专题6.1 基本立体图形（高效培优讲义）高一数学北师大版必修第二册

专题6.1 基本立体图形 教学目标 1. 认识常见的基本立体图形（棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球），掌握其结构特征及分类 2. 理解多面体与旋转体的概念，能区分多面体与旋转体的异同 3. 掌握基本立体图形的表面积、体积计算公式，能熟练进行简单计算 4. 能解决与基本立体图形相关的截面、结构辨析、体积表面积综合问题 5. 培养空间想象能力，能结合图形分析立体图形的几何性质 教学重难点 1. 重点 （1）棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征及辨析 （2）基本立体图形的表面积与体积公式及应用 2. 难点：立体图形的截面问题、复杂立体图形的体积表面积计算、空间图形的想象与分析 知识点01平面的概念 （1）平面：几何里所说的“平面”是从实际生活中______的数学概念，是_______________的． （2）平面的表示：用______或______来表示平面． （3）平面的画法：用______来表示平面． 【即学即练】 1．现有下列命题：①桌面是平面；②个平面重叠起来要比个平面重叠起来厚；③有一个平面的长是，宽是；④平面是绝对平、无厚度、可以无限延展的抽象的数学概念．其中正确命题的个数为（   ） A． B． C． D． 知识点02空间几何体 （1）空间几何体的定义：如果我们只考虑它们的__________和__________，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形称为空间几何体. （2）空间几何体的分类 类别 多面体 旋转体 定义 一般地，由若干个 围成的几何体叫做多面体 一条平面曲线（包括直线）绕它所在平面内的 旋转所形成的曲面叫做 ，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体 图形 相关概念 面：围成多面体的各个 ； 棱：两个面的 ； 顶点：棱与棱的公共点 轴：形成旋转体所绕的定直线 （3）多面体的分类:多面体可以用它的面的数量进行命名,有几个面的多面体就叫做几面体. 例如：三棱锥是________面体;长方体（四棱柱）是________面体. 一般地,一个棱锥是________面体;棱柱或棱台是________面体. 【即学即练】 2．观察如图所示的四个几何体，其中判断不正确的是(　　) A．①是棱柱 B．②不是棱锥 C．③不是棱锥 D．④是棱台 知识点03 棱柱、棱锥、棱台的结构特征 棱柱 棱锥 棱台 定义 有__________，其余各面都是四边形，并且__________，由这些面所围成的多面体叫做棱柱． 有__________，其余各面都是__________，由这些面所围成的多面体叫做棱锥． 用一个__________去截棱锥，__________叫做棱台． 相关概念 （1）底面（底）：两个互相__________的面． （2）侧面：__________ （3）侧棱：相邻侧面的__________ （4）顶点：侧面与底面的__________ （1）底面（底）：__________ （2）侧面：有公共顶点的各个__________． （3）侧棱：相邻侧面的__________ （4）顶点：各侧面的__________． （1）上底面：原棱锥的__________． （2）下底面：原棱锥的__________． （3）侧面：其余各面． （4）侧棱：相邻侧面的公共边． （5）顶点：侧面与底面的公共顶点 图形及表示 棱柱（或六棱柱）． 棱锥（或四棱锥－）． 棱台． 结构特征 （1）底面互相平行且全等． （2）侧面都是平行四边形． （3）侧棱都相等，且互相平行 （1）底面是多边形． （2）侧面都是三角形． （3）侧面有一个公共顶点． （1）上、下底面互相平行，且是相似图形． （2）各侧棱的延长线交于 一点． （3）各侧面为梯形 分类 棱柱的底面是几边形该棱柱就叫几棱柱，例如，三棱柱、四棱柱… 棱锥的底面是几边形该棱锥就叫几棱锥，例如，三棱锥、四棱锥… 由几棱锥截得的该棱台就叫几棱台，例如，由三棱锥截得的棱台叫三棱台． 【即学即练】 3．下列几何体中，柱体有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．判断正误并给出理由． （1）长方体是四棱柱；( ) （2）直四棱柱是长方体；( ) （3）底面是正多边形的棱锥一定是正棱锥；( ) （4）延长一个棱台的各条侧棱，它们相交于一点．( ) 知识点04 几个特殊的棱柱 （1）直棱柱：________的棱柱叫做直棱柱（如图①③）； （2）斜棱柱：________的棱柱叫做斜棱柱（如图②④）； （3）正棱柱：底面是正多边形的________叫做正棱柱（如图③）； （4）平行六面体：底面是________的四棱柱也叫做平行六面体（如图④）． 【即学即练】 5．下列说法正确的是 A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 C．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体 D．九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面均为平行四边形 知识点05 圆柱、圆锥、圆台、球 圆柱 圆锥 圆台 球 图 形 定 义 以_____的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体 以________的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体 用_____于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分 以半圆的直径所在直线为旋转轴，旋转一周所形成的曲面叫做_____，球面所围成的旋转体 结 构 特 征 ①母线互相平行且相等，并垂直于底面 ②轴截面是全等的矩形 ③侧面展开图是矩形 ①母线相交于一点 ②轴截面是全等的等腰三角形 ③侧面展开图是扇形 ①母线延长线交于一点 ②轴截面是全等的等腰梯形 ③侧面展开图是扇环 截面是圆面 【即学即练】 6．下列几何体中不是旋转体的是（   ） A． B． C． D． 题型01 基本立体图形的结构特征判断 【典例1】下列结论正确的个数有（    ） ①曲面上可以存在直线；②平面上可存在曲线；③曲线运动的轨迹可形成平面；④直线运动的轨迹可形成曲面；⑤曲面上不能画出直线. A．个 B．个 C．个 D．个 【变式1】下列不属于构成空间几何体的基本元素的是（    ） A．点 B．线段 C．曲面 D．多边形（不包括内部的点） 【变式2】下列几何体中是十面体的是（    ） A．七棱锥 B．八棱锥 C．七棱柱 D．八棱台 【变式3】观察如图所示的四个几何体，其中判断不正确的是(　　) A．①是棱柱 B．②不是棱锥 C．③不是棱锥 D．④是棱台 【变式4】下列说法：①任何一个几何体都必须有顶点、棱和面；②一个几何体可以没有顶点；③一个几何体可以没有棱；④一个几何体可以没有面.其中正确的是________（填序号）. 【变式5】图中的几何体的顶点、棱和面的数目分别是（    ） A．4，5，3 B．4，5，4 C．4，6，4 D．4，6，3 题型02 棱柱的结构特征与辨析 【典例1】如图，长方体中被截去一小部分，其中，，则剩下的几何体是（   ） A．棱台 B．四棱柱 C．五棱柱 D．六棱柱 【变式1】下列几何体中，柱体有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】下列命题中，正确的是（    ） A．棱柱中所有的侧棱都相交于一点 B．棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面 C．棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形 D．棱柱的侧棱相等，侧面是平行四边形 【变式3】下列命题正确的是（    ） A．底面是正方形，有两个侧面是矩形的棱柱是正四棱柱 B．底面是正方形，有两个侧面垂直于底面的棱柱是正四棱柱 C．每个侧面都是全等矩形的四棱柱是正四棱柱 D．底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直的棱柱是正四棱柱 【变式4】关于棱柱的说法中不正确的是（    ） A．有两个面互相平行，其余各面都是四边形且相邻两个四边形的公共边都互相平行，这些面所围成的多面体是棱柱； B．由一个平面多边形（包含多边形内部）沿某一方向平移形成的空间图形叫做棱柱； C．有两个面是互相平行且全等的平面多边形，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱； D．有两个面是互相平行且全等的平面多边形，其余不在这两个面上的棱都相互平行的多面体是棱柱． 【变式5】（多选）棱柱的侧面都是（    ） A．三角形 B．四边形 C．平行四边形 D．矩形 【变式6】（多选题）下列说法错误的是（   ） A．斜棱柱的侧棱垂直于底面 B．正棱柱的高可以与侧棱不相等 C．六个面都是矩形的六面体是长方体 D．底面是正多边形的棱柱为正棱柱 【变式7】（多选）某同学用8块全等的三角形薄板（不计厚度），通过拼接得到一个封闭的几何体（薄板均在几何体的表面，且没有剩余），则（   ） A．该几何体可能是三棱锥 B．该几何体可能是四棱柱 C．用8块全等的等腰三角形可能拼接成一个三棱柱 D．用8块全等的直角三角形可能拼接成一个三棱柱 题型03 棱锥、棱台的结构特征与辨析 【典例1】下列命题正确的是（    ） A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体是棱柱 B．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥 C．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱 D．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体是棱台 【变式1】具备下列条件的多面体是棱台的是（    ） A．两底面是相似多边形的多面体 B．侧面是梯形的多面体 C．两底面平行的多面体 D．两底面平行，侧棱延长后交于一点的多面体 【变式2】下列三种叙述，正确的有（ ） ①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台； ②两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台； ③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式3】下列说法中，正确的是（   ） A．有一个面为多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体是棱锥 B．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台 C．棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形 D．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形 【变式4】下列说法中正确的是（    ） ①棱锥的各个侧面都是三角形；②四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面；③棱锥的侧棱平行． A．① B．①② C．② D．③ 【变式5】（多选）下列命题中正确的是（   ） A．棱柱的侧面一定是平行四边形 B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 C．棱锥的各侧面一定有一个公共点 D．棱台各侧棱的延长线交于一点 题型04 球体的结构特征与应用 【典例1】下列说法正确的是有（    ） ①空间中到定点的距离等于定长的点的集合，构成半径为的球； ②空间中到定点的距离等于定长的点的集合，构成半径为的球面； ③球的对称轴有无数条，对称中心也有无数个； ④用平面截球，随着平面角度不同，截面可能不是圆面． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式1】下列为旋转体的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】给出下列命题：①球的任意两个圆的交点的连线是球的直径；②用过球心的平面截球，截面圆是球的大圆；③球面上任意一点到球心的距离等于半径；④球面上不同的三点可能在同一条直线上．其中正确命题的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式3】下列说法中正确的个数是（   ） ①半圆弧以其直径所在直线为轴旋转一周所成的曲面叫球；②空间中到定点的距离等于定长的所有点的集合叫球面；③球面和球是同一个概念；④经过球面上不同的两点只能作一个最大的圆 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式4】下列说法中正确的个数是（ ） ①球的半径是球面上任意一点与球心的连线； ②球面上任意两点的连线是球的直径； ③用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆； ④用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面； ⑤以半圆的直径所在直线为轴旋转形成的曲面叫做球； ⑥空间中到定点的距离等于定长的所有的点构成的曲面是球面. A．0 B．1 C．2 D．3 题型05 圆柱、圆锥、圆台的结构特征与应用 【典例1】下列说法正确的是（    ） A．用一平面去截圆台，截面一定是圆面 B．在圆台的上、下底面圆周上各取一点，则两点的连线就是圆台的母线 C．圆台的任意两条母线延长后相交于同一点 D．圆锥的母线可能平行 【变式1】（多选）下列说法中，正确的是（    ） A．在圆柱上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线 B．圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线 C．在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线 D．圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的 【变式2】（多选）下列命题中正确的是（　　） A．过球心的截面所截得的圆面的半径等于球的半径 B．母线长相等的不同圆锥的轴截面的面积相等 C．圆台中所有平行于底面的截面都是圆面 D．圆锥所有的轴截面都是全等的等腰三角形 【变式3】下列说法： ①以直角梯形的一腰所在的直线为旋转轴，旋转一周得到的旋转体为圆台； ②圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面； ③分别以矩形两条相邻边所在直线为旋转轴，将矩形旋转一周，所得到的两个圆柱可能是不同的圆柱； ④用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台． 其中正确说法的序号是______． 【变式4】下列说法中正确的个数是（ ） ①球的半径是球面上任意一点与球心的连线； ②球面上任意两点的连线是球的直径； ③用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆； ④用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面； ⑤以半圆的直径所在直线为轴旋转形成的曲面叫做球； ⑥空间中到定点的距离等于定长的所有的点构成的曲面是球面. A．0 B．1 C．2 D．3 1．有以下命题： ①8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚； ②有一个平面的长是，宽是； ③平面是无厚度、可以无限延展的抽象的数学概念． 其中正确命题的个数为( ) A．0     B．1     C．2     D．3 2．如图所示的棱锥有（   ）个面. A．3 B．4 C．5 D．6 3．下列几何体是棱台的是（   ） A． B． C． D． 4．如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（   ） A．（1）是棱台 B．（2）是圆台 C．（3）是棱锥 D．（4）不是棱柱 5．下列命题中，正确的是（    ） A．棱柱中所有的侧棱都相交于一点 B．棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面 C．棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形 D．棱柱的侧棱相等，侧面是平行四边形 6．在五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱的对角线的条数共有（   ） A．条 B．条 C．条 D．条 7．下列说法中正确的个数是（    ） ①以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，旋转一周得到的旋转体不一定是圆锥；②以直角梯形的一边所在直线为旋转轴，旋转一周得到的旋转体是圆台；③圆锥、圆台的底面都是圆；④分别以矩形（不是正方形）的长和宽所在直线为旋转轴，旋转一周得到的两个圆柱是两个不同的圆柱. A．1 B．2 C．3 D．4 8．下列关于棱柱的说法正确的是(    ) A．所有的棱柱两个底面都平行 B．所有的棱柱一定有两个面互相平行，其余各面每相邻两个面的公共边互相平行 C．棱柱至少有五个面 D．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体一定是棱柱 9．下列说法中，正确的有（    ） A．平面是由空间点、线组成的无限集合 B．棱柱中，各条棱长都是相等的 C．侧棱垂直于底面的棱柱为正棱柱 D．侧面都是矩形的棱柱为直棱柱 10．下列关于长方体的叙述中正确的是(   ) A．将一个矩形沿竖直方向平移一段距离一定能形成一个长方体 B．长方体中相对的面互相平行 C．长方体某一底面上的高就是这一面与其所对面的距离 D．长方体中两相对面之间的棱互相平行且等长 11．给出下列命题，正确的是（    ） A．圆柱的母线与它的轴可以不平行 B．圆锥的顶点、圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线都可以构成直角三角形 C．在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线不一定是圆台的母线 D．圆柱的任意两条母线所在的直线可以不互相平行的 12．下列命题正确的是（    ） A．棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形 B．用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体是棱台 C．圆锥有无数条母线 D．各个面都是三角形的几何体是三棱锥 13．下列说法中，正确的是（    ） A．在圆柱上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线 B．圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线 C．在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线 D．圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的 14．下列说法正确的是（   ） A．任何一个几何体都必须有顶点、棱和面 B．一个几何体可以没有顶点 C．一个几何体可以没有棱 D．一个几何体可以没有面 15．在如图所示的7个几何体中，有________个是棱柱． 16．下列关于棱锥、棱台的说法： ①用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台； ②棱台的侧面一定不会是平行四边形； ③棱锥的侧面只能是三角形； ④由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥； ⑤棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥． 其中正确的序号是________． 17．下列说法中正确的说法的序号是________． ①有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体的侧棱一定不相交于一点，故一定不是棱台； ②棱台的任意两条侧棱所在直线一定相交； ③两个互相平行的面是平行四边形，其余各面是梯形的几何体不一定是棱台； ④两个互相平行的面是矩形，其余各面是梯形的几何体是棱台． 18．下列三个命题，其中不正确的是________． ①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台； ②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台； ③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台． 19．如图，在三棱台A'B'C'-ABC中，截去三棱锥A'-ABC，则剩余部分是________________（选择下列其中一个填上： 三棱锥、四棱锥、三棱台） 20．①空间中到定点的距离等于定长的点的集合，构成半径为的球；②空间中到定点的距离等于定长的点的集合，构成半径为的球面；③球的对称轴有无数条，对称中心也有无数个；④用平面截球，随着平面角度不同，截面可能不是圆面.上述四种说法中正确的个数是__________. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.1 基本立体图形 教学目标 1. 认识常见的基本立体图形（棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球），掌握其结构特征及分类 2. 理解多面体与旋转体的概念，能区分多面体与旋转体的异同 3. 掌握基本立体图形的表面积、体积计算公式，能熟练进行简单计算 4. 能解决与基本立体图形相关的截面、结构辨析、体积表面积综合问题 5. 培养空间想象能力，能结合图形分析立体图形的几何性质 教学重难点 1. 重点 （1）棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征及辨析 （2）基本立体图形的表面积与体积公式及应用 2. 难点：立体图形的截面问题、复杂立体图形的体积表面积计算、空间图形的想象与分析 知识点01平面的概念 （1）平面：几何里所说的“平面”是从实际生活中______的数学概念，是_______________的． （2）平面的表示：用______或______来表示平面． （3）平面的画法：用______来表示平面． 【答案】抽象出来 没有厚薄并且可以无限延展 一个小写希腊字母 一个或多个大写英文字母 一个平行四边形 【即学即练】 1．现有下列命题：①桌面是平面；②个平面重叠起来要比个平面重叠起来厚；③有一个平面的长是，宽是；④平面是绝对平、无厚度、可以无限延展的抽象的数学概念．其中正确命题的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由平面的概念和特征知，平面是平滑、无厚度、可无限延展的，可以判定命题④正确． 其余的命题都不符合平面的概念和特征，所以命题①②③都不正确．故选：A． 知识点02空间几何体 （1）空间几何体的定义：如果我们只考虑它们的__________和__________，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形称为空间几何体. （2）空间几何体的分类 类别 多面体 旋转体 定义 一般地，由若干个 围成的几何体叫做多面体 一条平面曲线（包括直线）绕它所在平面内的 旋转所形成的曲面叫做 ，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体 图形 相关概念 面：围成多面体的各个 ； 棱：两个面的 ； 顶点：棱与棱的公共点 轴：形成旋转体所绕的定直线 （3）多面体的分类:多面体可以用它的面的数量进行命名,有几个面的多面体就叫做几面体. 例如：三棱锥是________面体;长方体（四棱柱）是________面体. 一般地,一个棱锥是________面体;棱柱或棱台是________面体. 【答案】形状 大小 平面多边形 一条定直线 旋转面 多边形 公共边 四 六 【即学即练】 2．观察如图所示的四个几何体，其中判断不正确的是(　　) A．①是棱柱 B．②不是棱锥 C．③不是棱锥 D．④是棱台 【答案】B 【详解】①是棱柱，②是棱锥，③不是棱锥，④是棱台，故选B． 知识点03 棱柱、棱锥、棱台的结构特征 棱柱 棱锥 棱台 定义 有__________，其余各面都是四边形，并且__________，由这些面所围成的多面体叫做棱柱． 有__________，其余各面都是__________，由这些面所围成的多面体叫做棱锥． 用一个__________去截棱锥，__________叫做棱台． 相关概念 （1）底面（底）：两个互相__________的面． （2）侧面：__________ （3）侧棱：相邻侧面的__________ （4）顶点：侧面与底面的__________ （1）底面（底）：__________ （2）侧面：有公共顶点的各个__________． （3）侧棱：相邻侧面的__________ （4）顶点：各侧面的__________． （1）上底面：原棱锥的__________． （2）下底面：原棱锥的__________． （3）侧面：其余各面． （4）侧棱：相邻侧面的公共边． （5）顶点：侧面与底面的公共顶点 图形及表示 棱柱（或六棱柱）． 棱锥（或四棱锥－）． 棱台． 结构特征 （1）底面互相平行且全等． （2）侧面都是平行四边形． （3）侧棱都相等，且互相平行 （1）底面是多边形． （2）侧面都是三角形． （3）侧面有一个公共顶点． （1）上、下底面互相平行，且是相似图形． （2）各侧棱的延长线交于 一点． （3）各侧面为梯形 分类 棱柱的底面是几边形该棱柱就叫几棱柱，例如，三棱柱、四棱柱… 棱锥的底面是几边形该棱锥就叫几棱锥，例如，三棱锥、四棱锥… 由几棱锥截得的该棱台就叫几棱台，例如，由三棱锥截得的棱台叫三棱台． 【答案】两个面互相平行 相邻两个四边形的公共边都互相平行 一个面是多边形 有一个公共顶点的三角形 平行于棱锥底面的平面 底面和截面之间那部分多面体 平行 其余各面 公共边 公共顶点 多边形面 三角形面 公共边 公共顶点 截面 底面 【即学即练】 3．下列几何体中，柱体有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】根据棱柱的定义知，这4个几何体都是柱体．故选：D 4．判断正误并给出理由． （1）长方体是四棱柱；( ) （2）直四棱柱是长方体；( ) （3）底面是正多边形的棱锥一定是正棱锥；( ) （4）延长一个棱台的各条侧棱，它们相交于一点．( ) 【答案】正确 错误 错误 正确 【详解】（1）根据棱柱的定义可知，长方体是一类特殊的四棱柱，所以正确；（2）侧棱垂直于底面的四棱柱叫做直四棱柱，但是直四棱柱的底面不一定是矩形，所以直四棱柱不一定是长方体，即该说法错误； （3）底面是正多边形，且侧棱长都相等的棱锥才是正棱锥，若侧棱长不相等就不是正棱锥，所以该说法错误；（4）根据棱台的定义可知，延长一个棱台的各条侧棱，它们相交于对应棱锥的顶点，所以该说法正确． 故答案为：正确，错误，错误，正确 知识点04 几个特殊的棱柱 （1）直棱柱：________的棱柱叫做直棱柱（如图①③）； （2）斜棱柱：________的棱柱叫做斜棱柱（如图②④）； （3）正棱柱：底面是正多边形的________叫做正棱柱（如图③）； （4）平行六面体：底面是________的四棱柱也叫做平行六面体（如图④）． 【答案】侧棱垂直于底面 侧棱不垂直于底面 直棱柱 平行四边形 【即学即练】 5．下列说法正确的是 A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 C．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体 D．九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面均为平行四边形 【答案】D 【详解】有两个面平行，其余各面有相邻的公共边且都相互平行的平行四边形的几何体叫棱柱,如图所示A、B都不正确．各侧面都是正方形的四棱柱,上下底面可能是菱形,所以C不正确． 根据棱柱的定义可知九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面均为平行四边形.故D正确．故选:D 知识点05 圆柱、圆锥、圆台、球 圆柱 圆锥 圆台 球 图 形 定 义 以_____的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体 以________的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体 用_____于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分 以半圆的直径所在直线为旋转轴，旋转一周所形成的曲面叫做_____，球面所围成的旋转体 结 构 特 征 ①母线互相平行且相等，并垂直于底面 ②轴截面是全等的矩形 ③侧面展开图是矩形 ①母线相交于一点 ②轴截面是全等的等腰三角形 ③侧面展开图是扇形 ①母线延长线交于一点 ②轴截面是全等的等腰梯形 ③侧面展开图是扇环 截面是圆面 【答案】矩形 直角三角形 平行 球面 【即学即练】 6．下列几何体中不是旋转体的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据旋转体的定义选D 题型01 基本立体图形的结构特征判断 【典例1】下列结论正确的个数有（    ） ①曲面上可以存在直线；②平面上可存在曲线；③曲线运动的轨迹可形成平面；④直线运动的轨迹可形成曲面；⑤曲面上不能画出直线. A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【解析】根据空间中构成直线、曲线、平面的基本元素，结合简单几何体，逐项判断，即可得出结果. 【详解】①曲面上可以存在直线，正确；如：圆锥顶点与底面圆周上的点的连线； 故⑤错；②平面上可存在曲线，正确；如：圆、椭圆等；③曲线运动的轨迹可形成平面，正确；如：一个平面直角坐标系中的任意一个曲线，沿该坐标系中的任意另一条线运动，所形成的轨迹是平面；④直线运动的轨迹可形成曲面，正确；如圆柱的侧面即可看作一条直线运动的轨迹；故选：C. 【变式1】下列不属于构成空间几何体的基本元素的是（    ） A．点 B．线段 C．曲面 D．多边形（不包括内部的点） 【答案】D 【详解】空间中的几何体是由点、线、面构成的,而线有直线和曲线之分,面有平面和曲面之分,只有多边形（不包括内部的点）不属于构成空间几何体的基本元素,故选:D 【变式2】下列几何体中是十面体的是（    ） A．七棱锥 B．八棱锥 C．七棱柱 D．八棱台 【答案】D 【详解】七棱锥是八面体，八棱锥､七棱柱均是九面体，八棱台是十面体.故选项D正确. 【变式3】观察如图所示的四个几何体，其中判断不正确的是(　　) A．①是棱柱 B．②不是棱锥 C．③不是棱锥 D．④是棱台 【答案】B 【详解】①是棱柱，②是棱锥，③不是棱锥，④是棱台，故选B． 【变式4】下列说法：①任何一个几何体都必须有顶点、棱和面；②一个几何体可以没有顶点；③一个几何体可以没有棱；④一个几何体可以没有面.其中正确的是________（填序号）. 【答案】②③. 【详解】球只由一个曲面围成,故①错误；②正确；③正确；由于几何体是空间图形,故一定有面,④错误, 故答案为:②③. 【变式5】图中的几何体的顶点、棱和面的数目分别是（    ） A．4，5，3 B．4，5，4 C．4，6，4 D．4，6，3 【答案】C 【详解】由图可知,几何体是个三棱锥,则有4个顶点,6条棱,4个面,故选:C 题型02 棱柱的结构特征与辨析 【典例1】如图，长方体中被截去一小部分，其中，，则剩下的几何体是（   ） A．棱台 B．四棱柱 C．五棱柱 D．六棱柱 【答案】C 【详解】依题意，，且，又平面平面，所以由棱柱的结构特征知，剩下的几何体为五棱柱． 【变式1】下列几何体中，柱体有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】根据棱柱的定义知，这4个几何体都是柱体．故选：D 【变式2】下列命题中，正确的是（    ） A．棱柱中所有的侧棱都相交于一点 B．棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面 C．棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形 D．棱柱的侧棱相等，侧面是平行四边形 【答案】D 【详解】对于A，不符合棱柱的侧棱平行的特点，故A错误；对于B选项，如图（1），构造四棱柱，令四边形是梯形，可知平面平面，但这两个面不能作为棱柱的底面，故B错误；选项C中，如图（2），底面可以是平行四边形，故C错误；对于D，说明了棱柱的特点，故D正确.故选：D． 【变式3】下列命题正确的是（    ） A．底面是正方形，有两个侧面是矩形的棱柱是正四棱柱 B．底面是正方形，有两个侧面垂直于底面的棱柱是正四棱柱 C．每个侧面都是全等矩形的四棱柱是正四棱柱 D．底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直的棱柱是正四棱柱 【答案】D 【详解】对于A、B：上、下底面都是正方形，且侧棱垂直于底面的棱柱叫做正四棱柱．如图四棱柱，满足平面平面，平面平面，底面是正方形，且四边形、为矩形，但是平面不垂直平面，故A、B错误； 对于C：底面是菱形（不是正方形）的直四棱柱，满足每个侧面都是全等矩形，但是不是正四棱柱，故C错误；对于D：底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直能保证上、下底面都是正方形，且侧棱垂直于底面，故是正四棱柱，故D正确．故选：D. 【变式4】关于棱柱的说法中不正确的是（    ） A．有两个面互相平行，其余各面都是四边形且相邻两个四边形的公共边都互相平行，这些面所围成的多面体是棱柱； B．由一个平面多边形（包含多边形内部）沿某一方向平移形成的空间图形叫做棱柱； C．有两个面是互相平行且全等的平面多边形，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱； D．有两个面是互相平行且全等的平面多边形，其余不在这两个面上的棱都相互平行的多面体是棱柱． 【答案】C 【详解】对于A，这是棱柱的严格定义，两个互相平行的面是底面，其余各面为四边形，且相邻四边形的公共边互相平行，符合棱柱的本质特征，故A正确；对于B，这是棱柱的 “平移生成” 定义，一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间图形，正是棱柱的形成方式，故B正确；对于C，这个说法错误，反例：将两个全等的平行四边形按错位方式拼接，使其余各面虽为平行四边形，但整体不是棱柱，因为相邻面的公共边不满足 “互相平行且方向一致” 的要求，故C错误；对于D，这个说法是正确的，两个平行且全等的平面多边形为底面，其余不在这两个面上的棱都相互平行，满足棱柱的判定条件，故D正确.故选：C. 【变式5】（多选）棱柱的侧面都是（    ） A．三角形 B．四边形 C．平行四边形 D．矩形 【答案】BC 【详解】由棱柱的性质可知，棱柱的侧面都是四边形，且都是平行四边形．故选：BC. 【变式6】（多选题）下列说法错误的是（   ） A．斜棱柱的侧棱垂直于底面 B．正棱柱的高可以与侧棱不相等 C．六个面都是矩形的六面体是长方体 D．底面是正多边形的棱柱为正棱柱 【答案】ABD 【详解】A.斜棱柱的侧棱与底面不垂直，故A错误；B.正棱柱是底面为正多边形的直棱柱，侧棱即为正棱柱的高，故B正确；C. 根据长方体的定义，六个面都是矩形的六面体是长方体，故C正确；D. 正棱柱的定义是底面是正多边形且侧棱垂直于底面的棱柱（即直棱柱），选项D的描述缺少“侧棱垂直于底面”或“是直棱柱”的条件，故D错误． 【变式7】（多选）某同学用8块全等的三角形薄板（不计厚度），通过拼接得到一个封闭的几何体（薄板均在几何体的表面，且没有剩余），则（   ） A．该几何体可能是三棱锥 B．该几何体可能是四棱柱 C．用8块全等的等腰三角形可能拼接成一个三棱柱 D．用8块全等的直角三角形可能拼接成一个三棱柱 【答案】AC 【详解】对于A，可用两块含角的直角三角形薄板拼成一块等边三角形薄板， 像这样得到4个等边三角形，即可拼成正四面体（三棱锥），A正确； 对于B，四棱柱一共有6个面，每个面都是四边形，至少需要12个三角形才能得到，故B错误； 对于C，如图，先用6个等腰三角形（腰为a，底为b）拼成三棱柱的三个侧面， 要构成三棱柱，将平行四边形和分别沿和折起， 必须使A与G重合，B与H重合，只要取合适的值，使侧面展开图中垂直即可， 实际上，当时，， 在中，， 则， 则，即可得，即此时即可满足题意，C正确； 对于D，由C的分析可知等腰三角形不符合题意，故考虑非等腰的直角三角形， 设三角形三边长为，同样先考虑侧面，需要6个直角三角形，假设三棱柱的侧棱为a， 因为每个侧面有两条边为侧棱，所以这6个直角三角形的a边都为侧棱， 则棱柱的上、下底面就不可能出现a边，因此直角三角形不符合条件，故D错误. 题型03 棱锥、棱台的结构特征与辨析 【典例1】下列命题正确的是（    ） A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体是棱柱 B．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥 C．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱 D．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体是棱台 【答案】C 【详解】对于A，有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体不一定是棱柱，可能是棱台或组合图形，故A错误；对于B，有一个面是多边形，其余各面是有公共顶点的三角形的几何体才是棱锥，故B错误； 对于C，根据棱柱的定义，有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱，故C正确；对于D，用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体才是棱台，故D错误.故选：C. 【变式1】具备下列条件的多面体是棱台的是（    ） A．两底面是相似多边形的多面体 B．侧面是梯形的多面体 C．两底面平行的多面体 D．两底面平行，侧棱延长后交于一点的多面体 【答案】D 【详解】棱台是由棱锥截得的，因此一个几何体要成为棱台应有两个条件：一是上、下底面平行；二是各侧棱延长后必须交于一点，选项C只具备一个条件，选项A、B则两条件都不具备，只有D正确． 故选：D 【变式2】下列三种叙述，正确的有（ ） ①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台； ②两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台； ③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【详解】①中的平面不一定平行于底面，故①错误；②③可用反例去检验，如图所示，侧棱延长线不能相交于一点，故②③错． 故选：. 【变式3】下列说法中，正确的是（   ） A．有一个面为多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体是棱锥 B．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台 C．棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形 D．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形 【答案】A 【详解】对于A选项，由棱锥的定义判断A正确； 对于B选项，只有当平面与底面平行时，所截部分才是棱台，所以B错误； 对于C选项，棱柱的底面可为任意平面多边形，所以C错误； 对于D选项，斜棱柱的侧面不是全等的平行四边形，所以D错误. 故选：A. 【变式4】下列说法中正确的是（    ） ①棱锥的各个侧面都是三角形；②四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面；③棱锥的侧棱平行． A．① B．①② C．② D．③ 【答案】B 【详解】由棱锥的定义，知棱锥的各侧面都是三角形，故①正确；四面体就是由四个三角形所围成的几何体，因此以四面体的任何一个面作底面的几何体都是三棱锥，故②正确；棱锥的侧棱交于一点，故③错误． 故选：B. 【变式5】（多选）下列命题中正确的是（   ） A．棱柱的侧面一定是平行四边形 B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 C．棱锥的各侧面一定有一个公共点 D．棱台各侧棱的延长线交于一点 【答案】ACD 【详解】对于A选项，由棱柱的定义知，棱柱各侧面一定为平行四边形，故A正确；对于B选项，如图，平面平面，但图中的几何体每相邻两个四边形的公共边并不互相平行，故不是棱柱，故B错误；对于C选项，棱锥有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，即必须是有一个公共顶点的几何体，故C正确；对于D选项，棱台是用一个平行于底面的平面去截棱锥而得到的，其各侧棱的延长线必交于一点，故D正确．故选：ACD. 题型04 球体的结构特征与应用 【典例1】下列说法正确的是有（    ） ①空间中到定点的距离等于定长的点的集合，构成半径为的球； ②空间中到定点的距离等于定长的点的集合，构成半径为的球面； ③球的对称轴有无数条，对称中心也有无数个； ④用平面截球，随着平面角度不同，截面可能不是圆面． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【详解】对于①，球的定义既包括球面又包括球里的部分，故①错误； 对于②，根据球面的定义，空间中到定点的距离等于定长的点的集合，构成半径为的球面，故②正确； 对于③，球是一个特殊的空间几何体，根据其性质可知，其对称中心只有球心一个，故③错误； 对于④，根据球的性质，平面截球的任何截面都是圆，故④错误； 故选：B. 【变式1】下列为旋转体的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于A，球是旋转体，直径是球的旋转轴，故A符合题意； 对于B，长方体是多面体，故B不符合题意； 对于C，四棱锥是多面体，故C不符合题意； 对于D，三棱柱是多面体，故D不符合题意. 【变式2】给出下列命题：①球的任意两个圆的交点的连线是球的直径；②用过球心的平面截球，截面圆是球的大圆；③球面上任意一点到球心的距离等于半径；④球面上不同的三点可能在同一条直线上．其中正确命题的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【详解】由球的结构特征知，②③正确，①④错误.所以正确命题的个数有2个. 【变式3】下列说法中正确的个数是（   ） ①半圆弧以其直径所在直线为轴旋转一周所成的曲面叫球；②空间中到定点的距离等于定长的所有点的集合叫球面；③球面和球是同一个概念；④经过球面上不同的两点只能作一个最大的圆 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】半圆弧以其直径所在直线为轴旋转一周所成的曲面叫球面，球面围成的几何体叫球，故①错误；②正确；球面和球是两个不同的概念，故③错误；若球面上不同的两点恰好为最大的圆的直径的端点，则过此两点的大圆有无数个，故④错误，所以说法正确的有1个. 【变式4】下列说法中正确的个数是（ ） ①球的半径是球面上任意一点与球心的连线； ②球面上任意两点的连线是球的直径； ③用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆； ④用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面； ⑤以半圆的直径所在直线为轴旋转形成的曲面叫做球； ⑥空间中到定点的距离等于定长的所有的点构成的曲面是球面. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】①正确；当球面上两点的连线经过球心时，这两点的连线才是球的直径，故②错误；③用一个平面截一个球，得到的截面是圆面，而不是一个圆，故③错误；④正确；曲面所围成的几何体叫做球，故⑤错误；⑥正确；故正确说法为①④⑥，共3个.故选： 题型05 圆柱、圆锥、圆台的结构特征与应用 【典例1】下列说法正确的是（    ） A．用一平面去截圆台，截面一定是圆面 B．在圆台的上、下底面圆周上各取一点，则两点的连线就是圆台的母线 C．圆台的任意两条母线延长后相交于同一点 D．圆锥的母线可能平行 【答案】C 【详解】对于A，当平面沿轴截圆台时，截面为等腰梯形，故A错误； 对于B，旋转的直角梯形不垂直于底的腰叫做圆台的母线，故B错误； 对于C，由于圆台可由一个平行于底面的平面截圆锥所得，故C正确；故D错误； 故选：C. 【变式1】（多选）下列说法中，正确的是（    ） A．在圆柱上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线 B．圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线 C．在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线 D．圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的 【答案】BD 【详解】若在圆柱上下底面各取的点的连线能平行于轴，则是母线，反之则不是，故选项A错误；由圆锥母线的定义可知选项B正确；圆台可看做是由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到的，根据圆锥母线的定义可知选项C错误；因为圆柱的母线都平行于轴，故也相互平行，故选项D正确.故选：BD. 【变式2】（多选）下列命题中正确的是（　　） A．过球心的截面所截得的圆面的半径等于球的半径 B．母线长相等的不同圆锥的轴截面的面积相等 C．圆台中所有平行于底面的截面都是圆面 D．圆锥所有的轴截面都是全等的等腰三角形 【答案】ACD 【详解】对于A项，根据球的特征，可知A项正确；对于B项，圆锥的轴截面为三角形，该三角形顶角的取值范围为，显然面积不相等，故B项错误；对于C项，根据圆台的特征，可知C项正确；对于D项，圆锥所有的轴截面都是三角形，且腰长等于母线长，故D项正确.故选：ACD. 【变式3】下列说法： ①以直角梯形的一腰所在的直线为旋转轴，旋转一周得到的旋转体为圆台； ②圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面； ③分别以矩形两条相邻边所在直线为旋转轴，将矩形旋转一周，所得到的两个圆柱可能是不同的圆柱； ④用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台． 其中正确说法的序号是______． 【答案】②③ 【详解】①错误．以直角梯形垂直于底的腰所在的直线为旋转轴，旋转一周得到的旋转体是圆台；但以另一条不垂直于底的腰所在的直线为旋转轴，旋转一周得到的旋转体不是圆台。故原说法错误.②正确．圆柱、圆锥、圆台的底面都是垂直于轴的矩形、直角三角形、直角梯形的一边旋转而成的圆面．③正确．若矩形的两邻边长不相等，则其旋转形成的曲面或圆面的半径也不一样，故所得圆柱也不同．④错误．当此平面与圆锥的底面平行时，才能截得一个圆锥和一个圆台，否则不能得到．故答案为：②③ 【变式4】下列说法中正确的个数是（ ） ①球的半径是球面上任意一点与球心的连线； ②球面上任意两点的连线是球的直径； ③用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆； ④用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面； ⑤以半圆的直径所在直线为轴旋转形成的曲面叫做球； ⑥空间中到定点的距离等于定长的所有的点构成的曲面是球面. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】①正确；当球面上两点的连线经过球心时，这两点的连线才是球的直径，故②错误；③用一个平面截一个球，得到的截面是圆面，而不是一个圆，故③错误；④正确；曲面所围成的几何体叫做球，故⑤错误；⑥正确；故正确说法为①④⑥，共3个.故选： 1．有以下命题： ①8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚； ②有一个平面的长是，宽是； ③平面是无厚度、可以无限延展的抽象的数学概念． 其中正确命题的个数为( ) A．0     B．1     C．2     D．3 【答案】A 【详解】根据平面的特点：没有厚度、宽度、长度、以及平面是无限延展的，可知三个命题均错.故选：A 2．如图所示的棱锥有（   ）个面. A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】根据题意，图中的棱锥为一个四棱锥，由一个底面和四个侧面组成，共有5个面. 3．下列几何体是棱台的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】棱锥的底面和平行于底面的一个截面间的部分，叫做棱台，只有D是棱台 4．如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（   ） A．（1）是棱台 B．（2）是圆台 C．（3）是棱锥 D．（4）不是棱柱 【答案】C 【详解】图①不是由棱锥截得的，所以①不是棱台；图②上、下两个面不平行，所以②不是圆台； 图③是棱锥．图④前、后两个面平行，其他面是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边平行，所以④是棱柱．故选：C． 5．下列命题中，正确的是（    ） A．棱柱中所有的侧棱都相交于一点 B．棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面 C．棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形 D．棱柱的侧棱相等，侧面是平行四边形 【答案】D 【详解】对于A，不符合棱柱的侧棱平行的特点，故A错误；对于B选项，如图（1），构造四棱柱，令四边形是梯形，可知平面平面，但这两个面不能作为棱柱的底面，故B错误；选项C中，如图（2），底面可以是平行四边形，故C错误；对于D，说明了棱柱的特点，故D正确.故选：D． 6．在五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱的对角线的条数共有（   ） A．条 B．条 C．条 D．条 【答案】D 【详解】如下图所示：在五棱柱中，若对角线的一个端点为，则满足条件的对角线为、，同理可知，有一个端点分别为、、、的对角线各有两条， 综上所述，一个五棱柱的对角线共有条.故选：D. 7．下列说法中正确的个数是（    ） ①以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，旋转一周得到的旋转体不一定是圆锥；②以直角梯形的一边所在直线为旋转轴，旋转一周得到的旋转体是圆台；③圆锥、圆台的底面都是圆；④分别以矩形（不是正方形）的长和宽所在直线为旋转轴，旋转一周得到的两个圆柱是两个不同的圆柱. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】若以直角三角形的斜边所在直线为旋转轴，得到的是由两个底面重合的圆锥组成的旋转体，故①说法正确；必须以直角梯形的垂直于底边的腰所在直线为旋转轴才能得到圆台，若以其余三边所在直线为旋转轴，则不能得到圆台，故②说法错误；圆锥、圆台的底面都是圆，故③说法正确；设矩形的长为，宽为，以矩形的长所在直线为旋转轴，旋转一周得到的圆柱的底面为半径为的圆，圆柱的高为，以矩形的宽所在直线为旋转轴，旋转一周得到的圆柱的底面为半径为的圆，圆柱的高为，故它们是两个不同的圆柱，故④说法正确；故说法正确的是①③④，正确的说法的个数为，故选：C. 8．下列关于棱柱的说法正确的是(    ) A．所有的棱柱两个底面都平行 B．所有的棱柱一定有两个面互相平行，其余各面每相邻两个面的公共边互相平行 C．棱柱至少有五个面 D．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体一定是棱柱 【答案】ABC 【详解】根据棱柱的定义可知棱柱的两个底面平行且全等，故A正确；根据棱柱的定义可知棱柱的两个底面平行且全等，侧棱均平行，故B正确；棱柱底面至少为三角形，故棱柱至少有2个底面+3个侧面=5个面，故C正确；如图所示，该几何体满足有两个面互相平行且其余各面都是四边形，但该几何体不是棱柱，故D错误．故选：ABC． 9．下列说法中，正确的有（    ） A．平面是由空间点、线组成的无限集合 B．棱柱中，各条棱长都是相等的 C．侧棱垂直于底面的棱柱为正棱柱 D．侧面都是矩形的棱柱为直棱柱 【答案】AD 【详解】由平面的基本特征，平面是由无数个点或线组成的集合，A正确；棱柱的侧棱平行且相等，但不是所有的棱都一定相等，B错误；侧棱垂直于底面的棱柱为直棱柱，底面为正多边形的直棱柱为正棱柱，C错误，侧面都是矩形可得侧棱垂直于底面，则棱柱为直棱柱，D正确；故选：AD 10．下列关于长方体的叙述中正确的是(   ) A．将一个矩形沿竖直方向平移一段距离一定能形成一个长方体 B．长方体中相对的面互相平行 C．长方体某一底面上的高就是这一面与其所对面的距离 D．长方体中两相对面之间的棱互相平行且等长 【答案】BCD 【详解】A选项中,若矩形斜放,则不会形成长方体,故A不正确;B,C,D三项由长方体性质可知均正确.故选:BCD. 11．给出下列命题，正确的是（    ） A．圆柱的母线与它的轴可以不平行 B．圆锥的顶点、圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线都可以构成直角三角形 C．在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线不一定是圆台的母线 D．圆柱的任意两条母线所在的直线可以不互相平行的 【答案】BC 【详解】对于A，由圆柱的定义可知：圆柱的母线与它的轴都平行，故A错误；对于B，由圆锥的定义可知：圆锥的顶点、圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线都可以构成直角三角形，故B正确； 对于C，由圆台母线定义可知：在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线不一定是圆台的母线，故C正确；对于D，由圆柱定义可知：圆柱的任意两条母线所在的直线都是互相平行的，故D错误. 12．下列命题正确的是（    ） A．棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形 B．用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体是棱台 C．圆锥有无数条母线 D．各个面都是三角形的几何体是三棱锥 【答案】AC 【详解】A：根据棱柱的性质可知棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形，因此本选项说法正确； B：因为用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体是棱台，所以本选项说法不正确； C：根据圆锥的性质可知圆锥有无数条母线，所以本选项说法正确； D：两个底面重合的三棱锥组合在一起就不是三棱锥，所以本选项说法不正确； 13．下列说法中，正确的是（    ） A．在圆柱上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线 B．圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线 C．在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线 D．圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的 【答案】BD 【详解】若在圆柱上下底面各取的点的连线能平行于轴，则是母线，反之则不是，故选项A错误； 由圆锥母线的定义可知选项B正确；圆台可看做是由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到的，根据圆锥母线的定义可知选项C错误；因为圆柱的母线都平行于轴，故也相互平行，故选项D正确.故选：BD. 14．下列说法正确的是（   ） A．任何一个几何体都必须有顶点、棱和面 B．一个几何体可以没有顶点 C．一个几何体可以没有棱 D．一个几何体可以没有面 【答案】BC 【详解】构成几何体的基本元素为点、线、面，例如：球只有一个曲面，故A错误，B正确，C正确； 由于几何体是空间图形，所以一个几何体一定有面，所以D错误． 15．在如图所示的7个几何体中，有________个是棱柱． 【答案】3 【详解】由棱柱的定义；有两个面互相平行，且该多面体的顶点都在这两个面上， 其余各面都是平行四边形，这样的多面体叫做棱柱， 所以①③⑤是棱柱，即有3个是棱柱． 16．下列关于棱锥、棱台的说法： ①用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台； ②棱台的侧面一定不会是平行四边形； ③棱锥的侧面只能是三角形； ④由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥； ⑤棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥． 其中正确的序号是________． 【答案】②③④ 【详解】①：若平面不与棱锥底面平行，用这个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分不是棱台，故①错误；②：棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形，故②正确；③：由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形，故③正确；④：由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥，故④正确；⑤：如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥，故⑤错误；故答案为：②③④. 17．下列说法中正确的说法的序号是________． ①有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体的侧棱一定不相交于一点，故一定不是棱台； ②棱台的任意两条侧棱所在直线一定相交； ③两个互相平行的面是平行四边形，其余各面是梯形的几何体不一定是棱台； ④两个互相平行的面是矩形，其余各面是梯形的几何体是棱台． 【答案】①②③ 【详解】对于①，有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱，其侧棱互相平行，不相交于一点，故一定不是棱台，①正确； 对于②，由棱台的定义可知，其所有侧棱延长后必相交于一点，故任意两条侧棱所在直线一定相交，②正确； 对于③，两个互相平行的面是平行四边形，其余各面是梯形的几何体，其侧棱延长后不一定相交于一点，故不一定是棱台，③正确； 对于④，两个互相平行的面是矩形，其余各面是梯形的几何体，其侧棱延长后也不一定相交于一点，故不一定是棱台，④错误 18．下列三个命题，其中不正确的是________． ①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台； ②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台； ③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台． 【答案】①②③ 【详解】必须用一个平行底面的平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分才是棱台，故①不正确；两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体并不能说明各条侧棱是否交于一点，故不能判定②正确；有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体不一定是棱台，如图所示：故③不正确． 19．如图，在三棱台A'B'C'-ABC中，截去三棱锥A'-ABC，则剩余部分是________________（选择下列其中一个填上： 三棱锥、四棱锥、三棱台） 【答案】四棱锥 【详解】在三棱台中，截去三棱锥后剩余部分共有个面， 分别为和梯形，且四个三角形有公共顶点， 故剩余部分是四棱锥. 20．①空间中到定点的距离等于定长的点的集合，构成半径为的球；②空间中到定点的距离等于定长的点的集合，构成半径为的球面；③球的对称轴有无数条，对称中心也有无数个；④用平面截球，随着平面角度不同，截面可能不是圆面.上述四种说法中正确的个数是__________. 【答案】1 【详解】空间中到定点的距离等于定长的点的集合，构成半径为的球面，①错误，②正确， 球的对称轴有无数条，球的对称中心只有一个，就是球的球心，③错误； 用平面截球，平面角度不同时，截面都是圆面，④错误； 所以正确的说法只有②，正确的说法的个数为，故答案为：. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $