考点02 离散型随机变量及其分布列（专项训练）高二数学苏教版选择性必修第二册

考点02 离散型随机变量及其分布列 考点一：离散型随机变量的均值或数学期望 正确地求出离散型随机变量的分布列是求解期望的关键一般地，若离散型随机变量的分布列为 … … … … 则称为随机变量的均值或数学期望，数学期望简称为期望．均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平． 考点二：两点分布的期望 一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么； 考点三：离散型随机变量的均值的性质 设X的分布列为． 一般地，下面的结论成立：． 考点四：离散型随机变量的方差、标准差 正确求解随机变量的方差的关键是正确求解分布列及其期望值 设离散型随机变量X的分布列为 … … … … 考虑所有可能取值与的偏差的平方，因为X取每个值的概率不尽相同，所以我们用偏差平方关于取值概率的加权平均，来度量随机变量X取值与其均值的偏离程度，我们称 为随机变量的方差，有时也记为，并称为随机变量的标准差，记为． 考点五：n次独立重复试验 1、定义 一般地，在相同条件下重复做的次试验称为次独立重复试验． 注意：独立重复试验的条件：①每次试验在同样条件下进行；②各次试验是相互独立的；③每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生． 2、特点 （1）每次试验中，事件发生的概率是相同的； （2）每次试验中的事件是相互独立的，其实质是相互独立事件的特例． 考点六：二项分布 1、定义 一般地，在次独立重复试验中，用表示事件发生的次数，设每次试验中事件发生的概率为，不发生的概率，那么事件恰好发生次的概率是（，，，…，） 于是得到的分布列 … … … … 由于表中第二行恰好是二项式展开式 各对应项的值，称这样的离散型随机变量服从参数为，的二项分布，记作，并称为成功概率． 注意：由二项分布的定义可以发现，两点分布是一种特殊的二项分布，即时的二项分布，所以二项分布可以看成是两点分布的一般形式． 2、二项分布的适用范围及本质 （1）适用范围： ①各次试验中的事件是相互独立的； ②每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生； ③随机变量是这次独立重复试验中事件发生的次数． （2）本质：二项分布是放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是相同的． 3、二项分布的期望、方差 若，则，． 考点七：超几何分布 1、定义 在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品，则事件发生的概率为，，1，2，…，，其中，且，，，，，称分布列为超几何分布列．如果随机变量的分布列为超几何分布列，则称随机变量服从超几何分布． 0 1 … … 2、超几何分布的适用范围件及本质 （1）适用范围： ①考察对象分两类； ②已知各类对象的个数； ③从中抽取若干个个体，考察某类个体个数的概率分布． （2）本质：超几何分布是不放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的． 超几何分布和二项分布的区别 （1）超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要； （2）超几何分布是“不放回”抽取，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的； 而二项分布是“有放回”抽取（独立重复），在每次试验中某一事件发生的概率是相同的． 题型一：离散型随机变量均值的应用 解答实际问题时，（1）把实际问题概率模型化；（2）利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小，并列出分布列；（3）利用公式求出相应均值． 混淆随机变量取值与对应概率，误将频率直接当作概率计算均值；忽略取值互斥、完备性，重复或遗漏取值导致结果偏差；未区分有放回与无放回抽样，概率计算错误；忽视实际意义，盲目套用公式，未验证分布合理性；复合变量未正确线性运算，错加错乘概率与取值。 1．某化学实验中有2个型分子和2个型分子．每次实验随机选取两个分子让其发生反应．若选中的是1个和1个，则有的概率发生“有效反应”，反应后的标记数变为的标记数变为1；另有的概率发生“无效反应”，反应后两个分子的标记数均为0．若选中的是两个同型分子，则不会发生反应，它们的标记数保持为0．实验步骤：先从4个分子中随机取出两个进行反应．反应结束后，从这两个参与反应的分子中随机抽取一个，发现其标记数为2．在此条件下，实验开始时取出的两个分子中，型分子个数的期望值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】D 【解析】因为反应结束后，从这两个参与反应的分子中随机抽取一个，发现其标记数为2． 故参与反应的两个分子中必然是一个，一个， 型分子个数为1的概率为1，个数为0或2的概率为0， 故型分子个数的期望值为1， 故选：D. 2．一个口袋里装有编号为1，2，3，4的四个大小、形状完全相同的小球，现有放回的摸球三次，每次摸一个，规定：第次摸出的球号满足时，记为一次有效摸球．若三次摸球的有效次数是，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【解析】每次有效摸球的概率： 第一次：，只有一种可能，概率为， 第二次：，只有两种可能，概率为， 第三次：，只有三种可能，概率为， 利用期望的线性性质： 设表示第次是否有效（为有效，为无效），则， 因为期望的线性性质对任意随机变量都成立，所以：， 而每个是伯努利变量，期望，代入得：. 故选：B 3．整数调值编码在信息学中具有重要应用.规定B～编码：当输入一个奇数时，其编码为0，1的概率分别为，；当输入一个偶数时，其编码为0，1的概率分别为，.现输入1，1，2，3后进行B～编码，记编码为0的数字个数为X，则（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【解析】因为输入的数字为1，1，2，3，记第个数字进行编码后为0的概率为， 第一个数字为1（奇数），编码后为0的概率为； 第二个数字为1（奇数），编码后为0的概率为； 第三个数字为2（偶数），编码后为0的概率为； 第四个数字为3（奇数），编码后为0的概率为； 因此可得. 故选：C 4．设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P m 0.3 n 0.3 则与的值分别是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据分布列可得； ， 故选：A. 5．已知ξ的分布列如图所示， 设， 则（    ） ξ 1 2 3 4 m A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，，解得， 则， 故. 故选：B. 题型二：求离散型随机变量的方差 求离散型随机变量的方差的类型及解决方法 （1）已知分布列型（非两点分布）：直接利用定义求解，先求均值，再求方差． （2）已知分布列是两点分布：直接套用公式求解． （3）未知分布列型：求解时可先借助已知条件及概率知识求得分布列，然后转化成（1）中的情况． 未先正确算出均值就代入方差公式，导致基础数据错误. 1．已知随机变量的分布列如下： 0 1 2 若，则（   ） A． B．7 C．21 D．22 【答案】C 【解析】易知，可得； 又，可知，所以，解得， 因此； 所以. 2．若随机变量服从两点分布，其中，，分别为随机变量的均值与方差，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】随机变量服从两点分布，其中，所以. 所以，故A选项结论正确； ，故C选项结论正确； ，故B选项结论正确； ，故D选项结论错误． 故选：D. 3．已知随机变量的分布列如下表： 0 1 则随机变量的方差为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，解得：， 所以， 则， 故选：A 4．设，随机变量的分布列为 当随机变量的方差取得最小值时，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据期望公式可得： 根据方差公式 则对称轴， 所以当时，方差取得最小值 故选：B. 5．篮球运动员在比赛中每次罚球得分的规则是：命中得1分，不命中得0分．已知某篮球运动员罚球命中的概率为0.8，设其罚球一次的得分为，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】依题意，的分布列为： 0 1 0.2 0.8 因此. 故选：D 题型三：均值与方差的综合应用 （1）均值体现了随机变量取值的平均大小，在两种产品相比较时，只比较均值往往是不恰当的，还需比较它们的取值的离散程度，即通过比较方差，才能准确地得出更恰当的判断． （2）离散型随机变量的分布列、均值、方差之间存在着紧密的联系，利用题目中所给出的条件，合理地列出方程或方程组求解，同时也应注意合理选择公式，简化问题的解答过程． 解题时只关注均值大小判断优劣，忽略方差反映的稳定性，导致决策片面；实际问题中随机变量取值定义不清，与概率对应混乱；多变量问题未拆分独立变量，盲目合并运算出错。 1．为激发学习数学的兴趣，高二年级举行数学知识竞赛，赛制规定：共进行5轮比赛，每轮比赛每个班可以从、两个题库中任选1题作答，在前两轮比赛中每个班的题目必须来自同一题库，后三轮比赛中每个班的题目必须来自同一题库，题库每题20分，题库每题30分，一班能正确回答、题库每题的概率分别为、，且每轮答题结果互不影响. (1)若一班前两轮选题库，后三轮选题库，求其总分不少于100分的概率； (2)若一班在前两轮比赛中选了题库，而且两轮得分60分，后三轮换成题库，设一班最后的总分为，求的分布､期望及方差. 【解析】（1）由条件知，若一班在前两轮得分，后三轮得分，总分为分， 其概率为， 若一班在前两轮得分，后三轮得分或分，总分为或分， 其概率为， 于是一班总分不少于分的概率为 . （2）依题意随机变量的可能取值为，，，， 所以，， ，． 所以的分布列为： 60 80 100 120 所以， . 2．DeepSeek是北京一家人工智能技术研究公司推出的AI助手．它能进行逻辑推理、解决复杂问题，实现多模态数据融合与学习．某科技公司在使用DeepSeek对某一类问题进行测试时发现，如果输入的问题没有语法错误，它回答正确的概率为；如果出现语法错误，它回答正确的概率为．假设每次输入的问题出现语法错误的概率为，且每次输入问题，DeepSeek的回答是否正确相互独立．该公司科技人员小张想挑战DeepSeek，小张和DeepSeek各自从给定的10个问题中随机抽取9个作答．已知在这10个问题中，小张能正确作答其中的9个． (1)求小张能全部回答正确的概率； (2)求一个问题能被DeepSeek回答正确的概率； (3)设小张答对的题数为，求的分布列，并求出的期望和方差． 【解析】（1）由题意，小张能全部回答正确当且仅当抽到的9个问题均来自他能正确回答的9个问题. 则由古典概型的概率公式可得， 小张能全部回答正确的概率， 故小张能全部回答正确的概率为； （2）设事件表示“输入的问题没有语法错误”，事件表示“一个问题能被DeepSeek正确回答”， 则，且事件与互斥， 由题意知， 则， 由全概率公式可得， ． 故一个问题能被DeepSeek回答正确的概率为； （3）已知小张答对的题数为X，则X的可能取值是， 且， 所以X的分布列为： 8 9 则， . 故的期望为，方差为. 3．为选拔2023杭州亚运会射击选手，对甲、乙两名射手进行选拔测试．已知甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量，甲、乙两名射手在每次射击击中的环数均大于6环，且甲射中环的概率分别为，乙射中环的概率分别为． (1)求的分布列； (2)求的均值与方差，并以此比较甲、乙的射击技术并说明谁射击技术更好． 【解析】（1）依据题意，，解得， 由乙射中环的概率分别为，得乙射中7环的概率为， 所以的分布列为： 10 9 8 7 P 0.5 0.3 0.1 0.1 的分布列为： 10 9 8 7 P 0.3 0.3 0.2 0.2 （2）由（1）得，， ， ， ． 由，说明甲平均射中的环数比乙高，由，说明甲的射击水平更稳定，所以甲射击技术更好. 4．为积极响应国家医药卫生体制改革及2023年全国文化科技“三下乡”活动要求，真正让“人民至上”理念落实落地，着力推动优质医疗资源重心下移、力量下沉，不断增强医疗服务的“深度”和“温度”.我市人民医院打算从各科室推荐的6名医生中任选3名去参加“健康送下乡，义诊暖人心”的活动．这6名医生中，外科医生、内科医生、眼科医生各2名． (1)求选出的外科医生人数多于内科医生人数的概率； (2)设表示选出的3人中外科医生的人数，求的分布列，均值，方差． 【解析】（1）推荐的6名医生中任选3名去参加活动基本事件总数为， 这6名医生中，外科医生2名，内科医生2名，眼科医生2名， 设事件表示“选出的外科医生人数多于内科医生人数”，故有两种情况： 恰好选出1名外科医生和2名眼科医生和恰好选出2名外科医生， 用表示“恰好选出1名外科医生和2名眼科医生”，表示“恰好选出2名外科医生”， 且，互斥， 因为，， 所以选出外科医生人数多于内科医生人数的概率为． （2）由题知可为0，1，2，故，， ， 0 1 2 0.2 0.6 0.2 所以， ． 5．开展中小学生课后服务，是促进学生健康成长、帮助家长解决接送学生困难的重要举措，是进一步增强教育服务能力、使人民群众具有更多获得感和幸福感的民生工程，某校为确保学生课后服务工作顺利开展，制定了两套工作方案，为了解学生对这两个方案的支持情况，现随机抽取100个学生进行调查，获得数据如下表：假设用频率估计概率，且所有学生对活动方案是否支持相互独立， 男 女 支持方案一 24 16 支持方案二 25 35 (1)从样本中抽一人，求已知抽到的学生支持方案二的条件下，该学生是女生的概率． (2)从该校支持方案一和支持方案二的学生中各随机抽取1人，设为抽出两人中女生的个数，求的分布列与数学期望； (3)在（2）中，表示抽出两人中男生的个数，试判断方差与的大小． 【解析】（1）由表中数据可知，支持方案二的有人，其中女生有人， 所以已知抽到的学生支持方案二的条件下，该学生是女生的概率为. （2）从支持方案一的学生中随机抽取1人，抽到女生的概率为， 由（1）知，从支持方案二的学生中随机抽取1人，抽到女生的概率为， 由题知，的可能取值为， 且，， ， 所以的分布列为： 0 1 2 期望. （3）因为，， ， 所以， 所以 ， 由（2）可得 . 即. 题型四：二项分布的均值与方差 解决此类问题第一步是判断随机变量X服从什么分布，第二步代入相应的公式求解．若X服从两点分布，则，；若X服从二项分布，即，则，． 未判断是否满足独立重复试验，非二项分布强行套用公式。 1．在某次猜灯谜活动中，共有20道灯谜，每道灯谜由甲、乙两名同学各自独立竞猜一次，甲同学猜对概率为0.4，乙同学猜对概率为0.6，假设猜对每道灯谜都是等可能的，试求： (1)任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率： (2)任选2道灯谜，恰好甲猜对了2次乙猜对1次的概率； (3)记20道灯谜猜灯谜活动中，甲猜对的次数为，求的期望． 【解析】（1）设事件A表示“甲猜对”，事件B表示“乙猜对”，则，， 任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率为：； （2）任选2道灯谜，恰好甲猜对了2次，乙猜对1次的概率为：； （3）甲猜对的次数为，，期望为. 2．新春将至，社团联合会推出技能盲盒新春挑战赛，盲盒池内藏3类新春限定技能体验券共100张．其中类（科创年味券）：20张，含无人机新春灯光秀操控、3D打印生肖挂件建模；类（文艺年味券）：35张，含非遗剪纸窗花、即兴新春小品表演；类（运动年味券）：45张，含新春飞盘趣味赛、岩壁新年登高挑战．抽奖分两轮进行，规则如下： 第一轮：不放回抽取2张券； 第二轮：有放回抽取3张券． (1)第一轮抽奖中，求某人抽到类和类券的概率． (2)第二轮抽奖中，记抽到的类券张数为随机变量，求的分布列及数学期望． 【解析】（1）记抽到的2张券为类券和类券为事件， 则事件包含第一次抽到类券且第二次抽到类券和第一次抽到券且第二次抽到券． 则． （2）有放回的抽取时，抽到类券的概率，抽不到类券的概率， 随机变量表示3次抽取中抽到类券的张数，则，可能的取值为0，1，2，3． ∴， 则的分布列为     0 1 2 3 0.512 0.384 0.096 0.008 ∴． 3．（1）某同学每次投篮命中的概率为，各次投篮相互独立，连续投篮次，记命中次数为.利用二项式展开式的性质，求的数学期望； （2）若将投篮概率改为，连续投篮次，命中次数为，求与方差的表达式. 【解析】（1）依题意，投篮命中次数为服从二项分布，即， 所以； 所以； 由二项式定理知，，求导可得； 令，得； 所以； （2）①依题意，投篮命中次数为服从二项分布，即， 所以； 又； 所以 ； 由二项式定理知，； 所以； ②因为； 又，所以 ； 因为，所以 ； 因为， 所以； 又，所以， 因此，. 4．某购物中心举行购物抽奖活动，顾客购物达到一定金额后即可获得一次抽奖机会.抽奖时，从装有2个红球，4个绿球（每个球大小和质地相同）的抽奖箱中，每次随机摸取2个球.若两球都是红色，则获得一等奖；若两球不同色，则获得二等奖；若两球都是绿色，则不获奖.每人每次抽球互不影响. (1)求顾客获得一等奖的概率； (2)现有3名顾客参与抽奖，求至少两人获奖的概率. 【解析】（1）设事件为“顾客获得一等奖”， 从6个球中随机摸取2个球的情况数为种， 从2个红球中随机摸取2个红球的情况数为种 则. （2）由题意得每次抽奖独立，则不获奖的概率为，则获奖的概率为， 设3名顾客中获奖的人数为，则， 则， ， 所以. 5．设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的. (1)求进入商场的1位顾客恰好购买甲、乙两种商品中的一种的概率； (2)求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率； (3)设表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求的分布列、及. 【解析】（1）事件表示“顾客购买甲种商品”，事件表示“顾客购买乙种商品”， 则：，. 由题意可知，与相互独立，故，. 购买一种商品包含“买甲不买乙”和“买乙不买甲”，即，且这两个事件互斥，因此：. （2）“至少购买一种”的对立事件是“两种都不买”，即. 所以:. （3）由题意可知，表示3位顾客中至少购买一种商品的人数，每位顾客“至少买一种”的概率为， 故（二项分布）. ①分布列 二项分布概率公式： 分布列： 表格 0 1 2 3 0.008 0.096 0.384 0.512 ②期望 二项分布期望公式： ③方差 二项分布方差公式： . 题型五：超几何分布的的均值与方差 全概率公式主要用于计算比较复杂事件的概率，它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用． 记错公式，错用总体容量、样本量与次品数；未区分有放回与无放回抽样，误用二项分布公式；计算时分子分母位置颠倒、漏乘项；忽略分布取值范围，直接计算导致结果不合理。 1．某商场为了促进消费，推出购物优惠活动、消费者购物每满元可参加一次抽奖，抽奖活动如下：抽奖箱设置个红球和个白球，每次抽取个球.若抽中个白球，返现金元；若抽中个红球和个白球，返现金元；若抽中个红球，返现金元. (1)顾客恰好消费了元，设他所获得返现金额为随机变量.求的分布列及数学期望； (2)顾客消费了元： ①顾客获得返现金额为的概率是多少？ ②若该商场同时还推出购物享九折优惠活动（减免总金额的），则顾客应选择哪种方案更优惠？（备注：不能同时参加抽奖和打折活动） 【解析】（1）由题意知顾客抽奖一次，肯定会获得三种返现金额中的一种， 设某顾客参加一次抽奖获得返现金额，则的可能取值为， 则， ， , 则的分布列如下表： 所以. （2）①由题意知顾客刚好可以抽三次， 获得元返现金额的情况是三次抽奖的返现金额分别为元、元、元各一次， 则概率为. ②若打九折，需支付金额为：（元）. 由（1）知每次抽中的返现金额的数学期望为元， 则抽取三次总的返现金额的数学期望为：（元）. 因为，故打折更划算. 2．某食盐厂为了检查一条自动流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的100袋食盐称出它们的质量（单位：克）作为样本数据，质量的分组区间为.由此得到样本的频率分布直方图如图： (1)求的值； (2)从该流水线上任取2袋食盐，设为质量超过的食盐数量，求随机变量的分布列； (3)在上述抽取的100袋食盐中任取2袋，设为质量超过的食盐数量，求随机变量的分布列. 【解析】（1）由题意可得：， 解得. （2）根据样本估计总体的思想，取一袋食盐， 该食盐的质量超过的概率为. 从流水线上任取2袋食盐互不影响，该问题可以看成2次独立重复试验， 质量超过的袋数X的所有可能取值为， 且服从二项分布， . ， ， ， 随机变量的分布列为： 0 1 2 0.49 0.42 0.09 （3）质量超过的食盐数量为袋， 随机变量的所有可能取值为，且服从超几何分布. ，， ， 随机变量的分布列为: 0 1 2 3．为了加强学生的交通安全意识，贵溪一中开展了“安全头盔守护生命”主题教育活动.学校为此次活动准备了10道关于安全头盔重要性､正确佩戴方法及相关法律法规的题目.在活动的知识竞答环节中，会从这10道题目中随机抽取3道让学生回答.已知该校学生小曾同学中午与家长一同认真学习了相关知识，能够准确回答其中的6道题目. (1)求抽到的题目中他能答对的题目数的分布列； (2)求的期望和方差. 【解析】（1）由题意知：所有可能的取值为， ； ； 的分布列为： 0 1 2 3 （2）期望； 又， ∴方差. 4．袋中装有12个大小相同的球，其中红球2个，黄球3个，白球7个，从中随机取出3个球 (1)求取出的3个球中有2个白球的概率； (2)设X表示取到的红球个数，求X的分布列与数学期望. 【解析】（1）所求概率为 （2）X可能的取值为0，1，2. ， . 故X的分布列为 0 1 2 故. 5．某市今年举办的创业大赛吸引了众多优质项目参与，经评审某领域有8个项目进入最终角逐，其中科技类项目5个，文创类项目3个.从上述8个项目中随机抽取2个进行路演展示. (1)求抽出的两个项目中至少有一个是文创类项目的概率； (2)记路演展示项目中抽中的科技类项目的个数为，求的分布列. 【解析】（1）记“抽出的两个项目中至少有一个是文创类项目”为事件， （2）由题意，的可能取值为. 所以的分布列为 0 1 2 1．已知离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.3 m n 若，则（   ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 【答案】C 【解析】由分布列的性质，可得，即， 因为，所以，即， 解得，. 故选：C． 2．某体育用品仓库中有12个同款篮球，其中一等品有8个，二等品有4个.现从中不放回地随机抽取5个篮球进行质量检测，记抽到的一等品的个数为X，则当取得最大值时，（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解析】由题意，的可能值为，则， 所以，，，，， 所以当取得最大值时. 3．设随机变量，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由随机变量，可得， 因为，可得，因为，所以， 又由，可得其对称轴为， 所以在单调递增，所以当，取得最大值，最大值为. 故选：B. 4．如城镇小汽车的普及率为，即平均每100个家庭有75个家庭拥有小汽车，若从如城镇中任意选出5个家庭，则下列结论不成立的是（   ） A．这5个家庭均有小汽车的概率为 B．这5个家庭中，恰有三个家庭拥有小汽车的概率为 C．这5个家庭平均有3.75个家庭拥有小汽车 D．这5个家庭中，四个家庭以上（含四个家庭）拥有小汽车的概率为 【答案】B 【解析】由题得小汽车的普及率为， 对于A：这5个家庭均有小汽车的概率为，所以该命题是真命题，故A正确； 对于B：这5个家庭中，恰有三个家庭拥有小汽车的概率为， 所以该命题是假命题，故B错误； 对于C：这5个家庭平均有3.75个家庭拥有小汽车，是真命题，故C正确； 对于D：这5个家庭中，四个家庭以上（含四个家庭）拥有小汽车的概率为， 所以该命题是真命题，故D正确． 故选：B. 5．口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球，每次有放回地摸取一个球，定义数列，如果为数列的前项和，那么的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由知，在7次摸球中有2次摸取红球，5次摸取白球， 而每次摸取红球的概率为，摸取白球的概率为， 则的概率为. 故选：B． 6．设随机变量服从二项分布，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为随机变量服从二项分布， 则 ． 故选：C． 7．一个盒子里装有6张卡片，上面分别写着如下6个定义域为的函数：，，，，，，现从盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后不放回，若取到一张记有偶函数的卡片，则停止抽取，否则继续进行，则抽取次数的数学期望为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意得，函数为偶函数，为奇函数， 所以随机变量可能取值为， 则，， ，， 所以的分布列为 1 2 3 4 所以期望为． 故选：A. 8．抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得分，则下列正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得分，则 所以随机变量的分布列为 1 所以，． 故选：A 9．（多选题）一个课外兴趣小组共有5名成员，其中3名女性成员，2名男性成员，现从中随机选取2名成员进行学习汇报，记选出女性成员的人数为，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】由题意得，的所有可能取值为0，1，2，， ，，故A，B正确，C错误； ，故D正确． 故选：ABD. 10．（多选题）已知离散型随机变量的分布列如下： 0 1 2 则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】由离散型随机变量分布列的性质知，故A正确； 由知，，，， 均值，C正确； 方差，故B错误，D正确． 故选：ACD. 11．（多选题）（多选）已知甲盒中有2个红球、1个黄球，乙盒中有1个红球、2个黄球．从甲、乙两个盒中各取1个球放入原来为空的丙盒中．现从甲、乙、丙三个盒子中分别取1个球，记红球的个数为（甲、乙、丙三个盒子取出的分别对应），则（   ） A．的所有取值分别为 B．服从两点分布 C． D． 【答案】ABD 【解析】依题意，的所有取值为， 其中，， 则随机变量的分布列为： 0 1 而服从两点分布，可得； 同理，的所有取值为．， ， 所以随机变量的分布列为， 0 1 而服从两点分布，可得； 而的所有取值为，故A正确， 则， 得到， 可得随机变量的分布列为： 0 1 则服从两点分布，得到，故B正确. 可得，故C错误，D正确. 故选：ABD 12．已知随机变量，若，则__________. 【答案】36 【解析】由题知， 所以， 解得. 故答案为：36 13．有5个相同的球分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地随机取3次，每次取1个球.记随机变量X为取出的3次球所对应的数字的极差，则X的数学期望______. 【答案】/ 【解析】由题意可知， 对于，当3次取到球上的数字仅有或5时，则概率为， 当3次各取到1次且1次或3或4，则概率为，所以； 对于，当3次取到数字仅有或仅有时，则概率为， 当3次各取到1次且1次或3，或当3次各取到1次且1次或4，则概率为，所以； 对于，当3次取到数字仅有或或时，则概率为， 当3次各取到数字恰好为或或 ，则概率为，所以； 对于，当3次取到或或或时，则概率为，所以； 对于，当3次取到相同数字时，则概率为，所以； 因此，，，，. 所以. 故答案为： 14．袋中装有标号为1，2，3，4，5且质地、大小相同的5个小球，从袋子中一次性摸出两个球，记下号码后将两球放回，如果两个号码的和是偶数，则获奖. 若有4人参与摸球，则恰好2人获奖的概率是________． 【答案】 【解析】从袋子中一次性摸出两个球，共有种情况， 其中两个号码的和为偶数的有共4种情况， 所以一个人摸球，能够获奖的概率为， 所以4人参与摸球，恰好2人获奖的概率. 故答案为：. 15．某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为；当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为．已知输入的问题表达不清晰的概率为．每次回答是否被采纳相互独立． (1)求智能客服的回答被采纳的概率； (2)在某次测试中输入了3个问题，设表示智能客服的回答被采纳的次数，求的分布列及期望、方差； (3)公司为了测试该系统是否值得推广，随机抽取了10个问题，智能客服的回答每被采纳1次计10分，不采纳则不计分．记被采纳的回答数的总得分为，若，则推广该系统．试推断该系统是否会得到推广，请说明理由， 【解析】（1）设事件表示回答被采纳，事件表示问题表达清晰， 则， 则. （2）由（1）知每个问题的回答被采纳的概率，且每次回答是否被采纳相互独立， 因此随机变量服从二项分布， 则， ， ， ， ， ，， 的分布列为： 0 1 2 3 （3）随机抽取10个问题，设被采纳的次数为，则有，总得分， 则，满足推广条件，因此该系统会得到推广. 16．为迎接国际数学日，某班级举行数学趣味知识有奖问答活动．每位同学需回答3个题目，回答时从6个A类题目、4个B类题目中选择3个回答，A类题目每个答对得9分，B类题目每个答对得n分，每个题答对与否互不影响．已知小王每个A类题目答对的概率均为，每个B类题目答对的概率均为． (1)若小王从A类题目中随机选择3个回答，记小王答对的题目个数为X，求X的分布列． (2)若小王从所有题目中随机选择3个回答， （ⅰ）记小王选取的A类题目数为Y，求； （ⅱ）试确定n的值，使得A类题目无论选择几个总得分的期望不变． 【解析】（1）由题意可取， 则，， ，， 所以X的分布列为 （2）（ⅰ）由题意可取， 则，， ，， 所以； （ⅱ）设小王选择类题目数为，则类题目数为， 由题意小王做对题目的数量服从二项分布，做对题目的数量服从二项分布， 故题目得分的期望为， 题目得分的期望为， 所以得分的总期望为， 因为A类题目无论选择几个总得分的期望不变， 所以得分的总期望与无关， 所以，解得， 所以当时，A类题目无论选择几个总得分的期望不变． 17．《中国诗词大会》自开播以来受到广泛关注.为营造乐学向上的学风，某班组织古诗背诵比赛，小明、小华两位同学进入决赛阶段，需从首古诗中随机抽取首，答对多者获胜，小明可背诵其中首，而小华能背诵每首古诗的概率均为，小明、小华两位同学背诵古诗都是互不影响的. (1)求小明可以背诵首古诗的概率； (2)求小明背诵古诗数的期望与方差； (3)选哪位同学代表班级参加学校总决赛更合适? 【解析】（1）由题意得小明背诵首古诗的概率. （2）已知小明背诵的古诗数为，则的可能取值为、、， ，，， 所以， . （3）设小华背诵的古诗数为，由题意可知， 由二项分布的期望和方差公式可得，, 显然，，所以选小明同学代表班级参加学校总决赛更合适. 18．发展“会员”，提供优惠，成为不少实体店在网购冲击下吸引客流的重要方式，某连锁店为了吸引会员，在2025年五一期间推出一系列优惠促销活动，如抽奖返现活动，“白金卡会员”“金卡会员”“银卡会员”“基本会员”分别有4次，3次、2次、1次抽奖机会．抽奖机的示意图如图所示，抽奖者第一次按下抽奖键，在正四面体的顶点处出现一个小球，再次按下抽奖键，小球又以相等的可能性移向邻近的顶点之一，……每一个顶点上均有一个发光器，小球在某点时，该点等可能发红光或蓝光，若出现红光则获得2元现金，若出现蓝光则获得3元现金． (1)求“银卡会员”获得现金的分布列； (2)表示第次按下抽奖键，小球出现在点处的概率，求的值． 【解析】（1）设“银卡会员”可获得元现金，则的可能取值为4，5，6， ，， 的分布列为 4 5 6 （2）， ． 19．甲､乙两个袋子中，各放有大小和形状相同的小球若干.每个袋子中标号为0的小球有1个，标号为1的有3个，标号为2的有个.从一个袋子中任取两个球，取到的标号都是2的概率是. (1)求的值； (2)从甲袋中任取两个球，已知其中一个的标号是1，求另一个标号也是1的概率； (3)从两个袋子中各取一个小球，用表示这两个小球的标号之和，求的分布列和期望. 【解析】（1）从一个袋子中任取两个球的总组合数为，取到两个标号为2的球的组合数为. 则取到的标号都是2的概率是， 整理得，解得或（舍去）. （2）设事件表示“其中一个标号是1”，事件表示“另一个标号也是1”. 因为，， 所以. （3）的可能取值为， 因为从袋子中取个球，编号为的概率分别为， 所以，， ，， . 所以的分布列为： 0 1 2 3 4 所以. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点02 离散型随机变量及其分布列 考点一：离散型随机变量的均值或数学期望 正确地求出离散型随机变量的分布列是求解期望的关键一般地，若离散型随机变量的分布列为 … … … … 则称为随机变量的均值或数学期望，数学期望简称为期望．均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平． 考点二：两点分布的期望 一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么； 考点三：离散型随机变量的均值的性质 设X的分布列为． 一般地，下面的结论成立：． 考点四：离散型随机变量的方差、标准差 正确求解随机变量的方差的关键是正确求解分布列及其期望值 设离散型随机变量X的分布列为 … … … … 考虑所有可能取值与的偏差的平方，因为X取每个值的概率不尽相同，所以我们用偏差平方关于取值概率的加权平均，来度量随机变量X取值与其均值的偏离程度，我们称 为随机变量的方差，有时也记为，并称为随机变量的标准差，记为． 考点五：n次独立重复试验 1、定义 一般地，在相同条件下重复做的次试验称为次独立重复试验． 注意：独立重复试验的条件：①每次试验在同样条件下进行；②各次试验是相互独立的；③每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生． 2、特点 （1）每次试验中，事件发生的概率是相同的； （2）每次试验中的事件是相互独立的，其实质是相互独立事件的特例． 考点六：二项分布 1、定义 一般地，在次独立重复试验中，用表示事件发生的次数，设每次试验中事件发生的概率为，不发生的概率，那么事件恰好发生次的概率是（，，，…，） 于是得到的分布列 … … … … 由于表中第二行恰好是二项式展开式 各对应项的值，称这样的离散型随机变量服从参数为，的二项分布，记作，并称为成功概率． 注意：由二项分布的定义可以发现，两点分布是一种特殊的二项分布，即时的二项分布，所以二项分布可以看成是两点分布的一般形式． 2、二项分布的适用范围及本质 （1）适用范围： ①各次试验中的事件是相互独立的； ②每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生； ③随机变量是这次独立重复试验中事件发生的次数． （2）本质：二项分布是放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是相同的． 3、二项分布的期望、方差 若，则，． 考点七：超几何分布 1、定义 在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品，则事件发生的概率为，，1，2，…，，其中，且，，，，，称分布列为超几何分布列．如果随机变量的分布列为超几何分布列，则称随机变量服从超几何分布． 0 1 … … 2、超几何分布的适用范围件及本质 （1）适用范围： ①考察对象分两类； ②已知各类对象的个数； ③从中抽取若干个个体，考察某类个体个数的概率分布． （2）本质：超几何分布是不放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的． 超几何分布和二项分布的区别 （1）超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要； （2）超几何分布是“不放回”抽取，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的； 而二项分布是“有放回”抽取（独立重复），在每次试验中某一事件发生的概率是相同的． 题型一：离散型随机变量均值的应用 解答实际问题时，（1）把实际问题概率模型化；（2）利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小，并列出分布列；（3）利用公式求出相应均值． 混淆随机变量取值与对应概率，误将频率直接当作概率计算均值；忽略取值互斥、完备性，重复或遗漏取值导致结果偏差；未区分有放回与无放回抽样，概率计算错误；忽视实际意义，盲目套用公式，未验证分布合理性；复合变量未正确线性运算，错加错乘概率与取值。 1．某化学实验中有2个型分子和2个型分子．每次实验随机选取两个分子让其发生反应．若选中的是1个和1个，则有的概率发生“有效反应”，反应后的标记数变为的标记数变为1；另有的概率发生“无效反应”，反应后两个分子的标记数均为0．若选中的是两个同型分子，则不会发生反应，它们的标记数保持为0．实验步骤：先从4个分子中随机取出两个进行反应．反应结束后，从这两个参与反应的分子中随机抽取一个，发现其标记数为2．在此条件下，实验开始时取出的两个分子中，型分子个数的期望值为（   ） A． B． C． D．1 2．一个口袋里装有编号为1，2，3，4的四个大小、形状完全相同的小球，现有放回的摸球三次，每次摸一个，规定：第次摸出的球号满足时，记为一次有效摸球．若三次摸球的有效次数是，则（   ） A．1 B． C．2 D． 3．整数调值编码在信息学中具有重要应用.规定B～编码：当输入一个奇数时，其编码为0，1的概率分别为，；当输入一个偶数时，其编码为0，1的概率分别为，.现输入1，1，2，3后进行B～编码，记编码为0的数字个数为X，则（   ） A．1 B． C． D．2 4．设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P m 0.3 n 0.3 则与的值分别是（   ） A． B． C． D． 5．已知ξ的分布列如图所示， 设， 则（    ） ξ 1 2 3 4 m A． B． C． D． 题型二：求离散型随机变量的方差 求离散型随机变量的方差的类型及解决方法 （1）已知分布列型（非两点分布）：直接利用定义求解，先求均值，再求方差． （2）已知分布列是两点分布：直接套用公式求解． （3）未知分布列型：求解时可先借助已知条件及概率知识求得分布列，然后转化成（1）中的情况． 未先正确算出均值就代入方差公式，导致基础数据错误. 1．已知随机变量的分布列如下： 0 1 2 若，则（   ） A． B．7 C．21 D．22 2．若随机变量服从两点分布，其中，，分别为随机变量的均值与方差，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 3．已知随机变量的分布列如下表： 0 1 则随机变量的方差为（   ） A． B． C． D． 4．设，随机变量的分布列为 当随机变量的方差取得最小值时，（    ） A． B． C． D． 5．篮球运动员在比赛中每次罚球得分的规则是：命中得1分，不命中得0分．已知某篮球运动员罚球命中的概率为0.8，设其罚球一次的得分为，则（    ） A．， B．， C．， D．， 题型三：均值与方差的综合应用 （1）均值体现了随机变量取值的平均大小，在两种产品相比较时，只比较均值往往是不恰当的，还需比较它们的取值的离散程度，即通过比较方差，才能准确地得出更恰当的判断． （2）离散型随机变量的分布列、均值、方差之间存在着紧密的联系，利用题目中所给出的条件，合理地列出方程或方程组求解，同时也应注意合理选择公式，简化问题的解答过程． 解题时只关注均值大小判断优劣，忽略方差反映的稳定性，导致决策片面；实际问题中随机变量取值定义不清，与概率对应混乱；多变量问题未拆分独立变量，盲目合并运算出错。 1．为激发学习数学的兴趣，高二年级举行数学知识竞赛，赛制规定：共进行5轮比赛，每轮比赛每个班可以从、两个题库中任选1题作答，在前两轮比赛中每个班的题目必须来自同一题库，后三轮比赛中每个班的题目必须来自同一题库，题库每题20分，题库每题30分，一班能正确回答、题库每题的概率分别为、，且每轮答题结果互不影响. (1)若一班前两轮选题库，后三轮选题库，求其总分不少于100分的概率； (2)若一班在前两轮比赛中选了题库，而且两轮得分60分，后三轮换成题库，设一班最后的总分为，求的分布､期望及方差. 2．DeepSeek是北京一家人工智能技术研究公司推出的AI助手．它能进行逻辑推理、解决复杂问题，实现多模态数据融合与学习．某科技公司在使用DeepSeek对某一类问题进行测试时发现，如果输入的问题没有语法错误，它回答正确的概率为；如果出现语法错误，它回答正确的概率为．假设每次输入的问题出现语法错误的概率为，且每次输入问题，DeepSeek的回答是否正确相互独立．该公司科技人员小张想挑战DeepSeek，小张和DeepSeek各自从给定的10个问题中随机抽取9个作答．已知在这10个问题中，小张能正确作答其中的9个． (1)求小张能全部回答正确的概率； (2)求一个问题能被DeepSeek回答正确的概率； (3)设小张答对的题数为，求的分布列，并求出的期望和方差． 3．为选拔2023杭州亚运会射击选手，对甲、乙两名射手进行选拔测试．已知甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量，甲、乙两名射手在每次射击击中的环数均大于6环，且甲射中环的概率分别为，乙射中环的概率分别为． (1)求的分布列； (2)求的均值与方差，并以此比较甲、乙的射击技术并说明谁射击技术更好． 4．为积极响应国家医药卫生体制改革及2023年全国文化科技“三下乡”活动要求，真正让“人民至上”理念落实落地，着力推动优质医疗资源重心下移、力量下沉，不断增强医疗服务的“深度”和“温度”.我市人民医院打算从各科室推荐的6名医生中任选3名去参加“健康送下乡，义诊暖人心”的活动．这6名医生中，外科医生、内科医生、眼科医生各2名． (1)求选出的外科医生人数多于内科医生人数的概率； (2)设表示选出的3人中外科医生的人数，求的分布列，均值，方差． 5．开展中小学生课后服务，是促进学生健康成长、帮助家长解决接送学生困难的重要举措，是进一步增强教育服务能力、使人民群众具有更多获得感和幸福感的民生工程，某校为确保学生课后服务工作顺利开展，制定了两套工作方案，为了解学生对这两个方案的支持情况，现随机抽取100个学生进行调查，获得数据如下表：假设用频率估计概率，且所有学生对活动方案是否支持相互独立， 男 女 支持方案一 24 16 支持方案二 25 35 (1)从样本中抽一人，求已知抽到的学生支持方案二的条件下，该学生是女生的概率． (2)从该校支持方案一和支持方案二的学生中各随机抽取1人，设为抽出两人中女生的个数，求的分布列与数学期望； (3)在（2）中，表示抽出两人中男生的个数，试判断方差与的大小． 题型四：二项分布的均值与方差 解决此类问题第一步是判断随机变量X服从什么分布，第二步代入相应的公式求解．若X服从两点分布，则，；若X服从二项分布，即，则，． 未判断是否满足独立重复试验，非二项分布强行套用公式。 1．在某次猜灯谜活动中，共有20道灯谜，每道灯谜由甲、乙两名同学各自独立竞猜一次，甲同学猜对概率为0.4，乙同学猜对概率为0.6，假设猜对每道灯谜都是等可能的，试求： (1)任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率： (2)任选2道灯谜，恰好甲猜对了2次乙猜对1次的概率； (3)记20道灯谜猜灯谜活动中，甲猜对的次数为，求的期望． 2．新春将至，社团联合会推出技能盲盒新春挑战赛，盲盒池内藏3类新春限定技能体验券共100张．其中类（科创年味券）：20张，含无人机新春灯光秀操控、3D打印生肖挂件建模；类（文艺年味券）：35张，含非遗剪纸窗花、即兴新春小品表演；类（运动年味券）：45张，含新春飞盘趣味赛、岩壁新年登高挑战．抽奖分两轮进行，规则如下： 第一轮：不放回抽取2张券； 第二轮：有放回抽取3张券． (1)第一轮抽奖中，求某人抽到类和类券的概率． (2)第二轮抽奖中，记抽到的类券张数为随机变量，求的分布列及数学期望． 3．（1）某同学每次投篮命中的概率为，各次投篮相互独立，连续投篮次，记命中次数为.利用二项式展开式的性质，求的数学期望； （2）若将投篮概率改为，连续投篮次，命中次数为，求与方差的表达式. 4．某购物中心举行购物抽奖活动，顾客购物达到一定金额后即可获得一次抽奖机会.抽奖时，从装有2个红球，4个绿球（每个球大小和质地相同）的抽奖箱中，每次随机摸取2个球.若两球都是红色，则获得一等奖；若两球不同色，则获得二等奖；若两球都是绿色，则不获奖.每人每次抽球互不影响. (1)求顾客获得一等奖的概率； (2)现有3名顾客参与抽奖，求至少两人获奖的概率. 5．设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的. (1)求进入商场的1位顾客恰好购买甲、乙两种商品中的一种的概率； (2)求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率； (3)设表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求的分布列、及. 题型五：超几何分布的的均值与方差 全概率公式主要用于计算比较复杂事件的概率，它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用． 记错公式，错用总体容量、样本量与次品数；未区分有放回与无放回抽样，误用二项分布公式；计算时分子分母位置颠倒、漏乘项；忽略分布取值范围，直接计算导致结果不合理。 1．某商场为了促进消费，推出购物优惠活动、消费者购物每满元可参加一次抽奖，抽奖活动如下：抽奖箱设置个红球和个白球，每次抽取个球.若抽中个白球，返现金元；若抽中个红球和个白球，返现金元；若抽中个红球，返现金元. (1)顾客恰好消费了元，设他所获得返现金额为随机变量.求的分布列及数学期望； (2)顾客消费了元： ①顾客获得返现金额为的概率是多少？ ②若该商场同时还推出购物享九折优惠活动（减免总金额的），则顾客应选择哪种方案更优惠？（备注：不能同时参加抽奖和打折活动） 2．某食盐厂为了检查一条自动流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的100袋食盐称出它们的质量（单位：克）作为样本数据，质量的分组区间为.由此得到样本的频率分布直方图如图： (1)求的值； (2)从该流水线上任取2袋食盐，设为质量超过的食盐数量，求随机变量的分布列； (3)在上述抽取的100袋食盐中任取2袋，设为质量超过的食盐数量，求随机变量的分布列. 3．为了加强学生的交通安全意识，贵溪一中开展了“安全头盔守护生命”主题教育活动.学校为此次活动准备了10道关于安全头盔重要性､正确佩戴方法及相关法律法规的题目.在活动的知识竞答环节中，会从这10道题目中随机抽取3道让学生回答.已知该校学生小曾同学中午与家长一同认真学习了相关知识，能够准确回答其中的6道题目. (1)求抽到的题目中他能答对的题目数的分布列； (2)求的期望和方差. 4．袋中装有12个大小相同的球，其中红球2个，黄球3个，白球7个，从中随机取出3个球 (1)求取出的3个球中有2个白球的概率； (2)设X表示取到的红球个数，求X的分布列与数学期望. 5．某市今年举办的创业大赛吸引了众多优质项目参与，经评审某领域有8个项目进入最终角逐，其中科技类项目5个，文创类项目3个.从上述8个项目中随机抽取2个进行路演展示. (1)求抽出的两个项目中至少有一个是文创类项目的概率； (2)记路演展示项目中抽中的科技类项目的个数为，求的分布列. 1．已知离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.3 m n 若，则（   ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 2．某体育用品仓库中有12个同款篮球，其中一等品有8个，二等品有4个.现从中不放回地随机抽取5个篮球进行质量检测，记抽到的一等品的个数为X，则当取得最大值时，（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．设随机变量，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．如城镇小汽车的普及率为，即平均每100个家庭有75个家庭拥有小汽车，若从如城镇中任意选出5个家庭，则下列结论不成立的是（   ） A．这5个家庭均有小汽车的概率为 B．这5个家庭中，恰有三个家庭拥有小汽车的概率为 C．这5个家庭平均有3.75个家庭拥有小汽车 D．这5个家庭中，四个家庭以上（含四个家庭）拥有小汽车的概率为 5．口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球，每次有放回地摸取一个球，定义数列，如果为数列的前项和，那么的概率为（   ） A． B． C． D． 6．设随机变量服从二项分布，则等于（   ） A． B． C． D． 7．一个盒子里装有6张卡片，上面分别写着如下6个定义域为的函数：，，，，，，现从盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后不放回，若取到一张记有偶函数的卡片，则停止抽取，否则继续进行，则抽取次数的数学期望为（   ） A． B． C． D． 8．抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得分，则下列正确的是（   ） A． B． C． D． 9．（多选题）一个课外兴趣小组共有5名成员，其中3名女性成员，2名男性成员，现从中随机选取2名成员进行学习汇报，记选出女性成员的人数为，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 10．（多选题）已知离散型随机变量的分布列如下： 0 1 2 则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 11．（多选题）（多选）已知甲盒中有2个红球、1个黄球，乙盒中有1个红球、2个黄球．从甲、乙两个盒中各取1个球放入原来为空的丙盒中．现从甲、乙、丙三个盒子中分别取1个球，记红球的个数为（甲、乙、丙三个盒子取出的分别对应），则（   ） A．的所有取值分别为 B．服从两点分布 C． D． 12．已知随机变量，若，则__________. 13．有5个相同的球分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地随机取3次，每次取1个球.记随机变量X为取出的3次球所对应的数字的极差，则X的数学期望______. 14．袋中装有标号为1，2，3，4，5且质地、大小相同的5个小球，从袋子中一次性摸出两个球，记下号码后将两球放回，如果两个号码的和是偶数，则获奖. 若有4人参与摸球，则恰好2人获奖的概率是________． 15．某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为；当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为．已知输入的问题表达不清晰的概率为．每次回答是否被采纳相互独立． (1)求智能客服的回答被采纳的概率； (2)在某次测试中输入了3个问题，设表示智能客服的回答被采纳的次数，求的分布列及期望、方差； (3)公司为了测试该系统是否值得推广，随机抽取了10个问题，智能客服的回答每被采纳1次计10分，不采纳则不计分．记被采纳的回答数的总得分为，若，则推广该系统．试推断该系统是否会得到推广，请说明理由， 16．为迎接国际数学日，某班级举行数学趣味知识有奖问答活动．每位同学需回答3个题目，回答时从6个A类题目、4个B类题目中选择3个回答，A类题目每个答对得9分，B类题目每个答对得n分，每个题答对与否互不影响．已知小王每个A类题目答对的概率均为，每个B类题目答对的概率均为． (1)若小王从A类题目中随机选择3个回答，记小王答对的题目个数为X，求X的分布列． (2)若小王从所有题目中随机选择3个回答， （ⅰ）记小王选取的A类题目数为Y，求； （ⅱ）试确定n的值，使得A类题目无论选择几个总得分的期望不变． 17．《中国诗词大会》自开播以来受到广泛关注.为营造乐学向上的学风，某班组织古诗背诵比赛，小明、小华两位同学进入决赛阶段，需从首古诗中随机抽取首，答对多者获胜，小明可背诵其中首，而小华能背诵每首古诗的概率均为，小明、小华两位同学背诵古诗都是互不影响的. (1)求小明可以背诵首古诗的概率； (2)求小明背诵古诗数的期望与方差； (3)选哪位同学代表班级参加学校总决赛更合适? 18．发展“会员”，提供优惠，成为不少实体店在网购冲击下吸引客流的重要方式，某连锁店为了吸引会员，在2025年五一期间推出一系列优惠促销活动，如抽奖返现活动，“白金卡会员”“金卡会员”“银卡会员”“基本会员”分别有4次，3次、2次、1次抽奖机会．抽奖机的示意图如图所示，抽奖者第一次按下抽奖键，在正四面体的顶点处出现一个小球，再次按下抽奖键，小球又以相等的可能性移向邻近的顶点之一，……每一个顶点上均有一个发光器，小球在某点时，该点等可能发红光或蓝光，若出现红光则获得2元现金，若出现蓝光则获得3元现金． (1)求“银卡会员”获得现金的分布列； (2)表示第次按下抽奖键，小球出现在点处的概率，求的值． 19．甲､乙两个袋子中，各放有大小和形状相同的小球若干.每个袋子中标号为0的小球有1个，标号为1的有3个，标号为2的有个.从一个袋子中任取两个球，取到的标号都是2的概率是. (1)求的值； (2)从甲袋中任取两个球，已知其中一个的标号是1，求另一个标号也是1的概率； (3)从两个袋子中各取一个小球，用表示这两个小球的标号之和，求的分布列和期望. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $