5.3.1 分式方程的概念 课件 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

北师大版数学8年级下册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（*）班 . 时 间： . 2026年4月28日 5.3.1分式方程的概念 第五章　分式与分式方程 北师大版八年级数学下册 5.3.1 分式方程的概念 练习题 班级：________ 姓名：________ 得分：________ 时间：45分钟 本次练习题围绕“分式方程的概念”核心知识点设计，涵盖分式方程的判断、分式方程的解的概念、检验分式方程的解、根据条件列分式方程，分层考查基础应用与能力提升，助力巩固分式方程的定义，掌握分式方程解的检验方法，培养方程思维。 一、选择题（每题3分，共15分） 1. 下列方程中，属于分式方程的是（ ） A. $$\frac{2}{3}x + 1 = 5$$ B. $$\frac{x}{2} - \frac{x}{3} = 1$$ C. $$\frac{1}{x} + 2 = 3$$ D. $$3x - 2y = 4$$ 2. 关于分式方程的定义，下列说法正确的是（ ） A. 分母中含有字母的方程叫做分式方程 B. 分母中含有未知数的方程叫做分式方程 C. 分子中含有未知数的方程叫做分式方程 D. 含有分式的方程叫做分式方程 3. 下列方程中，不是分式方程的是（ ） A. $$\frac{x}{x+1} = 2$$ B. $$\frac{1}{x-2} = \frac{3}{x}$$ C. $$\frac{x+1}{3} = \frac{x-2}{4}$$ D. $$\frac{2}{x} - \frac{1}{x+3} = 1$$ 4. 已知x=2是分式方程$$\frac{2}{x} + \frac{a}{2} = 3$$的解，则a的值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 5. 下列说法正确的是（ ） A. 分式方程的解一定是整数 B. 分式方程的解可能使原方程的分母为0（此时为增根） C. 所有分式方程都有解 D. 分式方程的解与整式方程的解的意义完全相同 二、填空题（每题3分，共15分） 1. 分母中含有________的方程叫做分式方程。 2. 整式方程与分式方程的区别在于：整式方程的分母中________未知数，分式方程的分母中________未知数（填“含有”或“不含有”）。 3. 检验一个数是否为分式方程的解，只需将这个数代入________，若分母不为0且左右两边相等，则这个数是分式方程的解；若分母为0，则这个数是________。 4. 已知x=3是分式方程$$\frac{k}{x-1} = 2$$的解，则k的值为________。 5. 写出一个以x=1为解的分式方程：________（答案不唯一）。 三、解答题（共70分） 1. （10分）判断下列方程是否为分式方程，若是，请在括号内打“√”；若不是，请打“×”，并说明理由。 （1）$$\frac{3}{x} = 5$$（ ） （2）$$\frac{x+1}{2} = 3$$（ ） （3）$$\frac{2}{x-3} + \frac{x}{4} = 1$$（ ） （4）$$2x + \frac{1}{3} = \frac{x}{5}$$（ ） （5）$$\frac{x}{x^2 + 1} = 2$$（ ） 解： 2. （12分）检验下列各数是否为对应分式方程的解。 （1）x=4，方程$$\frac{3}{x-1} = 1$$； （2）x=2，方程$$\frac{2x}{x+2} = \frac{3}{2}$$； （3）x=-1，方程$$\frac{x+1}{x-2} = 0$$； （4）x=5，方程$$\frac{1}{x-3} - \frac{2}{x} = \frac{1}{10}$$。 解： 3. （12分）根据下列条件，求分式方程中字母参数的值。 （1）已知x=2是分式方程$$\frac{a}{x} + \frac{1}{2} = 2$$的解，求a的值； （2）已知x=3是分式方程$$\frac{2x - k}{x-1} = 3$$的解，求k的值； （3）若x=1是分式方程$$\frac{3}{x} + \frac{m}{x+1} = 5$$的解，求m的值。 解： 4. （12分）根据题意，列出分式方程（不要求求解）。 （1）一个数x的倒数与2的和等于5，求这个数x，列出方程； （2）甲、乙两人分别从相距10千米的两地相向而行，甲每小时走x千米，乙每小时走3千米，两人经过2小时相遇，列出关于x的方程； （3）某工厂要生产一批零件，若每天生产x个，10天可以完成；若每天多生产2个，8天可以完成，列出关于x的方程； （4）一个分数的分子比分母小2，若分子加上1，分母不变，这个分数的值为$$\frac{1}{2}$$，设分母为x，列出方程。 解： 5. （12分）解答下列问题。 （1）已知分式方程$$\frac{2}{x-1} = \frac{k}{x+1}$$，当k=3时，检验x=5是否为该方程的解； （2）若x=2是分式方程$$\frac{ax + 1}{x-2} = 3$$的增根，说明理由，并求a的取值范围； （3）写出两个不同的分式方程，使它们的解都是x=4（不要求检验）。 解： 6. （10分）应用题（列出分式方程即可，不要求求解） （1）某车间加工一批零件，原计划每天加工x个，15天可以完成，实际每天加工的零件数比原计划多5个，结果12天就完成了任务，求原计划每天加工的零件数x，列出分式方程； （2）甲、乙两人加工同一种零件，甲每小时加工x个，乙每小时加工的零件数是甲的1.5倍，甲加工60个零件比乙加工60个零件多用1小时，列出关于x的分式方程； （3）A、B两地相距48千米，一辆汽车从A地开往B地，原计划每小时行驶x千米，实际每小时行驶的速度比原计划快4千米，结果提前1小时到达B地，列出关于x的分式方程。 解： 参考答案（简要提示） 一、选择题：1.C 2.B 3.C 4.A 5.B 二、填空题：1.未知数 2.不含有；含有 3.原分式方程；增根 4.4 5.答案不唯一，如$$\frac{1}{x} = 1$$ 三、解答题：1.（1）√；（2）×，分母不含未知数；（3）√；（4）×，分母不含未知数；（5）√ 2.（1）是；（2）不是；（3）不是（分母为0）；（4）是 3.（1）a=3；（2）k=3；（3）m=7 4.（1）$$\frac{1}{x} + 2 = 5$$；（2）$$2(x + 3) = 10$$（整式方程，可补充分式情境，如$$\frac{10}{x+3} = 2$$）；（3）$$\frac{10x}{x+2} = 8$$；（4）$$\frac{x-2 + 1}{x} = \frac{1}{2}$$ 5.（1）是；（2）x=2使分母为0，是增根，a为任意实数；（3）答案不唯一，如$$\frac{4}{x} = 1$$、$$\frac{1}{x-3} = 1$$ 6.（1）$$\frac{15x}{x+5} = 12$$；（2）$$\frac{60}{x} - \frac{60}{1.5x} = 1$$；（3）$$\frac{48}{x} - \frac{48}{x+4} = 1$$ 学习目标 理解分式方程的概念和意义，掌握解分式方程的基本思路和解法. 2. 能根据实际问题中的等量关系列分式方程，体会分式方程的模型作用. 京张高速铁路正线全长 174 km，在这条线路上，甲列车的平均行驶速度是乙列车的2倍，甲列车从北京市到张家口市的行驶时间比乙列车少 h。 （1）你能找出这一情境中的所有等量关系吗？ 1 分式方程的概念及列分式方程 ①甲列车的平均行驶速度 = 乙列车的平均行驶速度×2 ②乙列车的行驶时间－甲列车的行驶时间 = h （2）如果设乙列车的平均行驶速度是 x km/h，那么 x 满足怎样的方程？ （3）如果设甲列车从北京市到张家口市的行驶时间是 y h，那么 y 满足怎样的方程？ 做一做 为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某校团总支号召同学们自愿捐款.已知第一次捐款总额为 4800元，第二次捐款总额为 5000 元，第二次捐款人数比第一次多 20 人，而且两次人均捐款额恰好相等. 如果设第一次捐款人数为 x 人， 那么 x 应满足怎样的方程？ 思考 由上面的问题，我们得到了三个方程，它们有什么共同特点？ 分母中都含有未知数. 分式方程的概念 分式方程的特征 分母中含有未知数的方程叫做分式方程. （1）是等式； （2）方程中含有分式； （3）分母中含有未知数. 知识要点 例1 下列式子中，哪些是分式方程？哪些整式方程？ 解：（2）（3）是分式方程，（1）（4）（5）是整式方程，（6）不是方程. 注意： π 是一确定的常数，不是未知数. 典例精析 例2 一艘轮船在静水中的最大航速为 20 千米/时，它沿江以最大航速顺流航行 100 千米所用时间，与以最大航速逆流航行 60 千米所用时间相等，江水的流速为多少? 解：设江水的流速为 v 千米/时，根据题意，得 思考：结合问题 1 和 2，我们发现列分式方程和列一元一次方程有什么共同特点？ 步骤一样 列分式方程的步骤： （1）审清题意，适当设出未知数； （2）根据题意找等量关系，列出分式方程. 归纳总结 B 返回 1． 中考考法 11 返回 a≠2 2． 中考考法 12 返回 3． 中考考法 13 4． 返回 A 秦始皇统一度量衡意义重大，这一举措极大地方便了生产与生活．如图①和图②，欣欣通过对比两把不同刻度的直尺说明了其中的原因，并进行如下探究：将两把直尺有刻度的一侧紧贴，则由两幅图可得方程为(　　) 中考考法 14 5． 课堂练习：“某超市的一种瓶装饮料每箱售价为40元，春节期间对该种瓶装饮料进行促销活动，买一箱送四瓶，这相当于每瓶按原价的八折销售，则这家超市销售该种瓶装饮料的原价是每瓶多少元，装箱数量是每箱多少瓶？”以下为四名同学列出的方程，正确的是(　　) 中考考法 15 中考考法 【点拨】 【答案】B 返回 中考考法 6． 返回 为了降低成本，某出租车公司实施了“油改气”措施．如图，y1，y2分别表示燃油汽车和燃气汽车所需费用y(单位：元)与行驶路程s(单位：km)的关系，已知燃油汽车每千米所需的费用比燃气汽车每千米所需的费用的3倍少0.1元，设燃气汽车每千米所需的费用为x元，则可列方程为______________． 中考考法 18 7． 返回 中考考法 19 分式方程的概念及列分式方程 概念 列分式方程步骤 分母中含有未知数的方程叫做分式方程. 1.审清题意，明确题目中的未知数； 2.根据题意找等量关系，列出分式方程. 课堂小结 有下列方程：①2x＋＝10；②x－＝2；③－3＝0；④＋＝0；⑤＋3＝x.其中属于分式方程的有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 若等式＝3是关于x的分式方程，则a的取值范围是________． －＝3 水是人类赖以生存的宝贵资源，为节约用水，创建文明城市．某市经论证从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨原价的.小丽家去年5月份的水费是28元，而今年5月份的水费则是24.5元．已知小丽家今年5月份的用水量比去年5月份的用水量少3 m3.设该市去年居民用水价格为x元/m3，则可列分式方程为________________． A．＝ B．＝ C．＝ D．＝ 甲：解：设该种瓶装饮料的原价是每瓶x元，则－＝4； 乙：解：设该种瓶装饮料的装箱数量是每箱x瓶，则×0.8＝；丙：解：设该种瓶装饮料的原价是每瓶x元，则0.8(40＋4x)＝40；丁：解：设该种瓶装饮料的装箱数量是每箱x瓶，则＝. A．甲、丁 B．乙、丙C．甲、乙 D．甲、乙、丙 设该种瓶装饮料的原价是每瓶x元，则春节期间促销价是每瓶0.8x元，依题意得－＝4或0.8(40＋4x)＝40，∴甲同学所列的方程不正确，丙同学所列的方程正确．设该种瓶装饮料的装箱数量是每箱x瓶，依题意得×0.8＝，∴乙同学所列的方程正确，丁同学所列的方程不正确．故选B. ＝ x＋＝2n＋1 观察分析下列方程：①x＋＝3；②x＋＝5；③x＋＝7.请利用它们所蕴含的规律，写出这一组方程中的第 n个方程：________________________． $