5.2.4 分式的混合运算 课件 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

北师大版数学8年级下册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（*）班 . 时 间： . 2026年4月28日 5.2.4分式的混合运算 第五章　分式与分式方程 北师大版八年级数学下册 5.2.4 分式的混合运算 练习题 班级：________ 姓名：________ 得分：________ 时间：45分钟 本次练习题围绕“分式的混合运算”核心知识点设计，涵盖分式的乘除、加减混合运算，含括号的分式混合运算，以及化简求值，分层考查基础应用与能力提升，助力巩固分式混合运算顺序和法则，培养分式综合运算能力。 一、选择题（每题3分，共15分） 1. 下列关于分式混合运算的顺序，正确的是（ ） A. 先加减，后乘除，最后算括号内 B. 先乘除，后加减，有括号的先算括号内 C. 先算括号内，再加减，最后算乘除 D. 顺序可以随意调整，结果不变 2. 计算$$\frac{1}{x} \cdot (x^2 - x) + \frac{2}{x-1}$$（x≠0且x≠1）的结果是（ ） A. x + 2 B. x + 1 C. x D. x - 1 3. 化简$$\left( \frac{x}{x-2} - \frac{4}{x^2 - 2x} \right) \div \frac{x+2}{x}$$（x≠0且x≠±2）的结果是（ ） A. 1 B. x C. x - 2 D. $$\frac{x}{x+2}$$ 4. 计算$$\frac{3}{x} \div \left( \frac{2}{x} - \frac{1}{x^2} \right)$$（x≠0）的正确步骤是（ ） A. $$\frac{3}{x} \div \frac{2}{x} - \frac{3}{x} \div \frac{1}{x^2} = \frac{3}{2} - 3x$$ B. $$\frac{3}{x} \div \frac{2x - 1}{x^2} = \frac{3}{x} \cdot \frac{x^2}{2x - 1} = \frac{3x}{2x - 1}$$ C. $$\frac{3}{x} \div \frac{2x - 1}{x^2} = \frac{3}{x} \cdot \frac{x^2}{2x - 1} = \frac{3}{2x - 1}$$ D. $$\frac{3}{x} \div \frac{2x - 1}{x^2} = \frac{x}{3} \cdot \frac{2x - 1}{x^2} = \frac{2x - 1}{3x}$$ 5. 若x=2，则$$\left( \frac{1}{x+1} + \frac{1}{x-1} \right) \cdot \frac{x^2 - 1}{2x}$$的值为（ ） A. 1 B. 2 C. $$\frac{1}{2}$$ D. $$\frac{3}{2}$$ 二、填空题（每题3分，共15分） 1. 分式的混合运算中，乘除运算属于________运算，加减运算属于二级运算，应先算一级运算，后算二级运算。 2. 计算：$$\frac{2}{x} \cdot \frac{x^2}{4} - \frac{3}{x} = $$________（x≠0）。 3. 化简：$$\left( \frac{a}{a-2} - \frac{4}{a^2 - 2a} \right) \div \frac{a+2}{a} = $$________（a≠0且a≠±2）。 4. 计算$$\frac{x^2 - 1}{x} \div (x + 1) + \frac{1}{x}$$（x≠0且x≠-1）的结果是________。 5. 当x=3时，分式$$\left( \frac{3}{x} - \frac{1}{x+2} \right) \cdot \frac{x(x+2)}{4}$$的值为________。 三、解答题（共70分） 1. （10分）计算下列分式混合运算（结果化为最简分式）。 （1）$$\frac{2x}{3y} \cdot \frac{y}{4x^2} + \frac{1}{2x}$$（x≠0，y≠0） （2）$$\frac{x^2 - 4}{x} \div (x + 2) - \frac{1}{x}$$（x≠0且x≠-2） （3）$$\frac{3}{a-1} + \frac{a+2}{a^2 - 1} \div \frac{a+2}{a+1}$$（a≠±1） （4）$$\frac{5x}{x^2 - 16} - \frac{3}{x-4} \cdot \frac{x+4}{x}$$（x≠0且x≠±4） 解： 2. （12分）计算下列含括号的分式混合运算（结果化为最简分式）。 （1）$$\left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right) \cdot \frac{xy}{x+y}$$（x≠0，y≠0且x≠-y） （2）$$\left( \frac{x}{x-3} - \frac{1}{3-x} \right) \div \frac{x+1}{x^2 - 9}$$（x≠±3且x≠-1） （3）$$\left( \frac{2}{a+1} + \frac{a+2}{a^2 - 1} \right) \div \frac{a}{a-1}$$（a≠0且a≠±1） （4）$$\frac{x^2 - 4y^2}{x} \div \left( \frac{x}{y} - \frac{y}{x} \right)$$（x≠0，y≠0且x≠±y） 解： 3. （12分）计算下列复杂分式混合运算（结果化为最简分式）。 （1）$$\frac{1 - \frac{1}{x+1}}{x} \cdot \frac{x+1}{x^2}$$（x≠0且x≠-1） （2）$$\left( \frac{3}{x^2 - 9} + \frac{1}{x+3} \right) \div \frac{x}{x-3}$$（x≠0且x≠±3） （3）$$\frac{x - \frac{x}{x+1}}{1 + \frac{1}{x-1}}$$（x≠0且x≠±1） （4）$$\left( \frac{a}{a-b} - \frac{b^2}{a^2 - ab} \right) \div \frac{a+b}{a}$$（a≠0且a≠±b） 解： 4. （12分）先化简，再求值。 （1）当x=4时，求$$\left( \frac{1}{x-2} + \frac{1}{x+2} \right) \cdot \frac{x^2 - 4}{2x}$$的值； （2）当x=1，y=3时，求$$\frac{x^2 - y^2}{x} \div \left( x + \frac{2xy + y^2}{x} \right)$$的值； （3）已知a=2，求$$\left( \frac{a}{a+2} + \frac{2}{a-2} \right) \div \frac{1}{a^2 - 4}$$（a≠±2）的值。 解： 5. （12分）解答下列问题。 （1）已知分式混合运算式：$$\left( \frac{2}{x} - \frac{1}{x+1} \right) \cdot \frac{x(x+1)}{x+2}$$，化简后求当x=1时的值； （2）若$$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 3$$（x≠0，y≠0），求$$\left( \frac{x + y}{xy} \right) \div \left( \frac{x^2 + 2xy + y^2}{x^2y} \right)$$的值； （3）化简：$$\frac{x^2 - 1}{x^2 + 2x + 1} \div \left( \frac{x - 1}{x} - \frac{x}{x+1} \right)$$（x≠0且x≠±1），并说明x的取值范围。 解： 6. （10分）应用题 已知某工厂生产一批零件，甲车间单独完成需要$$\frac{x}{x-1}$$小时，乙车间单独完成需要$$\frac{x}{x+1}$$小时（x>1）。 （1）甲、乙两车间合作，每小时完成这批零件的几分之几？（用分式混合运算求解，再化简）； （2）当x=3时，求甲、乙两车间合作每小时完成零件的比例； （3）若甲车间先单独做1小时，再与乙车间合作，还需要多少小时完成这批零件？（用含x的分式表示，再化简）。 解： 参考答案（简要提示） 一、选择题：1.B 2.C 3.A 4.B 5.A 二、填空题：1.一级 2.$$\frac{x}{2} - \frac{3}{x}$$（或$$\frac{x^2 - 6}{2x}$$） 3.1 4.1 5.2 三、解答题：1.（1）$$\frac{1}{x}$$；（2）$$\frac{x-3}{x}$$；（3）$$\frac{4}{a-1}$$；（4）$$\frac{2x - 12}{x(x-4)}$$（或$$\frac{2(x-6)}{x(x-4)}$$） 2.（1）1；（2）x+3；（3）$$\frac{3}{a}$$；（4）xy 3.（1）$$\frac{1}{x^2}$$；（2）$$\frac{4}{x}$$；（3）$$\frac{x(x-1)}{x+1}$$；（4）a 4.（1）1；（2）$$-\frac{2}{3}$$；（3）8 5.（1）化简得1，值为1；（2）3；（3）$$-\frac{x}{x+1}$$，x≠0且x≠±1 6.（1）化简得2；（2）2；（3）$$\frac{x-1}{4}$$小时 学习目标 1.能够熟练计算较复杂的异分母分式的加减运算，复习并巩固分式的运算法则. 2.知道分式混合运算的运算顺序，能熟练地进行分式的混合运算. 1 分式的混合运算 例1 计算：(1) ； 解：(1) (2) ； 解：(2) (3) . 1.计算时注意观察符号； 2.根据题型熟练运用添括号法则进行通分； 3.分母为多项式时，要先对分母进行因式分解. 计算结果要化为最简分式或整式． 要点归纳 典例精析 例2 已知 ，求 的值. 解： 因为 ，即 y = 2x， 所以原式 = . 解： 练一练 1.先化简，再求值： ，其中 . 解：　 做一做 根据规划设计，某工程队准备修建一条长 1120 m的盲道. 由于采用新的施工方式，实际每天修建盲道的长度比原计划增加 10 m，从而缩短了工期. 假设原计划每天修建盲道 x m，那么 (1) 原计划修建这条盲道需要多少天? 实际修建这条盲道用了多少天? 原计划修建盲道需要的天数： 实际修建盲道需要的天数： (2) 实际修建这条盲道的工期比原计划缩短了几天? D 返回 1． 中考考法 10 返回 A 2． 如图，某同学不小心将作业纸撕坏了一角，若已知该运算正确，则撕坏的部分中“■”代表的是(　　) 中考考法 11 －2 返回 3． 中考考法 12 4． 返回 m－1(答案不唯一) 中考考法 13 5． 返回 中考考法 14 6． 中考考法 15 【点拨】 【答案】D 返回 中考考法 7． 有一个计算程序，每次运算都是把一个数先乘2，再除以它与1的和，多次重复这种运算的过程如下：   则第n次的运算结果是______________(用含有字母x和n的代数式表示)． 中考考法 17 2.分式的混合运算法则 先算乘除，再算加减；如果有括号先算括号内的. 1.分式加减运算的方法思路： 通分 转化为 异分母相加减 同分母相加减 分子（整式）相加减 分母不变 转化为 课堂小结 化简(x2－y2)的结果是(　　) A．2x B．－2x C．－2y D．2y A． B． C． D．－ 若a－b＝1，则·的值为________． 小明在化简分式－·□时，发现最终结果是整式，则□表示的式子可以是________________． 【解】÷＝[＋]÷＝·＝. [2025江西]化简：÷. 已知a为整数，且－÷为正整数，则所有符合条件的a的值的和为(　　) A．4 B．8 C．12 D．16 －÷＝－÷＝－·＝－＝＝.∵a为整数，且－÷为正整数，∴a－5＝1或a－5＝5，∴a＝6或a＝10.∴所有符合条件的a的值的和为6＋10＝16. $