考点03 正态分布（专项训练）高二数学苏教版选择性必修第二册

考点03 正态分布 考点一：正态分布 1、正态曲线 正态曲线沿着横轴方向水平移动只能改变对称轴的位置，曲线的形状没有改变，所得的曲线依然是正态曲线显然对于任意，，它的图象在轴的上方．可以证明轴和曲线之间的区域的面积为1，我们称为正态密度函数，称它的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线． 若随机变量的概率密度函数为，则称随机变量服从正态分布，记为，特别地，当，时，称随机变量服从标准正态分布． 2、由的密度函数及图象可以发现，正态曲线还有以下特点 （1）曲线是单峰的，它关于直线对称； （2）曲线在处达到峰值； （3）当|x|无限增大时，曲线无限接近轴． 3、正态分布的期望与方差 若，则，． 4、正态变量在三个特殊区间内取值的概率 （1）； （2）； （3）． 在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取中的值，这在统计学中称为原则． 题型一：正态曲线的性质 由的密度函数及图象可以发现，正态曲线还有以下特点 （1）曲线是单峰的，它关于直线对称； （2）曲线在处达到峰值； （3）当|x|无限增大时，曲线无限接近轴． 忽略曲线关于直线x=μ对称，误将对称轴记为原点或其他位置。 1．某物理量的测量结果服从正态分布，下列结论中不正确的是（   ） A．越小，该物理量在一次测量中在的概率越大 B．越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5 C．越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等 D．越小，该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等 2．设，，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（    ） A． B． C．对任意正数， D．对任意正数， 3．已知随机变量，，，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 4．已知随机变量服从正态分布，记函数，则（ ） A． B． C． D． 5．已知随机变量，若，且，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 题型二：特殊区间与指定区间的概率 面积法求概率 指定区间不在标准范围内时，不会拆分区间；忽略曲线对称性，直接加减导致错误；混淆区间开闭，概率计算边界处理不当；忽视 “3σ 原则”，超出范围仍强行估算。 1．在天文学中，星体的视星等是观测者用肉眼所看到的星体亮度，数值越小亮度越高.已知满月的视星等为，由于大气湍流和仪器误差，单次测量满月的视星等服从正态分布，即，则（    ） 参考数据：若，则，． A．0.2715 B．0.8186 C．0.34135 D．0.97725 2．在某市举行的高三适应性考试中对数学成绩统计显示，学校1200名学生的成绩近似服从正态分布，且成绩低于70分的占，则成绩在分的有多少人（   ） A．240 B．360 C．480 D．600 3．某市高二年级男生的身高X（单位：cm）近似服从正态分布，随机选择一名该市高二年级的男生，则其身高落在区间内的概率约为（    ）（附：若随机变量X服从正态分布，则，） A．0.0456 B．0.1359 C．0.2718 D．0.3174 4．在某项测量中，测量结果服从正态分布，则（   ） A．0.1 B．0.2 C．0.4 D．0.5 5．某食品厂生产的袋装饼干的重量（单位：克）服从正态分布，质检部门规定重量在94克到109克之间的产品为合格产品，则从该食品厂生产的袋装饼干中随机抽取1袋饼干，抽到的饼干是合格品的概率约为（   ）（参考数据：若随机变量，则） A．0.8185 B．0.9544 C．0.9759 D．0.9974 题型三：正态分布的实际应用 解题时，应当注意零件尺寸应落在之内，否则可以认为该批产品不合格．判断的根据是小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的，而一旦发生了，就可以认为这批产品不合格． 利用对称性求概率时符号、区间判断错误；忽略 “3σ 原则”，对小概率事件判断失误；未理解均值与标准差含义，无法正确建立概率模型；多场景问题中错用正态分布条件，非正态数据强行套用。 1．为了切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，某高中学校计划优化课程，增加学生体育锻炼时间，提高体质健康水平．某体质监测中心抽取了该校10名学生进行体质测试，得到如下表格： 序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 成绩/分 38 41 44 51 54 56 58 64 74 80 记这10名学生体质测试成绩的平均分与方差分别为，经计算. (1)求； (2)规定体质测试成绩低于50分为不合格，从这10名学生中任取3名，记体质测试成绩不合格的人数为X，求X的分布列； (3)经统计，高中生体质测试成绩近似服从正态分布，用的值分别作为的近似值，若监测中心计划从全市抽查100名高中生进行体质测试，记这100名高中生的体质测试成绩恰好落在区间的人数为Y，求Y的数学期望． 附：若，则，，. 2．为提升学生的安全保护意识，某学校举办了一次“安全知识竞赛”，此次竞赛分为初赛和决赛两个阶段，初赛成绩排名前50名的学生参加复赛.已知共有2000名学生参加了初赛，整理数据后，认为初赛成绩服从正态分布，其中. (1)已知小明的初赛成绩为90分，利用该正态分布，估计小明是否有资格参加决赛？ (2)决赛规则如下：①每位学生的初赛成绩直接计入决赛成绩；②每位学生需解答20道决赛题，每题5分；③每答对一道题，决赛成绩加5分，答错时既不加分也不减分.已知参加决赛的学生甲的初赛成绩为95分，他答对每道题的概率均为0.8，且每题答对与否都相互独立.求学生甲决赛成绩的数学期望. 附：若，则，. 3．某市高二年级期末统考的物理成绩近似服从正态分布，规定：分数高于80分为优秀． (1)估计物理成绩优秀的人数占总人数的比例； (2)若该市有40000名高二年级的考生，估计全市物理成绩在内的学生人数． 参考数据：若，则，，． 4．某企业的甲、乙两条生产线都生产M型零件，一天中，甲、乙两条生产线分别生产320件和1280件M型零件，为了解该企业M型零件的生产质量，现利用比例分配的分层随机抽样，从一天中生产的M型零件中随机抽取40件，测量其尺寸（单位：mm），所得尺寸数据的统计结果如下表： 平均尺寸 方差 甲生产线p件M型零件 80 36 乙生产线q件M型零件 70 16 (1)求这40件M型零件尺寸的平均数和方差； (2)假设该企业一天中生产的M型零件尺寸服从正态分布，其中用样本平均数作为的估计值，用样本方差作为的估计值试估计：这一天生产的M型零件中，尺寸小于60mm的零件是否少于40件？（参考数据：若随机变量X服从正态分布，则，，．） 5．某市为了传承发展中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次文化知识有奖竞赛，竞赛奖励规则如下：得分在［70，80）内的学生获三等奖，得分在［80，90）内的学生获二等奖，得分在［90，100］内的学生获一等奖，其他学生不得奖．为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了样本频率分布直方图，如图所示． 若该市所有参赛学生的成绩X近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，利用所得正态分布模型解决以下问题： (1)求这100名学生的竞赛平均成绩 (2)若该市共有10000名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中成绩超过79分的学生数（结果四舍五入到整数）； (3)若从所有参赛学生中（参赛学生数大于10000）随机抽取3名学生进行访谈，设其中竞赛成绩在64分以上的学生数为，求随机变量的分布列和均值． 附：若随机变量服从正态分布，则，． 题型四：标准正态分布 变换法 查标准正态分布表时看错行和列，概率值读取错误；把一般正态分布直接当成标准分布计算，未转化导致结果错误。 1．“公平正义”是社会主义和谐社会的重要特征，是社会主义法治理念的价值追求.“考试”作为一种公平公正选拔人才的有效途径，正被广泛采用.一般地，对于一次成功的考试来说，所有考生得考试成绩应服从正态分布.某单位准备通过考试（按照高分优先录取的原则）录用300人，其中275个高薪职位和25个普薪职位.实际报名人数为2000名，考试满分为400分.记考生的成绩为，且，已知所有考生考试的平均成绩，且360分及其以上的高分考生有30名. (1)求的值．（结果保留位整数） (2)该单位的最低录取分数约是多少？（结果保留为整数） (3)考生甲的成绩为286分，若甲被录取，能否获得高薪职位？若不能被录取，请说明理由． 参考资料：①当时，令，则． ②当，，，，． 2．已知某客运轮渡最大载客质量为，且乘客的体重（单位：）服从正态分布． (1)记为任意两名乘客中体重超过的人数，求的分布列及数学期望（所有结果均精确到0.001）； (2)设随机变量相互独立，且服从正态分布，记，则当时，可认为服从标准正态分布．若保证该轮渡不超载的概率不低于，求最多可运载多少名乘客． 附：若随机变量服从正态分布，则；若服从标准正态分布，则；，，． 3．《山东省高考改革试点方案》规定：年高考总成绩由语文、数学、外语三门统考科目和思想政治、历史、地理、物理、化学、生物六门选考科目组成，将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为、、、、、、、共8个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为、、、、、、、，选择科目成绩计入考生总成绩时，将至等级内的考生原始成绩，依照（、分别为正态分布的均值和标准差）分别转换到、、、、、、、八个分数区间，得到考生的等级成绩．如果山东省年某次学业水平模拟考试物理科目的原始成绩，． (1)若规定等级、、、、、为合格，、为不合格，需要补考，估计这次学业水平模拟考试物理合格线的最低原始分是多少； (2)现随机抽取了该省名参加此次物理学科学业水平测试的原始分，若这些学生的原始分相互独立，记为被抽到的原始分不低于分的学生人数，求的数学期望和方差． 附：当时，，． 4．为了解市高三数学复习备考情况，该市教研机构组织了一次检测考试，并随机抽取了部分高三理科学生数学成绩绘制如图所示的频率分布直方图. （1）根据频率分布直方图，估计该市此次检测理科数学的平均成绩；（精确到个位） （2）研究发现，本次检测的理科数学成绩近似服从正态分布（，约为19.3）. ①按以往的统计数据，理科数学成绩能达到升一本分数要求的同学约占，据此估计本次检测成绩达到升一本的理科数学成绩大约是多少分？（精确到个位） ②已知市理科考生约有10000名，某理科学生此次检测数学成绩为107分，则该学生全市排名大约是多少名？ （说明：表示的概率，用来将非标准正态分布化为标准正态分布，即，从而利用标准正态分布表，求时的概率，这里,相应于的值是指总体取值小于的概率，即.参考数据：，，）. 5．某批待出口的水果罐头，每罐净重（单位:）服从正态分布，求: (1)随机抽取1罐，其净重超过的概率; (2)随机抽取1罐，其净重在与之间的概率. （参考数据:） 1．已知随机变量，且，且，则（    ） A． B． C． D． 2．新能源汽车具有零排放、能源利用率高等特点，近年来备受青睐.某新能源汽车制造企业为调查其旗下A型号新能源汽车的耗电量（单位：kW·h/100km）情况，随机调查得到了1000个样本，据统计该型号新能源汽车的耗电量，若，则样本中耗电量小于12kW·h/100km的汽车大约有（   ） A．700辆 B．350辆 C．300辆 D．150辆 3．某种植园种植的脐橙单果质量（单位：g）近似服从正态分布，现有10000个该种植园种植的脐橙，估计其中单果质量不低于210g的脐橙个数为（    ） 附：若，则，. A．130 B．228 C．260 D．1587 4．设随机变量，则（       ） A． B． C． D． 5．设某工厂生产的零件尺寸记为随机变量X，若，为使零件的尺寸在内的概率不小于0.9974，则n的值至少是（    ）【注：若，则】 A．16 B．25 C．36 D．49 6．某生物学兴趣小组对某地同种成年向日葵的株高（单位：cm）进行了测量，发现株高近似服从正态分布．已知测量的向日葵平均株高为，标准差为14.5．现按株高将这批向日葵划分为四个等级：过矮（后）、正常偏矮、正常偏高、过高（前）．若，则“过高”等级中最矮株高可能为（    ） A． B． C． D． 7．已知随机变量服从正态分布，则（   ） A．0.72 B．0.28 C．0.74 D．0.36 8．已知随机变量，设函数.若，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 9．（多选题）已知随机变量服从正态分布，其正态曲线在上单调递增，在上单调递减，且，则（   ） A． B． C． D． 10．（多选题）某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩（单位：分）服从正态分布，其概率密度函数为，则下列说法正确的是（   ） A．这次考试的数学平均成绩为80分 B．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同 C．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同 D．这次考试的数学成绩的标准差为10 11．（多选题）已知在某一次学情检测中，学生的数学成绩服从正态分布，其中90分为及格线，120分为优秀线，则下列说法正确的是（   ） 附：随机变量服从正态分布，则，，． A．学生数学成绩的期望为100 B．学生数学成绩的标准差为100 C．学生数学成绩及格率超过0.8 D．学生数学成绩不及格的人数和优秀的人数大致相等 12．设随机变量，且，则___________． 13．某少年体校田径队招收短跑运动员，前来参加100米项目测试的有120人，他们的测试成绩（秒）近似服从正态分布．已知，则测试成绩（秒）位于的大约有________人． 14．某学校高二年级有1000名同学，一次数学考试的成绩X服从正态分布.已知，估计高二年级学生数学成绩在120分以上的有__________人. 15．搪瓷是涂烧在金属底坯表面上的无机玻璃瓷釉．搪瓷制品曾经是人们不可或缺的生活必备品，如厨房用具中锅碗瓢盆、喝茶用到的杯子、洗脸用到的脸盆、婚嫁礼品等，可以说搪瓷制品浓缩了上世纪一个时代的记忆．某搪瓷设计公司新开发了一种新型复古搪瓷水杯，并交给生产水平不同的A和B两个厂生产．已知A厂生产的该种搪瓷水杯的等级系数X服从正态分布，且，在电商平台上A厂生产的搪瓷水杯的零售价为36元/件，B厂生产的搪瓷水杯的零售价为30元/件． (1)①求A厂生产的搪瓷水杯的等级系数的平均值； ②若A厂生产了10000件这种搪瓷水杯，记表示这10000件搪瓷水杯等级系数X位于区间的产品件数，求． (2)从B厂生产的搪瓷水杯中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如图所示． 设，若以“的值越大，产品越具可购买性”为判断标准，根据以上数据，哪个工厂生产的搪瓷水杯更具可购买性？说明理由． 注：若，则，，． 16．产品质量指标，. (1)求；（结果保留四位小数） (2)抽取10件，求至少2件指标在之内的概率.（结果保留四位小数） 说明：表示的概率，用来将非标准正态分布化为标准正态分布，即，从而利用标准正态分布表求时的概率，这里，相应于的值是指总体取值小于的概率，即. 参考数据：. 17．某市高二年级期末统考的数学成绩近似服从正态分布，规定：分数高于93分为优秀． (1)估计数学成绩优秀的人数占总人数的比例； (2)若该市有60000名高二年级考生，估计全市数学成绩在内的学生人数． 参考数据： 若，则，． 18．毒品是人类的公敌，禁毒是社会的责任，当前宁德市正在创建全国禁毒示范城市，我市组织学生参加禁毒知识竞赛，为了解学生对禁毒有关知识的掌握情况，采用随机抽样的方法抽取了500名学生进行调查，成绩全部分布在75到145分之间，根据调查结果绘制的学生成绩的频率分布直方图如图所示．    (1)求频率分布直方图中a的值； (2)由频率分布直方图可认为这次全市学生的竞赛成绩X近似服从正态分布，其中为样本平均数（同一组数据用该组数据的区间中点值作代表），，现从全市所有参赛的学生中随机抽取10人进行座谈，设其中竞赛成绩超过135.2分的人数为Y，求随机变量Y的期望．（结果精确到0.01，，，） 19．为科普航空航天知识，某学校举办了一次“航空航天知识竞赛”，此次竞赛分为初赛和决赛两个阶段，初赛成绩排名前100名的学生可以参加决赛.已知共有2000名学生参加了初赛，初赛成绩服从正态分布，其中. (1)已知学生甲的初赛成绩为88分，利用该正态分布，估计学生甲是否有资格参加决赛； (2)决赛规则如下： ①每位学生的初赛成绩直接计入决赛成绩； ②每位学生需解答10道决赛题，每题5分；每答对一道题，决赛成绩加5分，答错时既不加分也不减分； 已知参加决赛的学生乙的初赛成绩为95分，他答对每道题的概率均为0.8，且每题答对与否都相互独立，求他决赛成绩的数学期望和方差. 附：若，则，. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点03 正态分布 考点一：正态分布 1、正态曲线 正态曲线沿着横轴方向水平移动只能改变对称轴的位置，曲线的形状没有改变，所得的曲线依然是正态曲线显然对于任意，，它的图象在轴的上方．可以证明轴和曲线之间的区域的面积为1，我们称为正态密度函数，称它的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线． 若随机变量的概率密度函数为，则称随机变量服从正态分布，记为，特别地，当，时，称随机变量服从标准正态分布． 2、由的密度函数及图象可以发现，正态曲线还有以下特点 （1）曲线是单峰的，它关于直线对称； （2）曲线在处达到峰值； （3）当|x|无限增大时，曲线无限接近轴． 3、正态分布的期望与方差 若，则，． 4、正态变量在三个特殊区间内取值的概率 （1）； （2）； （3）． 在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取中的值，这在统计学中称为原则． 题型一：正态曲线的性质 由的密度函数及图象可以发现，正态曲线还有以下特点 （1）曲线是单峰的，它关于直线对称； （2）曲线在处达到峰值； （3）当|x|无限增大时，曲线无限接近轴． 忽略曲线关于直线x=μ对称，误将对称轴记为原点或其他位置。 1．某物理量的测量结果服从正态分布，下列结论中不正确的是（   ） A．越小，该物理量在一次测量中在的概率越大 B．越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5 C．越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等 D．越小，该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等 【答案】D 【解析】对于选项A：因为为数据的方差，所以越小，数据在均值附近越集中， 所以测量结果落在内的概率越大，故A正确； 对于选项B：由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为0.5，故B正确； 对于选项C：由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等，故C正确； 对于选项D：因为， ， 若越小，数据在均值附近越集中，则， 即， 所以该物理量在一次测量中落在与落在的概率不相等，故D错误. 故选：D. 2．设，，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（    ） A． B． C．对任意正数， D．对任意正数， 【答案】C 【解析】A选项：、的密度曲线分别关于、对称， 因此结合所给图像可得，所以，故A错误； B选项：又的密度曲线较的密度曲线“瘦高”， 所以，所以，故B错误； CD选项：由密度曲线与横轴所围成的图形的面积的意义可知： 对任意正数，．,故C正确，D错误． 故选：C． 3．已知随机变量，，，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由随机变量服从正态分布，其正态分布分布曲线的对称轴为直线， 则， 所以， 且，，即， 所以， 当且仅当，即时，取等号. 故选：A. 4．已知随机变量服从正态分布，记函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为随机变量服从正态分布，所以该正态分布密度函数曲线的对称轴为，如图： 因为函数，所以函数是单调递增函数，则，故ABC错误； 又, 所以，所以，故D正确. 5．已知随机变量，若，且，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【解析】因为，，所以， 所以，又，， 所以，解得. 故选：C. 题型二：特殊区间与指定区间的概率 面积法求概率 指定区间不在标准范围内时，不会拆分区间；忽略曲线对称性，直接加减导致错误；混淆区间开闭，概率计算边界处理不当；忽视 “3σ 原则”，超出范围仍强行估算。 1．在天文学中，星体的视星等是观测者用肉眼所看到的星体亮度，数值越小亮度越高.已知满月的视星等为，由于大气湍流和仪器误差，单次测量满月的视星等服从正态分布，即，则（    ） 参考数据：若，则，． A．0.2715 B．0.8186 C．0.34135 D．0.97725 【答案】B 【解析】由，得， 则 . 故选：B. 2．在某市举行的高三适应性考试中对数学成绩统计显示，学校1200名学生的成绩近似服从正态分布，且成绩低于70分的占，则成绩在分的有多少人（   ） A．240 B．360 C．480 D．600 【答案】C 【解析】因为成绩近似服从正态分布，所以其对称轴为， 由，根据对称性可得， 因此，成绩在分的概率为， 则此次考试成绩在分的人数约为， 故选：C． 3．某市高二年级男生的身高X（单位：cm）近似服从正态分布，随机选择一名该市高二年级的男生，则其身高落在区间内的概率约为（    ）（附：若随机变量X服从正态分布，则，） A．0.0456 B．0.1359 C．0.2718 D．0.3174 【答案】B 【解析】由题意知， ． 故选：B. 4．在某项测量中，测量结果服从正态分布，则（   ） A．0.1 B．0.2 C．0.4 D．0.5 【答案】D 【解析】服从正态分布，所以由正态分布的对称性知． 5．某食品厂生产的袋装饼干的重量（单位：克）服从正态分布，质检部门规定重量在94克到109克之间的产品为合格产品，则从该食品厂生产的袋装饼干中随机抽取1袋饼干，抽到的饼干是合格品的概率约为（   ）（参考数据：若随机变量，则） A．0.8185 B．0.9544 C．0.9759 D．0.9974 【答案】C 【解析】因为，所以，. 由题意可知，“”表示事件“饼干是合格品”， 所以 故选：C. 题型三：正态分布的实际应用 解题时，应当注意零件尺寸应落在之内，否则可以认为该批产品不合格．判断的根据是小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的，而一旦发生了，就可以认为这批产品不合格． 利用对称性求概率时符号、区间判断错误；忽略 “3σ 原则”，对小概率事件判断失误；未理解均值与标准差含义，无法正确建立概率模型；多场景问题中错用正态分布条件，非正态数据强行套用。 1．为了切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，某高中学校计划优化课程，增加学生体育锻炼时间，提高体质健康水平．某体质监测中心抽取了该校10名学生进行体质测试，得到如下表格： 序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 成绩/分 38 41 44 51 54 56 58 64 74 80 记这10名学生体质测试成绩的平均分与方差分别为，经计算. (1)求； (2)规定体质测试成绩低于50分为不合格，从这10名学生中任取3名，记体质测试成绩不合格的人数为X，求X的分布列； (3)经统计，高中生体质测试成绩近似服从正态分布，用的值分别作为的近似值，若监测中心计划从全市抽查100名高中生进行体质测试，记这100名高中生的体质测试成绩恰好落在区间的人数为Y，求Y的数学期望． 附：若，则，，. 【解析】（1）. （2）因为体质测试不合格的学生有3名，所以X的可能取值为0，1，2，3. 因为，， ，. 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P （3）因为，， 所以， 因为， 所以学生的体质测试成绩恰好落在区间的概率约为， 故，所以. 2．为提升学生的安全保护意识，某学校举办了一次“安全知识竞赛”，此次竞赛分为初赛和决赛两个阶段，初赛成绩排名前50名的学生参加复赛.已知共有2000名学生参加了初赛，整理数据后，认为初赛成绩服从正态分布，其中. (1)已知小明的初赛成绩为90分，利用该正态分布，估计小明是否有资格参加决赛？ (2)决赛规则如下：①每位学生的初赛成绩直接计入决赛成绩；②每位学生需解答20道决赛题，每题5分；③每答对一道题，决赛成绩加5分，答错时既不加分也不减分.已知参加决赛的学生甲的初赛成绩为95分，他答对每道题的概率均为0.8，且每题答对与否都相互独立.求学生甲决赛成绩的数学期望. 附：若，则，. 【解析】（1）由题意得， 故全校2000名参加初赛的学生中成绩不低于88分的人数为， 因为，所以小明有资格参加决赛. （2）设决赛中学生甲答对的题数为，其决赛成绩为，则， 由题意得，则， 所以. 3．某市高二年级期末统考的物理成绩近似服从正态分布，规定：分数高于80分为优秀． (1)估计物理成绩优秀的人数占总人数的比例； (2)若该市有40000名高二年级的考生，估计全市物理成绩在内的学生人数． 参考数据：若，则，，． 【解析】（1）设学生的物理得分为随机变量X，则，所以，， 所以， ， 所以物理成绩优秀的人数占总人数的比例为2.3%． （2）由题意，得，， 即，， 所以，， 所以． 又， 所以全市物理成绩在内的学生人数估计为32740． 4．某企业的甲、乙两条生产线都生产M型零件，一天中，甲、乙两条生产线分别生产320件和1280件M型零件，为了解该企业M型零件的生产质量，现利用比例分配的分层随机抽样，从一天中生产的M型零件中随机抽取40件，测量其尺寸（单位：mm），所得尺寸数据的统计结果如下表： 平均尺寸 方差 甲生产线p件M型零件 80 36 乙生产线q件M型零件 70 16 (1)求这40件M型零件尺寸的平均数和方差； (2)假设该企业一天中生产的M型零件尺寸服从正态分布，其中用样本平均数作为的估计值，用样本方差作为的估计值试估计：这一天生产的M型零件中，尺寸小于60mm的零件是否少于40件？（参考数据：若随机变量X服从正态分布，则，，．） 【解析】（1）由题设，，， 所以； 由题设，甲的均值，方差，乙的均值，方差， 所以，， 而，即， 所以，，而， 所以，可得； （2）由（1）（2）知零件服从，则， 这一天生产的M型零件中，尺寸小于的零件有， 所以这一天生产的M型零件中，尺寸小于的零件少于40件. 5．某市为了传承发展中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次文化知识有奖竞赛，竞赛奖励规则如下：得分在［70，80）内的学生获三等奖，得分在［80，90）内的学生获二等奖，得分在［90，100］内的学生获一等奖，其他学生不得奖．为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了样本频率分布直方图，如图所示． 若该市所有参赛学生的成绩X近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，利用所得正态分布模型解决以下问题： (1)求这100名学生的竞赛平均成绩 (2)若该市共有10000名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中成绩超过79分的学生数（结果四舍五入到整数）； (3)若从所有参赛学生中（参赛学生数大于10000）随机抽取3名学生进行访谈，设其中竞赛成绩在64分以上的学生数为，求随机变量的分布列和均值． 附：若随机变量服从正态分布，则，． 【解析】（1）由频率分布直方图知，各小矩形面积从左到右依次为， 样本平均数. （2）由（1）知，，所有参赛学生的成绩X近似服从正态分布，而， 因此， 所以参赛学生中成绩超过79分的学生数约为. （3）由（2）知，，， 即从所有参赛学生中随机抽取1名学生，该学生竞赛成绩在64分以上的概率为， 因此随机变量服从二项分布，的可能值为0，1，2，3， 则，，，， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 3 P 数学期望. 题型四：标准正态分布 变换法 查标准正态分布表时看错行和列，概率值读取错误；把一般正态分布直接当成标准分布计算，未转化导致结果错误。 1．“公平正义”是社会主义和谐社会的重要特征，是社会主义法治理念的价值追求.“考试”作为一种公平公正选拔人才的有效途径，正被广泛采用.一般地，对于一次成功的考试来说，所有考生得考试成绩应服从正态分布.某单位准备通过考试（按照高分优先录取的原则）录用300人，其中275个高薪职位和25个普薪职位.实际报名人数为2000名，考试满分为400分.记考生的成绩为，且，已知所有考生考试的平均成绩，且360分及其以上的高分考生有30名. (1)求的值．（结果保留位整数） (2)该单位的最低录取分数约是多少？（结果保留为整数） (3)考生甲的成绩为286分，若甲被录取，能否获得高薪职位？若不能被录取，请说明理由． 参考资料：①当时，令，则． ②当，，，，． 【解析】（1）依题意，令，则， 所以可得，， ， 又因为，则，解得； （2）由（1）可得， 设最录取分数为，则， ，，所以， 即最低录取分数线为分． （3）考生甲的成绩为分分， 所以甲能被录取概率为， 表明不低于考生甲的成绩的人数约为总人数的，约有， 即考生甲大约排在第名，排在名之前，所以甲能获得高薪. 2．已知某客运轮渡最大载客质量为，且乘客的体重（单位：）服从正态分布． (1)记为任意两名乘客中体重超过的人数，求的分布列及数学期望（所有结果均精确到0.001）； (2)设随机变量相互独立，且服从正态分布，记，则当时，可认为服从标准正态分布．若保证该轮渡不超载的概率不低于，求最多可运载多少名乘客． 附：若随机变量服从正态分布，则；若服从标准正态分布，则；，，． 【解析】（1）由乘客的体重（单位：）服从正态分布可得， 则可得， 即任意一名乘客体重大于的概率为， 则的所有可能取值为， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 期望值为 （2）设为第位乘客的体重，则，其中， 所以， 由可得， 即，可得，即，. 所以保证该轮渡不超载的概率不低于，最多可运载64名乘客. 3．《山东省高考改革试点方案》规定：年高考总成绩由语文、数学、外语三门统考科目和思想政治、历史、地理、物理、化学、生物六门选考科目组成，将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为、、、、、、、共8个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为、、、、、、、，选择科目成绩计入考生总成绩时，将至等级内的考生原始成绩，依照（、分别为正态分布的均值和标准差）分别转换到、、、、、、、八个分数区间，得到考生的等级成绩．如果山东省年某次学业水平模拟考试物理科目的原始成绩，． (1)若规定等级、、、、、为合格，、为不合格，需要补考，估计这次学业水平模拟考试物理合格线的最低原始分是多少； (2)现随机抽取了该省名参加此次物理学科学业水平测试的原始分，若这些学生的原始分相互独立，记为被抽到的原始分不低于分的学生人数，求的数学期望和方差． 附：当时，，． 【解析】（1）由题意可知，学业水平模拟考试物理科目合格的比例为， 由且，可得， 由，可得， 估计这次学业水平模拟考试物理合格线的最低原始分为分. （2）若，则，， 由题意可知， ，. 4．为了解市高三数学复习备考情况，该市教研机构组织了一次检测考试，并随机抽取了部分高三理科学生数学成绩绘制如图所示的频率分布直方图. （1）根据频率分布直方图，估计该市此次检测理科数学的平均成绩；（精确到个位） （2）研究发现，本次检测的理科数学成绩近似服从正态分布（，约为19.3）. ①按以往的统计数据，理科数学成绩能达到升一本分数要求的同学约占，据此估计本次检测成绩达到升一本的理科数学成绩大约是多少分？（精确到个位） ②已知市理科考生约有10000名，某理科学生此次检测数学成绩为107分，则该学生全市排名大约是多少名？ （说明：表示的概率，用来将非标准正态分布化为标准正态分布，即，从而利用标准正态分布表，求时的概率，这里,相应于的值是指总体取值小于的概率，即.参考数据：，，）. 【解析】（1）用每一个小矩形的中点值代替本组数据，乘以对应的频率后取和即可得到平均数． （2）①设理科数学成绩约为，由题意得，根据参考数据可得，故，解得即为所求． ②先求得，故可得估计名次为名． 试题解析： （1）该市此次检测理科数学成绩平均成绩约为： （分）. （2）①记本次考试成绩达到升一本的理科数学成绩约为， 根据题意，， 即. 由，得 解得， 所以本次考试成绩达到升一本的理科数学成绩约为117分. ②， 所以理科数学成绩为107分时，大约排在名． 5．某批待出口的水果罐头，每罐净重（单位:）服从正态分布，求: (1)随机抽取1罐，其净重超过的概率; (2)随机抽取1罐，其净重在与之间的概率. （参考数据:） 【解析】（1）. 故随机抽取1罐，其净重超过的概率是0.4207. （2） . 故随机抽取1罐，其净重在与之间的概率为0.9544. 1．已知随机变量，且，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】正态分布关于均值对称，又， 可得，所以，又， 所以， 由此可得，解得． 2．新能源汽车具有零排放、能源利用率高等特点，近年来备受青睐.某新能源汽车制造企业为调查其旗下A型号新能源汽车的耗电量（单位：kW·h/100km）情况，随机调查得到了1000个样本，据统计该型号新能源汽车的耗电量，若，则样本中耗电量小于12kW·h/100km的汽车大约有（   ） A．700辆 B．350辆 C．300辆 D．150辆 【答案】D 【解析】因为，且， 所以， 所以样本中耗电量小于12kW·h/100km的汽车大约有（辆）. 故选：D. 3．某种植园种植的脐橙单果质量（单位：g）近似服从正态分布，现有10000个该种植园种植的脐橙，估计其中单果质量不低于210g的脐橙个数为（    ） 附：若，则，. A．130 B．228 C．260 D．1587 【答案】B 【解析】由可知， ， 故估计其中单果质量不低于210g的脐橙个数为. 故选：B. 4．设随机变量，则（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为随机变量，所以. 因为，所以，所以. 所以. 所以. 故选：C. 5．设某工厂生产的零件尺寸记为随机变量X，若，为使零件的尺寸在内的概率不小于0.9974，则n的值至少是（    ）【注：若，则】 A．16 B．25 C．36 D．49 【答案】C 【解析】因为，所以标准差，期望， 根据正态分布的原则，， 要使，则需满足： ，化简可得：， 解得：，即，得出. 故选：C. 6．某生物学兴趣小组对某地同种成年向日葵的株高（单位：cm）进行了测量，发现株高近似服从正态分布．已知测量的向日葵平均株高为，标准差为14.5．现按株高将这批向日葵划分为四个等级：过矮（后）、正常偏矮、正常偏高、过高（前）．若，则“过高”等级中最矮株高可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，则， 可得，解得， 即“过高”等级中的株高，结合选项可知D正确，ABC错误. 故选：D. 7．已知随机变量服从正态分布，则（   ） A．0.72 B．0.28 C．0.74 D．0.36 【答案】A 【解析】服从正态分布，为正态曲线的对称轴，， ，， 为正态曲线的对称轴， ，. 故选：A. 8．已知随机变量，设函数.若，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，易知单调递增， 由正态分布的对称性可知， 所以， 由，得， 所以, 即的最小值为， 故选：B． 9．（多选题）已知随机变量服从正态分布，其正态曲线在上单调递增，在上单调递减，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】因为正态曲线在上单调递增，在上单调递减，所以正态曲线关于直线对称，所以； 因为，结合，可知； 因为， 且，，， 所以，所以； 因为， 所以． 故选：ACD 10．（多选题）某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩（单位：分）服从正态分布，其概率密度函数为，则下列说法正确的是（   ） A．这次考试的数学平均成绩为80分 B．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同 C．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同 D．这次考试的数学成绩的标准差为10 【答案】ACD 【解析】由函数解析式知这次考试的数学平均成绩为80分，标准差为10，故A，D正确． 因为函数图象关于直线对称，所以分数在120分以上的人数与分数在40分以下的人数相同； 分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同，故B错误，C正确． 故选：ACD 11．（多选题）已知在某一次学情检测中，学生的数学成绩服从正态分布，其中90分为及格线，120分为优秀线，则下列说法正确的是（   ） 附：随机变量服从正态分布，则，，． A．学生数学成绩的期望为100 B．学生数学成绩的标准差为100 C．学生数学成绩及格率超过0.8 D．学生数学成绩不及格的人数和优秀的人数大致相等 【答案】AC 【解析】数学成绩服从正态分布，则数学成绩的期望为100，数学成绩的标准差为10，故A正确，B错误； 及格率，故C正确； 不及格率，优秀率，，所以学生数学成绩不及格的人数大于优秀的人数，故D错误． 故选：AC 12．设随机变量，且，则___________． 【答案】 【解析】因为随机变量，所以其正态曲线关于对称， 因此：， 又因为，所以， 所以， 所以. 故答案为：. 13．某少年体校田径队招收短跑运动员，前来参加100米项目测试的有120人，他们的测试成绩（秒）近似服从正态分布．已知，则测试成绩（秒）位于的大约有________人． 【答案】 【解析】， 则， 则120人中成绩位于的人数大约为． 答案：. 14．某学校高二年级有1000名同学，一次数学考试的成绩X服从正态分布.已知，估计高二年级学生数学成绩在120分以上的有__________人. 【答案】160 【解析】∵考试的成绩服从正态分布， ∴考试的成绩X关于对称， ∵， ∴， ∴该年级数学成绩在120分以上的人数为． 故答案为：160. 15．搪瓷是涂烧在金属底坯表面上的无机玻璃瓷釉．搪瓷制品曾经是人们不可或缺的生活必备品，如厨房用具中锅碗瓢盆、喝茶用到的杯子、洗脸用到的脸盆、婚嫁礼品等，可以说搪瓷制品浓缩了上世纪一个时代的记忆．某搪瓷设计公司新开发了一种新型复古搪瓷水杯，并交给生产水平不同的A和B两个厂生产．已知A厂生产的该种搪瓷水杯的等级系数X服从正态分布，且，在电商平台上A厂生产的搪瓷水杯的零售价为36元/件，B厂生产的搪瓷水杯的零售价为30元/件． (1)①求A厂生产的搪瓷水杯的等级系数的平均值； ②若A厂生产了10000件这种搪瓷水杯，记表示这10000件搪瓷水杯等级系数X位于区间的产品件数，求． (2)从B厂生产的搪瓷水杯中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如图所示． 设，若以“的值越大，产品越具可购买性”为判断标准，根据以上数据，哪个工厂生产的搪瓷水杯更具可购买性？说明理由． 注：若，则，，． 【解析】（1）①根据题意，，得，即厂生产的搪瓷水杯的等级系数的平均值为6． ②， ，则， 易知一件搪瓷水杯等级系数位于区间内的概率约为0.6827，依题意知的二项分布， ． （2）厂生产的搪瓷水杯更具可购买性，理由如下： 用样本估计总体，可得厂生产的搪瓷水杯的等级系数的平均值为． 厂生产搪瓷水杯的等级系数的平均值为6，价格为36元/件， ， 厂生产的搪瓷水杯的等级系数的平均值为4.8，价格为30元/件，， 又，故厂生产的搪瓷水杯更具可购买性． 16．产品质量指标，. (1)求；（结果保留四位小数） (2)抽取10件，求至少2件指标在之内的概率.（结果保留四位小数） 说明：表示的概率，用来将非标准正态分布化为标准正态分布，即，从而利用标准正态分布表求时的概率，这里，相应于的值是指总体取值小于的概率，即. 参考数据：. 【解析】（1）因为产品质量指标，即， 又因为，即， 解得， 又，则，解得. （2）因为，所以，， 记指标在之内的件数为，则， 所以. 17．某市高二年级期末统考的数学成绩近似服从正态分布，规定：分数高于93分为优秀． (1)估计数学成绩优秀的人数占总人数的比例； (2)若该市有60000名高二年级考生，估计全市数学成绩在内的学生人数． 参考数据： 若，则，． 【解析】（1）由高二年级期末统考的数学成绩近似服从正态分布， 可得，则， 所以数学成绩优秀的人数占总人数的比例, 所以数学成绩优秀的人数占总人数的比例为. （2）由， 则 , 因为全市有60000名考生，所以该区间内的人数人， 所以成绩在内的学生人数大约为人. 18．毒品是人类的公敌，禁毒是社会的责任，当前宁德市正在创建全国禁毒示范城市，我市组织学生参加禁毒知识竞赛，为了解学生对禁毒有关知识的掌握情况，采用随机抽样的方法抽取了500名学生进行调查，成绩全部分布在75到145分之间，根据调查结果绘制的学生成绩的频率分布直方图如图所示．    (1)求频率分布直方图中a的值； (2)由频率分布直方图可认为这次全市学生的竞赛成绩X近似服从正态分布，其中为样本平均数（同一组数据用该组数据的区间中点值作代表），，现从全市所有参赛的学生中随机抽取10人进行座谈，设其中竞赛成绩超过135.2分的人数为Y，求随机变量Y的期望．（结果精确到0.01，，，） 【解析】（1）由频率分布直方图，得，解得． （2）由题意得 ， 则，， ，， 即随机变量Y的期望约为. 19．为科普航空航天知识，某学校举办了一次“航空航天知识竞赛”，此次竞赛分为初赛和决赛两个阶段，初赛成绩排名前100名的学生可以参加决赛.已知共有2000名学生参加了初赛，初赛成绩服从正态分布，其中. (1)已知学生甲的初赛成绩为88分，利用该正态分布，估计学生甲是否有资格参加决赛； (2)决赛规则如下： ①每位学生的初赛成绩直接计入决赛成绩； ②每位学生需解答10道决赛题，每题5分；每答对一道题，决赛成绩加5分，答错时既不加分也不减分； 已知参加决赛的学生乙的初赛成绩为95分，他答对每道题的概率均为0.8，且每题答对与否都相互独立，求他决赛成绩的数学期望和方差. 附：若，则，. 【解析】（1）由题意得 故全校2000名参加初赛的学生中成绩不低于88分的人数为， 所以甲有资格参加决赛； （2）设决赛中学生乙答对的题数为，其决赛成绩为，则， 由题意得，则， 所以. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $