专题06 正态分布问题及其拓展运用8种重点常考题型（高效培优专项训练）数学苏教版高二选择性必修第二册

**基本信息** 聚焦正态分布8类常考题型，从概念辨析到综合应用，构建完整知识逻辑链条 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |正态密度函数|8题|参数识别与性质判断|从定义出发，巩固μ、σ的几何意义| |正态曲线特点|9题|图像辨析参数特征|通过图像直观理解曲线形态与参数关系| |利用性质求概率|7题|结合曲线性质计算概率|衔接密度函数与概率计算的转化| |对称性求参数|7题|对称性质应用|深化对正态分布对称性的理解与应用| |3σ原则应用|9题|区间概率计算|强化统计规律在实际问题中的应用| |标准正态分布|9题|分布转化与应用|建立一般正态分布与标准正态分布的联系| |实际应用|8题|情境化问题解决|体现数学建模与数据应用意识| |跨章节融合|9题|综合其他知识|拓展正态分布的综合应用能力|

专题06 正态分布问题及其拓展运用8种重点常考题型 题型一、正态密度函数 题型二、正态曲线的特点及其辨析 题型三、利用正态曲线的性质求概率 题型四、利用正态曲线的对称性求参数 题型五、利用3σ原则求概率 题型六、标准正态分布的应用 题型七、正态分布的实际应用 题型八、正态分布与其他章节的融合 题型一、正态密度函数 1．已知正态分布密度函数，，则分别是（  ） A．0和4 B．0和2 C．0和8 D．0和 【答案】B 【分析】将化为正态密度函数的定义形式，即可求出. 【解析】 ， . 故选：B. 2.设随机变量的正态分布密度函数为，，则参数，的值分别是（  ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】由正态分布密度函数的概念即得. 【解析】由正态分布密度函数表达式知，. 故选：D. 3.设随机变量，则X的密度函数为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正态分布的定义可求得，从而可求X的密度函数. 【解析】因为，所以，即， 所以X的密度函数为A. 故选：A 4.（多选）关于标准正态分布的概率密度函数的说法中正确的有（  ） A. 为偶函数； B.的最大值是； C.在时是单调递减函数，在时是单调递增函数； D.关于对称． 【答案】ABC 【分析】根据正态分布密度函数的解析式，逐项判定，即可求解. 【解析】由正态分布密度函数，可得的图象关于对称， 所以为偶函数，所以①正确，④不正确； 根据正态分布曲线的性质得，当时，函数取得最大值，所以②正确； 根据正态分布曲线的性质，可得在上单调递增，在单调递减，所以③正确. 故选：ABC. 5.已知随机变量，其密度函数为，则 . 【答案】 【分析】根据正态曲线的密度函数对应计算可得； 【解析】因为随机变量，其密度函数为， 所以，. 故答案为： 6.已知正态分布N(μ,σ2)的密度曲线是给出以下四个命题： ①对任意x∈R，f(μ＋x)＝f(μ－x)成立； ②如果随机变量ξ服从N(μ,σ2)，且F(x)＝P(ξ<x)，那么F(x)是R上的增函数； ③如果随机变量ξ服从N(108,100)，那么ξ的期望是108，标准差是100； ④随机变量ξ服从N(μ,σ2)，P(ξ<1)＝，P(ξ>2)＝p，则P(0<ξ<2)＝1－2p. 其中，真命题的序号为_______（所有真命题的序号） 【答案】①②④ 【分析】利用正态分布曲线的关于对称，且P(ξ<x) 随着x的增加而变大，为期望，为方差，为标准差，即可判断各项的正误. 【解析】画出正态分布N(μ,σ2)的密度曲线如图．由图可得： ①图像关于x＝μ对称，故①正确； ②F(x)表示密度曲线与x轴围成的面积，随着x的增加，F(x)＝P(ξ＜x)也随着增加，故②正确； ③如果随机变量ξ服从N(108,100)，那么ξ的期望是108，标准差是10； ④由图像的对称性，可得P(ξ>2)＝P(ξ<0)＝p，则P(0<ξ<2)＝1－2p. 故④正确． 故答案为：①②④. 7.如图所示是一个正态分布的图象，试根据该图象写出正态分布密度函数的解析式，求出随机变量总体的均值和方差． 【答案】f(x)＝ ，，μ＝20，σ2＝2. 【分析】由正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义即可求解. 【解析】解：由图可知该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值是，所以μ＝20， 由，解得σ＝， 所以该正态分布密度函数的解析式是f(x)＝ ，， 随机变量总体的均值是μ＝20，方差是σ2＝()2＝2. 8.已知某地农民工年均收入ξ服从正态分布，其密度函数图象如图所示. （1）写出此地农民工年均收入的正态分布密度函数表达式； （2）求此地农民工年均收入在区间[8000，8500]元的人数百分比. 【答案】（1）P(x)= ，x∈(-∞，+∞)；（2）34.135%. 【分析】（1）由密度函数图象得和，从而可得密度函数． （2）由正态分布的概率公式可得． 【解析】解：设农民工年均收入ξ~N(μ，σ2)，结合图象可知μ=8000，σ=500. （1）此地农民工年均收入的正态分布密度函数表达式 P(x)= ＝ ，x∈(-∞，+∞). （2）因为P(7500≤ξ≤8500)=P(8000-500≤ξ≤8000+500)=0.6827， 所以P(8000≤ξ≤8500)=P(7500≤ξ≤8500)=0.34135. 即此地农民工年均收入在区间[8000，8500]元的人数占总体的34.135%. 题型二、正态曲线的特点及其辨析 9．设随机变量服从正态分布，的分布密度曲线如图所示，若，则与分别为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意和正态曲线即可求得，又根据正态曲线可得，进而即可求得． 【解析】根据题意，且，则， 由正态曲线得，所以． 故选：C． 10.已知三个正态分布密度函数（其中，为自然对数的底数）的图像如图所示，则下列结论正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正态分布密度函数图像直接判断得出. 【解析】，正态曲线关于对称，且越大图像越靠近右边，根据图像知， 第一个曲线的均值比第二和第三个的均值都小，且第二，第三两个的均值相等， 即，故B、D错误； ，越小图像越瘦高，根据图像知，第一个图像的等于第二个图像的，且第二个图像的比第三个的要小， .，所以A错误，C正确． 故选：C. 11.函数(其中)的图象可能为（  ） A．   B．   C．  D．   【答案】A 【分析】函数图象的对称轴为直线，由判断各选项.. 【解析】函数图象的对称轴为直线，因为，所以排除B，D； 又正态曲线位于x轴上方，因此排除C，所以A正确. 故选：A. 12.设，，这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论中正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正态分布曲线的性质，确定出两个均值和方差的大小，然后结合图比较概率的大小 【解析】因为，，两曲线分别关于对称， 所以由图可知，，所以A错误， 因为的分布曲线“高瘦”，的分布曲线“矮胖”， 所以 ，所以B错误， 所以，， 所以C错误，D正确， 故选：D. 13.两个正态分布和的密度函数图象如图所示，则（  ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】由正态曲线和均值、标准差的意义判断即可. 【解析】由正态分布和的密度函数图象， 的对称轴在的对称轴的左侧， 故， 由图象可得的数据的集中程度相比更加分散， 根据方差的意义可得， 故选：C. 14.如图是三个正态分布，，的密度曲线，则三个随机变量X，Y，Z对应曲线的序号分别依次为（  ）. A．①②③ B．③②① C．②③① D．①③② 【答案】A 【分析】先利用正态分布求出三个变量的标准差，再利用当较小时，峰值高，正态曲线“瘦高”进行判定. 【解析】由题意，得，，， 因为当较小时，峰值高，正态曲线“瘦高”，且， 所以三个随机变量X，Y，Z对应曲线的序号分别依次为①，②，③. 故选：A. 15.李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，．X和Y的分布密度曲线如图所示．则下列结果正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定的正态分布密度曲线，结合正态分布的对称性和性质，逐项判定，即可求解. 【解析】对于A中，随机变量服从正态分布，且， 可得随机变量的方差为，即，所以A错误； 对于B中，根据给定的正态分布密度曲线图像，可得随机变量， 所以，所以B错误； 对于C中，根据正态分布密度曲线图像，可得时，随机变量对应的曲线与围成的面积小于时随机变量对应的曲线与围成的面积， 所以，所以C正确； 对于D中，根据正态分布密度曲线图像，可得，， 即，所以D错误. 故选：C. 16.（多选）设随机变量服从正态分布，服从正态分布，下列说法中正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据正态曲线的性质逐项判断即可. 【解析】根据题意，随机变量服从正态分布，， 服从正态分布，， A选项：， ， 故，命题正确； B选项： ，所以，命题正确； C选项：， ， 所以，命题正确； D选项：， ， 所以，命题错误. 故选：ABC. 17.（多选）某市有甲、乙两个工厂生产同一型号的汽车零件，零件的尺寸分别记为X，Y，已知X，Y均服从正态分布，，其正态曲线如图所示，则下列结论中正确的是（  ）    A．甲工厂生产零件尺寸的平均值等于乙工厂生产零件尺寸的平均值 B．甲工厂生产零件尺寸的平均值小于乙工厂生产零件尺寸的平均值 C．甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性 D．甲工厂生产零件尺寸的稳定性低于乙工厂生产零件尺寸的稳定性 【答案】AC 【分析】根据正态密度函数的图象，得到，，即可求解. 【解析】X，Y均服从正态分布，， 结合正态密度函数的图象可知，可得，， 故甲工厂生产零件尺寸的平均值等于乙工厂生产零件尺寸的平均值，故A正确，B错误； 甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性，故C正确，D错误． 故选：AC 题型三、利用正态曲线的性质求概率 18．已知随机变量，若其对应的正态密度函数满足，且，则（  ） A．0.7 B．0.5 C．0.3 D．0.2 【答案】C 【分析】由得出对应的正态密度函数的对称轴，利用正态分布的性质与对称性求解即可. 【解析】根据题意，，则正态密度函数关于对称，即， 则. 故选：C. 19.已知随机变量X服从正态分布，且，则（  ） A．0.21 B．0.2 C．0.31 D．0.3 【答案】A 【分析】根据正态分布曲线的对称性求解即可. 【解析】因为随机变量X服从正态分布，且， 所以 . 故选：A. 20.已知随机变量，且，则（  ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 【答案】A 【分析】根据正态分布的对称性即可求解. 【解析】随机变量，且, 故， 故选：A. 21.已知随机变量X服从正态分布，且，则（  ） A．0.14 B．0.36 C．0.64 D．0.86 【答案】D 【分析】根据正态分布的曲线的对称性及曲线表示的意义即可求解. 【解析】因为随机变量X服从正态分布， 所以正态曲线关于直线对称， 则. 又因为， 所以. 故选：D. 22.（多选）已知随机变量，则下列等式正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义逐一判断即可得解． 【解析】因为随机变量， 则正态分布曲线关于对称， 因为， 则由正态分布曲线的对称性可得：，即，故A正确； 又， 由于，所以，故B不正确，C正确； ，故D正确. 故选：ACD. 23.（多选）已知随机变量.若，则（  ） A． B． C． D．事件“”与事件“”相互独立 【答案】ABD 【分析】由题意可知为对应的正态分布图象的对称轴，利用对称性求解得到答案. 【解析】由题意可知为对应的正态分布图象的对称轴， 则，又，则，故A正确； 由对称性，，， 则，故B正确； ，故C错误； ，，， 则， 即事件“”与事件“”相互独立，故D正确. 故选：ABD. 24.已知随机变量服从正态分布，且，则 . 【答案】0.4 【分析】根据正态曲线的对称性易得. 【解析】因为，所以，又， 由正态曲线的对称性，可得. 故答案为：0.4. 25.已知随机变量X服从正态分布，且，则 ． 【答案】/． 【分析】根据正态分布曲线的性质即可解出． 【解析】因为，所以，因此． 故答案为：． 题型四、利用正态曲线的对称性求参数 26．已知随机变量，若，，则a的值为（  ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据正态分布的对称性可得，故，求出a的值. 【解析】因为，， 所以，即，所以. 故选：B． 27.已知随机变量服从正态分布，若，，则（  ） A．0.4 B．0.3 C．0.2 D．0.1 【答案】C 【分析】利用正态分布曲线的性质，再根据条件，即可求出结果. 【解析】由已知得正态曲线关于直线对称， ， ，解得， 故选：C． 28.已知随机变量，若，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正态分布的对称性求，根据求. 【解析】因为，所以，所以， 又. 故选：D 29.已知随机变量，，且，若，则（  ） A．0.09 B．0.82 C．0.91 D．0.21 【答案】B 【分析】利用二项分布的性质求出，再结合正态分布的对称性求解即可. 【解析】由题意得，则， 因为，所以， 即，解得， 由题意得， 由对称性可得， 则，故B正确. 故选：B 30.已知随机变量，若，，则 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用正态分布的对称性列式求出值. 【解析】随机变量，由，得， 又，则，因此，解得. 故答案为： 31.随机变量，若，则 ． 【答案】 【分析】已知随机变量，即均值，利用正态分布的对称性以及所给的概率等式来求解的值. 【解析】因为正态分布关于均值对称，已知，那么点与点关于均值对称.可列出等式. 得到.解得. 故答案为：. 32.已知随机变量，且其正态曲线在上是增函数，在上是减函数，且． (1)求参数，的值． (2)求． 附：若，则， 【答案】(1)，; (2)0.1359 【分析】（1）由题设及特殊区间的概率值得到，即可确定参数； （2）利用正态分布的对称性求、，进而求目标概率值. 【解析】（1）由题设，而，则，可得. （2）由（1）知：， 正态曲线关于对称 ，即， 所以，故， 由，则， 所以， 综上，. 题型五、利用3σ原则求概率 33．已知某市高中男生的身高X（单位：）近似服从正态分布，则从该市随机抽取一名高中男生，其身高位于到之间的概率约为（  ） 参考数据： A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正态分布的原则，计算概率即可. 【解析】由题意知， 则， 故选：B. 34.某小麦种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高(单位：cm)近似服从正态分布．已知时，有，则下列说法正确的是（  ） A．该地小麦的平均株高约为10cm B．该地小麦株高的方差约为10 C．该地株高超过110cm的小麦约占 D．该地株高低于130cm的小麦约占 【答案】D 【分析】应用正态分布的性质判断A，B，应用概率值及对称性计算对应概率值判断C，D. 【解析】某小麦种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高(单位：cm)近似服从正态分布． 该地小麦的平均株高约为cm，A选项错误； 该地小麦株高的方差约为，B选项错误； 因为，该地株高超过110cm的小麦约占，C选项错误； 因为，该地株高超过130cm的小麦约占， 则该地株高低于130cm的小麦约占，D选项正确. 故选：D. 35.某校1000名学生的某次测试成绩，正态分布密度函数的曲线如图所示，则成绩位于区间的人数大约是（  ）参考数据：    A．341 B．498 C．683 D．997 【答案】A 【分析】利用条件得出，进而求出，即可得到结果. 【解析】由题图知，又， 故则成绩位于区间的人数大约是. 故选：A. 36.（多选）已知随机变量服从正态分布（参考数据：若，则），则（  ） A．的方差为3 B． C． D． 【答案】BD 【分析】分析可知，可判断A；利用正态分布的性质可判断B；利用正态密度曲线的特征可判断C；利用原则可判断D. 【解析】因为随机变量服从正态分布，所以，，则的方差为9，故A错误； 因为，故B正确； 因为正态密度曲线中间高，两边低，且， 所以，故C错误； 因为，故D正确. 故选：BD. 37.（多选）随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差，已知该种植区以往的亩收入服从正态分布，假设推动出口后的亩收入服从正态分布，则（  ）（若随机变量Z服从正态分布，） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据正态分布的原则以及正态分布的对称性即可解出. 【解析】依题可知，，所以， 故，C正确，D错误； 因为，所以， 因为，所以， 而，B正确，A错误， 故选：BC． 38.（多选）2024年12月，DeepSeek正式上线全新系列大语言模型DeepSeek－V3，其具备多语言对话、实时信息检索、复杂逻辑推理和创意内容生成等能力，该大语言模型算法降低了应用门槛，预测未来AI应用上限将更高．某校科技兴趣小组设计调查问卷调查本校学生对“大语言模型”的了解程度，被调查学生所得分数可近似看作服从正态分布，则（附：若随机变量，则，）（  ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据正态分布曲线的对称性以及概率公式求解即可 【解析】对于A，，故，故A正确． 对于B，，故B正确． 对于C， ，故C错误． 对于D， ，故D正确． 故选：ABD． 39.（多选）李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，，．X和Y的分布密度曲线如图所示．则下列正确的是（  ） （参考数据：，，） A． B． C． D．为了保证84.135%的概率不迟到，李明不管选择哪种交通工具都需至少预留36分钟时间 【答案】BD 【分析】根据给定的正态分布密度曲线，结合正态分布的对称性和性质，逐项判定，即可求解. 【解析】对于A中，根据给定的正态分布密度曲线图像，可得随机变量，所以，所以A错误； 对于B中，根据正态分布密度曲线图像，可得时， 随机变量对应的曲线与围成的面积小于时随机变量对应的曲线与围成的面积， 所以， 所以B正确； 对于C中，根据正态分布密度曲线图像， 可得， ， 即，所以C错误； 对于D中，因为， 所以 ， 为了保证84.135%的概率不迟到，李明不管选择哪种交通工具都需至少预留36分钟时间，所以D正确； 故选：BD. 题型六、标准正态分布的应用 40．正态分布通常记作，当，时的正态分布称为标准正态分布．在统计中为了方便在不同分布的各个原始数据之间进行比较，常将正态分布转化为标准正态分布．转化过程为令，则可得．如果，那么对任意的，通常记（）．某校高三某次考试的1500名学生的成绩近似服从正态分布，且整个年级成绩的平均分为470，标准差为50，若，则成绩落在区间内的人数大约为（  ） A．1262 B．1300 C．1366 D．1400． 【答案】B 【分析】根据正态分布的基本概念和性质，计算特定区间的概率解决实际中的人数估计问题． 【解析】整个年级成绩的平均分为470，标准差为50， 所以，，所以， 即，即求． 由，得， 所以， 那么成绩落在区间（395，545）内的人数大约为， 故选：B． 41.如图是正态分布的正态曲线图，下面个式子中：①；②；③；等于图中阴影部分面积的个数为（  ）注：      A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据正态分布的正态分布曲线图，知正态曲线的对称轴是，欲求图中阴影部分面积，只须求，再结合对称性进行代换即可求得答案. 【解析】 图中阴影部分的面积为 根据对称性可知阴影部分的面积为 ①③正确， 故选：C. 42.（多选）小明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他记录多次数据，分析得到：坐公交车平均用时30min，样本方差为36；骑自行车平均用时34min，样本方差为4，假设坐公交车用时，骑自行车用时，则（  ） A． B． C．如果有38分钟可用，小明应选择自行车 D．如果有34分钟可用，小明应选择坐公交车 【答案】BCD 【分析】利用正态分布曲线的意义以及对称性，对四个选项逐一分析判断即可． 【解析】因为，， 将化为标准正态分布，则， 因为，所以，故A错误； 又，，故B正确； 因为，所以如果有38分钟可用，小明应选择自行车，故C正确； 因为，所以如果有34分钟可用，小明应选择坐公交车，故D正确. 故选：BCD． 43.（多选）下列关于正态分布的叙述中，正确的是（  ） A．X的均值为0 B．X的方差为1 C．X的概率密度函数为， D．若，则 【答案】ABD 【分析】根据正态分布的概念与性质逐项分析判断. 【解析】因为，则X的均值为0，X的方差为1，故A、B正确； X的概率密度函数为，，故C错误； 对于可知：Y的均值为1，Y的方差为4，可得， 则，故D正确； 故选：ABD. 44.（多选）设随机变量服从正态分布，则下列结论正确的是（  ） A.； B.； C.； D.． 【答案】BD 【分析】由可判断A，根据正态分布曲线的对称性可得可判断BC，由可判断D. 【解析】因为随机变量服从正态分布， 因为，所以A不正确； 因为 ， 所以B正确，C不正确； 因为， 所以，所以D正确． 故选：BD. 45.已知随机变量，，则=____________ 【答案】0.7 【分析】利用正态分布的对称性，即可列式求解. 【解析】由题意可知，. 故答案为：0.7 46.随机变量，，若，则 . 【答案】 【分析】分析可知，结合正态分布的对称性运算求解. 【解析】因为，可知， 若， 可得， 所以. 故答案为：. 47.随机变量X服从正态分布，当，时，称随机变量X服从标准正态分布. 现已知随机变量Y服从正态分布. 若随机变量（a，b为正实数）服从标准正态分布，则 . 【答案】 【分析】由标准正态分布的定义结合期望和方差的性质计算即可. 【解析】随机变量Y服从正态分布，所以， 因为随机变量（a，b为正实数）服从标准正态分布， 所以， 所以，. 即，解得，则. 故答案为：. 48.某省计划在高考中对政治、地理、化学、生物四门选考科目进行赋分制度计分，即将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A、B、C、D、E共5个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为10%，35%，35%，18%，2%，选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换原则，分别转换到，，、、五个分数区间，得到考生的赋分等级成绩，如果该省某次高考模拟考试政治科目的原始成绩，若一名学生想取得A等的赋分等级，则他的原始分数最低为 分．（分数保留整数） 附：①若，，则；②当时，． 【答案】71 【分析】设A等级的原始分最低为，由原始成绩，令，则，即可求解. 【解析】由题意知：从高到低，即A等级人数所占比例为， 若A等级的原始分最低为，又原始成绩， ，令，则， 又，所以， 即，可得分, 则他的原始分数最低为71. 故答案为：71. 题型七、正态分布的实际应用 49．“双十二”网购狂欢节是继“双十一”后的又一次网络促销日，在这一天，许多网商还会进行促销活动，但促销力度不及“双十一”．已知今年“双十二”期间，某小区居民网上购物的消费金额（单位：元）近似服从正态分布，则该小区800名居民中，网购金额超过800元的人数大约为（若随机变量，则，，）（  ） A．16 B．18 C．20 D．25 【答案】B 【分析】由题可得，即可求得. 【解析】小区居民网上购物的消费金额（单位：元）近似服从正态分布， ， 该小区800名居民中，网购金额超过800元的人数大约为， 故选：B. 50.某校高二年级1000名学生参加体能测试，经统计分析，成绩近似服从正态分布，已知成绩低于70分的人数有100人，则成绩在的人数大约有（  ） A．800 B．600 C．400 D．200 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用正态分布的对称性求出指定区间内的概率，进而估计人数. 【解析】由成绩，得， 由成绩分的人数有100人，得， 因此，则， 所以成绩在的人数大约有（人）． 故选：A 51.甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布，，其相应的分布密度曲线如图所示，则下列说法正确的是（  ） （注：正态曲线的函数解析式为，） A．甲类水果的平均质量 B．乙类水果的质量比甲类水果的质量更集中于均值左右 C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量大 D．乙类水果的质量服从的正态分布的参数 【答案】A 【分析】根据正态分布的特征可得两者的均值、方差的大小关系，结合正态分布密度曲线可判断D，进而即得. 【解析】由题图可知甲图象关于直线对称，乙图象关于直线对称， 所以，，，故A正确，C错误； 因为甲图象比乙图象更“高瘦”（曲线越“高瘦”，越小，表示总体的分布越集中）， 所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于均值左右，故B错误； 因为乙图象的最高点为，即，所以，故D错误． 故选：A． 52.统计学中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取中的值，简称为原则，某厂有一条零件加工的生产线，生产的零件长度服从正态分布（单位：毫米），则下列说法正确的是（  ）（参考数据：，） A． B．若，则 C． D．若抽检的10个样本中有1个样本的长度为45毫米，应对生产线进行检修 【答案】ABD 【分析】根据正态分布的概念可判断A；根据正太分布的对称性可判断BC；根据题设原则计算概率进行比较可判断D． 【解析】A选项：由题可得均值，方差，故A正确； B选项：与关于对称，，故B正确； C选项： ∵，∴， ∵，∴， ∴ ，故C错误； D选项：根据原则，零件长度大于42的概率应该小于， 现在抽检的10个样本中有1个样本的长度为45毫米，其概率为，这远远大于， 故应该对生产线进行检修，故D正确． 故选：ABD． 53.百华实验中学高三年级有学生600人，在某次开学数学考试中，数学成绩近似服从正态分布．已知，则本次考试数学成绩为120分以上的人数约为 人． 【答案】72 【分析】利用正态分布曲线的对称性求出的值，再乘以600即可求解. 【解析】由于数学成绩近似服从正态分布，且， 所以 ， 所以 ， 则本次考试数学成绩为120分以上的人数约为人. 故答案为：72. 54.袋装食盐标准质量为400g，规定误差的绝对值不超过4g就认为合格．假设误差服从正态分布，随机抽取100袋食盐，误差的样本均值为0，样本方差为4．由此可估计这批袋装食盐的合格率为 ． 【参考数据：；；】 【答案】95.45%/0.9545 【分析】由正态分布的概率公式估计即得. 【解析】由题意可知，可设误差为，则服从正态分布， ， 故合格率约为95.45%． 故答案为：95.45% 55.在一次联考中，经统计发现，张家口的两个学校的考生人数都为2000人，数学均分都为90，标准差都为10，并且根据统计密度曲线发现，甲学校的数学分数服从正态分布，乙学校的数学分数不服从正态分布． (1)甲学校为关注基础薄弱学生的教学，准备从70分及以下的学生中抽取20人进行访问，学生小A考分为65分，求他被抽到的概率大约为多少； (2)根据统计发现学校乙得分不低于120分的学生有30人，得分不高于60分的有2人，试说明乙学校教学成绩的分布特点（与甲学校得分不低于120分和不高于60分的学生人数作对比）． 参考数据：若，则，，． 【答案】(1)； (2)答案见解析 【分析】（1）由正态分布确定70分及以下的学生人数，再由古典概率模型即可求解； （2）由正态分布确定甲校130以上及58分以下人数，对比乙校数据即可判断. 【解析】（1）由题意可知甲校学生数学得分， 由，可得 ，则， 所以分数在70分及以下的学生有人， 所以学生小A被抽到的概率． （2）由，可得：． 所以甲校得分不低于120分的概率为， 得分不高于60分的概率为， 所以甲校得分不低于120分有人，得分不高于60分有人， 故乙校教学120分以上学生更多，得分不高于60分更少； 即乙校高分人数更多，低分人数更少. 56.在一条生产铜棒的生产线上，生产的成品铜棒的直径为（单位：，以下同），且. (1)分别写出，的值； (2)若生产这样的成品铜棒10000根，试估计直径在内的铜棒根数； (3)若质检员从这些铜棒中随机抽取1根铜棒，求这根铜棒的直径在内的概率. 参考数据：若，则，，. 【答案】(1)，； (2)； (3). 【分析】（1）由正态分布概念可确定，； （2）注意到，由题利用可得答案； （3）由，结合题意可得答案. 【解析】（1）, 则，； （2）， 因，则直径在内概率约为， 则直径在内的铜棒根数估计为； （3）， 因，， 则， ， 则. 题型八、正态分布与其他章节的融合 57．已知随机变量，，则的最大值为（  ） A．9 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正态分布的对称性得到，再用代换1法求最大值即可. 【解析】因为，， 所以. 由正态分布的对称性，可得. 因为， 所以，当且仅当，即，时，等号成立， 即的最大值为. 故选：D. 58.已知随机变量，，，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意，根据正态分布的性质，结合图象的对称性，整理概率等式，结合基本不等式，可得答案. 【解析】由随机变量服从正态分布，其正态分布分布曲线的对称轴为直线， 则， 所以， 且，，即， 所以， 当且仅当，即时，取等号. 故选：A. 59.（多选）设随机变量，其中，下列说法正确的是（  ） A．变量的方差为1，均值为0 B． C．函数在上是单调增函数 D． 【答案】ACD 【分析】由正态分布的表示可判断A；由正态曲线及可判断B，根据正态曲线的性质可判断C，根据正态曲线的对称性可判断D. 【解析】随机变量，则A正确； ，则B错误； 随机变量，结合正态曲线易得函数在上是单调增函数，则C正确； 正态分布的曲线关于对称，，则D正确， 故选：ACD． 60.（多选）已知连续型随机变量，设函数，则下列说法正确的有（  ） A．是在定义域上的增函数 B．的图象关于直线对称 C．的图象关于点对称 D．的图象位于两条直线，之间 【答案】ACD 【分析】据正态分布的性质，对函数的单调性、对称性以及值域进行分析判断. 【解析】已知，随着的增大，这个事件发生的概率是增大的，即是在定义域上的增函数，所以A选项正确； 若函数的图象关于直线对称，则； ，， 由正态分布的性质可知， 所以的图象不关于直线对称，B选项错误； 因为正态分布曲线关于对称， 所以，且，即， 所以的图象关于点对称，C选项正确； 由于概率的取值范围是，所以的图象位于两条直线，之间，D选项正确； 故选：ACD. 61.若随机变量，则的最小值为________- 【答案】9 【分析】由正态分布的对称性得到，利用基本不等式“1”的代换求最值. 【解析】因为，所以， 所以，所以， 所以， 当且仅当时取等号，又，所以当且仅当时取等号. 故答案为：9. 62.已知随机变量，相互独立，且，，则 ；若，则 . 【答案】 【分析】根据二项分布写出概率再结合独立事件概率乘积公式计算即可；根据概率求和结果倒序相加计算求解. 【解析】，， . 并利用， 记原式， 倒序相加. 故答案为：. 63.某市为了传承发展中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次文化知识有奖竞赛，竞赛奖励规则如下：得分在［70，80）内的学生获三等奖，得分在［80，90）内的学生获二等奖，得分在［90，100］内的学生获一等奖，其他学生不得奖．为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了样本频率分布直方图，如图所示． 若该市所有参赛学生的成绩X近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，利用所得正态分布模型解决以下问题： (1)求这100名学生的竞赛平均成绩； (2)若该市共有10000名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中成绩超过79分的学生数（结果四舍五入到整数）； (3)若从所有参赛学生中（参赛学生数大于10000）随机抽取3名学生进行访谈，设其中竞赛成绩在64分以上的学生数为，求随机变量的分布列和均值． 附：若随机变量服从正态分布，则，． 【答案】(1)64； (2)1587； (3)分布列见解析， 【分析】（1）利用频率分布直方图求出样本平均数. （2）由（1）可得，利用正态分布的对称性求出，进而求出学生人数. （3）由（1）求出，再利用二项分布求出分布列及期望. 【解析】（1）由频率分布直方图知，各小矩形面积从左到右依次为， 样本平均数. （2）由（1）知，，所有参赛学生的成绩X近似服从正态分布，而， 因此， 所以参赛学生中成绩超过79分的学生数约为. （3）由（2）知，，， 即从所有参赛学生中随机抽取1名学生，该学生竞赛成绩在64分以上的概率为， 因此随机变量服从二项分布，的可能值为0，1，2，3， 则，，，， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 3 P 数学期望. 64.已知某企业加工某零件，根据长期检测结果，得知该企业生产的零件的质量指标值服从正态分布．现从该企业生产的零件中随机抽取100件，其质量指标值的样本数据统计情况如图所示． (1)求这100件零件的质量指标值的样本平均数和样本方差．（同一组的数据用该组区间的中点值作代表） (2)用这100件零件的质量指标值的样本平均数作为的估计值，样本标准差作为的估计值．若质量指标值在内的产品为优等品，根据正态分布，求该企业生产的产品为优等品的概率． 附：取， ，，． 【答案】(1)， (2)0.9545 【分析】（1）根据频率分布直方图计算样本平均数及方差的方法，求出样本均值和方差即可； （2）根据正态分布的性质，由方差和均值，判断结果即可. 【解析】（1）． ． （2）由题意知，样本方差，故， 所以该企业生产的零件的质量指标值服从正态分布． ， 所以该企业生产的产品为优等品的概率为0.9545． 65.近年来，人工智能已成为引领我国新一轮科技革命的战略性技术.智能芯片作为人工智能的“心脏”，不论是制造工艺的持续精进，还是架构设计的大胆创新，国产智能芯片的算力与能效比均在大幅提升. (1)已知某款芯片生产有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测工序，包括智能自动检测与人工抽检．已知该款芯片在生产中，前三道工序的次品率分别为，，. ①求该款芯片生产在进入第四道工序前的次品率； ②第四道工序中，部分芯片由智能检测系统进行筛选，检测出的次品芯片会被淘汰，通过筛选的芯片及未经筛选的芯片都进入流水线由工人进行人工抽样检验．记表示事件“某芯片经过智能检测系统筛选”，表示事件“某芯片经人工抽检后合格”，试比较与的大小； (2)改进生产工艺后，该款芯片的某项质量指标服从正态分布，现从中随机抽取个，这个芯片中恰有个的质量指标位于区间．若，将使得的最大的值作为的估计值，试求的值． 参考数据：，. 【答案】(1)①；②； (2)28 【分析】（1）①根据相互独立事件概率乘法公式及对立事件概率公式求解即可；②利用条件概率公式及性质计算即可. （2）由已知可推得，根据已知以及正态分布的对称性，可求得，则服从二项分布，利用二项分布概率最大值的求法计算可得结果. 【解析】（1）①在进入第四道工序前,该款芯片的次品率为： ． ②证明：由题意，所以，所以， 因为， 所以， 即， 所以，即，所以． （2）由已知得： ， 因为， 所以服从二项分布，， 设， 由得，即， 解得，由得， 所以的估计值为28． 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 正态分布问题及其拓展运用8种重点常考题型 题型一、正态密度函数 题型二、正态曲线的特点及其辨析 题型三、利用正态曲线的性质求概率 题型四、利用正态曲线的对称性求参数 题型五、利用3σ原则求概率 题型六、标准正态分布的应用 题型七、正态分布的实际应用 题型八、正态分布与其他章节的融合 题型一、正态密度函数 1．已知正态分布密度函数，，则分别是（  ） A．0和4 B．0和2 C．0和8 D．0和 2.设随机变量的正态分布密度函数为，，则参数，的值分别是（  ） A．， B．， C．， D．， 3.设随机变量，则X的密度函数为（  ） A． B． C． D． 4.（多选）关于标准正态分布的概率密度函数的说法中正确的有（  ） A. 为偶函数； B.的最大值是； C.在时是单调递减函数，在时是单调递增函数； D.关于对称． 5.已知随机变量，其密度函数为，则 . 6.已知正态分布N(μ,σ2)的密度曲线是给出以下四个命题： ①对任意x∈R，f(μ＋x)＝f(μ－x)成立； ②如果随机变量ξ服从N(μ,σ2)，且F(x)＝P(ξ<x)，那么F(x)是R上的增函数； ③如果随机变量ξ服从N(108,100)，那么ξ的期望是108，标准差是100； ④随机变量ξ服从N(μ,σ2)，P(ξ<1)＝，P(ξ>2)＝p，则P(0<ξ<2)＝1－2p. 其中，真命题的序号为_______（所有真命题的序号） 7.如图所示是一个正态分布的图象，试根据该图象写出正态分布密度函数的解析式，求出随机变量总体的均值和方差． 8.已知某地农民工年均收入ξ服从正态分布，其密度函数图象如图所示. （1）写出此地农民工年均收入的正态分布密度函数表达式； （2）求此地农民工年均收入在区间[8000，8500]元的人数百分比. 题型二、正态曲线的特点及其辨析 9．设随机变量服从正态分布，的分布密度曲线如图所示，若，则与分别为（  ） A． B． C． D． 10.已知三个正态分布密度函数（其中，为自然对数的底数）的图像如图所示，则下列结论正确的是（  ） A． B． C． D． 11.函数(其中)的图象可能为（  ） A．   B．   C．  D．   12.设，，这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论中正确的是（  ） A． B． C． D． 13.两个正态分布和的密度函数图象如图所示，则（  ） A．， B．， C．， D．， 14.如图是三个正态分布，，的密度曲线，则三个随机变量X，Y，Z对应曲线的序号分别依次为（  ）. A．①②③ B．③②① C．②③① D．①③② 15.李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，．X和Y的分布密度曲线如图所示．则下列结果正确的是（  ） A． B． C． D． 16.（多选）设随机变量服从正态分布，服从正态分布，下列说法中正确的是（  ） A． B． C． D． 17.（多选）某市有甲、乙两个工厂生产同一型号的汽车零件，零件的尺寸分别记为X，Y，已知X，Y均服从正态分布，，其正态曲线如图所示，则下列结论中正确的是（  ）    A．甲工厂生产零件尺寸的平均值等于乙工厂生产零件尺寸的平均值 B．甲工厂生产零件尺寸的平均值小于乙工厂生产零件尺寸的平均值 C．甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性 D．甲工厂生产零件尺寸的稳定性低于乙工厂生产零件尺寸的稳定性 题型三、利用正态曲线的性质求概率 18．已知随机变量，若其对应的正态密度函数满足，且，则（  ） A．0.7 B．0.5 C．0.3 D．0.2 19.已知随机变量X服从正态分布，且，则（  ） A．0.21 B．0.2 C．0.31 D．0.3 20.已知随机变量，且，则（  ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 21.已知随机变量X服从正态分布，且，则（  ） A．0.14 B．0.36 C．0.64 D．0.86 22.（多选）已知随机变量，则下列等式正确的是（　　） A． B． C． D． 23.（多选）已知随机变量.若，则（  ） A． B． C． D．事件“”与事件“”相互独立 24.已知随机变量服从正态分布，且，则 . 25.已知随机变量X服从正态分布，且，则 ． 题型四、利用正态曲线的对称性求参数 26．已知随机变量，若，，则a的值为（  ） A．0 B．1 C．2 D．3 27.已知随机变量服从正态分布，若，，则（  ） A．0.4 B．0.3 C．0.2 D．0.1 28.已知随机变量，若，则（  ） A． B． C． D． 29.已知随机变量，，且，若，则（  ） A．0.09 B．0.82 C．0.91 D．0.21 30.已知随机变量，若，，则 ． 31.随机变量，若，则 ． 32.已知随机变量，且其正态曲线在上是增函数，在上是减函数，且． (1)求参数，的值． (2)求． 附：若，则， 题型五、利用3σ原则求概率 33．已知某市高中男生的身高X（单位：）近似服从正态分布，则从该市随机抽取一名高中男生，其身高位于到之间的概率约为（  ） 参考数据： A． B． C． D． 34.某小麦种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高(单位：cm)近似服从正态分布．已知时，有，则下列说法正确的是（  ） A．该地小麦的平均株高约为10cm B．该地小麦株高的方差约为10 C．该地株高超过110cm的小麦约占 D．该地株高低于130cm的小麦约占 35.某校1000名学生的某次测试成绩，正态分布密度函数的曲线如图所示，则成绩位于区间的人数大约是（  ）参考数据：    A．341 B．498 C．683 D．997 36.（多选）已知随机变量服从正态分布（参考数据：若，则），则（  ） A．的方差为3 B． C． D． 37.（多选）随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差，已知该种植区以往的亩收入服从正态分布，假设推动出口后的亩收入服从正态分布，则（  ）（若随机变量Z服从正态分布，） A． B． C． D． 38.（多选）2024年12月，DeepSeek正式上线全新系列大语言模型DeepSeek－V3，其具备多语言对话、实时信息检索、复杂逻辑推理和创意内容生成等能力，该大语言模型算法降低了应用门槛，预测未来AI应用上限将更高．某校科技兴趣小组设计调查问卷调查本校学生对“大语言模型”的了解程度，被调查学生所得分数可近似看作服从正态分布，则（附：若随机变量，则，）（  ） A． B． C． D． 39.（多选）李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，，．X和Y的分布密度曲线如图所示．则下列正确的是（  ） （参考数据：，，） A． B． C． D．为了保证84.135%的概率不迟到，李明不管选择哪种交通工具都需至少预留36分钟时间 【答案】BD 题型六、标准正态分布的应用 40．正态分布通常记作，当，时的正态分布称为标准正态分布．在统计中为了方便在不同分布的各个原始数据之间进行比较，常将正态分布转化为标准正态分布．转化过程为令，则可得．如果，那么对任意的，通常记（）．某校高三某次考试的1500名学生的成绩近似服从正态分布，且整个年级成绩的平均分为470，标准差为50，若，则成绩落在区间内的人数大约为（  ） A．1262 B．1300 C．1366 D．1400． 41.如图是正态分布的正态曲线图，下面个式子中：①；②；③；等于图中阴影部分面积的个数为（  ）注：      A．0 B．1 C．2 D．3 42.（多选）小明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他记录多次数据，分析得到：坐公交车平均用时30min，样本方差为36；骑自行车平均用时34min，样本方差为4，假设坐公交车用时，骑自行车用时，则（  ） A． B． C．如果有38分钟可用，小明应选择自行车 D．如果有34分钟可用，小明应选择坐公交车 43.（多选）下列关于正态分布的叙述中，正确的是（  ） A．X的均值为0 B．X的方差为1 C．X的概率密度函数为， D．若，则 44.（多选）设随机变量服从正态分布，则下列结论正确的是（  ） A.； B.； C.； D.． 45.已知随机变量，，则=____________ 46.随机变量，，若，则 . 47.随机变量X服从正态分布，当，时，称随机变量X服从标准正态分布. 现已知随机变量Y服从正态分布. 若随机变量（a，b为正实数）服从标准正态分布，则 . 48.某省计划在高考中对政治、地理、化学、生物四门选考科目进行赋分制度计分，即将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A、B、C、D、E共5个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为10%，35%，35%，18%，2%，选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换原则，分别转换到，，、、五个分数区间，得到考生的赋分等级成绩，如果该省某次高考模拟考试政治科目的原始成绩，若一名学生想取得A等的赋分等级，则他的原始分数最低为 分．（分数保留整数） 附：①若，，则；②当时，． 题型七、正态分布的实际应用 49．“双十二”网购狂欢节是继“双十一”后的又一次网络促销日，在这一天，许多网商还会进行促销活动，但促销力度不及“双十一”．已知今年“双十二”期间，某小区居民网上购物的消费金额（单位：元）近似服从正态分布，则该小区800名居民中，网购金额超过800元的人数大约为（若随机变量，则，，）（  ） A．16 B．18 C．20 D．25 50.某校高二年级1000名学生参加体能测试，经统计分析，成绩近似服从正态分布，已知成绩低于70分的人数有100人，则成绩在的人数大约有（  ） A．800 B．600 C．400 D．200 51.甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布，，其相应的分布密度曲线如图所示，则下列说法正确的是（  ） （注：正态曲线的函数解析式为，） A．甲类水果的平均质量 B．乙类水果的质量比甲类水果的质量更集中于均值左右 C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量大 D．乙类水果的质量服从的正态分布的参数 52.统计学中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取中的值，简称为原则，某厂有一条零件加工的生产线，生产的零件长度服从正态分布（单位：毫米），则下列说法正确的是（  ）（参考数据：，） A． B．若，则 C． D．若抽检的10个样本中有1个样本的长度为45毫米，应对生产线进行检修 53.百华实验中学高三年级有学生600人，在某次开学数学考试中，数学成绩近似服从正态分布．已知，则本次考试数学成绩为120分以上的人数约为 人． 54.袋装食盐标准质量为400g，规定误差的绝对值不超过4g就认为合格．假设误差服从正态分布，随机抽取100袋食盐，误差的样本均值为0，样本方差为4．由此可估计这批袋装食盐的合格率为 ．【参考数据：；；】 55.在一次联考中，经统计发现，张家口的两个学校的考生人数都为2000人，数学均分都为90，标准差都为10，并且根据统计密度曲线发现，甲学校的数学分数服从正态分布，乙学校的数学分数不服从正态分布． (1)甲学校为关注基础薄弱学生的教学，准备从70分及以下的学生中抽取20人进行访问，学生小A考分为65分，求他被抽到的概率大约为多少； (2)根据统计发现学校乙得分不低于120分的学生有30人，得分不高于60分的有2人，试说明乙学校教学成绩的分布特点（与甲学校得分不低于120分和不高于60分的学生人数作对比）． 参考数据：若，则，，． 56.在一条生产铜棒的生产线上，生产的成品铜棒的直径为（单位：，以下同），且. (1)分别写出，的值； (2)若生产这样的成品铜棒10000根，试估计直径在内的铜棒根数； (3)若质检员从这些铜棒中随机抽取1根铜棒，求这根铜棒的直径在内的概率. 参考数据：若，则，，. 题型八、正态分布与其他章节的融合 57．已知随机变量，，则的最大值为（  ） A．9 B． C． D． 58.已知随机变量，，，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 59.（多选）设随机变量，其中，下列说法正确的是（  ） A．变量的方差为1，均值为0 B． C．函数在上是单调增函数 D． 60.（多选）已知连续型随机变量，设函数，则下列说法正确的有（  ） A．是在定义域上的增函数 B．的图象关于直线对称 C．的图象关于点对称 D．的图象位于两条直线，之间 61.若随机变量，则的最小值为________- 62.已知随机变量，相互独立，且，，则 ；若，则 . 63.某市为了传承发展中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次文化知识有奖竞赛，竞赛奖励规则如下：得分在［70，80）内的学生获三等奖，得分在［80，90）内的学生获二等奖，得分在［90，100］内的学生获一等奖，其他学生不得奖．为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了样本频率分布直方图，如图所示． 若该市所有参赛学生的成绩X近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，利用所得正态分布模型解决以下问题： (1)求这100名学生的竞赛平均成绩； (2)若该市共有10000名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中成绩超过79分的学生数（结果四舍五入到整数）； (3)若从所有参赛学生中（参赛学生数大于10000）随机抽取3名学生进行访谈，设其中竞赛成绩在64分以上的学生数为，求随机变量的分布列和均值． 附：若随机变量服从正态分布，则，． 64.已知某企业加工某零件，根据长期检测结果，得知该企业生产的零件的质量指标值服从正态分布．现从该企业生产的零件中随机抽取100件，其质量指标值的样本数据统计情况如图所示． (1)求这100件零件的质量指标值的样本平均数和样本方差．（同一组的数据用该组区间的中点值作代表） (2)用这100件零件的质量指标值的样本平均数作为的估计值，样本标准差作为的估计值．若质量指标值在内的产品为优等品，根据正态分布，求该企业生产的产品为优等品的概率． 附：取， ，，． 65.近年来，人工智能已成为引领我国新一轮科技革命的战略性技术.智能芯片作为人工智能的“心脏”，不论是制造工艺的持续精进，还是架构设计的大胆创新，国产智能芯片的算力与能效比均在大幅提升. (1)已知某款芯片生产有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测工序，包括智能自动检测与人工抽检．已知该款芯片在生产中，前三道工序的次品率分别为，，. ①求该款芯片生产在进入第四道工序前的次品率； ②第四道工序中，部分芯片由智能检测系统进行筛选，检测出的次品芯片会被淘汰，通过筛选的芯片及未经筛选的芯片都进入流水线由工人进行人工抽样检验．记表示事件“某芯片经过智能检测系统筛选”，表示事件“某芯片经人工抽检后合格”，试比较与的大小； (2)改进生产工艺后，该款芯片的某项质量指标服从正态分布，现从中随机抽取个，这个芯片中恰有个的质量指标位于区间．若，将使得的最大的值作为的估计值，试求的值． 参考数据：，. 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $