专题13.2 直观图的斜二测画法（高效培优讲义）数学苏教版高一必修第二册

本讲义聚焦直观图的斜二测画法核心知识点，系统梳理平面图形（x轴y轴夹角45°或135°，平行x轴线段长不变、平行y轴减半）和空间几何体（增加z轴，平行z轴长不变）的画法规则，以及直观图与原图形面积关系（直观图面积是原图形的√2/4倍），构建从概念理解到步骤掌握再到应用题型的完整学习支架。 该资料突出数学抽象与直观想象素养培养，通过“即学即练”即时巩固规则，“典例+变式”分层突破重难点，如画正五边形直观图、从直观图还原原图形等实例，助力学生理解图形变换本质。课中辅助教师分层教学，课后学生可通过题型训练查漏补缺，强化空间观念与逻辑推理能力。

专题13.2 直观图的斜二测画法 教学目标 1.掌握斜二测画法． 2.能用斜二测法画出简单空间图形(球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合体)的直观图． 3.通过了解斜二测画法的原理，发展数学抽象素养． 4.在用斜二测画法画空间图形的直观图的过程中，发展直观想象素养． 教学重难点 1.重点 用斜二测画法画出空间图形的直观图． 2.难点 能从水平放置的平面图形的直观图想象出原图的形状及其性质。 知识点01 直观图的斜二测画法 1．直观图的斜二测画法 (1)直观图的概念 直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形.画立体图形的直观图，实际上是把不完全在同一平面内的点的集合，用同一平面内的点表示.因此，直观图往往与立体图形的真实形状不完全相同. 在立体几何中，立体图形的直观图通常是在平行投影下得到的平面图形. (2)斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的规则 利用平行投影，人们获得了画直观图的斜二测画法.利用这种画法画水平放置的平面图形的直观图，其 步骤是： ①在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x'轴和y'轴，两轴相交于点O'，且使∠x'O'y'=45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面. ②已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x'轴或y'轴的线段. ③已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，在直观图中长度为原来的一半. (3)斜二测画法画空间几何体的直观图的规则 画空间几何体的直观图时，与画平面图形的直观图相比，只是多画一个与x轴、y轴都垂直的z轴，并且有以下规则. ①已知图形中，平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x'轴、y'轴或z'轴的线段. ②已知图形中平行于x轴或z轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半. ③连线成图以后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图. 【即学即练】 1．下列说法中正确的是（  ） A．相等的角在直观图中对应的角仍然相等 B．相等的线段在直观图中对应的线段仍然相等 C．互相垂直的线段在直观图中对应的线段仍然垂直 D．线段的中点在直观图中仍然是线段的中点 【答案】D 【分析】由斜二测画法逐一判断即可. 【解析】如图，由斜二测画法得到的正方形的直观图是平行四边形，可知ABC均错误，D正确． 故选：D. 2．画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图． 【答案】答案见解析 【分析】运用斜二测画法画图即可. 【解析】画法：（1）如图所示，取AB所在直线为x轴，AB的中点O为原点，建立直角坐标系，画对应的坐标系，使． （2）以为中点在轴上取，在轴上取，以为中点画轴，并使． （3）连接，，所得的四边形就是水平放置的等腰梯形的直观图． 知识点02 平面图形的面积与其直观图的面积间的关系 按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系： 直观图的面积是原图形面积的倍 【即学即练】 1．采用斜二测画法作一个五边形的直观图，则其直观图的面积是原来五边形面积的（  ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【答案】D 【分析】根据斜二测画法中原图形面积与直观图面积的关系式即可得出答案. 【解析】解：斜二测画法中原图形面积与直观图面积的关系式 所以 故选：D 2．用斜二测画法画水平放置的边长为2的正三角形的直观图，所得图形的面积为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据直观图画法得底不变，为2，再研究高，最后根据三角形面积公式求结果. 【解析】根据斜二测画法的特征，可得底不变，为2，高为 ， 所以直观图的面积是. 故选：B. 题型01 斜二测画法的辨析 【典例1】用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论正确的是（  ） A．矩形的直观图是矩形 B．三角形的直观图是三角形 C．相等的角在直观图中仍然相等 D．长度相等的线段在直观图中仍然相等 【答案】B 【分析】由斜二测画法逐一判断即可. 【解析】解：对于A，由斜二测画法可知，矩形的直观图为平行四边形，故A错误； 对于B，由斜二测画法可知，三角形的直观图是三角形，故B正确； 对于C，由A可知，矩形的四个角都为直角，但其直观图是平行四边形，只有对角才相等，故C错误； 对于D，正方形的四条边相等，但其直观图是平行四边形，只有对边才相等，故D错误. 故选：B. 【变式1】下列说法中正确的是（  ） A．相等的角在直观图中对应的角仍然相等 B．相等的线段在直观图中对应的线段仍然相等 C．不相等的线段在直观图中对应的线段一定不相等 D．线段的中点在直观图中仍然是线段的中点 【答案】D 【分析】根据斜二测画法的性质依次判断即可. 【解析】如图，由正方形的直观图是平行四边形可知错误，易知正确. 项，如图，矩形的邻边满足, 其直观图的邻边是相等的，故错误. 故选：D. 【变式2】（多选）用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法正确的是（  ） A．原来相交的仍相交 B．原来垂直的仍垂直 C．原来平行的仍平行 D．原来共点的仍共点 【答案】ACD 【分析】由斜二测画法逐一判断即可. 【解析】根据斜二测画法可知：平行不变，即原图中的平行，则直观图也平行， 原图的相交，直观图中也相交，但相对应的角度会改变，所以B错误，ACD正确. 故选：ACD． 【变式2】（多选）关于斜二测画法的内容和原理，下列说法中正确的是（  ） A．斜二测画法中，原图形中平行于轴的线段，在直观图中长度为原来的一半 B．斜二测画法中，原图中与轴或轴平行的线段在直观图中与轴或轴平行 C．用斜二测画法画平面图形的直观图时，平行的线段在直观图中一定平行 D．斜二测画法中，直观图和原图的面积一定相等 【答案】ABC 【分析】根据斜二测画法的性质依次判断即可. 【解析】斜二测画法中，原图形中平行于轴的线段，在直观图中长度为原来的一半，故A不符合题意； 斜二测画法中，原图中与轴或轴平行的线段在直观图中与轴或轴平行，故B不符合题意； 用斜二测画法画平面图形的直观图时，平行的线段在直观图中一定平行，故C不符合题意； 斜二测画法中，直观图和原图的面积不一定相等，故D符合题意． 故选：ABC． 题型02 画平面图形的直观图 【典例1】画水平放置的正五边形和菱形的直观图． 【答案】答案见解析 【分析】根据斜二测画法的规则，即可画出正五边形和菱形的直观图. 【解析】解：作出坐标系，使得， 连接交轴为，在轴上作线段， 在轴上分别作线段， 过作线段，且， 连接，即为正五边形的直观图，如图（1）所示.    如图（2）所示，在轴上作线段， 则轴上分别作出线段， 连接，即为菱形的直观图.   斜二测画法画面图形的直观图的规则： ①在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x'轴和y'轴，两轴相交于点O'，且使∠x'O'y'=45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面. ②已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x'轴或y'轴的线段. ③已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，在直观图中长度为原来的一半. 【变式1】如图所示，在中，边上的高，试用斜二测画法画出其直观图．    【答案】作图见解析 【分析】根据斜二测画法的规则，即可画出其直观图. 【解析】（1）在中建立如图①所示的平面直角坐标系， 再建立如图②所示的坐标系，使. (2)在坐标系中，在轴上截取； 在轴上截取，使. (3)连接，擦去辅助线，得到，即为的直观图(如图③所示).   【变式2】画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图． 【答案】答案见解析 【分析】根据斜二测画法的规则，即可画出等腰梯形直观图. 【解析】画法：（1）如图所示，取AB所在直线为x轴，AB的中点O为原点，建立直角坐标系，画对应的坐标系，使． （2）以为中点在轴上取，在轴上取，以为中点画轴，并使． （3）连接，，所得的四边形就是水平放置的等腰梯形的直观图． 【变式3】用斜二测画法画出下列图形： (1)水平放置的边长为的正方形； (2)水平放置的梯形和平行四边形； 【答案】(1)答案见解析； (2)答案见解析 【分析】根据题意，结合斜二测画法的规则，即可画出平面图形的直观图. 【解析】（1）解：在已知正方形中，，取所在直线为轴， 如图所示， 画出对应的轴，使，，，如图所示， 即四边形即为正方形的直观图.    （2）解：取等腰梯形底边的中点，连接，以为原点，以所在的直线分别为轴建立平面直角坐标系，如图所示， 画出对应的轴，使，结合斜二测画法的画法，如图所示， 可得等腰梯形的直观图为，    以为原点，以所在的直线分别为轴，建立平面直角坐标系，如图所示， 画出对应的轴，使，结合斜二测画法的画法，如图所示， 可得平行四边形的直观图为.    【变式4】用斜二测画法画出图中四边形OBCD的直观图． 【答案】答案见解析 【分析】根据斜二测画法的规则和步骤，将直角画成，沿轴方向长度不变，轴方向是原图形长度的一半，即可做出直观图． 【解析】分以下三步进行作图： （1）过点C作轴，垂足为E，如图①所示． （2）画出对应的轴、轴，使， 在轴上取点，，使得，； 在轴上取一点，使得； 过作轴，使，连接，，如图②所示． （3）擦去轴与轴及其他辅助线， 如图③所示，四边形就是所求的直观图． 题型03 画空间几何体的直观图 【典例1】画正六棱柱（底面是正六边形，侧棱垂直于底面）的直观图．（底面边长尺寸不作要求，侧棱长为1.5 cm） 【答案】答案见解析 【分析】根据斜二测画法绘制正六棱柱的直观图即可. 【解析】（1）画轴．画轴、轴、轴，使，． （2）画底面．根据轴、轴，画正六边形的直观图ABCDEF． （3）画侧棱．过A，B，C，D，E，F各点分别作轴的平行线， 在这些平行线上分别截取、、、、、都等于1.5 cm. （4）成图．顺次连接，，，，，，去掉辅助线， 将被遮挡的部分改为虚线，就得到正六棱柱的直观图． 斜二测画法画空间几何体的直观图的规则： 画空间几何体的直观图时，与画平面图形的直观图相比，只是多画一个与x轴、y轴都垂直的z轴，并且有以下规则. ①已知图形中，平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x'轴、y'轴或z'轴的线段. ②已知图形中平行于x轴或z轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半. ③连线成图以后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图. 【变式1】画底面边长为3cm、高为3.5cm的正三棱柱的直观图． 【答案】图形见解析 【分析】根据斜二测画法绘制正三棱柱的直观图即可. 【解析】①取的中点，画， 用斜二测画法画出水平放置的边长为的正三角形，其中，； ②画平面，在上截取； 画出，；，，且与交于点，如图所示；       ③连接、、，即得正三棱柱， ④最后将，，轴擦去，即可得到正三棱柱的直观图如下： 【变式2】用斜二测画法画出底面为正方形的四棱台的直观图，其中上、下底面边长分别为2，3，高为2 【答案】答案见解析 【分析】根据斜二测画法绘制四棱台的直观图即可. 【解析】（1）画轴．画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，，． （2）画下底面．如图①，以O为中心，在x轴上取线段MN，使；在y轴上取线段PQ，使．分别过点M和点N作y轴的平行线，分别过点P和点Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，则面ABCD即为四棱台的下底面． （3）画上底面．在z轴上取一点，使，过点分别作，，在平面内以为中心画水平放置的边长为2的正方形的直观图． （4）连线．被遮挡的线画成虚线，擦去辅助线并整理，就得到四棱台的直观图（如图②）． 题型04 利用直观图还原几何图形 【典例1】如图所示为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是下图中的（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由斜二测画法的规则可知：平行于轴的线在原图中平行于轴，且长度不变，作出原图，即可选出答案． 【解析】设直观图中与轴和轴的交点分别为和， 根据斜二测画法的规则在直角坐标系中先做出对应的和点， 再由平行于轴的线在原图中平行于轴，且长度不变， 作出原图得四边形 故选：B． 【变式1】用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直观图的画法，还原实际图形. 【解析】由直观图可知，在直观图中多边形为正方形，对角线长为，所以原图形为平行四边形，位于y轴上的对角线长为. 故选：A. 【变式2】把按斜二测画法得到，如图所示，其中，，那么是一个（  ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．三边互不相等的三角形 【答案】A 【分析】根据直观图的画法，还原实际图形. 【解析】根据斜二侧画法还原在直角坐标系的图形，如下图所示： 由图得，，故为等边三角形， 故选：A 【变式3】水平放置的三角形的直观图如图，其中，那么原三角形是一个（  ）    A．等边三角形 B．腰和底边不相等的等腰三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】B 【分析】利用斜二测画法的性质即可求解原图性质. 【解析】结合直观图的画法，画出原如下图：    其中，, 所以，. 所以为等腰三角形，且腰和底边不相等. 故选：B. 【变式4】如图，是水平放置的平面图形的斜二测直观图. (1)画出它的原图形； (2)若的面积是，求原图形中边上的高和原图形的面积. 【答案】(1)图形见解析； (2)， 【分析】（1）利用直观图与原图形的关系作图即可得； （2）利用直观图的性质计算可得原图形对应边长，即可计算原图形的高与面积. 【解析】（1）画出平面直角坐标系，在轴上取，即， 在图①中，过作轴，交轴于，在轴上取， 过点作轴，并使， 连接，，则即为原来的图形，如图②所示： （2）由（1）知，原图形中，于点，则为原图形中边上的高， 且， 在直观图中作于点， 则的面积， 在直角三角形中，，所以， 所以. 故原图形中边上的高为，原图形的面积为. 题型05 斜二测画法中有关量的计算 【典例1】如图，水平放置的的斜二测直观图为，已知，则的周长为（  ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，作出原平面图形，由斜二测画法分析原图的数量关系，计算可得答案． 【解析】根据题意，作出原图，    由斜二测画法，在原图中，，， 所以，故的周长为. 故选：C． 在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段.“平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半.” 【变式1】如图正方形边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（  ）    A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】D 【分析】根据直观图和原图的关系求得正确答案. 【解析】在直观图中，， 所以在原图中，如下图所示， ，， 所以原图形的周长是. 故选：D    【变式2】如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图， ，则平面图形中对角线的长度为（  ） A． B． C． D．5 【答案】C 【分析】根据直观图特征，作出其平面图形直角梯形，求出相关边长再求长即可． 【解析】由直观图知原几何图形是直角梯形，如图， 由斜二测画法可知， 所以， 故选：C． 【变式3】（多选）已知水平放置的正方形的边长为，利用斜二测画法绘制该正方形在水平平面内的直观图四边形，则（  ） A．的最小值小于 B．的最大值小于 C．的最小值大于 D．的最大值大于 【答案】AD 【分析】根据题意，由斜二测画法的性质，画出直观图，然后对选项逐一判断，即可得到结果 【解析】 对于AB选项，考虑正方形的一条边与轴重合，由斜二测画法的性质， 另一条边与轴重合，如图所示， 由于对称性与旋转可换性，图中与均等价为所求角. 而由斜二测图性质， ， 过作的垂线，则， 即，故的最小值小于，故正确； 过作的垂线，易有，且， 故，则的最大值大于，故B错误； 对于CD选项，设图形绕点逆时针旋转，则 ， 即 ， 其中，则最小值为， 最大值为， 故C错误， D正确. 故选 ：AD. 题型06 平面图形的面积与其直观图的面积的关系及其应用 【典例1】已知正三角形ABC的边长为2，那么ΔABC的直观图△A1B1C1的面积为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出原图三角形与直观图形，再求直观图形的面积． 【解析】解：如图所示， 直观图△A1B1C1的高为， 底边长为； 所以△A1B1C1的面积为：． 故选：C． 求直观图的面积的关键是依据斜二测画法，求出相应的直观图的底边和高．原图形中的高在直观图中变为与水平直线成45°角且长度为原来的一半的线段，以此为依据来求出直观图中的高即可．直观图的面积是原图形面积的倍． 【变式1】边长为的正方形，其水平放置的直观图的面积为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用斜二测画法求解即可. 【解析】作出正方形的直观图，如图： 则面积为， 故选：A. 【变式2】用斜二测画法画出的边长为a的水平放置的正方形的直观图的面积为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据斜二测画法及平行四边形面积公式可得答案. 【解析】由斜二测画法知直观图的面积. 故选：B. 【变式3】如图，是水平放置的用斜二测画法画出的直观图（图中虚线分别与轴和轴平行），，，则的面积为（  ）    A． B． C．24 D．48 【答案】D 【分析】由直观图得到平面图形，再求出相应的线段长，最后由面积公式计算可得. 【解析】由直观图可得如下平面图形： 其中，，，轴，且， 所以. 故选：D    【变式4】用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图，如图所示，轴，轴，，则的原图形的面积为____________ 【答案】10 【分析】先求出直观图的面积，再利用斜二测画法的性质求解即可 【解析】由题直观图的面积为， 原图的面积等于直观图面积的倍， 所以原图的面积为，故D正确. 故答案为：10. 1．利用斜二测画法得到的： ①三角形的直观图是三角形； ②平行四边形的直观图是平行四边形； ③正方形的直观图是正方形； ④菱形的直观图是菱形． 以上结论，正确的是（　　） A．①② B．① C．③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】由斜二测画法规则直接判断即可. 【解析】由斜二测画法规则知：①正确； 平行性不变，故②正确； 正方形的直观图是平行四边形，③错误； 因为平行于轴的线段长减半，平行于轴的线段长不变，故④错误． 故选：A． 2．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论中正确的是（  ） A．相等的角在直观图中仍然相等 B．相等的线段在直观图中仍然相等 C．正方形在直观图中仍然是正方形 D．平行的线段在直观图中仍然平行 【答案】D 【分析】根据斜二测画法的规则对四个选项逐一分析即可. 【解析】选项A：通过举反例，等腰三角形的直观图不是等腰三角形，A错误. 选项B：由于斜二测画法的法则是平行于x轴的线平行性与长度都不变；平行于y轴的线平行性不变，但长度变为原长度的一半，故B错误. 选项C：正方形的两邻边相等，但在直观图中不相等，C错误. 选项D：由斜二测画法可知，平行的线段在直观图中仍然平行，D正确. 故选：D. 3．利用斜二测画法画边长为的正方形的直观图，正确的是图中的（  ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据直观图的画法即得. 【解析】作出正方形的斜二测直观图如下图所示（单位：）：    故选：C. 4．某水平放置的平面图形的斜二侧直观图是梯形（如图所示），，则该平面图形的面积为（  ） A．3 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】先确定直观图中的线段长，再确定平面图形中的线段长度，从而求得平面图形的面积. 【解析】由 根据斜二测画法可知： 原平面图形为：下底边长为，上底为，高为的直角梯形， 所以. 故选：A 5．如图，是的斜二测直观图，其中，斜边，则的面积是（  ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】由直观图得到原图可得答案. 【解析】因为，所以，，且， 所以的面积是. 故选：D. 6．用斜二测画法画出的直观图如图所示，满足，且，则中边上的高为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求直观图中点到轴的高，并求再根据直观图的画法规则，即可求解. 【解析】如图，做轴，，则，且， 所以，且，所以， 由直观图的规则可知，原图中，且， 所以中边上的高为. 故选：C. 7．（多选）利用斜二测画法得到的下列结论中正确的是（  ） A．三角形的直观图是三角形 B．正方形的直观图是正方形 C．菱形的直观图是菱形 D．平行四边形的直观图是平行四边形 【答案】AD 【分析】根据平面图形的直观图的画法规则，逐项判定，即可求解. 【解析】根据斜二测画法的规则可知，平行于坐标轴的直线平行性不变，平行于轴的线段长度不变，平行于轴的线段长度减半. 对于A中，三角形的直观图中，三角形的高于底边的夹角为或，长度减少为原来的一半，依然是三角形，所以A正确； 对于B中，正方形的直角，在直观图中变为或，不是正方形，所以B错误； 对于C中，菱形的对角线互相垂直平分，在直观图中对角线的夹角变为，所以菱形的直观图不是菱形，所以C错误； 对于D中，根据平行线不变，可知平行四边形的直观图还是平行四边形，所以D正确. 故选：AD. 8．（多选）如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则下列说法正确的是（  ） A． B． C．四边形的周长为5 D．四边形的面积为3 【答案】BD 【分析】由斜二测画法的规则即可判断A；由斜二测画法的规则先判断出四边形的形状，过作，由勾股定理求出的长即可判断B；求出四边形的周长即可判断C；求出四边形的面积即可判断D. 【解析】 由斜二测画法可知，原图形中在轴上，在直观图中在轴上， 并且在直观图中的长度为原来的一半，所以在原图中在轴上 且，故A错误； 由斜二测画法可知，原图形中在轴上或者平行于轴的， 在直观图中在轴上或者平行于轴，并且在直观图中的长度不变， 所以在轴上，轴，且，， 所以四边形为直角梯形. 在四边形中，过作，垂足为， 则由勾股定理可知，故B正确； 四边形的周长为， 故C错误； 因为四边形为直角梯形， 所以四边形的面积为，故D正确. 故选：BD. 9.（多选）如图，四边形的斜二测画法的直观图为直角梯形，其中，，，，则下列说法正确的是（  ） A． B． C．四边形的面积为 D． 【答案】BCD 【分析】根据斜二测画法，分析直观图、及直观图与原图形关系，逐项分析即可得解. 【解析】由余弦定理，可得， 即，解得，（舍去），故A错误； 在直角梯形中，，， 由斜二测画法知，，故B正确； 因为直角梯形的面积为， 所以四边形的面积为，故C正确； 由斜二测画法可知，原图为直角梯形，其中， 所以， 所以，故D正确. 故选：BCD 10．一个水平放置的三角形的斜二测直观图是边长为1的等边三角形，那么原三角形的面积是________ 【答案】 【分析】在直观图中求出，画出原图形，求出边长和面积. 【解析】在直观图中，， 在三角形中，过点作⊥于点，则，， 故， 还原直观图得原图如下， ，由得， 所以的面积为. 故答案为： 11．如图，矩形OABC是水平放置的一个平面图形的直观图，其中 则原图形OABC的面积为 . 【答案】 【分析】根据题意先求直观图图形面积，再利用直观图面积：原图形面积即可求解. 【解析】在直观图中，， ∴直观图面积为：， ∵直观图面积：原图形面积， ∴原图形面积， 故答案为：. 12．如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，则平面图形的面积为______________ 【答案】12 【分析】根据给定条件，求出梯形的面积，再利用原平面图形面积与直观图面积的关系求出平面图形的面积. 【解析】在梯形中，，则该梯形的高为， 梯形的面积为， 在斜二测画法中，原图形的面积是对应直观图面积的倍， 所以平面图形的面积. 故答案为：12 13．用斜二测画法画出正六棱锥（底面是正六边形，点与底面正六边形的中心的连线垂直于底面）的直观图（尺寸自定）． 【答案】答案见解析. 【分析】根据给定条件，利用斜二测画法规则，按画底面再确定顶点的步骤作出正六棱锥的直观图. 【解析】（1）画底面： ①在正六边形中，的中点为，的中点为， 以所在直线为轴，所在直线为轴，两轴相交于点（如图①所示）， 画相应的轴、轴和轴，三轴交于点，使，（如图②所示），    ②在图②中，以为中点，在轴上取，在轴上取， 以为中点画平行于轴，并且等于；再以为中点画平行于轴，并且等于， ③连接，得到底面正六边形的直观图， （2）画顶点：在轴的正半轴上任意选取一点（不含点）为， （3）成图：连接，，，，，，并擦去轴， 加以整理（将被遮挡的线改为虚线），便得到正六棱锥的直观图（如图③所示）．    14．如图所示，梯形是水平放置的四边形根据斜二测画法得到的直观图，其中，，，． (1)画出原四边形； (2)分别求出原四边形与梯形的面积． 【答案】(1)图象见解析； (2)5， 【分析】（1）利用斜二测画法的规则即可画出原四边形； （2）利用梯形的面积公式求解即可. 【解析】（1）得， 如图，建立平面直角坐标系， 在轴上截取，，， 在过点的轴的平行线上截取， 在过点的轴的平行线上截取， 连接，即可得到原四边形． （2）由题意得，原四边形是直角梯形，且，，， 故四边形的面积为， 又直观图中梯形的高为，，， ∴四边形的面积为． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13.2 直观图的斜二测画法 教学目标 1.掌握斜二测画法． 2.能用斜二测法画出简单空间图形(球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合体)的直观图． 3.通过了解斜二测画法的原理，发展数学抽象素养． 4.在用斜二测画法画空间图形的直观图的过程中，发展直观想象素养． 教学重难点 1.重点 用斜二测画法画出空间图形的直观图． 2.难点 能从水平放置的平面图形的直观图想象出原图的形状及其性质。 知识点01 直观图的斜二测画法 1．直观图的斜二测画法 (1)直观图的概念 直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形.画立体图形的直观图，实际上是把不完全在同一平面内的点的集合，用同一平面内的点表示.因此，直观图往往与立体图形的真实形状不完全相同. 在立体几何中，立体图形的直观图通常是在平行投影下得到的平面图形. (2)斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的规则 利用平行投影，人们获得了画直观图的斜二测画法.利用这种画法画水平放置的平面图形的直观图，其 步骤是： ①在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x'轴和y'轴，两轴相交于点O'，且使∠x'O'y'=45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面. ②已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x'轴或y'轴的线段. ③已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，在直观图中长度为原来的一半. (3)斜二测画法画空间几何体的直观图的规则 画空间几何体的直观图时，与画平面图形的直观图相比，只是多画一个与x轴、y轴都垂直的z轴，并且有以下规则. ①已知图形中，平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x'轴、y'轴或z'轴的线段. ②已知图形中平行于x轴或z轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半. ③连线成图以后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图. 【即学即练】 1．下列说法中正确的是（  ） A．相等的角在直观图中对应的角仍然相等 B．相等的线段在直观图中对应的线段仍然相等 C．互相垂直的线段在直观图中对应的线段仍然垂直 D．线段的中点在直观图中仍然是线段的中点 2．画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图． 知识点02 平面图形的面积与其直观图的面积间的关系 按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系： 直观图的面积是原图形面积的倍 【即学即练】 1．采用斜二测画法作一个五边形的直观图，则其直观图的面积是原来五边形面积的（  ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 2．用斜二测画法画水平放置的边长为2的正三角形的直观图，所得图形的面积为（  ） A． B． C． D． 题型01 斜二测画法的辨析 【典例1】用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论正确的是（  ） A．矩形的直观图是矩形 B．三角形的直观图是三角形 C．相等的角在直观图中仍然相等 D．长度相等的线段在直观图中仍然相等 【变式1】下列说法中正确的是（  ） A．相等的角在直观图中对应的角仍然相等 B．相等的线段在直观图中对应的线段仍然相等 C．不相等的线段在直观图中对应的线段一定不相等 D．线段的中点在直观图中仍然是线段的中点 【变式2】（多选）用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法正确的是（  ） A．原来相交的仍相交 B．原来垂直的仍垂直 C．原来平行的仍平行 D．原来共点的仍共点 【变式2】（多选）关于斜二测画法的内容和原理，下列说法中正确的是（  ） A．斜二测画法中，原图形中平行于轴的线段，在直观图中长度为原来的一半 B．斜二测画法中，原图中与轴或轴平行的线段在直观图中与轴或轴平行 C．用斜二测画法画平面图形的直观图时，平行的线段在直观图中一定平行 D．斜二测画法中，直观图和原图的面积一定相等 题型02 画平面图形的直观图 【典例1】画水平放置的正五边形和菱形的直观图． 斜二测画法画面图形的直观图的规则： ①在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x'轴和y'轴，两轴相交于点O'，且使∠x'O'y'=45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面. ②已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x'轴或y'轴的线段. ③已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，在直观图中长度为原来的一半. 【变式1】如图所示，在中，边上的高，试用斜二测画法画出其直观图．    【变式2】画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图． 【变式3】用斜二测画法画出下列图形： (1)水平放置的边长为的正方形； (2)水平放置的梯形和平行四边形； 【变式4】用斜二测画法画出图中四边形OBCD的直观图． 题型03 画空间几何体的直观图 【典例1】画正六棱柱（底面是正六边形，侧棱垂直于底面）的直观图．（底面边长尺寸不作要求，侧棱长为1.5 cm） 斜二测画法画空间几何体的直观图的规则： 画空间几何体的直观图时，与画平面图形的直观图相比，只是多画一个与x轴、y轴都垂直的z轴，并且有以下规则. ①已知图形中，平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x'轴、y'轴或z'轴的线段. ②已知图形中平行于x轴或z轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半. ③连线成图以后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图. 【变式1】画底面边长为3cm、高为3.5cm的正三棱柱的直观图． 【变式2】用斜二测画法画出底面为正方形的四棱台的直观图，其中上、下底面边长分别为2，3，高为2 题型04 利用直观图还原几何图形 【典例1】如图所示为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是下图中的（  ） A． B． C． D． 【变式1】用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是（　　） A． B． C． D． 【变式2】把按斜二测画法得到，如图所示，其中，，那么是一个（  ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．三边互不相等的三角形 【变式3】水平放置的三角形的直观图如图，其中，那么原三角形是一个（  ）    A．等边三角形 B．腰和底边不相等的等腰三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【变式4】如图，是水平放置的平面图形的斜二测直观图. (1)画出它的原图形； (2)若的面积是，求原图形中边上的高和原图形的面积. 题型05 斜二测画法中有关量的计算 【典例1】如图，水平放置的的斜二测直观图为，已知，则的周长为（  ）    A． B． C． D． 在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段.“平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半.” 【变式1】如图正方形边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（  ）    A．4 B．8 C．12 D．16 【变式2】如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图， ，则平面图形中对角线的长度为（  ） A． B． C． D．5 【变式3】（多选）已知水平放置的正方形的边长为，利用斜二测画法绘制该正方形在水平平面内的直观图四边形，则（  ） A．的最小值小于 B．的最大值小于 C．的最小值大于 D．的最大值大于 题型06 平面图形的面积与其直观图的面积的关系及其应用 【典例1】已知正三角形ABC的边长为2，那么ΔABC的直观图△A1B1C1的面积为（  ） A． B． C． D． 求直观图的面积的关键是依据斜二测画法，求出相应的直观图的底边和高．原图形中的高在直观图中变为与水平直线成45°角且长度为原来的一半的线段，以此为依据来求出直观图中的高即可．直观图的面积是原图形面积的倍． 【变式1】边长为的正方形，其水平放置的直观图的面积为（  ） A． B． C． D． 【变式2】用斜二测画法画出的边长为a的水平放置的正方形的直观图的面积为（  ） A． B． C． D． 【变式3】如图，是水平放置的用斜二测画法画出的直观图（图中虚线分别与轴和轴平行），，，则的面积为（  ）    A． B． C．24 D．48 【变式4】用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图，如图所示，轴，轴，，则的原图形的面积为____________ 1．利用斜二测画法得到的： ①三角形的直观图是三角形； ②平行四边形的直观图是平行四边形； ③正方形的直观图是正方形； ④菱形的直观图是菱形． 以上结论，正确的是（　　） A．①② B．① C．③④ D．①②③④ 2．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论中正确的是（  ） A．相等的角在直观图中仍然相等 B．相等的线段在直观图中仍然相等 C．正方形在直观图中仍然是正方形 D．平行的线段在直观图中仍然平行 3．利用斜二测画法画边长为的正方形的直观图，正确的是图中的（  ） A．   B．   C．   D．   4．某水平放置的平面图形的斜二侧直观图是梯形（如图所示），，则该平面图形的面积为（  ） A．3 B．4 C． D． 5．如图，是的斜二测直观图，其中，斜边，则的面积是（  ） A． B．1 C． D． 6．用斜二测画法画出的直观图如图所示，满足，且，则中边上的高为（  ） A． B． C． D． 7．（多选）利用斜二测画法得到的下列结论中正确的是（  ） A．三角形的直观图是三角形 B．正方形的直观图是正方形 C．菱形的直观图是菱形 D．平行四边形的直观图是平行四边形 8．（多选）如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则下列说法正确的是（  ） A． B． C．四边形的周长为5 D．四边形的面积为3 9.（多选）如图，四边形的斜二测画法的直观图为直角梯形，其中，，，，则下列说法正确的是（  ） A． B． C．四边形的面积为 D． 10．一个水平放置的三角形的斜二测直观图是边长为1的等边三角形，那么原三角形的面积是________ 11．如图，矩形OABC是水平放置的一个平面图形的直观图，其中 则原图形OABC的面积为 . 12．如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，则平面图形的面积为______________ 13．用斜二测画法画出正六棱锥（底面是正六边形，点与底面正六边形的中心的连线垂直于底面）的直观图（尺寸自定）． 14．如图所示，梯形是水平放置的四边形根据斜二测画法得到的直观图，其中，，，． (1)画出原四边形； (2)分别求出原四边形与梯形的面积． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $