13.1.3 直观图的斜二测画法(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（苏教版）

本讲义聚焦“直观图的斜二测画法”核心知识点，系统梳理水平放置平面图形及空间图形（如长方体、正四棱锥）的直观图画法步骤，明确“斜”（坐标系角度）与“二测”（线段长度变化）的关键要点，为空间几何体的直观认知与后续学习搭建基础支架。 资料以“水立方”抽象为长方体引入问题，结合例题（如等腰梯形、正四棱锥直观图绘制）与跟踪训练，通过步骤拆解与通性通法总结，培养学生直观想象与数学运算素养。课中助力教师引导学生动手实践，课后学生可通过练习题巩固画法规则与面积关系，有效查漏补缺。

13.1.3　直观图的斜二测画法 课标要求 能用斜二测画法画出简单空间图形（长方体、球、柱、锥、台及其简单组合体）的直观图（直观想象、数学运算）. 　　图中的国家游泳中心（又称“水立方”）可以抽象成一个几何体——长方体. 【问题】　你能画出一个长方体吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　斜二测画法 1.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤 　　提醒：对斜二测画法的再理解：①“斜”：把直角坐标系xOy变为斜坐标系x'O'y'，使∠x'O'y'＝45°（或135°），即y'轴是斜的，反映投影线是斜的；②“二测”：平行于x轴的线段长度不变，平行于y轴的线段长度变为原来的一半，即有“两种测度”. 2.用斜二测画法画空间图形的直观图的步骤 （1）在空间图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴交于O点，再取z轴，使∠xOz＝　90°　，且∠yOz＝　90°　； （2）画直观图时把它们画成对应的x'轴、y'轴和z'轴，它们相交于点O'，并使∠x'O'y'＝　45°　（或　135°　），∠x'O'z'＝　90°　，x'轴和y'轴所确定的平面表示水平面； （3）已知图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x'轴、y'轴或z'轴的线段； （4）已知图形中平行于x轴或z轴的线段，在直观图中　保持原长度不变　；平行于y轴的线段，在直观图中　长度为原来的一半　. 　　提醒：（1）斜二测画法下原图形与直观图中的“三变”与“三不变”： ①“三变” ②“三不变” （2）斜二测画法下原图形与直观图面积的关系：①S直观图＝S原图形；②S原图形＝2S直观图. 1.下列说法中正确的是（　　） A.在斜二测画法中，各条线段的长度都发生了改变 B.在空间图形的直观图中，原来平行的直线仍然平行 C.在斜二测画法中平行于y轴的线段在直观图中长度保持不变 D.用斜二测画法画水平放置的∠A时，若∠A的两边分别平行于x轴和y轴，且∠A＝90°，则在直观图中，∠A＝45° 解析：B　在斜二测画法中，平行于x轴或z轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半，故A错误，C错误；在空间图形的直观图中，原来平行的直线仍然平行，故B正确；对于D，∵∠A的两边分别平行于x轴和y轴，且∠A＝90°，∴在直观图中，∠A＝45°或135°，故D错误.故选B. 2.利用斜二测画法画出边长为3 cm的正方形的直观图，正确的是（　　） 解析：C　正方形的直观图应为平行四边形，且相邻两边的边长之比为2∶1. 3.△AOB的斜二测直观图△A'O'B'如图所示，则△AOB的面积是（　　） A.　　　　　　　　　 B.4 C.2　 D.4 解析：D　依题意，由斜二测画法规则知，△AOB的底边OB＝O'B'＝2，边OB上的高h＝2×2，所以△AOB的面积是S＝·OB·h＝4.故选D. 题型一｜平面图形的直观图的画法 【例1】　（链接教科书第158页例4）画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图. 解：画法：（1）如图所示，取AB所在的直线为x轴，以AB中点O为原点，建立平面直角坐标系，画对应的坐标系x'O'y'，使∠x'O'y'＝45°. （2）以O'为中点在x'轴上取A'B'＝AB，在y'轴上取O'E'＝OE，以E'为中点画C'D'∥x'轴，并使C'D'＝CD. （3）连接B'C'，D'A'，所得的四边形A'B'C'D'就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图. 通性通法 画平面图形的直观图的技巧 （1）在画水平放置的平面图形的直观图时，选取恰当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点； （2）画平面图形的直观图，首先画与坐标轴平行的线段（平行性不变），与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点，然后连接成线段. 【跟踪训练】 按如图的建系方法，画水平放置的正五边形ABCDE的直观图. 解：画法：（1）作AG⊥x轴于点G，作DH⊥x轴于点H，如图①. （2）画相应的x'轴与y'轴，两轴相交于O'，使∠x'O'y'＝45°，如图②. （3）在图②中的x'轴上取O'B'＝OB，O'G'＝OG，O'C'＝OC，O'H'＝OH，y'轴上取O'E'＝OE，分别过G'和H'作y'轴的平行线，并在相应的平行线上取G'A'＝GA，H'D'＝HD. （4）连接A'B'，A'E'，E'D'，D'C'，并擦去辅助线G'A'，H'D'，x'轴与y'轴，便得到水平放置的正五边形ABCDE的直观图A'B'C'D'E'，如图③. 题型二｜空间几何体的直观图的画法 【例2】　（链接教科书第159页例5）已知一个正四棱锥（底面是正方形，并且顶点在底面的射影是底面中心的棱锥）的底面边长为4，高为3，用斜二测画法画出此正四棱锥的直观图. 解：（1）画轴.如图①，画x'轴，y'轴，z'轴，使得∠x'O'y'＝45°，∠x'O'z'＝90°. （2）画底面.以点O'为中点，在x'轴上画MN＝4，在y'轴上画PQ＝2，分别过点M，N作y'轴的平行线，过点P，Q作x'轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，则四边形ABCD就是该棱锥的底面. （3）画高确定顶点.在z'轴上截取O'S＝3. （4）连线成图.顺次连接SA，SB，SC，SD，去掉作为辅助线的坐标轴，将被遮挡部分改为虚线，就得到了正四棱锥的直观图，如图②. 通性通法 　　用斜二测画法画空间图形的直观图的原则 （1）用斜二测画法画空间图形的直观图时，图形中平行于x轴，y轴，z轴的线段在直观图中应分别画成平行于x'轴，y'轴，z'轴的线段； （2）平行于x轴，z轴的线段在直观图中长度保持不变，平行于y轴的线段长度变为原来的. 【跟踪训练】 已知一棱柱的底面是边长为3 cm的正方形，各侧面都是矩形，且侧棱长为4 cm，用斜二测画法画出此棱柱的直观图. 解：（1）画轴.画出x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°. （2）画底面.以点O为中点，在x轴上画MN＝3 cm，在y轴上画PQ＝ cm，分别过点M，N作y轴的平行线，过点P，Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，则四边形ABCD就是该棱柱的底面. （3）画侧棱.过点A，B，C，D分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取4 cm长的线段AA'，BB'，CC'，DD'，如图①所示. （4）成图.连接A'B'，B'C'，C'D'，D'A'，并加以整理（去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线），就得到该棱柱的直观图，如图②所示. 题型三｜直观图的还原与计算 【例3】　（1）如图①，Rt△O'A'B'是一个平面图形的直观图，若O'B'＝，则这个平面图形的面积是（　　） A.1　　　　　　　　 B. C.2　 D.4 解析：（1）C　由题图知，△OAB为直角三角形.∵O'B'＝，∴A'B'＝，O'A'＝2.∴在原△OAB中，OB＝，OA＝4，∴S△OAB＝××4＝2.故选C. （2）如图②所示，梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图.若A1D1∥O'y'，A1B1∥C1D1，A1B1＝C1D1＝2，A1D1＝O'D1＝1.试画出原四边形，并求原图形的面积. （2）解：建立直角坐标系xOy，在x轴上截取OD＝O'D1＝1，OC＝O'C1＝2. 在过点D与y轴平行的直线上截取DA＝2D1A1＝2. 在过点A与x轴平行的直线上截取AB＝A1B1＝2. 连接BC，便得到了原图形（如图）. 由作法可知，原四边形ABCD是直角梯形，上、下底长度分别为AB＝2，CD＝3，直角腰长度为AD＝2. ∴面积为S＝×2＝5. 通性通法 直观图的还原技巧 　　由直观图还原为平面图的关键是找与x'轴，y'轴平行的直线或线段，且平行于x'轴的线段还原时长度不变，平行于y'轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可. 【跟踪训练】 1.如图，△A'B'C'是水平放置的△ABC的直观图，其中A'B'，A'C'所在直线分别与x'轴，y'轴平行，且A'B'＝A'C'，那么△ABC是（　　） A.等腰三角形　 B.钝角三角形 C.等腰直角三角形　 D.直角三角形 解析：D　因为水平放置的△ABC的直观图中，∠x'O'y'＝45°，A'B'＝A'C'，且A'B'∥x'轴，A'C'∥y'轴，所以AB⊥AC，AB≠AC，所以△ABC是直角三角形. 2.已知等边△ABC的边长为a，那么△ABC的直观图△A'B'C'的面积为（　　） A.a2　 B.a2 C.a2　 D.a2 解析：D　法一　建立如图①所示的平面直角坐标系xOy.如图②所示，建立坐标系x'O'y'，使∠x'O'y'＝45°，由直观图画法，知A'B'＝AB＝a，O'C'＝OC＝a.过点C'作C'D'⊥O'x'于点D'，则C'D'＝O'C'＝a.所以△A'B'C'的面积是S＝·A'B'·C'D'＝·a·a＝a2. 法二　S△ABC＝a2，又S△A'B'C'＝S△ABC，所以S△A'B'C'＝×a2＝a2. 1.若把一个高为10 cm的圆柱的底面画在x'O'y'平面上，则圆柱的高应画成（　　） A.平行于z'轴且长度为10 cm B.平行于z'轴且长度为5 cm C.与z'轴成45°且长度为10 cm D.与z'轴成45°且长度为5 cm 解析：A　平行于z轴（或在z轴上）的线段，在直观图中的方向和长度都与原来保持一致.故选A. 2.如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原图形是（　　） 解析：A　根据斜二测画法知，在y轴上的线段长度为直观图中相应线段长度的2倍，故选A. 3.〔多选〕对于用斜二测画法画水平放置的图形的直观图来说，下列描述正确的是（　　） A.三角形的直观图仍然是一个三角形 B.锐角在直观图中依然是锐角 C.与y轴平行的线段长度变为原来的一半 D.由于选轴的不同，所得的直观图可能不同 解析：ACD　对于A，根据斜二测画法特点知，相交直线的直观图仍是相交直线，因此三角形的直观图仍是一个三角形，故A正确；对于B，由斜二测画法特点知锐角在直观图中不一定是锐角，故B错误；C、D显然正确.故选A、C、D. 4.如图，等腰直角三角形O'A'B'是一个平面图形的直观图，斜边O'B'＝2，则原图形的面积是　2　. 解析：由题意O'A'＝A'B'＝，由已知得△ABC的原图形如图所示，原图形中OA＝2，OB＝2，且OA⊥OB，因此其面积为S＝OA·OB＝×2×2＝2. 1.水平放置的△ABC，有一边在水平线上，用斜二测画法作出的直观图是正△A'B'C'，则△ABC是（　　） A.锐角三角形　 B.直角三角形 C.钝角三角形　 D.任意三角形 解析：C　将△A'B'C'还原，由斜二测画法知，△ABC为钝角三角形.故选C. 2.下列直观图是将正方体模型放置在你的水平视线的左下角而绘制的是（　　） 解析：A　由题意知，应看到正方体的上面、前面和右面，由几何体直观图的画法及直观图中虚线的使用，可知A符合题意. 3.如果一个水平放置的图形的直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（　　） A.2＋　 B. C.　 D.1＋ 解析：A　如图，画出其相应平面图，知S＝×2×（1＋1＋）＝2＋.故选A. 4.如图，一个水平放置的平面图形的直观图A'B'C'D'是边长为2的菱形，且O'D'＝2，则原平面图形的周长为（　　） A.4＋4　 B.4＋4 C.8　 D.8 解析：B　由题可知O'D'＝A'D'＝2，∠A'O'D'＝45°，∴O'A'＝2，还原直观图可得原平面图形，如图，则OD＝2O'D'＝4，OA＝O'A'＝2，AB＝DC＝2，∴AD＝＝＝2，∴原平面图形的周长为4＋4.故选B. 5.〔多选〕利用斜二测画法，下列结论中正确的是（　　） A.两条相交直线的直观图是平行直线 B.两条垂直直线的直观图仍然是垂直直线 C.正方形的直观图可能是平行四边形 D.梯形的直观图可能是梯形 解析：CD　两条相交直线的直观图仍然是相交直线，故A错误；两条垂直直线的直观图可能是垂直直线，也可能是两条相交但不垂直的直线，故B错误；C、D正确.故选C、D. 6.〔多选〕如图，△A'B'C'是水平放置的△ABC的直观图，A'B'＝2，A'C'＝B'C'＝，则在原平面图形△ABC中，有（　　） A.AC＝BC　 B.AB＝2 C.AC＝2　 D.S△ABC＝4 解析：BD　在直观图△A'B'C'中，过C'作C'D'⊥A'B'于D'，如图①.∵A'B'＝2，A'C'＝B'C'＝，∴A'D'＝1，C'D'＝＝2，又∠C'O'D'＝45°，∴O'D'＝2，O'A'＝1，O'C'＝2， ∴利用斜二测画法将直观图△A'B'C'还原为原平面图形△ABC，如图②，OC＝4，OA＝1，AB＝2，故选项B正确；又AC＝＝，BC＝＝，故选项A、C错误；S△ABC＝×AB×OC＝×2×4＝4，故选项D正确.故选B、D. 7.在棱长为4 cm的正方体ABCD-A1B1C1D1中，作直观图时，棱AA1在x轴上，棱AD在y轴上，则在其直观图中，对应棱A'D'的长为　2　cm，棱A'A'1的长为　4　cm. 解析：在x轴上的线段长度不变，故A'A'1＝4 cm，在y轴上的线段变成原来的一半，故A'D'＝2 cm. 8.如图所示的正方形ABCO中点B的坐标为（2，2），则由斜二测画法画出的正方形ABCO的直观图A'B'C'O'中，顶点B'到x'轴的距离为　　. 解析：由斜二测画法可知，在斜坐标系x'O'y'中，B'C'＝1，∠x'C'B'＝45°.过B'作x'轴的垂线，垂足为D'（图略）.在Rt△B'D'C'中，B'D'＝B'C'sin 45°＝1×＝. 9.已知△ABC为边长为2 cm的正三角形，则其水平放置（斜二测画法）的直观图的面积为　　. 解析：如图所示，△ABC为边长为2 cm的正三角形，则其水平放置的直观图△A'B'C'的面积为S△A'B'C'＝·B'C'·O'A'·sin 45°＝×2×（×2×sin 60°）×sin 45°＝. 10.用斜二测画法画出如图所示的水平放置的四边形OBCD的直观图. 解：（1）过点C作CE⊥x轴，垂足为E，如图①所示. （2）画出相应的x'轴，y'轴，使∠x'O'y'＝45°，如图②所示，在x'轴上取点B'，E'，使得O'B'＝OB，O'E'＝OE；在y'轴上取点D'，使得O'D'＝OD；过点E'作E'C'∥y'轴，使E'C'＝EC. （3）连接B'C'，C'D'，并擦去x'轴与y'轴及其他一些辅助线，如图③所示，四边形O'B'C'D'就是所求的直观图. 11.如图所示，△A'O'B'表示水平放置的△AOB的直观图，B'在x'轴上，A'O'与x'轴垂直，且A'O'＝2，则△AOB的边OB上的高为（　　） A.2　 B.4 C.2　 D.4 解析：D　设△AOB的边OB上的高为h，因为S原图形＝2S直观图，所以×OB×h＝2××2×O'B'.又OB＝O'B'，所以h＝4. 12.〔多选〕如图所示是水平放置的△ABC在平面直角坐标系中的直观图，其中D'是A'C'的中点，则在原△ABC中，与线段BD相等的线段可能有（　　） A.0条　 B.1条 C.2条　 D.3条 解析：CD　将直观图还原，可得△ABC为直角三角形，BD为斜边上的中线，当∠BAC≠30°且∠BAC≠60°时，与BD的长相等的线段有2条；当∠BAC＝30°或60°时，与BD的长相等的线段有3条. 13.一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面重合，已知长方体的长、宽、高分别为20 m，5 m，10 m，四棱锥的高为8 m，若利用斜二测画法按1∶500的比例画出它的直观图，那么直观图中长方体的长为　4　cm，宽为　0.5　cm，建筑物的高为　3.6　cm. 解析：由比例可知长方体的长、宽、高分别为4 cm，1 cm，2 cm，四棱锥的高为1.6 cm，所以长方体的直观图的长、宽、高应分别为4 cm，0.5 cm，2 cm，四棱锥的直观图的高为1.6 cm.所以直观图中建筑物的高为2＋1.6＝3.6（cm）. 14.如图，四边形A'B'C'D'是边长为1的正方形，且它是某个四边形按斜二测画法画出的直观图，请画出该四边形的原图形，并求出原图形的面积. 解：画出平面直角坐标系xOy，使点A与原点O重合，在x轴上取点C，使AC＝，再在y轴上取点D，使AD＝2，取AC的中点E，连接DE并延长至点B，使DE＝EB，连接DC，CB，BA，则四边形ABCD为正方形A'B'C'D'的原图形，如图所示. 易知四边形ABCD为平行四边形. ∵AD＝2，AC＝， ∴S▱ABCD＝2×＝2，即原图形的面积为2. 15.泉州是一个历史文化名城，它的一些老建筑是中西建筑文化的融合，它注重闽南式大屋顶与西式建筑的巧妙结合，具有独特的建筑风格与空间特征.为延续该市的建筑风格，在旧城改造中，计划对部分建筑物屋顶进行“平改坡”，并体现“红砖青石”的闽南传统建筑风格.现欲设计一个闽南式大屋，该大屋可近似地看作一个直四棱柱和一个三棱柱的组合体，请画出其直观图（尺寸自定）. 解：（1）先按照斜二测画法画出直四棱柱的直观图A'B'C'D'-ABCD； （2）以直四棱柱的上底面ABCD为三棱柱的侧面画出三棱柱的直观图ADE-BCF.直观图如图所示. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $