第二章 相交线与平行线 单元测试 2025-2026学年北师大版数学七年级下册

第二章 相交线与平行线（解析版） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、下列说法正确的有（ ） A. 相等的角是对顶角 B. 直线外一点到已知直线的垂线段叫做点到该直线的距离 C. 两条不相交的直线叫做平行线 D. 在同一平面内，若直线a⊥b，，则直线 【答案】D 【详解】解：A、相等的角是对顶角，错误，相等的角不一定是对顶角，本选项不符合题意； B、直线外一点到已知直线的垂线段叫做点到该直线的距离，错误，应该是直线外一点到已知直线的垂线段的长度叫做点到该直线的距离，本选项不符合题意； C、两条不相交的直线叫做平行线，错误，条件是在同一平面内，本选项不符合题意； D、在同一平面内，若直线a⊥b，，则直线正确，本选项符合题意． 2、自来水公司为某小区A改造供水系统，如图沿路线铺设管道，与主管道衔接，路线最短，工程造价最低，根据是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 垂线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】B 【详解】解：沿路线铺设管道和主管道衔接 ，路线最短，工程造价最低，其根据是垂线段最短． 3、如图，的一边和的一边相交于一点，下列说法错误的是（ ） A. 和是同位角 B. 和是同旁内角 C. 和同位角 D. 和是内错角 【答案】A 【详解】解：A．和是内错角，选项说法错误，符合题意； B．和是同旁内角，正确，不符合题意； C．和是同位角，正确，不符合题意； D．和是内错角，正确，不符合题意． 4、如图，将木条a，b与c钉在一起，，，要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【详解】解：∵时，， ∴要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是． 5、随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活，如图是某单车车架的示意图，线段，，分别为前叉、下管和立管（点在上），为后下叉．已知，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【详解】解：∵， ， ， ， ， ， 6、 如图，点P是直线a外的一点，点A、B、C在直线a上，且，垂足是B，，则下列不正确的语句是（ ） A. 线段的长是点C到直线的距离 B. 线段的长是点到直线 的距离 C. 、、 三条线段中，PB 最短 D. 线段的长是点P到直线a的距离 【答案】B 【详解】解：A、线段的长是点C到直线的距离，故选项A正确，不合题意； B、应是线段的长是点到直线 的距离，而不是，故选项B不正确，符合题意； C、、、 三条线段中，垂线段最短，即最短，选项C正确，不合题意； D、线段的长是点P到直线a的距离，选项D正确，不合题意； 7、平面镜反射光的规律是：射到中面镜上的光线和被反射的光线与平面镜所夹的锐角相等，即如图①中∠α＝∠β；若如图②光线m被平面镜a和b两次反射后，反射出的光线n和入射光线m平行，且∠1＝40°，则∠2等于（　　） A. 40° B. 80° C. 90° D. 100° 【答案】C 【详解】解：由题意可知∠3=∠1=40°，∠4=∠5． ∵mn， ∴∠6+∠7=180°， ∵∠1+∠3+∠6=180°， ∴∠6=100°，∠7=80°， ∵∠4+∠7+∠5=180°， ∴∠4=∠5=50°， ∴∠3+∠4=90°， ∵∠2+∠3+∠4=180°， ∴∠2=90°． 8、 如图，，．若平分，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 9、如图是长方形纸带，，将纸带沿EF折叠成图，再沿BF折叠成图，则图中和图中的度数分别是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【详解】解： ∵是长方形纸带， ∴，，，， 图中， ∵， ∴， 图中，由折叠可得： ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 图中，由折叠可知，， ∴， ∵， ∴， 10、将一副三角尺按如图所示的方式放置，给出下列结论：①若，则；②若，则；③；④若，则．上述结论中正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 详解】解：由题意得，； ∵， ∴， ∴， ∴；故①正确； ∵， ∴， ∴；故②正确； ∵， ∴ ； ∴；故③正确； ∵， 即， ∴， ∴， ∴， ∴；故④正确； 综上，四个均正确； 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、 如图，直线a、b相交于点O，将量角器的中心与点O重合，发现表示的点在直线a上，表示的点在直线b上，则______． 【答案】80 【详解】解：如图， 根据题意，得， ∵， ∴， 12、如图，将一个三角板的角的顶点和直角顶点分别放在一个长方形的两条对边上，若，则的度数为___________． 【答案】 【详解】解：由题意可得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为： 13、一块含角的直角三角板，按如图所示方式放置，顶点A，C分别落在直线a，b上，若直线，，则的度数是______． 【答案】 【详解】解：过B作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 14、如图，已知，，，则___度． 【答案】65° 【详解】解：过点作∥，如图： ， ． ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ． 故答案为：． 15、已知：如图，点D是射线AB上一动点，连接CD，过点D作交直线AC于点E，若，，则的度数为______． 【答案】104° 【详解】解：如图， ∵DE∥BC，∠ABC＝84°， ∴∠ADE＝∠ABC＝84°， ∵∠CDE＝20°， ∴∠ADC＝∠ADE＋∠CDE＝104°． 16、如图，若，则、、之间的关系为______. 【答案】 【详解】过点E作EF∥AB，如图所示． ∵AB∥CD,EF∥AB， ∴EF∥CD∥AB， ∴∠α+∠AEF=180°，∠γ=∠CEF. 又∵∠AEF+∠CEF=∠β， ∴∠α+∠β−∠γ=180°. 故答案为∠α+∠β−∠γ=180°. 三、解答题：本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、如图：按下列要求画图并填空． 如图，P是的边上一点， (1)过点P作射线的垂线，垂足为H； (2)过点P作射线的垂线，交于点C； (3)过点P作直线 （点D在点P的右侧）； (4)与的数量关系是_________． (5)线段，，这三条线段大小关系是________（用“”号连接），依据是________． 【详解】（1）解：如图，即为所求作的垂线； （2）解：如图，即为所求作的垂线； （3）解：如图，即为所求作的平行线； （4）解：∵，， ∴， ∴， ∴与互余； 故答案为：互余. （5）解：线段，，这三条线段大小关系是， 依据是垂线段最短． 18、如图，平分，若，，求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：平分，， 角平分线定义， ，已知， 等量代换， 同位角相等两直线平行． 19、如图，点分别为三角形的边上的点，点分别在上，，，．求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 20、如图．，． （1）试说明的理由； （2）若，，求的度数． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∵， ∴∠EDG= ∴． 21、完成下面的推理填空：科技改变世界，为提高快递包裹分拣效率，物流公司引进快递自动分拣流水线，如图①所示，图②是将部分流水线抽象而成的数学模型示意图． 如图②，平分平分． 试说明：． 下面解答过程，阅读并填空（理由或数学式）． 解：理由如下：（已知）， ________（_______________）． 平分（已知）， _______（角平分线的定义）． 同理，． ______（_______________）， _______（_______________）， （_______________）． 【答案】见解析 【详解】解：理由如下：（已知）， （_两直线平行，内错角相等）． 平分（已知）， （角平分线的定义）． 同理，． _（_等量代换_）， （内错角相等，两直线平行）， （_两直线平行，同旁内角互补）． 22、 如图，已知∠1=∠BDE，∠2+∠FED=180°． （1）证明：AD∥EF． （2）若EF⊥BF于点F，且∠FED=140°．求∠BAC的度数． 【答案】（1）详见解析；（2）50° 【详解】解：（1）∵∠1=∠BDE， ∴AC∥DE ∴∠2=∠ADE 又∵∠2+∠FED=180°， ∴∠ADE+∠FED=180°， ∴AD∥EF （2）∵∠FED=140°，∠2+∠FED=180° ∴∠2=40° 又∵AD∥EF，EF⊥BF， ∴AD⊥BF，即∠BAD=90°， ∴∠BAC=∠BAD-∠2=90°-40°=50° 23、在综合与实践课上，同学们以“一副三角板和两条平行线”为背景开展数学探究活动”．如图1，已知直线，三角板和三角板中，，，． 操作发现： （1）如图2，创新小组的同学让和分别落在直线上，且使直角顶点C，D重合，则的度数为 （提示：过点C作的平行线）； 迁移运用： （2）该小组同学将三角板和三角板按如图3所示位置摆放（直角顶点C，D重合），与交于点H，与交于点G，若， ，求的度数（用含，的式子表示）； 拓展创新： （3）缜密小组的同学改变图2中三角板的位置，三角板的位置保持不变（直角顶点C始终与D重合），当边时，请直接写出的度数． 【答案】（1）；（2）60°+-；（3）或 【详解】解：（1）由题意得：， 过点C作， ， ， ， ； （2）过点C作，过点F作， ， ， ， ， ； （3）解：分两种情况： 情况一：如下图： ， ， ， ； 情况一：如下图： ， ， ， ， 综上所述，当边时， 的度数为或． 24、（1）感知与探究：如图①，直线，过点作．请直接写出，，之间的数量关系：　　； （2）应用与拓展：如图②，直线．若，，，借助第（1）问中的结论，求的度数； （3）方法与实践：如图③，直线．若，，则　　度． 【答案】（1）∠B+∠D=∠BED；（2）83°；（3）25 【详解】解：（1）， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）过点作， 由（1）可得：， ， ， 由（1）可得：， ，，， ， 的度数为； （3）设与相交于点， ，， ， ， 由（1）得：， ， ， 故答案为：25． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 相交线与平行线（原卷版） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、下列说法正确的有（ ） A. 相等的角是对顶角 B. 直线外一点到已知直线的垂线段叫做点到该直线的距离 C. 两条不相交的直线叫做平行线 D. 在同一平面内，若直线a⊥b，，则直线 2、自来水公司为某小区A改造供水系统，如图沿路线铺设管道，与主管道衔接，路线最短，工程造价最低，根据是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 垂线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 3、如图，的一边和的一边相交于一点，下列说法错误的是（ ） A. 和是同位角 B. 和是同旁内角 C. 和同位角 D. 和是内错角 4、如图，将木条a，b与c钉在一起，，，要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是（　　） A. B. C. D. 5、随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活，如图是某单车车架的示意图，线段，，分别为前叉、下管和立管（点在上），为后下叉．已知，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6、 如图，点P是直线a外的一点，点A、B、C在直线a上，且，垂足是B，，则下列不正确的语句是（ ） A. 线段的长是点C到直线的距离 B. 线段的长是点到直线 的距离 C. 、、 三条线段中，PB 最短 D. 线段的长是点P到直线a的距离 7、平面镜反射光的规律是：射到中面镜上的光线和被反射的光线与平面镜所夹的锐角相等，即如图①中∠α＝∠β；若如图②光线m被平面镜a和b两次反射后，反射出的光线n和入射光线m平行，且∠1＝40°，则∠2等于（　　） A. 40° B. 80° C. 90° D. 100° 8、 如图，，．若平分，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 9、如图是长方形纸带，，将纸带沿EF折叠成图，再沿BF折叠成图，则图中和图中的度数分别是（ ） A. B. C. D. 10、将一副三角尺按如图所示的方式放置，给出下列结论：①若，则；②若，则；③；④若，则．上述结论中正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、 如图，直线a、b相交于点O，将量角器的中心与点O重合，发现表示的点在直线a上，表示的点在直线b上，则______． 12、如图，将一个三角板的角的顶点和直角顶点分别放在一个长方形的两条对边上，若，则的度数为___________． 13、一块含角的直角三角板，按如图所示方式放置，顶点A，C分别落在直线a，b上，若直线，，则的度数是______． 14、如图，已知，，，则___度． 15、已知：如图，点D是射线AB上一动点，连接CD，过点D作交直线AC于点E，若，，则的度数为______． 16、如图，若，则、、之间的关系为______. 三、解答题：本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、如图：按下列要求画图并填空． 如图，P是的边上一点， (1)过点P作射线的垂线，垂足为H； (2)过点P作射线的垂线，交于点C； (3)过点P作直线 （点D在点P的右侧）； (4)与的数量关系是_________． (5)线段，，这三条线段大小关系是________（用“”号连接），依据是________． 18、如图，平分，若，，求证：． 19、如图，点分别为三角形的边上的点，点分别在上，，，．求证：． 20、如图．，． （1）试说明的理由； （2）若，，求的度数． 21、完成下面的推理填空：科技改变世界，为提高快递包裹分拣效率，物流公司引进快递自动分拣流水线，如图①所示，图②是将部分流水线抽象而成的数学模型示意图． 如图②，平分平分． 试说明：． 下面解答过程，阅读并填空（理由或数学式）． 解：理由如下：（已知）， ________（_______________）． 平分（已知）， _______（角平分线的定义）． 同理，． ______（_______________）， _______（_______________）， （_______________）． 22、 如图，已知∠1=∠BDE，∠2+∠FED=180°． （1）证明：AD∥EF． （2）若EF⊥BF于点F，且∠FED=140°．求∠BAC的度数． 23、在综合与实践课上，同学们以“一副三角板和两条平行线”为背景开展数学探究活动”．如图1，已知直线，三角板和三角板中，，，． 操作发现： （1）如图2，创新小组的同学让和分别落在直线上，且使直角顶点C，D重合，则的度数为 （提示：过点C作的平行线）； 迁移运用： （2）该小组同学将三角板和三角板按如图3所示位置摆放（直角顶点C，D重合），与交于点H，与交于点G，若， ，求的度数（用含，的式子表示）； 拓展创新： （3）缜密小组的同学改变图2中三角板的位置，三角板的位置保持不变（直角顶点C始终与D重合），当边时，请直接写出的度数． 24、（1）感知与探究：如图①，直线，过点作．请直接写出，，之间的数量关系：　　； （2）应用与拓展：如图②，直线．若，，，借助第（1）问中的结论，求的度数； （3）方法与实践：如图③，直线．若，，则　　度． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $