)已知关于x的二次函数y,=x2-x-1和二次函数y2=2x2+nx+3(n>0),若函数恰是的“和等 顶二次函数”，则n的值为 11.(2026安微合肥一模)若一列数x、x2、x3、、x(k为正整数)，除x、x外，其余每个数都等于 与它相邻的两个数之和，则称这列数为“k层数列”，如：1、5、4、-1，满足5=1+4,4=5+(-1)，所以1、 5、4、-1为4层数列”. (1)若3、m+1、2m-2为“3层数列”，则m的值为 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)若一个“60层数列”中，x1=2p-5,x58=4-3g,则 6卫的值为 1+3g 12.(2026安徽合肥.一模)若函数图象上存在点(a,b)与点(-b,-a(其中a2≠b2≠0)，则称该函数为“关 联函数，如函数y=10的图象上，存在点2,5)和5，-2)，所以函数y=10称作“关联函数 (1)己知关于x的一次函数y=kx+2026(k≠0)是“关联函数”，则k的值为· (2)若关于x的二次函数y=1x2-3m≠0)是“关联函数，则m的取值范围为 m 13.(2026安微合肥一模)对任意一个三位数n,如果满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么 称这个数为“迥异数”.将一个“迥异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三 个新三位数的和与111的商记为F(n),例如n=123,对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位 上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为 213+321+132=666,666÷111=6,所以F(123)=6.F264= 若s、t都是“迥异数”，其中 s=100x+12,t=340+y(1≤x≤9,1≤y≤9，x、y都是正整数)，当F(s+F(t)=14时， F的值为 14.(2026安徽一模)对任意一个四位数m,若m满足各数位上的数字都不为0，且千位与百位上的数字 不相等，十位与个位上的数字不相等，那么称这个数为“砺新数”.将一个“砺新数”的任意一个数位上的数 字去掉后可以得到四个新三位数，把这四个新三位数的和与3的商记为F(m.例如，“砺新数”m=1234, 去掉千位上的数字得到234，去掉百位上的数字得到134，去掉十位上的数字得到124，去掉个位上的数字 得到123，这四个新三位数的和234+134+124+123=615,615÷3=205，所以，F1234=205.根据定义： F(5218)=;若“砺新数”n=8900+10x+y(1≤x≤9,1≤y≤9，x,y都是正整数)，F(n)也是“砺 新数”，且F(n能被8整除.则FF(n= 0A 考点05 几何折叠与旋转 一、单选题 1.(2026安徽合肥一模)如图，平面直角坐标系中，点O(0,0),A(0,2),B(m,5),连接AB,并将线段AB 绕点A顺时针旋转90°，点B旋转到点B,连接OB',则AOB'周长的最小值为() 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A A.√13 B.2+2V10 C.210 D.2+3 2.(2026安微池州一模)如图，在矩形ABCD中，AB=√5，点E是BC上一点，将△ABE沿AE折叠，点 B的对应点B恰好落在对角线AC上，且B为AC中点，连接DE交AC于点P,则AP的长为() D B B----- E A.V29 B.V c.27 5 b. 3.(2026安微合肥一模)如图，将ABC沿折痕BD折叠，使点C落在AB边上的点E处，ADE的周长 等于AB,则下列结论一定正确的是() D A.AC⊥BC B.LA=LB=45°C.EA=ED D.CA=CB 4.(2026安徽合肥一模)如图，在矩形ABCD中，动点P从D点出发，以1cm/s的速度沿着DA向A点运 动，同时动点Q从B点出发以2cm/s的速度沿BC向C点运动，若其中一个动点到达终点，另一动点也同时 停止.将四边形PDCQ以直线PQ为轴进行翻折，得到四边形PD'CQ,则下列结论错误的是() A.若PQ交对角线BD于点E,则QE=2PE 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B.若点D'在AD边上时，BQ=2CQ C.若射线QC经过点A,，则线段AP、C'D'互相平分 D.若AB=3cm，BC=32cm,点A、C两点间距离最小为V5-cm 5.(2026安微合肥一模)如图，矩形ABCD中，AB=3cm,BC=3√2cm,动点P从点D出发，沿着DA向 点A运动，同时动点Q从点B出发沿BC向点C运动，且QB=2PD,若其中一个动点到达终点，则两点同 时停止运动.连接P2,将四边形PDCQ以直线PQ为对称轴进行翻折，得到四边形PD'CQ,则下列结论错 误的是() D D B A.若D'P⊥PD,则PD=（N2-1cm B.若点D在AD边上，则BQ=2CQ C.若直线OC经过点A,则线段AP、CD互相平分 D.点B、C两点间距离最小为3y -cm 2 6.(2026安徽阜阳一模)如图，将矩形纸片ABCD沿边EF折叠，使点D在边BC的中点M处.若 AB=4,BC=6,则tan∠MEF的值为() M 3 A.10 B. 7 AE D :矩形ABCD, B M .AB=CD=4,BC=AD=6, 2/6 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :M是BC中点， 2×6=3, :∠C=90°，AD‖BC, 又：折叠后点D落在M处 :.D、M关于折痕EF对称， 可得：EF⊥DM,∠DEF=∠MEF .∠DEF+∠EDM=90°， :∠CDM+∠EDM=90°， .∠DEF=∠CDM, 矩形纸片ABCD沿边EF折叠， .∠DEF=∠MEF, 7.(2026安徽淮南一模)如图，等边ABC的边长为6，点D,E分别在AB,BC上，BD=CE=2,P为 BC上的动点，将DP绕点D逆时针旋转60得到DQ,连接AQ,EQ,CQ.下列结论不正确的是() A.AQ的最小值为√ B.EQ的最大值为2√7 C.CQ-EQ的最大值为5 D.EQ+CQ的最小值为2√7 8.(2026安徽合肥一模)如图，在等边三角形ABC中，过点C作射线CD⊥BC,点M,N分别在边AB, BC上，将ABC沿MN折叠，使点B落在射线CD上的点B处，连接AB',已知AB=3,下列四个结论中 错误的是() D M 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.CN+NB'为定值 B.当∠NB'C=30°时，四边形BMB'N为菱形 C.当点N与点C重合时，∠AB'M=15 D.当AB'最短时，MN的长度为21V2I 20 9.(2026安微阜阳一模)如图，在ABC中，AB=AC,D是边AB上的点，将△BCD沿直线CD折叠， 点B的对应点E恰好落在边AC上.若∠A=a,则∠ADE=() D B A90-0 B.90°-a c4s-0 D.45°-a 10.(2026安微安庆.一模)在菱形ABCD中，己知AB=5,BD=8,AC与BD相交于点O,点E为OD上一 点，将ADE沿着AE翻折得到△AFE,使点F落在边BC上，则DE的长为() D E A. 5 B.2.5 C.3 D.8 5 11.(2026安徽阜阳一模)如图，己知矩形ABCD中，AB=8,BC=6,将矩形绕点C顺时针旋转得到矩 形CEFG,点E在线段BD上，EF与CD相交于点H,则下列说法错误的是() A.BE=7.2 B.DF=6 C.HF=6.25 D.DH=2 2/6 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 二、填空题 12.(2026安微合肥一模)定义：一个矩形较短边与较长边之比是5-，则这个矩形叫作黄金矩形.如 2 图I,矩形ABCD为黄金矩形(AB<AD),E为BC边上一点，将矩形ABCD沿AE折叠后，点B恰好落在 AD上点F处. F O E E 图1 图2 (1) FD AF (2)如图2，G为AB边上一动点，过G点作GH⊥EF,垂足为H,将矩形ABCD沿EG折叠，点B的对 应点为B,EB'交AD于点Q,若矩形BGHE为黄金矩形，则9 OD 13.(2026安徽安庆.一模)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=2,点D是BC的中点，点 E是边AB上一动点，沿DE所在直线把△BDE翻折到。B'DE的位置，B'D交AB于点F,连接AB'. B D (1)AB'的最小值是 (2)若AABF为直角三角形，则BE的长为 14.(2026安徽马鞍山一模)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，,AB=DC,∠B=∠C=80°，过点D 作DE∥AB,交BC于点E,且DE=4,CE=2,.将△DCE沿DE折叠，点C的对应点C恰好落在AB上， 则AC'的长为 D B E 15.(2026安微芜湖一模)在矩形ABCD中，AB=4,BC=√5，E为CD边上一点，将△BCE沿BE折叠， 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1 使得C落到矩形内部点F的位置，连接F,am∠BMF=2则 (1)S。ABF= (2)CE= E C F 三、解答题 16.(2026安微准南·一模)如图1，在正方形ABCD中，E为边AD上一点，连接BE,点A和A关于BE对 称，连接AA'并延长，交BE于点F,交CD于点G,连接A'E, D G D B 图1 图2 图3 (I)求证：A'E=DG (2)若E为AD的中点，连接AD. )如图2，求4D的值： AB ()如图3，连接BD,取BD的中点O,连接OA,OF,判断△A'OF的形状，并说明理由， 17.(2026安徽宣城一模)(1)问题：如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,D为BC边上一 点（不与点B,C重合），连接AD,过点A作AE⊥AD,并满足AE=AD,连接CE,则线段BD和线段 CE的数量关系是，位置关系是 B∠ D D 图1 图2 图3 (2)探索：如图2，当D点为BC边上一点（不与点B,C重合），Rt△ABC与RtAADE均为等腰直角三角 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 形，LBAC=∠DAE=90°，AB=AC,AD=AE.试探索BD2,CD2.AD2之间满足的等量关系，并证明 你的结论： (3)拓展：如图3，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ACB=LADC=45°，若BD=5,CD=3,请求出线段 AD的长. 18.(2026安微六安：一模)如图，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，连接CP,将CP绕点C顺 时针旋转90°得到CQ,连接QP交CD于点E,连接DQ E B (1)求证：BP=DQ; (2)若BP=BD,求DE:DC的值； 4 19.(2026安微池州一模)在正方形ABCD中，点E是对角线AC上一点，连接BE,过点E分别作AC, BE的垂线EF,EG,分别交直线BC,CD于点F.G. A E B B 图1 图2 图3 (I)如图1，求证：BF=CG; (②)若将“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”,AB=2,BC=3，,其他条件不变 (i)如图2，求 的值， BF (i)如图3，当点E为AC的中点时，求△CEG的面积， 20.(2026安徽宿州一模)己知四边形0ABC是正方形. B B 图1 图2 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (I)如图1，ADE为等腰直角三角形，∠DAE=90°，两个顶点D、E和正方形顶点B三点在一条直线上，连 接OD,求证：△OAD≌△BAE; (2)在第(1)题条件下，如图2，连接CD,求证：CD平分LODB: 21.(2026安徽合肥一模)如图，在ABC中，AB=AC,P为AC边上一点，连接PB,将△PBC沿PB翻 折，得到△PBD,PD交AB于点E. B 图1 图2 图3 (I)如图1，当PD∥BC时，猜想四边形BCPD的形状，并说明理由； ②当P-行4C时， ①如图2，若∠A=60°，BC=6,求BE的长. (i)如图3，若PD⊥AB,证明：BE=2AE+DE, 22.(2026安徽阜阳一模)如图，在矩形ABCD中，E是AB上的一动点，将△BCE沿CE折叠，使点B落 在点B的位置 B B 图1 图2 (I)如图1，若点B在边AD上，且AB=4,BC=6,求AB的长. (②)如图2，若AB=BC=6,连接BB',交CE于点M,延长BB',交AD于点F,连接AC,交BF于点N, O是AC的中点，连接OM ①求证：∠0MN=45°. ②若BE=2AE,求0的值。 23.(2026安徽芜湖一模)已知，如图1，正方形ABCD中，E为BC边中点，将△DCE沿DE折叠得到对 应△DEF,DF交AB于点H. 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A D G F B B E 图1 图2 图3 (I)求证：HF=HB: (2②如图2，延长EF交AB于点G,求AG 的值： GH (3)如图3，连接AC,DG,相交于Q点，连接QE,QH,求证：QE=V2QH 24.(2026安微一模)如图，在正方形ABCD中，点E在边AD上，连接CE,将四边形ABCE沿直线CE折 叠，点A、B的对应点分别为点N、M,AD的延长线分别与MN、CM延长线交于点F、G. N B B H 图1 图2 (1)如图1，求证：DF=MF; (2)如图2，连接DM、DN,延长ND交BC于点H,若F为MN的中点， (i)求证：∠MDN=90°； (i)*8品 的值 25.（2026安徽滁州一模)几何究： 【问题发现】 (1)如图1所示，△ABC和△ADE是有公共顶点的等边三角形，BD、CE的关系是 (选填“相等” 或不相等”)；（请直接写出答案） 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E 图2 图3 【类比探究】 (2)如图2所示，△ABC和△ADE是有公共顶点的含有30°角的直角三角形，(1)中的结论还成立吗？请说 明理由； 【拓展延伸】 (3)如图3所示，△ADE和△ABC是有公共顶点且相似比为1：2的两个等腰直角三角形，将△ADE绕点 A自由旋转，若BC=2√2，当B、D、E三点共线时，直接写出BD的长 26.(2026安徽安庆一模)综合与实践： 【实践操作】如图1，在ABC中，AB=AC,∠BAC=Q·点E是ABC外一点，连接BE,将线段EB绕 点E按逆时针方向旋转，旋转角为α，得到线段ED,连接AE,BD,CD. 图1 图2 图3 【探究发现】试证明：ABE∽CBD; 【性质应用】如图2，点E为正方形ABCD内一点，连接BE,将线段EB绕点E逆时针旋转90°，得到线段 EF,连接BF,AE,DF,求出AE与DF之间的数量关系； 【拓展延伸】如图3，当α=120°时，点E在CA的延长线上，连接BE,将线段EB绕点E按逆时针向旋转 I20°，得到线段ED,连接DB,DC.求tan∠ECD的值 27.(2026安徽阜阳一模)如图，在等边ABC中，D为AB上一点，连接CD,E为线段CD上一点 2/6 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (CE>DE),将线段CE绕点C顺时针旋转60°得到线段CF,连接AF. M E B C (I)求证：BE=AF: (②)点G为BC延长线上一点，连接AG交CF于点M.若M为AG的中点，用等式表示线段CE,MF,DE之 间的数量关系，并证明. 1/6 专题08综合探究与数学思想专题 5大考点概览 考点01动点与动线函数问题 考点02最值问题 考点03规律探究 考点04阅读理解/新定义 考点05几何折叠与旋转 动点与动线函数问题 考点01 一、单选题 1．（2026·安徽合肥·一模）如图1，在中，，，，点D在上，，点E，F分别在边上（不与端点重合），且设，的面积为，关于的函数图象如图所示，最高点为，且经过和两点．下列选项正确的是（    ） A． B． C．的面积的最大值为0.96 D．点在该函数图象上 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，二次函数的实际应用，勾股定理，矩形的判定与性质等知识点，难度大，解题的关键是正确求出函数解析式． 过点分别作，，垂足为，可得四边形是矩形，，求出，然后证明，则得到，再由勾股定理求解表示出，然后建立二次函数关系式，再根据二次函数的图象与性质求解即可． 【详解】解：过点分别作，，垂足为， ∵，即， ∴，四边形是矩形， ∴， ∵ ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴ ∵ ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当时，， ∴顶点为，即，故A、C错误； 当时，， ∴点不在该函数图象上，故D错误； 当时，则， 解得或，结合函数图象可得，故B正确， 故选：B． 2．（2026·安徽宣城·一模）如图①，菱形的对角线与相交于点，，两点同时从点出发，以1厘米/秒的速度在菱形的对角线及边上运动．点的运动路线为，点的运动路线为，设运动的时间为秒，，间的距离为厘米，与的函数关系的图象大致如图②所示，当点在段上运动且，两点间的距离最短时，，两点的运动路程之和为（ ）厘米． A． B． C．8 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查菱形的性质和三角函数．解题的关键在于从图象中找到菱形对角线的长度． 四边形是菱形，由图象可得和的长，从而求出、和．当点P在段上运动且P、Q两点间的距离最短时，此时连线过O点且垂直于．根据三角函数和已知线段长度，求出P、Q两点的运动路程之和． 【详解】解：由图可知，， ∵四边形为菱形 ∴ ∴ P在上时，Q在上，距离最短时，连线过O点且垂直于． 此时，P、Q两点运动路程之和 ∵（厘米） ∴（厘米） 故选：A． 3．（2026·安徽合肥·一模）如图，中，，，P，Q两点同时从点A出发，均以1个单位每秒的速度分别沿着，运动，则的面积与运动时间x之间的函数图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分三种情况讨论，①当时，过点作，交于点，得到，，推出，为二次函数；②当时，过点作，交于点，过点作，交于点，得到，高为，推出，为一次函数；③当时，过点作，交于点，反向延长交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，得到，，，，，根据，得到，为二次函数． 【详解】解：①当时，过点作，交于点， ∴，， ∴，为二次函数； ②当时，过点作，交于点，过点作，交于点， ∵, ∴高为， ∴，为一次函数； ③当时，如图所示，过点作，交于点，反向延长交的延长线于点，过点作，交的延长线于点， ∵中，， ∴， ∵，，，，， ∴， ， ， ， ∴，为二次函数，开口向下． 4．（2026·安徽滁州·一模）如图，在菱形中，，点从点匀速运动到点，，交于点，将菱形沿折叠，记折叠的部分与原菱形重叠部分面积为，，则关于的图像大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分和两种情况分别求出阴影部分的面积，根据函数解析式判断图像即可． 【详解】解：如下图，过点作于点， ∵四边形为菱形，， ∴，， ∴为等边三角形， ∴,, ∴， 当点与点重合时, 点与点重合，此时点与点重合， 可分两种情况讨论， 当时，如图所示，重叠部分为， ， ， ， ， 这是一个开口向上的抛物线，当时，； 当时，重叠部分如图所示，过点作于点， 此时，， ∴， ∵，，且， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵四边形为菱形，， ∴，， ∴， ∴为等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∵重叠部分面积， ∴， 这是一个开口向下的抛物线，当时，， 当时，， 综上所述： 其函数图像如图所示： 5．（2026·安徽合肥·一模）如图1，在等腰中，，动点D从点A开始沿边以每秒1个单位长度的速度运动到点B，同时，动点E从点B开始沿边以相同速度运动到点C，连接，点F为中点．设时间为，为y，y关于t的函数图象如图2所示，下列结论不正确的是（   ） A． B．连接，有最小值为 C．若点M是边的中点，则的最小值为1 D．连接，则的最小值为 【答案】C 【详解】解：由题意得， ∴当时，，， 在中，， ∴，即， 解得（负值已舍）， ∴，故选项A正确，不符合题意； ∵中，是斜边上的中点， ∴， ∵，即， ∴， ∵， ∴当时，取最小值，此时最小值为8，即的最小值为， ∴有最小值为，故选项B正确，不符合题意； 以点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系： 那么，，，， ∵和分别为和的中点， ∴，， ， ， 时，取最小值，此时最小值为，故选项C错误，符合题意； ∵已知，，，设， ∴，， 消去得， ∴点在直线上运动， 作点关于直线的对称点， ∴的最小值为的长， ∴的最小值，故选项D正确，不符合题意． 6．（2026·安徽阜阳·一模）如图，在平行四边形中，，，，等边三角形边长为3，它们的边，重合，现将沿直线向右移动，直到点与点重合时停止移动，移动的距离是，与平行四边形重叠部分的面积是，则随变化的函数图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分三段讨论重叠面积和移动距离的函数关系解答． 【详解】解：在平行四边形中，，，， 在等边三角形中，， 当时：等边三角形逐渐向右进入平行四边形， 重叠部分的面积是等边三角形边长为的等边三角形， ∴ ， 这是开口向下的二次函数，且在范围内，随增大而增大，时，，此时是等边三角形的面积． 当时：整个等边三角形完全进入平行四边形内部，重叠面积始终等于等边三角形的面积，即​​，函数图象是水平直线． 当时：等边三角形逐渐向右移出平行四边形，剩余重叠部分是边长为的等边三角形，面积为： ，这是开口向上的二次函数，在范围内随增大而减小降，时，，符合停止移动的条件． 结合选项特征：只有D符合三段函数的特征． 7．（2026·安徽安庆·一模）如图，边长为2的等边和边长为1的等边，它们的边，位于同一条直线上，开始时，点与点重合，固定不动，然后把自左向右沿直线平移，移出外（点与点重合）停止，设平移的距离为，两个三角形重合部分的面积为，则关于的函数图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分为、、三种情况画出图形，依据等边三角形的性质和三角形的面积公式，求得与的函数关系式，进而求解． 【详解】解：如图1所示：当时，过点作． 和均为等边三角形， ∴为等边三角形． ∴， ∴， 当时，，且抛物线的开口向上． 如图2所示：时，过点作，垂足为． ∵， 函数图象是一条平行于轴的线段． 如图3所示：时，过点作，垂足为． ，函数图象为抛物线的一部分，且抛物线开口向上． 观察四个选项，选项B符合题意． 8．（2026·安徽滁州·一模）如右图，直线l的解析式为，它与x轴和y轴分别相交于A、B两点，点C为线段上一动点，过点C作直线l的平行线m，交y轴于点D．点C从原点O出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，运动时间为t秒，以为斜边作等腰直角三角形（E，O两点分别在CD两侧）．若和的重合部分的面积为S，则S与t之间的函数关系图象大致是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】分类讨论时，S与t之间的函数关系式式即可求解． 【详解】解：①当时，如图所示：    可知： ②当时，如图所示：    此时， ，， 综上： 显然只有C选项符合题意 故选：C 【点睛】本题考查二次函数的实际应用．根据题意找到S与t之间的函数关系式是解题关键． 9．（2026·安徽合肥·一模）如图，在中，，，点，，分别在边，边和边上，且．设，记与的面积差为，则关于的函数图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点A作于点P，根据等腰三角形的性质以及勾股定理可得的长，可得，，，，可求出与的面积差，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作于点P， ∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴与的面积差， 即， 当时，， 当时，， ∴符合题意的函数图象为 ． 10．（2026·安徽合肥·一模）如图1，在中，，点从点开始沿向点运动，在运动过程中，设线段的长为，线段的长为，关于的函数图象如图2所示，点是函数图象上的最低点，则此时的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了函数图象，垂线段最短，勾股定理等知识，读懂图象，用好垂线段最短和勾股定理是解题的关键．根据图象信息得，当时，，此时运动结束，表示点运动到了点处，故，；当，取得最小值，根据垂线段最短，得到垂线段为，当与重合时，最小，根据勾股定理解答即可． 【详解】解：根据图象信息得，当时，，此时运动结束，表示点运动到了点处，故，； 当，取得最小值，根据垂线段最短，得到垂线段为，当与重合时，最小， 此时，， 故． 故选：D． 11．（2026·安徽合肥·一模）如图，在边长为1的正方形中，动点F，E分别以相同的速度从D，C两点同时出发向C和B运动（任何一个点到达即停止），连接交于点P，过点P作交于M点，交于N点，连接．设．在运动过程中，下列结论中正确的个数（   ） ①且；②线段的最小值为 ；③；④当时，为等腰直角三角形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据正方形的性质与判定证明、相似三角形的判定与性质综合． 【详解】解：如图， ∵动点F，E的速度相同， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故①正确； 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故③正确； ∵点P在运动中保持， ∴点P的路径是一段以为直径的弧， 设的中点为G，连接交弧于点P，此时的长度最小， 在中，， ∵， ∴， 则线段，即的最小值为，故②正确； 是直角三角形，④错误． 综上可知正确的有3个． 12．（2026·安徽池州·一模）如图，在中，，点是上一定点，点从点出发，沿边运动到点．连接，，设点运动的路程为，．其中关于的函数图象如图所示，则图中函数图象最低点的纵坐标的值为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由图2的函数图像可求、、、，作，，连接，交于点，，可由求，根据勾股定理求出，即可判断点与点重合，从而可求． 【详解】解：由图可知，，， ∴， ∵中，， ∴． ∵当，即点运动到点，， ∴． 如图，作，，连接，交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴此时最小． ∵， ∴， ∴． ∴点与点重合， ∴． 13．（2026·安徽亳州·一模）如图1，在等边三角形中，点D为边的中点．动点P从点A出发，沿边方向匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到的三等分点时，的长为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据函数图象和等边三角形的性质得到等边三角形的边长，再分两种情况画出图形，利用相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识进行解答即可． 【详解】解：根据题意动点P从点A出发，沿边方向匀速运动过程中，的面积先增大，再减小，当点P运动到点B时，的面积最大，如图1，根据函数图象可得此时的面积为， ∵点D为边的中点，等边三角形， ∴， 解得； 当点P运动到的三等分点时，分两种情况， ①如图2，点P靠近点B，连接，则，过点P作于M， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴； ②如图3，点P靠近点C，连接，则，过点P作于N， ∴， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∴． 即的长为或． 14．（2026·安徽马鞍山·一模）如图，在矩形中，与交于点O，M是的中点．P，Q两点沿着方向分别从点B，点M同时出发，并都以的速度运动，当点Q到达D点时，两点同时停止运动．在P，Q两点运动的过程中，与的面积S随时间t变化的图象最接近的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了动点问题函数图象，主要利用了矩形的性质，三角形的面积，求出点P、Q到达各转折点时的时间，然后分情况讨论是解题的关键， 根据矩形的性质求出点到的距离等于4，到的距离等于6，求出点到达点的时间为，点到达点的时间为，点到达点的时间为，然后分①时，点、都在上，表示出，然后根据三角形的面积公式列式计算即可；②时，点在上，点在上，表示出、，然后根据列式整理即可得解；③时，表示出，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】解：∵矩形中，与交于点， ∴点到的距离，到的距离， ∵点是的中点， ∴， ∴点到达点的时间为， 点到达点的时间为， 点到达点的时间为， ①时，点都在上，， 的面积； ②时，点在上，点在上，， ， ∴当时，的面积最小，且最小值为10； ③时，， 的面积； 纵观各选项，只有B选项图形符合． 故选：B． 15．（2026·安徽芜湖·一模）如图1所示，将一个等腰直角三角板摆放在平面直角坐标系中，其中直角边在x轴上，点B在第二象限，将直线沿x轴负方向以每秒1个单位长度的速度平移．设平移过程中该直线被的边截得的线段长度为m，平移时间为t，m与t的函数图像如图2所示，下列结论错误的是（   ） A．点A的坐标为 B．的面积为8 C．边所在直线的表达式为 D．D点坐标为 【答案】D 【分析】先求得点M的坐标，进而求得的长，由函数图像可知，当时，直线l经过点A，得，可得，可判断选项A；由函数图像可知：当时，直线l经过点C，，，得的面积：，可判断选项B；由，可得直线的解析式为，可判断选项C；由，得当l经过点C时，由，得，得，可判断选项D． 【详解】解：A、令直线，解得：， ∴点M的坐标为， ∴， 由函数图像可知：当时，直线l经过点A， ∴， ∴ ∴点A的坐标为，故选项A正确； B、由函数图像可知：当时，直线l经过点C， ∴， ∴， ∴点C的坐标为， ∴， ∴的面积：，即选项B正确； C、∵， ∴， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴，即选项C正确； D、∵，， ∴，直线l和x轴正方向的夹角为， ∴， ∵， ∴当l经过点C时， ， ∴， ∴选项D错误，符合题意． 故选：D． 16．（2026·安徽马鞍山·一模）如图，正方形中，，连接，的平分线交于点，在上截取，连接，分别交，于点，点是线段上的动点，于点，连接．下列结论：①；②；③；④的最小值是，其中所有正确结论的序号是（    ） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③ 【答案】C 【分析】本题综合考查了正方形的性质，全等三角形的性质，相似三角形等知识， ①利用正方形的性质证明，得到    进而可证； ②利用正方形的性质证明，得到，证明，进而可证； ③利用，求得，的长度，然后求出，进而可证； ④易证垂直平分，过点D作，利用垂线段最短可知的长度为最小值，利用等面积法即可求解； 能够合理选择正方形的性质找到相似与全等的条件是解题的关键． 【详解】∵正方形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故①正确，符合题意； ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确，符合题意； 设， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故③错误，不符合题意； 如图，连，过点D作， ∵， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴当时，有最小值， ∴的长度为的最小值， ∵， ∴，故④正确，符合题意， 正确结论的序号为：①②④， 故选：C． 17．（2026·安徽宿州·一模）如图，点M，N是矩形的边上两个同时运动的动点，点M的运动路线：；点N的运动路线：，已知点N的运动速度是点M运动速度的2倍，设，的面积为S．若，，则S与x的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分，，三种情况，分别求出S与x的函数关系式，即可判断答案． 【详解】解：四边形是矩形 ，，，， 当时，如图1，点N在上， ，则，， ； 当时，如图2，点N在上， ； 当时，如图3，点N在上， 此时， ； 综上，选项A符合题意． 【点睛】此类问题，动点在各边上的面积各不相同，需要分别求解． 18．（2026·安徽合肥·一模）如图1，在平行四边形中，动点E从点A出发，在平行四边形的边上沿路径A→B→C作匀速运动，运动到点C时停止．设点E的运动路程为x，线段的长度为y，y与x的函数图象如图2所示．则点C到线段的距离为（   ） A． B．4.4 C． D．5.6 【答案】D 【分析】连接，过点作于点，由函数图象可知，，，设，则，根据勾股定理列方程即可求出答案． 【详解】解：连接，过点作于点，如图， 由函数图象得，，， ∴， 设，则， 在中，， 在中，， ∴ 解得 ∴， ∴（负值舍去） 19．（2026·安徽蚌埠·一模）如图，正方形的边长为，点E在边上，且．动点P从点A出发以秒的速度沿运动，当点P出发2秒后，点E以秒的速度沿向点D运动，当点P到达点D时，P，E两点同时停止运动．设点P运动的时间为x秒，的面积为，则y关于x的函数图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，掌握分阶段分析点的位置，根据三角形面积公式推导函数表达式，再判断图象形状是解题的关键． 分三段讨论点的位置，分别推导面积与时间的函数表达式，再判断函数图象形状． 【详解】解：当时，点在边上， 此时y关于x的函数图象是一条线段； 当时，点在边上， ∴ 此时y关于x的函数图象是一条与x轴平行的线段； 当时，点在边上，， 此时y关于x的函数图象是一条开口向上的抛物线的一部分． 故选：C． 20．（2026·安徽阜阳·一模）如图，在边长为4的菱形中，，动点P从点A出发，沿边匀速运动，运动到点C时停止，过点P作的垂线交菱形的边于另一点Q，在点P运动的过程中，记的面积为y，点P运动的路程为x，则y与x之间的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据菱形性质，以及点的运动情况分三种情况讨论，①当点P在边上，且点Q在边上，②当点P在边上，且点Q在边上，③当点P在边上，且点Q在边上，再结合解直角三角形的计算，直角三角形性质，以及三角形面积公式求解，即可解题． 【详解】解：边长为4的菱形中，， ， ①当点P在边上，且点Q在边上，即时， 如图1，，，， 即图象为开口向上的抛物线； ②当点P在边上，且点Q在边上，即时， 如图2，，，， 即图象为直线； ③当点P在边上，且点Q在边上，即时， 如图3，， ，， ， ，，， 结合②可知，， ，即图象为开口向下的抛物线． 综上所述，y与x之间的函数图象大致是． 21．（2026·安徽阜阳·一模）如图，C是以为直径的半圆O的中点，P是直径上的动点，连接，，将射线绕点P顺时针旋转，交于点D，设，，则y与x之间的函数关系图象大致是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据题意，得，，从而，则，设半径为r，则可表示，，，则，可确定函数图象以及开口方向，最后再判断与x轴的交点情况，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 是直径， ， C是半圆O的中点， ， ， ， ，， ， ， ， 设半径，则，，， ，则， ， 则y是关于x的二次函数，图象为抛物线， ， 函数图象开口向上， 当时，，，方程无实数根， 抛物线与x轴没有交点， 因此y与x之间的函数关系图象大致如选项B所示． 22．（2026·安徽·一模）如图，矩形中，对角线交于点O，，E为上一动点． F为中点，则下列结论正确的是（   ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的周长最小值为 【答案】C 【分析】先证明为等边三角形，进而得到，根据含30度角的直角三角形的性质求出的长，根据垂线段最短得到当时，最短，进而求出的最小值，根据F为中点，得到，进而求出的最小值，取的中点，的中点，连接，三角形的中位线定理，得到，进而得到三点共线，即点在直线上运动，作点关于直线的对称点，连接，进而得到当点在上时， 的值最小为的长，进而求出的最小值，利用的最小值加上的长即为周长的最小值，进行判断即可． 【详解】解：∵矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点为上一动点， ∴当时，的值最小， 在中，， ∴， 故的最小值为；故A选项错误； ∵为的中点， ∴， ∴的最小值为；故B选项错误； 取的中点，的中点，连接， 则：， ∴三点共线， ∴点在直线上运动， 作点关于直线的对称点，连接，连接交直线于点，则：，垂直平分， ∴当点在上时， 的值最小为的长， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴在中，， ∴的最小值为；故C选项正确； ∵的周长， ∴的周长最小值为；故D选项错误； 故选C． 【点睛】本题考查矩形的性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，垂线段最短，利用轴对称解决线段和，周长最小问题，熟练掌握相关知识点，确定点的轨迹，是解题的关键． 23．（2026·安徽·一模）如图，是菱形的对角线，把菱形沿着对角线方向平移，得到菱形，，分别交，于点，，连接，若，，则与之间的关系大致可以用函数图象表示为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用菱形和平移的性质得到线段与角度的关系，再通过三角函数表示出的长度，从而建立与的函数关系式，最后根据函数的性质判断对应的函数图象． 【详解】解：如图，记交于点， ∵四边形是菱形， ∴， 设，则，设，则 由平移的性质可知，， ∴， ∴， ∴， ∴∙， ∵为定值，为定值， ∴为定值，且小于，∙为定值，且大于， ∴是关于的一次函数，且随的增大而减小， ∴选项符合题意． 最值问题 考点02 一、单选题 1．（2026·安徽池州·一模）如图，在平面直角坐标系中，A在x轴上，C在y轴上，四边形为矩形，D、E分别在上，若反比例函数过E、D两点，交于点F．则下列说法正确的是（    ） A．k越小，的长越小 B．当时，为定值 C．若矩形面积为16，时， D．当为边长1的正方形时，最小为 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数的几何应用，涉及了勾股定理，求反比例函数的解析式，相似三角形的判定和性质等．设点B的坐标为，则，点，从而得到，再由勾股定理可得，可判定A；当时， ，可判定B；过点F作于点G，则，根据，可得，，从而得到点，进而得到，可判断C；若为边长1的正方形，可得，可判断D． 【详解】解：如图， 设点B的坐标为，则， ∵四边形为矩形，D、E分别在上，若反比例函数过E、D两点， ∴点， ∴， ∴， ∴， 当，即时，k越小，的长越大，故A选项错误； 当时， ，， ∴ ， 即的大小与有关，不是定值，故B选项错误； ∵矩形面积为16， ∴， 如图，过点F作于点G，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即，， ∴点， 把点代入，得： ，故C选项正确； ∵为边长1的正方形， ∴， ∴， 此时当时，取得最小值，为0，故D选项错误． 故选：C 2．（2026·安徽淮南·一模）如图，在中，，，，点在边上，点在的延长线上，且，为的中点，则下列结论错误的是（   ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】C 【分析】由直角三角形的性质可得，由勾股定理可得，设点到的距离为，由等面积法求出，由题意求出，则当取最小值时，则取最小值，即可判断A；当取最大值时，取最大值．当与重合时，取最大值，即可判断B；过点作，过点作，与相交于点，作点关于的对称点，分别连接，，，与交于点，则，，，再由得出当，，三点共线时，的最小值为，即可判断C；作点关于的对称点，连接交于点，求出的值即可判断D． 【详解】解：，，， ∴，， 设点到的距离为，则， 点到的距离． ， ∴， ， 当取最小值时，则取最小值． 又∵由垂线段最短可得：的最小值为, 的最小值为，故A正确； 当取最大值时，取最大值．当与重合时，取最大值，如图1，作于点． 则，， ∴， ∴在直角三角形中，， 的最大值为，故B正确； 如图2，过点作，过点作，与相交于点，作点关于的对称点，分别连接，，，与交于点，则，，， ，，， 当，，三点共线时，的最小值为，故C错误； 如图3，作点关于的对称点，连接交于点， 此时，即取最小值． 在直角三角形中，，故D正确． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质、勾股定理、解直角三角形、轴对称的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 3．（2026·安徽合肥·一模）已知两个实数a、b，满足，且、，则的最小值是（   ） A． B．0 C． D．1 【答案】A 【分析】本题先根据已知条件用a表示b，结合a、b的非负性求出a的取值范围，，利用不等式的性质求最小值． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得， 将代入得， ∴， ∴， ∴当时，取得最小值，最小值为． 4．（2026·安徽蚌埠·一模）如图，在矩形中，分别为边的中点．动点从点出发沿向点运动，同时，动点从点出发沿向点运动，连接，过点作于点，连接．若点的速度是点的速度的2倍，在点从点运动至点的过程中，下列说法错误的是（   ） A．线段最小值为 B．的最小值 C．四边形面积的最小值为6 D．线段长度的最大值为 【答案】C 【分析】作点D关于的对称点R，连接，则，当点R，E，C三点共线时，最小，最小值为的值，可判断A选项；连接交于M，连接，取的中点O，连接，过点O作于N，易得四边形为矩形，，推出和的长，根据，得到当O，H，D共线时，最小，可判断B选项；设，则，，再由四边形的面积为，可得四边形的面积随t的增大而减小，当点P，A重合时，t取得最大值，此时，则，可判断C选项；过点P作于点K，则，，可得，可判断D选项． 【详解】解：∵矩形，，E，F分别为，边的中点， ∴，，，，， 如图，作点D关于的对称点R，连接，则， ∴， ∴当点R，E，C三点共线时，最小，最小值为的值， 在中，， 即线段最小值为，故A选项正确，不符合题意； 连接交于M，连接，取的中点O，连接，过点O作于N，连接，则， ∴四边形为矩形，，， ∴，，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 由于M和B点都是定点， 所以其中点O也是定点，当O，H，D共线时，此时最小， ∴的最小值为，故B选项正确，不符合题意； 设，则， ∴， ∴四边形的面积为， ∴四边形的面积随t的增大而减小， 当t最大时，四边形的面积取得最大值， 当点P，A重合时，t取得最大值，此时，则， ∴四边形的面积的最小值为，故C选项错误，符合题意； 如图，过点P作于点K，则，， ∴，， ∴， 当t最大时，取得最大值， ∴的最大值为，故D选项正确，不符合题意． 5．（2026·安徽合肥·一模）已知抛物线图象上有两点、，当时，有；当时，最小值是8．则的值为（   ） A． B． C．1或 D．或 【答案】A 【分析】先确定该抛物线的对称轴为直线，再根据当时，有，得，再根据当时，最小值是8列出关于a的一元二次方程并求解即可． 【详解】解：， 该抛物线的对称轴为：直线， ∵当时，有， ∴， ∴抛物线开口向下， ∵在范围内，且， ∴当时有最大值，时有最小值， ∴， 整理得，， 解得（舍） 故选： A． 6．（2026·安徽六安·一模）如图，已知矩形中，，点是对角线上一个动点（不与，重合），于点，于点，连接，，点是的中点，连接，给出下列结论中，其中正确的是（   ） A．四边形的周长是定值 B．的最小值为 C．当时， D．当时， 【答案】C 【分析】本题是矩形对角线动点多结论题，统一设某边为参数，利用平行线出相似的特点用参数表示所有相关线段，再逐个验证结论：选项A：证四边形是矩形，代入周长公式发现其随动点变化非定值；选项B：利用矩形对角线相等将转化为，由垂线段最短和等积法求最小值；选项C：计算对应线段比，结合直角用两边成比例且夹角相等证相似；选项D：由垂直加对顶角得相似，转化为对应角正切相等列方程求． 【详解】解：已知矩形中，，则，，对角线，， 选项A：设，则， ∵，，， ∴四边形是矩形，周长， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的周长，随变化而变化，不是定值， ∴A错误； 选项B：∵四边形是矩形， ∴， 根据垂线段最短，当时，最小，如图， ∵， ∴， 解得， ∴的最小值为， ∴B错误； 选项C：当时，由得， 即，解得， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵，且，， ∴， ∴， ∴C正确； 选项D：若，设垂足为，如图，的延长线交于点， 在和中， ， ∴， 设，则：，，，， ∵是中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 在中，， 在中，​， ∵， ∴， ∴， ∵（若，则与重合）， ∴两边同时除以，得： ​， 解得， ∴​​， ∴选项D错误； 综上，正确答案为C． 【点睛】解题时需注意三个易错点，切勿凭直觉认为动点题中周长或面积一定是定值，必须通过代数推导验证；相似三角形的对应边切勿写反，两边成比例时需严格对应夹角；解方程时必须验证公因式是否为零，避免增根导致结果错误． 7．（2026·安徽阜阳·一模）如图，在中，，，P为外一点、且在直线的异侧，，，将绕点C逆时针旋转得到，连接、，当线段取最大值时，下列结论错误的是（    ） A．平分 B．的面积等于 C．的周长等于 D．的周长等于 【答案】C 【分析】根据旋转的性质和全等三角形的判定与性质，可得当，在同一条直线上时，取最大值，再根据等腰直角三角形，角平分线的性质和勾股定理逐项判断即可． 【详解】解：如图1，连接， 易证， ∴， ∴， ∴当，在同一条直线上时，取最大值，此时， ∴的最大值为8． 当线段取最大值时（如图2）， 易得为等腰直角三角形，， ∵， ∴， ∴平分， 即选项A正确； 如图3，过C分别作于，于F， ∵平分， ∴，， ∴的面积， 即选项B正确； 如图2，易得， 在直角中，， ∴的周长为24， 即选项D正确； 如图3，∵，， 在直角中，， 在等腰直角中，， 在等腰直角中，， ∴的周长等于， 即选项C错误． 8．（2026·安徽安庆·一模）已知如图，在中，，，，点为边上一点，连接，将沿翻折，得到，其中点为边中点，点为边中点，连接、、，下列说法错误的是（    ） A．最小值为 B．最小值为2 C．的最大值为3 D．最小值为 【答案】C 【分析】当时，有最小值，利用等积法求解即可判断选项A；当B、E、C三点共线时，的值最小，据此计算即可判断选项B；根据三角形中位线定理，推出当A、B、E三点共线时，的值最小，据此计算即可判断选项C；作点B关于的对称点，当O、P、三点共线时，的值最小，即的最小值为，据此计算即可判断选项D． 【详解】解：∵，，， ∴， 当时，有最小值， ∵， ∴， ∴最小值为， 选项A正确，不符合题意； ∵点E在以B为圆心，为半径的圆上运动， ∴当B、E、C三点共线时，的值最小， ∴的值最小值为，选项B正确，不符合题意； 连接， ∵点为边中点，点为边中点， ∴根据三角形中位线定理，， ∴当A、B、E三点共线时，的值最小， ∴的值最小值为，选项C错误，符合题意； 作点B关于的对称点，连接，,，， ∵，∴， ∴当O、P、三点共线时，的值最小，即的最小值为， 记交于点，作交的延长线于点， 由对称的性质和选项A的结论，得，，， 设，则， ∵， ∴， 解得，即， ∴，， ∴， ∴最小值为，选项D正确，不符合题意． 9．（2026·安徽合肥·一模）已知实数m、n满足 ，若，则s的值最大为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由已知求出，再代入，利用非负数的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴s的值最大为3． 10．（2026·安徽合肥·一模）如图，在中，，，点是边上一动点，以为直角边作等腰直角，，连接，直线与相交于点．设，则下列结论正确的是（   ） A．的最小值为 B． C．当时， D．的面积随增大先减小后增大 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形，全等三角形，等腰三角形等知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，根据题意，求出，根据全等三角形的判定和性质，可得，得到，；根据垂线段最短，当点与点重合时，此时且，有最小值，最小值为：；过点作于点，过点作于点；过点作于点；求出，根据相似三角形的判定和性质，可得，根据线段的和差，表示出，，求出，根据，得到，进行解答，即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴ ∵是等腰直角三角形 ∴， ∵ ∴ ∴ ∴， ∴ ∴； ∴选项B正确； ∵ ∴当时，； ∴选项C错误； 过点作交于点， ∵是等腰直角三角形，且 ∴， ∴； ∵是等腰直角三角形 ∴； 当点与点重合时，此时且，有最小值，最小值为：； ∴选项A错误； 过点作于点，过点作于点；过点作于点； ∵ ∴是等腰直角三角形；四边形是正方形； ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 整理得：， ∴是一个三次函数，其单调性并非简单的先增大后减小， ∴D错误； 故选：B． 11．（2026·安徽合肥·一模）如图，在矩形中，，．点在边上，且，、分别是边、上的动点，且，是线段上的动点，连接，，．则下列结论错误的是（   ） A．面积的最大值为2 B．点到直线的最短距离是 C．若，则的最小值为 D．若，则线段的长为 【答案】D 【分析】可证明得到，过点N作于点G，解直角三角形得到，设，则，，，则可推出，据此可判断A；根据，且，可得，据此可判断B；在射线上截取，连接，可证明，得到，则当点M与点N固定时，当P、M、H三点共线时，有最小值，最小值为的长，再根据，推出此时点H与点D重合，则，据此可判断C；当，且时，可证明四边形是矩形，得到，则，此时，据此可判断D． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴； 如图所示，过点N作于点G， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为2，故A说法正确，不符合题意； ∵，且， ∴， ∴点到直线的最短距离是，故B说法正确，不符合题意； 如图所示，在射线上截取，连接， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当点M与点N固定时，当P、M、H三点共线时，有最小值，最小值为的长， 当时，， ∴此时点H与点D重合， ∴， ∴的最小值为，故C说法正确，不符合题意； 如图所示，当，且时，则， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴平行四边形是矩形， ∴， ∴， 此时，故D说法错误，符合题意； 12．（2026·安徽淮南·一模）如图，等边的边长为，点，分别在，上，，为上的动点，将绕点逆时针旋转得到，连接，，．下列结论不正确的是（   ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】C 【分析】先构建平行四边形、，结合等边三角形性质得出，结合全等三角形的判定和性质推得点为上的定点，点在过点与平行的直线上运动，即可推得当时，的值最小，根据锐角三角函数的定义即可求出的最小值；通过证明、是等边三角形，结合等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质得出，，进一步可证明得出是等边三角形，分析可得当点与点重合时，点与点重合，当点与点重合时，点与点重合，此时的值最大，最大值为的长，结合垂直平分线的性质以及勾股定理求出的值，即可得出的最大值为；结合三角形的三边关系，得出当、、三点共线时，此时的值最大，最大值为；结合垂直平分线的判定和性质得出，进一步推得当、、三点共线时，此时的值最小，最小值为的长，即可得出答案． 【详解】过点作交于点，过点作交于点，交于点，过点作交于点，连接、、、、、．过点作于点，如图： 则四边形、为平行四边形， 故，，，，， ∵三角形是等边三角形， 故， 即， ∵， ∴，， 故， 又∵， ∴， ∴， 故， 即点为上的定点，点在过点与平行的直线上运动， ∵， ∴， 当时，的值最小，此时的最小值为；故A选项说法正确． ∵， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， 故， ∴， 即是等边三角形． 则，，， ，， 即，，， ∴， ∴，， 故， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴． 当点与点重合时，，此时点与点重合， 当点与点重合时，，此时点与点重合， 当点与点重合时，的值最大，即的最大值为的长． ∵，，， ∴， ∴， 即， ∵， ∴垂直平分， 故， ∴， 在中，， 在中，， 即的最大值为，B选项说法正确． 在中，， 即当、、三点共线时，此时点与点重合，的值最大，最大值为，故C选项说法错误． ∵，， ∴点在的垂直平分线上，点在的垂直平分线上， 故是的垂直平分线， 又∵点在直线上， 故， ∴， 即当、、三点共线时，此时的值最小，最小值为的长， ∵， 故的最小值为，D选项说法正确． 【点睛】本题考查了四边形与三角形的综合应用，平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，垂直平分线的判定和性质，锐角三角函数的应用等．构建平行四边形、，通过全等三角形的判定和性质得出点为上的定点，点在过点与平行的直线上运动，结合等边三角形的判定得出是等边三角形是解题的关键． 13．（2026·安徽芜湖·一模）如图，在等腰直角中，，．点为的中点，，其两边分别与，交于点，（不与，，重合）．取的中点，连接并延长交于点，连接，．则下列结论中正确的是（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．周长的最小值为 D．四边形面积的最小值为 【答案】B 【分析】根据勾股定理可得，即得，连接、，由直角三角形的性质得，进而根据得，即可判断；由得点在线段的垂直平分线上，可知点在边所对中位线上移动，作点关于直线的对称点，连接，则，，利用勾股定理求出即可判断；由得，，，四点共圆，即得，得到，即得到，得，即可判断；证明四边形为矩形，可得，即得是等腰直角三角形，设，则，得，即可判断，综上即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵点为的中点， ∴， 如图，连接、， ，点为的中点， ， ， ，故选项错误； 如图，∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴点在边所对中位线上移动， 作点关于直线的对称点，连接，则，， ∵， ∴， ∴的最小值为，故选项正确； 如图，， ，，，四点共圆， ∵，，点为的中点， ∴， ， ， ∴， ∴， ，故选项错误； ∵， ， ∵，点为的中点， ∴， ， ， ∴， ∵，点为的中点， ∴， ， ∴四边形为矩形， ， ∵， ∴是等腰直角三角形， 设，则， ， ∴四边形的面积最大值为，故选项错误． 14．（2026·安徽阜阳·一模）已知三个实数，，满足，，且，则的最小值为（  ） A． B．2 C． D．4 【答案】D 【分析】先利用已知条件对所求式子变形，再结合完全平方的非负性推导得到的取值范围，进而求出所求式子的最小值． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∵， ∴， ∵对任意实数，，都有 展开得 把，代入得 ，即 ∵，不等式两边同乘得，即 ∴ ∴，即的最小值为． 15．（2026·安徽·一模）如图，矩形中，对角线交于点O，，E为上一动点． F为中点，则下列结论正确的是（   ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的周长最小值为 【答案】C 【分析】先证明为等边三角形，进而得到，根据含30度角的直角三角形的性质求出的长，根据垂线段最短得到当时，最短，进而求出的最小值，根据F为中点，得到，进而求出的最小值，取的中点，的中点，连接，三角形的中位线定理，得到，进而得到三点共线，即点在直线上运动，作点关于直线的对称点，连接，进而得到当点在上时， 的值最小为的长，进而求出的最小值，利用的最小值加上的长即为周长的最小值，进行判断即可． 【详解】解：∵矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点为上一动点， ∴当时，的值最小， 在中，， ∴， 故的最小值为；故A选项错误； ∵为的中点， ∴， ∴的最小值为；故B选项错误； 取的中点，的中点，连接， 则：， ∴三点共线， ∴点在直线上运动， 作点关于直线的对称点，连接，连接交直线于点，则：，垂直平分， ∴当点在上时， 的值最小为的长， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴在中，， ∴的最小值为；故C选项正确； ∵的周长， ∴的周长最小值为；故D选项错误； 故选C． 【点睛】本题考查矩形的性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，垂线段最短，利用轴对称解决线段和，周长最小问题，熟练掌握相关知识点，确定点的轨迹，是解题的关键． 二、填空题 16．（2026·安徽阜阳·一模）已知二次函数：． （1）若该二次函数的图象开口向下，当时，的最小值是，则a的值为___________； （2）若对于该抛物线上的两点，当时，均满足，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】本题考查的是二次函数的性质， （1）由二次函数开口向下，对称轴为直线，在上，最小值出现在处，代入求值解方程； （2）由条件可知抛物线开口向下，点离对称轴更近，根据当时与时两点关于对称轴对称，结合二次函数性质求的范围即可． 【详解】解：（1）二次函数的对称轴为直线， 由于图象开口向下，在时， 当函数在处取得最小值，， 由题意，解得； 故答案为：； （2）∵二次函数的对称轴为直线，且当时，均满足， ∴抛物线开口向下，点离对称轴更近， ∵当时与时两点关于对称轴对称， 且， 解得， 故答案为：． 17．（2026·安徽·一模）如图，矩形的边，点是边上的一个动点（不与点重合），过点的反比例函数的图象与边交于点．当四边形的面积最大时，的长度为______． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与图形的综合，掌握矩形的性质，图形面积与反比例函数系数的关系是关键． 根据题意点的纵坐标为，点的横坐标为，则，，由代入计算得到，由此即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴， ∴， 过点的反比例函数的图象与边交于点， ∴点的纵坐标为，点的横坐标为， ∴，， ∴， ∴ ， ∵， 当时 ，四边形的面积最大，最大值为， ∴， 故答案为： ． 三、解答题 18．（2026·安徽芜湖·一模）设函数，，当时，函数的最小值是a，函数的最大值是． (1)求k的值； (2)若点在函数的图象上，且点P到y轴的距离大于3，求n的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据在每一象限内，y随x的增大而减小，求解即可； （2）根据题意可得或分类讨论，代入反比例函数解析式可得n的取值范围． 【详解】（1）解：，，， 在每一象限内，随x的增大而减小，随x的增大而减小， 当时，最小值为①， 当时，最大值为②， 由①，②得：． （2）解：到y轴的距离大于3， 或， ， ∴， 当时，， ∴， ∵， ∴； 当时，，且， ∴； 综上，或． 规律探究 考点03 一、填空题 1．（2026·安徽阜阳·一模）数学兴趣小组在研究连续正整数的和时发现结论：（，且n为整数）．后来他们又发现一些完全平方奇数（若一个奇数能表示成某个整数的平方的形式，则称这个奇数为完全平方奇数，如1，9，25，49，…均为完全平方奇数）可以写成几个连续正整数的和，如：，，，，…． （1）将写成几个连续正整数的和：______； （2）若将写成几个连续正整数的和，其中最大的正整数与最小的正整数的差为______． 【答案】 2026 【分析】先观察题目给出的示例，归纳得到完全平方奇数（为奇数）写成连续自然数和的规律，再根据规律计算两问的结果． 【详解】解：根据题目给出的示例归纳规律： 对于奇数，将写成连续正整数的和时，最小正整数为，共有个连续正整数，最大正整数为. （1）当时， 最小正整数为， 最大正整数为， 因此． （2）当时， 设最小正整数为，最大正整数为， 则，， 因此． 2．（2026·安徽芜湖·一模）已知一个由非负整数组成的数列，从开始满足，，，…，． （1）当，时，______； （2）当，（，m为整数）时，______． 【答案】 8 【分析】（1）根据题意，先求，再求即可； （2）根据，，（，m为整数），求的值，再对所求代数式分析数字规律，根据规律即可求得答案． 【详解】解：（1）当，时， ， ； （2）当，（，m为整数）时， ； ； ； ； ∴． 3．（2026·安徽芜湖·一模）对于整数，根据整数的符号，分以下三种情况得到另一个整数：若为正数，则；若为负数，则；若为，则．这种得到的过程称为对进行一次变换．对所得的数再进行一次变换称为对进行二次变换，依此类推．例如，为正数，则，对4进行一次变换得到的数为为负数，则，对进行二次变换得到的数为；为负数，则，对进行三次变换得到的数为． （1）对整数进行三次变换，得到的数为_____； （2）若对整数进行二次变换得到的数为，则所有满足条件的的值之和为_____． 【答案】 【分析】（）因为要对整数进行三次变换，所以先判断的符号，根据正数对应的变换公式得到一次变换结果；再判断该结果的符号，用对应公式得到二次变换结果；最后判断二次变换结果的符号，用对应公式得到三次变换结果； （）因为已知二次变换结果为，所以需要逆向推导，先设一次变换的结果为，根据的符号分三种情况，利用变换公式列方程求出的可能值；再针对每个的值，设原整数为，同样根据的符号分三种情况，利用变换公式列方程求出的所有可能值；最后将所有满足条件的的值相加． 【详解】解：①对三次变换的结果， 根据变换规则逐步计算： 一次变换：是正数，； 二次变换：是负数，； 三次变换：是正数，； 因此三次变换得到的数为； ②已知二次变换结果为，逆推求解： 求第一次变换的结果 对变换得到，分情况讨论： 若为正数：，解得，符合正数前提； 若为负数：，解得，符合负数前提； 若：变换结果为，舍去； 因此的可能值为或； 当时： 为正数：，解得，不符合正数前提，舍去； 为负数：，解得，符合负数前提，保留； ：变换结果为，舍去； 当时： 为正数：，解得，符合正数前提，保留； 为负数：，解得，符合负数前提，保留； ：变换结果为，舍去； 所有满足条件的为， 和为：． 二、解答题 4．（2026·安徽六安·一模）观察下面三行数组： 第一行：1  4  9  16  25… 第二行：0  3  8  15  24… 第三行：2  6  12  20  30… 根据规律，解答以下问题： (1)第一行第7个数是__________； (2)第二行第个数是__________（用含的式子表示）； (3)第三行第个数与第二行第个数的差为2027，求的值． 【答案】(1)49 (2) (3) 【分析】（1）分析第一行数的规律，得出表示第n个数的式子； （2）找出第二行数与第一行数的关系，得出表示第n个数的式子； （3）找出第三行数与第一行数的关系，得出表示第n个数的式子，再根据题意列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，，，，… ∴第一行第n个数为， ∴第一行第7个数是； （2）解：∵，，，，… ∴第二行第个数是； （3）解：∵，，，，… ∴第三行第个数是； ∵第三行第个数与第二行第个数的差为2027， ∴， 整理得， ∴． 5．（2026·安徽池州·一模）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为、点的坐标为、点的坐标为，…，过点、、、…，分别作轴垂线，交直线于点、、、…，覆盖的整点（横、纵坐标均为整数的点）的个数记为，面积的值记为；覆盖的整点的个数记为，面积的值记为；覆盖的整点的个数记为，面积的值记为…． 【参考公式：连续个正整数和的计算公式：】 (1)由题意可知：、；、；、；则______、_______； (2)______； (3)的值是否会等于？若能，请求出的值，若不能，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)会，理由见详解 【分析】（1）作出图形，由题中规律直接求解即可； （2）由题中要求得出规律，求出，作差即可； （3）由（2）中规律得到，令求解得到即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示： ， ，在直线上， ， 则； （2）解：由题中要求可得规律： 、， 、， 则； （3）解：会， 理由如下： 由（2）中规律可得， 令， 解得， 的值会等于． 6．（2026·安徽合肥·一模）如图，将形状、大小完全相同的“”和线段按照一定的规律摆成下列图形，第1个图案中“”的个数为3，第2个图案中的“”的个数为8，第三个图案中的“”的个数为15，…，以此类推． (1)第5个图案中“”的个数是________； (2)请用含的代数式（n为正整数）表示第个图案中“”的个数________．判断是否存在图案中的“”的个数为120，并说明理由． 【答案】(1)35 (2)，存在，理由见解析 【分析】（1）根据所给图形，依次求出图案中“”的个数，发现规律即可解决问题； （2）根据（1）中发现的规律即可得第个图案中“”的个数；令，解方程，n有正整数解则存在图案中的“”的个数为120． 【详解】（1）解：由所给图形可知， 第1个图案中“”的个数为：； 第2个图案中“”的个数为：； 第3个图案中“”的个数为：； 第4个图案中“”的个数为：； ∴第5个图案中“”的个数为：； （2）解：观察（1）中的规律可知， 第n个图案中“”的个数为个； 存在图案中的“”的个数为120，理由如下： 令， 解得（负值已舍去）， ∴第10个图案中的“”的个数为120． 7．（2026·安徽·一模）观察算式： (1)按规律填空： ① ②     ③如果n为正整数，那么 (2)计算（由此拓展写出具体过程） ① ② 【答案】(1)；； (2)；． 【分析】（1）①②③根据所给算式即可得出答案； （2）①②将其变形，再根据所给算式得出答案． 【详解】（1）①， ② ③ 故答案为：；； （2）①； ②； 故答案为：；． 【点睛】本题考查归纳推理的应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题． 8．（2026·安徽宿州·一模）观察下列各式． (1)根据以上规律猜想，a为正整数，则______． (2)你从以上各式发现什么规律？请用含有n的式子将规律表示出来．并注明n的取值范围． (3)证明你在（2）中写出的等式是正确的． 【答案】(1)24 (2)（，n为整数） (3)见解析 【分析】（1）仔细观察从上式中找出规律：整数与分数的分子相同，分母是分子的平方减1的差，由分子写出a值即可； （2）归纳总结得到一般性规律，写出表达式即可； （3）利用二次根式的性质及化简公式证明即可． 【详解】（1）解：根据前3个式子，可得： 故a为24． （2）解：①由前面式子得出：（，且n为整数）． （3）证明： （，且n为整数）． 9．（2026·安徽淮南·一模）综合与实践 【项目主题】 班级劳动实践小组拟用正方形和圆形代表两种花卉为某单位设计花卉展览图案． 【项目准备】 正方形和圆形分别代表盆景和花卉，同学们已经知道数学公式：（n为正整数）． 【项目分析】 第1个图案中盆景的盆数为6，花卉的盆数为2； 第2个图案中盆景的盆数为10，花卉的盆数为7； 第3个图案中盆景的盆数为14，花卉的盆数为14； 第4个图案中盆景的盆数为18，花卉的盆数为23； ．．． 【项目实施】 按照以上规律，解答下列问题： (1)第5个图案中盆景的盆数为___________，花卉的盆数为___________； (2)第（为正整数）个图案中盆景的盆数为___________，花卉的盆数为___________； (3)已知该单位实施的花卉展览图案中花卉比盆景多77盆，求该单位购买盆景和花卉的盆数． 【答案】(1)22，34 (2) (3)该单位购买盆景42盆，花卉119盆 【分析】（1）根据材料提示计算即可； （2）根据图片的序号与图形中的数据关系，找出规律即可； （3）由（2）中的数量关系列式求解即可． 【详解】（1）解：第1个图案中盆景的盆数为，花卉的盆数为； 第2个图案中盆景的盆数为，花卉的盆数为； 第3个图案中盆景的盆数为，花卉的盆数为； 第4个图案中盆景的盆数为，花卉的盆数为； ∴第5个图案中盆景的盆数为，花卉的盆数为； 故答案为：22，34； （2）解：根据上述计算得到， 第（为正整数）个图案中盆景的盆数为，花卉的盆数为， 故答案为：； （3）解：设第个花卉展览图案中花卉比盆景多了77盆， 由题意得， 整理得，因式分解得， 解得或（不合题意，舍去）， 当时，， 答：该单位购买盆景42盆，花卉119盆． 10．（2026·安徽宣城·一模）利用图形来表示数量或数量关系，也可以利用数量或数量关系来描述图形特征或图形之间的关系，这种思想方法称为数形结合．你能利用数形结合的思想解决下列问题吗? (1)如图①，一个边长为1的正方形，依次取正方形面积的，，，…，，根据图示我们可以知道：_____________；那么____________； (2)如图②，一个边长为1的正方形，依次取剩余部分的，根据图示：计算：___________； (3)如图③是一个边长为1的正方形，根据图示：计算：_________．（用含的式子表示） 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据题意找出规律进行计算即可； （2）根据题干给出图形，依次取正方形面积的，…，找出规律即可； （3）根据题干给出图形，依次取正方形面积的，…，找出规律即可． 【详解】（1）解：∵第1次截取后剩余， 第2次截取后剩余， 第3次截取后剩余， …， 第n次截取后剩余， ∴，． 故答案为：，． （2）解：∵第1次截取后剩余， 第2次截取后剩余， 第3次截取后剩余， …， 第n次截取后剩余， ∴． 故答案为：． （3）解：∵第1次截取后剩余， 第2次截取后剩余， 第3次截取后剩余， …， 第n次截取后剩余， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查的图形的变化类，根据题干给出的图形，利用数形结合求解是解答此题的关键． 11．（2026·安徽蚌埠·一模）设是一个两位数，其中a是十位上的数字（），例如：当时，表示的两位数是45． (1)尝试： ①当时，； ②当时，； ③当时，； ④当时，______． (2)归纳：与有怎样的大小关系？试说明理由． (3)运用：若与的和为6325，求a的值． 【答案】(1)； (2)相等，理由见解析； (3)7． 【分析】（1）仔细观察①②③，用含有相同规律的代数式表示即可解答； （2）由再计算即可解答； （3）由与的和为6325，列方程后整理可得，再解一元二次方程并结合a的意义即可解答． 【详解】（1）解：由①当时，； ②当时，； ③当时，； ④当时，． 故答案为． （2）解：相等，理由如下： ． （3）解：与的和为6325， ，整理得：，解得：或7， ， ． 【点睛】本题主要考查的是数字的规律探究、完全平方公式的应用、单项式乘以多项式、利用平方根的含义解方程等知识点，理解题意、列出运算式或方程是解本题的关键． 12．（2026·安徽滁州·一模）数学兴趣小组开展探究活动，研究了“一组有规律的数据和相关问题”的问题． (1)【规律特殊化】给出一列数据：依次把这列数据记为，则，则___________，___________（填“>”“<”或“=”）； (2)【规律一般化】这列数据的第（均大于1）个数据分别为，且，探究与之间的关系． 思路探究：， 同理___________，___________， ___________，___________． ___________ (3)【思想一般化】已知个正实数满足，其中．则___________（填“>”“<”或“=”）． 【答案】(1)23；= (2) (3) 【分析】（1）由提供的数据可知后一个数比前一个数大3，由此得第n个数为，代入相关数据可得结论； （2）根据（1）得出的规律进行解答即可； （3）根据提供的规律进行解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴可得后一个数比前一个数大3， ∴， ∴； ∴，， ∴； （2）解：， 同理，， ，． （3）解： ， ． 是不为1的正数，， ． ． 13．（2026·安徽六安·一模）“”与“☆”按如图所示的规律进行排列： (1)第6个图案中“☆”的个数是________；第n个图案中“☆”的个数为________； (2)若第个图案与第个图案中“☆”的个数之差比第n个图案中“”的个数多70，求正整数n． 【答案】(1)21； (2)72 【分析】（1）根据前几个图案的规律，即可求解； （2）根据题意，结合图形规律，得出第个图案中“”的个数是，再列出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：第个图案中“☆”的个数可表示为， 第个图案中“☆”的个数可表示为， 第个图案中“☆”的个数可表示为， 第个图案中“☆”的个数可表示为， ∴第个图案中“☆”的个数可表示为； 第个图案中“☆”的个数可表示为； （2） 解：第个图案中有个“”， 第个图案中有个“”， 第个图案中有个“”， 第个图案中有个“”， ∴第个图案中“”的个数是， 由题意可得，， 整理得，， 解得：． 14．（2026·安徽合肥·一模）综合与实践 【项目主题】 如果一个多边形的所有顶点都位于正方形网格的交点上，那么这样的多边形被称为格点多边形．教师展示一系列基础的格点多边形（图1），学生尝试计算它们的面积，随后教师提出问题：格点多边形的面积与哪些因素有关？ 【项目分析】学生交流讨论，教师收集意见，形成个子问题，具体如表． 表1 子问题 格点多边形的面积与它的边数（或顶点个数）有关 子问题 格点多边形的面积与它的周长有关 子问题 格点多边形的面积与它内部的格点数有关 子问题 格点多边形的面积与它的边上格点数有关 【项目探究】 当存在多个变量时，如何确定某一变量对结果有无影响，学生提出用控制变量法，即保证其它量不变，看该量变化是否使结果改变．结合图，用控制变量法进一步探究． 任务一：问题筛选 （1）图中第一组，其顶点个数、内部格点数、边上格点数相同，周长不同但面积相同，说明子问题 ① 不成立． （2）图中第二组，其内部格点数、边上格点数相同，顶点个数不同但面积相同，说明子问题 ② 不成立． 任务二：探究论证 （3）控制内部格点数为，改变边上格点数，学生通过操作、计算、思考，并制得表2．可发现规律：内部格点数为时，边上格点数每增加，格点多边形面积增加． 表 边上格点数 … 多边形面积 … 表 内部格点数 … 多边形面积 ③ ④ … （4）控制边上格点数为，改变内部格点数，学生通过操作、计算、思考，并制得表．完成表格填空，可发现规律： ⑤ ． 任务三：公式归纳 不妨设格点多边形的面积为，边上格点数为，内部格点数为，尝试建立三者之间的数量关系．有了之前活动的经验，在教师的引导下，学生可想到采用控制变量的方法，以“分步归纳”的方式进行推理． （ⅰ）当时，根据表的实验数据，可归纳出； （ⅱ）当时，动手实验，记录新的数据，整理如表，由表可归纳出； 表  时，与的关系 … 4 … 表  时，与的关系 … … （ⅲ）当时，动手实验，记录新的数据，整理如表，由表可归纳出； 以此类推，可以发现、、之间的数量关系式为 ⑥ ，这就是著名的皮克公式． 【项目应用】 将地图上公园（部分）轮廓抽象为格点多边形，通过几何画板调整网格使其顶点落于格点（个别不在格点上的顶点，用附近格点代替），利用皮克公式计算面积，结合比例尺换算出公园实际面积． 请将上述材料中横线上所缺内容补充完整： ①____________    ②____________    ③____________    ④____________ ⑤_________________________________    ⑥__________________ 【答案】①；②；③；④；⑤边上格点数为时，内部格点数每增加，格点多边形面积增加；⑥ 【分析】任务一：（1）①根据控制变量法，可以得出格点多边形的周长的变化不会使格点多边形的面积改变，即子问题不成立； （2）②根据控制变量法，可以得出格点多边形的顶点个数的变化不会使格点多边形的面积改变，即子问题不成立； 任务二：（3）③在网格图中，确定一个边上格点数为，内部格点数为的格点多边形，求其面积即可； ④在网格图中，确定一个边上格点数为，内部格点数为的格点多边形，求其面积即可； （4）⑤通过对表格分析，即可求解； 任务三：⑥找出格点多边形的面积为，边上格点数为，内部格点数为之间的关系，即可求解． 【详解】任务一：（1）①图中第一组，这两个三角形的顶点个数、内部格点数、边上格点数相同，两个三角形的周长不同但面积相同，说明格点多边形的周长的变化不会使格点多边形的面积改变，即子问题不成立． （2）②图中第二组，这两个格点多边形的内部格点数、边上格点数相同，两个格点多边形的顶点个数不同但面积相同，说明格点多边形的顶点个数的变化不会使格点多边形的面积改变，即子问题不成立． 任务二：（3）③控制边上格点数为，内部格点数为时，如图： 格点多边形的面积为． ④控制边上格点数为，内部格点数为时，如图： 格点多边形的面积为． （4）⑤根据表格可得，边上格点数为时，内部格点数每增加，格点多边形面积增加． 任务三：⑥根据题意可得，当时，； 当时，； 当时，； 以此类推，、、之间的数量关系式为． 15．（2026·安徽安庆·一模）用长度相等的木棍按一定规律拼成的图案，其中第1个图案用了12根木棍拼成1个正六边形和2个正方形，第2个图案用了20根木棍拼成2个正六边形和3个正方形： (1)第3个图案中用了28根木棍拼成了_____________个正六边形和_____________个正方形； (2)第个图案中用的木棍根数为_____________个（用含的代数式表示）； (3)如果现有木棍根数为212个，求拼成的图案中正六边形的个数和正方形的个数． 【答案】(1)3，4 (2) (3)由212根木棍拼成的图案中正六边形有26个，正方形有27个 【详解】（1）解：第3个图案中用了28根木棍拼成了3个正六边形和4个正方形； （2）解：第1个图案用了根木棍， 第2个图案用了根木棍， 第3个图案用了根木棍， ……， 第个图案用了根木棍； （3）解：由题意得， 解得， 第1个图案拼成1个正六边形和2个正方形， 第2个图案拼成2个正六边形和3个正方形， 第3个图案拼成3个正六边形和4个正方形， ……， 第个图案拼成26个正六边形和27个正方形． 答：由212根木棍拼成的图案中正六边形有26个，正方形有27个． 16．（2026·安徽合肥·一模）项目式学习 【任务一 阅读学习】我国南宋时期数学家杨辉于年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式：． (1)【任务二 应用体验】根据图表直接写出_________． (2)【任务三 拓展提升】 ①若，其中为各项系数，则_________； ②若，其中为各项系数，则求_________． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查了二项式定理、多项式展开式的系数计算以及赋值法求系数和，熟练掌握二项式展开式的规律与赋值法是解答本题的关键． （1）根据图表规律，直接写出的展开式； （2）①利用二项式展开式的通项公式，结合图表系数规律，展开，确定对应项的系数并求和； ②利用赋值法，令代入展开式，通过等式变形求出所有系数的和． 【详解】（1）解：由图表可得：； （2）解：①由图表得： ，，，，，，， ； ②令，则变形为 ， 即， ． 17．（2026·安徽淮南·一模）把8个棱长为的小正方体木块在地面上堆成如图所示的立体图形． (1)请利用图2中的网格画出这个几何体从正面看、从左面看和从上面看到的形状图． (2)如果再添加一些相同的小正方体木块，并保持这个几何体从正面看和从上面看到的形状图不变，那么最多可以再添加________个小正方体木块； (3)若向露出的表面部分喷漆，若需要漆，那么需要用漆多少？ 【答案】(1)画图见解析 (2) (3) 【分析】本题考查从不同方向看几何体，表面积的计算． （1）画出根据从不同方向看到的图形即可； （2）根据保持这个几何体从正面看和从上面看到的形状图不变，从上面看到的形状图中标出数据，即可求解． （3）先求解表面积，再进一步列式计算即可． 【详解】（1）解：从正面看、从左面看和从上面看到的形状图，如图所示； （2）解：根据从正面看和从上面看到的形状图不变，如图： 最多可以再添加3个小正方体． （3）解：图形的表面积（露出的表面）为：， ∴需要用漆； 18．（2026·安徽芜湖·一模）下面对每一列数，通过观察归纳，给出每个序列中的后继项： (1)，，，，，___________； (2)2，5，9，14，20， ； (3)小明把从0开始的自然数按照以下规则排序，按照从左到右的顺序，第行最后一个数是___________（用含的式子表示），并求出2026是第几行从左到右数的第几个数． 【答案】(1) (2) (3)，2026为第64行从左到右数的第11个数 【分析】根据题意找数字变化规律即可． 【详解】（1）解：根据题意观察得：； （2）解：根据题意观察得： 则 则为：； （3）解：由题可知， 第一行第一个数为：0， 第二行第一个数为：1， 第三行第一个数为：， 第四行第一个数为：， 第五行第一个数为：， 第行第一个数为：， 第行最后一个数为：， 当时，第一个数为：， 则到共11个数， 故为第行从左到右数的第个数． 19．（2026·安徽阜阳·一模）【问题背景】小林和小明在探究“5、8、13、20、29、…”这列数字的第个数字是什么时，他们之间有不同的方法． (1)【小林】他发现这组数据中后一个数字减去前一个数字的差分别是3、5、7、9、…，后一个数字也恰好等于前一个数字加上他们的差，如： 、、、，… 按此规律，我们发现第个数字就是：________的和；这一列数据求和又该如何计算？ 小林翻阅资料发现：在计算时，是按照下列方法计算： ， 按此规律，________；请你按此规律计算出第个数字是________； (2)【小明】小明联想到在“完全平方公式”的证明时，采用数形结合的方式进行证明．于是小明发现“5、8、13、20、29…”这列数字可对应下列图案： 每个图案的外围有________个点，而中间点的数量是按照“1、4、9、16、25…________”（填第个图案中间点的数量）延续下去，于是我们可以知道第个图案的点数由两部分组成，从而求出第个数字． (3)【规律应用】结合上述两种方法，请你运用“数形结合”思想，通过画图来探究“4、10、18、28、40、…”第个数字是什么？请画出对应图案． 【答案】(1)；； (2)4； (3)；图见解析 【分析】（1）观察这组数据中的最后一个数字，得出规律即可写出第个数字；第二空仿照示例即可求解；第个数字为，根据求和公式计算即可； （2）观察图案，得出规律即可得解； （3）根据所给数列，画出规律的图案，即可解答． 【详解】（1）解：按此规律，我们发现第个数字就是：； ， 第个数字为： ； （2）解：每个图案的外围有4个点，而中间点的数量是按照“1、4、9、16、25…”（填第个图案中间点的数量）延续下去， 故答案为：4；； （3）解：画出图形如下： 图案上面的点的数量是按照“1、4、9…”延续下去，图案下面的点的数量是按照“3、6、9…”延续下去， ∴第个数字是． 20．（2026·安徽安庆·一模）围棋起源于中国，至今已有4000多年的历史，围棋使用圆形黑白两色棋子在方形格状的棋盘上博弈．现用黑白棋子围成下列图案： (1)第n个图案中黑色棋子的个数为________，白色棋子的个数为________． (2)结合图案中两色棋子的排列方式及上述规律，当第n个图案中黑色棋子比白色棋子多21个时，求n的值． 【答案】(1)， (2)n的值为10． 【分析】本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是根据各个图形中棋子的颗数发现规律． （1）观察图形发现图形的规律，然后用规律写出第n个图案中黑色棋子的个数与白色棋子的个数即可； （2）由题意得：，解出即可． 【详解】（1）解：第1个图案中黑色棋子的个数为，白色棋子的个数为； 第2个图案中黑色棋子的个数为，白色棋子的个数为； 第3个图案中黑色棋子的个数为，白色棋子的个数为； 第4个图案中黑色棋子的个数为，白色棋子的个数为； ， 第n个图案中黑色棋子的个数为，白色棋子的个数为； 故答案为：，； （2）解：由题意得：， 解方程得：， 所以正整数n的值为10． 21．（2026·安徽合肥·一模）能构成直角三角形三边长的三个正整数a，b，c称为勾股数，a，b，c满足，世界上第一次给出勾股数公式的是我国古代数学著作《九章算术》．观察下列勾股数： 第一类：，，，． 第二类：，，，． (1)任写一组勾股数满足第一类形式为________； (2)假设第二类每组勾股数第一个数记为m，用含有m式子表示这组勾股数________，并证明你的猜想． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)，证明见解析 【分析】（1）根据第一类每组勾股数的三个数之间的规律可得答案； （2）根据第二类每组勾股数的变化规律，猜想并证明即可． 【详解】（1）解：取第一个数为11，第二个数为60，第三个数为61， ∵，， ∴， 故一组勾股数满足第一类形式为（答案不唯一）； （2）解：可猜想：第二类每组勾股数的第一个数为偶数，记为m，则． 证明：， ， ∴， m为偶数，且，故和为正整数， ∴是一组勾股数． 22．（2026·安徽合肥·一模）【项目主题】 某校数学社团开展“幻方与生活”实践活动，探究幻方的数式规律，并尝试将幻方思想应用于校园艺术节的灯箱阵列布置中． 【项目准备】 （1）幻方定义：在一个由若干个连续自然数排成的正方形方格中，如果每行、每列及两条对角线上的数的和都相等，那么这个方格表就叫做幻方，相等的和叫做幻和． （2）如图1是由1－9这9个数构造的一个三阶幻方． 【规律探究】 (1)观察图1，中心数是5，该三阶幻方的幻和（即幻和等于中心数的3倍）．若将图1中每个数都加上同一个正整数k，得到一个新的三阶幻方，则新幻方的幻和 （用含k的代数式表示） (2)若用m，，， …，这9个连续正整数构造一个三阶幻方，则幻和 （用含m的代数式表示）． (3)如图2是一个由1－16这16个数构造的经典四阶幻方，幻和.若将每个数都加上同一个整数k，得到一个新的四阶幻方，则新幻方的幻和 （用含k的代数式表示）． 【项目分析】 校园艺术节期间，数学社团负责在广场上布置一个“幻方灯箱阵列”．具体要求如下： 灯箱阵列为的方形阵列，共16个灯箱．每个灯箱上贴一个数，要求整个阵列构成一个四阶幻方．灯箱中的数必须是从某一起始数开始的连续自然数． (4)现有两种备选方案： 方案一：用1－16这16个连续自然数构造幻方（如图2所示）． 方案二：用5－20这16个连续自然数构造幻方．则方案二的幻和： ． 每个灯箱的制作成本为20元，数字贴纸费用为每个数字1元（即每个数按数字的个数收费，如贴纸8收费1元，贴纸37收费2元）．计算方案一总成本： 元． 【项目实施】 (5)根据以上分析，若社团要求灯箱上幻和为62，且数为连续自然数，此时总成本为 元． 【答案】(1) (2) (3) (4)50；343 (5)350 【分析】（1）根据幻方特征列出代数式即可； （2）根据幻方特征列出代数式即可； （3）根据幻方特征列出代数式即可； （4）根据幻方特征求出幻和，然后求出数字的个数，计算成本即可； （5）根据幻和求出值，确定该连续的16个自然数，然后求出数字的个数，计算成本即可． 【详解】（1）解：； （2）解：由题意可知，该三阶幻方的中心数为， ∴幻和； （3）解：； （4）解：， 方案一中个位数有9个，两位数有（个）， ∴成本为（元）； （5）解：当时，解得， ∴16个连续自然数为8－23， ∴个位数有2个，两位数有（个）， ∴成本为（元）． 23．（2026·安徽滁州·一模）某数学兴趣小组为探究剪切多边形纸片所得三角形纸片张数问题，先从三角形纸片开始探究．如图，先在三角形纸片内依次添加1个点、2个点、3个点……，包含三角形顶点在内的所有点中每三个点均不共线，然后用剪刀沿两点的连线（图中虚线，不交叉）剪开，得到若干张三角形小纸片，列出小纸片的张数与点的个数（含三角形三个顶点）的关系如下表： 点的个数 4 5 6 7 8 … 小纸片的张数 3 5 7 9 … 类比剪切三角形纸片的方法，依次探究四边形和五边形纸片的剪切问题． 在四边形纸片上剪切，列出三角形小纸片的张数与点的个数的关系如下表： 点的个数 5 6 7 8 … 小纸片的张数 4 6 8 10 … 在五边形纸片上剪切，列出三角形小纸片的张数与点的个数的关系如下表： 点的个数 6 7 8 9 … 小纸片的张数 5 7 9 11 … 依据以上信息，完成下列问题： (1)的值是_________； (2)直接写出与的关系式，并求当四边形纸片上共有100个点（含顶点，每三个点不共线）时，可以剪切成多少张三角形小纸片； (3)若四边形纸片上点的个数比五边形纸片上点的个数少1（含顶点，每三个点不共线），且两张纸片共剪切成2025张三角形小纸片，求四边形纸片上点的个数． 【答案】(1)11 (2)194张 (3)509 【分析】（1）由已知数据可知，点数每增加1，小纸片的张数增加2； （2）根据已知数据找出两者间数量关系，即可求解； （3）先找出p与q的关系，设四边形纸片上点的个数为个，则五边形纸片上点的个数为个，根据“两张纸片共剪切成2025张三角形小纸片”列一元一次方程，即可求解． 【详解】（1）解：点的个数为8时，小纸片的张数为11，即的值是11； （2）解：与的关系式为， 时，， 可以剪194张小纸片． （3）解：p与q的关系式为， 设四边形纸片上点的个数为个，则五边形纸片上点的个数为个． 根据题意得，解得 答：四边形纸片上点的个数为509． 24．（2026·安徽合肥·一模）【观察思考】 【规律发现】 (1)第5个图案中“◎”的个数为_____； (2)第1个图案中“★”的个数可表示为，第2个图案中“★”的个数可表示为，第3个图案中“★”的个数可表示为，第4个图案中“★”的个数可表示为，．．．，第个图案中“★”的个数可表示为_____． 【规律应用】 (3)结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数，使得连续的正整数之和等于第个图案中“◎”的个数的3倍． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据图形得出规律即可； （2）根据题意得出规律即可； （3）根据题意可知第个图案中“◎”的个数为个，，故可得出方程，解出的值即可． 【详解】（1）解：∵第1个图案中“◎”的个数为个； 第2个图案中“◎”的个数为6个； 第3个图案中“◎”的个数为9个； 第4个图案中“◎”的个数为12个； …… 第个图案中“◎”的个数为个； ∴当时，“◎”的个数为个． （2）解：结合题干信息，得出规律， 第个图案中“★”的个数可表示为． （3）解：第个图案中“◎”的个数为个， ∵， 结合题意，得出方程， 化简得， 解得（舍去）或． 25．（2026·安徽合肥·一模）综合与实践 阅读下列材料，完成相关任务： 如图，有一种类型的装饰图案是在边长为1的小正方形组成的网格中裁剪而成，数学兴趣小组成员在计算这些图案的面积时，积极采用数学课上同学们总结出来的方法．小明采用了如图甲的“割法”，小亮采取了如图乙的“补法”，但都分别求出图1的面积，图2的面积，图3的面积，图4的面积，… (1)从小明和小亮的方法中任选一种，写出图5的面积______； (2)若用小明的方法求图的面积，______，用小亮的方法求图的面积______； (3)在研究这些装饰图案的面积时，小明还发现前面三个图案的面积符合，于是猜想其他连续的三个图案面积也满足上述关系，请你判断小明的猜想是否正确，并说明理由． 【答案】(1)29 (2)， (3)小明的猜想错误，理由见解析 【分析】（1）根据前四项，即可写出图5的面积； （2）分别根据小明的“割法”和小亮的“补法”，根据前四项，总结规律，即可求解； （3）小明的猜想：，利用规律根据乘法公式分别计算左右两边的式子，比较即可判断． 【详解】（1）解：，，，，…， 计算相邻两项的差，，，， 差是3，5，7，是连续的奇数，下一个差为9， ∴； （2）解：小明的“割法”： ， ， ， ， ， ； 小亮的“补法”： 补法是把图案补成一个大正方形，再减去多余部分， 图1补成正方形，面积9，减去4个小正方形(每个面积1)，； 图2补成正方形，面积16，减去8个小正方形，； 图3补成正方形，面积25，减去12个小正方形，； 图4补成正方形，面积36，减去16个小正方形，； 规律：大正方形边长为，面积，减去个小正方形， 即：； （3）解：小明的猜想：， 左边： ； 右边： ； 比较：， ∴小明的猜想错误． 26．（2026·安徽合肥·一模）数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为（x，y均为自然数）”的问题． (1)指导教师将学生的发现进行整理， 部分信息如表格所示（n为正整数）．按表中规律，完成下列问题： 奇数 的倍数 表示结果 一般结论      ______ ①（   ）2　－（   ）2　； ② （ 用含n 的代数式表示） (2)兴趣小组还猜测：像2，6，10，14， …这些形如（n为正整数）的正整数N不能表示为（x，y均为自然数）．师生一起研讨，分析过程如下，请你补全过程． 假设，其中x，y均为自然数，分下列三种情形分析： ①若x，y均为偶数，设，，其中k，m均为自然数， 则为4的倍数，而不是4的倍数，矛盾． 故x，y不可能均为偶数． ②若x，y均为奇数，设，，其中k，m均为自然数，则 为4的倍数． ③ 若x，y一个是奇数一个是偶数，则是奇数， 是偶数，所以x，y不可能一个是奇数一个是偶数． (3)由①②③可知，猜测 ．（填“正确”或“错误”） 【答案】(1)①7，5；② (2)② (3)正确 【分析】（）①根据规律即可求解； ②根据规律即可求解； （）利用完全平方公式展开，再合并同类项，最后提取公因式即可； （3）运用（）的过程进行作答即可． 本题考查了平方差公式，完全平方公式，掌握平方差公式和完全平方公式的运算是解题的关键． 【详解】（1）解：由规律可得，， 故答案为：，； 由规律可得，， 故答案为：； （2）解：假设，其中均为自然数． 分下列三种情形分析： 若均为偶数，设，，其中均为自然数， 则为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为偶数． 若均为奇数，设，，其中均为自然数， 则为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为奇数． 若一个是奇数一个是偶数，则为奇数． 而是偶数，矛盾．故不可能一个是奇数一个是偶数． 由可知，猜测正确． 故答案为：． （3）解：依题意，由①②③可知，猜测正确 故答案为：正确 27．（2026·安徽合肥·一模）[观察思考] 图1是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了层． 【规律总结】 将图1倒置后与原图1拼成图2的形状，这样我们可以算出图1中所有圆圈的个数为 (1)当有层时，图中共有__________个圆圈； (2)如果图中的圆圈共有层，我们从上往下，在每个圆圈中都按图3的方式填上一串连续的正整数，则最底层最左边这个圆圈中的数是__________； [问题解决] (3)如果图中的圆圈共有层，我们从上往下，在每个圆圈中都按图的方式填上一串连续的整数，求图中所有圆圈中各数的绝对值之和． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）已知层的总圆圈个数公式，将时，代入公式即可解答； （）要求第层最左边的数，先通过公式算出前层的总圆圈数为，再用前层总圆圈数加，得到第层最左边的数是； （）先算出层的总圆圈数，确定其中负数、和正数的数量，再计算所有数的绝对值之和，最终结果为． 【详解】（1）解：已知层的总圆圈个数公式为：， 当时，代入公式得： ； （2）解：最底层第层最左边的数前层总圆圈数， 先算前层总圆圈数：； ∴第11层最左边的数是； （3）解：先算层总圆圈数：， 其中个负数，个，个正数， 按题图方式填数后所有圆圈中各数的绝对值之和 ． 28．（2026·安徽合肥·一模）[观察发现]通过下面简单的运算，我们发现：，，，…，． [抽象概括]一般地，对于正整数，，如果满足时，称为一组完美方根数对. [模仿运用]判断数对与是否是完美方根数对？为什么？ [拓展解决]若是一组完美方根数对，求的值． 【答案】是完美方根数对，不是完美方根数对； 【分析】本题主要考查了二次根式的性质、新定义的理解与应用以及一元二次方程的解法等知识点，熟练掌握根据新定义列出方程并求解是解题的关键． 模仿运用：根据完美方根数对的定义，分别将数对和代入等式，验证等式是否成立． 拓展解决：将代入定义式，通过解方程求出的值，并根据为正整数的条件进行取舍． 【详解】解：模仿运用：, 是完美方根数对． ， 不是完美方根数对． 拓展解决： 是一组完美方根数对， ， ， ， ， ,， 为正整数， ． 29．（2026·安徽亳州·一模）综合与实践 【项目主题】数学兴趣小组研究某款自行车所用链条的节数 【项目准备】 （1）如图，节链条由个直径为的圆圈和个连接两个圆圈之间的部分组成，其长度为； （2）节链条由个直径为的圆圈和个连接两个圆圈之间的部分组成，其长度为； （3）节链条由个直径为的圆圈和个连接两个圆圈之间的部分组成，其长度为； …… 【问题解决】 (1)请直接写出节链条的长度为______cm； (2)根据上述规律，猜想节链条的长度为______（用含的式子表示）； 【实际应用】 (3)已知主动轮的直径为，从动轮的直径为，连接主动轮与从动轮的链条与相切于点，，与相切于点，，如图，若，求这辆自行车所用链条的节数．（参考数据：） 【答案】(1) (2) (3)这辆自行车大约需要节链条 【分析】（1）根据每增加节链条，链条的长度增加解答即可； （2）根据（1）中的计算过程找出规律即可； （3）过点作于，根据切线的性质得出四边形为矩形，利用三角函数求出，求出，，利用弧长公式，结合的长，求出链条总长度，利用（2）中所得规律即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴每增加节链条，链条的长度增加， ∴节链条的长度为． （2）解：节链条的长度为， 节链条的长度为， 节链条的长度为， …… ∴节链条的长度为． （3）解：过点作于， ∵主动轮的直径为，从动轮的直径为， ∴，， ∵连接主动轮与从动轮的链条与相切于点，，与相切于点，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴链条长度为， ∴， 解得（节）， 答：这辆自行车大约需要节链条． 30．（2026·安徽六安·一模）我们知道形状相同的三角形或四边形均可以进行镶嵌．如图，用正三角形、正四边形和正六边形按图中所示的规律拼图案． (1)按图中所示的规律拼接， 完成平面镶嵌；（填“能”或“不能”） (2)第个图案有个正方形，第个图案有个正方形，第个图案有个正方形，…，按此规律摆下去，则第个图案有个正方形；（用含的代数式表示） (3)若正多边形的边长为，在上面的一组图案中是否存在这样的图案：所有正方形的边长之和比所有正六边形的边长之和大？若存在，求出是第几个图案；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)能； (2)； (3)不存在，见解析． 【分析】（1）算出正三角形、正四边形和正六边形的内角，根据平面镶嵌的性质判断即可； （2）根据图案的规律进行推理即可； （3）根据图案规律推出第第个图案中正方形、正六边形的个数，再根据所有正方形的边长之和比所有正六边形的边长之和大，列方程求解即可． 【详解】（1）能，∵正三角形的每一个内角是，正方形的每一个内角是，正六边形的每一个内角是， 观察图案的拼接点，可发现：，拼接点处的内角和恰好为，满足平面镶嵌的条件； （2）第个图案有个正方形，即， 第个图案有个正方形，即， 第个图案有个正方形，即， …… 观察以上规律，第个图案有个正方形 （3）不存在，理由如下： 设第个图案中所有正方形的边长之和比所有正六边形的边长之和大， ∵由（2）可得第个图案中有个正方形， ∵由图案观察，第个图案中有个正六边形， 即：， 解得：， ∴显然不符合题意， ∴不存在这样的图案． 31．（2026·安徽马鞍山·一模）观察以下等式： ①； ②； ③； ……． 按照以上规律，解决下列问题： (1)请再写出一个等式______； (2)数学活动课上，王老师给学生变了一个魔术：他让学生任意想一个两位数，然后用这个两位数减去十位数字和个位数字，再将所得差的个位数字与十位数字相加，王老师便能猜中最后的结果． ①王老师猜的结果是______； ②若设最初想的两位数的十位数字是a，个位数字是b，请你利用上面的规律解释这个魔术的原理． 【答案】(1) (2)①9；②见解析 【分析】此题考查了运用有理数的运算解决数字问题的能力，关键是能根据题意准确列式、计算、推理． （1）模仿示例写出结果即可； （2）①试值进行计算，可求得此题结果；②由题意用a、b列式进行计算推理， 【详解】（1）解：； 故答案为： （2）解：①取数字92，由题意得：， ∴王老师猜的结果是9； 故答案为：9 ②由（1）得：， ∵原两位数的十位数字是a，个位数字是b， ∴原两位数可表示为，减去十位数字和个位数字后得． ∵， ∴可以表示为， ∴其十位数字为，个位数字为， ∴， ∴不论开始的两位数是多少，最后结果均为9． 32．（2026·安徽芜湖·一模）如图1，用相同的小木棒按如图方式拼成图形． (1)按图形规律完成下表： 图形 1 2 3 4 5 … 所用木棒根数 6 14 22 … (2)按这种方式拼下去，则图形n需要 根小木棒（用n的代数式表示）； (3)如图2，将图形n放在直角坐标系中，设一根小木棒长度为2，图形1的中心为，图形2的中心为，以此类推，则的坐标是 ． 【答案】(1)30，38； (2) (3) 【分析】（1）观察图形发现，图形n所用木棒根数为，据此完成表格即可； （2）根据（1）所得规律作答即可； （3）标记各点，过点、、、作轴的垂线，垂足分别为、、、，连接、，由题意可知，六边形是正六边形，分别求出，，，，观察发现，即可得解． 【详解】（1）解：由题意可知，图形1所用木棒根数为， 图形2所用木棒根数为， 图形3所用木棒根数为， …… 观察发现，图形n所用木棒根数为， 则图形4所用木棒根数为，图形5所用木棒根数为； （2）解：由（1）可知，按这种方式拼下去，则图形n需要根小木棒 （3）解：如图，标记各点，过点、、、作轴的垂线，垂足分别为、、、，连接、， 由题意可知，六边形是正六边形， ，，，， ， ， ，， 是等边三角形， ，， ， ， 同理可证，，， ，，， ，，， ， 的坐标是，即． 33．（2026·安徽马鞍山·一模）观察下列图形与等式的关系： 第1个图 第2个图 第3个图 第4个图 …… 根据图形及等式的关系，解决下列问题： (1)第5个图中空白部分小正方形的个数是______，第6个图中空白部分小正方形的个数满足的算式：______； (2)用含的等式表示第个图中空白部分小正方形的个数反映的规律：______； (3)运用上述规律计算：． 【答案】(1)11， (2) (3)2025 【分析】本题考查图形变化的规律，有理数的混合运算等知识点， （1）根据题图找出规律即可得解； （2）根据题图找出规律即可得解； （2）根据题图找出的规律计算即可得解； 能根据所给等式写出图n空白部分小正方形个数满足的等式是解题的关键． 【详解】（1）解：由图知：第5个空白小正方形的个数为，第6个空白小正方形的个数算式应为：， 故答案为：11，； （2）解：由题图知， 图①空白部分小正方形的个数是； 图②空白部分小正方形的个数是； 图③空白部分小正方形的个数是； …， 所以图n空白部分小正方形的个数是：， 故答案为：； （3）解：由（2）问规律可计算得， ． 34．（2026·安徽蚌埠·一模）观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：______； (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明． 【答案】(1) (2)第个等式为，证明见解析 【分析】（1）观察前4个等式的规律即可； （2）使用平方差公式进行展开即可． 【详解】（1）解：观察规律可得，第5个等式为； （2）解：猜想：第个等式为， 证明：∵左边， 又∵右边． ∴左边=右边， ∴原等式成立． 35．（2026·安徽马鞍山·一模）综合与实践 【提出问题】如何利用正边形纸片制作有盖的正棱柱形收纳盒． 【理解题意】正棱柱是上下底面为正边形的直棱柱． 【拟定计划】为了解决问题，可以运用归纳策略寻找规律，先从简单的情形入手，再逐次递进，最后得出一般性结论． 【实施计划】将一个正边形硬纸片沿虚线剪开，折成一个有盖的收纳盒，其中收纳盒的上底面盖子由纸片中的阴影部分拼接得到． 根据上表信息，完成下列填空： （1）________；_______；_______. （2）________，与之间满足的等量关系为_______； 【回顾反思】 （3）按照上述方式，若想折出一个底面边长为的正八棱柱形有盖收纳盒，需要使用边长为多少的正八边形硬纸片？ 【答案】（1），，；（2），；（3）需要使用边长为的正八边形硬纸片 【分析】本题考查了图形类规律探究． （1）根据前几个图形的角度关系，找到规律，即可求解． （2）根据前几个图形的边长关系，找到规律，即可求解． （3）根据（2）的结论，即可求解． 【详解】解：（1）， 则， ， 故答案为：，，． （2）根据规律可得， 故答案为：，． （3）由（2）可得，则 答：需要使用边长为的正八边形硬纸片 36．（2026·安徽阜阳·一模）综合与实践 【项目主题】 某工程队拟用正三角形和正方形地砖铺设某广场的中央地面． 【项目准备】观察下列算式，并完成填空： ； ； ； ； ①______．（是正整数） 【项目分析】 如图，这是该工程队铺设的广场规划图案，图案中央是一块正六边形地砖，周围是正方形和正三角形的地板砖．从里向外，第1层包括6块正方形和6块正三角形地板砖；第2层包括6块正方形和18块正三角形地板砖；以此递推． （1）第3层中分别含有②______块正方形和③______块正三角形地板砖． （2）第层中分别含有④______块正方形和⑤______块正三角形地板砖．（用含的代数式表示） 【项目实施】 若1块正六边形地砖的成本为20元，1块正方形地砖的成本为8元，1块正三角形地砖的成本为5元，通过估算需要90块正方形地板砖，则铺设完广场总的成本大约为⑥______元． 请将上述材料中横线上所缺的内容补充完整： ①______；②______；③______；④______；⑤______；⑥______． 【答案】①；②6；③30；④6；⑤；⑥7490 【分析】①观察算式找出规律即可； （1）观察图形数出正方形和正三角形块数； （2）根据前三层正方形和正三角形块数找出规律； ⑥找出需要正三角形块数，进而确定答案． 【详解】解：①根据题意得从1开始连续奇数的和等于奇数个数的平方，所以； （1）∵第一层包括6块正方形和6块正三角形地板砖， 第二层包括6块正方形和块正三角形地板砖， ∴第三层包括6块正方形和块正三角形地板砖． （2）∵第一层包括6块正方形和块正三角形地板砖， 第二层包括6块正方形和块正三角形地板砖， 第三层包括6块正方形和块正三角形地板砖， ∴第n层包括6块正方形和块正三角形地板砖． ⑥（层）， 需要正三角形地板砖（块）， 则铺设完广场总的成本大约为（元）． 37．（2026·安徽芜湖·一模）项目式学习： 【研究背景】你知道古埃及人怎样表示分数吗？他们用分子是1、分母是某一自然数（0和1除外）的分数（即几分之一）作为分数单位，并用它们的和表示其他分数（除外）．例如，他们想表示，不用“”，而是用“”来表示，我们把这种分子为1的真分数叫作“埃及分数”． (1)任务一【理解题意】三个不同的“埃及分数”的和表示可以是________； (2)任务二【类比进阶】对于分数，如何用两个“埃及分数”表示呢？兴趣小组提出两种解法如下： 方法一：，，； 方法二：； 任选一种思路：将用两个“埃及分数”表示为________； (3)任务三【探究方法】兴趣小组进一步研究发现，对于任意分子为2的真分数，当分母为奇数时，可用两个“埃及分数”表示如下： ……① ……② ……③ …… 则根据上述规律，写出第⑥个等式为________，猜想第n个等式为________，并证明你的猜想； (4)任务四【拓展应用】根据猜想结果，直接将（其中且k为奇数）写成两个分母不同的“埃及分数”的和的形式为________． 【答案】(1)（答案不唯一） (2) (3)，第n个等式为，证明见解析 (4) 【分析】（1）根据即可求解； （2）方法一：先找出小于的“埃及分数”，再用减去这个“埃及分数”，看结果是否为“埃及分数”即可；方法二：先将的分子分母扩大相同倍数，再将分子拆成两个数的和，然后分别化简即可； （3）观察已知等式，找出等式中分子与分母变化 规律，进而根据规律写出第⑥和第n个等式，并进行证明即可； （4）根据第（3）问的猜想结果，将写成两个“埃及分数”的和的形式即可． 【详解】（1）解：∵， ∴将用三个“埃及分数”表示为（答案不唯一）； （2）解：方法一：∵，， ∴； 方法二：∵ ∴将用两个“埃及分数”表示为； （3）解：观察已知的等式，发现等式左边的分子都要是2，依次为3，5，7，…，是连续的奇数，第n个等式左边的分母为 ；等式右边第一个分数的分母依次为2，3，4，…，第n个等式右边第一个分数的分母为，第二个分数的分母为等式左边的分母与右边第一个分数分母的乘积，即， 所以第⑥个等式中，，左边分母为，右边第一个分数的分母为，第二个分数的分母为， 所以第⑥个等式为； 根据上述规律，猜想第n个等式为， 证明：右边 左边． （4）解：由（3）可知： 当且k为奇数时，， ∴． 38．（2026·安徽淮南·一模）综合与实践 月饼的制作和包装问题 【项目背景】中秋的月饼寓意着团圆和美满．某校九年级学生在老师的带领下到某食品厂参加社会实践．实践中，发现包装车间包装月饼有两种方案（如图）：方案1：“长长久久”系列，用圆柱体盒子包装1大8小共9个月饼；方案2：“八方来福”系列，用长方体盒子包装2大6小共8个月饼． 【项目分析】 (1)若要包装10盒月饼，则需要从制作车间领取的月饼数见下表： “长长久久”盒数 1 2 3 4 5 6 ．．． “八方来福”盒数 9 8 7 6 5 4 ．．． 大月饼/个 19 18 17 16 15 ．．． 小月饼/个 62 64 66 68 70 ．．． 表格中___________，___________．若“长长久久”系列的月饼有盒，则需要从制作车间领取大月饼个，小月饼___________个（用含的式子表示）． (2)小明从地上捡到一张污损的领货单，如图： 小明看完这张领货单，对周围的同学说：“这张领货单上的数据有误”．你认为小明的说法正确吗？请说明理由． 【项目决策】 (3)生产车间共有10名月饼制作师，每人每天能制作大月饼20个或小月饼150个（每人每天只制作一种月饼）．现要求一天内制作出的月饼只组装成“长长久久”系列礼盒（允许月饼有剩余）且不少于80盒，请你给出所有的用工方案． 【答案】(1)14；72； (2)小明的说法是正确的，理由见解析 (3)有两种用工方案：①安排4名月饼制作师制作大月饼，6名月饼制作师制作小月饼；②安排5名月饼制作师制作大月饼，5名月饼制作师制作小月饼 【分析】（1）根据两种系列中，大月饼与小月饼的个数列式计算即可； （2）根据共计领取月饼453个建立一元一次方程，解方程即可； （3）根据礼盒数量不少于80盒建立一元一次不等式组，解不等式组即可． 【详解】（1）解：由题意得：，， ∵若“长长久久”系列的月饼有盒，需要从制作车间领取大月饼个， ∴“八方来福”系列的月饼的盒数为（盒）， ∴需要从制作车间领取小月饼的个数为（个）． （2）解：小明的说法是正确的，理由如下： 设领货单中包装“长长久久”系列月饼盒，则“八方来福”系列的月饼盒， 由题意得：， 解得，这与领货单上的月饼50盒矛盾， 所以小明的说法是正确的． （3）解：设安排名月饼制作师制作大月饼，则安排名月饼制作师制作小月饼， 由题意得：， 解得， ∵为正整数， ∴的取值为4或5， 当时，； 当时，； 综上，有两种用工方案：①安排4名月饼制作师制作大月饼，6名月饼制作师制作小月饼；②安排5名月饼制作师制作大月饼，5名月饼制作师制作小月饼． 39．（2026·安徽芜湖·一模）观察图形，解答以下问题： (1)填空： 第①个图中“M”黑点的个数与白点的个数之差为1； 第②个图中“M”黑点的个数与白点的个数之差为3； 第③个图中“M”黑点的个数与白点的个数之差为________； 以此类推…， 第n个图形中黑点的个数与白点的个数之差为________．（用含有n的式子表示） (2)若第n个图形中“M”黑点的个数与白点的个数之差为28，试求n的值． 【答案】(1)6； (2)7 【分析】（1）观察图形可知，第③个图形中黑点的个数与白点的个数之差，然后分析前几个图形中黑点个数与白点个数之差的规律，推导出第n个图形的差值公式； （2）利用（1）中规律求解即可． 【详解】（1）解：观察图形可知：第③个图形中黑点的个数与白点的个数之差为6， 第①个图形中黑点的个数与白点的个数之差为， 第②个图形中黑点的个数与白点的个数之差为， 第③个图形中黑点的个数与白点的个数之差为， …… 以此类推，第个图形中黑点的个数与白点的个数之差为； （2）解：根据题意，得， 解得，（不符合题意，舍去）． 40．（2026·安徽宿州·一模）综合与实践 【项目主题】n个四边形最多可以把平面分成多少个区域？ 【项目探究】为了探究规律，先从最简单的情形入手，从中找到解决问题的方法，最后得出一般性的结论． 【预备知识】设，则． 【探究一】条直线最多可以把平面分成几个区域？ 的数量 思考方式 结果与算式 1条直线 如图1-1，1条直线把平面分成2个区域； 2个区域 2条直线 如图1-2，要使分成的区域尽可能的最多，则第2条直线要与第1条直线相交可以将平面分成4个区域； （个）区域 3条直线 如图1-3，将第3条直线与前面2条直线尽可能两两相交，这样就会得到2个交点，这2个交点将第3条直线分为了2条射线和1条线段，这样就多了（个）区域，所以3条直线最多将平面分成7个区域； （个）区域 4条直线 如图1-4，平面中有4条直线时，将第4条直线与前面3条相交直线尽可能两两相交，这样就会得到3个交点，这3个交点将第4条直线分为了2条射线和2（条）线段，这样就多了（个）区域，所以4条直线最多将平面分成11个区域； （个）区域 5条直线 如图1-5，…… 最多有①___________个区域 (1)最多有①___________个区域 【结论归纳】 (2)条直线最多可以把平面分成②___________（个）区域；（用含的代数式表示并化简） 【探究二】个圆最多可以把平面分成几个区域？ 的数量 思考方式 结果与算式 1个圆 如图2-1，1个圆将平面分成2个区域； 2个区域 2个圆 如图2-2，为了使分成的区域最多，应使新增加的圆与前1个圆有2个交点，将新增加的圆分成2个区域，从而增加2个区域，所以用2个圆最多能把平面分成4个区域； （个）区域 3个圆 如图2-3，为了使分成的区域最多，应使新增加的圆与前2个圆分别有2个交点，将新增加的圆分成（个）区域，从而增加4个区域，所以用3个圆最多能把平面分成8个区域； （个）区域 4个圆 如图2-4，…… 最多共有③________个区域 (3)最多共有③________个区域 【结论归纳】 (4)个圆最多可以把平面分成④___________（个）区域；（用含的代数式表示并化简） 【探究三】个三角形最多可以把平面分成几个区域？ 的数量 思考方式 结果与算式 1个三角形 如图3-1，1个三角形将平面分成2个区域； 2个区域 2个三角形 如图3-2，1条直线最多与三角形的两条边相交，故第2个三角形的每条边最多与前面1个三角形的各两条边相交，共可产生（个）交点，即能新增加6个区域； （个）区域 3个三角形 如图3-3，1条直线最多与三角形的两条边相交，故第3个三角形的每条边最多与前面2个三角形的各两条边相交，共可产生（个）交点，即能新增加12个区域； （个）区域 …… …… …… 第个三角形的每条边最多与前面已画的个三角形的各两条边相交，共可产生交点：（个），即能新增加个区域． ⑤_________（个）区域．（用含的代数式表示并化简） (5)⑤_________（个）区域．（用含的代数式表示并化简） 【规律拓展】 (6)个四边形最多可以把平面分成⑥___________（个）区域．（用含的代数式表示并化简） 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【分析】本题考查了图形类规律探索，整式的运算，读懂题意，正确总结出规律是解题的关键． （）根据规律即可求解； （）根据规律可得条直线最多可以把平面分成，然后化简即可； （）根据规律即可求解； （）根据规律可得，然后化简即可求解； （）根据规律可得，然后化简即可求解； （）根据规律可得，然后化简即可求解． 【详解】（1）解：由条直线，个区域； 条直线，（个）区域； 条直线，（个）区域； 条直线，（个）区域； 条直线，（个）区域； 故答案为：； （2）解：条直线最多可以把平面分成 （个）， 故答案为：； （3）解：由个圆，（个）区域； 个圆，（个）区域； 个圆，（个）区域； ∴个圆，（个）区域； 故答案为：； （4）解：个圆最多可以把平面分成 （个）区域， 故答案为：； （5）解： （个）区域， 故答案为：； （6）解：当画第个四边形时，每条边最多与前面已画的个四边形的各两条边相交，共可产生交点（个），即能新增加个区域， ∵个四边形时有个区域， ∴个四边形最多将平面分成的区域数是 （个）区域， 故答案为：． 41．（2026·安徽芜湖·一模）【综合实践】 观察下列式子和对应图形中小黑点的个数之和 探究1 如图，斜线左边的三角形图案是由上到下每层依次为1，2，3，…，个小黑点排列组成的，斜线右边的倒三角形图案是由上到下每层依次为，，…，3，2，1个小黑点排列组成的，而组成整个图形的小黑点个数恰为式子的值，如图组成的整个图形恰好是一个“菱形”．则 ① （为正整数）； 探究2 如图，斜线左边的图案是由左到右每列依次为2，3，…，个小黑点排列组成的，斜线右边的图案是由左到右每列依次为，，…，3，2个小黑点排列组成的，而组成整个图形的小黑点个数恰为式子的值，如图在两端加入两个小圆圈，可将整个图案补成“菱形”，则 ② （为正整数） 【规律发现】 根据探究1和探究2中的规律，完成下列问题： (1)填空： ①______；②______；③______（为正整数）． 【规律总结】 (2)猜想： ______，（，均为正整数，且），并证明你的猜想． 【答案】(1)①；②；③； (2)，证明见解析 【分析】（1）①观察图形规律即可求解；②观察图形规律即可求解；③利用①的计算结论即可求解； （2）利用①的计算结论即可求解． 【详解】（1）解：①观察图形知，，， ……， 一般地：， 故答案为：； ②，，，……， 一般地：， 故答案为：； ③ ； 故答案为：； （2）解：． 证明：由（1）得：， ， ． 42．（2026·安徽阜阳·一模）综合与实践 【项目主题】某数学实践小组在研究教材《问题出在哪里》这部分内容的时候，对于斐波那契数列和图形拼接产生了兴趣． 【项目准备】 （）斐波那契数列知识学习：数列从和开始，之后的每一项都是前两项之和．前几项为：，，，，，，，，，，①________，，，… （）教材《问题出在哪里》内容大致如下：图是一个的正方形，将它剪成四部分后，再拼成图中的矩形． 图面积，图面积，，说明图的四个图形之间有缝隙． （）构造一个新的图形拼接：图是一个的正方形，将它剪成四部分后，再拼成图中的矩形． 图面积，图面积，，说明图的四个图形之间有重叠． （）依据斐波那契数列进行图形拼接的规律探究： 设斐波那契数列的第项为，第项为，…，第项为，第项为． 则当为偶数时，图形拼接之后四个图形之间有②________（填“缝隙”或“重叠”）； 【项目分析】依据斐波那契数列进行图形拼接可能会出现有缝隙或者重叠的现象，那么有没有可能采用另一种拼法，拼出既没有缝隙也没有重叠的矩形？ （）方案一：将图中的正方形拼接成图中的矩形，请画出分割线； （）方案二：将边长分别为斐波那契数列，，，，的一组正方形拼接成一个没有缝隙及重叠的矩形，请在图中给定网格中画出拼接后的矩形及正方形之间的分割线； 正方形的面积和为：③________； 矩形的面积正方形的面积和宽长④________（填数字）； （）方案二规律总结：将边长分别为斐波那契数列，，，，，…，的一组正方形拼接成一个没有缝隙及重叠的矩形时，矩形的面积为⑤________； 【项目实施】请将上述材料中横线上所缺内容补充完整，并将图形按照要求进行拼接： ①________；②________；③________；④________；⑤________． 【答案】①；②缝隙；③；④；⑤；图见解析 【详解】解：【项目准备】（）①； （）②斐波那契数列从和开始，之后的每一项都是前两项之和， 对于其中的每个偶数项都有，当为偶数时，图形拼接之后四个图形之间有缝隙； 【项目分析】（）如图所示，即为所求； （）如图所示，即为所求． ③正方形的面积和为：； ④矩形的面积正方形的面积和宽长， 故答案为：； （）结合（）可得，将边长分别为斐波那契数列，，，，，…，的一组正方形拼接成一个没有缝隙及重叠的矩形时，矩形的面积为． 43．（2026·安徽蚌埠·一模）新考法 项目式学习探究在数学活动课上，某兴趣小组将轴对称与有理数乘法结合起来，得到如下等式： ， ， ， ， ， … 请你根据上述等式的规律，完成下列任务： (1)填空： （i） ； （ii） (2)有同学利用代数知识证明上述等式中的规律，在证明的过程中，发现等式两边的结果为11的倍数，这名同学的证明过程如下： 设等式左边两位数的十位数字为a，个位数字为b，且， 则等式左边的式子可表示为，等式右边的式子可表示为 左边， 右边， ∴左边右边[ ]，为11的倍数． 阅读以上内容，并写出证明过程中横线上所缺的内容． 【答案】(1)（i）792，297；（ii）23，32 (2) 【分析】（1）观察题中等式即可发现规律； （2）根据整式的运算法则即可求解． 【详解】（1）解：根据题中等式的规律可得，（i）； （ii）； （2）解：对左边式子提取公因式11： ， 对右边式子提取公因式11： ， ∴横线上填：． 44．（2026·安徽阜阳·一模）新方向·项目式学习  综合与实践：某数学兴趣小组研究正方形网格中的“网格正方形”数量与规律． 【项目主题】在小正方形组成的网格中，由格点为顶点组成的正方形称为“网格正方形”．如图1，我们将边长与网格线平行的正方形称为“正网格正方形”，如正方形；像边长与网格线不平行的正方形称为“斜网格正方形”，如正方形． 【探究活动一】探究“正网格正方形”的数量规律： 在网格中，“正网格正方形”有个； 在网格中，如图2，边长为2的“正网格正方形”有1个，边长为1的“正网格正方形”有（个），故“正网格正方形”有（个）； 在网格中，如图3，边长为3的“正网格正方形”有1个，边长为2的“正网格正方形”有（个），边长为1的“正网格正方形”有（个），故“正网格正方形”有（个）； (1)在网格中，边长为2的“正网格正方形”的个数为①______； (2)在网格中，“正网格正方形”的个数共有②______个． 【探究活动二】探究“斜网格正方形”的数量规律： 在网格中，“斜网格正方形”有0个； 在网格中，如图4，“斜网格正方形”有1个； 在网格中，如图5，“斜网格正方形”有（个）； 在网格中，如图6，“斜网格正方形”有（个）… 【探究活动三】将前面的研究结果制作成表格如下： … “正网格正方形”的个数和 1 5 14 91 … “斜网格正方形”的个数和 0 1 6 20 50 … “网格正方形”的总数 1 6 20 50 … 【归纳总结】从表格中数据看出，“斜网格正方形”的个数和与“网格正方形”的总数有着非常紧密的联系，总结表格数据规律完成下列问题． 【项目应用】 (3)在网格中，“斜网格正方形”的个数和是③______． (4)在网格中，“网格正方形”的总数是④______． 【项目延伸】在的正方形网格中，已知网格正方形的总数和为，那么．设，则⑤______（⑥______）． (5)请将上述材料中横线上所缺内容补充完整： ⑤______；⑥______． 【答案】(1)9 (2)55 (3)105 (4)336 (5)⑤ ⑥ 【分析】（1）根据题意，得到在的网格中，边长为2的“正网格正方形”的个数为，即可得出结果； （2）易得网格中，“正网格正方形”的个数为， （3）观察可知网格中，“斜网格正方形”的个数和等于网格中“网格正方形”的总数，进行求解即可； （4）根据（2）（3）规律进行求解即可； （5）根据题意，进行作答即可． 【详解】（1）解：∵在网格中，边长为2的“正网格正方形”有1个，边长为1的“正网格正方形”有（个）， 在网格中，边长为3的“正网格正方形”有1个，边长为2的“正网格正方形”有（个），边长为1的“正网格正方形”有（个）， ∴在的网格中，边长为4的“正网格正方形”有1个，边长为3的“正网格正方形”有（个），边长为2的“正网格正方形”的个数为（个），边长为1的“正网格正方形”有（个）； （2）解：由题意，可知：网格中，“正网格正方形”的个数为， ∴在网格中，“正网格正方形”的个数共有（个）； （3）解：观察可知：网格中，“斜网格正方形”的个数和等于网格中“网格正方形”的总数， ∵在网格中，“正网格正方形”的个数共有55个；“斜网格正方形”的个数和50个， ∴在网格中，“网格正方形”的总数为个； ∴在网格中，“斜网格正方形”的个数和105个； （4）解：由（3）结合表格数据可知：在网格中，“斜网格正方形”的个数为个， 在网格中，“正网格正方形”的个数共有个； ∴在网格中，“网格正方形”的总数为个； （5）解：． 设，则 ． 阅读理解/新定义 考点04 一、单选题 1．（2026·安徽合肥·一模）问题背景：对于一个函数，如果存在自变量时，其对应的函数值，那么我们称该函数为“自反点函数”，点为该函数图象上的一个“自反点”．以下结论： ①是“自反点函数”，且只有一个“自反点”； ②是“自反点函数”，且有两个“自反点”； ③为“自反点函数”，点为该函数图象上的一个“自反点”； ④若为“自反点函数”，则． 其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题根据“自反点函数”和“自反点”的定义，对每个结论令解方程，根据方程解的情况判断结论正误，最后统计正确个数即可。 【详解】根据定义，若函数是“自反点函数”，则方程有实数解，解对应的点就是自反点，依次判断： ①对于，令，得， 解得，方程只有一个实数解， 是“自反点函数”，且只有一个“自反点”，①正确； ②对于，令，得， 两边乘（）得， 实数范围内，方程无实数解， 该函数不是“自反点函数”，没有自反点，②错误； ③对于，令，得， 整理得， 解得或， 该函数是“自反点函数”，是该函数的一个自反点，③正确； ④对于，若它是“自反点函数”，令得， 整理得， 一元二次方程有实数解需满足， 即， 解得， 题目结论为，遗漏的情况，④错误； 综上，正确的结论是①③，共个． 二、填空题 2．（2026·安徽·一模）新定义：我们把二次函数 (其中)与称为“相关函数”．例如：二次函数的“相关函数”为．已知二次函数的“相关函数”为． （1）二次函数的对称轴为直线____； （2）已知二次函数的图象与x轴交于点M，N，二次函数的图象与x轴交于点P，Q，若，则二次函数与对称轴之间的距离为____． 【答案】 6 【分析】（1）根据“相关函数”定义写出的解析式，利用二次函数对称轴公式求解； （2）利用二次函数与x轴交点距离公式，结合列方程求出a的值，再计算两个对称轴的距离． 【详解】解：（1）由“相关函数”的定义，得的解析式为， ∴二次函数的对称轴为直线； （2）对于二次函数，设其与x轴两交点横坐标为，，由根与系数的关系得：，， ∴， ∴两交点距离， 对于，判别式，则，由得且， 对于，判别式，则，由且得， 综上，a的取值范围为， 由，得， 因为，两边同乘得， 两边平方得：， 解得，符合取值范围， 的对称轴为直线， 的对称轴为直线，则两对称轴之间的距离为． 3．（2026·安徽六安·一模）对于任意一个三位正整数m，如果m满足百位上的数字小于个位上的数字，且百位上的数字与个位上的数字之和等于十位上的数字，那么称这个数m为“两头和数”． （1）最小的“两头和数”是_______； （2）用“两头和数”m的十位数字的平方减去个位数字的平方再减去百位数字的平方，得到的结果记为．若t是“两头和数”，且t的4倍与t的十位数字的2倍之和是5的倍数，则的最大值为______． 【答案】 132 24 【分析】（1）根据题意：设百位上的数字为，个位上的数字为，则，，十位上的数字为，由的最小取值为，即可求解， （2）根据题意列式，选出符合条件的，的值，即可求解， 本题考查了，数字规律的探索，整式的应用，解题的关键是：根据题意列式． 【详解】解：（1）设百位上的数字为，个位上的数字为，则，，十位上的数字为， ∴的最小取值为，的最小取值为，的最小取值为， ∴最小的“两头和数”是：132， （2）∵是“两头和数”， ∴，， 根据题意得：是整数， ∴的个位数字是5或0，且满足，， 当，时，的个位数字是0，， 当，时，的个位数字是5，， 当，时，的个位数字是0，， 当，时，的个位数字是5，， 综上所述，的最大值为24， 故答案为：132；24． 4．（2026·安徽·一模）现给出以下两个定义： 定义①：任意一个正整数n都可以进行这样的因数分解：（p，q是正整数，且），在n的所有这样分解中，如果p，q这两个因数之差的绝对值最小，我们就称是n的最佳分解，记为： ．例如：可以分解成或，因为，所以是的最佳分解，所以．定义②：如果一个两位正整数t，（，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为，那么我们称这个数t为“吉祥数”．根据以上两个新定义，可求得__________________；在所有的“吉祥数”中，的最大值为 __________________． 【答案】 /0.6 /0.75 【分析】本题考查了新定义下的实数运算．理解最佳分解、“吉祥数”的定义，并将其转化为实数的运算是解题的关键． 由题意知，，由，可求；依题意得，，则，由，可得或或，或或，即t为；然后根据定义求解作答即可． 【详解】解：由题意知，， ∵， ∴ ∵（，x，y为自然数）， ∴交换其个位上的数与十位上的数得到的新数为， 依题意得，， ∴， ∵， ∴或或，或或， ∴t为； ∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴的最大值． 故答案为：，． 5．（2026·安徽铜陵·一模）对于任意一个四位正整数，若的各位数字都不为0且均不相等，那么称这个数为“相异数”．将一个“相异数”的任意一个数位上的数字去掉后得到四个新三位数，把这四个新三位数的和与3的商记为．例如，“相异数”，去掉其中任意一位数后得到的四个新三位数分别为：234、134、124、123，这四个三位数之和为，所以．（1）的值为_______________；（2）若“相异数”的千位上的数字是7，百位上的数字是8，且能被15整除，则的最大值是_______________． 【答案】 207 7863 【分析】本题主要考查了用代数式表示数，二元一次方程的解，弄清题意是解题的关键； 对于（1），根据定义解答即可； 对于（2），先表示这两个四位数，进而得出，再根据能被15整除讨论，然后比较得出答案． 【详解】解：（1）； （2）设的十位上的数字是，个位上的数字是， “相异数”的千位上的数字是7，百位上的数字是8， ， 能被15整除，， 设 ∴， 或30或45或60 ①当时，当时，，此时（舍）； 当时，，此时； ②当时，当时，，此时； 当时，，此时； ③当时，当时，，此时； ④当时，当时，，此时（舍）． ， 的最大值为7863． 故答案为：207，7863． 6．（2026·安徽宿州·一模）一个四位自然数满足各个数位上的数字均不为0，若，则称这个四位数为“内部关联数”． （1）若为“内部关联数”，则这个数为___________； （2）对于“内部关联数”N，任意去掉一个数位上的数字，得到四个三位数，这四个三位数的和记为．若“内部关联数”N千位上的数字与个位上的数字之和为8，且能被4整除，则所有满足条件的“内部关联数”N的最大值与最小值的和为___________． 【答案】 6438 8448 【分析】（1）根据“内部关联数”的定义列方程求解即可； （2）设“内部关联数”N的个位数字为x，十位数字为y，则千位数字为，百位数字为，故，，所以，根据能被4整除，可得能被4整除，进一步求得x和y的值，再结合，即可求得答案． 【详解】解:（1）∵为“内部关联数”， ， 解得， 即这个数为6438． （2）设“内部关联数”N的个位数字为x，十位数字为y，则千位数字为，百位数字为， 故，， ， 能被4整除， 能被4整除， ，， ∴当时，或， 当时，或， 当时，或， ， ∴当，时，取得最大值，且为， ∴当，时，取得最小值，且为， 故最大值与最小值的和为． 【点睛】通过设某个数位上的数字为未知数，将多位数表示出来，并结合题意求出未知数的值，是解这类题的常用方法． 7．（2026·安徽阜阳·一模）在平面直角坐标系中，点的坐标为，是第一象限内任意一点，连接，．若，，则把叫做点的“角坐标”． （1）若点的坐标为，则点的“角坐标”为___________； （2）若点到轴的距离为，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】（1）由点坐标可得，利用三角函数可计算出，则，写出点的“角坐标”即可； （2）由题意可知，点在直线上，根据三角形内角和定理可得，当取得最大值时，取得最小值，即取得最小值．结合圆周角定理可知，当点在以为直径的圆上时，取得最大值，计算出此时的值即可． 【详解】解：（1）如图， ∵，， ∴，，， ∴， 在直角中，， ∴， ∴点的“角坐标”为； （2）∵点到轴的距离为， 又∵点在第一象限内， ∴点在直线上， ∵， ∴当取得最大值时，取得最小值，即取得最小值， 如图，以为直径作圆，圆心为点，过点作直线的垂线，垂足为，设与圆交于点，连接、、， ∴点的坐标为，， ∵， ∴点在圆上， ∵是圆的直径， ∴， ∵， ∴，即， ∴当点与点重合时，取得最大值，此时， ∴的最小值为． 8．（2026·安徽宣城·一模）我们知道，任意一个正整数都可以进行这样的分解：（p，q是正整数，且）．在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称是n的最佳分解，并规定：．例如：12可以分解成或或，因为，所以是12的最佳分解，所以． （1）_______． （2）如果一个两位正整数，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为54，那么我们称这个数t为“吉祥数”，则所有“吉祥数”中，的最大值为_______． 【答案】 【分析】（1）把48分解，然后找出两因数之差的绝对值最小值，即可得到结果． （2）根据“吉祥数”的定义知，可得，结合x的范围可得两位数的“吉祥数”，然后求出每个“吉祥数”的值． 【详解】解：（1）可分解为，，，，， ∵， ∴是48的最佳分解， ∴； （2）设交换的个位上的数与十位上的数得到的新数为， 则， ∵是“吉祥数”， ∴，则， ∵，，均为自然数， ∴“吉祥数”有：17，28，39， ∴，，， ∵， ∴的最大值为． 9．（2026·安徽马鞍山·一模）一个四位自然数，如果满足各个数位上的数字互不相同且均不为0，将的千位数字和百位数字顺次组成的两位数记为，将的十位数字与个位数字顺次组成的两位数记为，记，若为整数，则称数为“行知数”，例如：，可得，，则，故1375是一个“行知数”．按照这个规定，最小的“行知数”是______；若“行知数”能被8整除，则满足条件的最大值是______． 【答案】 1243 9856 【分析】要得到最小的“行知数”，则，再根据“行知数”的定义可得能被11整除，由此可得q的值，再根据满足各个数位上的数字互不相同且均不为0，即可找出q的最小值为43，进而可得到最小的“行知数”为1243． 要得到最大的“行知数”，则，由于能被11整除，则可得q的值为12，23，34，45，56，67．再根据能被8整除，即可得n的最大值为9856． 本题是一道“新定义”问题，读懂题意，理解“行知数”的定义是解题的关键． 【详解】解：要得到最小的“行知数”，则， ∵， ∴能被11整除， ∴，43，54，65，76，87，98， 由于的各个数位上的数字互不相同， ∴q不能取32， ∴q最小为43， ∴最小的“行知数”是1243． 故答题空1答案为：1243． 要让“行知数”最大，则， ∵能被11整除， ∴，23，34，45，56，67， 即，9823，9834，9845，9856，9867， 其中只有9856能被8整除， ∴满足条件的最大值是9856． 故答题空2答案为：9856． 10．（2026·安徽亳州·一模）设二次函数的图象的顶点坐标分别为，，若，且二次项系数同号，则称是的“和等顶二次函数”． （1）请写出二次函数的一个“和等顶二次函数”______； （2）已知关于x的二次函数和二次函数（），若函数恰是的“和等顶二次函数”，则n的值为______． 【答案】 （答案不唯一）； 2 【分析】（1）先求出的顶点坐标，根据“和等顶二次函数”的定义求解即可； （2）先分别求出两个函数的顶点坐标，再根据“和等顶二次函数”的定义列出n的方程，求解方程即可． 【详解】解：（1）∵，∴顶点是， ∴，， ∵， 设， ∴，， 即它的“和等顶二次函数”的顶点是， ∴它的“和等顶二次函数”为（答案不唯一）； （2）∵，， ∴的顶点是，的顶点是， 根据新定义得， 整理得， ∴， ∴（舍去），． 11．（2026·安徽合肥·一模）若一列数、、、…、（为正整数），除、外，其余每个数都等于与它相邻的两个数之和，则称这列数为“层数列”，如：1、5、4、，满足，，所以1、5、4、为“4层数列”． （1）若3、、为“3层数列”，则的值为______； （2）若一个“60层数列”中，，，则的值为______． 【答案】 0 3 【分析】（1）根据3、、为“3层数列”，列出方程，求解即可； （2）根据定义，对任意，得递推关系：​，变形得​． 设，，依次写出数列前几项，得出数列每6项为一个周期循环，从而得出，即，，即，联立得，代入求解即可； 【详解】解：（1）∵3、、为“3层数列”， ∴， 整理得：， 解得：． （2）根据定义，对任意，得递推关系：​，变形得​． 设，， 依次写出数列前几项：， 因此数列每6项为一个周期循环， ，余数为1，故，即， ，余数为4，故，即，得， 联立得：，整理得， ∴． 12．（2026·安徽合肥·一模）若函数图象上存在点与点（其中 ，则称该函数为“关联函数”，如函数 的图象上，存在点和，所以函数 称作“关联函数”． （1）已知关于x的一次函数是“关联函数”，则k的值为_____． （2）若关于x的二次函数 是“关联函数”，则m的取值范围为_____． 【答案】 1 或 【分析】（1）根据“关联函数”的定义求解即可； （2）方法同（1）得，进而得m的取值范围． 【详解】解：（1）把点与点代入得 由得 ∵， ∴, ∴； （2） 把点与点代入 得： ， 由得， ， 即， 把③代入①得： ， 整理得： ， 由得， ∴ ∴ ∵， ∴， 又，代入可知： ， ∴ ∴m的取值范围为或． 13．（2026·安徽合肥·一模）对任意一个三位数，如果满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“迥异数”．将一个“迥异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为，例如，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为，所以．___________．若、都是“迥异数”，其中（，，、都是正整数），当时，的值为___________． 【答案】 12 【分析】设“迥异数”，且，根据定义可得，即得，，进而由得，再根据、都是正整数解答即可求解. 【详解】解：， 设“迥异数”，且， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵、都是正整数， ∴（不符合题意）或（不符合题意）或， ∴，， ∴. 14．（2026·安徽·一模）对任意一个四位数，若满足各数位上的数字都不为0，且千位与百位上的数字不相等，十位与个位上的数字不相等，那么称这个数为“砺新数”．将一个“砺新数”的任意一个数位上的数字去掉后可以得到四个新三位数，把这四个新三位数的和与3的商记为．例如，“砺新数”，去掉千位上的数字得到，去掉百位上的数字得到，去掉十位上的数字得到，去掉个位上的数字得到，这四个新三位数的和，，所以，．根据定义：______；若“砺新数”（，，都是正整数），也是“砺新数”，且能被整除．则______． 【答案】 【分析】根据定义即可计算；确定的值，利用能被整除确定的值即可． 【详解】解： ∵ ∴去掉千位：；去掉百位：；去掉十位：；去掉个位：； ∵能被整除 ∴能被整除，且， ∴当时，（舍去） 当时， 则 故答案为：； 【点睛】本题考查了数字类的新定义题型．正确理解题意是解题关键． 几何折叠与旋转 考点05 一、单选题 1．（2026·安徽合肥·一模）如图,平面直角坐标系中,点，，，连接，并将线段绕点顺时针旋转，点旋转到点，连接．则周长的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作轴于点,过点作轴于点,证明，得出，根据，，得出，说明点在直线上，根据为定值，得出当最小时，的周长最小，作点关于直线的对称点,连接交直线于点,连接,根据两点之间线段最短，当在点处时, 最小,且最小值为的长度,根据勾股定理求出结果即可． 【详解】解：过点作轴于点,过点作轴于点,如图所示： 则, 根据旋转可知, , ∴, , , , ∵,, ∴, , ∴点在直线上, 为定值, ∴当最小时,的周长最小, 如图,作点关于直线的对称点,连接交直线于点,连接, 根据轴对称可知：, ∴, ∵两点之间线段最短, ∴当在点处时,最小,且最小值为的长度, ∴最小值为：, 的周长最小值为. 2．（2026·安徽池州·一模）如图，在矩形中，，点E是上一点，将沿折叠，点B的对应点恰好落在对角线上，且为中点，连接交于点P，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由矩形的性质可得，，，由折叠的性质得，，即可得是的垂直平分线，，进而得到，，设，则，利用勾股定理可得，，再证明，利用相似三角形的性质列出比例式求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， 由折叠得，，， ∴， ∵为中点， ∴是的垂直平分线，， ∴，， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得． 3．（2026·安徽合肥·一模）如图，将沿折痕折叠，使点C落在边上的点E处，的周长等于，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据折叠的性质逐项判断即可． 【详解】解：∵沿折痕折叠，使点C落在边上的点E处， ∴，， ∵的周长等于，， ， ∴， ∴． 4．（2026·安徽合肥·一模）如图，在矩形中，动点从点出发，以的速度沿着向点运动，同时动点从点出发以的速度沿向点运动，若其中一个动点到达终点，另一动点也同时停止．将四边形以直线为轴进行翻折，得到四边形 ，则下列结论错误的是（   ） A．若交对角线于点，则 B．若点 在边上时， C．若射线经过点，则线段、互相平分 D．若， ，点、两点间距离最小为 【答案】D 【分析】根据点、的运动速度可知，根据矩形的性质可以判断，根据相似三角形的性质可得；若点在边上时，四边形 为矩形，根据点、的运动速度可知；若射线经过点，可知，，，可证，根据全等三角形对应边相等可证、互相平分；连接交于点，连接，作于点，可得点 在以为圆心，以为半径的圆弧上，当垂直平分时，点、两点间距离最小为． 【详解】解：如下图所示， 由题意可知， 又， ， ， 故A选项正确； 如下图所示，若点在边上时，四边形 为矩形， ， ， 故B选项正确； 如下图所示， 若射线经过点， 则， ， 设 ，则， ，   ， 又， ， ，    ， ，， 、互相平分， 故C选项正确； 如下图所示，连接交于点，连接，作于点， ，， ，，， ， ， ， ， 点 在以为圆心，以为半径的圆弧上， ， ， 垂直平分， 即， 点、两点间距离最小为， 故D选项错误． 5．（2026·安徽合肥·一模）如图，矩形中，，，动点从点出发，沿着向点运动，同时动点从点出发沿向点运动，且，若其中一个动点到达终点，则两点同时停止运动．连接，将四边形以直线为对称轴进行翻折，得到四边形，则下列结论错误的是（   ） A．若，则 B．若点在边上，则 C．若直线经过点，则线段、互相平分 D．点、两点间距离最小为 【答案】D 【分析】A.结合矩形的判定方法和折叠的性质可判定四边形是矩形，由矩形的性质得，，设，则，即可求解； B. 同理可证四边形、是矩形，由矩形的性质得，，即可求解； C. 由等腰三角形的判定方法得，设，则，，由勾股定理得，，可求得，由判定，由全等三角形的性质即可判断； D.连接交于，连接、，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，是定点，，当运动到的中点时，运动到停止，的运动轨迹是以为圆心，长为半径的半圆，过作，当运动到时，取得最小值，结合相似三角形的判定及性质即可求解． 【详解】解：A.如图，当时， 四边形是矩形， ，，， 由翻折得，，， ， ， ， 四边形是矩形， ， 同理可证， 设，则， ， ， 解得， ， 故此项正确，不符合题意； B. 点在边上时，如图， 同理可证四边是矩形， ， ， ， 故此项正确，不符合题意； C. 当经过点时，如图， 由折叠得， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 设， 则，， ， ， ， 解得（负值已舍去） ， ， ， ， ， ， （）， ，， 线段、互相平分， 故此项正确，不符合题意； D.如图，连接交于，连接、， 四边形是矩形， ， ， ， ， 是定点， ，当运动到的中点时，运动到停止， 的运动轨迹是以为圆心，长为半径的半圆， 过作， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 如图，当运动到时，取得最小值， 此时（）， 故此项错误，符合题意． 【点睛】根据具体运动情况画出图形，能利用矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定及性质、圆外一点到圆上一点的距离最值进行求解是解题的关键． 6．（2026·安徽阜阳·一模）如图，将矩形纸片沿边折叠，使点在边的中点处．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题以矩形折叠为背景，先利用矩形性质与中点条件得出边长，再根据折叠性质得到点关于折痕对称，进而推出 且，通过同角的余角相等，证得，因此，最后在中计算从而得到． 【详解】解：连接， ∵矩形， ∴， ∵是中点， ∴， ∵， 又∵ 折叠后点落在处， ∴关于折痕对称， 可得： ∴， ∵， ∴， ∵矩形纸片沿边折叠， ∴， ∴， 在中，， ∴． 7．（2026·安徽淮南·一模）如图，等边的边长为，点，分别在，上，，为上的动点，将绕点逆时针旋转得到，连接，，．下列结论不正确的是（   ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】C 【分析】先构建平行四边形、，结合等边三角形性质得出，结合全等三角形的判定和性质推得点为上的定点，点在过点与平行的直线上运动，即可推得当时，的值最小，根据锐角三角函数的定义即可求出的最小值；通过证明、是等边三角形，结合等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质得出，，进一步可证明得出是等边三角形，分析可得当点与点重合时，点与点重合，当点与点重合时，点与点重合，此时的值最大，最大值为的长，结合垂直平分线的性质以及勾股定理求出的值，即可得出的最大值为；结合三角形的三边关系，得出当、、三点共线时，此时的值最大，最大值为；结合垂直平分线的判定和性质得出，进一步推得当、、三点共线时，此时的值最小，最小值为的长，即可得出答案． 【详解】过点作交于点，过点作交于点，交于点，过点作交于点，连接、、、、、．过点作于点，如图： 则四边形、为平行四边形， 故，，，，， ∵三角形是等边三角形， 故， 即， ∵， ∴，， 故， 又∵， ∴， ∴， 故， 即点为上的定点，点在过点与平行的直线上运动， ∵， ∴， 当时，的值最小，此时的最小值为；故A选项说法正确． ∵， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， 故， ∴， 即是等边三角形． 则，，， ，， 即，，， ∴， ∴，， 故， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴． 当点与点重合时，，此时点与点重合， 当点与点重合时，，此时点与点重合， 当点与点重合时，的值最大，即的最大值为的长． ∵，，， ∴， ∴， 即， ∵， ∴垂直平分， 故， ∴， 在中，， 在中，， 即的最大值为，B选项说法正确． 在中，， 即当、、三点共线时，此时点与点重合，的值最大，最大值为，故C选项说法错误． ∵，， ∴点在的垂直平分线上，点在的垂直平分线上， 故是的垂直平分线， 又∵点在直线上， 故， ∴， 即当、、三点共线时，此时的值最小，最小值为的长， ∵， 故的最小值为，D选项说法正确． 【点睛】本题考查了四边形与三角形的综合应用，平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，垂直平分线的判定和性质，锐角三角函数的应用等．构建平行四边形、，通过全等三角形的判定和性质得出点为上的定点，点在过点与平行的直线上运动，结合等边三角形的判定得出是等边三角形是解题的关键． 8．（2026·安徽合肥·一模）如图，在等边三角形中，过点C作射线，点M，N分别在边，上，将沿折叠，使点B落在射线上的点处，连接．已知，下列四个结论中错误的是（   ） A．为定值 B．当时，四边形为菱形 C．当点N与点C重合时， D．当最短时，MN的长度为 【答案】D 【分析】根据折叠的性质，得，可判断是定值，故A正确；根据，确定，判定四边形为菱形，故B正确；当点与重合时，确定，得到，判定C错误；当最短时，，过点作于点，交的延长线于点，设，则，求得，再设，在、分别用勾股定理即可求解． 【详解】由折叠可得，． 是等边三角形，， ， ，故A正确； ，， ， ， 由折叠得，，． ， 是等边三角形， ， ， 四边形为菱形，故B正确； 当点与点重合时，如图1． ，， ， 由折叠得，， ， ，故C正确； 当最短时，，过点作于点，交的延长线于点，如图2． ， ，，。 设，则， 在中，，即解得， ， ， ， ， ． ， ， ，， 设，则，，， ． 在中，， ，解得， ，． 在中，， ，， ． 在中，，故D错误． 9．（2026·安徽阜阳·一模）如图，在中，，是边上的点，将沿直线折叠，点的对应点恰好落在边上．若，则（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据等边对等角求出，再由折叠得到，从而根据三角形外角的性质即可求解． 【详解】解∶∵， ∴， ∵， ∴， 由折叠可得， ∴． 10．（2026·安徽安庆·一模）在菱形中，已知与相交于点，点为上一点，将沿着翻折得到，使点落在边上，则的长为（　　） A． B．2.5 C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理、折叠的性质、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形和折叠的性质是解题关键．先根据菱形的性质可得，，利用勾股定理可得，再设，则，根据折叠的性质可得，然后证出，根据等腰三角形的判定可得，最后在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：∵在菱形中，， ∴，， ∴， 设，则， ∵点为上一点， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在中，，即， 解得，符合题意， ∴， 故选：D． 11．（2026·安徽阜阳·一模）如图，已知矩形中，，，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，点在线段上，与相交于点，则下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查旋转的性质，矩形的判定与性质以及勾股定理，过点作于点，连接，根据勾股定理求得，根据旋转可得，进而根据三线合一以及勾股定理求得，进而求得即可判断A选项，在中，勾股定理求得，即可判断B选项，证明，进而证明，设，则，在中，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点，连接， ∵矩形中，，， ∴，，， ∴ ∵旋转， ∴ ∵ ∴， ∵ ∴ 在中， ∴，故A正确 ∵， 在中， ∴，故B正确， ∵将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，点在线段上，与相交于点， ∴， ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 设，则 在中， ∴ 解得： ∴，则，故C正确，D错误 故选：D． 二、填空题 12．（2026·安徽合肥·一模）定义：一个矩形较短边与较长边之比是，则这个矩形叫作黄金矩形．如图1，矩形为黄金矩形（），E为边上一点，将矩形沿折叠后，点B恰好落在上点F处． （1）_________； （2）如图2，G为边上一动点，过G点作，垂足为H，将矩形沿折叠，点B的对应点为，交于点Q，若矩形为黄金矩形，则_________． 【答案】 【分析】（1）由折叠的性质可得，设，由黄金矩形的定义可得，进而得到，最后求比例即可； （2）先说明四边形是正方形得，设，则,由黄金矩形定义、；由折叠的性质可得，设，则，运用勾股定理列方程可求得,进而求的,后求比例即可． 【详解】解：（1）∵将矩形沿折叠后，点B恰好落在上点F处． ∴， 设，则． ∴， ∴； （2）∵将矩形沿折叠后，点B恰好落在上点F处． ∴四边形是正方形， ∴， 设，则, 由黄金矩形定义． ∵矩形为黄金矩形， ∴，即，解得：， ∴， ∵将矩形沿折叠，点B的对应点为， ∴， 设，则， ∴, ∴， ∴, 在中，， ∴，解得：， ∴， ∴， ∴． 13．（2026·安徽安庆·一模）如图，在中，，，，点是的中点，点是边上一动点，沿 所在直线把翻折到的位置，交于点，连接． （1）的最小值是________； （2）若为直角三角形，则的长为________． 【答案】 1或 【分析】（1）找到点的运动轨迹，用三角形三边关系确定的最小值即可； （2）分两种情形画出图形，构造直角三角形用勾股定理解决问题． 【详解】解：（1）由题意可得，， 在以为圆心为半径的圆上，如图一所示： 在点运动过程中，在中，由三边关系得， ， 在变化过程中，和保持不变， 故的最小值为，即如图二所示： 在中，，， ，， ， 在中，，， ， 故的最小值为． （2）为直角三角形，分两种情况： ①， 在中，，， ， 设，， 在中，，，， ， 解得， 即． ②，过点作交的延长线与点，如图四所示： 由折叠的性质可知，， ， ， ， 设， 在中，，， 在和中 ， 在中，，，， ， 解得：． 综上，的长是1或． 【点睛】本题考查翻折变换，勾股定理解直角三角形，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是看出运动点的轨迹，学会分类讨论的思想解决问题． 14．（2026·安徽马鞍山·一模）如图，在四边形中，，，，过点D作，交于点E，且，．将沿折叠，点C的对应点恰好落在上，则的长为___． 【答案】 【分析】先根据平行线的性质、折叠的性质、平角的定义以及三角形的内角和定理，得出，，进一步得出，利用相似三角形的性质得出，进一步得出，再判定四边形为平行四边形，得出，即可解答． 【详解】解： ． 由折叠得，，，． ， ， ， ， ． 又， ， ，即， ． ，， 四边形为平行四边形， ， ． 15．（2026·安徽芜湖·一模）在矩形中，，，E为边上一点，将沿BE折叠，使得C落到矩形内部点F的位置，连接．，则 （1）________； （2）________． 【答案】 2 【分析】过点F作，交分别于点M、N，已知，设，则，利用勾股定理可求出，进而求出，，证明，得，求出，即得答案． 【详解】过点F作，交分别于点M、N， 则， ∴， ∴， 由折叠得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， 设，则， 在中，由勾股定理得： , 解得（舍去）， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴, 解得， ∴． 【点睛】过点F作，交分别于点M、N，构造直角三角形以及相似三角形是解题的关键． 三、解答题 16．（2026·安徽淮南·一模）如图1，在正方形中，为边上一点，连接，点和关于对称，连接并延长，交于点，交于点，连接． (1)求证：． (2)若为的中点，连接． （i）如图2，求的值； （ii）如图3，连接，取的中点，连接，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)（i）；（ii）是等腰直角三角形，见解析 【分析】（1）根据轴对称的性质和正方形的性质可推出，，，然后根据同角的余角相等得到，即可根据证得，从而证得结论； （2）（i）过点作于点，先证得，可得，设，则，从而求得，即可解答； （ii）连接．由（i）知，先利用证得，得到是等腰直角三角形，可知，，然后根据两边成比例且夹角相等，证明，得到，进而证得，即可解答． 【详解】（1）证明：点和关于对称， ， 四边形为正方形， ， ， ， 又， ， ， ， ； （2）解：（i）由（1）得， 为的中点， ， ∴， ∴， ∴，即， ， 如图1，过点作于点， 为的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 设，则， ， ， ， ； （ii）如图2，连接．由（i）知， 。 四边形为正方形， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形． 17．（2026·安徽宣城·一模）（1）问题：如图1，在中，，，为边上一点（不与点，重合），连接，过点作，并满足，连接．则线段和线段的数量关系是_____，位置关系是_____． （2）探索：如图2，当点为边上一点（不与点，重合），与均为等腰直角三角形，，，．试探索，．之间满足的等量关系，并证明你的结论； （3）拓展：如图3，在四边形中，，若，，请求出线段的长． 【答案】（1），；（2），证明见解析；（3） 【分析】（1）先根据等腰直角三角形的性质得到，再证明得到，，再证明，得到，则，； （2）如图所示，连接，先根据等腰直角三角形的性质得到，再证明，得到，，则，由勾股定理得到，则；再由勾股定理得到，即可得到； （3）将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，，则，，即可推出，， 证明，得到， ，则由勾股定理得，进而得到，则． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴； ∴，； 故答案为：，； （2），证明如下： 如图所示，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴，即， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； （3）将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、旋转的性质，等腰直角三角形的性质等，掌握全等三角形的判定定理和性质是解题的关键． 18．（2026·安徽六安·一模）如图，在正方形中，是对角线上的一点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接交于点，连接． (1)求证：； (2)若，求的值； 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证即可； （2）过作于，过作于，则，，，设正方形边长为，结合求出，，代入求解即可． 【详解】（1）证明：∵正方形中，，，绕点C顺时针旋转得到， ∴，， ∴，， ∴， 在和中 ∴ ∴ （2）过作于，过作于，过作于， ∴，四边形是矩形， ∴， ∴，， 设正方形边长为， ∵， ∴，， ∴，， ∴ 由（1）得 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴ ， ∴ ∴． 19．（2026·安徽池州·一模）在正方形中，点是对角线上一点，连接BE，过点分别作，的垂线，分别交直线， 于点F．G． (1)如图1，求证：； (2)若将“正方形”改为“矩形”， ，，其他条件不变． （i）如图2，求 的值； （ii）如图3，当点 E为的中点时，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)（i）；（ii） 【分析】（1）由正方形的性质得出，，证出，由可证，由全等三角形的性质得出； （2）（i）证明，由相似三角形的性质得出，求出，则可得出答案； （ii）过点作于，于点，证出，，由（2）知，由相似三角形的性质证出，由锐角三角函数的定义得出，求出的长，根据三角形面积公式可得出答案． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：（i）四边形是矩形， ， ， ， ， ，， ， 又， ， ， ， ， 在中，， ， ， ； （ii）过点作于，于点， 为的中点， ， ，， ∴， ， ， 同理可得， 由（2）知， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是相似形综合题，考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质及相似三角形的判定与性质． 20．（2026·安徽宿州·一模）已知四边形是正方形． (1)如图1，为等腰直角三角形，，两个顶点D、E和正方形顶点B三点在一条直线上，连接，求证：； (2)在第（1）题条件下，如图2，连接，求证：平分； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由题可得，由此得，根据证明； （2）连接，先证明，然后可得共圆，则，即可证明． 【详解】（1）证明：∵正方形， ，， ， 即， ，， ； （2）证明：如图，连接， ∵等腰直角三角形， ∴ 由（1）得，， ∴， ∴， ∴， ∵正方形， ∴， ∴ 共圆， ∴， ∴ 平分． 21．（2026·安徽合肥·一模）如图，在中，，为边上一点，连接，将沿翻折，得到，交于点． (1)如图1，当时，猜想四边形的形状，并说明理由； (2)当时， ①如图2，若，求的长． （ⅱ）如图3，若，证明：． 【答案】(1)四边形是菱形，见解析 (2)①；②见解析 【分析】（1）根据折叠和平行证明，从而可得，由四边相等的四边形是菱形得出结论； （2）①推出是等边三角形，证明，据此求解即可； ②过点作于点，证明，可得，，再由，可得，进而可得，，据此计算即可证明． 【详解】（1）解：结论：四边形是菱形， 证明：由折叠可知：，，，     ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：①∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； ②证明：过点作于点， ∴， ∵，即， ∴， ∵沿翻折，得到， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵ ∴． 22．（2026·安徽阜阳·一模）如图，在矩形中，是上的一动点，将沿折叠，使点落在点的位置． (1)如图1，若点在边上，且，，求的长． (2)如图2，若，连接，交于点，延长，交于点，连接，交于点，是的中点，连接． ①求证：． ②若，求的值． 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 【分析】（1）根据矩形的性质结合勾股定理求解即可； （2）①证明点在以为直径的圆上，再利用圆周角定理求解即可； ②证明，推出，得到，证明和，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得， ∵四边形是矩形， ，， ， ； （2）①证明：如图，连接． ∵四边形是矩形，且， ∴四边形是正方形， 是的中点， ，， 根据折叠的性质，可得，即， ∴点在以为直径的圆上， ， ； ②解：∵四边形是正方形， ，，，， ． ， ， ， ， ． ，， ， ． ∵， ， ， ，， ． 由①，可得，， ， ． 23．（2026·安徽芜湖·一模）已知，如图1，正方形中，E为边中点，将沿折叠得到对应，交于点H． (1)求证：； (2)如图2，延长交于点G，求的值； (3)如图3，连接，相交于Q点，连接，求证：． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）连接．证明即可得到结论； （2）连接DG，证明，．设，证明，得到，，，即可求出答案； （3）利用锐角三角函数的定义、全等三角形的判定和性质、角平分线的性质进行证明即可． 【详解】（1）证明：如图1，连接． ∵将沿折叠得到对应， ∴， ∵E为边中点， ∴， ∴ ∵，， ， ． （2）解：如图2，连接DG， ∵， ， 平分， ∴， ∵，， ∴ ． 设， ， ， ，， ，，， ． （3）解：如图3，连接，作，垂足为P． 平分，平分， 平分． 又平分， 由（2）可知，， ，， ， ， ． 24．（2026·安徽·一模）如图，在正方形中，点E在边上，连接，将四边形沿直线折叠，点A、B的对应点分别为点N、M，的延长线分别与延长线交于点F、． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，延长交于点H，若F为的中点， （ⅰ）求证：； （ⅱ）求的值． 【答案】(1)见解析； (2)（ⅰ）见解析；（ⅱ）． 【分析】根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质定理从而得出结论； 连接，可证得≌，从而，从而，可推出，从而，进一步得出结论； 连接，交于O，设，则，设，ze ，，在中，由勾股定理列出，从而得出，可推出四边形是平行四边形，从而，进而得出结果． 本题是相似形的综合题，考查了正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是灵活运用有关知识． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ，， ， 如图所示，连接， 由折叠的性质可得，， ， 又， ， ； （2）（i）证明：如图，连接， 同理可证明， ， 是MN的中点， ， ， ， ， ， ， ； ⅱ解：如图2，连接，交于O， 设，则， 设， ∴， ，， ∽， ， ，， 在中，由勾股定理得， ， 舍去或， ，， 由（1）知，， ， ，， ， ， 由（2）知，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 25．（2026·安徽滁州·一模）几何探究： 【问题发现】 （1）如图1所示，△ABC和△ADE是有公共顶点的等边三角形，BD、CE的关系是_______（选填“相等”或“不相等”）；（请直接写出答案） 【类比探究】 （2）如图2所示，△ABC和△ADE是有公共顶点的含有角的直角三角形，（1）中的结论还成立吗?请说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3所示，△ADE和△ABC是有公共顶点且相似比为1 : 2的两个等腰直角三角形，将△ADE绕点A自由旋转，若，当B、D、E三点共线时，直接写出BD的长． 【答案】（1）相等；（2）不成立，理由见解析；（3）或． 【分析】（1）证明△ABD≌△ACE（SAS），即可得出； （2）当在Rt△ADE和Rt△ABC中，，证明△ABD∽△ACE，求出BD与CE的比例； （3）分两种情况求出BD的长即可． 【详解】（1）相等; 提示：如图4所示． ∵△ADE和△ABC均为等边三角形， ∴ ∴ ∴ 在△ABD和△ACE中， ∴△ABD≌△ACE（SAS） ∴． （2）不成立； 理由如下：如图5所示． 在Rt△ADE和Rt△ABC中， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴△ABD∽△ACE ∴ ∴ 故（1）中的结论不成立； （3）或． 提示:分为两种情况： ①如图6所示． 易证：△ABD≌△ACE（SAS） ∴ ∴ ∴ 由题意可知： 设,则 在Rt△BCE中,由勾股定理得： ∴ 解之得:（舍去） ∴； ②如图7所示． 易证：△ABD≌△ACE（SAS）， 设，则 在Rt△BCE中，由勾股定理得： ∴ 解之得：（舍去） ∴. 综上所述，或． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是学会运用分类讨论的思想考虑问题． 26．（2026·安徽安庆·一模）综合与实践： 【实践操作】如图1，在中，，．点是外一点，连接，将线段绕点按逆时针方向旋转，旋转角为，得到线段，连接，，． 【探究发现】试证明：； 【性质应用】如图2，点为正方形内一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，，，求出与之间的数量关系； 【拓展延伸】如图3，当时，点在的延长线上，连接，将线段绕点按逆时针向旋转，得到线段，连接，．求的值． 【答案】探究发现：见解析；性质应用：；拓展延伸： 【分析】【探究发现】：由等边对等角并结合三角形内角和定理可得，证明，得出，从而可得，再证明，即可得出； 【性质应用】：连接，由正方形的性质可得，， 又，，从而得出，，，再证明，即可得出结果； 【拓展延伸】：由等边对等角并结合三角形内角和定理可得，解直角三角形得出，再证明，得出，设交于点，求出，即可得出结果 【详解】【探究发现】证明：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴； 【性质应用】：解：如图2，连接， ∵四边形为正方形， ∴，， 又，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴； 【拓展延伸】：解：∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图3，设交于点， ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、解直角三角形、等腰三角形的判定与性质、正方形的性质、三角形内角和定理、旋转的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 27．（2026·安徽阜阳·一模）如图，在等边中，D为上一点，连接，E为线段上一点（），将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接． (1)求证：； (2)点G为延长线上一点，连接交于点M．若M为的中点，用等式表示线段之间的数量关系，并证明. 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握这些知识点并构造适当的辅助线证明三角形全等是解题的关键． （1）证明即可； （2）过点A作，交的延长线于点H，则可证明，从而有，则有；再证明，得，由线段的和差关系即可得证． 【详解】（1）证明：∵为等边三角形， ∴； ∵线段绕点C顺时针旋转得到线段， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：； 证明如下：如图，过点A作，交的延长线于点H； ∴，， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵M为的中点， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 2/6 1/6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $